Как да решаваме уравнения с cos и sin. Тригонометрични уравнения

Поддържането на вашата поверителност е важно за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прегледайте нашите практики за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

Когато подадете заявка на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, адрес електронна пощаи т.н.

Как използваме вашата лична информация:

Събрани от нас лична информацияни позволява да се свързваме с вас и да ви информираме за уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
От време на време може да използваме вашата лична информация, за да изпращаме важни известия и съобщения.
Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобна промоция, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на информация на трети лица

Ние не разкриваме информацията, получена от вас, на трети страни.

Изключения:

При необходимост - в съответствие със закона, съдебната процедура, съдебното производство и/или въз основа на публични искания или искания от правителствени агенциина територията на Руската федерация - разкрийте вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други обществено значими цели.
В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответната трета страна приемник.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Уважаване на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме стандартите за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

Концепция за решаване на тригонометрични уравнения.

За да решите тригонометрично уравнение, преобразувайте го в едно или повече основни тригонометрични уравнения. Решаването на тригонометрично уравнение в крайна сметка се свежда до решаването на четирите основни тригонометрични уравнения.

Решаване на основни тригонометрични уравнения.

Има 4 вида основни тригонометрични уравнения:
sin x = a; cos x = a
тен х = а; ctg x = a
Решаването на основни тригонометрични уравнения включва разглеждане на различни позиции x върху единичната окръжност, както и използване на таблица за преобразуване (или калкулатор).
Пример 1. sin x = 0,866. С помощта на таблица за преобразуване (или калкулатор) ще получите отговора: x = π/3. Единичната окръжност дава друг отговор: 2π/3. Запомнете: всички тригонометрични функции са периодични, което означава, че техните стойности се повтарят. Например, периодичността на sin x и cos x е 2πn, а периодичността на tg x и ctg x е πn. Следователно отговорът е написан по следния начин:
x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
Пример 2. cos x = -1/2. С помощта на таблица за преобразуване (или калкулатор) ще получите отговора: x = 2π/3. Единичната окръжност дава друг отговор: -2π/3.
x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
Пример 3. tg (x - π/4) = 0.
Отговор: x = π/4 + πn.
Пример 4. ctg 2x = 1,732.
Отговор: x = π/12 + πn.

Трансформации, използвани при решаване на тригонометрични уравнения.

За преобразуване на тригонометрични уравнения се използват алгебрични трансформации (факторизация, редукция на хомогенни членове и др.) и тригонометрични тъждества.
Пример 5: Използвайки тригонометрични идентичности, уравнението sin x + sin 2x + sin 3x = 0 се трансформира в уравнението 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. По този начин следните основни въпроси трябва да бъдат решени тригонометрични уравнения: cos x = 0; sin(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.
Намиране на ъгли по известни стойностифункции.
- Преди да научите как да решавате тригонометрични уравнения, трябва да научите как да намирате ъгли, като използвате известни стойности на функцията. Това може да стане с помощта на таблица за преобразуване или калкулатор.
- Пример: cos x = 0,732. Калкулаторът ще даде отговора x = 42,95 градуса. Единичната окръжност ще даде допълнителни ъгли, чийто косинус също е 0,732.
Отделете разтвора върху единичната окръжност.
- Можете да начертаете решения на тригонометрично уравнение върху единичната окръжност. Решения на тригонометрично уравнение върху единичната окръжност са върховете на правилен многоъгълник.
- Пример: Решенията x = π/3 + πn/2 върху единичната окръжност представляват върховете на квадрата.
- Пример: Решенията x = π/4 + πn/3 върху единичната окръжност представляват върховете на правилен шестоъгълник.
Методи за решаване на тригонометрични уравнения.
- Ако дадено тригонометрично уравнение съдържа само една тригонометрична функция, решете това уравнение като основно тригонометрично уравнение. Ако дадено уравнение включва две или повече тригонометрични функции, тогава има 2 метода за решаване на такова уравнение (в зависимост от възможността за неговото преобразуване).
  - Метод 1.
- Преобразувайте това уравнение в уравнение от вида: f(x)*g(x)*h(x) = 0, където f(x), g(x), h(x) са основните тригонометрични уравнения.
- Пример 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
- Решение. Използвайки формулата за двоен ъгъл sin 2x = 2*sin x*cos x, заменете sin 2x.
- 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Сега решете двете основни тригонометрични уравнения: cos x = 0 и (sin x + 1) = 0.
- Пример 7. cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
- Решение: Използвайки тригонометрични идентичности, преобразувайте това уравнение в уравнение от вида: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Сега решете двете основни тригонометрични уравнения: cos 2x = 0 и (2cos x + 1) = 0.
- Пример 8. sin x - sin 3x = cos 2x. (0< x < 2π)
- Решение: Използвайки тригонометрични идентичности, преобразувайте това уравнение в уравнение от вида: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Сега решете двете основни тригонометрични уравнения: cos 2x = 0 и (2sin x + 1) = 0 .
  - Метод 2.
- Преобразувайте даденото тригонометрично уравнение в уравнение, съдържащо само една тригонометрична функция. След това заменете тази тригонометрична функция с някаква неизвестна, например t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tan x = t; tg (x/2) = t и т.н.).
- Пример 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
- Решение. В това уравнение заменете (cos^2 x) с (1 - sin^2 x) (според тъждеството). Трансформираното уравнение е:
- 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Заменете sin x с t. Сега уравнението изглежда така: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Това е квадратно уравнение, което има два корена: t1 = -1 и t2 = 9/5. Вторият корен t2 не отговаря на обхвата на функцията (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
- Пример 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
- Решение. Заменете tg x с t. Пренапишете оригиналното уравнение, както следва: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Сега намерете t и след това намерете x за t = tan x.

Тригонометричните уравнения не са лесна тема. Те са твърде разнообразни.) Например тези:

sin 2 x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = cot(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

и т.н...

Но тези (и всички други) тригонометрични чудовища имат две общи и задължителни характеристики. Първо - няма да повярвате - в уравненията има тригонометрични функции.) Второ: всички изрази с x са намерени в рамките на същите тези функции.И само там! Ако X се появи някъде навън,Например, sin2x + 3x = 3,това вече ще е уравнение от смесен тип. Такива уравнения изискват индивидуален подход. Няма да ги разглеждаме тук.

В този урок също няма да решаваме зли уравнения.) Тук ще се занимаваме с най-простите тригонометрични уравнения.Защо? Да, защото решението всякаквитригонометричните уравнения се състоят от два етапа. На първия етап злото уравнение се свежда до просто чрез различни трансформации. На втория се решава това най-просто уравнение. Няма друг начин.

Така че, ако имате проблеми на втория етап, първият етап няма много смисъл.)

Как изглеждат елементарните тригонометрични уравнения?

sinx = а

cosx = а

tgx = а

ctgx = a

Тук А означава произволно число. Всякакви.

Между другото, във функция може да няма чисто X, а някакъв вид израз, като:

cos(3x+π /3) = 1/2

и т.н. Това усложнява живота, но не засяга метода за решаване на тригонометрично уравнение.

Как се решават тригонометрични уравнения?

Тригонометричните уравнения могат да се решават по два начина. Първият начин: използване на логиката и тригонометричната окръжност. Ще разгледаме този път тук. Вторият начин - използване на памет и формули - ще бъде разгледан в следващия урок.

Първият начин е ясен, надежден и трудно се забравя.) Добър е за решаване на тригонометрични уравнения, неравенства и всякакви трудни нестандартни примери. Логиката е по-силна от паметта!)

Решаване на уравнения с помощта на тригонометрична окръжност.

Включваме елементарна логика и умение да използваме тригонометричния кръг. Не знаеш ли как? Въпреки това... Ще ви е трудно в тригонометрията...) Но това няма значение. Разгледайте уроците "Тригонометрична окръжност...... Какво е това?" и "Измерване на ъгли върху тригонометрична окръжност." Там всичко е просто. За разлика от учебниците...)

О, знаеш ли!? И дори усвои „Практическа работа с тригонометричния кръг“!? Честито. Тази тема ще ви бъде близка и разбираема.) Особено радващото е, че тригонометричната окръжност не се интересува какво уравнение решавате. Синус, косинус, тангенс, котангенс - всичко му е едно и също. Има само един принцип на решение.

Така че вземаме всяко елементарно тригонометрично уравнение. Поне това:

cosx = 0,5

Трябва да намерим X. Казано на човешки език, имате нужда намерете ъгъла (x), чийто косинус е 0,5.

Как използвахме кръга преди? Начертахме ъгъл върху него. В градуси или радиани. И то веднага трион тригонометрични функции на този ъгъл. Сега нека направим обратното. Нека начертаем косинус върху окръжността, равен на 0,5 и веднага ще видим ъгъл. Остава само да напиша отговора.) Да, да!

Начертайте кръг и маркирайте косинуса, равен на 0,5. По косинусовата ос, разбира се. Като този:

Сега нека начертаем ъгъла, който ни дава този косинус. Задръжте курсора на мишката върху снимката (или докоснете снимката на таблета си) и ще видитеточно този ъгъл Х.

