Der Modul einer nicht negativen Zahl ist eine nicht negative Zahl. Mathematiktests: Positive und negative Zahlen, Zahlenmodul

Als Sonderzahl hat sie kein Vorzeichen.

Beispiele für das Schreiben von Zahlen: + 36, 6; − 273 ; 142. (\displaystyle +36(,)6;\ (-)273;\ 142.) Die letzte Zahl hat kein Vorzeichen und ist daher positiv.

Es ist zu beachten, dass Plus und Minus Vorzeichen für Zahlen angeben, nicht jedoch für Literalvariablen oder algebraische Ausdrücke. Zum Beispiel in Formeln − t ; a+b; − (a 2 + b 2) (\displaystyle -t;\ a+b;\ -(a^(2)+b^(2))) Die Plus- und Minuszeichen geben nicht das Vorzeichen des Ausdrucks an, dem sie vorangehen, sondern das Vorzeichen der arithmetischen Operation, sodass das Vorzeichen des Ergebnisses beliebig sein kann; es wird erst bestimmt, nachdem der Ausdruck ausgewertet wurde.

Neben der Arithmetik wird der Zeichenbegriff auch in anderen Teilgebieten der Mathematik verwendet, unter anderem für nichtnumerische mathematische Objekte (siehe unten). Das Konzept des Vorzeichens ist auch in den Bereichen der Physik wichtig, in denen physikalische Größen in zwei Klassen eingeteilt werden, die üblicherweise als positiv und negativ bezeichnet werden – zum Beispiel elektrische Ladungen, positive und negative Rückkopplung, verschiedene Anziehungs- und Abstoßungskräfte.

Nummernschild

Positive und negative Zahlen

Der Null ist also kein Vorzeichen zugeordnet + 0 (\displaystyle +0) Und − 0 (\displaystyle -0)- das ist die gleiche Zahl in der Arithmetik. In der mathematischen Analyse die Bedeutung von Symbolen + 0 (\displaystyle +0) Und − 0 (\displaystyle -0) kann variieren, siehe hierzu Negative und positive Null; In der Informatik kann die Computercodierung von zwei Nullen (Ganzzahltyp) unterschiedlich sein, siehe Direkter Code.

Im Zusammenhang mit dem oben Gesagten werden einige weitere nützliche Begriffe eingeführt:

• Nummer nicht negativ, wenn es größer oder gleich Null ist.
• Nummer Negativ, wenn er kleiner oder gleich Null ist.
• Positive Zahlen ohne Null und negative Zahlen ohne Null werden manchmal (um zu betonen, dass sie ungleich Null sind) „streng positiv“ bzw. „streng negativ“ genannt.

Die gleiche Terminologie wird manchmal für reale Funktionen verwendet. Beispielsweise wird die Funktion aufgerufen positiv, wenn alle seine Werte positiv sind, nicht negativ, wenn alle ihre Werte nicht negativ sind usw. Man sagt auch, dass eine Funktion in einem bestimmten Intervall ihrer Definition positiv/negativ ist.

Ein Beispiel für die Verwendung der Funktion finden Sie im Artikel Quadratwurzel#Komplexe Zahlen.

Modul (Absolutwert) einer Zahl

Wenn die Nummer x (\displaystyle x) Verwerfen Sie das Vorzeichen, der resultierende Wert wird aufgerufen Modul oder Absolutwert Zahlen x (\displaystyle x), es wird bezeichnet | x | . (\displaystyle |x|.) Beispiele: | 3 | = 3 ; | − 3 | = 3. (\displaystyle |3|=3;\ |(-3)|=3.)

Für alle reellen Zahlen a , b (\displaystyle a,b) Die folgenden Eigenschaften gelten.

Zeichen für nicht numerische Objekte

Winkelzeichen

Der Wert eines Winkels auf einer Ebene gilt als positiv, wenn er gegen den Uhrzeigersinn gemessen wird, andernfalls als negativ. Zwei Rotationsfälle werden ähnlich klassifiziert:

• Drehung auf einer Ebene – beispielsweise erfolgt eine Drehung um (–90°) im Uhrzeigersinn;
• Eine Drehung im Raum um eine orientierte Achse gilt im Allgemeinen als positiv, wenn die „Gimlet-Regel“ erfüllt ist, andernfalls gilt sie als negativ.

Richtungszeichen

In der analytischen Geometrie und Physik werden Fortschritte entlang einer bestimmten Geraden oder Kurve üblicherweise häufig in positive und negative unterteilt. Eine solche Aufteilung kann von der Formulierung des Problems oder vom gewählten Koordinatensystem abhängen. Wenn man beispielsweise die Bogenlänge einer Kurve berechnet, ist es oft sinnvoll, dieser Länge in einer von zwei möglichen Richtungen ein Minuszeichen zuzuweisen.

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höchstwertiges Bit
0	1	1	1	1	1	1	1	=	127
0	1	1	1	1	1	1	0	=	126
0	0	0	0	0	0	1	0	=	2
0	0	0	0	0	0	0	1	=	1
0	0	0	0	0	0	0	0	=	0
1	1	1	1	1	1	1	1	=	−1
1	1	1	1	1	1	1	0	=	−2
1	0	0	0	0	0	0	1	=	−127
1	0	0	0	0	0	0	0	=	−128
Um das Vorzeichen einer ganzen Zahl darzustellen, verwenden die meisten Computer

Lernziele

Schulkinder an ein mathematisches Konzept wie den Modul einer Zahl heranzuführen;
Schülern die Fähigkeit beizubringen, Zahlenmodule zu finden;
Vertiefen Sie das Gelernte, indem Sie verschiedene Aufgaben erledigen.

Aufgaben

Das Wissen der Kinder über den Zahlenmodul stärken;
Überprüfen Sie durch das Lösen von Testaufgaben, wie die Studierenden den Lernstoff beherrschen;
Wecken Sie weiterhin Interesse am Mathematikunterricht;
Logisches Denken, Neugier und Ausdauer bei Schulkindern fördern.

Unterrichtsplan

1. Allgemeine Konzepte und Definition des Moduls einer Zahl.
2. Geometrische Bedeutung des Moduls.
3. Der Modul einer Zahl und ihre Eigenschaften.
4. Lösen von Gleichungen und Ungleichungen, die den Modul einer Zahl enthalten.
5. Historische Informationen zum Begriff „Modul einer Zahl“.
6. Aufgabe zur Festigung des Wissens über das behandelte Thema.
7. Hausaufgaben.

Allgemeine Konzepte zum Modul einer Zahl

Der Modul einer Zahl wird normalerweise als Zahl selbst bezeichnet, wenn sie keinen negativen Wert hat oder dieselbe Zahl negativ ist, jedoch mit umgekehrtem Vorzeichen.

Das heißt, der Modul einer nicht negativen reellen Zahl a ist die Zahl selbst:

Und der Modul einer negativen reellen Zahl x ist die entgegengesetzte Zahl:

Bei der Aufnahme sieht es so aus:

Für ein leichteres Verständnis geben wir ein Beispiel. So ist zum Beispiel der Modul der Zahl 3 3, und auch der Modul der Zahl -3 ist 3.

Daraus folgt, dass der Modul einer Zahl einen absoluten Wert bedeutet, also ihren absoluten Wert, jedoch ohne Berücksichtigung ihres Vorzeichens. Um es noch einfacher auszudrücken: Es ist notwendig, das Zeichen von der Nummer zu entfernen.

Der Modul einer Zahl kann wie folgt bezeichnet werden und aussehen: |3|, |x|, |a| usw.

So wird beispielsweise der Modul der Zahl 3 mit |3| bezeichnet.

Außerdem sollte beachtet werden, dass der Modul einer Zahl niemals negativ ist: |a|≥ 0.

|5| = 5, |-6| = 6, |-12,45| = 12,45 usw.

Geometrische Bedeutung des Moduls

Der Modul einer Zahl ist der Abstand, der in Einheitssegmenten vom Ursprung zum Punkt gemessen wird. Diese Definition offenbart das Modul aus geometrischer Sicht.

Nehmen wir eine Koordinatenlinie und markieren Sie darauf zwei Punkte. Lassen Sie diese Punkte Zahlen wie −4 und 2 entsprechen.

Achten wir nun auf diese Zahl. Wir sehen, dass der auf der Koordinatenlinie angezeigte Punkt A der Zahl -4 entspricht, und wenn Sie genau hinschauen, werden Sie feststellen, dass dieser Punkt in einem Abstand von 4 Einheitssegmenten vom Referenzpunkt 0 liegt. Daraus folgt, dass die Länge des Segments OA vier Einheiten beträgt. In diesem Fall entspricht die Länge des Segments OA, also der Zahl 4, dem Modul der Zahl -4.

In diesem Fall wird der Modul einer Zahl folgendermaßen bezeichnet und geschrieben: |−4| = 4.

Nehmen wir nun den Punkt B auf der Koordinatenlinie und markieren ihn.

Dieser Punkt B entspricht der Zahl +2 und liegt, wie wir sehen, in einem Abstand von zwei Einheitssegmenten vom Ursprung. Daraus folgt, dass die Länge des Segments OB zwei Einheiten beträgt. In diesem Fall ist die Zahl 2 der Modul der Zahl +2.

In der Aufnahme sieht es so aus: |+2| = 2 oder |2| = 2.

Fassen wir nun zusammen. Wenn wir eine unbekannte Zahl a nehmen und sie auf der Koordinatenlinie als Punkt A bezeichnen, dann ist in diesem Fall der Abstand vom Punkt A zum Ursprung, also die Länge des Segments OA, genau der Modul der Zahl „a“. “.

Schriftlich sieht es so aus: |a| = OA.

Der Modul einer Zahl und seine Eigenschaften

Versuchen wir nun, die Eigenschaften des Moduls hervorzuheben, alle möglichen Fälle zu berücksichtigen und sie mit Literalausdrücken zu schreiben:

Erstens ist der Modul einer Zahl eine nicht negative Zahl, was bedeutet, dass der Modul einer positiven Zahl gleich der Zahl selbst ist: |a| = a, wenn a > 0;

Zweitens sind die Module, die aus entgegengesetzten Zahlen bestehen, gleich: |a| = |–a|. Das heißt, diese Eigenschaft sagt uns, dass entgegengesetzte Zahlen immer gleiche Module haben, genau wie auf einer Koordinatenlinie, obwohl sie entgegengesetzte Zahlen haben, haben sie den gleichen Abstand vom Referenzpunkt. Daraus folgt, dass die Module dieser entgegengesetzten Zahlen gleich sind.

Drittens ist der Modul von Null gleich Null, wenn diese Zahl Null ist: |0| = 0, wenn a = 0. Hier können wir mit Sicherheit sagen, dass der Modul von Null per Definition Null ist, da er dem Ursprung der Koordinatenlinie entspricht.

Die vierte Eigenschaft eines Moduls besteht darin, dass der Modul des Produkts zweier Zahlen gleich dem Produkt der Module dieser Zahlen ist. Schauen wir uns nun genauer an, was das bedeutet. Wenn wir der Definition folgen, wissen Sie und ich, dass der Modul des Produkts der Zahlen a und b gleich a b oder −(a b), wenn a b ≥ 0, oder – (a b), wenn a b größer ist als ist 0. B-Aufnahme sieht dann so aus: |a b| = |a| |b|.

Die fünfte Eigenschaft besteht darin, dass der Modul des Zahlenquotienten gleich dem Verhältnis der Module dieser Zahlen ist: |a:b| = |a| : |b|.

Und die folgenden Eigenschaften des Zahlenmoduls:

Lösen von Gleichungen und Ungleichungen, die den Modul einer Zahl beinhalten

Wenn Sie mit der Lösung von Problemen mit einem Zahlenmodul beginnen, sollten Sie bedenken, dass es zur Lösung einer solchen Aufgabe erforderlich ist, das Vorzeichen des Moduls anhand der Kenntnis der Eigenschaften, denen dieses Problem entspricht, aufzudecken.

Übung 1

Wenn also beispielsweise unter dem Modulzeichen ein Ausdruck steht, der von einer Variablen abhängt, dann sollte das Modul gemäß der Definition erweitert werden:

Natürlich gibt es bei der Lösung von Problemen Fälle, in denen das Modul eindeutig offenbart wird. Wenn wir zum Beispiel nehmen

, hier sehen wir, dass ein solcher Ausdruck unter dem Modulzeichen für alle Werte von x und y nicht negativ ist.

Oder nehmen wir zum Beispiel

, sehen wir, dass dieser Modulausdruck für keinen Wert von z positiv ist.

Aufgabe 2

Vor Ihnen wird eine Koordinatenlinie angezeigt. In dieser Zeile müssen die Zahlen markiert werden, deren Modul gleich 2 ist.

Lösung

Zunächst müssen wir eine Koordinatenlinie zeichnen. Sie wissen bereits, dass Sie dazu zunächst auf der Geraden den Ursprung, die Richtung und das Einheitssegment auswählen müssen. Als nächstes müssen wir Punkte vom Ursprung aus platzieren, die dem Abstand zweier Einheitssegmente entsprechen.

Wie Sie sehen, gibt es auf der Koordinatenlinie zwei solcher Punkte, von denen einer der Zahl -2 und der andere der Zahl 2 entspricht.

Historische Informationen zum Zahlenmodul

Der Begriff „Modul“ kommt vom lateinischen Namen modulus, was „Maß“ bedeutet. Dieser Begriff wurde vom englischen Mathematiker Roger Cotes geprägt. Aber das Modulzeichen wurde dank des deutschen Mathematikers Karl Weierstrass eingeführt. Beim Schreiben wird ein Modul mit dem folgenden Symbol gekennzeichnet: | |.

