Le graphique d'une inégalité linéaire ou quadratique est construit de la même manière que le graphique de n'importe quelle fonction (équation). La différence est qu’une inégalité implique qu’il existe plusieurs solutions, donc le graphique d’une inégalité n’est pas simplement un point sur une droite numérique ou une droite sur un plan de coordonnées. À l’aide d’opérations mathématiques et du signe d’inégalité, vous pouvez déterminer de nombreuses solutions à l’inégalité.

Pas

Représentation graphique de l'inégalité linéaire sur la droite numérique

1. Résolvez l’inégalité. Pour ce faire, isolez la variable en utilisant les mêmes techniques algébriques que vous utilisez pour résoudre n’importe quelle équation. N'oubliez pas que lorsque vous multipliez ou divisez une inégalité par un nombre (ou un terme) négatif, inversez le signe de l'inégalité.

   • Par exemple, étant donné l’inégalité 3 ans + 9 > 12 (\displaystyle 3y+9>12). Pour isoler une variable, soustrayez 9 des deux côtés de l'inégalité, puis divisez les deux côtés par 3 :
     3 ans + 9 > 12 (\displaystyle 3y+9>12)
     3 ans + 9 − 9 > 12 − 9 (\displaystyle 3y+9-9>12-9)
     3 ans > 3 (\displaystyle 3y>3)
     3 ans 3 > 3 3 (\displaystyle (\frac (3y)(3))>(\frac (3)(3)))
     y > 1 (\displaystyle y>1)
   • Une inégalité ne doit avoir qu’une seule variable. Si l'inégalité a deux variables, il est préférable de tracer le graphique sur le plan de coordonnées.

2. Tracez une droite numérique. Sur la droite numérique, marquez la valeur que vous avez trouvée (la variable peut être inférieure, supérieure ou égale à cette valeur). Tracez une droite numérique de la longueur appropriée (longue ou courte).

   • Par exemple, si vous calculez que y > 1 (\displaystyle y>1), marquez la valeur 1 sur la droite numérique.

3. Tracez un cercle pour représenter la valeur trouvée. Si la variable est inférieure à ( < {\displaystyle <} ) ou plus ( > (\style d'affichage >)) de cette valeur, le cercle n'est pas rempli car l'ensemble de solutions n'inclut pas cette valeur. Si la variable est inférieure ou égale à ( ≤ (\displaystyle \leq )) ou supérieur ou égal à ( ≥ (\displaystyle \geq )) à cette valeur, le cercle est rempli car l'ensemble de solutions inclut cette valeur.

   • y > 1 (\displaystyle y>1), sur la droite numérique, tracez un cercle ouvert au point 1 car 1 n'est pas dans l'ensemble de solutions.

4. Sur la droite numérique, ombrez la région qui définit l’ensemble de solutions. Si la variable est supérieure à la valeur trouvée, ombrez la zone à droite de celle-ci, car l'ensemble de solutions inclut toutes les valeurs supérieures à la valeur trouvée. Si la variable est inférieure à la valeur trouvée, ombrez la zone à sa gauche, car l'ensemble de solutions inclut toutes les valeurs inférieures à la valeur trouvée.

   • Par exemple, si l’on considère l’inégalité y > 1 (\displaystyle y>1), sur la droite numérique, ombrez la zone à droite de 1 car l'ensemble de solutions comprend toutes les valeurs supérieures à 1.

   Représentation graphique de l'inégalité linéaire sur le plan de coordonnées

   1. Résoudre l'inégalité (trouver la valeur y (style d'affichage y)). Pour obtenir une équation linéaire, isolez la variable du côté gauche en utilisant des techniques algébriques familières. Il devrait y avoir une variable sur le côté droit x (style d'affichage x) et peut-être une constante.

      • Par exemple, étant donné l’inégalité 3 ans + 9 > 9 x (\displaystyle 3y+9>9x). Pour isoler une variable y (style d'affichage y), soustrayez 9 des deux côtés de l'inégalité, puis divisez les deux côtés par 3 :
        3 ans + 9 > 9 x (\displaystyle 3y+9>9x)
        3 y + 9 − 9 > 9 x − 9 (\displaystyle 3y+9-9>9x-9)
        3 ans > 9 x − 9 (\ displaystyle 3y> 9x-9)
        3 y 3 > 9 x − 9 3 (\displaystyle (\frac (3y)(3))>(\frac (9x-9)(3)))
        y > 3 x − 3 (\ displaystyle y> 3x-3)

   2. Dessinez un graphique d’une équation linéaire sur le plan de coordonnées. dessinez un graphique comme vous le feriez pour n’importe quelle équation linéaire. Tracez l'ordonnée à l'origine, puis utilisez la pente pour tracer les autres points.

      • y > 3 x − 3 (\ displaystyle y> 3x-3) tracer l'équation y = 3 x − 3 (\ displaystyle y = 3x-3). Le point d'intersection avec l'axe Y a pour coordonnées , et la pente est de 3 (ou 3 1 (\displaystyle (\frac (3)(1)))). Alors tracez d'abord le point avec ses coordonnées (0 , − 3) (\displaystyle (0,-3)); le point au-dessus du point d'intersection de l'axe y a des coordonnées (1 , 0) (\style d'affichage (1,0)); le point situé en dessous du point d'intersection de l'axe Y a les coordonnées (− 1 , − 6) (\displaystyle (-1,-6))

   3. Tracez une ligne droite. Si l'inégalité est stricte (comprend le signe < {\displaystyle <} ou > (\style d'affichage >)), tracez une ligne pointillée car l'ensemble de solutions n'inclut pas de valeurs sur la ligne. Si l'inégalité n'est pas stricte (comprend le signe ≤ (\displaystyle \leq ) ou ≥ (\displaystyle \geq )), tracez une ligne continue car l'ensemble de solutions comprend des valeurs qui se trouvent sur la ligne.

      • Par exemple, en cas d'inégalité y > 3 x − 3 (\ displaystyle y> 3x-3) tracez une ligne pointillée car l'ensemble de solutions n'inclut pas de valeurs sur la ligne.