Косинусът на кой ъгъл е 0,5?

x = π /3

cos 60°= cos( π /3) = 0,5

Някои хора ще се усмихнат скептично, да... Като, струваше ли си да направим кръг, когато всичко вече е ясно... Можете, разбира се, да се усмихнете...) Но факт е, че това е грешен отговор. Или по-скоро недостатъчно. Познавачите на кръговете разбират, че тук има цял куп други ъгли, които също дават косинус от 0,5.

Ако завъртите подвижната страна OA пълен оборот, точка А ще се върне в първоначалната си позиция. Със същия косинус равен на 0,5. Тези. ъгълът ще се променис 360° или 2π радиана и косинус - не.Новият ъгъл 60° + 360° = 420° също ще бъде решение на нашето уравнение, т.к.

Такива пълни оборотиможете да навиете безкраен брой... И всички тези нови ъгли ще бъдат решения на нашето тригонометрично уравнение. И всички те трябва да бъдат записани по някакъв начин в отговор. Всичко.Иначе решението не се брои, да...)

Математиката може да направи това просто и елегантно. Запишете в един кратък отговор безкрайно множестворешения. Ето как изглежда нашето уравнение:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

Ще го дешифрирам. Все пак пиши смисленоПо-приятно е, отколкото глупаво да рисувате мистериозни букви, нали?)

π /3 - това е същият ъгъл, който ние трионвърху кръга и определенспоред косинусната таблица.

2π е една пълна революция в радиани.

н - това е броят на пълните, т.е. цялооб/мин Ясно е, че н може да бъде равно на 0, ±1, ±2, ±3.... и така нататък. Както е посочено от краткия запис:

n ∈ Z

н принадлежи ( ∈ ) набор от цели числа ( З ). Между другото, вместо писмото н буквите могат да се използват добре к, м, т и т.н.

Тази нотация означава, че можете да вземете всяко цяло число н . Най-малко -3, поне 0, поне +55. Каквото поискаш. Ако замените това число в отговора, ще получите конкретен ъгъл, който определено ще бъде решението на нашето сурово уравнение.)

Или, с други думи, x = π /3 е единственият корен на безкрайно множество. За да получите всички други корени, е достатъчно да добавите произволен брой пълни обороти към π /3 ( н ) в радиани. Тези. 2πn радиан.

Всичко? Не. Нарочно удължавам удоволствието. За да запомним по-добре.) Получихме само част от отговорите на нашето уравнение. Ще напиша тази първа част от решението така:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

х 1 - не само един корен, а цяла поредица от корени, записани в кратка форма.

Но има и ъгли, които също дават косинус от 0,5!

Да се върнем към нашата снимка, от която записахме отговора. Ето я:

Задръжте мишката върху изображението и виждамедруг ъгъл, който също дава косинус от 0,5.На какво мислите, че е равно? Триъгълниците са еднакви... Да! То е равно на ъгъла х , само забавени в отрицателна посока. Това е ъгълът -Х. Но вече сме изчислили x. π /3 или 60°. Следователно можем спокойно да напишем:

x 2 = - π /3

Е, разбира се, добавяме всички ъгли, които се получават чрез пълни обороти:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Това е всичко сега.) На тригонометричната окръжност ние трион(който разбира, разбира се)) всичкоъгли, които дават косинус от 0,5. И ние записахме тези ъгли в кратка математическа форма. Отговорът доведе до две безкрайни серии от корени:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Това е правилният отговор.

надежда, общ принцип за решаване на тригонометрични уравненияизползването на кръг е ясно. Отбелязваме върху окръжност косинуса (синус, тангенс, котангенс) от даденото уравнение, начертаваме съответстващите му ъгли и записваме отговора.Разбира се, трябва да разберем какви ъгли сме трионвърху кръга. Понякога не е толкова очевидно. Е, казах, че тук е необходима логика.)

Например, нека разгледаме друго тригонометрично уравнение:

Моля, имайте предвид, че числото 0,5 не е единственото възможно число в уравненията!) Просто ми е по-удобно да го напиша, отколкото корени и дроби.

