المعادلات المثلثية ذات التعقيد المتزايد مع الحلول. المعادلات المثلثية

درس وعرض حول موضوع: "حل المعادلات المثلثية البسيطة"

مواد إضافية
أعزائي المستخدمين، لا تنسوا ترك تعليقاتكم ومراجعاتكم ورغباتكم! تم فحص جميع المواد بواسطة برنامج مكافحة الفيروسات.

الأدلة وأجهزة المحاكاة في متجر Integral عبر الإنترنت للصف العاشر من 1C
نحن نحل المشاكل في الهندسة. المهام التفاعلية للبناء في الفضاء
بيئة البرمجيات "1C: منشئ رياضي 6.1"

ما سوف ندرسه :
1. ما هي المعادلات المثلثية؟

3. طريقتان رئيسيتان لحل المعادلات المثلثية.
4. المعادلات المثلثية المتجانسة.
5. أمثلة.

ما هي المعادلات المثلثية؟

يا رفاق، لقد درسنا بالفعل أركسين وأركوسين وظل قوسي وظل قوسي. الآن دعونا نلقي نظرة على المعادلات المثلثية بشكل عام.

المعادلات المثلثية– معادلة يوجد فيها متغير تحت إشارة الدالة المثلثية.

دعونا نكرر شكل حل أبسط المعادلات المثلثية:

1)إذا كان |a|≥ 1، فإن المعادلة cos(x) = a لها حل:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) إذا كان |a| ≥ 1، إذن معادلة الخطيئة(x) = أ لديه الحل:

3) إذا |أ| > 1، فإن المعادلة sin(x) = a وcos(x) = a ليس لها حلول 4) المعادلة tg(x)=a لها حل: x=arctg(a)+ πk

5) المعادلة ctg(x)=a لها حل: x=arcctg(a)+ πk

لجميع الصيغ ك هو عدد صحيح

أبسط المعادلات المثلثية لها الشكل التالي: T(kx+m)=a، T هي دالة مثلثية.

مثال.

حل المعادلات: أ) sin(3x)= √3/2

حل:

أ) لنشير إلى 3x=t، ثم سنعيد كتابة معادلتنا على الصورة:

حل هذه المعادلة سيكون: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

من جدول القيم نحصل على: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

دعنا نعود إلى المتغير: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

ثم x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

الإجابة: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3، حيث n عدد صحيح. (-1)^n – ناقص واحد أس n.

طريقتان رئيسيتان للحل.

لقد نظرنا إلى أبسط المعادلات المثلثية، ولكن هناك أيضًا معادلات أكثر تعقيدًا. ولحلها يتم استخدام طريقة إدخال متغير جديد وطريقة التحليل. دعونا نلقي نظرة على الأمثلة.

دعونا نحل المعادلة:

حل:
لحل المعادلة سنستخدم طريقة إدخال متغير جديد يدل على: t=tg(x).

نتيجة الاستبدال نحصل على: t 2 + 2t -1 = 0

لنجد جذور المعادلة التربيعية: t=-1 وt=1/3

ثم tg(x)=-1 وtg(x)=1/3، نحصل على أبسط معادلة مثلثية، لنجد جذورها.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

الإجابة: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

مثال على حل المعادلة

حل المعادلات: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

حل:

لنستخدم الهوية: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

ستكون معادلتنا بالشكل التالي: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 كوس 2 (س) - 3 كوس (س) -2 = 0

دعونا نقدم الاستبدال t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

حل المعادلة التربيعية هو الجذور: t=2 وt=-1/2

ثم cos(x)=2 وcos(x)=-1/2.

لأن لا يمكن لجيب التمام أن يأخذ قيمًا أكبر من واحد، وبالتالي فإن cos(x)=2 ليس له جذور.

بالنسبة لـ cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; س= ±2π/3 + 2πك

الإجابة: x= ±2π/3 + 2πk

المعادلات المثلثية المتجانسة.

تعريف: تسمى المعادلات ذات الشكل a sin(x)+b cos(x) بالمعادلات المثلثية المتجانسة من الدرجة الأولى.

معادلات النموذج

المعادلات المثلثية المتجانسة من الدرجة الثانية.

لحل معادلة مثلثية متجانسة من الدرجة الأولى، قسّمها على cos(x): لا يمكنك القسمة على جيب التمام إذا كان يساوي صفر، فلنتأكد من أن الأمر ليس كذلك:
لنفترض أن cos(x)=0، ثم asin(x)+0=0 => sin(x)=0، لكن الجيب وجيب التمام لا يساويان الصفر في نفس الوقت، نحصل على تناقض، حتى نتمكن من القسمة بأمان بمقدار الصفر.

حل المعادلة:
مثال: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

حل:

لنأخذ العامل المشترك: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

ثم نحتاج إلى حل معادلتين:

Cos(x)=0 وcos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 عند x= π/2 + πk;

خذ بعين الاعتبار المعادلة cos(x)+sin(x)=0 قسّم المعادلة على cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

الإجابة: x= π/2 + πk و x= -π/4+πk

كيفية حل المعادلات المثلثية المتجانسة من الدرجة الثانية؟
يا رفاق، اتبعوا هذه القواعد دائمًا!

1. تعرف على ما يساويه المعامل a، إذا كانت a=0 فإن معادلتنا ستأخذ الشكل cos(x)(bsin(x)+ccos(x))، مثال على الحل موجود في الشريحة السابقة

2. إذا كان a≠0، فأنت بحاجة إلى قسمة طرفي المعادلة على مربع جيب التمام، نحصل على:

نغير المتغير t=tg(x) ونحصل على المعادلة:

حل المثال رقم:3

حل المعادلة:
حل:

دعونا نقسم طرفي المعادلة على مربع جيب التمام:

نقوم بتغيير المتغير t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

لنجد جذور المعادلة التربيعية: t=-3 وt=1

ثم: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

الإجابة: x=-arctg(3) + πk وx= π/4+ πk

حل المثال رقم:4

حل المعادلة:

حل:
دعونا نحول تعبيرنا:

يمكننا حل هذه المعادلات: x= - π/4 + 2πk و x=5π/4 + 2πk

الإجابة: x= - π/4 + 2πk و x=5π/4 + 2πk

حل المثال رقم:5

حل المعادلة:

حل:
دعونا نحول تعبيرنا:

دعونا نقدم الاستبدال tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

سيكون حل المعادلة التربيعية هو الجذور: t=-2 وt=1/2

ثم نحصل على: tg(2x)=-2 و tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

الإجابة: x=-arctg(2)/2 + πk/2 و x=arctg(1/2)/2+ πk/2

مشاكل للحل المستقل.

1) حل المعادلة

أ) sin(7x)= 1/2 ب) cos(3x)= √3/2 ج) cos(-x) = -1 د) tg(4x) = √3 د) ctg(0.5x) = -1.7

2) حل المعادلات: sin(3x)= √3/2. وأوجد جميع الجذور في القطعة [π/2; π].

3) حل المعادلة: cot 2 (x) + 2 cot (x) + 1 =0

4) حل المعادلة: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) حل المعادلة: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) حل المعادلة: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

المعادلات المثلثية ليست موضوعا سهلا. فهي متنوعة للغاية.) على سبيل المثال، ما يلي:

خطيئة 2 س + cos3x = ctg5x

خطيئة(5س+ط /4) = سرير(2س-ط /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

إلخ...

لكن هذه الوحوش المثلثية (وجميعها) لها ميزتان مشتركتان وإلزاميتان. أولاً - لن تصدق - هناك دوال مثلثية في المعادلات.) ثانياً: تم العثور على جميع التعبيرات ذات x ضمن هذه الوظائف نفسها.وهناك فقط! إذا ظهر X في مكان ما الخارج،على سبيل المثال، الخطيئة2س + 3س = 3،ستكون هذه بالفعل معادلة من النوع المختلط. تتطلب مثل هذه المعادلات نهجًا فرديًا. لن نعتبرهم هنا.

لن نحل المعادلات الشريرة في هذا الدرس أيضًا.) هنا سنتعامل معها أبسط المعادلات المثلثية.لماذا؟ نعم لأن الحل أيتتكون المعادلات المثلثية من مرحلتين. في المرحلة الأولى، يتم اختزال المعادلة الشريرة إلى معادلة بسيطة من خلال مجموعة متنوعة من التحولات. وفي الثانية، تم حل هذه المعادلة الأبسط. لا توجد طريقة أخرى.

لذا، إذا كانت لديك مشاكل في المرحلة الثانية، فإن المرحلة الأولى ليس لها معنى كبير.)

كيف تبدو المعادلات المثلثية الأولية؟

سينكس = أ

كوسكس = أ

تغكس = أ

ctgx = أ

هنا أ يقف على أي رقم. أي.

بالمناسبة، داخل الدالة قد لا يكون هناك X خالص، ولكن نوع من التعبير، مثل:

cos(3x+π /3) = 1/2

إلخ. وهذا يعقد الحياة لكنه لا يؤثر على طريقة حل المعادلة المثلثية.

كيفية حل المعادلات المثلثية؟

يمكن حل المعادلات المثلثية بطريقتين. الطريقة الأولى: استخدام المنطق والدائرة المثلثية. سننظر في هذا المسار هنا. الطريقة الثانية - استخدام الذاكرة والصيغ - سيتم مناقشتها في الدرس التالي.

الطريقة الأولى واضحة وموثوقة ويصعب نسيانها.) إنها جيدة لحل المعادلات المثلثية والمتباينات وجميع أنواع الأمثلة غير القياسية الصعبة. المنطق أقوى من الذاكرة!)

حل المعادلات باستخدام الدائرة المثلثية.

نقوم بتضمين المنطق الأولي والقدرة على استخدام الدائرة المثلثية. لا تعرف كيف؟ ومع ذلك... سيكون لديك صعوبة في علم المثلثات...) ولكن لا يهم. قم بإلقاء نظرة على الدروس "الدائرة المثلثية... ما هي؟" و"قياس الزوايا على الدائرة المثلثية". كل شيء بسيط هناك. بخلاف الكتب المدرسية...)

انت تعرف!؟ وحتى أتقن "العمل العملي مع الدائرة المثلثية"!؟ تهانينا. سيكون هذا الموضوع قريبًا ومفهومًا بالنسبة لك.) الأمر الممتع بشكل خاص هو أن الدائرة المثلثية لا تهتم بالمعادلة التي تحلها. جيب التمام، وجيب التمام، والظل، وظل التمام - كل شيء هو نفسه بالنسبة له. هناك مبدأ حل واحد فقط.

لذا، فإننا نأخذ أي معادلة مثلثية أولية. على الأقل هذا:

كوزكس = 0.5

نحن بحاجة إلى العثور على X. التحدث باللغة البشرية، تحتاج أوجد الزاوية (x) التي جيب تمامها 0.5.

كيف استخدمنا الدائرة سابقًا؟ لقد رسمنا زاوية عليه. بالدرجات أو الراديان. وعلى الفور رأى الدوال المثلثية لهذه الزاوية. الآن دعونا نفعل العكس. لنرسم جيب التمام على الدائرة يساوي 0.5 وعلى الفور سوف نرى ركن. كل ما تبقى هو كتابة الإجابة.) نعم، نعم!

ارسم دائرة وضع علامة على جيب التمام يساوي 0.5. على محور جيب التمام، بطبيعة الحال. مثله:

الآن دعونا نرسم الزاوية التي يعطينا إياها جيب التمام هذا. قم بتمرير مؤشر الماوس فوق الصورة (أو المس الصورة الموجودة على جهازك اللوحي)، و سوف ترىهذه الزاوية بالذات X.

جيب التمام لأي زاوية يساوي 0.5؟

س = ط /3

كوس 60 درجة= كوس( π /3) = 0,5

سوف يضحك بعض الناس متشككين، نعم... مثل، هل كان الأمر يستحق رسم دائرة عندما يكون كل شيء واضحًا بالفعل... يمكنك بالطبع أن تضحك ضحكة مكتومة...) لكن الحقيقة هي أن هذه إجابة خاطئة. أو بالأحرى غير كافية. يدرك خبراء الدائرة أن هناك مجموعة كاملة من الزوايا الأخرى هنا والتي تعطي أيضًا جيب التمام 0.5.

إذا قمت بتشغيل الجانب المتحرك الزراعة العضوية بدوره الكامل، ستعود النقطة A إلى وضعها الأصلي. مع نفس جيب التمام يساوي 0.5. أولئك. سوف تتغير الزاويةبمقدار 360° أو 2π راديان، و جيب التمام - لا.الزاوية الجديدة 60° + 360° = 420° ستكون أيضًا حلاً لمعادلتنا، لأن

هذه الثورات الكاملةيمكنك الحصول على عدد لا نهائي... وكل هذه الزوايا الجديدة ستكون حلولاً لمعادلتنا المثلثية. ويجب تدوينهم جميعًا بطريقة أو بأخرى ردًا على ذلك. الجميع.وإلا فلا يعتد بالقرار، نعم...)

يمكن للرياضيات أن تفعل ذلك ببساطة وأناقة. اكتب في إجابة واحدة قصيرة مجموعة لا نهائيةقرارات. إليك ما تبدو عليه معادلتنا:

س = π /3 + 2π ن، ن ∈ ض

سأقوم بفك شفرتها. لا تزال تكتب بشكل هادفإنه أكثر متعة من رسم بعض الحروف الغامضة بغباء، أليس كذلك؟)

π /3 - هذه هي نفس الزاوية التي نحن فيها رأىعلى الدائرة و عازموفقا لجدول جيب التمام.

2π هي ثورة كاملة بالراديان.

ن - هذا هو عدد الكاملات، أي. جميعدورة في الدقيقة فمن الواضح أن ن يمكن أن تكون مساوية لـ 0، ±1، ±2، ±3.... وهكذا. كما هو موضح من خلال الإدخال القصير:

ن ∈ ض

ن ينتمي ( ∈ ) مجموعة من الأعداد الصحيحة ( ز ). بالمناسبة، بدلا من الرسالة ن يمكن استخدام الحروف ك، م، ر إلخ.

هذا الترميز يعني أنه يمكنك أخذ أي عدد صحيح ن . على الأقل -3، على الأقل 0، على الأقل +55. أياً كان ما تريد. إذا قمت باستبدال هذا الرقم في الإجابة، فستحصل على زاوية محددة، والتي ستكون بالتأكيد الحل لمعادلتنا القاسية.)

أو بمعنى آخر، س = ط /3 هو الجذر الوحيد لمجموعة لا نهائية. للحصول على جميع الجذور الأخرى، يكفي إضافة أي عدد من الدورات الكاملة إلى π /3 ( ن ) بالراديان. أولئك. 2πn راديان.

الجميع؟ لا. أنا عمدا إطالة أمد المتعة. لنتذكر بشكل أفضل.) لقد تلقينا جزءًا فقط من إجابات معادلتنا. سأكتب هذا الجزء الأول من الحل مثل هذا:

س 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

× 1 - ليس جذرًا واحدًا فقط، بل سلسلة كاملة من الجذور، مكتوبة في شكل قصير.

ولكن هناك أيضًا زوايا تعطي أيضًا جيب التمام 0.5!

لنعد إلى صورتنا التي كتبنا منها الإجابة. ها هي:

مرر مؤشر الفأرة فوق الصورة و نحن نرىزاوية أخرى ذلك كما يعطي جيب التمام 0.5.ما رأيك يساوي؟ المثلثان متماثلان... نعم! وهي تساوي الزاوية X ، تأخر فقط في الاتجاه السلبي. هذه هي الزاوية -X. لكننا قمنا بالفعل بحساب x. π /3 أو 60 درجة. لذلك يمكننا أن نكتب بأمان:

س 2 = - ط /3

حسنًا، بالطبع، نضيف جميع الزوايا التي تم الحصول عليها من خلال الثورات الكاملة:

س 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

هذا كل شيء الآن.) في الدائرة المثلثية نحن رأى(من يفهم طبعا)) الجميعالزوايا التي تعطي جيب التمام 0.5. وكتبنا هذه الزوايا في صورة رياضية قصيرة. نتج عن الإجابة سلسلتين لا نهائيتين من الجذور:

س 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

س 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

هذا هو الجواب الصحيح.

يأمل، المبدأ العام لحل المعادلات المثلثيةباستخدام دائرة واضحة. نحدد جيب التمام (الجيب، الظل، ظل التمام) من المعادلة المحددة على دائرة، ونرسم الزوايا المقابلة لها ونكتب الإجابة.وبطبيعة الحال، نحن بحاجة إلى معرفة ما هي الزوايا التي نحن فيها رأىعلى الدائرة. في بعض الأحيان لا يكون الأمر واضحًا جدًا. حسنًا، لقد قلت أن المنطق مطلوب هنا.)

على سبيل المثال، دعونا ننظر إلى معادلة مثلثية أخرى:

يرجى الأخذ في الاعتبار أن الرقم 0.5 ليس الرقم الوحيد الممكن في المعادلات!) إن كتابته أكثر ملاءمة بالنسبة لي من الجذور والكسور.

نحن نعمل وفقا للمبدأ العام. نرسم دائرة ونضع علامة (على محور الجيب بالطبع!) 0.5. نرسم جميع الزوايا المقابلة لهذا الجيب مرة واحدة. نحصل على هذه الصورة:

دعونا نتعامل مع الزاوية أولا X في الربع الأول. نتذكر جدول الجيب ونحدد قيمة هذه الزاوية. إنها مسألة بسيطة:

س = ط /6

نتذكر الثورات الكاملة ومع ضمير صافينكتب السلسلة الأولى من الإجابات:

س 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

تم إنجاز نصف المهمة. ولكن الآن نحن بحاجة إلى تحديد الزاوية الثانية...إنها أصعب من استخدام جيب التمام، نعم... لكن المنطق سينقذنا! كيفية تحديد الزاوية الثانية من خلال العاشر؟ نعم سهل! المثلثات الموجودة في الصورة هي نفسها والزاوية الحمراء X يساوي الزاوية X . يتم حسابه فقط من الزاوية π في الاتجاه السلبي. ولهذا السبب هو أحمر.) وللإجابة نحتاج إلى زاوية، تقاس بشكل صحيح، من نصف المحور الموجب OX، أي. من زاوية 0 درجة.

نحرك المؤشر فوق الرسم ونرى كل شيء. أزلت الزاوية الأولى حتى لا أعقد الصورة. الزاوية التي تهمنا (المرسومة باللون الأخضر) ستكون مساوية لـ:

π - س

× نحن نعرف هذا π /6 . وبالتالي تكون الزاوية الثانية:

π - π /6 = 5π /6

مرة أخرى نتذكر إضافة الثورات الكاملة ونكتب السلسلة الثانية من الإجابات:

× 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

هذا كل شئ. تتكون الإجابة الكاملة من سلسلتين من الجذور:

س 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

× 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

يمكن حل معادلات الظل وظل التمام بسهولة باستخدام نفس المبدأ العام لحل المعادلات المثلثية. إذا كنت، بالطبع، تعرف كيفية رسم الظل وظل التمام على دائرة مثلثية.

في الأمثلة أعلاه، استخدمت القيمة الجدولية للجيب وجيب التمام: 0.5. أولئك. أحد تلك المعاني التي يعرفها الطالب يجب.الآن دعونا توسيع قدراتنا ل جميع القيم الأخرى.قرر، فقرر!)

لنفترض أننا بحاجة إلى حل هذه المعادلة المثلثية:

لا توجد قيمة جيب التمام هذه في الجداول القصيرة. نحن نتجاهل ببرود هذه الحقيقة الرهيبة. ارسم دائرة، ضع علامة 2/3 على محور جيب التمام وارسم الزوايا المقابلة. نحصل على هذه الصورة.

دعونا ننظر أولاً إلى الزاوية الموجودة في الربع الأول. إذا كنا نعرف فقط ما يساوي x، فسوف نكتب الإجابة على الفور! لا ندري... فشل!؟ هادئ! الرياضيات لا تترك شعبها في ورطة! لقد توصلت إلى جيب التمام القوسي لهذه الحالة. لا أعلم؟ بلا فائدة. اكتشف، الأمر أسهل بكثير مما تعتقد. لا توجد تعويذة صعبة واحدة حول "الدوال المثلثية العكسية" على هذا الرابط... هذا غير ضروري في هذا الموضوع.

إذا كنت تعرف، فقط قل لنفسك: "X هي الزاوية التي جيب تمامها يساوي 2/3". وعلى الفور، من خلال تعريف قوس جيب التمام، يمكننا أن نكتب:

نتذكر الثورات الإضافية ونكتب بهدوء السلسلة الأولى من جذور معادلتنا المثلثية:

x 1 = قوس 2/3 + 2π n, n ∈ Z

تتم كتابة السلسلة الثانية من جذور الزاوية الثانية تلقائيًا تقريبًا. كل شيء هو نفسه، فقط X (arccos 2/3) سيكون مع ناقص:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

وهذا كل شيء! هذا هو الجواب الصحيح. حتى أسهل من قيم الجدول. ليست هناك حاجة لتذكر أي شيء.) بالمناسبة، سيلاحظ الأكثر انتباهًا أن هذه الصورة توضح الحل من خلال قوس جيب التمام في جوهرها لا يختلف عن الصورة بالنسبة للمعادلة cosx = 0.5.

بالضبط! المبدأ العاملهذا السبب هو شائع! لقد قمت عمدا برسم صورتين متطابقتين تقريبا. الدائرة توضح لنا الزاوية X بواسطة جيب التمام. ما إذا كان جيب التمام جدولي أم لا غير معروف للجميع. ما هو نوع هذه الزاوية، π /3، أو ما هو قوس جيب التمام - الأمر متروك لنا لنقرره.

نفس الأغنية مع جيب. على سبيل المثال:

ارسم دائرة مرة أخرى، ضع علامة على جيب الجيب يساوي 1/3، وارسم الزوايا. وهذه هي الصورة التي نحصل عليها:

ومرة أخرى، الصورة هي نفسها تقريبًا بالنسبة للمعادلة سينكس = 0.5.مرة أخرى نبدأ من الزاوية في الربع الأول. ما هو X يساوي إذا كان جيبها هو 1/3؟ لا مشكلة!

الآن الحزمة الأولى من الجذور جاهزة:

x 1 = أركسين 1/3 + 2π n, n ∈ Z

دعونا نتعامل مع الزاوية الثانية. في المثال الذي تبلغ قيمته الجدولية 0.5، كانت تساوي:

π - س

وسوف يكون بالضبط نفس الشيء هنا أيضا! فقط x مختلف، arcsin 1/3. وماذا في ذلك!؟ يمكنك تدوين الحزمة الثانية من الجذور بأمان:

س 2 = π - أركسين 1/3 + 2π n, n ∈ Z

هذه إجابة صحيحة تماما. على الرغم من أنها لا تبدو مألوفة للغاية. ولكن الأمر واضح، كما آمل.)

هذه هي الطريقة التي يتم بها حل المعادلات المثلثية باستخدام الدائرة. وهذا الطريق واضح ومفهوم. هو الذي يحفظ في المعادلات المثلثية مع اختيار الجذور في فترة معينة، في عدم المساواة المثلثية - يتم حلها بشكل عام دائمًا تقريبًا في دائرة. باختصار، في أي مهام أصعب قليلاً من المهام القياسية.

دعونا نطبق المعرفة في الممارسة العملية؟)

حل المعادلات المثلثية:

أولاً، أبسط، مباشرة من هذا الدرس.

الآن أصبح الأمر أكثر تعقيدًا.

تلميح: هنا عليك أن تفكر في الدائرة. شخصيا.)

والآن هم بسيطون ظاهريًا... ويطلق عليهم أيضًا حالات خاصة.

com.sinx = 0

com.sinx = 1

com.cosx = 0

com.cosx = -1

تلميح: هنا تحتاج إلى معرفة مكان وجود سلسلتين من الإجابات في الدائرة ومكان وجود سلسلة واحدة... وكيفية كتابة سلسلة واحدة بدلاً من سلسلتين من الإجابات. نعم، حتى لا يضيع جذر واحد من عدد لا نهائي!)

حسنًا ، بسيط جدًا):

com.sinx = 0,3

com.cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

تلميح: هنا عليك أن تعرف ما هو أركسين وأركوسين؟ ما هو الظل القوسي، الظل القوسي؟ أبسط التعاريف. لكنك لا تحتاج إلى تذكر أي قيم في الجدول!)

الإجابات بالطبع فوضى):

× 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
× 2= π - أركسين0.3 + 2

ليس كل شيء يعمل؟ يحدث. إقرأ الدرس مرة أخرى. فقط مدروس(هناك مثل هذه الكلمة القديمة...) واتبع الروابط. الروابط الرئيسية تدور حول الدائرة. وبدونها، يصبح علم المثلثات مثل عبور الطريق معصوب العينين. في بعض الأحيان يعمل.)

إذا أعجبك هذا الموقع...

بالمناسبة، لدي موقعين أكثر إثارة للاهتمام بالنسبة لك.)

يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. دعونا نتعلم - باهتمام!)

يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.

يتطلب معرفة الصيغ الأساسية لعلم المثلثات - مجموع مربعات الجيب وجيب التمام، والتعبير عن الظل من خلال الجيب وجيب التمام، وغيرها. لمن نسيها أو لا يعرفها ننصح بقراءة المقال "".
لذلك، نحن نعرف الصيغ المثلثية الأساسية، وحان الوقت لاستخدامها في الممارسة العملية. حل المعادلات المثلثيةمع النهج الصحيح - تماما نشاط مثيرمثل، على سبيل المثال، حل مكعب روبيك.

ومن الاسم نفسه يتضح أن المعادلة المثلثية هي معادلة يكون فيها المجهول تحت إشارة الدالة المثلثية.
هناك ما يسمى بأبسط المعادلات المثلثية. هذا هو شكلها: sinx = a، cos x = a، tan x = a. دعونا نفكر كيفية حل هذه المعادلات المثلثية، من أجل الوضوح سوف نستخدم الدائرة المثلثية المألوفة بالفعل.

سينكس = أ

كوس س = أ

تان س = أ

سرير س = أ

يتم حل أي معادلة مثلثية على مرحلتين: نختصر المعادلة إلى أبسط صورة ثم نحلها كمعادلة مثلثية بسيطة.
هناك 7 طرق رئيسية يتم من خلالها حل المعادلات المثلثية.

طريقة الاستبدال والاستبدال المتغيرة

حل المعادلة 2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0

باستخدام صيغ التخفيض نحصل على:

2cos 2 (س + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

استبدل cos(x + /6) بـ y للتبسيط والحصول على المعادلة التربيعية المعتادة:

2ص 2 - 3ص + 1 + 0

جذورها هي ص 1 = 1، ص 2 = 1/2

الآن دعنا نذهب بترتيب عكسي

نستبدل قيم y التي تم العثور عليها ونحصل على خيارين للإجابة:

حل المعادلات المثلثية من خلال التحليل

كيف تحل المعادلة sin x + cos x = 1؟

دعنا ننقل كل شيء إلى اليسار بحيث يبقى 0 على اليمين:

خطيئة س + كوس س – 1 = 0

دعونا نستخدم الهويات التي تمت مناقشتها أعلاه لتبسيط المعادلة:

الخطيئة س - 2 الخطيئة 2 (س/2) = 0

دعونا نحلل:

2خطيئة(س/2) * جتا(س/2) - 2 خطيئة 2 (س/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

نحصل على معادلتين

التخفيض إلى معادلة متجانسة

تكون المعادلة متجانسة بالنسبة إلى جيب التمام وجيب التمام إذا كانت جميع حدودها مرتبطة بجيب التمام وجيب التمام للقوة نفسها ولنفس الزاوية. لحل معادلة متجانسة، اتبع ما يلي:

أ) نقل جميع أعضائه إلى الجانب الأيسر؛

ب) أخرج جميع العوامل المشتركة من الأقواس؛

ج) مساواة جميع العوامل والأقواس بالصفر؛

د) يتم الحصول على معادلة متجانسة من الدرجة الأدنى بين قوسين، والتي بدورها تنقسم إلى جيب أو جيب التمام من درجة أعلى؛

هـ) حل المعادلة الناتجة لـ tg.

حل المعادلة 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

دعونا نستخدم الصيغة sin 2 x + cos 2 x = 1 ونتخلص من الاثنين المفتوحين على اليمين:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

خطيئة 2 س + 4 خطيئة x جتا س + 3 جتا 2 س = 0

القسمة على cos x:

تيراغرام 2 س + 4 تيراغرام س + 3 = 0

استبدل tan x بـ y واحصل على معادلة تربيعية:

ص 2 + 4ص +3 = 0، جذورها ص 1 =1، ص 2 = 3

ومن هنا نجد حلين للمعادلة الأصلية:

س 2 = القطب الشمالي 3 + ك

حل المعادلات من خلال الانتقال إلى نصف الزاوية

حل المعادلة 3sin x – 5cos x = 7

دعنا ننتقل إلى x/2:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

دعنا ننقل كل شيء إلى اليسار:

2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

القسمة على cos(x/2):

تيراغرام 2 (س/2) – 3تغ(س/2) + 6 = 0

مقدمة من الزاوية المساعدة

للأخذ في الاعتبار، لنأخذ معادلة بالشكل: a sin x + b cos x = c،

حيث a، b، c هي بعض المعاملات التعسفية، وx غير معروف.

دعونا نقسم طرفي المعادلة على:

الآن معاملات المعادلة، وفقًا للصيغ المثلثية، لها خصائص sin وcos، وهي: معاملها لا يزيد عن 1 ومجموع المربعات = 1. دعنا نشير إليهم على التوالي باسم cos وsin، حيث - هذا هو ما يسمى بالزاوية المساعدة. عندها ستأخذ المعادلة الشكل:

cos * sin x + sin * cos x = C

أو الخطيئة(س +) = ج

الحل لهذه المعادلة المثلثية البسيطة هو

س = (-1) ك * أرسين C - + ك، حيث

تجدر الإشارة إلى أن الرموز cos وsin قابلة للتبديل.

حل المعادلة sin 3x – cos 3x = 1

المعاملات في هذه المعادلة هي:

أ = ، ب = -1، لذا اقسم كلا الطرفين على = 2

مفهوم حل المعادلات المثلثية.

لحل معادلة مثلثية، قم بتحويلها إلى واحدة أو أكثر من المعادلات المثلثية الأساسية. حل معادلة مثلثية يأتي في النهاية إلى حل المعادلات المثلثية الأربع الأساسية.

حل المعادلات المثلثية الأساسية.

هناك 4 أنواع من المعادلات المثلثية الأساسية:
الخطيئة س = أ؛ كوس س = أ
تان س = أ؛ سي تي جي س = أ
يتضمن حل المعادلات المثلثية الأساسية النظر إلى مواضع x المختلفة على دائرة الوحدة، بالإضافة إلى استخدام جدول التحويل (أو الآلة الحاسبة).
مثال 1. الخطيئة x = 0.866. باستخدام جدول التحويل (أو الآلة الحاسبة) سوف تحصل على الإجابة: x = π/3. تعطي دائرة الوحدة إجابة أخرى: 2π/3. تذكر: جميع الدوال المثلثية دورية، مما يعني أن قيمها تتكرر. على سبيل المثال، دورية sin x وcos x هي 2πn، ودورية tg x وctg x هي πn. ولذلك يتم كتابة الجواب على النحو التالي:
x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
مثال 2.cos x = -1/2. باستخدام جدول التحويل (أو الآلة الحاسبة) سوف تحصل على الإجابة: x = 2π/3. تعطي دائرة الوحدة إجابة أخرى: -2π/3.
x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
مثال 3. tg (x - π/4) = 0.
الجواب: س = ط/4 + ط ن.
مثال 4.ctg 2x = 1.732.
الجواب: س = ط/12 + ط ن.

التحويلات المستخدمة في حل المعادلات المثلثية.

لتحويل المعادلات المثلثية، يتم استخدام التحويلات الجبرية (التحليل، اختزال المصطلحات المتجانسة، وما إلى ذلك) والمتطابقات المثلثية.
مثال 5: باستخدام المتطابقات المثلثية، يتم تحويل المعادلة sin x + sin 2x + sin 3x = 0 إلى المعادلة 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. وهكذا، فإن المعادلات المثلثية الأساسية التالية بحاجة إلى حل: cos x = 0; خطيئة(3س/2) = 0; كوس(س/2) = 0.
إيجاد الزوايا بواسطة القيم المعروفةالمهام.
- قبل أن تتعلم كيفية حل المعادلات المثلثية، عليك أن تتعلم كيفية إيجاد الزوايا باستخدام قيم الدوال المعروفة. يمكن القيام بذلك باستخدام جدول التحويل أو الآلة الحاسبة.
- مثال: كوس س = 0.732. الآلة الحاسبة سوف تعطي الجواب س = 42.95 درجة. ستعطي دائرة الوحدة زوايا إضافية، جيب تمامها هو 0.732 أيضًا.
ضع المحلول جانباً على دائرة الوحدة.
- يمكنك رسم حلول لمعادلة مثلثية على دائرة الوحدة. حلول المعادلة المثلثية على دائرة الوحدة هي رؤوس مضلع منتظم.
- مثال: الحلول x = π/3 + πn/2 على دائرة الوحدة تمثل رؤوس المربع.
- مثال: الحلول x = π/4 + πn/3 على دائرة الوحدة تمثل رؤوس مسدس منتظم.
طرق حل المعادلات المثلثية.
- إذا كانت معادلة مثلثية معينة تحتوي على دالة مثلثية واحدة فقط، قم بحل تلك المعادلة كمعادلة مثلثية أساسية. إذا كانت معادلة معينة تتضمن دالتين مثلثيتين أو أكثر، فهناك طريقتان لحل هذه المعادلة (اعتمادًا على إمكانية تحويلها).
  - طريقة 1.
- حول هذه المعادلة إلى معادلة من الصورة: f(x)*g(x)*h(x) = 0، حيث f(x)، g(x)، h(x) هي المعادلات المثلثية الأساسية.
- مثال 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
- حل. باستخدام صيغة الزاوية المزدوجة sin 2x = 2*sin x*cos x، استبدل sin 2x.
- 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. الآن قم بحل المعادلتين المثلثيتين الأساسيتين: cos x = 0 و(sin x + 1) = 0.
- مثال 7. cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
- الحل: باستخدام المتطابقات المثلثية، حول هذه المعادلة إلى معادلة من الصورة: cos 2x(2cos x + 1) = 0. الآن قم بحل المعادلتين المثلثيتين الأساسيتين: cos 2x = 0 و (2cos x + 1) = 0.
- مثال 8. sin x - sin 3x = cos 2x. (0< x < 2π)
- الحل: باستخدام المتطابقات المثلثية، قم بتحويل هذه المعادلة إلى معادلة من الصورة: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. الآن قم بحل المعادلتين المثلثيتين الأساسيتين: cos 2x = 0 و (2sin x + 1) = 0 .
  - الطريقة 2.
- حول المعادلة المثلثية المعطاة إلى معادلة تحتوي على دالة مثلثية واحدة فقط. ثم استبدل هذه الدالة المثلثية بأخرى غير معروفة، على سبيل المثال، t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tan x = t; tg (x/2) = t، إلخ).
- مثال 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
- حل. في هذه المعادلة، استبدل (cos^2 x) بـ (1 - sin^2 x) (حسب الهوية). المعادلة المحولة هي:
- 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. استبدل sin x بـ t. تبدو المعادلة الآن كما يلي: 5t^2 - 4t - 9 = 0. هذه معادلة تربيعية لها جذرين: t1 = -1 وt2 = 9/5. الجذر الثاني t2 لا يفي بنطاق الوظيفة (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
- مثال 10.tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
- حل. استبدل tg x بـ t. أعد كتابة المعادلة الأصلية كما يلي: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. الآن أوجد t ثم أوجد x لـ t = tan x.

حل المعادلات المثلثية البسيطة.

إن حل المعادلات المثلثية بأي مستوى من التعقيد يؤدي في النهاية إلى حل أبسط المعادلات المثلثية. وفي هذا أفضل مساعدمرة أخرى يتبين أنها دائرة مثلثية.

دعونا نتذكر تعريفات جيب التمام والجيب.

جيب تمام الزاوية هو الإحداثي (أي الإحداثي على طول المحور) لنقطة على دائرة الوحدة المقابلة للدوران خلال زاوية معينة.

جيب الزاوية هو الإحداثي (أي الإحداثي على طول المحور) لنقطة على دائرة الوحدة المقابلة للدوران خلال زاوية معينة.

الاتجاه الموجب للحركة على الدائرة المثلثية هو عكس اتجاه عقارب الساعة. دوران 0 درجة (أو 0 راديان) يتوافق مع نقطة ذات إحداثيات (1;0)

نستخدم هذه التعريفات لحل المعادلات المثلثية البسيطة.

1. حل المعادلة

يتم تلبية هذه المعادلة بجميع قيم زاوية الدوران المقابلة لنقاط على الدائرة التي يساوي إحداثيتها .

لنضع علامة على نقطة بإحداثيات على المحور الإحداثي:

ارسم خطًا أفقيًا موازيًا للمحور x حتى يتقاطع مع الدائرة. نحصل على نقطتين ملقاة على الدائرة ولها إحداثية. تتوافق هذه النقاط مع زوايا الدوران بالراديان:

إذا تركنا النقطة المقابلة لزاوية الدوران لكل راديان، وتجولنا في دائرة كاملة، فسنصل إلى نقطة مقابلة لزاوية الدوران لكل راديان ولها نفس الإحداثيات. وهذا يعني أن زاوية الدوران هذه تحقق أيضًا المعادلة التي لدينا. يمكننا القيام بأي عدد نريده من الثورات "الخاملة"، والعودة إلى نفس النقطة، وكل قيم الزوايا هذه سوف تلبي معادلتنا. سيتم الإشارة إلى عدد الثورات "الخاملة" بالحرف (أو). حيث أنه يمكننا إجراء هذه الثورات في الاتجاهين الموجب والسالب، (أو) يمكننا أن نأخذ أي قيم صحيحة.

أي أن السلسلة الأولى من الحلول للمعادلة الأصلية لها الشكل:

, , - مجموعة الأعداد الصحيحة (1)

وبالمثل، فإن السلسلة الثانية من الحلول لها الشكل:

، أين ، . (2)

كما كنت قد خمنت، فإن سلسلة الحلول هذه تعتمد على النقطة الموجودة على الدائرة المقابلة لزاوية الدوران بمقدار .

يمكن دمج هاتين السلسلتين من الحلول في إدخال واحد:

إذا أخذنا (أي حتى) في هذا الإدخال، فسنحصل على السلسلة الأولى من الحلول.

إذا أخذنا (أي فرديًا) في هذا الإدخال، فسنحصل على السلسلة الثانية من الحلول.

2. الآن دعونا نحل المعادلة

نظرًا لأن هذا هو الإحداثي المحوري لنقطة على دائرة الوحدة تم الحصول عليه عن طريق الدوران بزاوية، فإننا نحدد النقطة بالإحداثي المحوري على المحور:

ارسم خطًا رأسيًا موازيًا للمحور حتى يتقاطع مع الدائرة. سنحصل على نقطتين ملقاة على الدائرة ولدينا حافة. تتوافق هذه النقاط مع زوايا الدوران بالراديان. تذكر أنه عند التحرك في اتجاه عقارب الساعة نحصل على زاوية دوران سلبية:

دعونا نكتب سلسلتين من الحلول:

(نصل إلى النقطة المطلوبة بالانتقال من الدائرة الرئيسية الكاملة، أي.

دعونا ندمج هاتين السلسلتين في مدخل واحد:

3. حل المعادلة

يمر خط المماس بالنقطة ذات الإحداثيات (1,0) لدائرة الوحدة الموازية لمحور OY

لنضع علامة عليها بإحداثيات تساوي 1 (نحن نبحث عن ظل الزوايا الذي يساوي 1):

لنربط هذه النقطة بأصل الإحداثيات بخط مستقيم ونحدد نقاط تقاطع الخط مع دائرة الوحدة. نقاط تقاطع الخط المستقيم والدائرة تتوافق مع زوايا الدوران على و :

بما أن النقاط المقابلة لزوايا الدوران التي تحقق المعادلة لدينا تقع على مسافة راديان من بعضها البعض، فيمكننا كتابة الحل بهذه الطريقة:

4. حل المعادلة

يمر خط ظل التمام بالنقطة التي إحداثيات دائرة الوحدة موازية للمحور.

لنضع علامة على نقطة باستخدام الإحداثي السيني -1 على خط ظل التمام:

لنربط هذه النقطة بأصل الخط المستقيم ونواصل ذلك حتى يتقاطع مع الدائرة. سيتقاطع هذا الخط المستقيم مع الدائرة عند نقاط تتوافق مع زوايا الدوران بالراديان: