একটি অ-ঋণাত্মক সংখ্যার মডুলাস একটি অ-ঋণাত্মক সংখ্যা। গণিত পরীক্ষা: ধনাত্মক এবং নেতিবাচক সংখ্যা, সংখ্যা মডিউল

একটি বিশেষ সংখ্যা হিসাবে, এটির কোন চিহ্ন নেই।

নম্বর লেখার উদাহরণ: + 36, 6; − 273; 142। (\ ডিসপ্লেস্টাইল +36(,)6;\ (-)273;\ 142।)শেষ সংখ্যাটির কোন চিহ্ন নেই এবং তাই ইতিবাচক।

এটা লক্ষ করা উচিত যে যোগ এবং বিয়োগ সংখ্যার জন্য চিহ্ন নির্দেশ করে, কিন্তু আক্ষরিক ভেরিয়েবল বা বীজগাণিতিক রাশির জন্য নয়। উদাহরণস্বরূপ, সূত্রে − t; a+b; − (a 2 + b 2) (\displaystyle -t;\ a+b;\ -(a^(2)+b^(2)))প্লাস এবং বিয়োগ চিহ্নগুলি পূর্ববর্তী অভিব্যক্তির চিহ্নটি নির্দিষ্ট করে না, তবে গাণিতিক ক্রিয়াকলাপের চিহ্ন, তাই ফলাফলের চিহ্ন যেকোনও হতে পারে; অভিব্যক্তিটি মূল্যায়ন করার পরেই এটি নির্ধারিত হয়।

পাটিগণিত ছাড়াও, একটি চিহ্নের ধারণা গণিতের অন্যান্য শাখায় ব্যবহৃত হয়, অ-সংখ্যাসূচক গাণিতিক বস্তুর জন্য (নীচে দেখুন)। চিহ্নের ধারণাটি পদার্থবিজ্ঞানের সেই শাখাগুলিতেও গুরুত্বপূর্ণ যেখানে ভৌত পরিমাণগুলিকে দুটি শ্রেণীতে বিভক্ত করা হয়, যাকে প্রচলিতভাবে ধনাত্মক এবং ঋণাত্মক বলা হয় - উদাহরণস্বরূপ, বৈদ্যুতিক চার্জ, ধনাত্মক এবং নেতিবাচক প্রতিক্রিয়া, বিভিন্ন আকর্ষণ এবং বিকর্ষণ শক্তি।

সংখ্যা নিদর্শন

ইতিবাচক এবং নেতিবাচক সংখ্যা

শূন্য কোন চিহ্ন বরাদ্দ করা হয় না, যে + 0 (\ ডিসপ্লেস্টাইল +0)এবং − 0 (\ প্রদর্শনশৈলী -0)- এটি পাটিগণিতের একই সংখ্যা। গাণিতিক বিশ্লেষণে, প্রতীকের অর্থ + 0 (\ ডিসপ্লেস্টাইল +0)এবং − 0 (\ প্রদর্শনশৈলী -0)পরিবর্তিত হতে পারে, এই নেতিবাচক এবং ইতিবাচক শূন্য সম্পর্কে দেখুন; কম্পিউটার বিজ্ঞানে, দুটি শূন্যের কম্পিউটার এনকোডিং (পূর্ণসংখ্যার ধরন) ভিন্ন হতে পারে, সরাসরি কোড দেখুন।

উপরের সাথে সম্পর্কিত, আরও বেশ কিছু দরকারী পদ চালু করা হয়েছে:

• সংখ্যা অ নেতিবাচক, যদি এটি শূন্যের চেয়ে বড় বা সমান হয়।
• সংখ্যা নেতিবাচক, যদি এটি শূন্যের চেয়ে কম বা সমান হয়।
• শূন্য ছাড়া ধনাত্মক সংখ্যা এবং শূন্য ছাড়া ঋণাত্মক সংখ্যা কখনও কখনও (তারা যে শূন্য নয় তা জোর দেওয়ার জন্য) যথাক্রমে "কঠোরভাবে ধনাত্মক" এবং "কঠোরভাবে ঋণাত্মক" বলা হয়।

একই পরিভাষা কখনও কখনও বাস্তব ফাংশন জন্য ব্যবহৃত হয়. যেমন ফাংশন বলা হয় ইতিবাচক, যদি এর সমস্ত মান ইতিবাচক হয়, অ নেতিবাচক, যদি এর সমস্ত মান অ-নেতিবাচক হয়, ইত্যাদি। তারা আরও বলে যে একটি ফাংশন তার সংজ্ঞার একটি নির্দিষ্ট ব্যবধানে ধনাত্মক/নেতিবাচক।

ফাংশন ব্যবহার করার উদাহরণের জন্য, স্কয়ার রুট# জটিল সংখ্যা নিবন্ধটি দেখুন।

একটি সংখ্যার মডুলাস (পরম মান)

সংখ্যা হলে x (\displaystyle x)চিহ্নটি বাতিল করুন, ফলের মানটিকে বলা হয় মডিউলবা পরম মানসংখ্যা x (\displaystyle x), এটা মনোনীত করা হয় | x | . (\displaystyle |x|.)উদাহরণ: | 3 | = 3; | −3 | = 3. (\displaystyle |3|=3;\ |(-3)|=3.)

কোনো বাস্তব সংখ্যার জন্য a, b (\displaystyle a,b)নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্য রাখা.

অ-সংখ্যিক বস্তুর জন্য সাইন ইন করুন

কোণ চিহ্ন

একটি সমতলে একটি কোণের মান ধনাত্মক বলে বিবেচিত হয় যদি এটি ঘড়ির কাঁটার বিপরীতে পরিমাপ করা হয়, অন্যথায় ঋণাত্মক। ঘূর্ণনের দুটি ক্ষেত্রে একইভাবে শ্রেণীবদ্ধ করা হয়েছে:

• একটি সমতলে ঘূর্ণন - উদাহরণস্বরূপ, ঘূর্ণন ঘড়ির কাঁটার দিকে (–90°) ঘটে;
• একটি ওরিয়েন্টেড অক্ষের চারপাশে স্থানের ঘূর্ণনকে সাধারণত ইতিবাচক হিসাবে বিবেচনা করা হয় যদি "জিমলেট নিয়ম" সন্তুষ্ট হয়, অন্যথায় এটি নেতিবাচক হিসাবে বিবেচিত হয়।

দিকনির্দেশক চিহ্ন

বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতি এবং পদার্থবিজ্ঞানে, প্রদত্ত সরলরেখা বা বক্ররেখা বরাবর অগ্রগতিগুলি প্রায়শই প্রচলিতভাবে ধনাত্মক এবং নেতিবাচকভাবে বিভক্ত হয়। এই ধরনের বিভাজন সমস্যার গঠন বা নির্বাচিত স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার উপর নির্ভর করতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, একটি বক্ররেখার চাপের দৈর্ঘ্য গণনা করার সময়, দুটি সম্ভাব্য দিকগুলির মধ্যে একটিতে এই দৈর্ঘ্যে একটি বিয়োগ চিহ্ন নির্ধারণ করা প্রায়ই সুবিধাজনক।

কম্পিউটিং সাইন ইন করুন

সবচেয়ে উল্লেখযোগ্য বিট
0	1	1	1	1	1	1	1	=	127
0	1	1	1	1	1	1	0	=	126
0	0	0	0	0	0	1	0	=	2
0	0	0	0	0	0	0	1	=	1
0	0	0	0	0	0	0	0	=	0
1	1	1	1	1	1	1	1	=	−1
1	1	1	1	1	1	1	0	=	−2
1	0	0	0	0	0	0	1	=	−127
1	0	0	0	0	0	0	0	=	−128
একটি পূর্ণসংখ্যার চিহ্ন উপস্থাপন করতে, বেশিরভাগ কম্পিউটার ব্যবহার করে

পাঠের উদ্দেশ্য

একটি সংখ্যার মডুলাসের মতো একটি গাণিতিক ধারণার সাথে স্কুলছাত্রীদের পরিচয় করিয়ে দেওয়া;
স্কুলছাত্রীদের সংখ্যার মডিউল খোঁজার দক্ষতা শেখানো;
বিভিন্ন কাজ সম্পন্ন করে শেখা উপাদানকে শক্তিশালী করা;

কাজ

সংখ্যার মডুলাস সম্পর্কে শিশুদের জ্ঞানকে শক্তিশালী করা;
পরীক্ষার কাজগুলি সমাধান করে, পরীক্ষা করে দেখুন কিভাবে শিক্ষার্থীরা অধ্যয়নকৃত উপাদানে আয়ত্ত করেছে;
গণিত পাঠে আগ্রহ জাগানো চালিয়ে যান;
স্কুলছাত্রীদের মধ্যে যৌক্তিক চিন্তাভাবনা, কৌতূহল এবং অধ্যবসায় গড়ে তোলা।

পাঠ পরিকল্পনা

1. একটি সংখ্যার মডুলাসের সাধারণ ধারণা এবং সংজ্ঞা।
2. মডিউলের জ্যামিতিক অর্থ।
3. একটি সংখ্যার মডুলাস এবং এর বৈশিষ্ট্য।
4. সমীকরণ এবং অসমতা সমাধান করা যা একটি সংখ্যার মডুলাস ধারণ করে।
5. "একটি সংখ্যার মডুলাস" শব্দটি সম্পর্কে ঐতিহাসিক তথ্য।
6. আচ্ছাদিত বিষয়ের জ্ঞান একত্রিত করার জন্য অ্যাসাইনমেন্ট।
7. বাড়ির কাজ।

একটি সংখ্যার মডুলাস সম্পর্কে সাধারণ ধারণা

একটি সংখ্যার মডুলাসকে সাধারণত সংখ্যা বলা হয় যদি এর একটি ঋণাত্মক মান না থাকে, বা একই সংখ্যা ঋণাত্মক হয়, কিন্তু বিপরীত চিহ্ন সহ।

অর্থাৎ, একটি অ-ঋণাত্মক বাস্তব সংখ্যা a এর মডুলাসটি নিজেই সংখ্যা:

এবং, একটি ঋণাত্মক বাস্তব সংখ্যা x এর মডুলাস হল বিপরীত সংখ্যা:

রেকর্ডিংয়ে এটি দেখতে এরকম হবে:

আরও অ্যাক্সেসযোগ্য বোঝার জন্য, আসুন একটি উদাহরণ দেওয়া যাক। সুতরাং, উদাহরণস্বরূপ, 3 নম্বরের মডুলাসটি 3 এবং -3 নম্বরের মডুলাসটি 3।

এটি থেকে এটি অনুসরণ করে যে একটি সংখ্যার মডুলাস মানে একটি পরম মান, অর্থাৎ এর পরম মান, কিন্তু তার চিহ্নকে বিবেচনা না করেই। আরও সহজভাবে বলতে গেলে, সংখ্যা থেকে চিহ্নটি মুছে ফেলা প্রয়োজন।

একটি সংখ্যার মডিউলকে মনোনীত করা যেতে পারে এবং দেখতে এইরকম: |3|, |x|, |a| ইত্যাদি

সুতরাং, উদাহরণস্বরূপ, 3 নম্বরের মডুলাসটি |3| চিহ্নিত করা হয়।

এছাড়াও, এটি মনে রাখা উচিত যে একটি সংখ্যার মডুলাস কখনই ঋণাত্মক হয় না: |a|≥ 0।

|5| = 5, |-6| = 6, |-12.45| = 12.45, ইত্যাদি

মডিউলের জ্যামিতিক অর্থ

একটি সংখ্যার মডুলাস হল দূরত্ব যা উৎপত্তি থেকে বিন্দু পর্যন্ত একক অংশে পরিমাপ করা হয়। এই সংজ্ঞাটি জ্যামিতিক দৃষ্টিকোণ থেকে মডিউলটিকে প্রকাশ করে।

আসুন একটি স্থানাঙ্ক রেখা নিন এবং এটিতে দুটি বিন্দু নির্ধারণ করি। এই বিন্দুগুলি −4 এবং 2 এর মতো সংখ্যার সাথে মিলিত হোক।

এখন আসুন এই চিত্রে মনোযোগ দিন। আমরা দেখতে পাচ্ছি যে বিন্দু A, স্থানাঙ্ক রেখায় নির্দেশিত, সংখ্যা -4 এর সাথে মিলে যায়, এবং আপনি যদি মনোযোগ সহকারে লক্ষ্য করেন তবে আপনি দেখতে পাবেন যে এই বিন্দুটি রেফারেন্স বিন্দু 0 থেকে 4 ইউনিট অংশের দূরত্বে অবস্থিত। এটি অনুসরণ করে যে OA সেগমেন্টের দৈর্ঘ্য চার ইউনিটের সমান। এই ক্ষেত্রে, OA রেখাংশের দৈর্ঘ্য, অর্থাৎ, 4 নম্বর, সংখ্যা -4 এর মডুলাস হবে।

এই ক্ষেত্রে, একটি সংখ্যার মডিউল এইভাবে নির্দেশিত এবং লেখা হয়: |−4| = 4।

এখন স্থানাঙ্ক রেখার B বিন্দু গ্রহণ করি এবং মনোনীত করি।

এই বিন্দু B +2 সংখ্যার সাথে মিলিত হবে এবং, যেমনটি আমরা দেখি, এটি উৎপত্তি থেকে দুটি একক অংশের দূরত্বে অবস্থিত। এটি থেকে এটি অনুসরণ করে যে OB সেগমেন্টের দৈর্ঘ্য দুটি ইউনিটের সমান। এই ক্ষেত্রে, 2 নম্বরটি +2 নম্বরের মডুলাস হবে।

রেকর্ডিংয়ে এটি দেখতে এরকম হবে: |+2| = 2 বা |2| = 2।

এখন সংক্ষিপ্ত করা যাক। যদি আমরা কিছু অজানা সংখ্যা গ্রহণ করি এবং এটিকে স্থানাঙ্ক রেখায় বিন্দু A হিসাবে মনোনীত করি, তবে এই ক্ষেত্রে বিন্দু A থেকে উৎপত্তি পর্যন্ত দূরত্ব, অর্থাৎ, OA সেগমেন্টের দৈর্ঘ্য, সঠিকভাবে "a" সংখ্যাটির মডুলাস ”

লিখিতভাবে এটি এই মত দেখাবে: |a| = OA.

একটি সংখ্যার মডুলাস এবং এর বৈশিষ্ট্য

এখন মডিউলটির বৈশিষ্ট্যগুলি হাইলাইট করার চেষ্টা করা যাক, সমস্ত সম্ভাব্য ক্ষেত্রে বিবেচনা করুন এবং আক্ষরিক অভিব্যক্তি ব্যবহার করে লিখুন:

প্রথমত, একটি সংখ্যার মডুলাস একটি অ-ঋণাত্মক সংখ্যা, যার অর্থ হল একটি ধনাত্মক সংখ্যার মডুলাস সংখ্যাটিরই সমান: |a| = a, যদি a > 0;

দ্বিতীয়ত, বিপরীত সংখ্যাগুলি নিয়ে গঠিত মডিউলগুলি সমান: |a| = |–a|। অর্থাৎ, এই বৈশিষ্ট্যটি আমাদের বলে যে বিপরীত সংখ্যাগুলির সর্বদা সমান মডিউল থাকে, ঠিক যেমন একটি স্থানাঙ্ক রেখায়, যদিও তাদের বিপরীত সংখ্যা রয়েছে, তারা রেফারেন্স বিন্দু থেকে একই দূরত্বে রয়েছে। এটি থেকে অনুসরণ করে যে এই বিপরীত সংখ্যাগুলির মডিউলগুলি সমান।

তৃতীয়ত, শূন্যের মডুলাস শূন্যের সমান যদি এই সংখ্যাটি শূন্য হয়: |0| = 0 যদি a = 0। এখানে আমরা আত্মবিশ্বাসের সাথে বলতে পারি যে শূন্যের মডুলাস সংজ্ঞা অনুসারে শূন্য, যেহেতু এটি স্থানাঙ্ক রেখার উৎপত্তির সাথে মিলে যায়।

একটি মডুলাসের চতুর্থ বৈশিষ্ট্য হল দুটি সংখ্যার গুণফলের মডুলাস এই সংখ্যার মডিউলির গুণফলের সমান। এখন এর অর্থ কী তা ঘনিষ্ঠভাবে দেখে নেওয়া যাক। যদি আমরা সংজ্ঞাটি অনুসরণ করি, তাহলে আপনি এবং আমি জানি যে a এবং b সংখ্যার গুণফলের মডুলাস হবে a b, অথবা −(a b), যদি a b ≥ 0, অথবা – (a b), যদি a b এর থেকে বড় হয় 0. B রেকর্ডিং এর মত হবে: |a b| = |a| |বি|

পঞ্চম বৈশিষ্ট্য হল সংখ্যার ভাগফলের মডুলাস এই সংখ্যাগুলির মডিউলির অনুপাতের সমান: |a: b| = |a| : |বি|

এবং সংখ্যা মডিউলের নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্য:

একটি সংখ্যার মডুলাস জড়িত সমীকরণ এবং অসমতা সমাধান করা

একটি সংখ্যা মডুলাস আছে এমন সমস্যাগুলি সমাধান করা শুরু করার সময়, আপনার মনে রাখা উচিত যে এই জাতীয় কাজটি সমাধান করার জন্য, এই সমস্যাটির সাথে সম্পর্কিত বৈশিষ্ট্যগুলির জ্ঞান ব্যবহার করে মডুলাসের চিহ্নটি প্রকাশ করা প্রয়োজন।

অনুশীলনী 1

সুতরাং, উদাহরণস্বরূপ, যদি মডিউল চিহ্নের নীচে একটি ভেরিয়েবলের উপর নির্ভর করে এমন একটি অভিব্যক্তি থাকে, তবে সংজ্ঞা অনুসারে মডিউলটি প্রসারিত করা উচিত:

অবশ্যই, সমস্যাগুলি সমাধান করার সময়, এমন কিছু ক্ষেত্রে রয়েছে যখন মডিউলটি অনন্যভাবে প্রকাশিত হয়। যদি, উদাহরণস্বরূপ, আমরা নিতে

, এখানে আমরা দেখতে পাই যে মডুলাস চিহ্নের অধীনে এই ধরনের একটি অভিব্যক্তি x এবং y এর যেকোনো মানের জন্য অ-নেতিবাচক।

অথবা, উদাহরণ স্বরূপ, ধরা যাক

, আমরা দেখতে পাই যে এই মডুলাস এক্সপ্রেশনটি z এর কোনো মানের জন্য ইতিবাচক নয়।

টাস্ক 2

আপনার সামনে একটি স্থানাঙ্ক লাইন দেখানো হয়েছে। এই লাইনে সেই সংখ্যাগুলি চিহ্নিত করা প্রয়োজন যার মডুলাস 2 এর সমান হবে।

সমাধান

প্রথমত, আমাদের অবশ্যই একটি স্থানাঙ্ক রেখা আঁকতে হবে। আপনি ইতিমধ্যেই জানেন যে এটি করার জন্য, প্রথমে সরলরেখায় আপনাকে উত্স, দিক এবং একক বিভাগ নির্বাচন করতে হবে। এর পরে, আমাদের মূল থেকে বিন্দু স্থাপন করতে হবে যা দুটি ইউনিট অংশের দূরত্বের সমান।

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, স্থানাঙ্ক রেখায় এমন দুটি বিন্দু রয়েছে, যার একটি সংখ্যা -2 এর সাথে এবং অন্যটি 2 নম্বরের সাথে মিলে যায়।

সংখ্যার মডুলাস সম্পর্কে ঐতিহাসিক তথ্য

"মডিউল" শব্দটি ল্যাটিন নাম মডুলাস থেকে এসেছে, যার অর্থ "পরিমাপ"। এই শব্দটি ইংরেজ গণিতবিদ রজার কোটস দ্বারা তৈরি করা হয়েছিল। কিন্তু মডুলাস সাইনটি চালু করা হয়েছিল জার্মান গণিতবিদ কার্ল উইয়েরস্ট্রাসকে ধন্যবাদ। যখন লেখা হয়, একটি মডিউল নিম্নলিখিত চিহ্ন ব্যবহার করে চিহ্নিত করা হয়: | |

উপাদান জ্ঞান একীভূত প্রশ্ন

আজকের পাঠে, আমরা একটি সংখ্যার মডুলাসের মতো একটি ধারণার সাথে পরিচিত হয়েছি, এবং এখন আসুন পরীক্ষা করা যাক যে প্রশ্নগুলির উত্তর দিয়ে আপনি এই বিষয়ে কীভাবে আয়ত্ত করেছেন:

1. ধনাত্মক সংখ্যার বিপরীত সংখ্যার নাম কী?
2. ঋণাত্মক সংখ্যার বিপরীত সংখ্যার নাম কী?
3. শূন্যের বিপরীত সংখ্যাটির নাম বল। যেমন একটি সংখ্যা বিদ্যমান?
4. এমন একটি সংখ্যার নাম দিন যা একটি সংখ্যার মডুলাস হতে পারে না।
5. একটি সংখ্যার মডুলাস সংজ্ঞায়িত করুন।

বাড়ির কাজ

1. আপনার সামনে সংখ্যাগুলি রয়েছে যা আপনাকে মডিউলগুলির অবরোহী ক্রমে সাজাতে হবে। আপনি যদি সঠিকভাবে কাজটি সম্পন্ন করেন, তাহলে আপনি সেই ব্যক্তির নাম খুঁজে পাবেন যিনি গণিতে প্রথম "মডিউল" শব্দটি চালু করেছিলেন।

2. একটি স্থানাঙ্ক রেখা আঁকুন এবং M (-5) এবং K (8) থেকে উৎপত্তির দূরত্ব খুঁজুন।

বিষয় > গণিত > গণিত ৬ষ্ঠ শ্রেণী

সংখ্যার মডুলাসএই সংখ্যাটি নিজেই বলা হয় যদি এটি অ-ঋণাত্মক হয়, বা বিপরীত চিহ্ন সহ একই সংখ্যা যদি এটি ঋণাত্মক হয়।

উদাহরণস্বরূপ, 5 নম্বরের মডুলাসটি 5 এবং -5 নম্বরের মডুলাসটিও 5।

অর্থাৎ, একটি সংখ্যার মডুলাসটি পরম মান হিসাবে বোঝা যায়, এর চিহ্নটি বিবেচনা না করে এই সংখ্যাটির পরম মান।

নিম্নরূপ নির্দেশিত: |5|, | এক্স|, |ক| ইত্যাদি

নিয়ম:

ব্যাখ্যা:

|5| = 5
এটি এইরকম পড়ে: 5 নম্বরের মডুলাস 5।

|–5| = –(–5) = 5
এটি এইরকম পড়ে: সংখ্যা -5 এর মডুলাস 5।

|0| = 0
এটি এই মত পড়ে: শূন্যের মডুলাস শূন্য।

মডিউল বৈশিষ্ট্য:

1) একটি সংখ্যার মডুলাস একটি অ ঋণাত্মক সংখ্যা: |ক| ≥ 0 2) বিপরীত সংখ্যার মডিউলগুলি সমান: |ক| = |–ক| 3) একটি সংখ্যার মডুলাসের বর্গ এই সংখ্যাটির বর্গক্ষেত্রের সমান: |ক| 2 = ক 2 4) সংখ্যার গুণফলের মডুলাস এই সংখ্যার মডিউলির গুণফলের সমান: |ক · খ| = |ক| · | খ| 6) ভাগফল সংখ্যার মডুলাস এই সংখ্যাগুলির মডিউলির অনুপাতের সমান: |ক : খ| = |ক| : |খ| 7) সংখ্যার যোগফলের মডুলাস তাদের মডিউলির যোগফলের থেকে কম বা সমান: |ক + খ| ≤ |ক| + |খ| 8) সংখ্যার মধ্যে পার্থক্যের মডুলাস তাদের মডিউলির যোগফলের থেকে কম বা সমান: |ক – খ| ≤ |ক| + |খ| 9) সংখ্যার যোগফল/পার্থক্যের মডুলাস তাদের মডিউলির পার্থক্যের মডুলাসের চেয়ে বড় বা সমান: |ক ± খ| ≥ ||ক| – |খ|| 10) মডুলাস চিহ্ন থেকে একটি ধ্রুবক ধনাত্মক গুণক বের করা যেতে পারে: |মি · ক| = মি · | ক|, মি >0 11) একটি সংখ্যার শক্তি মডুলাস চিহ্ন থেকে বের করা যেতে পারে: |ক k | = | ক| k যদি একটি k থাকে 12) যদি | ক| = |খ|, তারপর ক = ± খ

মডিউলের জ্যামিতিক অর্থ।

একটি সংখ্যার মডুলাস হল শূন্য থেকে সেই সংখ্যার দূরত্ব।

উদাহরণ স্বরূপ, আবার 5 নম্বরটি ধরা যাক। 0 থেকে 5 এর দূরত্ব 0 থেকে –5 (চিত্র 1) এর মতই। এবং যখন আমাদের জন্য শুধুমাত্র সেগমেন্টের দৈর্ঘ্য জানা গুরুত্বপূর্ণ, তখন চিহ্নটির শুধুমাত্র অর্থই নয়, অর্থও রয়েছে। যাইহোক, এটি সম্পূর্ণ সত্য নয়: আমরা দূরত্ব পরিমাপ করি শুধুমাত্র ধনাত্মক সংখ্যা - বা অ-নেতিবাচক সংখ্যা দিয়ে। ধরা যাক আমাদের স্কেলের বিভাজন মূল্য 1 সেমি। তারপর শূন্য থেকে 5 পর্যন্ত অংশটির দৈর্ঘ্য 5 সেমি, শূন্য থেকে –5 পর্যন্ত 5 সেমি।

অনুশীলনে, দূরত্ব প্রায়শই কেবল শূন্য থেকে পরিমাপ করা হয় না - রেফারেন্স পয়েন্ট যে কোনও সংখ্যা হতে পারে (চিত্র 2)। কিন্তু এই সারমর্ম পরিবর্তন না. ফর্মের স্বরলিপি |a – b| বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব প্রকাশ করে কএবং খনম্বর লাইনে।

উদাহরণ 1. সমীকরণটি সমাধান করুন | এক্স – 1| = 3.

সমাধান।

সমীকরণের অর্থ হল বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব এক্সএবং 1 সমান 3 (চিত্র 2)। অতএব, পয়েন্ট 1 থেকে আমরা বাম দিকে তিনটি বিভাগ এবং ডানদিকে তিনটি বিভাগ গণনা করি - এবং আমরা উভয় মানই স্পষ্টভাবে দেখতে পাই এক্স:
এক্স 1 = –2, এক্স 2 = 4.

আমরা এটি গণনা করতে পারি।

│এক্স – 1 = 3
│এক্স – 1 = –3

│এক্স = 3 + 1
│এক্স = –3 + 1

│এক্স = 4
│ এক্স = –2.

উত্তর : এক্স 1 = –2; এক্স 2 = 4.

উদাহরণ 2। এক্সপ্রেশন মডিউল খুঁজুন:

সমাধান।

প্রথমত, অভিব্যক্তিটি ইতিবাচক নাকি নেতিবাচক তা খুঁজে বের করা যাক। এটি করার জন্য, আমরা অভিব্যক্তিকে রূপান্তরিত করি যাতে এটি সমজাতীয় সংখ্যাগুলি নিয়ে গঠিত। আসুন 5 এর রুটটি সন্ধান করি না - এটি বেশ কঠিন। আসুন এটি আরও সহজ করি: মূলে 3 এবং 10 বাড়াই। তারপর পার্থক্য তৈরি করে এমন সংখ্যার মাত্রা তুলনা করুন:

3 = √9। অতএব, 3√5 = √9 √5 = √45

10 = √100.

আমরা দেখি যে প্রথম সংখ্যাটি দ্বিতীয়টির চেয়ে কম। এর অর্থ হল অভিব্যক্তিটি নেতিবাচক, অর্থাৎ, এর উত্তর শূন্যের চেয়ে কম:

3√5 – 10 < 0.

কিন্তু নিয়ম অনুসারে, একটি ঋণাত্মক সংখ্যার মডুলাস বিপরীত চিহ্ন সহ একই সংখ্যা। আমরা একটি নেতিবাচক অভিব্যক্তি আছে. অতএব, এটির চিহ্নটি বিপরীতে পরিবর্তন করা প্রয়োজন। 3√5 – 10-এর বিপরীত রাশি হল –(3√5 – 10)। এর মধ্যে বন্ধনী খুলুন এবং উত্তর পাবেন:

–(3√5 – 10) = –3√5 + 10 = 10 – 3√5.

উত্তর .

বন্ধুরা, আজ কোন ছিটমহল বা আবেগপ্রবণতা থাকবে না। পরিবর্তে, আমি আপনাকে 8 ম-9ম শ্রেণীর বীজগণিত কোর্সের সবচেয়ে শক্তিশালী প্রতিপক্ষের সাথে যুদ্ধে কোন প্রশ্ন না করেই পাঠাব।

হ্যাঁ, আপনি সবকিছু সঠিকভাবে বুঝতে পেরেছেন: আমরা মডুলাসের সাথে অসমতার কথা বলছি। আমরা চারটি মৌলিক কৌশল দেখব যার সাহায্যে আপনি এই ধরনের প্রায় 90% সমস্যার সমাধান করতে শিখবেন। বাকি 10% সম্পর্কে কি? ঠিক আছে, আমরা তাদের সম্পর্কে একটি পৃথক পাঠে কথা বলব। :)

যাইহোক, কোন কৌশল বিশ্লেষণ করার আগে, আমি আপনাকে দুটি তথ্য মনে করিয়ে দিতে চাই যা আপনার ইতিমধ্যেই জানা দরকার। অন্যথায়, আপনি আজকের পাঠের উপাদানটি মোটেও বুঝতে পারবেন না।

আপনি ইতিমধ্যে কি জানতে হবে

ক্যাপ্টেন স্পষ্টতা ইঙ্গিত বলে মনে হচ্ছে যে মডুলাসের সাথে অসমতা সমাধান করার জন্য আপনাকে দুটি জিনিস জানতে হবে:

1. কিভাবে অসমতা সমাধান করা হয়;
2. একটি মডিউল কি?

দ্বিতীয় পয়েন্ট দিয়ে শুরু করা যাক।

মডিউল সংজ্ঞা

এখানে সবকিছু সহজ. দুটি সংজ্ঞা আছে: বীজগণিত এবং গ্রাফিক্যাল। এর সাথে শুরু করতে - বীজগণিত:

সংজ্ঞা। একটি সংখ্যা $x$ এর মডুলাস হয় সংখ্যাটি নিজেই, যদি এটি অ-ঋণাত্মক হয়, অথবা এর বিপরীত সংখ্যা, যদি আসল $x$ এখনও ঋণাত্মক হয়।

এটি এই মত লেখা হয়:

\[\বাম| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(align) \right.\]

সহজ ভাষায়, একটি মডুলাস একটি "বিয়োগ ছাড়া সংখ্যা"। এবং এটি অবিকল এই দ্বৈততায় (কিছু জায়গায় আপনাকে আসল সংখ্যার সাথে কিছু করতে হবে না, তবে অন্যগুলিতে আপনাকে এক ধরণের বিয়োগ মুছে ফেলতে হবে) এখানেই পুরো অসুবিধাটি প্রাথমিক শিক্ষার্থীদের জন্য রয়েছে।

জ্যামিতিক সংজ্ঞাও আছে। এটি জানাও দরকারী, তবে আমরা কেবল জটিল এবং কিছু বিশেষ ক্ষেত্রে এটির দিকে ফিরে যাব, যেখানে জ্যামিতিক পদ্ধতি বীজগণিতের চেয়ে বেশি সুবিধাজনক (স্পয়লার: আজ নয়)।

সংজ্ঞা। বিন্দু $a$ সংখ্যা রেখায় চিহ্নিত করা যাক. তারপর মডিউল $\left| x-a \right|$ হল এই লাইনের বিন্দু $x$ থেকে বিন্দু $a$ পর্যন্ত দূরত্ব।

আপনি একটি ছবি আঁকলে, আপনি এই মত কিছু পাবেন:

গ্রাফিক্যাল মডিউল সংজ্ঞা

একটি উপায় বা অন্যভাবে, একটি মডিউলের সংজ্ঞা থেকে এর মূল বৈশিষ্ট্য অবিলম্বে অনুসরণ করে: একটি সংখ্যার মডুলাস সর্বদা একটি অ-ঋণাত্মক পরিমাণ. এই সত্যটি আজ আমাদের সমগ্র বর্ণনার মধ্য দিয়ে চলমান একটি লাল থ্রেড হবে।

বৈষম্য সমাধান। ব্যবধান পদ্ধতি

এবার আসা যাক বৈষম্যের দিকে। তাদের মধ্যে অনেকগুলি রয়েছে, তবে আমাদের কাজ এখন তাদের মধ্যে অন্তত সবচেয়ে সহজ সমাধান করতে সক্ষম হওয়া। যেগুলি রৈখিক অসমতা হ্রাস করে, সেইসাথে ব্যবধান পদ্ধতিতে।

এই বিষয়ে আমার দুটি বড় পাঠ রয়েছে (যাইহোক, খুব, খুব দরকারী - আমি সেগুলি অধ্যয়ন করার পরামর্শ দিই):

1. অসমতার জন্য ব্যবধান পদ্ধতি (বিশেষ করে ভিডিওটি দেখুন);
2. ভগ্নাংশ যৌক্তিক বৈষম্য একটি খুব বিস্তৃত পাঠ, কিন্তু এর পরে আপনার কোন প্রশ্ন থাকবে না।

আপনি যদি এই সমস্ত কিছু জানেন, যদি "আসুন অসমতা থেকে সমীকরণে সরে যাই" বাক্যাংশটি আপনাকে দেওয়ালে আঘাত করার অস্পষ্ট ইচ্ছা না করে, তবে আপনি প্রস্তুত: পাঠের মূল বিষয়ে নরকে স্বাগতম। :)

1. ফর্মের অসমতা "মডুলাস ফাংশনের চেয়ে কম"

এটি মডিউলগুলির সাথে সবচেয়ে সাধারণ সমস্যাগুলির মধ্যে একটি। ফর্মের একটি অসমতা সমাধান করার জন্য এটি প্রয়োজনীয়:

\[\বাম| f\right| \ltg\]

ফাংশন $f$ এবং $g$ যেকোনও হতে পারে, কিন্তু সাধারণত এগুলি বহুপদ। এই ধরনের বৈষম্যের উদাহরণ:

\[\begin(align) & \left| 2x+3 \right| \lt x+7; \\ & \বাম| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0; \\ & \বাম| ((x)^(2))-2\বাম| x \right|-3 \right| \lt 2. \\\শেষ(সারিবদ্ধ)\]

নিম্নলিখিত স্কিম অনুসারে তাদের সকলকে আক্ষরিকভাবে এক লাইনে সমাধান করা যেতে পারে:

\[\বাম| f\right| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(সারিবদ্ধ) \ঠিক, ঠিক)\]

এটা দেখতে সহজ যে আমরা মডিউল থেকে পরিত্রাণ পেতে পারি, কিন্তু বিনিময়ে আমরা একটি দ্বিগুণ অসমতা (বা, যা একই জিনিস, দুটি অসমতার একটি সিস্টেম) পাই। তবে এই রূপান্তরটি একেবারে সমস্ত সম্ভাব্য সমস্যা বিবেচনা করে: যদি মডুলাসের অধীনে সংখ্যাটি ইতিবাচক হয় তবে পদ্ধতিটি কাজ করে; যদি নেতিবাচক, এটি এখনও কাজ করে; এবং এমনকি $f$ বা $g$ এর জায়গায় সবচেয়ে অপর্যাপ্ত ফাংশন সহ, পদ্ধতিটি এখনও কাজ করবে।

স্বাভাবিকভাবেই, প্রশ্ন ওঠে: এটি সহজ হতে পারে না? দুর্ভাগ্যবশত, এটা সম্ভব নয়। এই মডিউল পুরো বিন্দু.

যাইহোক, দর্শনের সঙ্গে যথেষ্ট. আসুন কয়েকটি সমস্যার সমাধান করি:

টাস্ক। অসমতা সমাধান করুন:

\[\বাম| 2x+3 \right| \lt x+7\]

সমাধান। সুতরাং, আমাদের সামনে "মডুলাস কম" ফর্মের একটি ক্লাসিক অসমতা রয়েছে - এমনকি রূপান্তর করার কিছুই নেই। আমরা অ্যালগরিদম অনুযায়ী কাজ করি:

\[\begin(align) & \left| f\right| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g; \\ & \বাম| 2x+3 \right| \lt x+7\Rightarrow -\left(x+7 \right) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(align)\]

"বিয়োগ" এর আগে বন্ধনীগুলি খুলতে তাড়াহুড়ো করবেন না: এটি খুব সম্ভব যে আপনার তাড়াহুড়ার কারণে আপনি একটি আপত্তিকর ভুল করবেন।

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right।\]

\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right।\]

সমস্যা দুটি প্রাথমিক অসমতা হ্রাস করা হয়. আসুন সমান্তরাল সংখ্যা রেখায় তাদের সমাধানগুলি নোট করি:

অনেকের ছেদ

এই সেটগুলোর ছেদ হবে উত্তর।

উত্তর: $x\in \left(-\frac(10)(3); 4 \right)$

টাস্ক। অসমতা সমাধান করুন:

\[\বাম| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0\]

সমাধান। এই কাজটা একটু বেশি কঠিন। প্রথমত, দ্বিতীয় পদটিকে ডানদিকে সরিয়ে মডিউলটিকে আলাদা করা যাক:

\[\বাম| ((x)^(2))+2x-3 \right| \lt -3\left(x+1 \ডান)\]

স্পষ্টতই, আমাদের আবার "মডিউলটি ছোট" ফর্মের একটি অসমতা রয়েছে, তাই আমরা ইতিমধ্যে পরিচিত অ্যালগরিদম ব্যবহার করে মডিউলটি থেকে পরিত্রাণ পাই:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]

এখন মনোযোগ: কেউ বলবে যে আমি এই সমস্ত বন্ধনীর সাথে কিছুটা বিকৃত ব্যক্তি। কিন্তু আমাকে আবারও মনে করিয়ে দিই যে আমাদের মূল লক্ষ্য সঠিকভাবে অসমতা সমাধান করুন এবং উত্তর পান. পরে, যখন আপনি এই পাঠে বর্ণিত সমস্ত কিছু নিখুঁতভাবে আয়ত্ত করেছেন, তখন আপনি নিজের ইচ্ছামত এটিকে বিকৃত করতে পারেন: বন্ধনী খুলুন, বিয়োগ যোগ করুন ইত্যাদি।

শুরু করার জন্য, আমরা কেবল বাম দিকের ডাবল বিয়োগ থেকে মুক্তি পাব:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\বাম(x+1 \ডান)\]

এখন ডবল অসমতার সমস্ত বন্ধনী খুলি:

দ্বৈত বৈষম্যের দিকে এগিয়ে যাওয়া যাক। এবারের হিসেব আরও গুরুতর হবে:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(সারিবদ্ধ) \right।\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( ডানে যাও.\]

উভয় অসমতাই চতুর্মুখী এবং ব্যবধান পদ্ধতি ব্যবহার করে সমাধান করা যেতে পারে (তাই আমি বলি: আপনি যদি এটি কী তা না জানেন তবে এখনও মডিউলগুলি না নেওয়াই ভাল)। আসুন প্রথম অসমতার সমীকরণে এগিয়ে যাই:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\left(x+5 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5। \\\শেষ(সারিবদ্ধ)\]

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, আউটপুট একটি অসম্পূর্ণ দ্বিঘাত সমীকরণ, যা প্রাথমিক উপায়ে সমাধান করা যেতে পারে। এখন সিস্টেমের দ্বিতীয় অসমতা দেখা যাক। সেখানে আপনাকে ভিয়েতার উপপাদ্য প্রয়োগ করতে হবে:

\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2। \\\শেষ(সারিবদ্ধ)\]

আমরা ফলিত সংখ্যা দুটি সমান্তরাল রেখায় চিহ্নিত করি (প্রথম অসমতার জন্য পৃথক এবং দ্বিতীয়টির জন্য পৃথক):

আবার, যেহেতু আমরা অসমতার একটি সিস্টেম সমাধান করছি, তাই আমরা ছায়াযুক্ত সেটগুলির ছেদ করতে আগ্রহী: $x\in \left(-5;-2 \right)$। এই উত্তর.

উত্তর: $x\in \left(-5;-2 \right)$

আমি মনে করি যে এই উদাহরণগুলির পরে সমাধান পরিকল্পনা অত্যন্ত স্পষ্ট:

1. অন্যান্য সমস্ত পদকে অসমতার বিপরীত দিকে সরিয়ে মডিউলটিকে বিচ্ছিন্ন করুন। এইভাবে আমরা $\left| ফর্মের একটি অসমতা পাই f\right| \ltg$।
2. উপরে বর্ণিত স্কিম অনুযায়ী মডিউল পরিত্রাণ পেয়ে এই অসমতা সমাধান করুন। কিছু সময়ে, দ্বিগুণ অসমতা থেকে দুটি স্বাধীন অভিব্যক্তির সিস্টেমে যাওয়ার প্রয়োজন হবে, যার প্রতিটি ইতিমধ্যেই আলাদাভাবে সমাধান করা যেতে পারে।
3. অবশেষে, যা বাকি থাকে তা হল এই দুটি স্বাধীন অভিব্যক্তির সমাধানগুলিকে ছেদ করা - এবং এটিই, আমরা চূড়ান্ত উত্তর পাব।

একটি অনুরূপ অ্যালগরিদম নিম্নলিখিত ধরনের অসমতার জন্য বিদ্যমান, যখন মডুলাস ফাংশন থেকে বড় হয়। যাইহোক, গুরুতর "কিন্তু" একটি দম্পতি আছে. আমরা এখন এই "কিন্তু" সম্পর্কে কথা বলব।

2. ফর্মের অসমতা "মডুলাস ফাংশনের চেয়ে বড়"

তারা দেখতে এই মত:

\[\বাম| f\right| \gtg\]

আগের এক অনুরূপ? এটা দেখতে. এবং এখনও এই ধরনের সমস্যাগুলি সম্পূর্ণ ভিন্ন উপায়ে সমাধান করা হয়। আনুষ্ঠানিকভাবে, স্কিমটি নিম্নরূপ:

\[\বাম| f\right| \gt g\Rightarrow \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(align) \right\]

অন্য কথায়, আমরা দুটি ক্ষেত্রে বিবেচনা করি:

1. প্রথমত, আমরা কেবল মডিউলটিকে উপেক্ষা করি এবং স্বাভাবিক অসমতা সমাধান করি;
2. তারপর, সারমর্মে, আমরা বিয়োগ চিহ্ন দিয়ে মডিউলটি প্রসারিত করি, এবং তারপর অসমতার উভয় দিককে −1 দ্বারা গুণ করি, যখন আমার কাছে চিহ্ন রয়েছে।

এই ক্ষেত্রে, বিকল্পগুলি একটি বর্গাকার বন্ধনীর সাথে মিলিত হয়, i.e. আমাদের সামনে দুটি প্রয়োজনীয়তার সংমিশ্রণ রয়েছে।

অনুগ্রহ করে আবার নোট করুন: এটি একটি সিস্টেম নয়, তবে একটি সম্পূর্ণতা, তাই উত্তরে সেটগুলিকে ছেদ করার পরিবর্তে একত্রিত করা হয়েছে. এটি আগের বিন্দু থেকে একটি মৌলিক পার্থক্য!

সাধারণভাবে, অনেক শিক্ষার্থী ইউনিয়ন এবং ছেদগুলির সাথে সম্পূর্ণ বিভ্রান্ত হয়, তাই আসুন এই সমস্যাটি একবার এবং সকলের জন্য সমাধান করি:

• "∪" একটি ইউনিয়ন চিহ্ন। প্রকৃতপক্ষে, এটি একটি স্টাইলাইজড অক্ষর "ইউ", যা ইংরেজি ভাষা থেকে আমাদের কাছে এসেছে এবং "ইউনিয়ন" এর সংক্ষিপ্ত রূপ, যেমন। "অ্যাসোসিয়েশন"।
• "∩" হল ছেদ চিহ্ন। এই বাজে কথাটি কোথাও থেকে আসেনি, কিন্তু কেবলমাত্র "∪"-এর প্রতিবিন্দু হিসাবে উপস্থিত হয়েছিল।

মনে রাখা আরও সহজ করার জন্য, চশমা তৈরি করতে এই চিহ্নগুলিতে পা আঁকুন (শুধু এখন আমাকে মাদকাসক্তি এবং মদ্যপান প্রচারের জন্য অভিযুক্ত করবেন না: আপনি যদি এই পাঠটি গুরুত্ব সহকারে অধ্যয়ন করেন তবে আপনি ইতিমধ্যেই একজন মাদকাসক্ত):

ছেদ এবং সেটের মিলনের মধ্যে পার্থক্য

রাশিয়ান ভাষায় অনুবাদ করা হয়েছে, এর অর্থ নিম্নোক্ত: ইউনিয়ন (সম্পূর্ণতা) উভয় সেটের উপাদানগুলিকে অন্তর্ভুক্ত করে, তাই এটি তাদের প্রত্যেকের চেয়ে কম নয়; কিন্তু ছেদ (সিস্টেম) শুধুমাত্র সেই উপাদানগুলিকে অন্তর্ভুক্ত করে যেগুলি একই সাথে প্রথম সেট এবং দ্বিতীয় সেটে রয়েছে৷ অতএব, সেটের ছেদ কখনই উৎস সেটের চেয়ে বড় হয় না।

তাই এটা পরিষ্কার হয়ে গেল? ওটা দারুন. চলুন অনুশীলনে এগিয়ে যাই।

টাস্ক। অসমতা সমাধান করুন:

\[\বাম| 3x+1 \right| \gt 5-4x\]

সমাধান। আমরা স্কিম অনুযায়ী এগিয়ে যাই:

\[\বাম| 3x+1 \right| \gt 5-4x\Rightarrow \left[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\end(align) \ ঠিক।\]

আমরা জনসংখ্যার প্রতিটি বৈষম্য সমাধান করি:

\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(সারিবদ্ধ) \right।\]

\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \right.\]

আমরা সংখ্যা রেখায় প্রতিটি ফলাফল সেট চিহ্নিত করি এবং তারপরে তাদের একত্রিত করি:

সেটের ইউনিয়ন

এটা বেশ স্পষ্ট যে উত্তর হবে $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

উত্তর: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

টাস্ক। অসমতা সমাধান করুন:

\[\বাম| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\]

সমাধান। আমরা হব? কিছুই না - সবকিছু একই। আমরা একটি মডুলাস সহ একটি অসমতা থেকে দুটি অসমতার একটি সেটে চলে যাই:

\[\বাম| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\Rightarrow \left[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\শেষ(সারিবদ্ধ) \ ডান৷\]

আমরা প্রতিটি বৈষম্য সমাধান করি। দুর্ভাগ্যবশত, শিকড় খুব ভাল হবে না:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2)। \\\শেষ(সারিবদ্ধ)\]

দ্বিতীয় অসমতাও কিছুটা বন্য:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2)। \\\শেষ(সারিবদ্ধ)\]

এখন আপনাকে দুটি অক্ষে এই সংখ্যাগুলি চিহ্নিত করতে হবে - প্রতিটি অসমতার জন্য একটি অক্ষ। যাইহোক, আপনাকে সঠিক ক্রমে পয়েন্টগুলি চিহ্নিত করতে হবে: সংখ্যাটি যত বড় হবে, বিন্দুটি তত ডানদিকে চলে যাবে।

এবং এখানে একটি সেটআপ আমাদের জন্য অপেক্ষা করছে। $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (প্রথমটির অংকের পদগুলি দিয়ে সবকিছু পরিষ্কার হলে ভগ্নাংশ দ্বিতীয় সংখ্যার পদগুলির থেকে কম, তাই যোগফলও কম, $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt) (21))(2)$ কোন অসুবিধা হবে না (ইতিবাচক সংখ্যা স্পষ্টতই আরও নেতিবাচক), তারপর শেষ দম্পতির সাথে সবকিছু এতটা পরিষ্কার নয়। কোনটি বড়: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ অথবা $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? সংখ্যা রেখায় বিন্দু বসানো এবং প্রকৃতপক্ষে, এই প্রশ্নের উত্তর নির্ভর করবে।

তাহলে আসুন তুলনা করা যাক:

\[\begin(ম্যাট্রিক্স) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(ম্যাট্রিক্স)\]

আমরা মূলটিকে বিচ্ছিন্ন করেছি, অসমতার উভয় পাশে অ-নেতিবাচক সংখ্যা পেয়েছি, তাই আমাদের উভয় পক্ষের বর্গ করার অধিকার রয়েছে:

\[\begin(ম্যাট্রিক্স) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(ম্যাট্রিক্স)\]

আমি মনে করি এটা কোন চিন্তার বিষয় নয় যে $4\sqrt(13) \gt 3$, তাই $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, অক্ষগুলির চূড়ান্ত বিন্দুগুলি এভাবে স্থাপন করা হবে:

কুশ্রী শিকড় একটি কেস

আমি আপনাকে মনে করিয়ে দিই যে আমরা একটি সেট সমাধান করছি, তাই উত্তর হবে একটি মিলন, ছায়াযুক্ত সেটের ছেদ নয়।

উত্তর: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty \right)$

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, আমাদের স্কিম সহজ এবং খুব কঠিন উভয় সমস্যার জন্য দুর্দান্ত কাজ করে। এই পদ্ধতির একমাত্র "দুর্বল পয়েন্ট" হল যে আপনাকে সঠিকভাবে অযৌক্তিক সংখ্যাগুলির তুলনা করতে হবে (এবং আমাকে বিশ্বাস করুন: এগুলি কেবল মূল নয়)। তবে একটি পৃথক (এবং খুব গুরুতর) পাঠ তুলনামূলক বিষয়গুলির জন্য উত্সর্গীকৃত হবে। এবং আমরা এগিয়ে যান.

3. অ-নেতিবাচক "লেজ" সহ অসমতা

এখন আমরা সবচেয়ে আকর্ষণীয় অংশ পেতে. এগুলি ফর্মের অসমতা:

\[\বাম| f\right| \gt\left| g\right|\]

সাধারণভাবে বলতে গেলে, আমরা এখন যে অ্যালগরিদমের কথা বলব তা শুধুমাত্র মডিউলের জন্য সঠিক। এটি সমস্ত বৈষম্যের ক্ষেত্রে কাজ করে যেখানে বাম এবং ডানদিকে অ-নেতিবাচক অভিব্যক্তির নিশ্চয়তা রয়েছে:

এই কাজগুলো কি করতে হবে? শুধু মনে রাখ:

অ-নেতিবাচক "লেজ" সহ অসমতায়, উভয় পক্ষই যে কোনও প্রাকৃতিক শক্তিতে উত্থাপিত হতে পারে। কোন অতিরিক্ত সীমাবদ্ধতা থাকবে না।

প্রথমত, আমরা স্কোয়ারিংয়ে আগ্রহী হব - এটি মডিউল এবং শিকড় পোড়ায়:

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f। \\\শেষ(সারিবদ্ধ)\]

বর্গক্ষেত্রের মূল নেওয়ার সাথে এটিকে বিভ্রান্ত করবেন না:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\left| f \ right|\ne f\]

একজন ছাত্র একটি মডিউল ইনস্টল করতে ভুলে গেলে অগণিত ভুল হয়েছিল! কিন্তু এটি একটি সম্পূর্ণ ভিন্ন গল্প (এগুলি, যেমনটি ছিল, অযৌক্তিক সমীকরণ), তাই আমরা এখন এটিতে যাব না। আসুন কয়েকটি সমস্যার আরও ভাল সমাধান করি:

টাস্ক। অসমতা সমাধান করুন:

\[\বাম| x+2 \right|\ge \left| 1-2x \right|\]

সমাধান। আসুন অবিলম্বে দুটি জিনিস লক্ষ্য করা যাক:

1. এটি একটি কঠোর অসমতা নয়। নম্বর লাইনের পয়েন্টগুলি পাংচার করা হবে।
2. অসমতার উভয় দিকই স্পষ্টতই অ-নেতিবাচক (এটি মডিউলের একটি বৈশিষ্ট্য: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$)।

অতএব, আমরা মডুলাস থেকে পরিত্রাণ পেতে এবং স্বাভাবিক ব্যবধান পদ্ধতি ব্যবহার করে সমস্যার সমাধান করতে অসমতার উভয় দিকে বর্গ করতে পারি:

\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2))। \\\শেষ(সারিবদ্ধ)\]

শেষ ধাপে, আমি একটু প্রতারণা করেছি: আমি মডিউলের সমানতার সুবিধা নিয়ে পদের ক্রম পরিবর্তন করেছি (আসলে, আমি −1 দ্বারা $1-2x$ গুন করেছি)।

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-(\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ ডান)\right)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]

আমরা ব্যবধান পদ্ধতি ব্যবহার করে সমাধান করি। আসুন অসমতা থেকে সমীকরণে চলে যাই:

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3)। \\\শেষ(সারিবদ্ধ)\]

আমরা সংখ্যা লাইনে পাওয়া শিকড় চিহ্নিত করি। আবারও: সমস্ত পয়েন্ট ছায়াময় কারণ মূল অসমতা কঠোর নয়!

মডুলাস চিহ্ন থেকে মুক্তি পাওয়া

যারা বিশেষভাবে একগুঁয়ে তাদের জন্য আমি আপনাকে স্মরণ করিয়ে দিচ্ছি: আমরা শেষ অসমতা থেকে লক্ষণগুলি গ্রহণ করি, যা সমীকরণে যাওয়ার আগে লেখা হয়েছিল। এবং আমরা একই অসমতার প্রয়োজনীয় ক্ষেত্রগুলির উপর রঙ করি। আমাদের ক্ষেত্রে এটি $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$।

ঠিক আছে এখন সব শেষ। সমস্যাটি সমাধানকৃত.

উত্তর: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$।

টাস্ক। অসমতা সমাধান করুন:

\[\বাম| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \right|\]

সমাধান। আমরা সবকিছু একই করি। আমি মন্তব্য করব না - শুধু কর্মের ক্রম দেখুন।

এটি বর্গক্ষেত্র:

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left) | ((x)^(2))+3x+4 \right| \right))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right)^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \ ডান))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right)^(2))-(\left(((x)^(2))+3x+4 \ ডান))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \right)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0। \\\end(align)\]

ব্যবধান পদ্ধতি:

\[\শুরু(সারিবদ্ধ) এবং \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Rightarrow x=-1.5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing। \\\শেষ(সারিবদ্ধ)\]

সংখ্যা রেখায় শুধুমাত্র একটি মূল আছে:

উত্তর একটি সম্পূর্ণ বিরতি

উত্তর: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$।

শেষ কাজ সম্পর্কে একটি ছোট নোট. আমার একজন ছাত্র যেমন সঠিকভাবে উল্লেখ করেছে, এই অসমতার উভয় সাবমডুলার অভিব্যক্তি স্পষ্টতই ইতিবাচক, তাই মডুলাস চিহ্নটি স্বাস্থ্যের ক্ষতি ছাড়াই বাদ দেওয়া যেতে পারে।

তবে এটি একটি সম্পূর্ণ ভিন্ন স্তরের চিন্তাভাবনা এবং একটি ভিন্ন পদ্ধতি - এটি শর্তসাপেক্ষে পরিণতির পদ্ধতি বলা যেতে পারে। এটি সম্পর্কে - একটি পৃথক পাঠে। এখন আসুন আজকের পাঠের চূড়ান্ত অংশে যাওয়া যাক এবং একটি সর্বজনীন অ্যালগরিদম দেখুন যা সর্বদা কাজ করে। এমনকি যখন পূর্ববর্তী সমস্ত পন্থা শক্তিহীন ছিল। :)

4. বিকল্প গণনার পদ্ধতি

যদি এই সমস্ত কৌশল সাহায্য না করে? যদি অসমতা অ-নেতিবাচক লেজে কমানো যায় না, যদি মডিউলটি বিচ্ছিন্ন করা অসম্ভব হয়, যদি সাধারণভাবে ব্যথা, দুঃখ, বিষণ্ণতা থাকে?

তারপরে সমস্ত গণিতের "ভারী কামান" দৃশ্যে আসে - পাশবিক শক্তি পদ্ধতি। মডুলাসের সাথে অসমতার সাথে এটি দেখতে এরকম দেখাচ্ছে:

1. সমস্ত সাবমডুলার এক্সপ্রেশন লিখুন এবং তাদের শূন্যের সমান সেট করুন;
2. ফলস্বরূপ সমীকরণগুলি সমাধান করুন এবং একটি সংখ্যা রেখায় পাওয়া শিকড়গুলি চিহ্নিত করুন;
3. সরলরেখাটি কয়েকটি বিভাগে বিভক্ত হবে, যার মধ্যে প্রতিটি মডিউলের একটি নির্দিষ্ট চিহ্ন রয়েছে এবং তাই অনন্যভাবে প্রকাশ করা হয়েছে;
4. এই ধরনের প্রতিটি বিভাগে অসমতা সমাধান করুন (আপনি আলাদাভাবে ধাপ 2 এ প্রাপ্ত শিকড়-সীমানা বিবেচনা করতে পারেন - নির্ভরযোগ্যতার জন্য)। ফলাফল একত্রিত করুন - এটি হবে উত্তর। :)

তা কিভাবে? দুর্বল? সহজে ! শুধু দীর্ঘ সময়ের জন্য। চলুন অনুশীলনে দেখা যাক:

টাস্ক। অসমতা সমাধান করুন:

\[\বাম| x+2 \right| \lt \বাম| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]

সমাধান। এই বাজে কথা $\left| এর মত অসাম্যের জন্য ফুটে ওঠে না f\right| \lt g$, $\left| f\right| \gt g$ বা $\left| f\right| \lt \বাম| g \right|$, তাই আমরা এগিয়ে চলেছি।

আমরা সাবমডুলার এক্সপ্রেশন লিখি, তাদের শূন্যের সমান করি এবং শিকড়গুলি খুঁজে পাই:

\[\begin(align) & x+2=0\Rightarrow x=-2; \\ & x-1=0\Rightarrow x=1. \\\শেষ(সারিবদ্ধ)\]

মোট, আমাদের দুটি মূল রয়েছে যা সংখ্যারেখাটিকে তিনটি বিভাগে বিভক্ত করে, যার মধ্যে প্রতিটি মডিউল অনন্যভাবে প্রকাশিত হয়:

সাবমডুলার ফাংশনের শূন্য দ্বারা সংখ্যারেখাকে বিভাজন করা

আসুন প্রতিটি বিভাগে আলাদাভাবে তাকান।

1. যাক $x \lt -2$। তারপর উভয় সাবমডুলার এক্সপ্রেশন নেতিবাচক, এবং মূল অসমতা নিম্নরূপ পুনরায় লেখা হবে:

\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\end(সারিবদ্ধ)\]

আমরা একটি মোটামুটি সহজ সীমাবদ্ধতা পেয়েছিলাম. আসুন এটিকে প্রাথমিক অনুমানের সাথে ছেদ করি যে $x \lt -2$:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1.5 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

স্পষ্টতই, ভেরিয়েবল $x$ একই সাথে −2 এর কম এবং 1.5 এর বেশি হতে পারে না। এই এলাকায় কোন সমাধান আছে.

1.1। আসুন আলাদাভাবে বর্ডারলাইন কেস বিবেচনা করি: $x=-2$। আসুন এই সংখ্যাটিকে মূল অসমতার সাথে প্রতিস্থাপন করি এবং পরীক্ষা করি: এটি কি সত্য?

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=-2) ) \ \ & 0 \lt \left| -3\right|-2-1.5; \\ & 0 \lt 3-3.5; \\ & 0 \lt -0.5\Rightarrow \varnothing। \\\শেষ(সারিবদ্ধ)\]

এটা স্পষ্ট যে গণনার শৃঙ্খল আমাদের একটি ভুল বৈষম্যের দিকে নিয়ে গেছে। অতএব, মূল অসমতাও মিথ্যা, এবং $x=-2$ উত্তরটিতে অন্তর্ভুক্ত নয়।

2. এখন ধরুন $-2 \lt x \lt 1$। বাম মডিউলটি ইতিমধ্যে একটি "প্লাস" দিয়ে খুলবে, কিন্তু ডানটি এখনও একটি "বিয়োগ" দিয়ে খুলবে। আমাদের আছে:

\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\শেষ(সারিবদ্ধ)\]

আবার আমরা মূল প্রয়োজনীয়তার সাথে ছেদ করি:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2.5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

এবং আবার, সমাধানের সেটটি খালি, যেহেতু −2.5-এর চেয়ে কম এবং −2-এর চেয়ে বড় কোনও সংখ্যা নেই।

2.1। এবং আবার একটি বিশেষ ক্ষেত্রে: $x=1$। আমরা মূল অসমতার প্রতিস্থাপন করি:

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=1)) \\ & \left| 3\right| \lt \বাম| 0\right|+1-1.5; \\ & 3 \lt -0.5; \\ & 3 \lt -0.5\Rightarrow \varnothing। \\\শেষ(সারিবদ্ধ)\]

পূর্ববর্তী "বিশেষ ক্ষেত্রে" এর মতো, $x=1$ নম্বরটি স্পষ্টভাবে উত্তরটিতে অন্তর্ভুক্ত করা হয়নি।

3. লাইনের শেষ অংশ: $x \gt 1$। এখানে সমস্ত মডিউল একটি প্লাস চিহ্ন দিয়ে খোলা হয়:

\[\শুরু(সারিবদ্ধ) এবং x+2 \\ x-1+x-1.5 \\ & x+2 \\ x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(সারিবদ্ধ)\ ]

এবং আবার আমরা পাওয়া সেটটিকে মূল সীমাবদ্ধতার সাথে ছেদ করি:

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4.5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4.5;+\infty \right)\ ]

অবশেষে ! আমরা একটি ব্যবধান খুঁজে পেয়েছি যে উত্তর হবে.

উত্তর: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

অবশেষে, একটি মন্তব্য যা আপনাকে বাস্তব সমস্যা সমাধান করার সময় বোকা ভুল থেকে বাঁচাতে পারে:

মডিউলির সাথে অসমতার সমাধানগুলি সাধারণত সংখ্যা রেখা - ব্যবধান এবং সেগমেন্টের অবিচ্ছিন্ন সেটগুলিকে উপস্থাপন করে। বিচ্ছিন্ন পয়েন্ট অনেক কম সাধারণ। এবং এমনকি কম প্রায়ই, এটি ঘটে যে সমাধানের সীমানা (সেগমেন্টের শেষ) বিবেচনাধীন পরিসরের সীমানার সাথে মিলে যায়।

ফলস্বরূপ, যদি সীমানা (একই "বিশেষ ক্ষেত্রে") উত্তরে অন্তর্ভুক্ত না করা হয়, তাহলে এই সীমানার বাম এবং ডানদিকের এলাকাগুলি প্রায় অবশ্যই উত্তরে অন্তর্ভুক্ত করা হবে না। এবং তদ্বিপরীত: বর্ডারটি উত্তরে প্রবেশ করেছে, যার মানে এটির আশেপাশের কিছু এলাকাও উত্তর হবে।

আপনার সমাধান পর্যালোচনা করার সময় এটি মনে রাখবেন।

এসএমও প্রধান
গণিত শিক্ষক _______ কালাশনিকোভা Zh.Yu পৌরসভা বাজেট শিক্ষা প্রতিষ্ঠান
"মাধ্যমিক বিদ্যালয় নং 89"
6 তম গ্রেডের জন্য গণিতে বিষয়ভিত্তিক পরীক্ষা
I.I দ্বারা পাঠ্যপুস্তক অনুযায়ী জুবারেভা এবং এ.জি. মর্ডকোভিচ
সংকলিত: গণিত শিক্ষক:
কালাশনিকোভা জান্না ইউরিভনা
স্টলবোভা লিউডমিলা আন্তোনোভনা
ZATO Seversk
2016
বিষয়বস্তু
পরীক্ষা নং 1………………………………………………………………………………………….৩-৬
পরীক্ষা নং 2……………………………………………………………………………………………….7-10
পরীক্ষা নং 3……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ১১-১৪
উত্তর …………………………………………………………………………………………………………………..১৫
পরীক্ষা নং 1 "ইতিবাচক এবং নেতিবাচক সংখ্যা"
বিকল্প 1
একটি ঋণাত্মক ভগ্নাংশ সংখ্যা লিখুন:
-165
38
-7.92
67 ঘটনাটি বর্ণনা করুন "সংখ্যা -5.5 স্থানাঙ্ক রশ্মিতে চিহ্নিত করা হয়েছে"
নির্ভরযোগ্য
অসম্ভব
এলোমেলো

চারটি সংখ্যার মধ্যে কোনটি সবচেয়ে বড়?
8,035
80,35
0,8035
803,5
O (0) বিন্দুর ডানদিকে স্থানাঙ্ক রেখায় কোন বিন্দুটি অবস্থিত?
M (-4)
ই (-15)
কে (15)
D(-1.2)
রাতে বাতাসের তাপমাত্রা ছিল -5 ডিগ্রি সেলসিয়াস। দিনের বেলা থার্মোমিটারটি ইতিমধ্যে +3 ডিগ্রি সেলসিয়াস ছিল। কিভাবে বায়ু তাপমাত্রা পরিবর্তিত হয়েছে?
8o দ্বারা বৃদ্ধি
2o কমেছে
2o বেড়েছে
8o কমেছে
বিন্দু x(-2) স্থানাঙ্ক রেখায় চিহ্নিত করা হয়েছে – প্রতিসাম্যের কেন্দ্র। এই লাইনে অবস্থিত বিন্দুগুলির স্থানাঙ্কগুলিকে প্রতিসমভাবে x বিন্দুতে নির্দেশ করুন।

(-1) এবং (1)
(-1) এবং (1)
(3) এবং (-3)
(0) এবং (-4)
স্থানাঙ্ক রেখার কোন বিন্দুগুলি উৎপত্তির সাপেক্ষে প্রতিসম নয় - বিন্দু O (0)।
B(-5) এবং C(5)
D(0.5) এবং E(-0.5)
M(-3) এবং K(13)
A(18) এবং X(-18)
0.316+0.4 সংখ্যার যোগফল কত?
0,356
0,716
4,316
0,32
0.4 সংখ্যার 25% গণনা করুন।
0,1
0,001
10
100
9100 এবং 0.03 এর পার্থক্য গণনা করুন
0,05
0,6
9,03
350বিকল্প 2
একটি ঋণাত্মক ভগ্নাংশ সংখ্যা লিখুন।
8,63
-1045
913-0,2
ইভেন্টটি বর্ণনা করুন "7 নম্বর স্থানাঙ্ক রশ্মিতে চিহ্নিত করা হয়েছে।"
এলোমেলো
অসম্ভব
নির্ভরযোগ্য
কোন সংখ্যাটা সব থেকে ছোট?
15,49
154,9
1,549
1549
কোন বিন্দুটি O(0) বিন্দুর বাম দিকে স্থানাঙ্ক রেখায় অবস্থিত।
A(-0.5)
6 টা)
M(0.5)
K(38)
দিনের বেলা থার্মোমিটার +5 ডিগ্রি সেলসিয়াস এবং সন্ধ্যায় -2 ডিগ্রি সেলসিয়াস দেখায়। কিভাবে বায়ু তাপমাত্রা পরিবর্তিত হয়েছে?
3o দ্বারা বৃদ্ধি
7o কমেছে
3o কমেছে
7o দ্বারা বৃদ্ধি
প্রতিসাম্যের কেন্দ্র স্থানাঙ্ক রেখায় চিহ্নিত করা হয়েছে - বিন্দু A(-3)। এই লাইনে অবস্থিত বিন্দুগুলির স্থানাঙ্কগুলিকে প্রতিসমভাবে A বিন্দুতে নির্দেশ করুন।

(-2) এবং (2)
(0) এবং (-5)
(-6) এবং (1)
(-1) এবং (-5)
স্থানাঙ্ক রেখার কোন বিন্দুগুলি উৎপত্তির সাপেক্ষে প্রতিসম নয় - বিন্দু O(0)।
A(6) এবং B(-6)
C(12) এবং D(-2)
M(-1) এবং K(1)
X (-9) এবং Y (9)
0.237 এবং 0.3 সংখ্যার যোগফল কত?
0,24
3,237
0,537
0,267
0.5 এর 20% গণনা করুন
10
0,1
0,2
0,01
0.07 এবং 31001250.5 এর পার্থক্য গণনা করুন
1
425 টেস্ট নং 2। একটি সংখ্যার পরম মান। বিপরীত সংখ্যা।
বিকল্প 1
প্রদত্ত সংখ্যাগুলির মধ্যে কোনটিতে ক্ষুদ্রতম মডুলাস রয়েছে
-11
1013-4,196
-4,2
একটি ভুল সমীকরণ উল্লেখ করুন
85=-85
-1,9=1,9
35= 3558=-58 একটি অ-ঋণাত্মক সংখ্যার মডুলাস একটি অ-ঋণাত্মক সংখ্যা। এই বিবৃতি সত্য?
হ্যাঁ
না
এই সংখ্যাগুলির মধ্যে কোনটি সংখ্যা -34 এর বিপরীত? 43-43-3434 রাশিটির মান -(-m) যদি m = -15 হয়
+15
-15
রাশিটির মান গণনা করুন: -2.5∙4--919
-10
1
-1
সমীকরণটি সমাধান করুন: x=40-40
40
40 বা -40
2.75 এবং 3.9 সংখ্যার মধ্যে স্থানাঙ্ক রেখায় কোন পূর্ণসংখ্যাগুলি অবস্থিত?
-2, -1, 1, 2
-1, 0, 1, 2, 3
-1, 0, 1, 2, 3, 4
-2, -1, 0, 1, 2, 3
অসমতা কি -30>-50 সত্য? হ্যাঁ
না
x≤30, 1, 2 হলে সমস্ত পূর্ণসংখ্যার তালিকা করুন
0, 1, 2, 3
0, 1, 2, 3, 4
1, 2, 3
বিকল্প 2
কোন সংখ্যার সবচেয়ে বড় মডুলাস আছে?
-0,6
-50,603
493550,530
একটি ভুল সমীকরণ উল্লেখ করুন
-1.5=1.512=12-117=117-325=-325 ঋণাত্মক সংখ্যার মডুলাস কি ঋণাত্মক সংখ্যা হতে পারে?
হ্যাঁ
না

এই সংখ্যাগুলির মধ্যে কোনটি 124 এর বিপরীত?
-24
24
-124124-(-k) রাশিটির মান কত, k = -9 হলে
-9
+9
অভিব্যক্তির মান গণনা করুন: 2.5:-0.5+1.250
15
-2,5
2,5
x=100100 সমীকরণটি সমাধান কর
-100
100 বা -100
1 এবং - 4.5 সংখ্যার মধ্যে স্থানাঙ্ক রেখায় কোন পূর্ণসংখ্যাগুলি অবস্থিত
-4, -3, -2, -1, 0
-3, -2, -1
-5, -4, -3, -2, -1
-4, -3, -2, -1, 1
অসমতা -25 কি সত্য?<-10?
হ্যাঁ
না
x≤44, 3, 2 হলে সমস্ত পূর্ণসংখ্যার তালিকা করুন
0, 1, 2, 3
1, 2, 3, 4
0, 1, 2, 3, 4
পরীক্ষা নং 3। সংখ্যার তুলনা
বিকল্প 1
অসাম্যের কোনটি মিথ্যা?
-20 > 2
0 < -1
-16 > -7
-5 < -3

-320 -920>
<
=
এটা কি সত্য যে 0 সংখ্যাটি যেকোনো ঋণাত্মক সংখ্যার চেয়ে বড়?
হ্যাঁ
না
a সংখ্যাটি নেতিবাচক নয়। কিভাবে আমরা একটি অসমতা হিসাবে এই বিবৃতি লিখতে পারেন?
ক<0a≤0a≥0a>0 প্রদত্ত সংখ্যাগুলির মধ্যে বৃহত্তমটি নির্দেশ করুন।
0,16
-3018-0,4
0,01
x এর কোন প্রাকৃতিক মানের জন্য অসমতা x≤44, 3, 2 সত্য?
1 , 2, 3, 4
4, 3, 2, 1
0, 1, 2, 3
y এর কোন পূর্ণসংখ্যা মানের জন্য অসমতা y সত্য?<-2?0
-1
0, -1, 1
এই ধরনের কোন মান
সংখ্যা-6; -3.8; -115; 0.8 অবস্থিত:
ক্রমহ্রাসমান
ক্রমবর্ধমান ক্রমে
বিশৃঙ্খলায়
আবহাওয়ার পূর্বাভাস রেডিওতে সম্প্রচার করা হয়েছিল: তাপমাত্রা -20 ডিগ্রি সেলসিয়াসে নেমে যাওয়ার আশা করা হচ্ছে। এই ঘটনা বর্ণনা করুন:
অসম্ভব
নির্ভরযোগ্য
এলোমেলো
বিকল্প 2
অসাম্যের কোনটি সত্য?
-5 > 0
6 < -17
-34 > -40
-9 < -63
অসমতা সত্য হওয়ার জন্য এই ভগ্নাংশগুলির মধ্যে কোন চিহ্ন লিখতে হবে?
-1315 -715<
>
=
এটা কি সত্য যে 0 সংখ্যাটি কোন ঋণাত্মক সংখ্যার চেয়ে কম?
হ্যাঁ
না
x সংখ্যাটি শূন্যের বেশি নয়। কিভাবে আমরা একটি অসমতা হিসাবে এই বিবৃতি লিখতে পারেন?
x≥0x>0x<0x≤0Укажите наименьшее из данных чисел.
-5,92
1,7
-1000
35 কোন প্রাকৃতিক মূল্যের জন্য a এর অসমতা a≤3 সত্য? 1, 2, 3
0, 1, 2, 3
1, 2
0, 1, 2
m এর কোন পূর্ণসংখ্যা মানের জন্য অসমতা m সত্য?<-4?-3, -2, -1
0, -1, -2, -3, 1, 2, 3
0
এই ধরনের কোন মান
সংখ্যা 1,2; -1.2; -427; -100 অবস্থিত:
বিশৃঙ্খলায়
ক্রমবর্ধমান ক্রমে
ক্রমহ্রাসমান
পয়েন্ট A(5) স্থানাঙ্ক লাইনে চিহ্নিত করা হয়েছে। আরেকটি বিন্দু B এই লাইনে এলোমেলোভাবে চিহ্নিত করা হয়েছিল। এর স্থানাঙ্কটি 5 এর বিপরীত সংখ্যা হতে দেখা গেছে। এই ঘটনাটি বর্ণনা করুন।
এলোমেলো
নির্ভরযোগ্য
অসম্ভব
উত্তর
টেস্ট নং 1 টেস্ট নং 2
নং বিকল্প 1 বিকল্প 2
1 3 4
2 2 3
3 4 3
4 3 1
5 1 2
6 4 4
7 3 2
8 2 3
9 1 2
10 4 1
নং বিকল্প 1 বিকল্প 2
1 3 2
2 1 4
3 1 2
4 4 3
5 2 1
6 3 4
7 3 3
8 4 1
9 1 2
10 2 4

টেস্ট নং 3
নং বিকল্প 1 বিকল্প 2
1 4 3
2 1 2
3 1 2
4 3 4
5 1 3
6 2 1
7 4 4
8 2 3