Fragen zur Festigung des Wissens über den Stoff

In der heutigen Lektion haben wir uns mit einem Konzept wie dem Modul einer Zahl vertraut gemacht. Lassen Sie uns nun anhand der Beantwortung der gestellten Fragen überprüfen, wie Sie dieses Thema beherrschen:

1. Wie heißt die Zahl, die das Gegenteil einer positiven Zahl ist?
2. Wie heißt die Zahl, die das Gegenteil einer negativen Zahl ist?
3. Nennen Sie die Zahl, die das Gegenteil von Null ist. Gibt es eine solche Nummer?
4. Nennen Sie eine Zahl, die kein Modul einer Zahl sein kann.
5. Definieren Sie den Modul einer Zahl.

Hausaufgaben

1. Vor Ihnen liegen Zahlen, die Sie in absteigender Reihenfolge der Module anordnen müssen. Wenn Sie die Aufgabe richtig lösen, erfahren Sie den Namen der Person, die den Begriff „Modul“ erstmals in die Mathematik eingeführt hat.

2. Zeichnen Sie eine Koordinatenlinie und ermitteln Sie den Abstand von M (-5) und K (8) zum Ursprung.

Fächer > Mathematik > Mathematik 6. Klasse

Zahlenmodul diese Zahl selbst heißt, wenn sie nicht negativ ist, oder dieselbe Zahl mit umgekehrtem Vorzeichen, wenn sie negativ ist.

Beispielsweise beträgt der Modul der Zahl 5 5 und der Modul der Zahl –5 beträgt ebenfalls 5.

Das heißt, unter dem Modul einer Zahl versteht man den Absolutwert, den Absolutwert dieser Zahl ohne Berücksichtigung ihres Vorzeichens.

Wird wie folgt bezeichnet: |5|, | X|, |A| usw.

Regel:

Erläuterung:

|5| = 5
Es liest sich so: Der Modul der Zahl 5 ist 5.

|–5| = –(–5) = 5
Es liest sich so: Der Modul der Zahl –5 ist 5.

|0| = 0
Es liest sich so: Der Modul von Null ist Null.

Moduleigenschaften:

1) Der Modul einer Zahl ist eine nicht negative Zahl: |A| ≥ 0 2) Die Module entgegengesetzter Zahlen sind gleich: |A| = |–A| 3) Das Quadrat des Moduls einer Zahl ist gleich dem Quadrat dieser Zahl: |A| 2 = eine 2 4) Der Modul des Zahlenprodukts ist gleich dem Produkt der Moduli dieser Zahlen: |A · B| = |A| · | B| 6) Der Modul einer Quotientenzahl ist gleich dem Verhältnis der Module dieser Zahlen: |A : B| = |A| : |B| 7) Der Modul der Summe der Zahlen ist kleiner oder gleich der Summe ihrer Module: |A + B| ≤ |A| + |B| 8) Der Modul der Differenz zwischen Zahlen ist kleiner oder gleich der Summe ihrer Module: |A – B| ≤ |A| + |B| 9) Der Modul der Summe/Differenz von Zahlen ist größer oder gleich dem Modul der Differenz ihrer Module: |A ± B| ≥ ||A| – |B|| 10) Aus dem Modulzeichen lässt sich ein konstanter positiver Multiplikator entnehmen: |M · A| = M · | A|, M >0 11) Die Potenz einer Zahl lässt sich aus dem Modulzeichen entnehmen: |A k | = | A| k, wenn ein k existiert 12) Wenn | A| = |B|, dann A = ± B

Geometrische Bedeutung des Moduls.

Der Modul einer Zahl ist der Abstand von Null zu dieser Zahl.

Nehmen wir zum Beispiel wieder die Zahl 5. Der Abstand von 0 bis 5 ist der gleiche wie von 0 bis –5 (Abb. 1). Und wenn es für uns wichtig ist, nur die Länge des Segments zu kennen, dann hat das Zeichen nicht nur Bedeutung, sondern auch Bedeutung. Dies ist jedoch nicht ganz richtig: Wir messen Entfernungen nur mit positiven Zahlen – oder nicht negativen Zahlen. Sei der Teilungspreis unserer Skala 1 cm, dann beträgt die Länge des Segments von Null bis 5 5 cm, von Null bis –5 ebenfalls 5 cm.

In der Praxis wird der Abstand häufig nicht nur vom Nullpunkt aus gemessen – der Bezugspunkt kann eine beliebige Zahl sein (Abb. 2). Aber das ändert nichts am Wesen. Notation der Form |a – b| drückt den Abstand zwischen Punkten aus A Und B auf dem Zahlenstrahl.

Beispiel 1. Lösen Sie die Gleichung | X – 1| = 3.

Lösung .

Die Bedeutung der Gleichung ist der Abstand zwischen Punkten X und 1 ist gleich 3 (Abb. 2). Daher zählen wir ab Punkt 1 drei Divisionen nach links und drei Divisionen nach rechts – und sehen beide Werte deutlich X:
X 1 = –2, X 2 = 4.

Wir können es berechnen.

│X – 1 = 3
│X – 1 = –3

│X = 3 + 1
│X = –3 + 1

│X = 4
│ X = –2.

Antwort : X 1 = –2; X 2 = 4.

Beispiel 2. Ausdrucksmodul finden:

Lösung .

Lassen Sie uns zunächst herausfinden, ob der Ausdruck positiv oder negativ ist. Dazu transformieren wir den Ausdruck so, dass er aus homogenen Zahlen besteht. Suchen wir nicht nach der Wurzel aus 5 – das ist ziemlich schwierig. Machen wir es einfacher: Erhöhen wir 3 und 10 zur Wurzel. Vergleichen Sie dann die Größe der Zahlen, die die Differenz ausmachen:

3 = √9. Daher ist 3√5 = √9 √5 = √45

10 = √100.

Wir sehen, dass die erste Zahl kleiner ist als die zweite. Das bedeutet, dass der Ausdruck negativ ist, das heißt, seine Antwort ist kleiner als Null:

3√5 – 10 < 0.

Aber nach der Regel ist der Modul einer negativen Zahl dieselbe Zahl mit umgekehrtem Vorzeichen. Wir haben einen negativen Ausdruck. Daher ist es notwendig, das Vorzeichen in das entgegengesetzte zu ändern. Der entgegengesetzte Ausdruck für 3√5 – 10 ist –(3√5 – 10). Öffnen wir die Klammern darin und erhalten Sie die Antwort:

–(3√5 – 10) = –3√5 + 10 = 10 – 3√5.

Antwort .

Heute, Freunde, wird es weder Rotz noch Sentimentalität geben. Stattdessen schicke ich Sie ohne weitere Fragen in den Kampf mit einem der furchterregendsten Gegner im Algebrakurs der 8. bis 9. Klasse.