   4. Ombrez la zone appropriée. Si l'inégalité est de la forme y > m x + b (\displaystyle y>mx+b), ombrez la zone au-dessus de la ligne. Si l'inégalité est de la forme oui< m x + b {\displaystyle y, ombrez la zone sous la ligne.

      • Par exemple, en cas d'inégalité y > 3 x − 3 (\ displaystyle y> 3x-3) ombrez la zone au-dessus de la ligne.

   Représentation graphique de l'inégalité quadratique sur le plan de coordonnées

   1. Déterminez que cette inégalité est quadratique. L'inégalité quadratique a la forme a x 2 + b x + c (\displaystyle ax^(2)+bx+c). Parfois l’inégalité ne contient pas de variable du premier ordre ( x (style d'affichage x)) et/ou un terme libre (constante), mais comporte nécessairement une variable du second ordre ( x 2 (\style d'affichage x^(2))). Variables x (style d'affichage x) Et y (style d'affichage y) doivent être isolés des différents côtés de l’inégalité.

      • Par exemple, vous devez tracer l'inégalité oui< x 2 − 10 x + 16 {\displaystyle y.

   2. Dessinez un graphique sur le plan de coordonnées. Pour ce faire, convertissez l’inégalité en une équation et tracez-la comme vous le feriez pour n’importe quelle équation quadratique. N'oubliez pas que le graphique d'une équation quadratique est une parabole.

      • Par exemple, en cas d'inégalité oui< x 2 − 10 x + 16 {\displaystyle y tracer une équation quadratique y = x 2 − 10 x + 16 (\displaystyle y=x^(2)-10x+16). Le sommet de la parabole est au point (5 , − 9) (\displaystyle (5,-9)), et la parabole coupe l'axe X en des points (2 , 0) (\style d'affichage (2,0)) Et (8 , 0) (\style d'affichage (8,0)).

Pendant la leçon, vous pourrez étudier de manière indépendante le sujet « Solution graphique d'équations et d'inégalités ». Pendant le cours, l'enseignant examinera les méthodes graphiques de résolution d'équations et d'inéquations. Vous apprendra à construire des graphiques, à les analyser et à obtenir des solutions aux équations et aux inégalités. La leçon couvrira également des exemples spécifiques sur ce sujet.

Sujet : Fonctions numériques

Leçon : Solution graphique d'équations, inégalités

1. Sujet de la leçon, introduction

Nous avons examiné des graphiques de fonctions élémentaires, notamment des graphiques de fonctions puissance avec différents exposants. Nous avons également examiné les règles de déplacement et de transformation des graphes de fonctions. Toutes ces compétences doivent être appliquées lorsque cela est nécessaire graphiquesolutionéquations ou graphiques solutioninégalités.

2. Résoudre graphiquement des équations et des inégalités

Exemple 1 : Résolvez l'équation graphiquement :

Construisons des graphiques de fonctions (Fig. 1).

Le graphique d'une fonction est une parabole passant par les points

Le graphique de la fonction est une ligne droite, construisons-le à l'aide du tableau.

Les graphiques se coupent au point Il n'y a pas d'autres points d'intersection, puisque la fonction augmente de façon monotone, la fonction diminue de manière monotone et, par conséquent, leur point d'intersection est le seul.

Exemple 2 : Résoudre l'inégalité

un. Pour que l'inégalité soit vérifiée, le graphique de la fonction doit être situé au-dessus de la droite (Fig. 1). Ceci est fait lorsque

b. Dans ce cas, au contraire, la parabole doit être sous la droite. Ceci est fait lorsque

Exemple 3. Résoudre l'inégalité

Construisons des graphiques de fonctions (Fig.2).

Trouvons la racine de l'équation Quand il n'y a pas de solutions. Il existe une solution.

Pour que l’inégalité soit vraie, l’hyperbole doit être située au-dessus de la droite. Cela est vrai lorsque. .

Exemple 4. Résolvez graphiquement l'inégalité :

Domaine:

Construisons des graphiques de fonctions pour (Fig. 3).

un. Le graphique de la fonction doit être situé en dessous du graphique ;

b. Le graphique de la fonction est situé au dessus du graphique en Mais comme la condition a un signe faible, il est important de ne pas perdre la racine isolée

3. Conclusion

Nous avons examiné la méthode graphique de résolution d'équations et d'inéquations ; Nous avons examiné des exemples spécifiques dont la solution utilisait des propriétés de fonctions telles que la monotonie et la parité.

1. Mordkovich A.G. et al. Algèbre 9e année : Manuel. Pour l'enseignement général Institutions.- 4e éd. - M. : Mnémosyne, 2002.-192 p. : ill.

2. Mordkovich A.G. et al. Algèbre 9e année : Livre de problèmes pour les étudiants des établissements d'enseignement général / A.G. Mordkovich, T.N. Mishustina et al. - M. : Mnémosyne, 2002.-143 p. : ill.

3. Makarychev Yu. N. Algèbre. 9e année : pédagogique. pour les étudiants de l'enseignement général. institutions / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. — 7e éd., rév. et supplémentaire - M. : Mnémosyne, 2008.

4. Alimov Sh., Kolyagin Yu., Sidorov V. Algèbre. 9e année. 16e éd. - M., 2011. - 287 p.

5. Mordkovich A.G. Algèbre. 9e année. En 2 heures. Partie 1. Manuel pour les étudiants des établissements d'enseignement général / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. — 12e éd., effacé. - M. : 2010. - 224 p. : ill.

6. Algèbre. 9e année. En 2 parties. Partie 2. Livre de problèmes pour les étudiants des établissements d'enseignement général / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina et autres ; Éd. A. G. Mordkovitch. — 12e éd., rév. - M. : 2010.-223 p. : ill.

1. Section collégiale. ru en mathématiques.

2. Projet Internet « Tâches ».

3. Portail pédagogique « JE RÉSOUDRAI l'examen d'État unifié ».

1. Mordkovich A.G. et al. Algèbre 9e année : Livre de problèmes pour les étudiants des établissements d'enseignement général / A.G. Mordkovich, T.N. Mishustina et al. - M. : Mnémosyne, 2002.-143 p. : ill. N° 355, 356, 364.