Ние работим според общия принцип. Начертаваме кръг, маркираме (на синусовата ос, разбира се!) 0,5. Начертаваме всички ъгли, съответстващи на този синус наведнъж. Получаваме тази снимка:

Нека първо се заемем с ъгъла х през първото тримесечие. Спомняме си таблицата на синусите и определяме стойността на този ъгъл. Това е проста работа:

x = π /6

Спомняме си за пълни обороти и, с чиста съвест, записваме първата поредица от отговори:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

Половината работа е свършена. Но сега трябва да определим втори ъгъл...По-сложно е от косинусите, да... Но логиката ще ни спаси! Как да определим втория ъгъл през х? Да Лесно! Триъгълниците на снимката са еднакви и червеният ъгъл х равен на ъгъл х . Само той се брои от ъгъла π в отрицателна посока. Затова е червен.) А за отговора ни трябва ъгъл, измерен правилно от положителната полуос OX, т.е. от ъгъл 0 градуса.

Задръжте курсора върху чертежа и виждаме всичко. Премахнах първия ъгъл, за да не усложнявам картината. Ъгълът, който ни интересува (начертан в зелено), ще бъде равен на:

π - х

X знаем това π /6 . Следователно вторият ъгъл ще бъде:

π - π /6 = 5π /6

Отново си спомняме за добавянето на пълни обороти и записваме втората серия от отговори:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Това е всичко. Пълният отговор се състои от две серии от корени:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Тангенсните и котангенсните уравнения могат лесно да бъдат решени, като се използва същият общ принцип за решаване на тригонометрични уравнения. Ако, разбира се, знаете как да начертаете тангенс и котангенс върху тригонометрична окръжност.

В примерите по-горе използвах табличната стойност на синус и косинус: 0,5. Тези. едно от онези значения, които ученикът знае трябва да.Сега нека разширим възможностите си до всички други стойности.Решете, значи решете!)

И така, да кажем, че трябва да решим това тригонометрично уравнение:

В кратките таблици няма такава косинусова стойност. Хладно пренебрегваме този ужасен факт. Начертайте кръг, маркирайте 2/3 върху косинусната ос и начертайте съответните ъгли. Получаваме тази снимка.

Нека да разгледаме първо ъгъла в първата четвърт. Само ако знаехме на какво е равно x, веднага щяхме да запишем отговора! Не знаем... Провал!? Спокоен! Математиката не оставя своя народ в беда! Тя измисли дъгови косинуси за този случай. Не знам? Напразно. Разберете, това е много по-лесно, отколкото си мислите. На този линк няма нито едно сложно заклинание за "обратни тригонометрични функции"... Това е излишно в тази тема.

Ако сте наясно, просто си кажете: "X е ъгъл, чийто косинус е равен на 2/3." И веднага, чисто по дефиницията на аркосинус, можем да напишем:

Спомняме си за допълнителните обороти и спокойно записваме първата серия от корени на нашето тригонометрично уравнение:

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Втората поредица от корени за втория ъгъл се записва почти автоматично. Всичко е същото, само X (arccos 2/3) ще бъде с минус:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

И това е! Това е правилният отговор. Дори по-лесно, отколкото с таблични стойности. Няма нужда да помните нищо.) Между другото, най-внимателните ще забележат, че тази снимка показва решението през аркосинус по същество не се различава от картината за уравнението cosx = 0,5.

Точно! Общ принципЕто защо е често срещано! Съзнателно нарисувах две почти еднакви картини. Кръгът ни показва ъгъла х по своя косинус. Дали е табличен косинус или не, не е известно на всички. Какъв вид ъгъл е това, π /3, или какво е арккосинус - това зависи от нас да решим.

Същата песен със синуса. Например:

Начертайте отново кръг, маркирайте синуса, равен на 1/3, начертайте ъглите. Това е картината, която получаваме:

И отново картината е почти същата като при уравнението sinx = 0,5.Отново започваме от корнер през първата четвърт. На какво е равно X, ако неговият синус е 1/3? Няма проблем!

Сега първият пакет корени е готов:

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Нека се заемем с втория ъгъл. В примера с таблична стойност от 0,5 тя е равна на:

π - х

И тук ще бъде абсолютно същото! Само х е различно, arcsin 1/3. И какво от това!? Можете спокойно да запишете втория пакет корени:

x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Това е напълно правилен отговор. Въпреки че не изглежда много познато. Но е ясно, надявам се.)

Ето как тригонометричните уравнения се решават с помощта на кръг. Този път е ясен и разбираем. Той е този, който спестява в тригонометрични уравнения с избор на корени на даден интервал, в тригонометрични неравенства - те обикновено се решават почти винаги в кръг. Накратко, във всякакви задачи, които са малко по-трудни от стандартните.

Да приложим знанията на практика?)

Решете тригонометрични уравнения:

Първо, по-просто, направо от този урок.

Сега е по-сложно.

Съвет: тук ще трябва да помислите за кръга. Лично.)

