O módulo de um número não negativo é um número não negativo. Testes de matemática: números positivos e negativos, módulo numérico

Por ser um número especial, não possui sinal.

Exemplos de escrita de números: +36,6; − 273; 142. (\estilo de exibição +36(,)6;\ (-)273;\ 142.) O último número não tem sinal e, portanto, é positivo.

Deve-se notar que mais e menos indicam sinal para números, mas não para variáveis ​​literais ou expressões algébricas. Por exemplo, em fórmulas −t; uma+b; − (a 2 + b 2) (\displaystyle -t;\ a+b;\ -(a^(2)+b^(2))) Os símbolos de mais e menos não especificam o sinal da expressão que precedem, mas o sinal da operação aritmética, portanto o sinal do resultado pode ser qualquer coisa, é determinado somente após a expressão ter sido avaliada;

Além da aritmética, o conceito de signo é usado em outros ramos da matemática, inclusive para objetos matemáticos não numéricos (veja abaixo). O conceito de sinal também é importante nos ramos da física onde as quantidades físicas são divididas em duas classes, convencionalmente chamadas de positivas e negativas - por exemplo, cargas elétricas, feedback positivo e negativo, várias forças de atração e repulsão.

Sinal numérico

Números positivos e negativos

Zero não recebe nenhum sinal, ou seja + 0 (\estilo de exibição +0) E − 0 (\estilo de exibição -0)- este é o mesmo número em aritmética. Na análise matemática, o significado dos símbolos + 0 (\estilo de exibição +0) E − 0 (\estilo de exibição -0) pode variar, veja sobre isso Zero negativo e positivo; na ciência da computação, a codificação computacional de dois zeros (tipo inteiro) pode ser diferente, consulte Código direto.

Em conexão com o acima exposto, vários outros termos úteis são introduzidos:

• Número não negativo, se for maior ou igual a zero.
• Número negativo, se for menor ou igual a zero.
• Números positivos sem zero e números negativos sem zero são às vezes (para enfatizar que são diferentes de zero) chamados de "estritamente positivos" e "estritamente negativos", respectivamente.

A mesma terminologia às vezes é usada para funções reais. Por exemplo, a função é chamada positivo, se todos os seus valores forem positivos, não negativo, se todos os seus valores forem não negativos, etc. Dizem também que uma função é positiva/negativa em um determinado intervalo de sua definição.

Para obter um exemplo de uso da função, consulte o artigo Raiz quadrada#Números complexos.

Módulo (valor absoluto) de um número

Se o número x (\estilo de exibição x) descartar o sinal, o valor resultante é chamado módulo ou valor absoluto números x (\estilo de exibição x), é designado | x | . (\estilo de exibição |x|.) Exemplos: | 3 | = 3; | −3 | = 3. (\estilo de exibição |3|=3;\ |(-3)|=3.)

Para quaisquer números reais uma , b (\estilo de exibição a,b) as seguintes propriedades são válidas.

Assinar para objetos não numéricos

Sinal de ângulo

O valor de um ângulo em um plano é considerado positivo se for medido no sentido anti-horário, caso contrário é negativo. Dois casos de rotação são classificados de forma semelhante:

• rotação em um plano - por exemplo, a rotação de (–90°) ocorre no sentido horário;
• a rotação no espaço em torno de um eixo orientado é geralmente considerada positiva se a “regra do verruma” for satisfeita, caso contrário, é considerada negativa.

Sinal de direção

Na geometria analítica e na física, os avanços ao longo de uma determinada linha reta ou curva são frequentemente divididos convencionalmente em positivos e negativos. Tal divisão pode depender da formulação do problema ou do sistema de coordenadas escolhido. Por exemplo, ao calcular o comprimento do arco de uma curva, muitas vezes é conveniente atribuir um sinal negativo a esse comprimento em uma das duas direções possíveis.

Entrar na computação

parte mais significativa
0	1	1	1	1	1	1	1	=	127
0	1	1	1	1	1	1	0	=	126
0	0	0	0	0	0	1	0	=	2
0	0	0	0	0	0	0	1	=	1
0	0	0	0	0	0	0	0	=	0
1	1	1	1	1	1	1	1	=	−1
1	1	1	1	1	1	1	0	=	−2
1	0	0	0	0	0	0	1	=	−127
1	0	0	0	0	0	0	0	=	−128
Para representar o sinal de um número inteiro, a maioria dos computadores usa

lições objetivas

Apresentar aos alunos um conceito matemático como o módulo de um número;
Ensinar aos alunos as habilidades de encontrar módulos de números;
Reforce o material aprendido completando diversas tarefas;

Tarefas

Fortalecer o conhecimento das crianças sobre o módulo dos números;
Ao resolver tarefas de teste, verifique como os alunos dominam o material estudado;
Continuar a despertar o interesse pelas aulas de matemática;
Cultivar o pensamento lógico, a curiosidade e a perseverança nos alunos.

Plano de aula

1. Conceitos gerais e definição do módulo de um número.
2. Significado geométrico do módulo.
3. O módulo de um número e suas propriedades.
4. Resolver equações e inequações que contenham o módulo de um número.
5. Informação histórica sobre o termo “módulo de um número”.
6. Tarefa para consolidar o conhecimento do tema abordado.
7. Lição de casa.

Conceitos gerais sobre o módulo de um número

O módulo de um número é geralmente chamado de próprio número se não tiver valor negativo, ou se o mesmo número for negativo, mas com sinal oposto.

Ou seja, o módulo de um número real não negativo a é o próprio número:

E, o módulo de um número real negativo x é o número oposto:

Na gravação ficará assim:

Para uma compreensão mais acessível, vamos dar um exemplo. Assim, por exemplo, o módulo do número 3 é 3, e também o módulo do número -3 é 3.

Segue-se daí que o módulo de um número significa um valor absoluto, ou seja, seu valor absoluto, mas sem levar em conta seu sinal. Para simplificar, é necessário retirar o sinal do número.

O módulo de um número pode ser designado e ter a seguinte aparência: |3|, |x|, |a| etc.

Assim, por exemplo, o módulo do número 3 é denotado |3|.

Além disso, deve ser lembrado que o módulo de um número nunca é negativo: |a|≥ 0.

|5| = 5, |-6| = 6, |-12,45| = 12,45, etc.

Significado geométrico do módulo

O módulo de um número é a distância medida em segmentos unitários da origem ao ponto. Esta definição revela o módulo do ponto de vista geométrico.

Vamos pegar uma linha de coordenadas e designar dois pontos nela. Deixe esses pontos corresponderem a números como −4 e 2.

Agora vamos prestar atenção a esta figura. Vemos que o ponto A, indicado na reta coordenada, corresponde ao número -4, e se você olhar com atenção, verá que este ponto está localizado a uma distância de 4 segmentos unitários do ponto de referência 0. Segue-se que o comprimento do segmento OA é igual a quatro unidades. Neste caso, o comprimento do segmento OA, ou seja, o número 4, será o módulo do número -4.

Neste caso, o módulo de um número é denotado e escrito desta forma: |−4| = 4.

Agora vamos designar o ponto B na linha de coordenadas.

Este ponto B corresponderá ao número +2 e, como vemos, está localizado a uma distância de dois segmentos unitários da origem. Conclui-se que o comprimento do segmento OB é igual a duas unidades. Neste caso, o número 2 será o módulo do número +2.

Na gravação ficará assim: |+2| = 2 ou |2| = 2.

Agora vamos resumir. Se pegarmos algum número desconhecido a e designá-lo na linha de coordenadas como ponto A, então neste caso a distância do ponto A à origem, ou seja, o comprimento do segmento OA, é precisamente o módulo do número “a ”.

Por escrito ficará assim: |a| = OA.

O módulo de um número e suas propriedades

Agora vamos tentar destacar as propriedades do módulo, considerar todos os casos possíveis e escrevê-los usando expressões literais:

Em primeiro lugar, o módulo de um número é um número não negativo, o que significa que o módulo de um número positivo é igual ao próprio número: |a| = a, se a > 0;

Em segundo lugar, os módulos que consistem em números opostos são iguais: |a| = |–uma|. Ou seja, esta propriedade nos diz que os números opostos sempre possuem módulos iguais, assim como em uma reta coordenada, embora tenham números opostos, estão à mesma distância do ponto de referência. Segue-se disso que os módulos desses números opostos são iguais.

Em terceiro lugar, o módulo de zero é igual a zero se este número for zero: |0| = 0 se a = 0. Aqui podemos dizer com segurança que o módulo de zero é zero por definição, pois corresponde à origem da linha de coordenadas.

A quarta propriedade de um módulo é que o módulo do produto de dois números é igual ao produto dos módulos desses números. Agora vamos dar uma olhada mais de perto no que isso significa. Se seguirmos a definição, então você e eu sabemos que o módulo do produto dos números a e b será igual a a b, ou −(a b), se a b ≥ 0, ou – (a b), se a b for maior que 0. B ficará assim: |a b| = |uma| |b|.

A quinta propriedade é que o módulo do quociente dos números é igual à razão dos módulos desses números: |a: b| = |uma| : |b|.

E as seguintes propriedades do módulo numérico:

Resolvendo equações e inequações que envolvem o módulo de um número

Ao começar a resolver problemas que possuem módulo numérico, deve-se lembrar que para resolver tal problema é necessário revelar o sinal do módulo utilizando o conhecimento das propriedades a que este problema corresponde.

Exercício 1

Assim, por exemplo, se sob o sinal do módulo houver uma expressão que depende de uma variável, então o módulo deve ser expandido de acordo com a definição:

É claro que, ao resolver problemas, há casos em que o módulo é revelado de forma única. Se, por exemplo, tomarmos

, aqui vemos que tal expressão sob o sinal do módulo é não negativa para quaisquer valores de x e y.

Ou, por exemplo, tomemos

, vemos que esta expressão de módulo não é positiva para nenhum valor de z.

Tarefa 2

Uma linha de coordenadas é mostrada à sua frente. Nesta linha é necessário marcar os números cujo módulo será igual a 2.

Solução

Primeiro de tudo, devemos traçar uma linha de coordenadas. Você já sabe que para fazer isso, primeiro na reta é preciso selecionar a origem, a direção e o segmento unitário. A seguir, precisamos colocar pontos da origem que sejam iguais à distância de dois segmentos unitários.

Como você pode ver, existem dois pontos na linha de coordenadas, um dos quais corresponde ao número -2 e o outro ao número 2.

Informações históricas sobre o módulo dos números

O termo “módulo” vem do nome latino modulus, que significa “medida”. Este termo foi cunhado pelo matemático inglês Roger Cotes. Mas o sinal do módulo foi introduzido graças ao matemático alemão Karl Weierstrass. Quando escrito, um módulo é indicado pelo seguinte símbolo: | |.

Perguntas para consolidar o conhecimento do material

Na lição de hoje, conhecemos um conceito como módulo de um número e agora vamos verificar como você dominou esse tópico respondendo às perguntas feitas:

1. Qual é o nome do número oposto a um número positivo?
2. Qual é o nome do número oposto a um número negativo?
3. Nomeie o número oposto a zero. Esse número existe?
4. Cite um número que não pode ser o módulo de um número.
5. Defina o módulo de um número.

Trabalho de casa

1. À sua frente estão os números que você precisa organizar em ordem decrescente de módulos. Se você completar a tarefa corretamente, descobrirá o nome da pessoa que introduziu pela primeira vez o termo “módulo” na matemática.

2. Desenhe uma linha de coordenadas e encontre a distância de M (-5) e K (8) até a origem.

Disciplinas > Matemática > Matemática 6º ano

Módulo de números esse próprio número é chamado se for não negativo, ou o mesmo número com sinal oposto se for negativo.

Por exemplo, o módulo do número 5 é 5, e o módulo do número –5 também é 5.

Ou seja, o módulo de um número é entendido como o valor absoluto, o valor absoluto desse número sem levar em conta o seu sinal.

Denotado da seguinte forma: |5|, | X|, |A| etc.

Regra:

Explicação:

|5| = 5
É assim: o módulo do número 5 é 5.

|–5| = –(–5) = 5
É assim: o módulo do número –5 é 5.

|0| = 0
É assim: o módulo de zero é zero.

Propriedades do módulo:

1) O módulo de um número é um número não negativo: |A| ≥ 0 2) Os módulos de números opostos são iguais: |A| = |–A| 3) O quadrado do módulo de um número é igual ao quadrado deste número: |A| 2 = um 2 4) O módulo do produto dos números é igual ao produto dos módulos desses números: |A · b| = |A| · | b| 6) O módulo de um número quociente é igual à razão dos módulos desses números: |A : b| = |A| : |b| 7) O módulo da soma dos números é menor ou igual à soma dos seus módulos: |A + b| ≤ |A| + |b| 8) O módulo da diferença entre os números é menor ou igual à soma dos seus módulos: |A – b| ≤ |A| + |b| 9) O módulo da soma/diferença dos números é maior ou igual ao módulo da diferença dos seus módulos: |A ± b| ≥ ||A| – |b|| 10) Um multiplicador positivo constante pode ser retirado do sinal do módulo: |eu · a| = eu · | A|, eu >0 11) A potência de um número pode ser retirada do sinal do módulo: |A k | = | A| k se k existir 12) Se | A| = |b|, então a = ± b

Significado geométrico do módulo.

O módulo de um número é a distância de zero até esse número.

Por exemplo, vamos pegar o número 5 novamente. A distância de 0 a 5 é a mesma que de 0 a –5 (Fig. 1). E quando é importante sabermos apenas o comprimento do segmento, então o sinal não tem apenas significado, mas também significado. No entanto, isso não é inteiramente verdade: medimos distância apenas com números positivos – ou números não negativos. Deixe o preço de divisão da nossa escala ser 1 cm, então o comprimento do segmento de zero a 5 é de 5 cm, de zero a –5 também é de 5 cm.

Na prática, a distância muitas vezes não é medida apenas a partir de zero - o ponto de referência pode ser qualquer número (Fig. 2). Mas isso não muda a essência. Notação da forma |a – b| expressa a distância entre pontos A E b na reta numérica.

Exemplo 1. Resolva a equação | X – 1| = 3.

Solução.

O significado da equação é que a distância entre os pontos X e 1 é igual a 3 (Fig. 2). Portanto, a partir do ponto 1 contamos três divisões à esquerda e três divisões à direita - e vemos claramente ambos os valores X:
X 1 = –2, X 2 = 4.

Podemos calculá-lo.

│X – 1 = 3
│X – 1 = –3

│X = 3 + 1
│X = –3 + 1

│X = 4
│ X = –2.

Responder : X 1 = –2; X 2 = 4.

Exemplo 2. Encontre o módulo de expressão:

Solução.

Primeiro, vamos descobrir se a expressão é positiva ou negativa. Para fazer isso, transformamos a expressão para que consista em números homogêneos. Não vamos procurar a raiz de 5 - é bastante difícil. Vamos fazer de forma mais simples: vamos elevar 3 e 10 à raiz. Em seguida, compare a magnitude dos números que compõem a diferença:

3 = √9. Portanto, 3√5 = √9 √5 = √45

10 = √100.

Vemos que o primeiro número é menor que o segundo. Isso significa que a expressão é negativa, ou seja, sua resposta é menor que zero:

3√5 – 10 < 0.

Mas, de acordo com a regra, o módulo de um número negativo é o mesmo número com sinal oposto. Temos uma expressão negativa. Portanto, é necessário mudar o seu sinal para o oposto. O oposto de 3√5 – 10 é –(3√5 – 10). Vamos abrir os colchetes e obter a resposta:

–(3√5 – 10) = –3√5 + 10 = 10 – 3√5.

Responder .

Hoje, amigos, não haverá meleca nem sentimentalismo. Em vez disso, enviarei você, sem fazer perguntas, para a batalha contra um dos oponentes mais formidáveis ​​do curso de álgebra do 8º ao 9º ano.

Sim, você entendeu tudo corretamente: estamos falando de desigualdades com módulo. Veremos quatro técnicas básicas com as quais você aprenderá a resolver cerca de 90% desses problemas. E os 10% restantes? Bem, falaremos sobre eles em uma lição separada :)

Porém, antes de analisar qualquer uma das técnicas, gostaria de lembrar dois fatos que você já precisa saber. Caso contrário, você corre o risco de não entender o material da lição de hoje.

O que você já precisa saber

O Capitão Obviedade parece sugerir que para resolver desigualdades com módulo você precisa saber duas coisas:

1. Como as desigualdades são resolvidas;
2. O que é um módulo?

Vamos começar com o segundo ponto.

Definição do Módulo

Tudo é simples aqui. Existem duas definições: algébrica e gráfica. Para começar - algébrico:

Definição. O módulo de um número $x$ é o próprio número, se não for negativo, ou o número oposto a ele, se o $x$ original ainda for negativo.

Está escrito assim:

\[\esquerda| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(align) \right.\]

Em termos simples, um módulo é um “número sem menos”. E é nesta dualidade (em alguns lugares você não precisa fazer nada com o número original, mas em outros você tem que remover algum tipo de sinal de menos) que reside toda a dificuldade para os alunos iniciantes.

Há também uma definição geométrica. Também é útil saber, mas iremos abordá-lo apenas em casos complexos e alguns casos especiais, onde a abordagem geométrica é mais conveniente do que a algébrica (spoiler: hoje não).

Definição. Deixe o ponto $a$ ser marcado na reta numérica. Então o módulo $\left| x-a \right|$ é a distância do ponto $x$ ao ponto $a$ nesta linha.

Se você fizer um desenho, obterá algo assim:

Definição de módulo gráfico

De uma forma ou de outra, da definição de um módulo segue imediatamente sua propriedade chave: o módulo de um número é sempre uma quantidade não negativa. Este fato será um fio condutor que atravessa toda a nossa narrativa de hoje.

Resolvendo desigualdades. Método de intervalo

Agora vamos examinar as desigualdades. Existem muitos deles, mas nossa tarefa agora é ser capaz de resolver pelo menos o mais simples deles. Aquelas que se reduzem a desigualdades lineares, bem como ao método intervalar.

Tenho duas grandes lições sobre esse assunto (aliás, muito, MUITO úteis - recomendo estudá-las):

1. Método intervalar para desigualdades (assista principalmente ao vídeo);
2. As desigualdades racionais fracionárias são uma lição muito extensa, mas depois dela você não terá mais dúvidas.

Se você sabe de tudo isso, se a frase “vamos passar da desigualdade para a equação” não faz você ter uma vaga vontade de se bater contra a parede, então você está pronto: bem-vindo ao inferno ao tema principal da lição :).

1. Desigualdades da forma “Módulo é menor que função”

Este é um dos problemas mais comuns com módulos. É necessário resolver uma inequação da forma:

\[\esquerda| porra certo | \ltg\]

As funções $f$ e $g$ podem ser qualquer coisa, mas geralmente são polinômios. Exemplos de tais desigualdades:

\[\begin(alinhar) & \left| 2x+3 \direita| \ltx+7; \\ & \esquerda| ((x)^(2))+2x-3 \direita|+3\esquerda(x+1 \direita) \lt 0; \\ & \esquerda| ((x)^(2))-2\esquerda| x \direita|-3 \direita| \lt 2. \\\fim(alinhar)\]

Todos eles podem ser resolvidos literalmente em uma linha de acordo com o seguinte esquema:

\[\esquerda| porra certo | \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(align) \certo, certo)\]

É fácil perceber que nos livramos do módulo, mas em troca obtemos uma dupla desigualdade (ou, o que dá no mesmo, um sistema de duas desigualdades). Mas esta transição leva em conta absolutamente todos os problemas possíveis: se o número sob o módulo for positivo, o método funciona; se negativo, ainda funciona; e mesmo com a função mais inadequada no lugar de $f$ ou $g$, o método ainda funcionará.

Naturalmente, surge a pergunta: não poderia ser mais simples? Infelizmente, não é possível. Este é o objetivo do módulo.

No entanto, chega de filosofar. Vamos resolver alguns problemas:

Tarefa. Resolva a desigualdade:

\[\esquerda| 2x+3 \direita| \ltx+7\]

Solução. Então, temos diante de nós uma desigualdade clássica da forma “o módulo é menor” - não há nada para transformar. Trabalhamos de acordo com o algoritmo:

\[\begin(alinhar) & \left| porra certo | \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g; \\ & \esquerda| 2x+3 \direita| \lt x+7\Rightarrow -\left(x+7 \right) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(align)\]

Não se apresse em abrir os parênteses precedidos de um “menos”: é bem possível que na pressa você cometa um erro ofensivo.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

O problema foi reduzido a duas desigualdades elementares. Observemos suas soluções em retas numéricas paralelas:

Intersecção de muitos

A intersecção desses conjuntos será a resposta.

Resposta: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Tarefa. Resolva a desigualdade:

\[\esquerda| ((x)^(2))+2x-3 \direita|+3\esquerda(x+1 \direita) \lt 0\]

Solução. Essa tarefa é um pouco mais difícil. Primeiro, vamos isolar o módulo movendo o segundo termo para a direita:

\[\esquerda| ((x)^(2))+2x-3 \direita| \lt -3\esquerda(x+1 \direita)\]

Obviamente, temos novamente uma desigualdade da forma “o módulo é menor”, ​​então nos livramos do módulo usando o algoritmo já conhecido:

\[-\esquerda(-3\esquerda(x+1 \direita) \direita) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\esquerda(x+1 \direita)\]

Agora atenção: alguém vai dizer que sou meio tarado com todos esses parênteses. Mas deixe-me lembrá-lo mais uma vez que nosso principal objetivo é resolva corretamente a inequação e obtenha a resposta. Mais tarde, quando você tiver dominado perfeitamente tudo o que é descrito nesta lição, você mesmo poderá pervertê-lo como desejar: abrir parênteses, adicionar sinais de menos, etc.

Para começar, simplesmente nos livraremos do duplo menos à esquerda:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\esquerda(x+1 \direita)\]

Agora vamos abrir todos os colchetes na dupla desigualdade:

Vamos passar para a dupla desigualdade. Desta vez os cálculos serão mais sérios:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( alinhar)\direita.\]

Ambas as desigualdades são quadráticas e podem ser resolvidas pelo método intervalar (por isso digo: se você não sabe o que é isso, é melhor não assumir módulos ainda). Vamos passar para a equação da primeira desigualdade:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\esquerda(x+5 \direita)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\fim(alinhar)\]

Como você pode ver, a saída é uma equação quadrática incompleta, que pode ser resolvida de forma elementar. Agora vamos examinar a segunda desigualdade do sistema. Lá você terá que aplicar o teorema de Vieta:

\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \esquerda(x-3 \direita)\esquerda(x+2 \direita)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\fim(alinhar)\]

Marcamos os números resultantes em duas linhas paralelas (separadas para a primeira desigualdade e separadas para a segunda):

Novamente, como estamos resolvendo um sistema de desigualdades, estamos interessados ​​na interseção dos conjuntos sombreados: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Esta é a resposta.

Resposta: $x\in \left(-5;-2 \right)$

Acho que depois desses exemplos o esquema de solução fica extremamente claro:

1. Isole o módulo movendo todos os outros termos para o lado oposto da desigualdade. Assim obtemos uma desigualdade da forma $\left| porra certo | \ltg$.
2. Resolva esta desigualdade eliminando o módulo de acordo com o esquema descrito acima. Em algum momento será necessário passar da dupla desigualdade para um sistema de duas expressões independentes, cada uma das quais já pode ser resolvida separadamente.
3. Por fim, resta cruzar as soluções dessas duas expressões independentes - e pronto, obteremos a resposta final.

Existe um algoritmo semelhante para desigualdades do seguinte tipo, quando o módulo é maior que a função. No entanto, existem alguns “mas” sérios. Falaremos sobre esses “mas” agora.

2. Desigualdades da forma “Módulo é maior que função”

Eles se parecem com isto:

\[\esquerda| porra certo | \gtg\]

Semelhante ao anterior? Parece. Mesmo assim, esses problemas são resolvidos de uma maneira completamente diferente. Formalmente, o esquema é o seguinte:

\[\esquerda| porra certo | \gt g\Rightarrow \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(align) \right.\]

Em outras palavras, consideramos dois casos:

1. Primeiro, simplesmente ignoramos o módulo e resolvemos a inequação usual;
2. Então, em essência, expandimos o módulo com o sinal de menos e depois multiplicamos ambos os lados da inequação por −1, enquanto eu tenho o sinal.

Neste caso, as opções são combinadas com um colchete, ou seja, Temos diante de nós uma combinação de dois requisitos.

Observe novamente: este não é um sistema, mas uma totalidade, portanto na resposta os conjuntos são combinados em vez de se cruzarem. Esta é uma diferença fundamental em relação ao ponto anterior!

Em geral, muitos estudantes ficam completamente confusos com sindicatos e interseções, então vamos resolver esse assunto de uma vez por todas:

• "∪" é um sinal de união. Na verdade, esta é uma letra estilizada “U”, que veio da língua inglesa e é uma abreviatura de “Union”, ou seja, “Associações”.
• "∩" é o sinal de interseção. Essa porcaria não veio de lugar nenhum, mas simplesmente apareceu como um contraponto ao “∪”.

Para ficar ainda mais fácil de lembrar, basta desenhar as pernas nessas placas para fazer óculos (só não me acuse agora de promover o vício em drogas e o alcoolismo: se você está estudando seriamente esta lição, então já é um viciado em drogas):

Diferença entre interseção e união de conjuntos

Traduzido para o russo, isso significa o seguinte: a união (totalidade) inclui elementos de ambos os conjuntos, portanto não é de forma alguma menor que cada um deles; mas a interseção (sistema) inclui apenas os elementos que estão simultaneamente no primeiro conjunto e no segundo. Portanto, a interseção dos conjuntos nunca é maior que os conjuntos de origem.

Então ficou mais claro? Isso é ótimo. Vamos passar à prática.

Tarefa. Resolva a desigualdade:

\[\esquerda| 3x+1 \direita| \gt 5-4x\]

Solução. Procedemos de acordo com o esquema:

\[\esquerda| 3x+1 \direita| \gt 5-4x\Rightarrow \left[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\end(align) \ certo.\]

Resolvemos cada desigualdade na população:

\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \right.\]

Marcamos cada conjunto resultante na reta numérica e depois os combinamos:

União de conjuntos

É bastante óbvio que a resposta será $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Resposta: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Tarefa. Resolva a desigualdade:

\[\esquerda| ((x)^(2))+2x-3 \direita| \gtx\]

Solução. Bem? Nada - tudo é igual. Passamos de uma desigualdade com módulo para um conjunto de duas desigualdades:

\[\esquerda| ((x)^(2))+2x-3 \direita| \gt x\Rightarrow \left[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\fim(alinhar) \direita.\]

Resolvemos todas as desigualdades. Infelizmente, as raízes não serão muito boas:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \&D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\fim(alinhar)\]

A segunda desigualdade também é um pouco selvagem:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \&D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\fim(alinhar)\]

Agora você precisa marcar esses números em dois eixos - um eixo para cada desigualdade. Porém, você precisa marcar os pontos na ordem correta: quanto maior o número, mais o ponto se move para a direita.

E aqui uma configuração nos espera. Se tudo estiver claro com os números $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (os termos no numerador do primeiro fração são menores que os termos no numerador do segundo, então a soma também é menor), com os números $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ também não haverá dificuldades (o número positivo obviamente é mais negativo), então com o último par nem tudo fica tão claro. Qual é maior: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ ou $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? A colocação dos pontos nas retas numéricas e, de fato, a resposta dependerão da resposta a esta pergunta.

Então vamos comparar:

\[\begin(matriz) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matriz)\]

Isolamos a raiz, obtivemos números não negativos em ambos os lados da desigualdade, então temos o direito de elevar ambos os lados ao quadrado:

\[\begin(matriz) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matriz)\]

Eu acho que é óbvio que $4\sqrt(13) \gt 3$, então $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, os pontos finais nos eixos serão colocados assim:

Um caso de raízes feias

Deixe-me lembrar que estamos resolvendo uma coleção, então a resposta será uma união, não uma interseção de conjuntos sombreados.

Resposta: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty \direita)$

Como você pode ver, nosso esquema funciona muito bem tanto para problemas simples quanto para problemas muito difíceis. O único “ponto fraco” nesta abordagem é que você precisa comparar corretamente os números irracionais (e acredite: estes não são apenas raízes). Mas uma lição separada (e muito séria) será dedicada às questões de comparação. E seguimos em frente.

3. Desigualdades com “caudas” não negativas

Agora chegamos à parte mais interessante. Estas são desigualdades da forma:

\[\esquerda| porra certo | \gt \esquerda| certo|\]

De modo geral, o algoritmo do qual falaremos agora é correto apenas para o módulo. Funciona em todas as desigualdades onde existem expressões não negativas garantidas à esquerda e à direita:

O que fazer com essas tarefas? Apenas lembra-te:

Nas desigualdades com “caudas” não negativas, ambos os lados podem ser elevados a qualquer potência natural. Não haverá restrições adicionais.

Em primeiro lugar, estaremos interessados ​​​​na quadratura - ela queima módulos e raízes:

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\esquerda(\sqrt(f) \direita))^(2))=f. \\\fim(alinhar)\]

Só não confunda isso com tirar a raiz de um quadrado:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\esquerda| f \certo|\ne f\]

Inúmeros erros foram cometidos quando um aluno se esqueceu de instalar um módulo! Mas esta é uma história completamente diferente (estas são, por assim dizer, equações irracionais), então não entraremos nisso agora. Vamos resolver melhor alguns problemas:

Tarefa. Resolva a desigualdade:

\[\esquerda| x+2 \direita|\ge \esquerda| 1-2x \direita|\]

Solução. Notemos imediatamente duas coisas:

1. Esta não é uma desigualdade estrita. Os pontos na reta numérica serão perfurados.
2. Ambos os lados da desigualdade são obviamente não negativos (esta é uma propriedade do módulo: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Portanto, podemos elevar ambos os lados da inequação ao quadrado para nos livrar do módulo e resolver o problema usando o método de intervalo usual:

\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\esquerda(x+2 \direita))^(2))\ge ((\esquerda(2x-1 \direita))^(2)). \\\fim(alinhar)\]

Na última etapa, trapaceei um pouco: mudei a sequência dos termos, aproveitando a uniformidade do módulo (na verdade, multipliquei a expressão $1-2x$ por −1).

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ direita)\direita)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Resolvemos usando o método de intervalo. Vamos passar da desigualdade para a equação:

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\fim(alinhar)\]

Marcamos as raízes encontradas na reta numérica. Mais uma vez: todos os pontos estão sombreados porque a desigualdade original não é estrita!

Livrar-se do sinal do módulo

Deixe-me lembrá-los para aqueles que são especialmente teimosos: pegamos os sinais da última desigualdade, que foi anotada antes de passarmos para a equação. E pintamos as áreas exigidas na mesma desigualdade. No nosso caso é $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

OK, está tudo acabado agora. O problema está resolvido.

Resposta: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Tarefa. Resolva a desigualdade:

\[\esquerda| ((x)^(2))+x+1 \direita|\le \esquerda| ((x)^(2))+3x+4 \direita|\]

Solução. Fazemos tudo igual. Não vou comentar - basta olhar a sequência de ações.

Esquadre:

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left |((x)^(2))+3x+4 \direita| direita))^(2)); \\ & ((\esquerda(((x)^(2))+x+1 \direita))^(2))\le ((\esquerda(((x)^(2))+3x+4 \direita))^(2)); \\ & ((\esquerda(((x)^(2))+x+1 \direita))^(2))-((\esquerda(((x)^(2))+3x+4 \ direita))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \direita)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Método de intervalo:

\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Seta para a direita x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing . \\\fim(alinhar)\]

Existe apenas uma raiz na reta numérica:

A resposta é um intervalo inteiro

Resposta: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.

Uma pequena nota sobre a última tarefa. Como observou com precisão um dos meus alunos, ambas as expressões submodulares nesta desigualdade são obviamente positivas, de modo que o sinal do módulo pode ser omitido sem prejudicar a saúde.

Mas este é um nível de pensamento completamente diferente e uma abordagem diferente - pode ser condicionalmente chamado de método das consequências. Sobre isso - em uma lição separada. Agora vamos passar para a parte final da lição de hoje e dar uma olhada em um algoritmo universal que sempre funciona. Mesmo quando todas as abordagens anteriores eram impotentes :).

4. Método de enumeração de opções

E se todas essas técnicas não ajudarem? Se a desigualdade não pode ser reduzida a caudas não negativas, se é impossível isolar o módulo, se em geral há dor, tristeza, melancolia?

Então entra em cena a “artilharia pesada” de toda a matemática – o método da força bruta. Em relação às desigualdades com módulo fica assim:

1. Escreva todas as expressões submodulares e iguale-as a zero;
2. Resolva as equações resultantes e marque as raízes encontradas em uma reta numérica;
3. A reta será dividida em vários trechos, dentro dos quais cada módulo possui um sinal fixo e, portanto, é revelado de forma única;
4. Resolva a desigualdade em cada seção (você pode considerar separadamente os limites das raízes obtidos na etapa 2 - para confiabilidade). Combine os resultados - esta será a resposta :)

Então, como? Fraco? Facilmente! Só por muito tempo. Vejamos na prática:

Tarefa. Resolva a desigualdade:

\[\esquerda| x+2 \direita| \lt\esquerda| x-1 \direita|+x-\frac(3)(2)\]

Solução. Essa porcaria não se resume a desigualdades como $\left| porra certo | \ltg$, $\esquerda| porra certo | \gt g$ ou $\esquerda| porra certo | \lt\esquerda| g \right|$, então agimos com antecedência.

Escrevemos expressões submodulares, igualamos-as a zero e encontramos as raízes:

\[\begin(align) & x+2=0\Rightarrow x=-2; \\ & x-1=0\Rightarrow x=1. \\\fim(alinhar)\]

No total, temos duas raízes que dividem a reta numérica em três seções, dentro das quais cada módulo é revelado de forma única:

Particionando a reta numérica por zeros de funções submodulares

Vejamos cada seção separadamente.

1. Seja $x \lt -2$. Então ambas as expressões submodulares são negativas e a desigualdade original será reescrita da seguinte forma:

\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1,5 \\ & x \gt 1,5 \\\fim(alinhar)\]

Temos uma limitação bastante simples. Vamos cruzá-lo com a suposição inicial de que $x \lt -2$:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1.5 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Obviamente, a variável $x$ não pode ser simultaneamente menor que −2 e maior que 1,5. Não há soluções nesta área.

1.1. Consideremos separadamente o caso limítrofe: $x=-2$. Vamos apenas substituir esse número na desigualdade original e verificar: é verdade?

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=-2) ) \ \ & 0 \lt \esquerda| -3\direita|-2-1,5; \\ & 0 \lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0.5\Rightarrow \varnothing . \\\fim(alinhar)\]

É óbvio que a cadeia de cálculos nos levou a uma desigualdade incorreta. Portanto, a desigualdade original também é falsa e $x=-2$ não está incluído na resposta.

2. Seja agora $-2 \lt x \lt 1$. O módulo da esquerda já abrirá com um “mais”, mas o da direita ainda abrirá com um “menos”. Nós temos:

\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\fim(alinhar)\]

Novamente cruzamos com o requisito original:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2.5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

E, novamente, o conjunto de soluções está vazio, uma vez que não existem números menores que -2,5 e maiores que -2.

2.1. E novamente um caso especial: $x=1$. Substituímos na desigualdade original:

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=1)) \\ & \esquerda| 3\direita| \lt \esquerda| 0 \direita|+1-1,5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0.5\Rightarrow \varnothing . \\\fim(alinhar)\]

Semelhante ao “caso especial” anterior, o número $x=1$ claramente não está incluído na resposta.

3. A última parte da linha: $x \gt 1$. Aqui todos os módulos são abertos com um sinal de mais:

\[\begin(align) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(align)\ ]

E novamente cruzamos o conjunto encontrado com a restrição original:

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4.5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4.5;+\infty \right)\ ]

Finalmente! Encontramos um intervalo que será a resposta.

Resposta: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

Finalmente, uma observação que pode salvá-lo de erros estúpidos ao resolver problemas reais:

Soluções para desigualdades com módulos geralmente representam conjuntos contínuos na reta numérica - intervalos e segmentos. Pontos isolados são muito menos comuns. E ainda menos frequentemente acontece que o limite da solução (o final do segmento) coincide com o limite do intervalo em consideração.

Consequentemente, se os limites (os mesmos “casos especiais”) não forem incluídos na resposta, então as áreas à esquerda e à direita destes limites quase certamente não serão incluídas na resposta. E vice-versa: a fronteira entrou na resposta, o que significa que algumas áreas ao seu redor também serão respostas.

Tenha isso em mente ao revisar suas soluções.

Chefe do ShMO
professores de matemática _______Kalashnikova Zh.YuInstituição educacional orçamentária municipal
"Escola secundária nº 89"
Provas temáticas de matemática para o 6º ano
de acordo com o livro de I.I. Zubareva e A.G. Mordkovich
Compilado por: professores de matemática:
Kalashnikova Zhanna Yuryevna
Stolbova Lyudmila Antonovna
ZATO Seversk
2016
Contente
Teste nº 1……………………………………………………………………………….3-6
Teste nº 2…………………………………………………………………………………….7-10
Teste nº 3…………………………………………………………………………………………………….11-14
Respostas……………………………………………………………………………………………………..15
Teste nº 1 “Números positivos e negativos”
Opção 1
Insira um número fracionário negativo:
-165
38
-7.92
67Descreva o evento “O número -5,5 está marcado no raio coordenado”
Confiável
Impossível
Aleatório

Qual dos quatro números é o maior?
8,035
80,35
0,8035
803,5
Qual ponto está localizado na linha de coordenadas à direita do ponto O (0)?
M (-4)
E (-15)
K (15)
D(-1,2)
À noite a temperatura do ar era de -5°C. Durante o dia o termômetro já marcava +3°C. Como a temperatura do ar mudou?
Aumentou em 8o
Diminuiu em 2o
Aumentou em 2o
Diminuiu em 8o
O ponto x(-2) está marcado na linha de coordenadas – o centro de simetria. Indique as coordenadas dos pontos localizados nesta linha simetricamente ao ponto x.

(-1) e (1)
(-1) e (1)
(3) e (-3)
(0) e (-4)
Quais pontos na linha de coordenadas não são simétricos em relação à origem - ponto O (0).
B(-5) e C(5)
D(0,5) e E(-0,5)
M(-3) e K(13)
A(18) e X(-18)
Qual é a soma dos números 0,316+0,4?
0,356
0,716
4,316
0,32
Calcule 25% do número 0,4.
0,1
0,001
10
100
Calcule a diferença de 9100 e 0,03
0,05
0,6
9,03
350Opção 2
Insira um número fracionário negativo.
8,63
-1045
913-0,2
Descreva o evento “O número 7 está marcado no raio coordenado”.
Aleatório
Impossível
Confiável
Qual número é o menor?
15,49
154,9
1,549
1549
Qual dos pontos está localizado na linha de coordenadas à esquerda do ponto O(0).
UMA(-0,5)
ÀS 6)
M(0,5)
K(38)
Durante o dia o termômetro marcava +5°C e à noite -2°C. Como a temperatura do ar mudou?
Aumentou em 3o
Diminuiu em 7o
Diminuiu em 3o
Aumentou em 7o
O centro de simetria está marcado na linha de coordenadas - ponto UMA(-3). Indique as coordenadas dos pontos localizados nesta linha simetricamente ao ponto A.

(-2) e (2)
(0) e (-5)
(-6) e (1)
(-1) e (-5)
Quais pontos da linha de coordenadas não são simétricos em relação à origem - ponto O(0).
A(6) e B(-6)
C(12) e D(-2)
M(-1) e K(1)
X (-9) e Y (9)
Qual é a soma dos números 0,237 e 0,3?
0,24
3,237
0,537
0,267
Calcule 20% de 0,5
10
0,1
0,2
0,01
Calcule a diferença de 0,07 e 31001250,5
1
425Teste nº 2. O valor absoluto de um número. Números opostos.
Opção 1
Qual dos números dados tem o menor módulo
-11
1013-4,196
-4,2
Especifique uma equação incorreta
85=-85
-1,9=1,9
35= 3558=-58 O módulo de um número não negativo é um número não negativo. Esta afirmação é verdadeira?
Sim
Não
Qual desses números é oposto ao número -34?43-43-3434Qual é o valor da expressão -(-m) se m = -15
+15
-15
Calcule o valor da expressão: -2,5∙4--919
-10
1
-1
Resolva a equação: x=40-40
40
40 ou -40
Quais inteiros estão localizados na linha de coordenadas entre os números 2,75 e 3,9?
-2, -1, 1, 2
-1, 0, 1, 2, 3
-1, 0, 1, 2, 3, 4
-2, -1, 0, 1, 2, 3
A desigualdade -30>-50 é verdadeira?
Não
Liste todos os inteiros x se x≤30, 1, 2
0, 1, 2, 3
0, 1, 2, 3, 4
1, 2, 3
opção 2
Qual número tem o maior módulo?
-0,6
-50,603
493550,530
Especifique uma equação incorreta
-1,5=1,512=12-117=117-325=-325O módulo de um número negativo pode ser um número negativo
Sim
Não

Qual desses números é o oposto de 124?
-24
24
-124124Qual é o valor da expressão –(-k), se k = -9
-9
+9
Calcule o valor da expressão: 2,5:-0,5+1,250
15
-2,5
2,5
Resolva a equação x=100100
-100
100 ou -100
Quais inteiros estão localizados na linha de coordenadas entre os números 1 e - 4,5
-4, -3, -2, -1, 0
-3, -2, -1
-5, -4, -3, -2, -1
-4, -3, -2, -1, 1
A desigualdade -25 é verdadeira?<-10?
Sim
Não
Liste todos os inteiros x se x≤44, 3, 2
0, 1, 2, 3
1, 2, 3, 4
0, 1, 2, 3, 4
Teste nº 3. Comparação de números
Opção 1
Qual das desigualdades é falsa?
-20 > 2
0 < -1
-16 > -7
-5 < -3

-320 -920>
<
=
É verdade que o número 0 é maior que qualquer número negativo?
Sim
Não
O número a não é negativo. Como podemos escrever esta afirmação como uma desigualdade?
a<0a≤0a≥0a>0Indique o maior dos números fornecidos.
0,16
-3018-0,4
0,01
Para quais valores naturais de x a desigualdade x≤44, 3, 2 é verdadeira?
1 , 2, 3, 4
4, 3, 2, 1
0, 1, 2, 3
Para quais valores inteiros de y a desigualdade y é verdadeira?<-2?0
-1
0, -1, 1
Não existem tais valores
Números -6; -3,8; -115; 0,8 localizado:
Em ordem decrescente
Em ordem crescente
Em desordem
A previsão do tempo foi transmitida pela rádio: a temperatura deverá cair para -20°C. Descreva este evento:
Impossível
Confiável
Aleatório
opção 2
Qual das desigualdades é verdadeira?
-5 > 0
6 < -17
-34 > -40
-9 < -63
Que sinal deve ser escrito entre essas frações para que a desigualdade seja verdadeira?
-1315 -715<
>
=
É verdade que o número 0 é menor que qualquer número negativo?
Sim
Não
O número x não é maior que zero. Como podemos escrever esta afirmação como uma desigualdade?
x≥0x>0x<0x≤0Укажите наименьшее из данных чисел.
-5,92
1,7
-1000
35Para quais valores naturais de a a desigualdade a≤3 é verdadeira?1, 2, 3
0, 1, 2, 3
1, 2
0, 1, 2
Para quais valores inteiros de m a desigualdade m é verdadeira?<-4?-3, -2, -1
0, -1, -2, -3, 1, 2, 3
0
Não existem tais valores
Números 1,2; -1,2; -427; -100 localizado:
Em desordem
Em ordem crescente
Em ordem decrescente
O ponto A(5) está marcado na linha de coordenadas. Outro ponto B foi marcado aleatoriamente nesta linha. Sua coordenada acabou sendo o número oposto 5. Descreva este evento.
Aleatório
Confiável
Impossível
Respostas
Teste nº 1 Teste nº 2
Não. Opção 1 Opção 2
1 3 4
2 2 3
3 4 3
4 3 1
5 1 2
6 4 4
7 3 2
8 2 3
9 1 2
10 4 1
Não. Opção 1 Opção 2
1 3 2
2 1 4
3 1 2
4 4 3
5 2 1
6 3 4
7 3 3
8 4 1
9 1 2
10 2 4

Teste nº 3
Não. Opção 1 Opção 2
1 4 3
2 1 2
3 1 2
4 3 4
5 1 3
6 2 1
7 4 4
8 2 3