Aire de figures volumétriques. Comment calculer et étiqueter la surface

Pour résoudre des problèmes de géométrie, vous devez connaître des formules - telles que l'aire d'un triangle ou l'aire d'un parallélogramme - ainsi que des techniques simples que nous aborderons.

Tout d’abord, apprenons les formules pour les aires des figures. Nous les avons spécialement rassemblés dans un tableau pratique. Imprimez, apprenez et postulez !

Bien entendu, toutes les formules géométriques ne figurent pas dans notre tableau. Par exemple, pour résoudre des problèmes de géométrie et de stéréométrie dans la deuxième partie de l'examen d'État unifié de profil en mathématiques, d'autres formules pour l'aire d'un triangle sont utilisées. Nous vous en parlerons certainement.

Mais que se passe-t-il si vous avez besoin de trouver non pas l'aire d'un trapèze ou d'un triangle, mais l'aire d'une figure complexe ? Il existe des moyens universels ! Nous les montrerons à l'aide d'exemples de la banque de tâches FIPI.

1. Comment trouver l'aire d'une figure non standard ? Par exemple, un quadrilatère arbitraire ? Une technique simple - divisons cette figure en celles dont nous savons tout et trouvons son aire - comme la somme des aires de ces figures.

Divisez ce quadrilatère par une ligne horizontale en deux triangles de base commune égale à . Les hauteurs de ces triangles sont égales à et . Alors l'aire du quadrilatère est égale à la somme des aires des deux triangles : .

Répondre: .

2. Dans certains cas, l'aire d'une figure peut être représentée comme la différence de certaines aires.

Il n'est pas si simple de calculer à quoi sont égales la base et la hauteur de ce triangle ! Mais on peut dire que son aire est égale à la différence entre les aires d'un carré avec un côté et de trois triangles rectangles. Les voyez-vous sur la photo ? On a: .

Répondre: .

3. Parfois, dans une tâche, vous devez trouver l'aire non pas de la figure entière, mais d'une partie de celle-ci. Nous parlons généralement de l'aire d'un secteur - partie d'un cercle Trouvez l'aire d'un secteur d'un cercle de rayon dont la longueur de l'arc est égale à .

Sur cette image, nous voyons une partie d'un cercle. L'aire du cercle entier est égale à . Reste à savoir quelle partie du cercle est représentée. Puisque la longueur du cercle entier est égale (puisque ) et que la longueur de l'arc d'un secteur donné est égale à , la longueur de l'arc est donc plusieurs fois inférieure à la longueur du cercle entier. L'angle auquel cet arc repose est également un facteur inférieur à un cercle complet (c'est-à-dire en degrés). Cela signifie que la superficie du secteur sera plusieurs fois inférieure à la superficie du cercle entier.

Carré figure géométrique - une caractéristique numérique d'une figure géométrique montrant la taille de cette figure (partie de la surface limitée par le contour fermé de cette figure). La taille de la zone est exprimée par le nombre d'unités carrées qu'elle contient.

Formules d'aire triangulaire

Formule pour l'aire d'un triangle par côté et par hauteur
Aire d'un triangleégal à la moitié du produit de la longueur d'un côté d'un triangle et de la longueur de l'altitude tracée de ce côté
Formule pour l'aire d'un triangle basée sur trois côtés et le rayon du cercle circonscrit
Formule pour l'aire d'un triangle basée sur trois côtés et le rayon du cercle inscrit
Aire d'un triangle est égal au produit du demi-périmètre du triangle et du rayon du cercle inscrit.

Formules de surface carrée

Formule pour l'aire d'un carré par longueur de côté
Surface carréeégal au carré de la longueur de son côté.
Formule pour l'aire d'un carré le long de la diagonale
Surface carréeégal à la moitié du carré de la longueur de sa diagonale.
S= 1 2
2

Formule de zone rectangulaire

Aire d'un rectangle

Formules d'aire de parallélogramme

Formule pour l'aire d'un parallélogramme basée sur la longueur et la hauteur des côtés
Aire d'un parallélogramme
Formule pour l'aire d'un parallélogramme basée sur deux côtés et l'angle entre eux
Aire d'un parallélogramme est égal au produit des longueurs de ses côtés multiplié par le sinus de l'angle qui les sépare.
a b péché α

Formules pour l'aire d'un losange

Formule pour l'aire d'un losange basée sur la longueur et la hauteur des côtés
Aire d'un losange est égal au produit de la longueur de son côté et de la longueur de la hauteur abaissée de ce côté.
Formule pour l'aire d'un losange basée sur la longueur et l'angle des côtés
Aire d'un losange est égal au produit du carré de la longueur de son côté et du sinus de l'angle entre les côtés du losange.
Formule pour l'aire d'un losange basée sur la longueur de ses diagonales
Aire d'un losangeégal à la moitié du produit des longueurs de ses diagonales.

Formules de zone trapézoïdale

Formule du héron pour le trapèze
Où S est l'aire du trapèze,
- les longueurs des bases du trapèze,
- les longueurs des côtés du trapèze,

Vous pouvez trouver sur Internet plus de 10 formules pour calculer l'aire d'un triangle. Beaucoup d'entre elles sont utilisées dans des problèmes avec des côtés et des angles connus du triangle. Cependant, il existe un certain nombre d'exemples complexes où, selon les conditions de mission, un seul côté et les angles d'un triangle sont connus, ou le rayon d'un cercle circonscrit ou inscrit et une autre caractéristique. Dans de tels cas, une formule simple ne peut pas être appliquée.

Les formules données ci-dessous vous permettront de résoudre 95 % des problèmes dans lesquels vous devez trouver l'aire d'un triangle.
Passons à l'examen des formules d'espace commun.
Considérons le triangle montré dans la figure ci-dessous

Dans la figure et ci-dessous dans les formules, les désignations classiques de toutes ses caractéristiques sont introduites.
a,b,c – côtés du triangle,
R – rayon du cercle circonscrit,
r – rayon du cercle inscrit,
h[b],h[a],h[c] – hauteurs tracées conformément aux côtés a,b,c.
alpha, bêta, hamma – angles proches des sommets.

Formules de base pour l'aire d'un triangle

1. L'aire est égale à la moitié du produit du côté du triangle et de la hauteur abaissée de ce côté. Dans le langage des formules, cette définition peut s'écrire ainsi

Ainsi, si le côté et la hauteur sont connus, alors chaque élève trouvera l'aire.
À propos, de cette formule, on peut déduire une relation utile entre les hauteurs

2. Si l'on tient compte du fait que la hauteur d'un triangle passant par le côté adjacent est exprimée par la dépendance

Ensuite la première formule d'aire est suivie des secondes du même type

Regardez attentivement les formules : elles sont faciles à retenir, car le travail implique deux côtés et l'angle qui les sépare. Si nous désignons correctement les côtés et les angles du triangle (comme dans la figure ci-dessus), nous obtiendrons deux côtés a,b et l'angle est relié au troisième Avec (hamma).

3. Pour les angles d'un triangle, la relation est vraie

La dépendance vous permet d'utiliser les formules suivantes pour l'aire d'un triangle dans les calculs :

Les exemples de cette dépendance sont extrêmement rares, mais il ne faut pas oublier qu'une telle formule existe.

4. Si le côté et deux angles adjacents sont connus, alors l'aire est trouvée par la formule

5. La formule pour l'aire en termes de côté et de cotangente des angles adjacents est la suivante

En réorganisant les index, vous pouvez obtenir des dépendances pour d'autres parties.

6. La formule d'aire ci-dessous est utilisée dans les problèmes lorsque les sommets d'un triangle sont spécifiés sur le plan par des coordonnées. Dans ce cas, l'aire est égale à la moitié du déterminant pris modulo.

7. La formule du héron utilisé dans les exemples avec des côtés connus d'un triangle.
Trouvez d’abord le demi-périmètre du triangle

Et puis déterminez la superficie en utilisant la formule

ou

Il est assez souvent utilisé dans le code des programmes de calculatrice.

8. Si toutes les hauteurs du triangle sont connues, alors l'aire est déterminée par la formule

Il est difficile de calculer sur une calculatrice, mais dans les packages MathCad, Mathematica et Maple, la zone est le « temps deux ».

9. Les formules suivantes utilisent les rayons connus des cercles inscrits et circonscrits.

En particulier, si le rayon et les côtés du triangle, ou son périmètre, sont connus, alors l'aire est calculée selon la formule

10. Dans les exemples où les côtés et le rayon ou le diamètre du cercle circonscrit sont donnés, l'aire est trouvée à l'aide de la formule

11. La formule suivante détermine l'aire d'un triangle en termes de côté et d'angles du triangle.

Et enfin - cas particuliers :
Aire d'un triangle rectangle avec les jambes a et b égales à la moitié de leur produit

Formule pour l'aire d'un triangle équilatéral (régulier)=

= un quart du produit du carré du côté par la racine de trois.

Si vous envisagez d'effectuer vous-même les réparations, vous devrez alors établir un devis pour la construction et matériaux de finition. Pour ce faire, vous devrez calculer la superficie de la pièce dans laquelle vous envisagez d'effectuer des travaux de rénovation. L'assistant principal est une formule spécialement développée. La superficie de la pièce, à savoir son calcul, vous permettra d'économiser beaucoup d'argent sur matériaux de construction et orienter les ressources financières libérées dans une direction plus appropriée.

Forme géométrique de la pièce

La formule de calcul de la superficie d'une pièce dépend directement de sa forme. Les bâtiments domestiques les plus typiques sont les pièces rectangulaires et carrées. Cependant, lors du réaménagement, le formulaire standard peut être déformé. Les chambres sont :

Rectangulaire.
Carré.
Configuration complexe (par exemple, ronde).
Avec niches et projections.

Chacun d'eux a ses propres fonctionnalités de calcul, mais, en règle générale, la même formule est utilisée. La superficie d'une pièce de n'importe quelle forme et taille, d'une manière ou d'une autre, peut être calculée.

Chambre rectangulaire ou carrée

Pour calculer l'aire d'une pièce rectangulaire ou carrée, n'oubliez pas vos cours de géométrie à l'école. Par conséquent, il ne devrait pas être difficile pour vous de déterminer la superficie de la pièce. La formule de calcul ressemble à :

Chambres S=A*B, où

A est la longueur de la pièce.

B est la largeur de la pièce.

Pour mesurer ces valeurs, vous aurez besoin d'un ruban à mesurer ordinaire. Pour obtenir les calculs les plus précis, il vaut la peine de mesurer le mur des deux côtés. Si les valeurs ne concordent pas, prenez comme base la moyenne des données obtenues. Mais rappelez-vous que tous les calculs comportent leurs propres erreurs, le matériel doit donc être acheté avec une réserve.

Une salle à la configuration complexe

Si votre chambre ne correspond pas à la définition de « typique », c'est-à-dire a la forme d'un cercle, d'un triangle, d'un polygone, vous aurez peut-être besoin d'une formule différente pour les calculs. Vous pouvez essayer de diviser grossièrement la superficie d'une pièce présentant cette caractéristique en éléments rectangulaires et effectuer des calculs en utilisant la méthode standard. Si vous n'avez pas cette opportunité, utilisez les méthodes suivantes :

Formule pour trouver l'aire d'un cercle :

S pièce = π*R 2, où

R est le rayon de la pièce.

Formule pour trouver l'aire d'un triangle :

S pièce = √ (P(P - A) x (P - B) x (P - C)), où

P est le demi-périmètre du triangle.

A, B, C sont les longueurs de ses côtés.

Donc P=A+B+C/2

Si vous rencontrez des difficultés lors du processus de calcul, il vaut mieux ne pas vous torturer et vous tourner vers des professionnels.

Zone de la salle avec saillies et niches

Souvent, les murs sont décorés d'éléments décoratifs sous la forme de diverses niches ou saillies. Aussi, leur présence peut être due à la nécessité de cacher certains éléments inesthétiques de votre pièce. La présence de rebords ou de niches sur votre mur implique que le calcul doit être effectué par étapes. Ceux. Tout d'abord, la surface d'une section plate du mur est trouvée, puis la surface de la niche ou de la saillie y est ajoutée.

L'aire du mur est trouvée par la formule :

Murs S = P x C, où

P - périmètre

C - hauteur

Il faut également tenir compte de la présence de fenêtres et de portes. Leur superficie doit être soustraite de la valeur résultante.

Chambre avec plafond à plusieurs niveaux

Un plafond à plusieurs niveaux ne complique pas les calculs autant qu'il y paraît à première vue. S'il a une conception simple, des calculs peuvent être effectués sur la base du principe de recherche de la surface des murs compliquée par des niches et des saillies.

Cependant, si la conception de votre plafond comporte des éléments arqués et en forme de vague, il est alors plus approprié de déterminer sa superficie en utilisant la surface au sol. Pour ce faire, vous avez besoin de :

Trouvez les dimensions de toutes les sections droites de murs.
Trouvez la superficie au sol.
Multipliez la longueur et la hauteur des sections verticales.
Additionnez la valeur résultante avec la surface au sol.

Instructions étape par étape pour déterminer le général

superficie de la pièce

Débarrassez la pièce des choses inutiles. Pendant le processus de mesure, vous aurez besoin Accès libre dans toutes les zones de votre pièce, vous devez donc vous débarrasser de tout ce qui pourrait interférer avec cela.
Divisez visuellement la pièce en zones de forme régulière et irrégulière. Si votre pièce a une forme strictement carrée ou rectangulaire, vous pouvez ignorer cette étape.
Faites une disposition aléatoire de la pièce. Ce dessin est nécessaire pour que toutes les données soient toujours à portée de main. De plus, cela ne vous donnera pas la possibilité de vous tromper dans de nombreuses mesures.
Les mesures doivent être prises plusieurs fois. Ce règle importante pour éliminer les erreurs de calcul. De plus, si vous l’utilisez, assurez-vous que la poutre repose à plat sur la surface du mur.
Trouvez la superficie totale de la pièce. La formule pour la superficie totale d'une pièce consiste à trouver la somme de toutes les superficies des sections individuelles de la pièce. Ceux. S total = S murs+S sol+S plafond

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