La tangente est égale à 0 équation. Équations trigonométriques
Les équations trigonométriques les plus simples sont généralement résolues à l'aide de formules. Permettez-moi de vous rappeler que les équations trigonométriques les plus simples sont :
sinx = un
cosx = un
tgx = un
ctgx = un
x est l'angle à trouver,
a est n’importe quel nombre.
Et voici les formules avec lesquelles vous pouvez immédiatement écrire les solutions de ces équations les plus simples.
Pour le sinus :
Pour le cosinus :
x = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z
Pour la tangente :
x = arctan a + π n, n ∈ Z
Pour la cotangente :
x = arcctg a + π n, n ∈ Z
En fait, c'est la partie théorique de la résolution des équations trigonométriques les plus simples. D'ailleurs, tout !) Rien du tout. Cependant, le nombre d’erreurs sur ce sujet est tout simplement hors du commun. Surtout si l'exemple s'écarte légèrement du modèle. Pourquoi?
Oui, parce que beaucoup de gens écrivent ces lettres, sans en comprendre du tout le sens ! Il écrit avec prudence, de peur que quelque chose n'arrive...) Il faut régler ce problème. Trigonométrie pour les gens, ou gens pour la trigonométrie, après tout !?)
Voyons ça ?
Un angle sera égal à arccos un, deuxième: -arccos a.
Et cela fonctionnera toujours ainsi. Pour toute UN.
Si vous ne me croyez pas, passez votre souris sur l'image ou touchez l'image sur votre tablette.) J'ai changé le numéro UN à quelque chose de négatif. Quoi qu'il en soit, nous avons un coin arccos un, deuxième: -arccos a.
Par conséquent, la réponse peut toujours s’écrire sous la forme de deux séries de racines :
x 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z
x 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z
Combinons ces deux séries en une seule :
x= ± arccos a + 2π n, n ∈ Z
Et c'est tout. Nous avons obtenu une formule générale pour résoudre l'équation trigonométrique la plus simple avec cosinus.
Si vous comprenez qu'il ne s'agit pas d'une sorte de sagesse superscientifique, mais juste une version abrégée de deux séries de réponses, Vous serez également capable de gérer les tâches « C ». Avec des inégalités, avec une sélection de racines dans un intervalle donné... Là, la réponse avec un plus/moins ne fonctionne pas. Mais si vous traitez la réponse de manière pragmatique et la divisez en deux réponses distinctes, tout sera résolu.) En fait, c’est pourquoi nous l’examinons. Quoi, comment et où.
Dans l'équation trigonométrique la plus simple
sinx = un
on obtient également deux séries de racines. Toujours. Et ces deux séries peuvent aussi être enregistrées en une seule ligne. Seule cette ligne sera plus délicate :
x = (-1) n arcsin a + π n, n ∈ Z
Mais l’essence reste la même. Les mathématiciens ont simplement conçu une formule pour créer une entrée au lieu de deux pour une série de racines. C'est tout!
Vérifions les mathématiciens ? Et on ne sait jamais...)
Dans la leçon précédente, la solution (sans aucune formule) d'une équation trigonométrique avec sinus a été discutée en détail :
La réponse a abouti à deux séries de racines :
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Si nous résolvons la même équation en utilisant la formule, nous obtenons la réponse :
x = (-1) n arcsin 0,5 + π n, n ∈ Z
En fait, c'est une réponse inachevée.) L'étudiant doit savoir que arcsin 0,5 = π /6. La réponse complète serait :
x = (-1)n π /6+ π n, n ∈ Z
Cela soulève une question intéressante. Répondre via x1 ; x2 (c'est la bonne réponse !) et par la solitude X (et c'est la bonne réponse !) - est-ce la même chose ou pas ? Nous le découvrirons maintenant.)
Nous remplaçons la réponse par x1 valeurs n =0; 1; 2 ; etc., on compte, on obtient une série de racines :
x 1 = π/6 ; 13π/6 ; 25π/6 et ainsi de suite.
Avec la même substitution en réponse avec x2 , on a:
x2 = 5π/6 ; 17π/6 ; 29π/6 et ainsi de suite.
Maintenant, remplaçons les valeurs n (0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4...) dans la formule générale pour un seul X . C'est-à-dire que nous élevons moins un à la puissance zéro, puis à la première, à la seconde, etc. Eh bien, bien sûr, nous remplaçons 0 dans le deuxième terme ; 1; 2 3 ; 4, etc Et nous comptons. On obtient la série :
X = π/6 ; 5π/6 ; 13π/6 ; 17π/6 ; 25π/6 et ainsi de suite.
C'est tout ce que vous pouvez voir.) La formule générale nous donne exactement les mêmes résultats tout comme les deux réponses séparément. Juste tout à la fois, dans l'ordre. Les mathématiciens n'étaient pas dupes.)
Les formules de résolution d'équations trigonométriques avec tangente et cotangente peuvent également être vérifiées. Mais nous ne le ferons pas.) Ils sont déjà simples.
J'ai écrit spécifiquement toutes ces substitutions et vérifications. Ici, il est important de comprendre une chose simple : il existe des formules pour résoudre des équations trigonométriques élémentaires, juste un bref résumé des réponses. Pour cette brièveté, nous avons dû insérer plus/moins dans la solution cosinus et (-1) n dans la solution sinus.
Ces inserts ne gênent en rien les tâches où il suffit d'écrire la réponse à une équation élémentaire. Mais si vous avez besoin de résoudre une inégalité, ou si vous devez faire quelque chose avec la réponse : sélectionner des racines sur un intervalle, vérifier l'ODZ, etc., ces insertions peuvent facilement déstabiliser une personne.
Donc qu'est ce que je devrais faire? Oui, soit écrivez la réponse en deux séries, soit résolvez l'équation/inégalité à l'aide du cercle trigonométrique. Ensuite ces insertions disparaissent et la vie devient plus facile.)
Nous pouvons résumer.
Pour résoudre les équations trigonométriques les plus simples, il existe des formules de réponse toutes faites. Quatre pièces. Ils sont parfaits pour écrire instantanément la solution d’une équation. Par exemple, vous devez résoudre les équations :
sinx = 0,3
Facilement: x = (-1) n arcsin 0,3 + π n, n ∈ Z
cosx = 0,2
Aucun problème: x = ± arccos 0,2 + 2π n, n ∈ Z
tgx = 1,2
Facilement: x = arctan 1,2 + π n, n ∈ Z
ctgx = 3,7
Un dernier: x= arcctg3,7 + π n, n ∈ Z
cosx = 1,8
Si vous, brillant de connaissances, écrivez instantanément la réponse :
x= ± arccos 1,8 + 2π n, n ∈ Z
alors tu brilles déjà, ceci... cela... d'une flaque d'eau.) Bonne réponse : il n'y a pas de solutions. Vous ne comprenez pas pourquoi ? Lisez ce qu'est l'arc cosinus. De plus, si sur le côté droit de l'équation d'origine se trouvent les valeurs tabulaires du sinus, du cosinus, de la tangente, de la cotangente, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 et ainsi de suite. - la réponse à travers les arches sera inachevée. Les arches doivent être converties en radians.
Et si vous rencontrez des inégalités, comme
alors la réponse est :
x πn, n ∈ Z
il y a de rares absurdités, oui...) Ici, vous devez résoudre en utilisant le cercle trigonométrique. Ce que nous ferons dans le sujet correspondant.
Pour ceux qui lisent héroïquement ces lignes. Je ne peux tout simplement pas m’empêcher d’apprécier vos efforts titanesques. Bonus pour vous.)
Prime:
Lorsqu'ils écrivent des formules dans une situation de combat alarmante, même les nerds chevronnés ne savent souvent pas où πn, Et où 2πn. Voici une astuce simple pour vous. Dans tout le monde des formules qui valent πn. Sauf pour la seule formule avec arc cosinus. Il est là 2πn. Deux panne. Mot-clé - deux. Dans cette même formule il y a deux signe au début. Plus et moins. Ici et là - deux.
Alors si tu écris deux signe avant l'arc cosinus, c'est plus facile de se rappeler ce qui va se passer à la fin deux panne. Et cela se produit aussi dans l'autre sens. La personne manquera le signe ± , arrive à la fin, écrit correctement deux Pien, et il reprendra ses esprits. Il y a quelque chose à venir deux signe! La personne reviendra au début et corrigera l’erreur ! Comme ça.)
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Au fait, j'ai quelques autres sites intéressants pour vous.)
Vous pouvez vous entraîner à résoudre des exemples et découvrir votre niveau. Test avec vérification instantanée. Apprenons - avec intérêt !)
Vous pouvez vous familiariser avec les fonctions et les dérivées.
Les principales méthodes de résolution d'équations trigonométriques sont : la réduction des équations au plus simple (à l'aide de formules trigonométriques), l'introduction de nouvelles variables et la factorisation. Regardons leur utilisation avec des exemples. Faites attention au format d'écriture des solutions aux équations trigonométriques.
Une condition nécessaire pour réussir à résoudre des équations trigonométriques est la connaissance des formules trigonométriques (thème 13 du travail 6).
Exemples.
1. Équations réduites au plus simple.
1) Résoudre l'équation
Solution:
Répondre:
2) Trouver les racines de l'équation
(sinx + cosx) 2 = 1 – sinxcosx, appartenant au segment.
Solution:
Répondre:
2. Équations qui se réduisent au quadratique.
1) Résolvez l’équation 2 sin 2 x – cosx –1 = 0.
Solution: En utilisant la formule sin 2 x = 1 – cos 2 x, on obtient
Répondre:
2) Résolvez l'équation cos 2x = 1 + 4 cosx.
Solution: En utilisant la formule cos 2x = 2 cos 2 x – 1, on obtient
Répondre:
3) Résolvez l'équation tgx – 2ctgx + 1 = 0
Solution:
Répondre:
3. Équations homogènes
1) Résolvez l’équation 2sinx – 3cosx = 0
Solution : Soit cosx = 0, puis 2sinx = 0 et sinx = 0 – une contradiction avec le fait que sin 2 x + cos 2 x = 1. Cela signifie cosx ≠ 0 et nous pouvons diviser l'équation par cosx. On a
Répondre:
2) Résolvez l'équation 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x
Solution:
On utilise les formules 1 = sin 2 x + cos 2 x et sin 2x = 2 sinxcosx, on obtient
péché 2 x + cos 2 x + 7cos 2 x = 6 péchéxcosx
péché 2 x – 6sinxcosx+ 8cos 2 x = 0
Soit cosx = 0, alors sin 2 x = 0 et sinx = 0 – une contradiction avec le fait que sin 2 x + cos 2 x = 1.
Cela signifie cosx ≠ 0 et on peut diviser l'équation par cos 2 x .
On a
tg 2 x – 6 tgx + 8 = 0
Notons tgx = y
oui 2 – 6 oui + 8 = 0
oui 1 = 4 ; y2 = 2
a) tgx = 4, x= arctan4 + 2 k, k
b) tgx = 2, x= arctan2 + 2 k, k .
Répondre: arctg4 + 2 k, arctan2 + 2 ok, ok
4. Équations de la forme un péché + b cosx = s, s≠ 0.
1) Résolvez l’équation.
Solution:
Répondre:
5. Équations résolues par factorisation.
1) Résolvez l’équation sin2x – sinx = 0.
Racine de l'équation F (X) = φ ( X) ne peut servir que de nombre 0. Vérifions ceci :
cos 0 = 0 + 1 – l'égalité est vraie.
Le nombre 0 est la seule racine de cette équation.
Répondre: 0.
Les équations trigonométriques les plus simples sont les équations
Cos (x) = a, sin (x) = a, tg (x) = a, ctg (x) = a
Équation cos(x) = a
Explication et justification
- Les racines de l'équation cosx = a. Quand | un | > 1 l'équation n'a pas de racines, puisque | cosx |< 1 для любого x (прямая y = а при а >1 ou à un< -1 не пересекает график функцииy = cosx).
Laissez | un |< 1. Тогда прямая у = а пересекает график функции
y = cosx. Sur l'intervalle, la fonction y = cos x décroît de 1 à -1. Mais une fonction décroissante ne prend chacune de ses valeurs qu'en un point de son domaine de définition, donc l'équation cos x = a n'a qu'une seule racine sur cet intervalle, qui, par définition d'arc cosinus, est égale à : x 1 = arccos a (et pour cette racine cos x = A).
Le cosinus est une fonction paire, donc sur l'intervalle [-n; 0] l'équation cos x = et n'a également qu'une seule racine - le nombre opposé x 1, c'est-à-dire
x 2 = -arccos a.
Ainsi, sur l'intervalle [-n; p] (longueur 2p) équation cos x = a avec | un |< 1 имеет только корни x = ±arccos а.
La fonction y = cos x est périodique de période 2n, donc toutes les autres racines diffèrent de celles trouvées par 2n (n € Z). On obtient la formule suivante pour les racines de l'équation cos x = a lorsque
x = ±arccos a + 2pp, n £ Z.
- Cas particuliers de résolution de l'équation cosx = a.
Il est utile de se rappeler des notations spéciales pour les racines de l'équation cos x = a lorsque
a = 0, a = -1, a = 1, qui peut être facilement obtenu en utilisant le cercle unité comme référence.
Puisque le cosinus est égal à l'abscisse du point correspondant du cercle unité, on obtient que cos x = 0 si et seulement si le point correspondant du cercle unité est le point A ou le point B.
De même, cos x = 1 si et seulement si le point correspondant du cercle unité est le point C, donc,
x = 2πп, k € Z.
Aussi cos x = -1 si et seulement si le point correspondant du cercle unité est le point D, donc x = n + 2n,
Équation sin(x) = a
Explication et justification
- Les racines de l'équation sinx = a. Quand | un | > 1 l'équation n'a pas de racines, puisque | péché |< 1 для любого x (прямая y = а на рисунке при а >1 ou à un< -1 не пересекает график функции y = sinx).
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