Ja, Sie haben alles richtig verstanden: Wir sprechen von Ungleichungen mit Modul. Wir betrachten vier grundlegende Techniken, mit denen Sie lernen, etwa 90 % dieser Probleme zu lösen. Was ist mit den restlichen 10 %? Nun, wir werden in einer separaten Lektion darüber sprechen. :)

Bevor ich jedoch eine der Techniken analysiere, möchte ich Sie an zwei Fakten erinnern, die Sie bereits wissen müssen. Andernfalls besteht die Gefahr, dass Sie den Stoff der heutigen Lektion überhaupt nicht verstehen.

Was Sie bereits wissen müssen

Captain Obviousness scheint anzudeuten, dass man zum Lösen von Ungleichungen mit dem Modul zwei Dinge wissen muss:

1. Wie Ungleichheiten gelöst werden;
2. Was ist ein Modul?

Beginnen wir mit dem zweiten Punkt.

Moduldefinition

Hier ist alles einfach. Es gibt zwei Definitionen: algebraisch und grafisch. Zunächst einmal - algebraisch:

Definition. Der Modul einer Zahl $x$ ist entweder die Zahl selbst, wenn sie nicht negativ ist, oder die ihr entgegengesetzte Zahl, wenn das ursprüngliche $x$ noch negativ ist.

Es ist so geschrieben:

\[\left| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(align) \right.\]

Vereinfacht ausgedrückt ist ein Modul eine „Zahl ohne Minus“. Und in dieser Dualität (an manchen Stellen muss man nichts mit der ursprünglichen Zahl machen, an anderen muss man eine Art Minus entfernen) liegt die ganze Schwierigkeit für Studienanfänger.

Es gibt auch eine geometrische Definition. Es ist auch nützlich, es zu wissen, aber wir werden uns nur in komplexen und einigen Spezialfällen damit befassen, in denen der geometrische Ansatz bequemer ist als der algebraische (Spoiler: nicht heute).

Definition. Der Punkt $a$ sei auf dem Zahlenstrahl markiert. Dann das Modul $\left| x-a \right|$ ist der Abstand vom Punkt $x$ zum Punkt $a$ auf dieser Linie.

Wenn Sie ein Bild zeichnen, erhalten Sie etwa Folgendes:

Grafische Moduldefinition

Auf die eine oder andere Weise folgt aus der Definition eines Moduls seine Schlüsseleigenschaft sofort: Der Modul einer Zahl ist immer eine nicht negative Größe. Diese Tatsache wird sich heute wie ein roter Faden durch unsere gesamte Erzählung ziehen.

Ungleichheiten lösen. Intervallmethode

Schauen wir uns nun die Ungleichheiten an. Davon gibt es sehr viele, aber unsere Aufgabe besteht nun darin, zumindest die einfachsten davon lösen zu können. Diejenigen, die sich auf lineare Ungleichungen sowie auf die Intervallmethode reduzieren lassen.

Ich habe zwei große Lektionen zu diesem Thema (übrigens sehr, SEHR nützlich – ich empfehle, sie zu studieren):

1. Intervallmethode für Ungleichungen (siehe insbesondere das Video);
2. Bruchrationale Ungleichungen sind eine sehr umfangreiche Lektion, aber danach werden Sie überhaupt keine Fragen mehr haben.

Wenn Sie das alles wissen, wenn der Satz „Lasst uns von der Ungleichung zur Gleichung übergehen“ nicht den vagen Wunsch weckt, sich gegen die Wand zu schlagen, dann sind Sie bereit: Willkommen in der Hölle zum Hauptthema der Lektion. :)

1. Ungleichungen der Form „Modul ist kleiner als Funktion“

Dies ist eines der häufigsten Probleme bei Modulen. Es ist erforderlich, eine Ungleichung der Form zu lösen:

\[\left| f\right| \ltg\]

Die Funktionen $f$ und $g$ können alles sein, aber normalerweise sind sie Polynome. Beispiele für solche Ungleichheiten:

\[\begin(align) & \left| 2x+3 \right| \lt x+7; \\ & \left| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0; \\ & \left| ((x)^(2))-2\left| x \right|-3 \right| \lt 2. \\\end(align)\]

Alle können nach folgendem Schema buchstäblich in einer Zeile gelöst werden:

\[\left| f\right| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(align) \richtig richtig)\]

Es ist leicht zu erkennen, dass wir das Modul loswerden, dafür aber eine doppelte Ungleichung erhalten (oder, was dasselbe ist, ein System aus zwei Ungleichungen). Aber dieser Übergang berücksichtigt absolut alle möglichen Probleme: Wenn die Zahl unter dem Modul positiv ist, funktioniert die Methode; wenn negativ, funktioniert es immer noch; und selbst mit der ungeeignetsten Funktion anstelle von $f$ oder $g$ funktioniert die Methode immer noch.

Da stellt sich natürlich die Frage: Könnte es nicht einfacher sein? Leider ist es nicht möglich. Das ist der springende Punkt des Moduls.

Aber genug mit dem Philosophieren. Lassen Sie uns ein paar Probleme lösen:

Aufgabe. Lösen Sie die Ungleichung:

\[\left| 2x+3 \right| \lt x+7\]

Lösung. Wir haben also eine klassische Ungleichung der Form „Der Modul ist kleiner“ vor uns – es gibt sogar nichts zu transformieren. Wir arbeiten nach dem Algorithmus:

\[\begin(align) & \left| f\right| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g; \\ & \left| 2x+3 \right| \lt x+7\Rightarrow -\left(x+7 \right) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(align)\]

Beeilen Sie sich nicht, die Klammern mit vorangestelltem „Minus“ zu öffnen: Es ist durchaus möglich, dass Sie aufgrund Ihrer Eile einen beleidigenden Fehler machen.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

Das Problem wurde auf zwei elementare Ungleichungen reduziert. Beachten wir ihre Lösungen auf parallelen Zahlengeraden:

Schnittpunkt von vielen

Der Schnittpunkt dieser Mengen wird die Antwort sein.

Antwort: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Aufgabe. Lösen Sie die Ungleichung:

\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0\]

Lösung. Diese Aufgabe ist etwas schwieriger. Isolieren wir zunächst das Modul, indem wir den zweiten Term nach rechts verschieben:

\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \right| \lt -3\left(x+1 \right)\]

Offensichtlich haben wir wieder eine Ungleichung der Form „das Modul ist kleiner“, also entfernen wir das Modul mit dem bereits bekannten Algorithmus:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]

Jetzt aufgepasst: Jemand wird sagen, dass ich mit all diesen Klammern ein bisschen pervers bin. Aber ich möchte Sie noch einmal daran erinnern, dass unser Hauptziel ist Lösen Sie die Ungleichung richtig und erhalten Sie die Antwort. Wenn Sie später alles, was in dieser Lektion beschrieben wird, perfekt beherrschen, können Sie es nach Belieben selbst verdrehen: Klammern öffnen, Minuspunkte hinzufügen usw.