Premier niveau

Résoudre des équations, des inégalités, des systèmes à l'aide de graphiques de fonctions. Guide visuel (2019)

De nombreuses tâches que nous avons l'habitude de calculer de manière purement algébrique peuvent être résolues beaucoup plus facilement et plus rapidement à l'aide de graphiques de fonctions ; Vous dites "comment ça?" dessiner quelque chose, et que dessiner ? Croyez-moi, c'est parfois plus pratique et plus facile. On commence ? Commençons par les équations !

Solution graphique des équations

Solution graphique d'équations linéaires

Comme vous le savez déjà, le graphique d'une équation linéaire est une ligne droite, d'où le nom de ce type. Les équations linéaires sont assez faciles à résoudre algébriquement : nous transférons toutes les inconnues d'un côté de l'équation, tout ce que nous savons de l'autre, et le tour est joué ! Nous avons trouvé la racine. Maintenant, je vais vous montrer comment faire graphiquement.

Vous avez donc l'équation :

Comment le résoudre?
Option 1, et la plus courante consiste à déplacer les inconnues d’un côté et les connues de l’autre, on obtient :

Maintenant, construisons. Qu'est-ce que vous obtenez?

Selon vous, quelle est la racine de notre équation ? C'est vrai, la coordonnée du point d'intersection des graphiques est :

Notre réponse est

C'est toute la sagesse de la solution graphique. Comme vous pouvez facilement le vérifier, la racine de notre équation est un nombre !

Comme je l'ai dit plus haut, c'est l'option la plus courante, proche d'une solution algébrique, mais vous pouvez la résoudre d'une autre manière. Pour envisager une solution alternative, revenons à notre équation :

Cette fois, nous ne déplacerons rien d’un côté à l’autre, mais construirons directement les graphiques, tels qu’ils sont actuellement :

Construit? Voyons!

Quelle est la solution cette fois-ci ? C'est exact. La même chose - la coordonnée du point d'intersection des graphiques :

Et encore une fois, notre réponse est la suivante.

Comme vous pouvez le constater, avec les équations linéaires, tout est extrêmement simple. Il est temps de regarder quelque chose de plus complexe... Par exemple, solution graphique d'équations quadratiques.

Solution graphique d'équations quadratiques

Alors maintenant, commençons à résoudre l’équation quadratique. Disons que vous devez trouver les racines de cette équation :

Bien sûr, vous pouvez maintenant commencer à compter via le discriminant, ou selon le théorème de Vieta, mais beaucoup de gens, par nerfs, font des erreurs en multipliant ou en quadrature, surtout si l'exemple est avec de grands nombres, et, comme vous le savez, vous avez gagné Je n'ai pas de calculatrice pour l'examen... Essayons donc de nous détendre un peu et de dessiner tout en résolvant cette équation.

Les solutions à cette équation peuvent être trouvées graphiquement de différentes manières. Examinons les différentes options et vous pourrez choisir celle que vous préférez.

Méthode 1. Directement

On construit simplement une parabole en utilisant cette équation :

Pour y parvenir rapidement, je vais vous donner un petit indice : Il est pratique de commencer la construction en déterminant le sommet de la parabole. Les formules suivantes aideront à déterminer les coordonnées du sommet d'une parabole :

Vous direz « Stop ! La formule pour est très similaire à la formule pour trouver le discriminant », oui, c'est le cas, et c'est un énorme inconvénient de construire « directement » une parabole pour trouver ses racines. Cependant, comptons jusqu'au bout, et ensuite je vous montrerai comment le faire beaucoup (beaucoup !) plus facilement !

As-tu compté ? Quelles coordonnées avez-vous obtenues pour le sommet de la parabole ? Voyons cela ensemble :

Exactement la même réponse ? Bien joué! Et maintenant, nous connaissons déjà les coordonnées du sommet, mais pour construire une parabole, nous avons besoin de plus... de points. De combien de points minimum pensez-vous que nous avons besoin ? Droite, .

Vous savez qu'une parabole est symétrique par rapport à son sommet, par exemple :

En conséquence, nous avons besoin de deux points supplémentaires sur la branche gauche ou droite de la parabole, et à l'avenir nous refléterons symétriquement ces points sur le côté opposé :

Revenons à notre parabole. Pour notre cas, point final. Nous avons besoin de deux points supplémentaires, pour pouvoir en prendre des positifs, ou des négatifs ? Quels sont les points qui vous conviennent le mieux ? C'est plus pratique pour moi de travailler avec des positifs, donc je vais calculer en et.

Maintenant que nous avons trois points, nous pouvons facilement construire notre parabole en réfléchissant les deux derniers points par rapport à son sommet :

Selon vous, quelle est la solution de l’équation ? C'est vrai, les points auxquels, c'est-à-dire et. Parce que.

Et si nous disons cela, cela signifie que cela doit aussi être égal, ou.

Juste? Nous avons fini de résoudre l'équation avec vous de manière graphique complexe, ou il y en aura plus !

Bien sûr, vous pouvez vérifier notre réponse algébriquement - vous pouvez calculer les racines en utilisant le théorème de Vieta ou le discriminant. Qu'est-ce que vous obtenez? Le même? Voilà, vous voyez ! Voyons maintenant une solution graphique très simple, je suis sûr que vous l'aimerez vraiment !

Méthode 2. Divisé en plusieurs fonctions

Reprenons notre même équation : , mais nous l'écrirons un peu différemment, à savoir :

Peut-on l'écrire ainsi ? Nous pouvons, puisque la transformation est équivalente. Regardons plus loin.

Construisons deux fonctions séparément :

1. - le graphique est une simple parabole, que l'on peut facilement construire même sans définir le sommet à l'aide de formules et dresser un tableau pour déterminer d'autres points.
2. - le graphique est une droite, que vous pouvez tout aussi bien construire en estimant les valeurs dans votre tête sans même recourir à une calculatrice.

