استخدام تحويلات العبارات بأبسط طرق التكامل. طرق التكامل

4.1. طرق التكامل البسيطة 4.1.1. مفهوم التكامل غير المحدد

في حساب التفاضل، تم النظر في مشكلة إيجاد المشتق أو التفاضل فيما يتعلق بوظيفة معينة ذ= و(خ)،أي أنه كان من الضروري العثور عليها و (خ)= واو"(خ)أو مدافع (خ)= F"(x)دكس= و (خ) دكس.دعونا نطرح المشكلة العكسية: استعادة الدالة المتفاضلة، أي معرفة المشتقة و (خ)(أو التفاضلية و (خ) دكس)،العثور على مثل هذه الوظيفة و(خ)،ل واو"(خ)= و (خ).تبين أن هذه المهمة أصعب بكثير من مهمة التمايز. على سبيل المثال، لنفترض أن سرعة حركة نقطة ما معروفة، لكن علينا إيجاد القانون

تحركاتها س= شارع)،و لحل مثل هذا

يتم تقديم المهام والمفاهيم والإجراءات الجديدة.

تعريف.وظيفة قابلة للتفاضل و(خ)مُسَمًّى مشتق مضادللوظيفة و (خ)على (أ، ب)،لو واو"(خ)= و (خ)على (أ، ب).

على سبيل المثال، ل F(x) = x 2 مشتق عكسي لأن

ل F(خ) = كوس سسيكون المشتق العكسي F(x) = sin x، لأن F"(x) = (sin x)" = cos x، والذي يتزامن مع F(خ).

هل يوجد مشتق عكسي دائمًا لوظيفة معينة؟ و (خ)؟نعم، إذا كانت هذه الدالة متصلة على (أ،ب). بالإضافة إلى ذلك، هناك أعداد لا حصر لها من البدائيين، ولا تختلف عن بعضها البعض إلا بمقدار ثابت. حقا، الخطيئة س+ 2، خطيئة س- 2، الخطيئة س+ ج- كل هذه الدوال ستكون مشتقات عكسية لـ cos س(مشتق القيمة الثابتة هو 0) - الشكل. 4.1.

تعريف.تعبير و(خ)+ ج،أين مع- قيمة ثابتة عشوائية تحدد مجموعة المشتقات العكسية للدالة و (خ)،مُسَمًّى تكامل غير محددويشار إليه بالرمز ، أي. ، حيث العلامة هي علامة النكرة

أساسي، و (خ)- مُسَمًّى دالة التكامل، f (x) dx- بواسطة التكامل، x- متغير التكامل

أرز. 4.1.مثال على عائلة منحنيات متكاملة

تعريف.تسمى عملية إيجاد المشتق العكسي من مشتق أو تفاضل معين اندماجهذه الوظيفة.

التكامل هو الفعل العكسي للتمايز، ويمكن التحقق منه بالتفاضل، والتمايز فريد، والتكامل يعطي الإجابة إلى ثابت. إعطاء قيمة ثابتة معقيم محددة بواسطة-

نحصل على وظائف مختلفة

يحدد كل منها منحنى على المستوى الإحداثي يسمى أساسي.يتم إزاحة جميع الرسوم البيانية للمنحنيات المتكاملة بالتوازي مع بعضها البعض على طول المحور أوي.ولذلك، فإن التكامل غير المحدد هندسيًا هو مجموعة من منحنيات التكامل.

لذلك، تم تقديم مفاهيم جديدة (المشتقة العكسية والتكامل غير المحدد) وإجراء جديد (التكامل)، ولكن كيف لا يزال بإمكانك العثور على المشتقة العكسية؟ للإجابة بسهولة على هذا السؤال، يجب عليك أولاً تجميع وحفظ جدول التكاملات غير المحددة للوظائف الأولية الأساسية. يتم الحصول عليها عن طريق قلب صيغ التمايز المقابلة. على سبيل المثال، إذا

عادةً ما يتضمن الجدول بعض التكاملات التي تم الحصول عليها بعد تطبيق أبسط طرق التكامل. تم وضع علامة على هذه الصيغ في الجدول. 4.1 بالرمز "*" ويتم إثباتها في العرض الإضافي للمادة.

الجدول 4.1.جدول التكاملات الأساسية غير المحددة

الصيغة 11 من الجدول. 4.1 قد يبدو
,

لأن. ملاحظة مماثلة حول النموذج

البغال 13:

4.1.2. خصائص التكاملات غير المحددة

دعونا نفكر في أبسط خصائص التكامل غير المحدد، والتي ستسمح لنا بدمج ليس فقط الوظائف الأولية الأساسية.

1. مشتق التكامل غير المحدد يساوي التكامل:

2. تفاضل التكامل غير المحدد يساوي التكامل:

3. التكامل غير المحدد لتفاضل دالة يساوي هذه الوظيفة المضافة إلى ثابت عشوائي:

مثال 1. مثال 2.

4. يمكن إخراج العامل الثابت من علامة التكامل: مثال 3.

5. تكامل مجموع أو الفرق بين وظيفتين يساوي مجموع أو الفرق بين تكاملات هذه الوظائف:

مثال 4.

تظل صيغة التكامل صالحة إذا كان متغير التكامل دالة: if الذي - التي

دالة عشوائية لها مشتقة مستمرة. هذه الخاصية تسمى الثبات.

مثال 5. ، لهذا

مقارنة مع

لا توجد طريقة عالمية للتكامل. سنقدم أدناه بعض الطرق التي تسمح لك بحساب تكامل معين باستخدام الخصائص 1-5 والجدول. 4.1.

4.1.3. التكامل المباشر

تتكون هذه الطريقة من الاستخدام المباشر لتكاملات الجدول والخصائص 4 و5. أمثلة.

4.1.4. طريقة التحلل

تتكون هذه الطريقة من توسيع التكامل إلى مجموعة خطية من الوظائف ذات التكاملات المعروفة بالفعل.

أمثلة.

4.1.5. طريقة الاشتراك في العلامة التفاضلية

لتقليل هذا التكامل إلى تكامل جدولي، من المناسب إجراء تحويلات تفاضلية.

1. إدراج العلامة التفاضلية للدالة الخطية

من هنا
بخاصة، دي إكس = د(خ + ب)،

لا يتغير التفاضل إذا أضفت إلى المتغير

أو طرح قيمة ثابتة. إذا زاد المتغير عدة مرات، يتم ضرب التفاضل في قيمته المتبادلة. أمثلة مع الحلول.

دعونا نتحقق من الصيغ 9* و12* و14* من الجدول. 4.1 باستخدام طريقة تضمين الإشارة التفاضلية:

Q.E.D.

2. إدراج الوظائف الأساسية الأساسية تحت العلامة التفاضلية:

تعليق.يمكن التحقق من الصيغتين 15* و16* عن طريق التمايز (انظر الخاصية 1). على سبيل المثال،

وهذه هي الدالة التكاملية من الصيغة 16*.