Zunächst entfernen wir einfach das doppelte Minus auf der linken Seite:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\left(x+1 \right)\]

Öffnen wir nun alle Klammern in der doppelten Ungleichung:

Kommen wir zur doppelten Ungleichung. Diesmal werden die Berechnungen ernster sein:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( rechts ausrichten.\]

Beide Ungleichungen sind quadratisch und können mit der Intervallmethode gelöst werden (deswegen sage ich: Wer das nicht kennt, nimmt sich besser noch nicht mit Modulen an). Kommen wir zur Gleichung in der ersten Ungleichung:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\left(x+5 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\end(align)\]

Wie Sie sehen, ist das Ergebnis eine unvollständige quadratische Gleichung, die auf elementare Weise gelöst werden kann. Schauen wir uns nun die zweite Ungleichung des Systems an. Dort müssen Sie den Satz von Vieta anwenden:

\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\end(align)\]

Wir markieren die resultierenden Zahlen auf zwei parallelen Linien (getrennt für die erste Ungleichung und getrennt für die zweite):

Da wir ein System von Ungleichungen lösen, sind wir wiederum am Schnittpunkt der schattierten Mengen interessiert: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Das ist die Antwort.

Antwort: $x\in \left(-5;-2 \right)$

Ich denke, dass das Lösungsschema nach diesen Beispielen äußerst klar ist:

1. Isolieren Sie das Modul, indem Sie alle anderen Terme auf die entgegengesetzte Seite der Ungleichung verschieben. Somit erhalten wir eine Ungleichung der Form $\left| f\right| \ltg$.
2. Lösen Sie diese Ungleichung, indem Sie das Modul gemäß dem oben beschriebenen Schema entfernen. Irgendwann wird es notwendig sein, von der doppelten Ungleichung zu einem System aus zwei unabhängigen Ausdrücken überzugehen, von denen jeder bereits separat gelöst werden kann.
3. Schließlich müssen wir nur noch die Lösungen dieser beiden unabhängigen Ausdrücke schneiden – und schon erhalten wir die endgültige Antwort.

Ein ähnlicher Algorithmus existiert für Ungleichungen des folgenden Typs, wenn der Modul größer als die Funktion ist. Allerdings gibt es ein paar gravierende „Aber“. Wir werden jetzt über diese „Aber“ sprechen.

2. Ungleichungen der Form „Modul ist größer als Funktion“

Sie sehen so aus:

\[\left| f\right| \gtg\]

Ähnlich wie beim Vorgänger? Es scheint. Und doch werden solche Probleme auf ganz andere Weise gelöst. Formal sieht das Schema wie folgt aus:

\[\left| f\right| \gt g\Rightarrow \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(align) \right.\]

Mit anderen Worten, wir betrachten zwei Fälle:

1. Zuerst ignorieren wir einfach das Modul und lösen die übliche Ungleichung;
2. Dann erweitern wir im Wesentlichen den Modul mit dem Minuszeichen und multiplizieren dann beide Seiten der Ungleichung mit −1, während ich das Vorzeichen habe.

In diesem Fall werden die Optionen mit einer eckigen Klammer zusammengefasst, d. h. Wir haben eine Kombination aus zwei Anforderungen vor uns.

Bitte beachten Sie noch einmal: Es handelt sich hierbei nicht um ein System, sondern um eine Gesamtheit In der Antwort werden die Mengen kombiniert, anstatt sich zu überschneiden. Dies ist ein grundlegender Unterschied zum vorherigen Punkt!

Im Allgemeinen sind viele Studenten mit Gewerkschaften und Kreuzungen völlig verwechselt, also lasst uns dieses Problem ein für alle Mal klären:

• „∪“ ist ein Vereinigungszeichen. Tatsächlich handelt es sich hierbei um einen stilisierten Buchstaben „U“, der aus der englischen Sprache zu uns kam und eine Abkürzung für „Union“ ist, also „Union“. „Verbände“.
• „∩“ ist das Schnittpunktzeichen. Dieser Mist kam nicht von irgendwoher, sondern erschien einfach als Kontrapunkt zu „∪“.

Um es noch einfacher zu merken, ziehen Sie einfach die Beine zu diesen Zeichen, um eine Brille herzustellen (beschuldigen Sie mich jetzt nicht, Drogenabhängigkeit und Alkoholismus zu fördern: Wenn Sie diese Lektion ernsthaft studieren, dann sind Sie bereits drogenabhängig):

Unterschied zwischen Schnittmenge und Vereinigung von Mengen

Ins Russische übersetzt bedeutet dies Folgendes: Die Vereinigung (Gesamtheit) umfasst Elemente aus beiden Mengen, ist also in keiner Weise kleiner als jede von ihnen; aber der Schnittpunkt (das System) umfasst nur diejenigen Elemente, die gleichzeitig sowohl in der ersten als auch in der zweiten Menge vorhanden sind. Daher ist der Schnittpunkt der Mengen niemals größer als die Quellmengen.

Also wurde es klarer? Das ist großartig. Kommen wir zum Üben.

Aufgabe. Lösen Sie die Ungleichung:

\[\left| 3x+1 \right| \gt 5-4x\]

Lösung. Wir gehen nach dem Schema vor:

\[\left| 3x+1 \right| \gt 5-4x\Rightarrow \left[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\end(align) \ Rechts.\]

Wir lösen jede Ungleichheit in der Grundgesamtheit:

\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \right.\]

Wir markieren jede resultierende Menge auf dem Zahlenstrahl und kombinieren sie dann:

Vereinigung von Mengen

Es ist ziemlich offensichtlich, dass die Antwort $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$ sein wird

Antwort: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Aufgabe. Lösen Sie die Ungleichung:

\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\]

Lösung. Und was? Nichts – alles ist gleich. Wir gehen von einer Ungleichung mit einem Modul zu einer Menge von zwei Ungleichungen über:

\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\Rightarrow \left[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(align) \right.\]

Wir lösen jede Ungleichung. Leider werden die Wurzeln dort nicht sehr gut sein:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\end(align)\]

Die zweite Ungleichung ist auch etwas wild:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\end(align)\]

Jetzt müssen Sie diese Zahlen auf zwei Achsen markieren – einer Achse für jede Ungleichung. Allerdings müssen Sie die Punkte in der richtigen Reihenfolge markieren: Je größer die Zahl, desto weiter bewegt sich der Punkt nach rechts.

Und hier erwartet uns ein Setup. Wenn mit den Zahlen $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (den Termen im Zähler des ersten) alles klar ist Bruch sind kleiner als die Terme im Zähler der Sekunde, also ist auch die Summe kleiner), mit den Zahlen $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ wird es auch keine Schwierigkeiten geben (positive Zahl offensichtlich negativer), dann ist beim letzten Paar nicht alles so klar. Was ist größer: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ oder $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Die Platzierung der Punkte auf den Zahlengeraden und tatsächlich die Antwort hängen von der Antwort auf diese Frage ab.

Vergleichen wir also:

\[\begin(matrix) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matrix)\]

Wir haben die Wurzel isoliert und auf beiden Seiten der Ungleichung nichtnegative Zahlen erhalten, sodass wir das Recht haben, beide Seiten zu quadrieren:

\[\begin(matrix) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matrix)\]

Ich denke, es ist ein Kinderspiel, dass $4\sqrt(13) \gt 3$, also $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, die Endpunkte auf den Achsen werden wie folgt platziert:

Ein Fall von hässlichen Wurzeln

Ich möchte Sie daran erinnern, dass wir eine Menge lösen, sodass die Antwort eine Vereinigung und kein Schnittpunkt schattierter Mengen sein wird.

Antwort: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty \right)$

Wie Sie sehen, funktioniert unser Schema sowohl bei einfachen als auch bei sehr schwierigen Problemen hervorragend. Der einzige „Schwachpunkt“ dieses Ansatzes besteht darin, dass Sie irrationale Zahlen richtig vergleichen müssen (und glauben Sie mir: Das sind nicht nur Wurzeln). Aber eine separate (und sehr ernste) Lektion wird den Vergleichsfragen gewidmet sein. Und wir machen weiter.

3. Ungleichungen mit nichtnegativen „Zahlen“

Jetzt kommen wir zum interessantesten Teil. Dies sind Ungleichungen der Form:

\[\left| f\right| \gt\left| g\richtig|\]

Im Allgemeinen ist der Algorithmus, über den wir jetzt sprechen werden, nur für das Modul korrekt. Es funktioniert bei allen Ungleichungen, bei denen es links und rechts garantiert nichtnegative Ausdrücke gibt:

Was tun mit diesen Aufgaben? Denk dran:

Bei Ungleichungen mit nichtnegativen „Zahlen“ können beide Seiten auf jede natürliche Potenz angehoben werden. Es wird keine weiteren Einschränkungen geben.

Zunächst interessiert uns die Quadrierung – sie brennt Module und Wurzeln:

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\end(align)\]

Verwechseln Sie dies nur nicht mit dem Ziehen der Quadratwurzel:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\left| f \right|\ne f\]

Es wurden unzählige Fehler gemacht, wenn ein Student vergaß, ein Modul zu installieren! Aber das ist eine ganz andere Geschichte (das sind sozusagen irrationale Gleichungen), deshalb werden wir jetzt nicht darauf eingehen. Lassen Sie uns ein paar Probleme besser lösen:

Aufgabe. Lösen Sie die Ungleichung:

\[\left| x+2 \right|\ge \left| 1-2x \right|\]

Lösung. Lassen Sie uns sofort zwei Dinge bemerken:

1. Dies ist keine strikte Ungleichung. Punkte auf dem Zahlenstrahl werden punktiert.
2. Beide Seiten der Ungleichung sind offensichtlich nicht negativ (dies ist eine Eigenschaft des Moduls: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Daher können wir beide Seiten der Ungleichung quadrieren, um den Modul loszuwerden und das Problem mit der üblichen Intervallmethode zu lösen:

\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2)). \\\end(align)\]

Beim letzten Schritt habe ich ein wenig geschummelt: Ich habe die Reihenfolge der Terme geändert und dabei die Gleichmäßigkeit des Moduls ausgenutzt (tatsächlich habe ich den Ausdruck $1-2x$ mit −1 multipliziert).

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ right)\right)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Wir lösen mit der Intervallmethode. Kommen wir von der Ungleichung zur Gleichung:

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\end(align)\]

Wir markieren die gefundenen Wurzeln auf dem Zahlenstrahl. Noch einmal: Alle Punkte sind schattiert, weil die ursprüngliche Ungleichung nicht streng ist!

Das Modulzeichen loswerden

Wer besonders hartnäckig ist, möchte ich daran erinnern: Wir nehmen die Vorzeichen der letzten Ungleichung, die wir aufgeschrieben haben, bevor wir mit der Gleichung fortfahren. Und wir übermalen die benötigten Flächen in der gleichen Ungleichung. In unserem Fall ist es $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

OK, jetzt ist alles vorbei. Das Problem ist behoben.

Antwort: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Aufgabe. Lösen Sie die Ungleichung:

\[\left| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \right|\]

Lösung. Wir machen alles gleich. Ich werde nichts kommentieren – schauen Sie sich einfach die Abfolge der Aktionen an.

Quadrieren Sie es:

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left | ((x)^(2))+3x+4 \right| \right))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \right))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ rechts))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \right)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Intervallmethode:

\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Rechtspfeil x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing . \\\end(align)\]

Auf der Zahlengeraden gibt es nur eine Wurzel:

Die Antwort ist ein ganzes Intervall

Antwort: $x\in \left[ -1,5;+\infty \right)$.

Eine kleine Anmerkung zur letzten Aufgabe. Wie einer meiner Studenten treffend feststellte, sind beide submodularen Ausdrücke in dieser Ungleichung offensichtlich positiv, sodass das Modulzeichen ohne Gesundheitsschäden weggelassen werden kann.

Aber das ist eine ganz andere Denkebene und ein anderer Ansatz – man kann sie bedingt als Methode der Konsequenzen bezeichnen. Darüber - in einer separaten Lektion. Kommen wir nun zum letzten Teil der heutigen Lektion und schauen uns einen universellen Algorithmus an, der immer funktioniert. Auch wenn alle bisherigen Ansätze machtlos waren. :)

4. Methode zur Aufzählung von Optionen

Was ist, wenn all diese Techniken nicht helfen? Wenn die Ungleichung nicht auf nichtnegative Enden reduziert werden kann, wenn es unmöglich ist, das Modul zu isolieren, wenn im Allgemeinen Schmerz, Traurigkeit, Melancholie vorhanden sind?

Dann kommt die „schwere Artillerie“ aller Mathematik auf den Plan – die Brute-Force-Methode. In Bezug auf Ungleichungen mit Modul sieht es so aus:

1. Schreiben Sie alle submodularen Ausdrücke aus und setzen Sie sie gleich Null;
2. Lösen Sie die resultierenden Gleichungen und markieren Sie die Wurzeln, die auf einer Zahlengeraden gefunden wurden.
3. Die Gerade wird in mehrere Abschnitte unterteilt, innerhalb derer jedes Modul ein festes Vorzeichen hat und somit eindeutig erkennbar ist;
4. Lösen Sie die Ungleichung für jeden dieser Abschnitte (aus Gründen der Zuverlässigkeit können Sie die in Schritt 2 erhaltenen Wurzel-Grenzen separat betrachten). Kombinieren Sie die Ergebnisse – das wird die Antwort sein. :)

Und wie? Schwach? Leicht! Nur für eine lange Zeit. Schauen wir uns das in der Praxis an:

Aufgabe. Lösen Sie die Ungleichung:

\[\left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]

Lösung. Dieser Mist läuft nicht auf Ungleichungen wie $\left| hinaus f\right| \lt g$, $\left| f\right| \gt g$ oder $\left| f\right| \lt \left| g \right|$, also handeln wir voraus.

Wir schreiben submodulare Ausdrücke auf, setzen sie mit Null gleich und finden die Wurzeln:

\[\begin(align) & x+2=0\Rightarrow x=-2; \\ & x-1=0\Rightarrow x=1. \\\end(align)\]

Insgesamt haben wir zwei Wurzeln, die den Zahlenstrahl in drei Abschnitte unterteilen, innerhalb derer sich jedes Modul eindeutig offenbart:

Partitionierung des Zahlenstrahls durch Nullen submodularer Funktionen

Schauen wir uns jeden Abschnitt einzeln an.

1. Sei $x \lt -2$. Dann sind beide submodularen Ausdrücke negativ und die ursprüngliche Ungleichung wird wie folgt umgeschrieben:

\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\end(align)\]

Wir haben eine ziemlich einfache Einschränkung. Lassen Sie es uns mit der ursprünglichen Annahme vergleichen, dass $x \lt -2$:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1.5 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Offensichtlich kann die Variable $x$ nicht gleichzeitig kleiner als −2 und größer als 1,5 sein. In diesem Bereich gibt es keine Lösungen.

1.1. Betrachten wir separat den Grenzfall: $x=-2$. Setzen wir diese Zahl einfach in die ursprüngliche Ungleichung ein und prüfen: Ist sie wahr?

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=-2) ) \ \ & 0 \lt \left| -3\right|-2-1,5; \\ & 0 \lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0.5\Rightarrow \varnothing . \\\end(align)\]

Es ist offensichtlich, dass die Berechnungskette zu einer falschen Ungleichung geführt hat. Daher ist auch die ursprüngliche Ungleichung falsch und $x=-2$ ist nicht in der Antwort enthalten.

2. Sei nun $-2 \lt x \lt 1$. Das linke Modul wird bereits mit einem „Plus“ geöffnet, das rechte jedoch weiterhin mit einem „Minus“. Wir haben:

\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\end(align)\]

Auch hier kreuzen wir uns mit der ursprünglichen Anforderung:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2.5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Und wiederum ist die Lösungsmenge leer, da es keine Zahlen gibt, die sowohl kleiner als −2,5 als auch größer als −2 sind.

2.1. Und wieder ein Sonderfall: $x=1$. Wir setzen in die ursprüngliche Ungleichung ein:

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=1)) \\ & \left| 3\richtig| \lt \left| 0\right|+1-1,5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0.5\Rightarrow \varnothing . \\\end(align)\]

Ähnlich wie beim vorherigen „Sonderfall“ ist die Zahl $x=1$ offensichtlich nicht in der Antwort enthalten.

3. Der letzte Teil der Zeile: $x \gt 1$. Hier werden alle Module mit einem Pluszeichen geöffnet:

\[\begin(align) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(align)\ ]

Und wieder schneiden wir die gefundene Menge mit der ursprünglichen Einschränkung:

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4.5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4.5;+\infty \right)\ ]

Na endlich! Wir haben ein Intervall gefunden, das die Antwort sein wird.

Antwort: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

Abschließend noch eine Bemerkung, die Sie möglicherweise vor dummen Fehlern bei der Lösung realer Probleme bewahrt:

Lösungen für Ungleichungen mit Modulen stellen normalerweise kontinuierliche Mengen auf der Zahlengeraden dar – Intervalle und Segmente. Isolierte Punkte kommen deutlich seltener vor. Und noch seltener kommt es vor, dass die Grenze der Lösung (das Ende des Segments) mit der Grenze des betrachteten Bereichs zusammenfällt.

Wenn also Grenzen (die gleichen „Sonderfälle“) nicht in die Antwort einbezogen werden, werden die Bereiche links und rechts dieser Grenzen mit ziemlicher Sicherheit nicht in die Antwort einbezogen. Und umgekehrt: Die Grenze wurde in die Antwort eingegeben, was bedeutet, dass einige Bereiche um sie herum auch Antworten sein werden.

Bedenken Sie dies bei der Überprüfung Ihrer Lösungen.

Leiter des ShMO
Mathematiklehrer _______Kalashnikova Zh.YuStädtische Haushaltsbildungseinrichtung
„Sekundarschule Nr. 89“
Thematische Tests in Mathematik für die 6. Klasse
nach dem Lehrbuch von I.I. Zubareva und A.G. Mordkowitsch
Zusammengestellt von: Mathematiklehrer:
Kalaschnikowa Schanna Jurjewna
Stolbova Ljudmila Antonowna
ZATO Sewersk
2016
Inhalt
Test Nr. 1……………………………………………………………………………….3-6
Test Nr. 2…………………………………………………………………………………….7-10
Test Nr. 3…………………………………………………………………………………………………….11-14
Antworten………………………………………………………………………………………………………..15
Test Nr. 1 „Positive und negative Zahlen“
Variante 1
Geben Sie eine negative Bruchzahl ein:
-165
38
-7.92
67Beschreiben Sie das Ereignis „Die Zahl -5,5 ist auf dem Koordinatenstrahl markiert“
Zuverlässig
Unmöglich
Zufällig

Welche der vier Zahlen ist die größte?
8,035
80,35
0,8035
803,5
Welcher Punkt liegt auf der Koordinatenlinie rechts vom Punkt O (0)?
M (-4)
E (-15)
K (15)
D(-1,2)
Nachts betrug die Lufttemperatur -5°C. Tagsüber betrug das Thermometer bereits +3 °C. Wie hat sich die Lufttemperatur verändert?
Um 8o erhöht
Um 2o verringert
Um 2o erhöht
Um 8o verringert
Auf der Koordinatenlinie ist der Punkt x(-2) markiert – das Symmetriezentrum. Geben Sie die Koordinaten der Punkte an, die auf dieser Linie symmetrisch zum Punkt x liegen.

(-1) und (1)
(-1) und (1)
(3) und (-3)
(0) und (-4)
Welche Punkte auf der Koordinatenlinie sind in Bezug auf den Ursprung nicht symmetrisch - Punkt O (0).
B(-5) und C(5)
D(0,5) und E(-0,5)
M(-3) und K(13)
A(18) und X(-18)
Was ist die Summe der Zahlen 0,316+0,4?
0,356
0,716
4,316
0,32
Berechnen Sie 25 % der Zahl 0,4.
0,1
0,001
10
100
Berechnen Sie die Differenz von 9100 und 0,03
0,05
0,6
9,03
350Option 2
Geben Sie eine negative Bruchzahl ein.
8,63
-1045
913-0,2
Beschreiben Sie das Ereignis „Die Zahl 7 ist auf dem Koordinatenstrahl markiert.“
Zufällig
Unmöglich
Zuverlässig
Welche Nummer ist die kleinste?
15,49
154,9
1,549
1549
Welcher der Punkte liegt auf der Koordinatenlinie links vom Punkt O(0).
A(-0,5)
UM 6)
M(0,5)
K(38)
Tagsüber zeigte das Thermometer +5°C, abends -2°C. Wie hat sich die Lufttemperatur verändert?
Um 3o erhöht
Um 7o verringert
Um 3o verringert
Um 7o erhöht
Das Symmetriezentrum ist auf der Koordinatenlinie markiert - Punkt A(-3). Geben Sie die Koordinaten der Punkte an, die auf dieser Linie symmetrisch zum Punkt A liegen.

(-2) und (2)
(0) und (-5)
(-6) und (1)
(-1) und (-5)
Welche Punkte der Koordinatenlinie sind nicht symmetrisch zum Ursprung – Punkt O(0).
A(6) und B(-6)
C(12) und D(-2)
M(-1) und K(1)
X (-9) und Y (9)
Was ist die Summe der Zahlen 0,237 und 0,3?
0,24
3,237
0,537
0,267
Berechnen Sie 20 % von 0,5
10
0,1
0,2
0,01
Berechnen Sie die Differenz von 0,07 und 31001250,5
1
425Test Nr. 2. Der absolute Wert einer Zahl. Gegensätzliche Zahlen.
Variante 1
Welche der angegebenen Zahlen hat den kleinsten Modul?
-11
1013-4,196
-4,2
Geben Sie eine falsche Gleichung an
85=-85
-1,9=1,9
35= 3558=-58 Der Modul einer nicht negativen Zahl ist eine nicht negative Zahl. Ist diese Aussage wahr?
Ja
Nein
Welche dieser Zahlen ist das Gegenteil der Zahl -34?43-43-3434Welchen Wert hat der Ausdruck -(-m), wenn m = -15
+15
-15
Berechnen Sie den Wert des Ausdrucks: -2,5∙4--919
-10
1
-1
Lösen Sie die Gleichung: x=40-40
40
40 oder -40
Welche ganzen Zahlen liegen auf der Koordinatenlinie zwischen den Zahlen 2,75 und 3,9?
-2, -1, 1, 2
-1, 0, 1, 2, 3
-1, 0, 1, 2, 3, 4
-2, -1, 0, 1, 2, 3
Stimmt die Ungleichung -30>-50? Ja
Nein
Listen Sie alle ganzen Zahlen x auf, wenn x≤30, 1, 2
0, 1, 2, 3
0, 1, 2, 3, 4
1, 2, 3
Option 2
Welche Zahl hat den größten Modul?
-0,6
-50,603
493550,530
Geben Sie eine falsche Gleichung an
-1,5=1,512=12-117=117-325=-325Kann der Modul einer negativen Zahl eine negative Zahl sein?
Ja
Nein

Welche dieser Zahlen ist das Gegenteil von 124?
-24
24
-124124Was ist der Wert des Ausdrucks –(-k), wenn k = -9
-9
+9
Berechnen Sie den Wert des Ausdrucks: 2,5:-0,5+1,250
15
-2,5
2,5
Lösen Sie die Gleichung x=100100
-100
100 oder -100
Welche ganzen Zahlen liegen auf der Koordinatenlinie zwischen den Zahlen 1 und - 4,5?
-4, -3, -2, -1, 0
-3, -2, -1
-5, -4, -3, -2, -1
-4, -3, -2, -1, 1
Ist die Ungleichung -25 wahr?<-10?
Ja
Nein
Listen Sie alle ganzen Zahlen x auf, wenn x≤44, 3, 2
0, 1, 2, 3
1, 2, 3, 4
0, 1, 2, 3, 4
Test Nr. 3. Zahlenvergleich
Variante 1
Welche der Ungleichungen ist falsch?
-20 > 2
0 < -1
-16 > -7
-5 < -3

-320 -920>
<
=
Stimmt es, dass die Zahl 0 größer als jede negative Zahl ist?
Ja
Nein
Die Zahl a ist nicht negativ. Wie können wir diese Aussage als Ungleichung schreiben?
A<0a≤0a≥0a>0Geben Sie die größte der angegebenen Zahlen an.
0,16
-3018-0,4
0,01
Für welche natürlichen Werte von x gilt die Ungleichung x≤44, 3, 2?
1 , 2, 3, 4
4, 3, 2, 1
0, 1, 2, 3
Für welche ganzzahligen Werte von y gilt die Ungleichung y?<-2?0
-1
0, -1, 1
Keine solchen Werte
Zahlen -6; -3,8; -115; 0,8 gelegen:
In absteigender Reihenfolge
In aufsteigender Reihenfolge
In Unordnung
Die Wettervorhersage wurde im Radio übertragen: Die Temperatur soll auf -20 °C sinken. Beschreiben Sie dieses Ereignis:
Unmöglich
Zuverlässig
Zufällig
Option 2
Welche der Ungleichungen ist wahr?
-5 > 0
6 < -17
-34 > -40
-9 < -63
Welches Vorzeichen muss zwischen diesen Brüchen stehen, damit die Ungleichung wahr ist?
-1315 -715<
>
=
Stimmt es, dass die Zahl 0 kleiner als jede negative Zahl ist?
Ja
Nein
Die Zahl x ist nicht größer als Null. Wie können wir diese Aussage als Ungleichung schreiben?
x≥0x>0x<0x≤0Укажите наименьшее из данных чисел.
-5,92
1,7
-1000
35Für welche natürlichen Werte von a gilt die Ungleichung a≤3?1, 2, 3
0, 1, 2, 3
1, 2
0, 1, 2
Für welche ganzzahligen Werte von m gilt die Ungleichung m?<-4?-3, -2, -1
0, -1, -2, -3, 1, 2, 3
0
Keine solchen Werte
Zahlen 1,2; -1,2; -427; -100 Standorte:
In Unordnung
In aufsteigender Reihenfolge
In absteigender Reihenfolge
Punkt A(5) ist auf der Koordinatenlinie markiert. Auf dieser Linie wurde zufällig ein weiterer Punkt B markiert, dessen Koordinate die Gegenzahl zu 5 war. Beschreiben Sie dieses Ereignis.
Zufällig
Zuverlässig
Unmöglich
Antworten
Test Nr. 1 Test Nr. 2
Nr. Option 1 Option 2
1 3 4
2 2 3
3 4 3
4 3 1
5 1 2
6 4 4
7 3 2
8 2 3
9 1 2
10 4 1
Nr. Option 1 Option 2
1 3 2
2 1 4
3 1 2
4 4 3
5 2 1
6 3 4
7 3 3
8 4 1
9 1 2
10 2 4

Test Nr. 3
Nr. Option 1 Option 2
1 4 3
2 1 2
3 1 2
4 3 4
5 1 3
6 2 1
7 4 4
8 2 3