Construit? Comparons avec ce que j'ai obtenu :

Selon vous, quelles sont les racines de l’équation dans ce cas ? Droite! Les coordonnées obtenues par l'intersection de deux graphiques et, soit :

La solution de cette équation est donc :

Que dites-vous? D'accord, cette méthode de solution est bien plus simple que la précédente et encore plus simple que de chercher des racines via un discriminant ! Si tel est le cas, essayez de résoudre l’équation suivante en utilisant cette méthode :

Qu'est-ce que vous obtenez? Comparons nos graphiques :

Les graphiques montrent que les réponses sont :

Avez-vous réussi ? Bien joué! Examinons maintenant les équations un peu plus compliquées, à savoir la solution d'équations mixtes, c'est-à-dire des équations contenant des fonctions de différents types.

Solution graphique d'équations mixtes

Essayons maintenant de résoudre les problèmes suivants :

Bien sûr, vous pouvez tout ramener à un dénominateur commun, trouver les racines de l'équation résultante, sans oublier de prendre en compte l'ODZ, mais encore une fois, nous essaierons de la résoudre graphiquement, comme nous l'avons fait dans tous les cas précédents.

Cette fois, construisons les 2 graphiques suivants :

1. - le graphique est une hyperbole
2. - le graphique est une ligne droite, que vous pouvez facilement construire en estimant les valeurs dans votre tête sans même recourir à une calculatrice.

Vous l'avez compris ? Maintenant, commencez à construire.

Voici ce que j'ai obtenu :

En regardant cette image, dites-moi quelles sont les racines de notre équation ?

C'est vrai, et. Voici la confirmation :

Essayez de brancher nos racines dans l’équation. Arrivé?

C'est exact! D'accord, résoudre graphiquement de telles équations est un plaisir !

Essayez de résoudre l'équation graphiquement vous-même :

Je vais vous donner un indice : déplacez une partie de l’équation vers la droite pour que les fonctions les plus simples à construire soient des deux côtés. Avez-vous compris l'indice ? Passer à l'action!

Voyons maintenant ce que vous avez :

Respectivement:

1. - parabole cubique.
2. - une ligne droite ordinaire.

Eh bien, construisons :

Comme vous l'avez écrit il y a longtemps, la racine de cette équation est - .

Après avoir étudié un si grand nombre d’exemples, je suis sûr que vous avez réalisé à quel point il est facile et rapide de résoudre des équations graphiquement. Il est temps de comprendre comment résoudre les systèmes de cette manière.

Solution graphique des systèmes

La résolution graphique de systèmes n’est fondamentalement pas différente de la résolution graphique d’équations. Nous construirons également deux graphiques, et leurs points d'intersection seront les racines de ce système. Un graphique est une équation, le deuxième graphique est une autre équation. Tout est extrêmement simple !

Commençons par la chose la plus simple : résoudre des systèmes d'équations linéaires.

Résolution de systèmes d'équations linéaires

Disons que nous avons le système suivant :

Tout d'abord, transformons-le pour qu'à gauche il y ait tout ce qui est lié, et à droite - tout ce qui est lié. En d’autres termes, écrivons ces équations sous forme de fonction sous notre forme habituelle :

Maintenant, nous construisons simplement deux lignes droites. Quelle est la solution dans notre cas ? Droite! Le point de leur intersection ! Et ici, il faut être très, très prudent ! Pensez-y, pourquoi ? Laissez-moi vous donner un indice : nous avons affaire à un système : dans le système il y a les deux, et... Vous avez compris ?

C'est exact! Lors de la résolution d’un système, il faut regarder les deux coordonnées, et pas seulement comme lors de la résolution d’équations ! Un autre point important est de les écrire correctement et de ne pas confondre où se trouve le sens et où se trouve le sens ! L'avez-vous écrit ? Comparons maintenant tout dans l'ordre :

Et les réponses : et. Faites une vérification - remplacez les racines trouvées dans le système et assurez-vous que nous l'avons résolu correctement graphiquement ?

Résolution de systèmes d'équations non linéaires

Et si, au lieu d’une droite, nous avions une équation quadratique ? C'est bon! Vous construisez simplement une parabole au lieu d’une ligne droite ! Ne crois pas? Essayez de résoudre le système suivant :

Quelle est notre prochaine étape ? C'est vrai, écrivez-le pour qu'il soit pratique pour nous de créer des graphiques :

Et maintenant, tout n’est qu’une question de petites choses : construisez-le rapidement et voici votre solution ! Nous construisons :

Les graphiques se sont-ils révélés identiques ? Marquez maintenant les solutions du système sur la figure et notez correctement les réponses identifiées !

J'ai tout fait ? Comparez avec mes notes :

Est-ce que tout va bien ? Bien joué! Vous êtes déjà en train de résoudre ce type de tâches comme un fou ! Si tel est le cas, donnons-nous un système plus compliqué :

Qu'est-ce que nous faisons? Droite! Nous écrivons le système de manière à ce qu'il soit pratique de construire :

Je vais vous donner un petit indice, car le système a l'air très compliqué ! Lors de la construction de graphiques, construisez-les « plus » et surtout, ne soyez pas surpris par le nombre de points d'intersection.

Alors allons-y! Expiré ? Maintenant, commencez à construire !

Alors comment ? Beau? Combien de points d’intersection avez-vous obtenu ? J'ai trois! Comparons nos graphiques :

Aussi? Maintenant, notez soigneusement toutes les solutions de notre système :

Maintenant, regardez à nouveau le système :

Pouvez-vous imaginer que vous avez résolu ce problème en seulement 15 minutes ? D'accord, les mathématiques sont encore simples, surtout quand on regarde l'expression, on n'a pas peur de se tromper, mais il suffit de la prendre et de la résoudre ! Tu es un grand garçon !

Solution graphique des inégalités

Solution graphique des inégalités linéaires

Après le dernier exemple, vous pouvez tout faire ! Maintenant, expirez – par rapport aux sections précédentes, celle-ci sera très, très facile !

Nous commencerons, comme d'habitude, par une solution graphique à une inégalité linéaire. Par exemple, celui-ci :

Tout d'abord, effectuons les transformations les plus simples - ouvrons les parenthèses des carrés parfaits et présentons des termes similaires :

L'inégalité n'est pas stricte, donc elle n'est pas incluse dans l'intervalle, et la solution sera tous les points qui sont à droite, puisque plus, plus, et ainsi de suite :

Répondre:

C'est tout! Facilement? Résolvons une inégalité simple à deux variables :

Dessinons une fonction dans le système de coordonnées.

Avez-vous eu un tel horaire ? Examinons maintenant attentivement quelles inégalités nous avons là-bas ? Moins? Cela signifie que nous peignons tout ce qui se trouve à gauche de notre ligne droite. Et s'il y en avait plus ? C'est vrai, alors nous peindrions tout ce qui se trouve à droite de notre ligne droite. C'est simple.

Toutes les solutions à cette inégalité sont surlignées en orange. Ça y est, l'inégalité à deux variables est résolue. Cela signifie que les coordonnées de n’importe quel point de la zone ombrée sont les solutions.

Solution graphique des inégalités quadratiques

Nous allons maintenant comprendre comment résoudre graphiquement les inégalités quadratiques.

Mais avant de passer aux choses sérieuses, passons en revue quelques éléments concernant la fonction quadratique.

De quoi est responsable le discriminant ? C'est vrai, pour la position du graphique par rapport à l'axe (si vous ne vous en souvenez pas, lisez absolument la théorie sur les fonctions quadratiques).

Dans tous les cas, voici un petit rappel pour vous :

Maintenant que nous avons rafraîchi tout le matériel dans notre mémoire, passons aux choses sérieuses : résolvez l'inégalité graphiquement.

Je vais vous dire tout de suite qu'il existe deux options pour le résoudre.

Option 1

On écrit notre parabole en fonction :

À l'aide des formules, nous déterminons les coordonnées du sommet de la parabole (exactement les mêmes que lors de la résolution d'équations quadratiques) :

As-tu compté ? Qu'est-ce que vous obtenez?

Prenons maintenant deux autres points différents et calculons-les :

Commençons par construire une branche de la parabole :

Nous réfléchissons symétriquement nos points sur une autre branche de la parabole :

Revenons maintenant à notre inégalité.

Nous avons besoin qu'il soit inférieur à zéro, respectivement :

Puisque dans notre inégalité le signe est strictement inférieur à, nous excluons les points finaux - « percer ».

Répondre:

Un long chemin, non ? Je vais maintenant vous montrer une version plus simple de la solution graphique en utilisant l'exemple de la même inégalité :

Option 2

Nous revenons à notre inégalité et marquons les intervalles dont nous avons besoin :

D'accord, c'est beaucoup plus rapide.

Écrivons maintenant la réponse :

Considérons une autre solution qui simplifie la partie algébrique, mais l'essentiel est de ne pas se tromper.

Multipliez les côtés gauche et droit par :

Essayez de résoudre vous-même les problèmes suivants inégalité quadratique comme vous le souhaitez : .

Avez-vous réussi ?

Regardez le résultat de mon graphique :

Répondre: .

Solution graphique des inégalités mixtes

Passons maintenant à des inégalités plus complexes !

Comment aimes-tu cela:

C'est effrayant, n'est-ce pas ? Honnêtement, je n'ai aucune idée de comment résoudre cela algébriquement... Mais ce n'est pas nécessaire. Graphiquement, cela n’a rien de compliqué ! Les yeux ont peur, mais les mains s'en sortent !

La première chose par laquelle nous commencerons est de construire deux graphiques :

Je n'écrirai pas de tableau pour chacun - je suis sûr que vous pouvez le faire parfaitement vous-même (wow, il y a tellement d'exemples à résoudre !).

L'as-tu peint ? Construisez maintenant deux graphiques.

Comparons nos dessins ?

Est-ce pareil chez vous ? Super! Maintenant, organisons les points d'intersection et utilisons la couleur pour déterminer quel graphique nous devrions avoir en théorie le plus grand. Regardez ce qui s'est passé à la fin :

Maintenant, regardons simplement où notre graphique sélectionné est plus haut que le graphique ? N'hésitez pas à prendre un crayon et à peindre sur cette zone ! Elle sera la solution à nos inégalités complexes !

À quels intervalles le long de l'axe nous trouvons-nous plus haut ? Droite, . C'est la réponse !

Eh bien, vous pouvez désormais gérer n’importe quelle équation, n’importe quel système, et encore plus n’importe quelle inégalité !

EN BREF SUR LES CHOSES PRINCIPALES

Algorithme de résolution d'équations à l'aide de graphiques de fonctions :

1. Exprimons-le à travers
2. Définissons le type de fonction
3. Construisons des graphiques des fonctions résultantes
4. Trouvons les points d'intersection des graphiques
5. Écrivons correctement la réponse (en tenant compte des signes ODZ et d'inégalité)
6. Vérifions la réponse (remplacez les racines dans l'équation ou le système)

Pour plus d'informations sur la construction de graphiques de fonctions, consultez la rubrique « ».

La méthode graphique est l'une des principales méthodes de résolution des inégalités quadratiques. Dans l'article, nous présenterons un algorithme d'utilisation de la méthode graphique, puis considérerons des cas particuliers à l'aide d'exemples.

L'essence de la méthode graphique

La méthode est applicable à la résolution de toutes les inégalités, pas seulement des inégalités quadratiques. Son essence est la suivante : les côtés droit et gauche de l'inégalité sont considérés comme deux fonctions distinctes y = f (x) et y = g (x), leurs graphiques sont tracés dans un système de coordonnées rectangulaires et regardez lequel des graphiques est situés au dessus de l'autre, et sur quels intervalles. Les intervalles sont estimés comme suit :

Définition 1

• les solutions à l'inégalité f (x) > g (x) sont des intervalles où le graphique de la fonction f est supérieur au graphique de la fonction g ;
• les solutions à l'inégalité f (x) ≥ g (x) sont des intervalles où le graphique de la fonction f n'est pas inférieur au graphique de la fonction g ;
• solutions à l'inégalité f(x)< g (x) являются интервалы, где график функции f ниже графика функции g ;
• les solutions à l'inégalité f (x) ≤ g (x) sont des intervalles où le graphique de la fonction f n'est pas supérieur au graphique de la fonction g ;
• Les abscisses des points d'intersection des graphiques des fonctions f et g sont des solutions de l'équation f (x) = g (x).