4.1.6. طريقة فصل المربع الكامل عن ثلاثية الحدود من الدرجة الثانية

عند دمج التعبيرات مثل أو

فصل مربع كامل عن ثلاثية الحدود من الدرجة الثانية

الفأس 2+ bx+ جومن الممكن اختصارها إلى جداول 12* أو 14* أو 15* أو 16* (انظر الجدول 4.1).

وبما أن هذه العملية بشكل عام تبدو أكثر تعقيدا مما هي عليه في الواقع، فسوف نقتصر على الأمثلة.

أمثلة.

1.

حل.هنا نستخرج المربع الكامل من ثلاثية الحدود من الدرجة الثانية س 2 + 6س+ 9 = (س 2 + 6س+ 9) - 9 + 5 = (س+ 3) 2 - 4، ثم نستخدم طريقة جمع الإشارة التفاضلية.

باستخدام المنطق نفسه، يمكننا حساب التكاملات التالية:

2. 3.

في المرحلة النهائية من التكامل، تم استخدام الصيغة 16*.

4.1.7. طرق التكامل الأساسية

هناك طريقتان من هذا القبيل: طريقة تغيير المتغير، أو الاستبدال، والتكامل بالأجزاء.

طريقة الاستبدال المتغيرة

هناك صيغتان لتغيير متغير في تكامل غير محدد:

1) 2)

هنا، الجوهر هو وظائف رتيبة قابلة للتمييز

متغيراتها.

إن فن تطبيق الطريقة يتمثل بشكل رئيسي في اختيار الدوال بحيث تكون التكاملات الجديدة جدولية أو مختصرة إليها. يجب أن تعود الإجابة النهائية إلى المتغير القديم.

لاحظ أن الاستبدال تحت العلامة التفاضلية هو حالة خاصة لاستبدال المتغير.

أمثلة.

حل.يجب إدخال متغير جديد هناروذلك للتخلص من الجذر التربيعي. هيا نضعس+ 1 = ر،ثم س= ر 2+ 1، وdx = 2 tdt:

حل.استبدال س- 2 لكل ر، نحصل على وحيدة الحد في المقام وبعد القسمة على حد تلو الآخر يتم تقليل التكامل إلى التكامل الجدولي لوظيفة الطاقة:

عند المرور إلى متغير سالصيغ المستخدمة:

طريقة التكامل بالأجزاء

يتم تحديد التفاضل بين منتج وظيفتين بواسطة الصيغة

وبتكامل هذه المساواة (انظر الخاصية 3) نجد:

من هنا هذه هي الصيغة التكامل بواسطة

القطع.

التكامل بالأجزاء يتضمن التمثيل الذاتي للتكامل في النموذج ش . العنف المنزلي,وفي نفس الوقت التكامل ينبغي أن يكون أسهل من وإلا التطبيق

الطريقة لا معنى لها.

لذلك، فإن طريقة التكامل بالأجزاء تفترض القدرة على عزل العوامل من التكامل شو العنف المنزليمع مراعاة المتطلبات المذكورة أعلاه.

نقدم عددًا من التكاملات النموذجية التي يمكن العثور عليها من خلال طريقة التكامل بالأجزاء. 1. تكاملات النموذج

أين ف (س)- متعدد الحدود؛ ك- ثابت. في هذه الحالة ش= ف(س)، و العنف المنزلي- جميع العوامل الأخرى.

مثال 1.

2.تكاملات النوع

وهنا نضع عوامل أخرى.

مثال 2.

مثال 3.
مثال 4.

يمكن التحقق من أي نتيجة عن طريق التمايز. على سبيل المثال، في هذه الحالة

النتيجة صحيحة.

3. تكاملات النموذج

اين ا، ب- مقدار ثابت. خلف شيجب أن تأخذ الفأس، الخطيئة bxأو كوس بكس.

مثال 5.

من هنا نحصل مثال 6.

من هنا

مثال 7.
مثال 8.

حل.هنا تحتاج أولاً إلى إجراء تغيير للمتغير، ثم التكامل بالأجزاء:

مثال 9.
مثال 10.

حل.يمكن العثور على هذا التكامل بنفس النجاح إما عن طريق استبدال المتغير 1 + x 2 = t 2 أو عن طريق التكامل بالأجزاء:

عمل مستقل

تنفيذ التكامل المباشر (1-10).

تطبيق طرق التكامل البسيطة (11-46).

إجراء التكامل باستخدام طرق تغيير المتغير والتكامل بالأجزاء (47-74).

تسمى الدالة F(x) القابلة للتفاضل في فترة معينة X المشتق العكسي للوظيفة f(x)، أو تكامل f(x)، إذا كانت المساواة التالية لكل x ∈X:

F "(x) = f(x).(8.1)

العثور على جميع المشتقات العكسية لدالة معينة يسمى it اندماج. دالة تكاملية غير محددة f(x) في فترة زمنية معينة X هي مجموعة جميع دوال المشتقة العكسية للدالة f(x); تعيين -

إذا كانت F(x) هي مشتق عكسي للدالة f(x)، إذن ∫ f(x)dx = F(x) + C, (8.2)

حيث C هو ثابت تعسفي.

جدول التكاملات

مباشرة من التعريف نحصل على الخصائص الرئيسية للتكامل غير المحدد وقائمة التكاملات الجدولية:

1) د∫f(x)dx=f(x)

2)∫df(x)=f(x)+C

3) ∫af(x)dx=a∫f(x)dx (a=const)

4) ∫(f(x)+g(x))dx = ∫f(x)dx+∫g(x)dx

قائمة التكاملات الجدولية

1. ∫x m dx = x m+1 /(m + 1) +C; (م ≠ -1)

3.∫a x dx = a x /ln a + C (a>0, a ≠1)

4.∫e x dx = e x + C

5.∫sin x dx = cosx + C

6.∫cos x dx = - sin x + C

7. = القطب الشمالي س + C

8. = أركسين س + ج

10. = - ctg x + C

استبدال متغير

لدمج العديد من الوظائف، استخدم طريقة الاستبدال المتغير أو البدائل,مما يسمح لك بتقليل التكاملات إلى شكل جدولي.

إذا كانت الدالة f(z) مستمرة على [α,β]، فإن الدالة z =g(x) لها مشتق مستمر و α ≥ g(x) ≥ β، إذن

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫f(z)dz, (8.3)

علاوة على ذلك، بعد التكامل على الجانب الأيمن، يجب إجراء التعويض z=g(x).

ولإثبات ذلك يكفي كتابة التكامل الأصلي بالصيغة:

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫ f(g(x)) dg(x).

على سبيل المثال:

طريقة التكامل بالأجزاء

دع u = f(x) و v = g(x) تكون دالتين لها استمرارية. ثم حسب العمل

d(uv))= udv + vdu أو udv = d(uv) - vdu.

بالنسبة للتعبير d(uv)، من الواضح أن المشتق العكسي هو uv، وبالتالي فإن الصيغة تحمل:

∫ udv = الأشعة فوق البنفسجية - ∫ vdu (8.4.)

هذه الصيغة تعبر عن القاعدة تكامل اجزاء. إنه يؤدي إلى تكامل التعبير udv=uv"dx مع تكامل التعبير vdu=vu"dx.