И сега те са външно прости... Наричат ги още специални случаи.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Подсказка: тук трябва да разберете в кръг къде има две серии от отговори и къде има една... И как да напишете една вместо две серии от отговори. Да, за да не се загуби нито един корен от безкраен брой!)

Е, много просто):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Съвет: тук трябва да знаете какво са арксинус и аркосинус? Какво е арктангенс, арккотангенс? Най-простите определения. Но не е необходимо да помните стойности на таблица!)

Отговорите, разбира се, са бъркотия):

х 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
х 2= π - arcsin0,3 + 2

Не всичко се получава? Случва се. Прочетете урока отново. само замислено(има такава остаряла дума...) И следвайте връзките. Основните връзки са за кръга. Без нея тригонометрията е като пресичане на пътя със завързани очи. Понякога работи.)

Ако харесвате този сайт...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Да учим - с интерес!)

Можете да се запознаете с функции и производни.

Изисква познаване на основните формули на тригонометрията - сбор от квадратите на синус и косинус, изразяване на тангенс през синус и косинус и др. За тези, които са ги забравили или не ги знаят, препоръчваме да прочетете статията "".
И така, знаем основните тригонометрични формули, време е да ги използваме на практика. Решаване на тригонометрични уравненияс правилен подход - съвсем вълнуваща дейност, като например решаването на кубче на Рубик.

От самото име става ясно, че тригонометричното уравнение е уравнение, в което неизвестното е под знака на тригонометричната функция.
Има така наречените най-прости тригонометрични уравнения. Ето как изглеждат: sinx = a, cos x = a, tan x = a. Нека помислим как се решават такива тригонометрични уравнения, за яснота ще използваме вече познатата тригонометрична окръжност.

sinx = а

cos x = a

тен х = а

детско легло x = a

Всяко тригонометрично уравнение се решава на два етапа: свеждаме уравнението до най-простата му форма и след това го решаваме като просто тригонометрично уравнение.
Има 7 основни метода, чрез които се решават тригонометрични уравнения.

Заместване на променливи и метод на заместване

Решете уравнението 2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0

Използвайки формулите за намаляване, получаваме:

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

Заменете cos(x + /6) с y, за да опростите и да получите обичайното квадратно уравнение:

2y 2 – 3y + 1 + 0

Корените на което са y 1 = 1, y 2 = 1/2

Сега да вървим в обратен ред

Заменяме намерените стойности на y и получаваме две опции за отговор:

Решаване на тригонометрични уравнения чрез факторизация

Как да решим уравнението sin x + cos x = 1?

Нека преместим всичко наляво, така че 0 да остане отдясно:

sin x + cos x – 1 = 0

Нека използваме идентичностите, обсъдени по-горе, за да опростим уравнението:

sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

Нека разложим на множители:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

Получаваме две уравнения

Свеждане до хомогенно уравнение

Едно уравнение е хомогенно по отношение на синус и косинус, ако всички негови членове са относителни към синус и косинус на една и съща степен на същия ъгъл. За да решите хомогенно уравнение, продължете както следва:

а) прехвърлете всичките си членове от лявата страна;

б) извадете всички общи множители извън скоби;

в) приравнете всички множители и скоби на 0;

г) в скоби се получава хомогенно уравнение от по-ниска степен, което от своя страна се разделя на синус или косинус от по-висока степен;

д) решете полученото уравнение за tg.

Решете уравнението 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

Нека използваме формулата sin 2 x + cos 2 x = 1 и да се отървем от отворените две отдясно:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

Разделете на cos x:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Заменете tan x с y и получете квадратно уравнение:

y 2 + 4y +3 = 0, чиито корени са y 1 =1, y 2 = 3

От тук намираме две решения на първоначалното уравнение:

x 2 = арктан 3 + k

Решаване на уравнения чрез преход към половин ъгъл

Решете уравнението 3sin x – 5cos x = 7

Да преминем към x/2:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Нека преместим всичко наляво:

2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

Разделете на cos(x/2):

tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

Въвеждане на спомагателен ъгъл

За разглеждане нека вземем уравнение от вида: a sin x + b cos x = c,

където a, b, c са произволни коефициенти, а x е неизвестно.

Нека разделим двете страни на уравнението на:

Сега коефициентите на уравнението, според тригонометричните формули, имат свойствата sin и cos, а именно: техният модул е не повече от 1 и сумата на квадратите = 1. Нека ги обозначим съответно като cos и sin, където - това е така нареченият спомагателен ъгъл. Тогава уравнението ще приеме формата:

cos * sin x + sin * cos x = C

или sin(x + ) = C

Решението на това най-просто тригонометрично уравнение е

x = (-1) k * arcsin C - + k, където