Regardons l'algorithme ci-dessus à l'aide d'un exemple. Pour ce faire, prenons l'inégalité quadratique a x 2 + b x + c< 0 (≤ , >, ≥) et en dériver deux fonctions. Côté gauche l'inégalité correspondra à y = a · x 2 + b · x + c (dans ce cas f (x) = a · x 2 + b · x + c), et celle de droite est y = 0 (dans ce cas g (x) = 0) .

Le graphique de la première fonction est une parabole, la seconde est une ligne droite qui coïncide avec l'axe des x O x. Analysons la position de la parabole par rapport à l'axe O x. Pour ce faire, réalisons un dessin schématique.

Les branches de la parabole sont dirigées vers le haut. Il coupe l'axe O x en des points x1 Et x2. Le coefficient a dans ce cas est positif, puisque c'est lui qui est responsable de la direction des branches de la parabole. Le discriminant est positif, indiquant que le trinôme quadratique a deux racines une x 2 + b x + c. Nous désignons les racines du trinôme par x1 Et x2, et il a été admis que x1< x 2 , puisqu'un point avec une abscisse est représenté sur l'axe O x x1à gauche du point d'abscisse x2.

Les parties de la parabole situées au-dessus de l'axe O x seront notées en rouge, en dessous - en bleu. Cela nous permettra de rendre le dessin plus visuel.

Sélectionnons les espaces qui correspondent à ces pièces et marquons-les dans l'image avec des champs d'une certaine couleur.

Nous avons marqué en rouge les intervalles (− ∞, x 1) et (x 2, + ∞), sur eux la parabole est au dessus de l'axe O x. Ils sont a · x 2 + b · x + c > 0. Nous avons marqué en bleu l'intervalle (x 1 , x 2), qui est la solution de l'inégalité a x 2 + b x + c< 0 . Числа x 1 и x 2 будут отвечать равенству a · x 2 + b · x + c = 0 .

Faisons un bref résumé de la solution. Pour a > 0 et D = b 2 − 4 a c > 0 (ou D " = D 4 > 0 pour un coefficient b pair) on obtient :

• la solution de l'inégalité quadratique a x 2 + b x + c > 0 est (− ∞ , x 1) ∪ (x 2 , + ∞) ou dans une autre notation x< x 1 , x >x2 ;
• la solution de l'inégalité quadratique a · x 2 + b · x + c ≥ 0 est (− ∞ , x 1 ] ∪ [ x 2 , + ∞) ou sous une autre forme x ≤ x 1 , x ≥ x 2 ;
• résoudre l'inégalité quadratique a x 2 + b x + c< 0 является (x 1 , x 2) или в другой записи x 1 < x < x 2 ;
• la solution de l'inégalité quadratique a x 2 + b x + c ≤ 0 est [ x 1 , x 2 ] ou dans une autre notation x 1 ≤ x ≤ x 2 ,

où x 1 et x 2 sont les racines du trinôme quadratique a x 2 + b x + c, et x 1< x 2 .

Sur cette figure, la parabole touche l'axe O x en un seul point, désigné par x0 une > 0. D=0, donc le trinôme quadratique a une racine x0.

La parabole est située complètement au-dessus de l'axe O x, à l'exception du point de tangence de l'axe des coordonnées. Colorons les intervalles (− ∞ , X 0) , (X 0 , ∞) .

Écrivons les résultats. À une > 0 Et D=0:

• résoudre l'inégalité quadratique une x 2 + b x + c > 0 est (− ∞ , x 0) ∪ (x 0 , + ∞) ou dans une autre notation x ≠ x 0;
• résoudre l'inégalité quadratique une x 2 + b x + c ≥ 0 est (− ∞ , + ∞) ou dans une autre notation x ∈ R ;
• inégalité quadratique une x 2 + b x + c< 0 n'a pas de solutions (il n'y a pas d'intervalles auxquels la parabole est située en dessous de l'axe Bœuf);
• inégalité quadratique une x 2 + b x + c ≤ 0 a une solution unique x = x0(il est donné par le point de contact),

Où x0- racine du trinôme carré une x 2 + b x + c.

Considérons le troisième cas, lorsque les branches de la parabole sont dirigées vers le haut et ne touchent pas l'axe Bœuf. Les branches de la parabole sont dirigées vers le haut, ce qui signifie que une > 0. Le trinôme carré n’a pas de véritables racines car D< 0 .

Il n'y a aucun intervalle sur le graphique auquel la parabole serait en dessous de l'axe des x. Nous en tiendrons compte lors du choix d'une couleur pour notre dessin.

Il s'avère que lorsque une > 0 Et D< 0 résoudre des inégalités quadratiques une x 2 + b x + c > 0 Et une x 2 + b x + c ≥ 0 est l'ensemble de tous les nombres réels et les inégalités une x 2 + b x + c< 0 Et une x 2 + b x + c ≤ 0 n'ai pas de solutions.

Il nous reste trois options à considérer lorsque les branches de la parabole sont dirigées vers le bas. Il n'est pas nécessaire de s'attarder sur ces trois options en détail, puisque lorsque l'on multiplie les deux côtés de l'inégalité par − 1, on obtient une inégalité équivalente avec un coefficient positif pour x 2.

L'examen de la section précédente de l'article nous a préparé à la perception d'un algorithme de résolution d'inégalités par une méthode graphique. Pour effectuer les calculs, nous devrons à chaque fois utiliser un dessin, qui représentera la ligne de coordonnées O x et une parabole qui correspond à la fonction quadratique y = une x 2 + b x + c. Dans la plupart des cas, nous ne représenterons pas l'axe O y, car il n'est pas nécessaire aux calculs et ne fera que surcharger le dessin.