لنفترض، على سبيل المثال، أنك تريد العثور على ∫xcosx dx. دعونا نضع u = x، dv = cosxdx، وبالتالي du = dx، v = sinx. ثم

∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x sin x - ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.

إن قاعدة التكامل بالأجزاء لها نطاق محدود أكثر من استبدال المتغيرات. ولكن هناك فئات كاملة من التكاملات، على سبيل المثال،

∫x k ln m xdx، ∫x k sinbxdx، ∫ x k cosbxdx، ∫x k e ax وغيرها، والتي يتم حسابها بدقة باستخدام التكامل بالأجزاء.

تكامل محدد

يتم تقديم مفهوم التكامل المحدد على النحو التالي. دع الدالة f(x) يتم تعريفها على فترة زمنية. دعونا نقسم القطعة [أ، ب] إلى نالأجزاء بالنقاط أ= × 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
Δ س ط = س ط - س ط-1. يسمى مجموع النموذج f(ξ i)Δ x i مجموع لا يتجزأ، ويسمى حدها عند lect = maxΔx i → 0، إذا كان موجودًا ومحدودًا تكامل محددوظائف و (خ) من أقبل بويتم تعيين:

F(ξi)Δxi (8.5).

يتم استدعاء الدالة f(x) في هذه الحالة قابلة للتكامل على الفاصل الزمني، يتم استدعاء الأرقام أ و ب الحدود الدنيا والعليا للتكامل.

الخصائص التالية صحيحة بالنسبة للتكامل المحدد:

4)، (ك = ثابت، ك∈R)؛

5)

6)

7) و(ξ)(ب-أ) (ξ∈).

الخاصية الأخيرة تسمى يعني نظرية القيمة.

دع f(x) يكون مستمرا على . ثم في هذا الجزء يوجد تكامل غير محدد

∫f(x)dx = F(x) + C

ويحدث صيغة نيوتن-لايبنتز، ربط التكامل المحدد بالتكامل غير المحدد:

و(ب) - و(أ). (8.6)

التفسير الهندسي: التكامل المحدد هو مساحة شبه منحرف منحني يحدها من الأعلى المنحنى y=f(x)، والخطوط المستقيمة x = a وx = b وقطعة من المحور ثور.

التكاملات غير الصحيحة

تسمى التكاملات ذات الحدود اللانهائية وتكاملات الدوال المتقطعة (غير المحدودة). ليس بنفسك. التكاملات غير الصحيحة من النوع الأولوهي تكاملات على مدى فترة لا نهائية، محددة على النحو التالي:

(8.7)

فإذا كان هذا الحد موجودا ومتناهيا فإنه يسمى التكامل غير الصحيح المتقارب لـ f(x)على الفترة [a,+ ∞)، وتسمى الدالة f(x). قابلة للتكامل على مدى فترة لا نهائية[أ،+ ∞). وبخلاف ذلك، يقال أن التكامل هو لا وجود لها أو تختلف.

يتم تعريف التكاملات غير الصحيحة على الفترات (-∞,b] و (-∞, + ∞) بشكل مشابه:

دعونا نحدد مفهوم تكامل دالة غير محدودة. إذا كانت f(x) مستمرة لجميع القيم سالقطعة، باستثناء النقطة c، التي يكون عندها f(x) انقطاعًا لا نهائيًا تكامل غير صحيح من النوع الثانيو (خ) تتراوح من أ إلى بالمبلغ يسمى :

إذا كانت هذه الحدود موجودة ومحدودة. تعيين:

أمثلة على الحسابات التكاملية

مثال 3.30.احسب ∫dx/(x+2).

حل.دعونا نشير إلى t = x+2، ثم dx = dt، ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + C = ln|x+2| +ج.

مثال 3.31. ابحث عن ∫ tgxdx.

حل.∫ tgxdx = ∫sinx/cosxdx = - ∫dcosx/cosx. دع t=cosx، ثم ∫ tgxdx = -∫ dt/t = - ln|t| + C = -ln|cosx|+C.

مثال3.32 . أوجد ∫dx/sinx

حل.

مثال3.33. يجد .

حل. = .

مثال3.34 . ابحث عن ∫arctgxdx.

حل. دعونا نتكامل بالأجزاء. دعونا نشير إلى u=arctgx، dv=dx. ثم du = dx/(x 2 +1), v=x, حيث ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; لأن
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.

مثال3.35 . احسب ∫lnxdx.

حل.وبتطبيق صيغة التكامل بالأجزاء نحصل على:
u=lnx, dv=dx, du=1/x dx, v=x. ثم ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1/x dx =
= xlnx - ∫dx + C= xlnx - x + C.

مثال3.36 . احسب ∫e x sinxdx.

حل.دعونا نشير إلى u = e x, dv = sinxdx, ثم du = e x dx, v =∫ sinxdx= - cosx → ∫ e x sinxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx. نقوم أيضًا بدمج التكامل ∫e x cosxdx بالأجزاء: u = e x , dv = cosxdx, du=e x dx, v=sinx. لدينا:
∫ e x cosxdx = e x sinx - ∫ e x sinxdx. لقد حصلنا على العلاقة ∫e x sinxdx = - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx، ومنها 2∫e x sinx dx = - e x cosx + e x sinx + C.

مثال 3.37. احسب J = ∫cos(lnx)dx/x.

حل.بما أن dx/x = dlnx، فإن J= ∫cos(lnx)d(lnx). بالتعويض عن lnx خلال t، نصل إلى جدول التكامل J = ∫ costdt = sint + C = sin(lnx) + C.

مثال 3.38 . احسب J = .

حل.باعتبار أن = d(lnx)، نستبدل lnx = t. ثم ي = .

مثال 3.39 . احسب التكامل J = .

حل.لدينا: . لذلك =
=
=. تم إدخاله بهذه الطريقة: sqrt(tan(x/2)).

وإذا نقرت في نافذة النتائج على "إظهار الخطوات" في الزاوية اليمنى العليا، فستحصل على حل مفصل.

حساب التفاضل والتكامل لا يتجزأ.

دالة مشتقة عكسية.

تعريف: يتم استدعاء الدالة F(x). وظيفة مضادالدالة f(x) على المقطع إذا كانت المساواة صحيحة عند أي نقطة من هذا المقطع:

وتجدر الإشارة إلى أنه يمكن أن يكون هناك عدد لا حصر له من المشتقات العكسية لنفس الوظيفة. وسوف تختلف عن بعضها البعض بعدد ثابت.

ف 1 (س) = ف 2 (س) + ج.

تكامل غير محدد.

تعريف: تكامل غير محددالدالة f(x) هي مجموعة من الدوال المشتقة العكسية التي يتم تحديدها بواسطة العلاقة:

اكتب:

وشرط وجود تكامل غير محدد على قطعة معينة هو استمرارية الدالة على هذه القطعة.

ملكيات:

1.

2.

3.

4.

مثال:

يرتبط العثور على قيمة التكامل غير المحدد بشكل أساسي بإيجاد المشتق العكسي للدالة. بالنسبة لبعض الوظائف، تعد هذه مهمة صعبة للغاية. سننظر أدناه في طرق إيجاد التكاملات غير المحددة للفئات الرئيسية للدوال - العقلانية، وغير العقلانية، والمثلثية، والأسية، وما إلى ذلك.

للراحة، يتم جمع قيم التكاملات غير المحددة لمعظم الوظائف الأولية في جداول تكاملات خاصة، والتي تكون في بعض الأحيان ضخمة جدًا. وهي تشمل مجموعات مختلفة شائعة الاستخدام من الوظائف. لكن معظم الصيغ المقدمة في هذه الجداول هي نتيجة لبعضها البعض، لذا نقدم أدناه جدولًا للتكاملات الأساسية، والذي يمكنك من خلاله الحصول على قيم التكاملات غير المحددة للوظائف المختلفة.

أساسي		معنى	أساسي		معنى
		ln=sinx+C
		ln

طرق التكامل.

دعونا نفكر في ثلاث طرق رئيسية للتكامل.

التكامل المباشر.

تعتمد طريقة التكامل المباشر على افتراض القيمة المحتملة لوظيفة المشتق العكسي مع مزيد من التحقق من هذه القيمة عن طريق التمايز. بشكل عام، نلاحظ أن التمايز أداة قوية للتحقق من نتائج التكامل.

ولننظر إلى تطبيق هذه الطريقة باستخدام مثال:

علينا إيجاد قيمة التكامل . استنادا إلى صيغة التمايز المعروفة
يمكننا أن نستنتج أن التكامل المطلوب يساوي
، حيث C هو عدد ثابت. ولكن من ناحية أخرى
. وهكذا يمكننا أن نستنتج أخيرا:

لاحظ أنه على عكس التمايز، حيث تم استخدام تقنيات وطرق واضحة للعثور على المشتقة، وقواعد إيجاد المشتقة، وأخيرا تعريف المشتقة، فإن مثل هذه الطرق غير متاحة للتكامل. إذا استخدمنا، إذا جاز التعبير، عند العثور على المشتق، طرقًا بناءة، والتي أدت إلى النتيجة بناءً على قواعد معينة، فعند العثور على المشتق العكسي علينا أن نعتمد بشكل أساسي على معرفة جداول المشتقات والمشتقات العكسية.

أما بالنسبة لطريقة التكامل المباشر، فهي قابلة للتطبيق فقط على بعض فئات محدودة جدًا من الوظائف. هناك عدد قليل جدًا من الوظائف التي يمكنك العثور على مشتق عكسي لها على الفور. ولذلك، في معظم الحالات، يتم استخدام الطرق الموضحة أدناه.

طريقة الاستبدال (استبدال المتغيرات).

نظرية: إذا كنت بحاجة إلى العثور على التكامل
، ولكن من الصعب العثور على المشتق العكسي، ثم باستخدام الاستبدال x = (t) و dx = (t)dt نحصل على:

دليل : دعونا نفرق بين المساواة المقترحة:

وفقًا للخاصية رقم 2 للتكامل غير المحدد الذي تمت مناقشته أعلاه:

F(س) dx = F[  (ر)]  (ر) dt

والذي، مع الأخذ بعين الاعتبار التدوين المقدم، هو الافتراض الأولي. لقد تم إثبات النظرية.

مثال.أوجد التكامل غير المحدد
.

دعونا نجعل بديلا ر = com.sinx, dt = com.cosxdt.

مثال.

إستبدال
نحن نحصل:

سننظر أدناه في أمثلة أخرى لاستخدام طريقة الاستبدال لأنواع مختلفة من الوظائف.

تكامل اجزاء.

تعتمد الطريقة على الصيغة المعروفة لمشتق المنتج:

(uv) = uv + vu

حيث u و v هما بعض وظائف x.

في الشكل التفاضلي: d(uv) = udv + vdu

بالتكامل نحصل على:
، ووفقًا للخصائص المذكورة أعلاه للتكامل غير المحدد:

أو
;

لقد حصلنا على صيغة التكامل بالأجزاء، والتي تتيح لنا إيجاد تكاملات العديد من الدوال الأولية.

مثال.

كما ترون، فإن التطبيق المتسق لصيغة التكامل بالأجزاء يسمح لك بتبسيط الوظيفة تدريجيًا وإحضار التكامل إلى صيغة جدولية.

مثال.

يمكن ملاحظة أنه نتيجة للتطبيق المتكرر للتكامل بالأجزاء، لا يمكن تبسيط الدالة إلى شكل جدولي. ومع ذلك، فإن التكامل الأخير الذي تم الحصول عليه لا يختلف عن التكامل الأصلي. لذلك، ننقلها إلى الجانب الأيسر من المساواة.

وهكذا تم العثور على التكامل دون استخدام جداول التكاملات على الإطلاق.

قبل أن نفكر بالتفصيل في طرق دمج فئات مختلفة من الوظائف، نقدم عدة أمثلة أخرى لإيجاد التكاملات غير المحددة عن طريق اختزالها إلى تكاملات جدولية.

مثال.

مثال.

مثال.

مثال.

مثال.

مثال.

مثال.

مثال.

مثال.

مثال.

تكامل الكسور الأولية.

تعريف: ابتدائيتسمى الأنواع الأربعة التالية من الكسور:

أنا.
ثالثا.

ثانيا.
رابعا.

م، ن – الأعداد الطبيعية (م  2، ن  2) و ب 2 – 4أ<0.

يمكن ببساطة إحضار النوعين الأولين من تكاملات الكسور الأولية إلى الجدول عن طريق التعويض t = ax + b.

دعونا نفكر في طريقة تكامل الكسور الأولية من النوع الثالث.

يمكن تمثيل جزء التكامل من النوع الثالث على النحو التالي:

هنا، بشكل عام، يظهر اختزال جزء التكامل من النوع الثالث إلى تكاملين جدوليين.

دعونا نلقي نظرة على تطبيق الصيغة أعلاه باستخدام الأمثلة.

مثال.

بشكل عام، إذا كان الفأس الثلاثي 2 + bx + c يحتوي على التعبير b 2 – 4ac >0، فإن الكسر، بحكم التعريف، ليس أوليًا، ومع ذلك، يمكن دمجه بالطريقة المذكورة أعلاه.

مثال.

مثال.

دعونا الآن نفكر في طرق دمج الكسور البسيطة من النوع الرابع.

أولاً، دعونا نفكر في حالة خاصة حيث M = 0، N = 1.

ثم تكامل النموذج
يمكن تمثيلها في النموذج عن طريق اختيار المربع الكامل في المقام
. لنقم بالتحول التالي:

سنأخذ التكامل الثاني المتضمن في هذه المساواة إلى أجزاء.

دعنا نشير إلى:

للحصول على التكامل الأصلي نحصل على:

تسمى الصيغة الناتجة متكرر.إذا قمت بتطبيقه n-1 مرات، فستحصل على جدول متكامل
.

لنعد الآن إلى تكامل الكسر الأولي من النوع الرابع في الحالة العامة.

في المساواة الناتجة، التكامل الأول باستخدام الاستبدال ر = ش 2 + سخفضت إلى جدولي ، ويتم تطبيق صيغة التكرار التي تمت مناقشتها أعلاه على التكامل الثاني.

على الرغم من التعقيد الواضح لدمج جزء أولي من النوع الرابع، فإنه من السهل عمليًا استخدامه للكسور ذات الدرجة الصغيرة ن، وعالمية وعمومية النهج تجعل من الممكن تنفيذ هذه الطريقة بشكل بسيط جدًا على الكمبيوتر.

مثال:

تكامل الوظائف العقلانية.

دمج الكسور العقلانية.

من أجل دمج الكسر العقلاني، من الضروري تحليله إلى كسور أولية.

نظرية: لو
- كسر منطقي مناسب، يتم تمثيل مقامه P(x) كمنتج لعوامل خطية وتربيعية (لاحظ أنه يمكن تمثيل أي كثيرة حدود ذات معاملات حقيقية بهذا الشكل: ص(س) = (س - أ)  …(س - ب)  (س 2 + بكسل + س)  …(س 2 + rx + س)  ) ، فيمكن تحليل هذا الكسر إلى أجزاء أولية وفقًا للمخطط التالي:

حيث A i، B i، M i، N i، R i، S i هي بعض الكميات الثابتة.

عند دمج الكسور النسبية، يلجأون إلى تحليل الكسر الأصلي إلى كسر أولي. للعثور على الكميات A i، B i، M i، N i، R i، S i، ما يسمى طريقة المعاملات غير المؤكدة، وجوهرها هو أنه لكي تكون كثيرات الحدود متساوية بشكل متماثل، فمن الضروري والكافي أن تكون المعاملات عند نفس قوى x متساوية.

دعونا نفكر في استخدام هذه الطريقة باستخدام مثال محدد.

مثال.

بالاختزال إلى قاسم مشترك ومساواة البسطين المقابلين، نحصل على:

مثال.

لأن إذا كان الكسر غير صحيح، فيجب عليك أولاً تحديد الجزء بأكمله:

6× 5 - 8x 4 - 25x 3 + 20x 2 - 76x - 7 3x 3 - 4x 2 - 17x + 6

6x 5 – 8x 4 – 34x 3 + 12x 2 2x 2 + 3

9x 3 + 8x 2 - 76x - 7

9x3 – 12x2 – 51x +18

20x2 – 25x – 25

دعونا نحلل مقام الكسر الناتج. يمكن ملاحظة أنه عند x = 3 يتحول مقام الكسر إلى الصفر. ثم:

3x 3 - 4x 2 - 17x + 6 x - 3

3x 3 - 9x 2 3x 2 + 5x - 2

إذن 3x 3 – 4x 2 – 17x + 6 = (x – 3)(3x 2 + 5x – 2) = (x – 3)(x + 2)(3x – 1). ثم:

من أجل تجنب فتح الأقواس، وتجميع وحل نظام المعادلات (والتي قد تكون كبيرة جدًا في بعض الحالات) عند العثور على معاملات غير مؤكدة، ما يسمى طريقة القيمة التعسفية. جوهر الطريقة هو أنه يتم استبدال العديد من القيم التعسفية لـ x (وفقًا لعدد المعاملات غير المحددة) في التعبير أعلاه. لتبسيط الحسابات، من المعتاد أن تؤخذ كقيم تعسفية النقاط التي يكون عندها مقام الكسر يساوي الصفر، أي. في حالتنا - 3، -2، 1/3. نحن نحصل:

وأخيرا نحصل على:

=

مثال.

لنجد المعاملات غير المحددة:

ثم قيمة التكامل المعطى:

التكامل بين بعض المثلثات

المهام.

يمكن أن يكون هناك عدد لا نهائي من التكاملات من الدوال المثلثية. لا يمكن حساب معظم هذه التكاملات تحليليًا على الإطلاق، لذلك سننظر في بعض أهم أنواع الدوال التي يمكن تكاملها دائمًا.

جزء لا يتجزأ من النموذج
.

هنا R هو تعيين بعض الوظائف العقلانية للمتغيرين sinx وcosx.

يتم حساب التكاملات من هذا النوع باستخدام الاستبدال
. يتيح لك هذا الاستبدال تحويل دالة مثلثية إلى دالة عقلانية.

,

ثم

هكذا:

يسمى التحول الموصوف أعلاه الاستبدال المثلثي العالمي.

مثال.

الميزة التي لا شك فيها لهذا الاستبدال هي أنه بمساعدته يمكنك دائمًا تحويل دالة مثلثية إلى دالة عقلانية وحساب التكامل المقابل. وتشمل العيوب حقيقة أن التحول يمكن أن يؤدي إلى وظيفة عقلانية معقدة إلى حد ما، والتي سيستغرق تكاملها الكثير من الوقت والجهد.

ومع ذلك، إذا كان من المستحيل تطبيق استبدال أكثر عقلانية للمتغير، فإن هذه الطريقة هي الطريقة الفعالة الوحيدة.

مثال.

جزء لا يتجزأ من النموذج
لو

وظيفةرcom.cosx.

على الرغم من إمكانية حساب مثل هذا التكامل باستخدام الاستبدال المثلثي العالمي، فمن الأكثر عقلانية استخدام الاستبدال ر = com.sinx.

وظيفة
يمكن أن تحتوي على cosx فقط في القوى الزوجية، وبالتالي يمكن تحويلها إلى دالة عقلانية فيما يتعلق بـ sinx.

مثال.

بشكل عام، لتطبيق هذه الطريقة، من الضروري فقط غرابة الوظيفة بالنسبة إلى جيب التمام، ويمكن أن تكون درجة الجيب المضمنة في الوظيفة أي عدد صحيح أو كسري.

جزء لا يتجزأ من النموذج
لو

وظيفةرأمر غريب بالنسبة لcom.sinx.

وقياسا على الحالة المذكورة أعلاه، يتم إجراء الاستبدال ر = com.cosx.

مثال.

جزء لا يتجزأ من النموذج

وظيفةرحتى نسبياcom.sinxوcom.cosx.

لتحويل الدالة R إلى دالة نسبية، استخدم التعويض

ر = تغكس.

مثال.

تكامل منتج الجيب وجيب التمام

الحجج المختلفة.

اعتمادًا على نوع العمل، سيتم تطبيق إحدى الصيغ الثلاث:

مثال.

مثال.

في بعض الأحيان، عند دمج الدوال المثلثية، يكون من المناسب استخدام الصيغ المثلثية المعروفة لتقليل ترتيب الدوال.

مثال.

مثال.

في بعض الأحيان يتم استخدام بعض التقنيات غير القياسية.

مثال.

تكامل بعض الوظائف غير العقلانية.

لا يمكن أن يكون لكل وظيفة غير عقلانية تكامل يتم التعبير عنه بالوظائف الأولية. للعثور على تكامل دالة غير عقلانية، يجب عليك استخدام الاستبدال الذي سيسمح لك بتحويل الدالة إلى دالة عقلانية، والتي يمكن دائمًا العثور على تكاملها، كما هو معروف دائمًا.

دعونا نلقي نظرة على بعض التقنيات لدمج أنواع مختلفة من الوظائف غير العقلانية.

جزء لا يتجزأ من النموذج
أينن- عدد طبيعي.

باستخدام الاستبدال
يتم ترشيد الوظيفة.

مثال.

إذا كان تكوين دالة غير عقلانية يتضمن جذورًا بدرجات مختلفة، فمن المنطقي كمتغير جديد أخذ جذر درجة مساوية للمضاعف المشترك الأصغر لدرجات الجذور المضمنة في التعبير.

دعونا نوضح هذا بمثال.

مثال.

تكامل الفروق ذات الحدين.

تعريف. طريقة التكامل، حيث يتم تقليل تكامل معين إلى واحد أو أكثر من تكاملات الجدول عن طريق التحويلات المتماثلة للتكامل (أو تعبير التكامل) وتطبيق خصائص التكامل غير المحدد التكامل المباشر .

في كثير من الأحيان، أثناء التكامل المباشر، يتم استخدام التحويلات التفاضلية التالية (عملية "الدخول تحت العلامة التفاضلية"):

على سبيل المثال. 1) ;

عند حساب هذه التكاملات، استخدمنا الصيغتين 1 و 2 من جدول التكاملات الموضح أدناه.

جدول التكاملات الأساسية غير المحددة.

1. طريقة التكامل بالاستبدال (الإحلال المتغير).

تتضمن طريقة التكامل بالاستبدال إدخال متغير تكامل جديد. في هذه الحالة، يتم تقليل التكامل المحدد إلى تكامل جديد، والذي يكون جدوليًا أو قابلاً للاختزال إليه.

تعتمد طريقة التكامل هذه على النظرية التالية:

نظرية.دع الدالة f(x) يتم تمثيلها بالشكل: f(x)=g(j(x))×j¢(x)، ثم إذا كان G(u) مشتق عكسي لـ g(u)، فإن G( j(x)) مشتق عكسي من g(j(x)). أي أن هناك مساواة : .

على سبيل المثال.

1. طريقة التكامل بالأجزاء

يتكون التكامل بالأجزاء من تمثيل تكامل بعض التكامل كمنتج لعاملين u وdv، ثم استخدام صيغة التكامل بالأجزاء.

نظريةدع الدالتين u(x) وv(x) قابلتين للاشتقاق، ثم تحمل الصيغة:

بما أن uˈ(x)dx=du, vˈ(x)dx=dv، يمكن إعادة كتابة الصيغة على النحو التالي:

على سبيل المثال.

يمكن استخدام صيغة التكامل بالأجزاء عدة مرات أثناء عملية الحل.

على سبيل المثال

على سبيل المثال

دعنا ننتقل من الجانب الأيمن من المساواة إلى اليسار:

بعض أنواع التكاملات التي يسهل حسابها باستخدام طريقة التكامل بالأجزاء:

; ; ، حيث P(x) هي كثيرة الحدود في x، k هو رقم معين	u=P(x), dv – عوامل أخرى
; ; ; ;	dv=P(x)dx, u – جميع العوامل الأخرى
; ، حيث a وb بعض الأرقام	, دف – عوامل أخرى

1. دمج الكسور العقلانية.

تعريف عاقِل سوف نسمي الكسور من النموذج حيث P n (x)، Q m (x) هي متعددات الحدود من الدرجة n وmth، على التوالي، في x. تتضمن أبسط الكسور المنطقية كسورًا من أربعة أنواع:

حيث A وa هما عددان حقيقيان، وهو أبسط كسر أولاًيكتب؛

– جزء بسيط ثانيةيكتب؛

– جزء بسيط ثالثيكتب؛

– جزء بسيط الرابعيكتب.

دعونا نفكر في تكامل الكسور من الأنواع الثلاثة الأولى.

3) يتم تكامل الكسر الأبسط من النوع الثالث على مرحلتين. دعونا نلقي نظرة على عملية التكامل باستخدام مثال.

(نختار مشتق المقام في البسط لإدخاله لاحقًا تحت علامة التفاضل: (x 2 +2x+3)¢=2x+2)

تعريفتسمى الكسور المنطقية صحيح إذا كانت درجة كثيرة الحدود في البسط أقل من درجة كثيرة الحدود في المقام و خطأ إذا كانت درجة كثيرة الحدود في البسط أكبر من أو تساوي درجة كثيرة الحدود في المقام.

في حالة وجود كسر منطقي غير صحيح، فمن الممكن عزل الجزء بأكمله. للقيام بذلك، يتم تقسيم كثيرة الحدود من البسط مع الباقي على كثيرة الحدود في المقام. سيكون حاصل القسمة الناتج هو الجزء الصحيح، والباقي سيكون بسط الكسر العقلاني المناسب الجديد. على سبيل المثال، لنحدد الجزء بأكمله: .

وبالتالي، فإن تكامل الكسور النسبية في كلتا الحالتين يعود إلى تكامل الكسر النسبي المناسب، والذي ليس دائمًا أبسط كسر كسري لأحد الأنواع الأربعة.

دعونا نفكر في بعض كثيرات الحدود Q(x). دع الرقم a هو جذر كثير الحدود هذا، ثم Q(x)=(x-a)Q 1 (x)، حيث Q 1 (x) كثير الحدود من الدرجة 1 أقل من درجة Q(x). يمكن أن يكون الرقم a جذرًا للتعددية k، ثم Q(x) = (x-a) إلى Q 2 (x)، حيث Q 2 (x) متعدد الحدود من الدرجة k أقل من درجة Q(x). بالإضافة إلى ذلك، يمكن أن يكون لمتعدد الحدود Q(x)، إلى جانب الجذور الحقيقية، جذر معقد a+bi، وبالتالي فإن العدد المركب a-bi سيكون أيضًا جذرًا لـ Q(x). في هذه الحالة، Q(x)=(x 2 +px+q)Q 3 (x)، حيث x 2 +px+q=(x-(a+bi))(x-(a-bi)). إذا كانت الأعداد المركبة المشار إليها هي جذور التعدد m، إذن Q(x)=(x 2 +px+q) m Q 4 (x).

وبالتالي، يمكن تمثيل أي كثيرة الحدود Q(x) على النحو التالي:

Q(x)=(x-a 1) إلى 1 (x-a 2) إلى 2 ...(x-a n) k n (x 2 +p 1 x+q 1) m 1 (x 2 +p 2 x+ q 2) m 2 …(x 2 +p s x+q s) m s.

نظرية.يمكن تمثيل أي كسر نسبي مناسب كمجموع لأبسط الكسور المنطقية من الأنواع 1-4.

على سبيل المثال.لنفكر في خوارزمية لتمثيل كسر منطقي مناسب كمجموع أبسط الكسور المنطقية من الأنواع 1-4.

بما أن مقامات الكسور متساوية، فمن الواضح أن البسطين يجب أن يكونوا متساوين أيضًا، وهذه المساواة ممكنة إذا كانت المعاملات متساوية لنفس قوى x. وبالتالي استبدال قيمها بدلاً من المعاملات غير المحددة A، B، C: .

على سبيل المثالأوجد التكامل.

التكامل هو جزء عقلاني غير صحيح. وبعد قسمة البسط على المقام مع الباقي نحصل على: .

دعونا نحلل الكسر الصحيح إلى أبسط كسوره باستخدام طريقة المعاملات غير المحددة:

ويترتب على ذلك حل نظام المعادلات الخطية الناتج، نحصل على إذن، أي =؛

سنجدها بشكل منفصل

هكذا، .

1. تكامل الدوال المثلثية.

1. فليكن من الضروري العثور على حيث R هي بعض الوظائف

عند العثور على مثل هذه التكاملات، غالبًا ما يكون من المفيد استخدام التعويض المثلثي الشامل: . بمساعدتها، يمكنك دائمًا الانتقال من تكامل دالة مثلثية إلى تكامل دالة كسرية:

Х=2arctgt, .

2. إذا كانت الدالة R(sinx, cosx) غريبة بالنسبة إلى sinx، أي R(-sinx, cosx)=- R(sinx, cosx)، فاستخدم الاستبدال cosx=t;

3. إذا كانت الدالة R(sinx, cosx) غريبة بالنسبة لـ cosx، أي R(sinx, -cosx)=- R(sinx, cosx)، فاستخدم الاستبدال sinx=t;

4. إذا كانت الدالة R(sinx, cosx) زوجية بالنسبة إلى sinx وcosx، أي R(-sinx, -cosx)=R(sinx, cosx)، فاستخدم الاستبدال tgx=t; وينطبق نفس الاستبدال في حالة .

على سبيل المثال.

على سبيل المثالأوجد التكامل. التكامل زوجي بالنسبة لـ sinx، ثم نستخدم التعويض tgx=t.

5. للعثور على تكاملات النموذج، استخدم التقنيات التالية:

أ) إذا كان n عددًا صحيحًا موجبًا فرديًا، فاستخدم الاستبدال sinx=t؛

ب) إذا كان m عددًا صحيحًا موجبًا فرديًا، فاستخدم الاستبدال сosx=t؛

ج) إذا كان m وn أعدادًا صحيحة غير سالبة، فسيتم استخدام صيغ تخفيض الترتيب؛ ; ;

د) إذا كان m+n عددًا صحيحًا سالبًا، فاستخدم الاستبدال tgx=t.

على سبيل المثال. .

على سبيل المثال.. ; يتم اختزالها إلى تكاملات الدوال المثلثية باستخدام البدائل التالية:

أ) للتكامل، التعويض x=a×sint؛

ب) للتكامل، التعويض x=a×tgt؛

ج) للتكامل والاستبدال .

لا يمكننا دائمًا حساب دوال الاشتقاق العكسي، لكن يمكن حل مشكلة التمايز لأي دالة. ولهذا السبب لا توجد طريقة تكامل واحدة يمكن استخدامها لأي نوع من العمليات الحسابية.

في هذه المادة، سنلقي نظرة على أمثلة لحل المشكلات المتعلقة بإيجاد التكامل غير المحدد، ونرى ما هي أنواع التكاملات المناسبة لكل طريقة.

Yandex.RTB RA-A-339285-1

طريقة التكامل المباشر

الطريقة الرئيسية لحساب دالة المشتق العكسي هي التكامل المباشر. يعتمد هذا الإجراء على خصائص التكامل غير المحدد، ولإجراء الحسابات نحتاج إلى جدول المشتقات العكسية. يمكن للطرق الأخرى أن تساعد فقط في تحويل التكامل الأصلي إلى شكل جدولي.

مثال 1

احسب مجموعة المشتقات العكسية للدالة f (x) = 2 x + 3 2 · 5 x + 4 3 .

حل

أولًا، لنغير شكل الدالة إلى f (x) = 2 x + 3 2 5 x + 4 3 = 2 x + 3 2 5 x + 4 1 3.

نحن نعلم أن تكامل مجموع الدوال سيكون مساوياً لمجموع هذه التكاملات، مما يعني:

∫ f (x) د x = ∫ 3 2 5 x + 4 3 = 2 x + 3 2 5 x + 4 1 3 d x = ∫ 3 2 5 x + 4 1 3 d x

نشتق المعامل العددي خلف علامة التكامل:

∫ f (x) d x = ∫ 2 x d x + ∫ 3 2 (5 x + 4) 1 3 d x = = ∫ 2 x d x + 2 3 ∫ (5 x + 4) 1 3 d x

للعثور على التكامل الأول، سنحتاج إلى الرجوع إلى جدول المشتقات العكسية. نأخذ منها القيمة ∫ 2 x d x = 2 x ln 2 + C 1

للعثور على التكامل الثاني، ستحتاج إلى جدول المشتقات العكسية لدالة القوة ∫ x p · d x = x p + 1 p + 1 + C ، بالإضافة إلى القاعدة ∫ f k · x + b d x = 1 k · F (k · س + ب) + ج .

لذلك، ∫ f (x) d x = ∫ 2 x d x + 3 2 ∫ 5 x + 4 1 3 d x = = 2 x ln 2 + C 1 + 3 2 3 20 (5 x + 4) 4 3 + C 2 = = 2 × ln 2 + 9 40 5 x + 4 4 3 + C

حصلنا على ما يلي:

∫ f (x) d x = ∫ 2 x d x + 3 2 ∫ 5 x + 4 1 3 d x = = 2 x ln 2 + C 1 + 3 2 3 20 (5 x + 4) 4 3 + C 2 = = 2 x لن 2 + 9 40 5 س + 4 4 3 + ج

مع ج = ج 1 + 3 2 ج 2

إجابة:∫ f (x) d x = 2 x ln 2 + 9 40 5 x + 4 4 3 + C

لقد خصصنا مقالة منفصلة للتكامل المباشر باستخدام جداول المشتقات العكسية. ننصحك بالتعرف عليه.

طريقة الاستبدال

تتمثل طريقة التكامل هذه في التعبير عن التكامل من خلال متغير جديد تم إدخاله خصيصًا لهذا الغرض. ونتيجة لذلك، يجب أن نحصل على شكل جدولي للتكامل أو ببساطة تكامل أقل تعقيدًا.

هذه الطريقة مفيدة جدًا عندما تحتاج إلى دمج الدوال مع الجذور أو الدوال المثلثية.

مثال 2

أوجد التكامل غير المحدد ∫ 1 x 2 x - 9 d x .

حل

دعونا نضيف متغير آخر z = 2 x - 9 . الآن نحن بحاجة إلى التعبير عن x بدلالة z:

ض 2 = 2 س - 9 ⇒ x = ض 2 + 9 2 ⇒ د x = د ض 2 + 9 2 = ض 2 + 9 2 " د ض = 1 2 ض د ض = ض د ض

∫ د × × 2 × - 9 = ∫ د ض ض 2 + 9 2 · ض = 2 ∫ د ض ض 2 + 9

نأخذ جدول المشتقات العكسية ونكتشف أن 2 ∫ d z z 2 + 9 = 2 3 a r c t g z 3 + C .

الآن علينا العودة إلى المتغير x والحصول على الإجابة:

2 3 أ ر ج ر ز 3 + ج = 2 3 أ ر ج ر ز 2 س - 9 3 + ج

إجابة:∫ 1 x 2 x - 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C .

إذا كان علينا دمج الوظائف مع اللاعقلانية في النموذج x m (a + b x n) p، حيث القيم m، n، p هي أرقام منطقية، فمن المهم صياغة تعبير بشكل صحيح لإدخال متغير جديد. اقرأ المزيد عن هذا في مقالة دمج الوظائف غير العقلانية.

كما قلنا أعلاه، فإن طريقة الاستبدال ملائمة للاستخدام عندما تحتاج إلى دمج دالة مثلثية. على سبيل المثال، باستخدام الاستبدال الشامل، يمكنك تقليل التعبير إلى شكل كسري.

تشرح هذه الطريقة قاعدة التكامل ∫ f (k · x + b) d x = 1 k · F (k · x + b) + C .

نضيف متغير آخر z = k x + b. نحصل على ما يلي:

س = ض ك - ب ك ⇒ د س = د ض ك - ب ك = ض ك - ب ك " د ض = د ض ك

الآن نأخذ التعبيرات الناتجة ونضيفها إلى التكامل المحدد في الشرط:

∫ f (k x + b) d x = ∫ f (z) d z k = 1 k ∫ f (z) d z = = 1 k F z + C 1 = F (z) k + C 1 k

إذا قبلنا C 1 k = C ورجعنا إلى المتغير الأصلي x، فسنحصل على:

F (ض) ك + ج 1 ك = 1 ك ف ك س + ب + ج

طريقة الاشتراك في العلامة التفاضلية

تعتمد هذه الطريقة على تحويل التكامل إلى دالة بالشكل f (g (x)) d (g (x)). بعد ذلك، نقوم بإجراء الاستبدال عن طريق إدخال متغير جديد z = g (x)، وإيجاد المشتق العكسي له والعودة إلى المتغير الأصلي.

∫ f (g (x)) d (g (x)) = g (x) = z = ∫ f (z) d (z) = = F (z) + C = z = g (x) = F ( ز(خ)) + ج

لحل المسائل بشكل أسرع باستخدام هذه الطريقة، احتفظ بجدول المشتقات في شكل تفاضلات وجدول المشتقات العكسية في متناول اليد للعثور على التعبير الذي يجب اختزال التكامل إليه.

دعونا نحلل مسألة نحتاج فيها إلى حساب مجموعة المشتقات العكسية لدالة ظل التمام.

مثال 3

احسب التكامل غير المحدد ∫ c t g x d x .

حل

دعونا نحول التعبير الأصلي تحت التكامل باستخدام الصيغ المثلثية الأساسية.

ج t g x d x = cos s d x sin x

ننظر إلى جدول المشتقات ونرى أنه يمكن إدراج البسط تحت العلامة التفاضلية cos x d x = d (sin x)، وهو ما يعني:

c t g x d x = cos x d x sin x = d sin x sin x، أي. ∫ c t g x d x = ∫ d sin x sin x .

لنفترض أن sin x = z، في هذه الحالة ∫ d sin x sin x = ∫ d z z. وفقًا لجدول المشتقات العكسية، ∫ d z z = ln z + C . لنعد الآن إلى المتغير الأصلي ∫ d z z = ln z + C = ln sin x + C .

يمكن كتابة الحل بأكمله بإيجاز على النحو التالي:

∫ с t g x d x = ∫ cos x d x sin x = ∫ d sin x sin x = s i n x = t = = ∫ d t t = ln t + C = t = sin x = ln sin x + C

الإجابة: ∫ c t g x d x = ln sin x + C

غالبًا ما يتم استخدام طريقة الاشتراك في العلامة التفاضلية عمليًا، لذا ننصحك بقراءة مقال منفصل مخصص لها.

طريقة التكامل بالأجزاء

تعتمد هذه الطريقة على تحويل التكامل إلى منتج بالشكل f (x) d x = u (x) v " x d x = u (x) d (v (x))، وبعد ذلك الصيغة ∫ u (x) d ( v (x)) = u (x) · v (x) - ∫ v (x) · d u (x).هذه طريقة حل مريحة وشائعة للغاية. في بعض الأحيان، يجب تطبيق التكامل الجزئي في مشكلة واحدة عدة مرات قبل الحصول على النتيجة المرجوة.

دعونا نحلل مسألة نحتاج فيها إلى حساب مجموعة المشتقات العكسية لظل القطب الشمالي.

مثال 4

احسب التكامل غير المحدد ∫ a r c t g (2 x) d x .

حل

لنفترض أن u (x) = a r c t g (2 x)، d (v (x)) = d x، في هذه الحالة:

d (u (x)) = u " (x) d x = a r c t g (2 x) " d x = 2 d x 1 + 4 x 2 v (x) = ∫ d (v (x)) = ∫ d x = x

عندما نحسب قيمة الدالة v (x)، يجب ألا نضيف ثابتًا عشوائيًا C.

∫ a r c t g (2 x) d x = u (x) v (x) - ∫ v (x) d (u (x)) = = x a r c t g (2 x) - ∫ 2 x d x 1 + 4 x 2

نحسب التكامل الناتج باستخدام طريقة تضمين الإشارة التفاضلية.

بما أن ∫ a r c t g (2 x) d x = u (x) · v (x) - ∫ v (x) d (u (x)) = x · a r c t g (2 x) - ∫ 2 x d x 1 + 4 x 2 , إذن 2 x د x = 1 4 د (1 + 4 x 2) .

∫ a r c t g (2 x) d x = x · a r c t g (2 x) - ∫ 2 x d x 1 + 4 x 2 = = x · a r c t g (2 x) - 1 4 ln 1 + 4 x 2 + C 1 = = x · a r c t g (2x) - 1 4 l 1 + 4 x 2 + C

إجابة:∫ a r c t g (2 x) d x = x · a r c t g (2 x) - 1 4 ln 1 + 4 x 2 + C .

تكمن الصعوبة الرئيسية في استخدام هذه الطريقة في الحاجة إلى اختيار الجزء الذي يجب اعتباره التفاضل والجزء الذي يمثل الدالة u (x). تقدم المقالة الخاصة بطريقة التكامل بالأجزاء بعض النصائح حول هذه المشكلة والتي يجب أن تتعرف عليها.

إذا أردنا إيجاد مجموعة المشتقات العكسية لدالة كسرية، فيجب علينا أولًا تمثيل التكامل كمجموع كسور بسيطة، ثم دمج الكسور الناتجة. لمزيد من المعلومات، راجع مقالة تكامل الكسور البسيطة.

إذا قمنا بدمج تعبير قوة بالشكل sin 7 x · d x أو d x (x 2 + a 2) 8، فسنستفيد من صيغ التكرار التي يمكنها خفض القوة تدريجيًا. يتم اشتقاقها باستخدام التكامل المتكرر المتسلسل بالأجزاء. نوصي بقراءة المقال "التكامل باستخدام صيغ التكرار.

دعونا نلخص. لحل المسائل من المهم جداً معرفة طريقة التكامل المباشر. تتيح لك الطرق الأخرى (الاستبدال، الاستبدال، التكامل بالأجزاء) أيضًا تبسيط التكامل وإحضاره إلى شكل جدول.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter