आयतनात्मक आकृतियों का क्षेत्रफल. क्षेत्र की गणना और लेबल कैसे करें

ज्यामिति की समस्याओं को हल करने के लिए, आपको सूत्रों को जानना होगा - जैसे त्रिभुज का क्षेत्रफल या समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल - साथ ही सरल तकनीकें जिन्हें हम कवर करेंगे।

सबसे पहले, आइए आकृतियों के क्षेत्रफलों के सूत्र सीखें। हमने उन्हें विशेष रूप से एक सुविधाजनक तालिका में एकत्र किया है। प्रिंट करें, सीखें और लागू करें!

बेशक, सभी ज्यामिति सूत्र हमारी तालिका में नहीं हैं। उदाहरण के लिए, गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा प्रोफ़ाइल के दूसरे भाग में ज्यामिति और स्टीरियोमेट्री में समस्याओं को हल करने के लिए, त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए अन्य सूत्रों का उपयोग किया जाता है। हम आपको उनके बारे में जरूर बताएंगे.

लेकिन क्या होगा यदि आपको किसी समलम्ब चतुर्भुज या त्रिभुज का क्षेत्रफल नहीं, बल्कि किसी जटिल आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करना हो? सार्वभौमिक तरीके हैं! हम उन्हें FIPI टास्क बैंक के उदाहरणों का उपयोग करके दिखाएंगे।

1. एक अमानक आकृति का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें? उदाहरण के लिए, एक मनमाना चतुर्भुज? एक सरल तकनीक - आइए इस आकृति को उन आकृतियों में विभाजित करें जिनके बारे में हम सब कुछ जानते हैं, और इसका क्षेत्रफल ज्ञात करें - इन आकृतियों के क्षेत्रफलों के योग के रूप में।

इस चतुर्भुज को एक क्षैतिज रेखा से दो त्रिभुजों में विभाजित करें जिनका उभयनिष्ठ आधार बराबर हो। इन त्रिभुजों की ऊंचाई और के बराबर है। तब चतुर्भुज का क्षेत्रफल दोनों त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर होता है: .

उत्तर: ।

2. कुछ मामलों में, किसी आकृति के क्षेत्रफल को कुछ क्षेत्रों के अंतर के रूप में दर्शाया जा सकता है।

इस त्रिभुज का आधार और ऊंचाई किसके बराबर है इसकी गणना करना इतना आसान नहीं है! लेकिन हम कह सकते हैं कि इसका क्षेत्रफल एक भुजा वाले वर्ग और तीन समकोण त्रिभुजों के क्षेत्रफल के अंतर के बराबर है। क्या आप उन्हें चित्र में देखते हैं? हम पाते हैं: ।

उत्तर: ।

3. कभी-कभी किसी कार्य में आपको संपूर्ण आकृति का नहीं, बल्कि उसके एक भाग का क्षेत्रफल ज्ञात करने की आवश्यकता होती है। आमतौर पर हम एक त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल के बारे में बात कर रहे हैं - एक वृत्त का भाग। त्रिज्या वाले एक वृत्त के उस त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात करें जिसकी चाप की लंबाई के बराबर है।

इस चित्र में हमें एक वृत्त का भाग दिखाई देता है। संपूर्ण वृत्त का क्षेत्रफल बराबर है. यह पता लगाना बाकी है कि वृत्त के किस भाग को दर्शाया गया है। चूँकि पूरे वृत्त की लंबाई बराबर (से) है, और किसी दिए गए त्रिज्यखंड के चाप की लंबाई बराबर है, इसलिए, चाप की लंबाई पूरे वृत्त की लंबाई से एक कारक कम है। जिस कोण पर यह चाप रहता है वह भी एक पूर्ण वृत्त (अर्थात् डिग्री) से कम का गुणनखंड होता है। इसका मतलब यह है कि सेक्टर का क्षेत्रफल पूरे सर्कल के क्षेत्रफल से कई गुना छोटा होगा।

वर्ग ज्यामितीय आकृति - एक ज्यामितीय आकृति की एक संख्यात्मक विशेषता जो इस आकृति का आकार दिखाती है (इस आकृति के बंद समोच्च द्वारा सीमित सतह का हिस्सा)। क्षेत्रफल का आकार उसमें निहित वर्ग इकाइयों की संख्या से व्यक्त किया जाता है।

त्रिभुज क्षेत्र सूत्र

1. भुजा और ऊँचाई द्वारा त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र
   एक त्रिभुज का क्षेत्रफलत्रिभुज की एक भुजा की लंबाई और इस भुजा पर खींची गई ऊंचाई की लंबाई के आधे उत्पाद के बराबर
   
2. तीन भुजाओं और परिवृत्त की त्रिज्या के आधार पर त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र
   
3. तीन भुजाओं और अंकित वृत्त की त्रिज्या के आधार पर त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र
   एक त्रिभुज का क्षेत्रफलत्रिभुज की अर्ध-परिधि और अंकित वृत्त की त्रिज्या के गुणनफल के बराबर है।
   
जहाँ S त्रिभुज का क्षेत्रफल है,
- त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई,
-त्रिभुज की ऊंचाई,
- भुजाओं के बीच का कोण और,
- अंकित वृत्त की त्रिज्या,
आर - परिचालित वृत्त की त्रिज्या,

वर्ग क्षेत्रफल सूत्र

1. भुजा की लंबाई के आधार पर एक वर्ग के क्षेत्रफल का सूत्र
   चौकोर क्षेत्रइसकी भुजा की लंबाई के वर्ग के बराबर.
2. विकर्ण लंबाई के अनुदिश एक वर्ग के क्षेत्रफल का सूत्र
   चौकोर क्षेत्रइसके विकर्ण की लंबाई के आधे वर्ग के बराबर।
   

   एस=	1	2
   	2

जहाँ S वर्ग का क्षेत्रफल है,
- वर्ग की भुजा की लंबाई,
- वर्ग के विकर्ण की लंबाई.

आयत क्षेत्रफल सूत्र

एक आयत का क्षेत्रफलइसकी दो आसन्न भुजाओं की लंबाई के गुणनफल के बराबर

जहाँ S आयत का क्षेत्रफल है,
- आयत की भुजाओं की लंबाई.

समांतर चतुर्भुज क्षेत्र सूत्र

1. भुजा की लंबाई और ऊंचाई के आधार पर समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र
   समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल
2. दो भुजाओं और उनके बीच के कोण के आधार पर समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र
   समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफलयह इसकी भुजाओं की लंबाई को उनके बीच के कोण की ज्या से गुणा करने के गुणनफल के बराबर है।
   

   ए बी पाप α

जहाँ S समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल है,
- समांतर चतुर्भुज की भुजाओं की लंबाई,
- समांतर चतुर्भुज की ऊंचाई की लंबाई,
- समांतर चतुर्भुज की भुजाओं के बीच का कोण।

एक समचतुर्भुज के क्षेत्रफल के लिए सूत्र

1. भुजा की लंबाई और ऊंचाई के आधार पर समचतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र
   एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफलइसकी भुजा की लंबाई और इस भुजा से नीचे की ऊंचाई की लंबाई के गुणनफल के बराबर।
2. भुजा की लंबाई और कोण के आधार पर समचतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र
   एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफलयह समचतुर्भुज की भुजा की लंबाई के वर्ग और समचतुर्भुज की भुजाओं के बीच के कोण की ज्या के गुणनफल के बराबर है।
3. एक समचतुर्भुज के विकर्णों की लंबाई के आधार पर उसके क्षेत्रफल का सूत्र
   एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफलइसके विकर्णों की लंबाई के आधे उत्पाद के बराबर।
जहाँ S समचतुर्भुज का क्षेत्रफल है,
- समचतुर्भुज के किनारे की लंबाई,
- समचतुर्भुज की ऊंचाई की लंबाई,
- समचतुर्भुज की भुजाओं के बीच का कोण,
1, 2 - विकर्णों की लंबाई।

समलम्ब चतुर्भुज क्षेत्र सूत्र

1. समलम्ब चतुर्भुज के लिए बगुला का सूत्र

   जहाँ S समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल है,
   - समलम्बाकार के आधारों की लंबाई,
   - समलम्ब चतुर्भुज की भुजाओं की लंबाई,
   

आप इंटरनेट पर त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना के लिए 10 से अधिक सूत्र पा सकते हैं। उनमें से कई का उपयोग त्रिभुज की ज्ञात भुजाओं और कोणों की समस्याओं में किया जाता है। हालाँकि, ऐसे कई जटिल उदाहरण हैं, जहाँ असाइनमेंट की शर्तों के अनुसार, किसी त्रिभुज की केवल एक भुजा और कोण ज्ञात होते हैं, या एक परिचालित या अंकित वृत्त की त्रिज्या और एक और विशेषता ज्ञात होती है। ऐसे मामलों में, एक सरल सूत्र लागू नहीं किया जा सकता है।

नीचे दिए गए सूत्र आपको 95 प्रतिशत समस्याओं को हल करने की अनुमति देंगे जिनमें आपको त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने की आवश्यकता होती है।
आइए सामान्य क्षेत्र सूत्रों पर विचार करने के लिए आगे बढ़ें।
नीचे दिए गए चित्र में दिखाए गए त्रिभुज पर विचार करें

चित्र में और नीचे दिए गए सूत्रों में, इसकी सभी विशेषताओं के शास्त्रीय पदनाम प्रस्तुत किए गए हैं।
ए, बी, सी - त्रिभुज की भुजाएँ,
आर - परिचालित वृत्त की त्रिज्या,
आर - खुदे हुए वृत्त की त्रिज्या,
h[b],h[a],h[c] - भुजाओं a,b,c के अनुसार खींची गई ऊँचाई।
अल्फा, बीटा, हम्मा - शीर्षों के पास के कोण।

त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए मूल सूत्र

1. क्षेत्रफल त्रिभुज की भुजा और इस भुजा की ऊँचाई के आधे गुणनफल के बराबर है। सूत्रों की भाषा में इस परिभाषा को इस प्रकार लिखा जा सकता है

इस प्रकार, यदि भुजा और ऊँचाई ज्ञात हो, तो प्रत्येक छात्र को क्षेत्रफल ज्ञात हो जाएगा।
वैसे, इस सूत्र से ऊंचाइयों के बीच एक उपयोगी संबंध प्राप्त किया जा सकता है

2. यदि हम इस बात को ध्यान में रखें कि किसी त्रिभुज की आसन्न भुजा से ऊँचाई निर्भरता द्वारा व्यक्त की जाती है

फिर पहले क्षेत्र सूत्र का अनुसरण उसी प्रकार के दूसरे सूत्र द्वारा किया जाता है

सूत्रों को ध्यान से देखें - उन्हें याद रखना आसान है, क्योंकि कार्य में दो पक्ष और उनके बीच का कोण शामिल है। यदि हम त्रिभुज की भुजाओं और कोणों को सही ढंग से निर्दिष्ट करते हैं (जैसा कि ऊपर की आकृति में है), तो हमें दो मिलेंगे पक्ष ए, बी और कोण तीसरे से जुड़ा है(हम्मा) के साथ।

3. त्रिभुज के कोणों के लिए, संबंध सत्य है

निर्भरता आपको गणना में त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए निम्नलिखित सूत्रों का उपयोग करने की अनुमति देती है:

इस निर्भरता के उदाहरण अत्यंत दुर्लभ हैं, लेकिन आपको याद रखना चाहिए कि ऐसा एक सूत्र है।

4. यदि भुजा और दो आसन्न कोण ज्ञात हों तो क्षेत्रफल सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है

5. आसन्न कोणों की भुजा और कोटैंजेंट के संदर्भ में क्षेत्रफल का सूत्र इस प्रकार है

अनुक्रमणिका को पुनर्व्यवस्थित करके आप अन्य पार्टियों के लिए निर्भरता प्राप्त कर सकते हैं।

6. नीचे दिए गए क्षेत्रफल सूत्र का उपयोग उन समस्याओं में किया जाता है जब किसी त्रिभुज के शीर्षों को निर्देशांक द्वारा समतल पर निर्दिष्ट किया जाता है। इस मामले में, क्षेत्रफल लिए गए निर्धारक मॉड्यूल के आधे के बराबर है।

7. बगुला का सूत्रत्रिभुज की ज्ञात भुजाओं वाले उदाहरणों में उपयोग किया जाता है।
सबसे पहले त्रिभुज का अर्ध-परिमाप ज्ञात कीजिए

और फिर सूत्र का उपयोग करके क्षेत्र निर्धारित करें

या

इसका उपयोग अक्सर कैलकुलेटर प्रोग्राम के कोड में किया जाता है।

8. यदि त्रिभुज की सभी ऊंचाइयां ज्ञात हों, तो क्षेत्रफल सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

कैलकुलेटर पर गणना करना कठिन है, लेकिन MathCad, Mathematica, Maple पैकेज में क्षेत्र "समय दो" है।

9. निम्नलिखित सूत्र अंकित और परिबद्ध वृत्तों की ज्ञात त्रिज्याओं का उपयोग करते हैं।

विशेष रूप से, यदि त्रिभुज की त्रिज्या और भुजाएँ, या उसका परिमाप ज्ञात हो, तो क्षेत्रफल की गणना सूत्र के अनुसार की जाती है

10. ऐसे उदाहरणों में जहां परिचालित वृत्त की भुजाएं और त्रिज्या या व्यास दिया गया है, सूत्र का उपयोग करके क्षेत्रफल ज्ञात किया जाता है

11. निम्नलिखित सूत्र त्रिभुज की भुजा और कोण के संदर्भ में त्रिभुज का क्षेत्रफल निर्धारित करता है।

और अंत में - विशेष मामले:
एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफलपैरों ए और बी के साथ उनके उत्पाद का आधा हिस्सा है

एक समबाहु (नियमित) त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र=

= भुजा के वर्ग और तीन के मूल के गुणनफल का एक-चौथाई।

यदि आप स्वयं मरम्मत करने की योजना बना रहे हैं, तो आपको निर्माण के लिए एक अनुमान तैयार करना होगा परिष्करण सामग्री. ऐसा करने के लिए, आपको उस कमरे के क्षेत्र की गणना करने की आवश्यकता होगी जिसमें आप नवीनीकरण कार्य करने की योजना बना रहे हैं। इसमें मुख्य सहायक एक विशेष रूप से विकसित सूत्र है। कमरे का क्षेत्रफल, अर्थात् इसकी गणना, आपको बहुत सारा पैसा बचाने की अनुमति देगा निर्माण सामग्रीऔर मुक्त किए गए वित्तीय संसाधनों को अधिक उचित दिशा में निर्देशित करें।

कमरे का ज्यामितीय आकार

किसी कमरे के क्षेत्रफल की गणना करने का सूत्र सीधे उसके आकार पर निर्भर करता है। घरेलू भवनों के लिए सबसे विशिष्ट आयताकार और वर्गाकार कमरे हैं। हालाँकि, पुनर्विकास के दौरान, मानक स्वरूप विकृत हो सकता है। कमरे हैं:

• आयताकार.
• वर्ग।
• जटिल विन्यास (उदाहरण के लिए, गोल)।
• निचे और प्रक्षेपण के साथ.

उनमें से प्रत्येक की अपनी गणना विशेषताएं हैं, लेकिन, एक नियम के रूप में, एक ही सूत्र का उपयोग किया जाता है। किसी भी आकार और साइज़ के कमरे के क्षेत्रफल की गणना किसी भी तरह से की जा सकती है।

आयताकार या चौकोर कमरा

एक आयताकार या वर्गाकार कमरे के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, बस अपने स्कूल के ज्यामिति पाठों को याद रखें। इसलिए, आपके लिए कमरे का क्षेत्रफल निर्धारित करना कठिन नहीं होना चाहिए। गणना सूत्र इस प्रकार दिखता है:

एस कमरे=ए*बी, कहां

A कमरे की लंबाई है।

B कमरे की चौड़ाई है.

इन मूल्यों को मापने के लिए आपको एक नियमित टेप माप की आवश्यकता होगी। सबसे सटीक गणना प्राप्त करने के लिए, दोनों तरफ की दीवार को मापना उचित है। यदि मान अभिसरण नहीं करते हैं, तो परिणामी डेटा के औसत को आधार के रूप में लें। लेकिन याद रखें कि किसी भी गणना में अपनी त्रुटियां होती हैं, इसलिए सामग्री को रिजर्व के साथ खरीदा जाना चाहिए।

जटिल विन्यास वाला एक कमरा

यदि आपका कमरा "विशिष्ट" की परिभाषा में फिट नहीं बैठता है, अर्थात। एक वृत्त, त्रिभुज, बहुभुज का आकार है, तो आपको गणना के लिए एक अलग सूत्र की आवश्यकता हो सकती है। आप इस विशेषता वाले कमरे के क्षेत्र को मोटे तौर पर आयताकार तत्वों में विभाजित करने और मानक तरीके से गणना करने का प्रयास कर सकते हैं। यदि आपके पास यह अवसर नहीं है, तो निम्न विधियों का उपयोग करें:

• वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र:

एस कमरा=π*आर 2, कहाँ

R कमरे की त्रिज्या है.

• त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र:

एस कमरा = √ (पी(पी - ए) एक्स (पी - बी) एक्स (पी - सी)), जहां

P त्रिभुज का अर्ध-परिधि है।

A, B, C इसकी भुजाओं की लंबाई हैं।

अत: P=A+B+C/2

यदि आपको गणना प्रक्रिया के दौरान कोई कठिनाई आती है, तो बेहतर है कि आप खुद को प्रताड़ित न करें और पेशेवरों की ओर रुख करें।

प्रक्षेपण और आलों के साथ कमरे का क्षेत्र

अक्सर दीवारों को विभिन्न आलों या उभारों के रूप में सजावटी तत्वों से सजाया जाता है। साथ ही, उनकी उपस्थिति आपके कमरे के कुछ असुंदर तत्वों को छिपाने की आवश्यकता के कारण भी हो सकती है। आपकी दीवार पर कगारों या आलों की उपस्थिति का मतलब है कि गणना चरणों में की जानी चाहिए। वे। सबसे पहले, दीवार के एक सपाट खंड का क्षेत्र पाया जाता है, और फिर उसमें आला या फलाव का क्षेत्र जोड़ा जाता है।

दीवार का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है:

एस दीवारें = पी एक्स सी, कहां

पी -परिधि

सी - ऊंचाई

आपको खिड़कियों और दरवाजों की उपस्थिति पर भी विचार करना होगा। परिणामी मूल्य से उनका क्षेत्रफल घटाया जाना चाहिए।

बहुस्तरीय छत वाला कमरा

बहु-स्तरीय छत गणना को उतना जटिल नहीं बनाती जितना पहली नज़र में लगता है। यदि इसका डिज़ाइन सरल है, तो निचे और प्रक्षेपण द्वारा जटिल दीवारों के क्षेत्र को खोजने के सिद्धांत के आधार पर गणना की जा सकती है।

हालाँकि, यदि आपकी छत के डिज़ाइन में धनुषाकार और लहरदार तत्व हैं, तो फर्श क्षेत्र का उपयोग करके इसका क्षेत्र निर्धारित करना अधिक उपयुक्त है। ऐसा करने के लिए आपको चाहिए:

1. दीवारों के सभी सीधे खंडों के आयाम ज्ञात करें।
2. फर्श क्षेत्र ज्ञात करें.
3. ऊर्ध्वाधर खंडों की लंबाई और ऊंचाई को गुणा करें।
4. परिणामी मान को फर्श क्षेत्र के साथ जोड़ें।

सामान्य निर्धारण के लिए चरण-दर-चरण निर्देश

कक्ष क्षेत्र

1. अनावश्यक चीज़ों से कमरा साफ़ करें। माप प्रक्रिया के दौरान आपको आवश्यकता होगी नि: शुल्क प्रवेशआपके कमरे के सभी क्षेत्रों में, इसलिए आपको उन सभी चीजों से छुटकारा पाना होगा जो इसमें हस्तक्षेप कर सकती हैं।
2. कमरे को दृश्य रूप से नियमित और अनियमित आकार के क्षेत्रों में विभाजित करें। यदि आपके कमरे का आकार बिल्कुल चौकोर या आयताकार है, तो आप इस चरण को छोड़ सकते हैं।
3. कमरे का एक यादृच्छिक लेआउट बनाएं। इस ड्राइंग की आवश्यकता इसलिए है ताकि सारा डेटा हमेशा हाथ में रहे। साथ ही यह आपको कई मापों में भ्रमित होने का मौका भी नहीं देगा।
4. माप कई बार लिया जाना चाहिए। यह महत्वपूर्ण नियमगणना में त्रुटियों को दूर करने के लिए. इसके अलावा, यदि आप इसका उपयोग करते हैं, तो सुनिश्चित करें कि बीम दीवार की सतह पर सपाट रहे।
5. कमरे का कुल क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। एक कमरे के कुल क्षेत्रफल का सूत्र कमरे के अलग-अलग वर्गों के सभी क्षेत्रों का योग ज्ञात करना है। वे। एस कुल = एस दीवारें+एस मंजिल+एस छत