Pour construire une parabole, nous aurons besoin de savoir deux choses :

Définition 2

• la direction des branches, qui est déterminée par la valeur du coefficient a ;
• la présence de points d'intersection de la parabole et de l'axe des abscisses, qui sont déterminés par la valeur du discriminant du trinôme quadratique une · x 2 + b · x + c .

Nous désignerons les points d'intersection et de tangence de la manière habituelle lors de la résolution d'inégalités non strictes et vide lors de la résolution d'inégalités strictes.

Avoir un dessin terminé vous permet de passer à l’étape suivante de la solution. Il s'agit de déterminer les intervalles auxquels la parabole se situe au-dessus ou en dessous de l'axe O x. Les intervalles et les points d'intersection sont la solution à l'inégalité quadratique. S'il n'y a pas de points d'intersection ou de tangence et qu'il n'y a pas d'intervalles, alors on considère que l'inégalité spécifiée dans les conditions du problème n'a pas de solution.

Résolvons maintenant plusieurs inégalités quadratiques en utilisant l'algorithme ci-dessus.

Exemple 1

Il faut résoudre graphiquement l'inégalité 2 x 2 + 5 1 3 x - 2.

Solution

Traçons un graphique de la fonction quadratique y = 2 · x 2 + 5 1 3 · x - 2 . Coefficient à x2 positif car il est égal 2 . Cela signifie que les branches de la parabole seront dirigées vers le haut.

Calculons le discriminant du trinôme quadratique 2 x 2 + 5 1 3 x - 2 afin de savoir si la parabole a des points communs avec l'axe des abscisses. On a:

D = 5 1 3 2 - 4 2 (- 2) = 400 9

Comme nous le voyons, D est supérieur à zéro, nous avons donc deux points d'intersection : x 1 = - 5 1 3 - 400 9 2 2 et x 2 = - 5 1 3 + 400 9 2 2, c'est-à-dire x 1 = − 3 Et x2 = 1 3.

Nous résolvons une inégalité non stricte, nous mettons donc des points ordinaires sur le graphique. Dessinons une parabole. Comme vous pouvez le constater, le dessin a la même apparence que dans le premier modèle que nous avons considéré.

Notre inégalité a le signe ≤. Par conséquent, nous devons mettre en évidence les intervalles sur le graphique où la parabole est située en dessous de l'axe O x et leur ajouter des points d'intersection.

L'intervalle dont nous avons besoin est 3, 1 3. Nous y ajoutons des points d'intersection et obtenons un segment numérique − 3, 1 3. C'est la solution à notre problème. La réponse peut s'écrire sous la forme d'une double inégalité : − 3 ≤ x ≤ 1 3 .

Répondre:− 3 , 1 3 ou − 3 ≤ x ≤ 1 3 .

Exemple 2

− x 2 + 16 x − 63< 0 méthode graphique.

Solution

Le carré de la variable a un coefficient numérique négatif, donc les branches de la parabole seront dirigées vers le bas. Calculons la quatrième partie du discriminant D " = 8 2 − (− 1) · (− 63) = 64 − 63 = 1. Ce résultat nous indique qu’il y aura deux points d’intersection.

Calculons les racines du trinôme quadratique : x 1 = - 8 + 1 - 1 et x 2 = - 8 - 1 - 1, x 1 = 7 et x2 = 9.

Il s'avère que la parabole coupe l'axe des x aux points 7 Et 9 . Marquons ces points sur le graphique comme vides, puisque nous travaillons avec une inégalité stricte. Après cela, dessinez une parabole qui coupe l’axe O x aux points marqués.

Nous nous intéresserons aux intervalles auxquels la parabole se situe en dessous de l'axe O x. Marquons ces intervalles en bleu.

Nous obtenons la réponse : la solution de l'inégalité est les intervalles (− ∞, 7) , (9, + ∞) .

Répondre:(− ∞ , 7) ∪ (9 , + ∞) ou dans une autre notation x< 7 , x > 9 .

Dans les cas où le discriminant d'un trinôme quadratique est nul, il est nécessaire d'examiner attentivement la question de savoir s'il faut inclure l'abscisse des points tangents dans la réponse. Afin de prendre la bonne décision, il est nécessaire de prendre en compte le signe d'inégalité. Dans les inégalités strictes, le point de tangence de l'axe des x n'est pas une solution à l'inégalité, mais dans les inégalités non strictes, il l'est.

Exemple 3

Résoudre l'inégalité quadratique 10 x 2 − 14 x + 4, 9 ≤ 0 méthode graphique.

Solution

Les branches de la parabole dans ce cas seront dirigées vers le haut. Il touchera l'axe O x au point 0, 7, puisque

Traçons la fonction y = 10 x 2 − 14 x + 4,9. Ses branches sont dirigées vers le haut, puisque le coefficient à x2 positif, et il touche l'axe des x au point de l'axe des x 0 , 7 , parce que ré " = (− 7) 2 − 10 4, 9 = 0, d'où x 0 = 7 10 ou 0 , 7 .

Mettons un point et dessinons une parabole.

On résout une inégalité non stricte de signe ≤. Ainsi. Nous nous intéresserons aux intervalles auxquels la parabole se situe en dessous de l'axe des x et du point de tangence. Il n'y a aucun intervalle dans la figure qui satisferait nos conditions. Il n'y a qu'un point de contact 0, 7. C'est la solution que nous recherchons.

Répondre: L'inégalité n'a qu'une seule solution 0, 7.

Exemple 4

Résoudre l'inégalité quadratique – x 2 + 8 x − 16< 0 .

Solution

Les branches de la parabole sont dirigées vers le bas. Le discriminant est nul. Point d'intersection x0 = 4.

Nous marquons le point de tangence sur l'axe des x et dessinons une parabole.

Nous sommes confrontés à de graves inégalités. Par conséquent, nous nous intéressons aux intervalles auxquels la parabole se situe en dessous de l'axe O x. Marquons-les en bleu.

Le point d'abscisse 4 n'est pas une solution, puisque la parabole qui s'y trouve n'est pas située en dessous de l'axe O x. Par conséquent, nous obtenons deux intervalles (− ∞ , 4) , (4 , + ∞) .

Répondre: (− ∞ , 4) ∪ (4 , + ∞) ou dans une autre notation x ≠ 4 .

Pas toujours avec valeur négative les inégalités discriminatoires n’auront pas de solutions. Il existe des cas où la solution est l’ensemble de tous les nombres réels.

Exemple 5

Résolvez graphiquement l’inégalité quadratique 3 x 2 + 1 > 0.

Solution

Le coefficient a est positif. Le discriminant est négatif. Les branches de la parabole seront dirigées vers le haut. Il n'y a pas de points d'intersection de la parabole avec l'axe O x. Regardons le dessin.

Nous travaillons avec une inégalité stricte, qui a un signe >. Cela signifie que nous nous intéressons aux intervalles auxquels la parabole se situe au-dessus de l'axe des x. C’est exactement le cas lorsque la réponse est l’ensemble de tous les nombres réels.

Répondre:(− ∞, + ∞) ou alors x ∈ R.

Exemple 6

Il faut trouver une solution aux inégalités − 2 x 2 − 7 x − 12 ≥ 0 graphiquement.

Solution

Les branches de la parabole sont dirigées vers le bas. Le discriminant est négatif, il n'y a donc pas de points communs entre la parabole et l'axe des x. Regardons le dessin.

Nous travaillons avec une inégalité non stricte de signe ≥, donc les intervalles dans lesquels la parabole est située au dessus de l'axe des x nous intéressent. À en juger par le graphique, de telles lacunes n'existent pas. Cela signifie que l’inégalité donnée dans les conditions du problème n’a pas de solution.

Répondre: Aucune solution.

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Laisser f(x,y) Et g(x,y)- deux expressions avec des variables X Et à et la portée X. Alors les inégalités de la forme f(x,y) > g(x,y) ou f(x,y) < g(x,y) appelé inégalité à deux variables .

Signification des variables x, y de beaucoup X, auquel l'inégalité se transforme en une véritable inégalité numérique, on l'appelle décision et est désigné (x, y). Résoudre les inégalités - cela signifie trouver beaucoup de ces paires.

Si chaque paire de nombres (x, y)à partir de l'ensemble des solutions à l'inégalité, faites correspondre le point M(x,y), on obtient l'ensemble des points sur le plan spécifié par cette inégalité. Il est appelé graphique de cette inégalité . Le graphique d’une inégalité est généralement une aire sur un plan.

Décrire l’ensemble des solutions à l’inégalité f(x,y) > g(x,y), procédez comme suit. Tout d’abord, remplacez le signe d’inégalité par un signe égal et trouvez une droite qui a l’équation f(x,y) = g(x,y). Cette ligne divise l'avion en plusieurs parties. Après cela, il suffit de prendre un point dans chaque partie et de vérifier si l'inégalité est satisfaite à ce stade. f(x,y) > g(x,y). S'il est exécuté à ce stade, alors il sera exécuté dans toute la partie où se trouve ce point. En combinant de telles pièces, nous obtenons de nombreuses solutions.

Tâche. oui > X.

Solution. Tout d’abord, nous remplaçons le signe d’inégalité par un signe égal et construisons une ligne dans un système de coordonnées rectangulaires qui a l’équation oui = X.

Cette ligne divise le plan en deux parties. Après cela, prenez un point dans chaque partie et vérifiez si l'inégalité est satisfaite à ce stade. oui > X.

Tâche. Résoudre graphiquement l'inégalité
X 2 + à 2 25 £.

Riz. 18.

Solution. Tout d’abord, remplacez le signe d’inégalité par un signe égal et tracez une ligne X 2 + à 2 = 25. Il s'agit d'un cercle avec un centre à l'origine et un rayon de 5. Le cercle résultant divise le plan en deux parties. Vérification de la satisfiabilité de l'inégalité X 2 + à 2 £ 25 dans chaque partie, nous constatons que le graphique est un ensemble de points sur un cercle et de parties d'un plan à l'intérieur du cercle.

Soit deux inégalités F 1(x, y) > g 1(x, y) Et F 2(x, y) > g 2(x, y).

Systèmes d'ensembles d'inégalités à deux variables

Système d'inégalités est toi-même conjonction de ces inégalités. Solution système est-ce que chaque sens (x, y), ce qui transforme chacune des inégalités en une véritable inégalité numérique. De nombreuses solutions systèmes Les inégalités sont l’intersection d’ensembles de solutions aux inégalités qui forment un système donné.

Ensemble d'inégalités est toi-même disjonction de ces inégalités Par la solution de la totalité est-ce que chaque sens (x, y), qui convertit au moins une des inégalités en une véritable inégalité numérique. De nombreuses solutions totalité est une union d’ensembles de solutions aux inégalités qui forment un ensemble.

Tâche. Résoudre graphiquement le système d'inégalités

Solution. y = x Et X 2 + à 2 = 25. Nous résolvons chaque inégalité du système.

Le graphique du système sera l'ensemble des points du plan qui sont l'intersection (double hachure) des ensembles de solutions aux première et deuxième inégalités.

Tâche. Résoudre graphiquement un ensemble d'inégalités

Solution. Tout d'abord, nous remplaçons le signe d'inégalité par un signe égal et traçons des lignes dans un système de coordonnées y = x+ 4 et X 2 + à 2 = 16. Résolvez chaque inégalité dans la population. Le graphique de la population sera un ensemble de points sur le plan, qui sont l'union des ensembles de solutions aux première et deuxième inégalités.

Exercices pour le travail indépendant

1. Résolvez graphiquement les inégalités : a) à> 2X; b) à< 2X + 3;

V) X 2+ oui 2 > 9 ; G) X 2+ oui 2 £4.

2. Résoudre graphiquement des systèmes d'inégalités :

un B)