Използване на трансформации на изрази, най-простите методи за интегриране. Интеграционни методи

4.1. ПРОСТИ МЕТОДИ ЗА ИНТЕГРАЦИЯ 4.1.1. Концепцията за неопределен интеграл

В диференциалното смятане беше разгледан проблемът за намиране на производната или диференциала по отношение на дадена функция г= F(x),т.е. беше необходимо да се намери f(x)= F"(x)или dF(x)= F"(x)dx= f(x)dx.Нека поставим обратната задача: да възстановим диференцираната функция, т.е. да знаем производната f(x)(или диференциал f(x)dx),намери такава функция F(x),да се F"(x)= f(x).Тази задача се оказва много по-трудна от задачата за диференциация. Например, нека скоростта на движение на точка е известна, но трябва да намерим закона

нейните движения С= S(t),и За решаване на такива

задачи, въвеждат се нови понятия и действия.

Определение.Диференцируема функция F(x)Наречен антипроизводноза функция f(x)На (а; б),Ако F"(x)= f(x)На (а; б).

Например за f(x) = x 2 антипроизводно защото

За f(x) = cos хпървоизводната ще бъде F(x) = sin x, защото F"(x) = (sin x)" = cos x, което съвпада с f(х).

Винаги ли съществува антипроизводна за дадена функция? f(x)?Да, ако тази функция е непрекъсната на (a; b). Освен това има безброй примитиви и те се различават един от друг само с постоянен термин. Наистина грях х+ 2, грях х- 2, грях х+ ° С- всички тези функции ще бъдат антипроизводни за cos х(производната на постоянна стойност е 0) - фиг. 4.1.

Определение.Изразяване F(x)+ ° С,Където СЪС- произволна постоянна стойност, която дефинира множеството от първоизводни за функцията f(x),Наречен неопределен интеграли се обозначава със символа , т.е. , където знакът е знакът на неопределеното

интеграл, f(x)- Наречен интегрална функция, f (x)dx- чрез интегранта, x- интеграционна променлива.

Ориз. 4.1.Пример за семейство интегрални криви

Определение.Операцията за намиране на първоизводна от дадена производна или диференциал се нарича интеграциятази функция.

Интегрирането е обратното действие на диференциацията; то може да бъде проверено чрез диференциация, а диференциацията е уникална и интеграцията дава отговора с точност до константа. Даване на постоянна стойност СЪСспецифични стойности от-

Получаваме различни функции

всеки от които определя крива на координатната равнина, наречена интегрална.Всички графики на интегрални криви са изместени успоредно една на друга по оста ОйСледователно, геометрично неопределен интеграл е семейство от интегрални криви.

И така, въведени са нови понятия (противопроизводна и неопределен интеграл) и ново действие (интегриране), но как все още намирате първоизводната? За да отговорите лесно на този въпрос, първо трябва да съставите и запомните таблица с неопределени интеграли на основни елементарни функции. Получава се чрез обръщане на съответните формули за диференциране. Например ако

Обикновено таблицата включва някои интеграли, получени след прилагане на най-простите методи за интегриране. Тези формули са отбелязани в таблицата. 4.1 със символа “*” и се доказват в по-нататъшното изложение на материала.

Таблица 4.1.Таблица на основните неопределени интеграли

Формула 11 от табл. 4.1 може да изглежда така
,

защото. Подобна забележка за формата

мулета 13:

4.1.2. Свойства на неопределените интеграли

Нека разгледаме най-простите свойства на неопределения интеграл, което ще ни позволи да интегрираме не само основните елементарни функции.

1. Производната на неопределения интеграл е равна на интегранта:

2. Диференциалът на неопределения интеграл е равен на интегранта:

3. Неопределеният интеграл на диференциала на функция е равен на тази функция, добавена към произволна константа:

Пример 1. Пример 2.

4. Постоянният фактор може да бъде изваден от интегралния знак: Пример 3.

5. Интегралът на сумата или разликата на две функции е равен на сумата или разликата на интегралите на тези функции:

Пример 4.

Формулата за интегриране остава валидна, ако променливата за интегриране е функция: if Че

Произволна функция, която има непрекъсната производна. Това свойство се нарича инвариантност.

Пример 5. , Ето защо

Сравнете с

Няма универсален метод за интегриране. По-долу ще представим някои методи, които ви позволяват да изчислите даден интеграл, като използвате свойства 1-5 и таблица. 4.1.

4.1.3.Директна интеграция

Този метод се състои от директно използване на таблични интеграли и свойства 4 и 5. Примери.

4.1.4. Метод на разлагане

Този метод се състои в разширяване на интегралната функция в линейна комбинация от функции с вече известни интеграли.

Примери.

4.1.5. Метод на подписване на диференциалния знак

За да се намали този интеграл до табличен, е удобно да се направят диференциални трансформации.

1. Поставяне на диференциалния знак на линейна функция

оттук
в частност, dx = d(x + б),

диференциалът не се променя, ако добавите към променливата

или извадете постоянна стойност. Ако променливата се увеличи няколко пъти, тогава разликата се умножава по нейната реципрочна стойност. Примери с решения.

Нека проверим формули 9*, 12* и 14* от таблицата. 4.1, като се използва методът на добавяне на диференциалния знак:

Q.E.D.

2. Поставяне на основните елементарни функции под диференциалния знак:

Коментирайте.Формули 15* и 16* могат да бъдат проверени чрез диференциране (виж свойство 1). Например,

и това е интегралната функция от формула 16*.

4.1.6. Метод за разделяне на точен квадрат от квадратен тричлен

При интегриране на изрази като или

разделяне на перфектен квадрат от квадратен трином

брадва 2+ bx+ ° Свъзможно е да се редуцират до таблични 12*, 14*, 15* или 16* (виж таблица 4.1).

Тъй като като цяло тази операция изглежда по-сложна, отколкото е в действителност, ще се ограничим до примери.

Примери.

Решение.Тук извличаме идеалния квадрат от квадратния тричлен х 2 + 6x+ 9 = (х 2 + 6x+ 9) - 9 + 5 = (x+ 3) 2 - 4 и след това използваме метода на добавяне на диференциалния знак.

Използвайки подобни разсъждения, можем да изчислим следните интеграли:

2. 3.

В последния етап на интегриране е използвана формула 16*.

4.1.7. Основни методи за интегриране

Има два такива метода: методът за промяна на променлива или заместване и интегриране по части.

Метод за заместване на променливи

Има две формули за промяна на променлива в неопределен интеграл:

1) 2)

Тук същността е монотонно диференцируеми функции

ции на техните променливи.

Изкуството на прилагане на метода се състои главно в избора на функции, така че новите интеграли да са таблични или да се редуцират до тях. Окончателният отговор трябва да се върне към старата променлива.

Имайте предвид, че заместването под диференциалния знак е специален случай на заместване на променлива.

Примери.

Решение.Тук трябва да се въведе нова променливаTтака че да се отървем от квадратния корен. Да сложимх+ 1 = T,Тогава х= t 2+ 1 и dx = 2 tdt:

Решение.Замяна х- 2 на T, получаваме моном в знаменателя и след разделяне на член по член интегралът се редуцира до табличния интеграл на степенната функция:

При преминаване към променлива хизползвани формули:

Метод на интегриране по части

Диференциалът на произведението на две функции се определя по формулата

Интегрирайки това равенство (вижте свойство 3), намираме:

Оттук Това е формулата интеграция от

части.

Интегрирането по части включва субективното представяне на интегранта във формата u . dV,и в същото време интеграла трябва да е по-лесно от В противен случай приложение

методът няма смисъл.

И така, методът на интегриране по части предполага способността да се изолират фактори от интегранта uИ dVкато се вземат предвид горните изисквания.

Представяме редица типични интеграли, които могат да бъдат намерени чрез метода на интегриране по части. 1. Интеграли на формата

Където P(x)- полином; к- постоянен. В такъв случай u= P(x), и dV- всички други фактори.

Пример 1.

2.Интеграли от тип

Тук поставяме други фактори.

Пример 2.

Пример 3.
Пример 4.

Всеки резултат може да бъде проверен чрез диференциране. Например в този случай

Резултатът е правилен.

3.Интеграли на формата

къде, b- конст. Отзад uтрябва да вземе e брадва, грях bxили cos bx.

Пример 5.

От тук получаваме Пример 6.

Оттук

Пример 7.
Пример 8.

Решение.Тук първо трябва да направите промяна на променлива и след това да интегрирате по части:

Пример 9.
Пример 10.

Решение.Този интеграл може да бъде намерен със същия успех или чрез замяна на променливата 1 + x 2 = t 2, или чрез интегриране по части:

Самостоятелна работа

Извършете директна интеграция (1-10).

Прилагайте прости методи за интегриране (11-46).

Извършване на интегриране чрез промяна на променлива и интегриране чрез методи на части (47-74).

Извиква се функция F(x), диференцируема в даден интервал X първоизводна на функцията f(x) или интеграла на f(x), ако за всяко x ∈X е валидно следното равенство:

F " (x) = f(x). (8.1)

Намирането на всички първоизводни за дадена функция се нарича нейна интеграция. Неопределена интегрална функция f(x) на даден интервал X е множеството от всички първообразни функции за функцията f(x); обозначаване -

Ако F(x) е някакво първообразно на функцията f(x), тогава ∫ f(x)dx = F(x) + C, (8.2)

където C е произволна константа.

Таблица на интегралите

Директно от дефиницията получаваме основните свойства на неопределения интеграл и списък от таблични интеграли:

1) d∫f(x)dx=f(x)

2) ∫df(x)=f(x)+C

3) ∫af(x)dx=a∫f(x)dx (a=const)

4) ∫(f(x)+g(x))dx = ∫f(x)dx+∫g(x)dx

Списък на табличните интеграли

1. ∫x m dx = x m+1 /(m + 1) +C; (m ≠ -1)

3.∫a x dx = a x /ln a + C (a>0, a ≠1)

4.∫e x dx = e x + C

5.∫sin x dx = cosx + C

6.∫cos x dx = - sin x + C

7. = арктан x + C

8. = arcsin x + C

10. = - ctg x + C

Променлива замяна

За да интегрирате много функции, използвайте метода за заместване на променливи или замествания,което ви позволява да намалите интегралите до таблична форма.

Ако функцията f(z) е непрекъсната върху [α,β], функцията z =g(x) има непрекъсната производна и α ≤ g(x) ≤ β, тогава

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫f(z)dz, (8.3)

Освен това, след интегриране от дясната страна, трябва да се направи заместването z=g(x).

За да го докажете, достатъчно е да напишете оригиналния интеграл във формата:

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫ f(g(x)) dg(x).

Например:

Метод на интегриране по части

Нека u = f(x) и v = g(x) са функции, които имат непрекъснато . Тогава, според работата,

d(uv))= udv + vdu или udv = d(uv) - vdu.

За израза d(uv) антипроизводното очевидно ще бъде uv, така че формулата е валидна:

∫ udv = uv - ∫ vdu (8.4.)

Тази формула изразява правилото интеграция по части. Това води интегрирането на израза udv=uv"dx до интегрирането на израза vdu=vu"dx.

Нека, например, искате да намерите ∫xcosx dx. Нека поставим u = x, dv = cosxdx, така че du=dx, v=sinx. Тогава

∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x sin x - ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.

Правилото за интегриране по части има по-ограничен обхват от заместването на променливи. Но има цели класове интеграли, напр.

∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax и други, които се изчисляват точно с помощта на интегриране по части.

Определен интеграл

Концепцията за определен интеграл се въвежда по следния начин. Нека функция f(x) е дефинирана на интервал. Нека разделим сегмента [a,b] на нчасти по точки a= x 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
Δ x i = x i - x i-1. Извиква се сума от формата f(ξ i)Δ x i интегрална сума, а неговата граница при λ = maxΔx i → 0, ако съществува и е крайна, се нарича определен интегралфункции f(x) на апреди bи се обозначава:

F(ξ i)Δx i (8.5).

Функцията f(x) в този случай се извиква интегрируеми на интервала, се наричат числата a и b долна и горна граница на интеграла.

Следните свойства са верни за определен интеграл:

4), (k = const, k∈R);

7) f(ξ)(b-a) (ξ∈).

Последното свойство се нарича теорема за средната стойност.

Нека f(x) е непрекъснато върху . Тогава на този сегмент има неопределен интеграл

∫f(x)dx = F(x) + C

и се провежда Формула на Нютон-Лайбниц, свързващ определения интеграл с неопределения интеграл:

F(b) - F(a). (8,6)

Геометрична интерпретация: определеният интеграл е площта на криволинеен трапец, ограничен отгоре от кривата y=f(x), прави x = a и x = b и сегмент от оста вол.

Неправилни интеграли

Интеграли с безкрайни граници и интеграли на прекъснати (неограничени) функции се наричат не твоя собствена. Неправилни интеграли от първи род -Това са интеграли върху безкраен интервал, дефиниран както следва:

(8.7)

Ако тази граница съществува и е крайна, тогава тя се нарича конвергентен неправилен интеграл на f(x)на интервала [a,+ ∞), и се извиква функцията f(x). интегрируеми в безкраен интервал[a,+ ∞). В противен случай се казва, че интегралът е не съществува или се разминава.

Неправилните интеграли на интервалите (-∞,b] и (-∞, + ∞) се дефинират по подобен начин:

Нека дефинираме понятието интеграл на неограничена функция. Ако f(x) е непрекъснато за всички стойности хсегмент , с изключение на точката c, в която f(x) има безкраен прекъсване, тогава неправилен интеграл от втория вид f(x) вариращи от a до bсумата се нарича:

ако тези граници съществуват и са крайни. Обозначаване:

Примери за интегрални изчисления

Пример 3.30.Изчислете ∫dx/(x+2).

Решение.Нека означим t = x+2, тогава dx = dt, ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + C = ln|x+2| +C.

Пример 3.31. Намерете ∫ tgxdx.

Решение.∫ tgxdx = ∫sinx/cosxdx = - ∫dcosx/cosx. Нека t=cosx, тогава ∫ tgxdx = -∫ dt/t = - ln|t| + C = -ln|cosx|+C.

Пример3.32 . Намерете ∫dx/sinx

Решение.

Пример3.33. Намирам .

Решение. = .

Пример3.34 . Намерете ∫arctgxdx.

Решение. Нека интегрираме по части. Нека означим u=arctgx, dv=dx. Тогава du = dx/(x 2 +1), v=x, откъдето ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; защото
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.

Пример3.35 . Изчислете ∫lnxdx.

Решение.Прилагайки формулата за интегриране по части, получаваме:
u=lnx, dv=dx, du=1/x dx, v=x. Тогава ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1/x dx =
= xlnx - ∫dx + C= xlnx - x + C.

Пример3.36 . Изчислете ∫e x sinxdx.

Решение.Нека означим u = e x, dv = sinxdx, тогава du = e x dx, v =∫ sinxdx= - cosx → ∫ e x sinxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx. Също така интегрираме интеграла ∫e x cosxdx по части: u = e x, dv = cosxdx, du=e x dx, v=sinx. Ние имаме:
∫ e x cosxdx = e x sinx - ∫ e x sinxdx. Получихме отношението ∫e x sinxdx = - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx, от което 2∫e x sinx dx = - e x cosx + e x sinx + C.

Пример 3.37. Изчислете J = ∫cos(lnx)dx/x.

Решение.Тъй като dx/x = dlnx, тогава J= ∫cos(lnx)d(lnx). Заменяйки lnx с t, стигаме до интеграла на таблицата J = ∫ costdt = sint + C = sin(lnx) + C.

Пример 3.38 . Изчислете J = .

Решение.Като се има предвид, че = d(lnx), заместваме lnx = t. Тогава J = .

Пример 3.39 . Изчислете интеграла J = .

Решение.Ние имаме: . Следователно =
=
=. въведено по този начин: sqrt(tan(x/2)).

И ако в прозореца с резултати щракнете върху Покажи стъпки в горния десен ъгъл, ще получите подробно решение.

Интегрално смятане.

Антипроизводна функция.

определение: Извиква се функцията F(x). противопроизводна функцияфункция f(x) върху сегмента, ако равенството е вярно във всяка точка на този сегмент:

Трябва да се отбележи, че може да има безкраен брой антипроизводни за една и съща функция. Те ще се различават един от друг с някакво постоянно число.

F 1 (x) = F 2 (x) + C.

Неопределен интеграл.

определение: Неопределен интегралфункция f(x) е набор от първообразни функции, които са определени от релацията:

Записвам:

Условието за съществуването на неопределен интеграл върху определен сегмент е непрекъснатостта на функцията върху този сегмент.

Имоти:

Пример:

Намирането на стойността на неопределения интеграл е свързано главно с намирането на първоизводната на функцията. За някои функции това е доста трудна задача. По-долу ще разгледаме методите за намиране на неопределени интеграли за основните класове функции - рационални, ирационални, тригонометрични, експоненциални и др.

За удобство стойностите на неопределените интеграли на повечето елементарни функции се събират в специални таблици с интеграли, които понякога са доста обемни. Те включват различни често използвани комбинации от функции. Но повечето от формулите, представени в тези таблици, са следствия една от друга, така че по-долу представяме таблица с основни интеграли, с помощта на които можете да получите стойностите на неопределени интеграли на различни функции.

Интеграл	Значение	Интеграл	Значение

	lnsinx+ C



	вътре

Интеграционни методи.

Нека разгледаме три основни метода на интеграция.

Директна интеграция.

Методът на прякото интегриране се основава на предположението за възможната стойност на функцията на антипроизводната с допълнителна проверка на тази стойност чрез диференциране. Като цяло отбелязваме, че диференциацията е мощен инструмент за проверка на резултатите от интеграцията.

Нека да разгледаме приложението на този метод, използвайки пример:

Трябва да намерим стойността на интеграла . Въз основа на добре познатата формула за диференциация
можем да заключим, че търсеният интеграл е равен на
, където C е някакво постоянно число. Въпреки това, от друга страна
. Така най-накрая можем да заключим:

Обърнете внимание, че за разлика от диференциацията, където са използвани ясни техники и методи за намиране на производната, правила за намиране на производната и накрая дефиницията на производната, такива методи не са достъпни за интегриране. Ако при намирането на производната използвахме, така да се каже, конструктивни методи, които въз основа на определени правила доведоха до резултата, тогава при намирането на първоизводната трябва да разчитаме главно на познаването на таблици с производни и първоизводни.

Що се отнася до метода на директното интегриране, той е приложим само за някои много ограничени класове функции. Има много малко функции, за които веднага можете да намерите антипроизводно. Ето защо в повечето случаи се използват описаните по-долу методи.

Метод на заместване (заместване на променливи).

Теорема: Ако трябва да намерите интеграла
, но е трудно да се намери първоизводната, тогава използвайки заместването x = (t) и dx = (t)dt получаваме:

Доказателство : Нека разграничим предложеното равенство:

Съгласно свойство № 2 на неопределения интеграл, разгледан по-горе:

f(х) dx = f[  (T)]  (T) дт

което, като се има предвид въведеното означение, е изходното предположение. Теоремата е доказана.

Пример.Намерете неопределения интеграл
.

Да направим замяна T = sinx, дт = cosxdt.

Пример.

Замяна
Получаваме:

По-долу ще разгледаме други примери за използване на метода на заместване за различни видове функции.

Интеграция по части.

Методът се основава на добре известната формула за производна на продукт:

(uv) = uv + vu

където u и v са някои функции на x.

В диференциална форма: d(uv) = udv + vdu

Интегрирайки, получаваме:
, и в съответствие с горните свойства на неопределения интеграл:

или
;

Получихме формула за интегриране по части, която ни позволява да намерим интегралите на много елементарни функции.

Пример.

Както можете да видите, последователното прилагане на формулата за интегриране по части ви позволява постепенно да опростите функцията и да доведете интеграла до табличен.

Пример.

Вижда се, че в резултат на многократно прилагане на интегриране по части, функцията не може да бъде опростена до таблична форма. Последният получен интеграл обаче не се различава от оригиналния. Затова го преместваме в лявата страна на равенството.

По този начин интегралът беше намерен без изобщо да се използват таблици с интеграли.

Преди да разгледаме подробно методите за интегриране на различни класове функции, ние даваме още няколко примера за намиране на неопределени интеграли чрез редуцирането им до таблични.

Пример.

Интегриране на елементарни дроби.

определение: ЕлементарноСледните четири вида фракции се наричат:

аз
III.

II.
IV.

m, n – естествени числа (m  2, n  2) и b 2 – 4ac<0.

Първите два вида интеграли на елементарни дроби могат съвсем просто да бъдат приведени в таблицата чрез заместване t = ax + b.

Нека разгледаме метода за интегриране на елементарни дроби от тип III.

Дробният интеграл от тип III може да бъде представен като:

Тук в общ вид е показано редуцирането на дробен интеграл от тип III до два таблични интеграла.

Нека да разгледаме приложението на горната формула с примери.

Пример.

Най-общо казано, ако триномът ax 2 + bx + c има израза b 2 – 4ac >0, тогава дробта по дефиниция не е елементарна, но въпреки това може да бъде интегрирана по начина, посочен по-горе.

Пример.

Нека сега разгледаме методите за интегриране на прости дроби от тип IV.

Първо, нека разгледаме специален случай с M = 0, N = 1.

След това интегралът на формата
могат да бъдат представени във формуляра чрез избиране на пълния квадрат в знаменателя
. Нека направим следната трансформация:

Вторият интеграл, включен в това равенство, ще вземем по части.

Да обозначим:

За първоначалния интеграл получаваме:

Получената формула се нарича рецидивиращ.Ако го приложите n-1 пъти, ще получите табличен интеграл
.

Нека сега се върнем към интеграла на елементарна дроб от IV тип в общия случай.

В полученото равенство, първият интеграл с помощта на заместването T = u 2 + ссведени до таблични и формулата за рекурентност, обсъдена по-горе, се прилага към втория интеграл.

Въпреки привидната сложност на интегрирането на елементарна дроб от тип IV, на практика е доста лесно да се използва за дроби с малка степен н, а универсалността и обобщеността на подхода прави възможна много проста реализация на този метод на компютър.

Пример:

Интегриране на рационални функции.

Интегриране на рационални дроби.

За да се интегрира една рационална дроб, е необходимо тя да се разложи на елементарни дроби.

Теорема: Ако
- правилна рационална дроб, чийто знаменател P(x) е представен като произведение на линейни и квадратни множители (имайте предвид, че всеки полином с реални коефициенти може да бъде представен в следната форма: П(х) = (х - а)  …(х - b)  (х 2 + px + р)  …(х 2 + rx + с)  ), тогава тази фракция може да се разложи на елементарни по следната схема:

където A i, B i, M i, N i, R i, S i са някои постоянни величини.

Когато интегрират рационални дроби, те прибягват до разлагане на първоначалната дроб на елементарни. За намиране на величините A i, B i, M i, N i, R i, S i се използват т.нар. метод на несигурни коефициенти, чиято същност е, че за да бъдат идентично равни два полинома, е необходимо и достатъчно коефициентите при еднакви степени на x да са равни.

Нека разгледаме използването на този метод, използвайки конкретен пример.

Пример.

Привеждайки до общ знаменател и приравнявайки съответните числители, получаваме:

Пример.

защото Ако дробта е неправилна, първо трябва да изберете цялата й част:

6x 5 – 8x 4 – 25x 3 + 20x 2 – 76x – 7 3x 3 – 4x 2 – 17x + 6

6x 5 – 8x 4 – 34x 3 + 12x 2 2x 2 + 3

9x 3 + 8x 2 – 76x - 7

9x 3 – 12x 2 – 51x +18

20x 2 – 25x – 25

Нека разложим на множители знаменателя на получената дроб. Вижда се, че при x = 3 знаменателят на дробта става нула. Тогава:

3x 3 – 4x 2 – 17x + 6 x - 3

3x 3 – 9x 2 3x 2 + 5x - 2

И така, 3x 3 – 4x 2 – 17x + 6 = (x – 3)(3x 2 + 5x – 2) = (x – 3)(x + 2)(3x – 1). Тогава:

За да се избегне отварянето на скоби, групирането и решаването на система от уравнения (която в някои случаи може да се окаже доста голяма) при намиране на несигурни коефициенти, т.нар. метод на произволна стойност. Същността на метода е, че няколко (според броя на неопределените коефициенти) произволни стойности на x се заместват в горния израз. За да се опростят изчисленията, обичайно е да се вземат като произволни стойности точки, при които знаменателят на фракцията е равен на нула, т.е. в нашия случай – 3, -2, 1/3. Получаваме:

Накрая получаваме:

Пример.

Нека намерим неопределените коефициенти:

Тогава стойността на дадения интеграл:

Интегриране на някои тригонометрии

функции.

Може да има безкраен брой интеграли от тригонометрични функции. Повечето от тези интеграли изобщо не могат да бъдат изчислени аналитично, така че ще разгледаме някои от най-важните видове функции, които винаги могат да бъдат интегрирани.

Интеграл на формата
.

Тук R е обозначението на някаква рационална функция на променливите sinx и cosx.

Интегралите от този тип се изчисляват чрез заместване
. Това заместване ви позволява да преобразувате тригонометрична функция в рационална.

Тогава

По този начин:

Описаната по-горе трансформация се нарича универсално тригонометрично заместване.

Пример.

Безспорното предимство на това заместване е, че с негова помощ винаги можете да трансформирате тригонометрична функция в рационална и да изчислите съответния интеграл. Недостатъците включват факта, че трансформацията може да доведе до доста сложна рационална функция, чието интегриране ще отнеме много време и усилия.

Ако обаче е невъзможно да се приложи по-рационална замяна на променливата, този метод е единственият ефективен.

Пример.

Интеграл на формата
Ако

функцияРcosx.

Въпреки възможността за изчисляване на такъв интеграл с помощта на универсалното тригонометрично заместване, по-рационално е да се използва заместването T = sinx.

функция
може да съдържа cosx само в четни степени и следователно може да се преобразува в рационална функция по отношение на sinx.

Пример.

Най-общо казано, за да се приложи този метод, е необходима само нечетността на функцията спрямо косинуса, а степента на синуса, включена във функцията, може да бъде произволна, както цяло число, така и дробна.

Интеграл на формата
Ако

функцияРе странно спрямоsinx.

По аналогия с разгледания по-горе случай се извършва замяната T = cosx.

Пример.

Интеграл на формата

функцияРдори относителноsinxИcosx.

За да трансформирате функцията R в рационална, използвайте заместването

t = tgx.

Пример.

Интеграл на произведението от синуси и косинуси

различни аргументи.

В зависимост от вида на работата ще се прилага една от трите формули:

Пример.

Понякога при интегриране на тригонометрични функции е удобно да се използват добре известни тригонометрични формули, за да се намали редът на функциите.

Пример.

Понякога се използват някои нестандартни техники.

Пример.

Интегриране на някои ирационални функции.

Не всяка ирационална функция може да има интеграл, изразен чрез елементарни функции. За да намерите интеграла на ирационална функция, трябва да използвате заместване, което ще ви позволи да трансформирате функцията в рационална, чийто интеграл винаги може да бъде намерен, както винаги е известно.

Нека да разгледаме някои техники за интегриране на различни видове ирационални функции.

Интеграл на формата
Къдетон- естествено число.

Използване на заместване
функцията е рационализирана.

Пример.

Ако съставът на ирационална функция включва корени от различни степени, тогава като нова променлива е рационално да се вземе корен от степен, равна на най-малкото общо кратно на степените на корените, включени в израза.

Нека илюстрираме това с пример.

Пример.

Интегриране на биномни диференциали.

Определение. Методът на интегриране, при който даден интеграл се редуцира до един или повече таблични интеграли посредством идентични трансформации на интегранд (или израз на интегранд) и прилагане на свойствата на неопределения интеграл директна интеграция .

Често по време на директно интегриране се използват следните диференциални трансформации (операцията „въвеждане под диференциалния знак“):

Например. 1) ;

При изчисляването на тези интеграли използвахме формули 1 и 2 от таблицата с интеграли, която е дадена по-долу.

Таблица на основните неопределени интеграли.

Метод на интегриране чрез заместване (заместване на променлива).

Методът на интегриране чрез заместване включва въвеждането на нова променлива за интегриране. В този случай даденият интеграл се свежда до нов интеграл, който е табличен или сводим към него.

Този метод на интегриране се основава на следната теорема:

Теорема.Нека функцията f(x) бъде представена във формата: f(x)=g(j(x))×j¢(x), тогава ако G(u) е антипроизводна за g(u), тогава G( j( x)) е антипроизводно на g(j(x)). Тоест има равенство: .

Например.

Метод на интегриране по части.

Интегрирането по части се състои от представяне на интегралната функция на някакъв интеграл като произведение на два фактора u и dv, след което се използва формулата за интегриране по части.

ТеоремаНека функциите u(x) и v(x) са диференцируеми, тогава формулата е валидна:

Тъй като u¢(x)dx=du, v¢(x)dx=dv, формулата може да бъде пренаписана като:

Например.

Формулата за интегриране по части може да се използва няколко пъти по време на процеса на решаване.

Например

Нека се преместим от дясната страна на равенството наляво:

Някои видове интеграли, които са удобни за изчисляване чрез метода на интегриране по части:

; ; , където P(x) е полином от x, k е определено число	u=P(x), dv – други фактори
; ; ; ;	dv=P(x)dх, u – всички останали фактори
; , където a и b са някои числа	, dv – други фактори

Интегриране на рационални дроби.

Определение Рационално ще наричаме дроби от вида , където P n (x), Q m (x) са полиноми от n-та и m-та степен, съответно, в x. Най-простите рационални дроби включват дроби от четири вида:

Където A и a са някои реални числа, най-простата дроб първиТип;

– проста дроб второТип;

– проста дроб третиТип;

– проста дроб четвъртоТип.

Нека разгледаме интегрирането на дроби от първите три вида.

3) Интегрирането на най-простата фракция от третия тип се извършва на два етапа. Нека да разгледаме процеса на интегриране с пример.

(избираме производната на знаменателя в числителя за последващ запис под диференциалния знак: (x 2 +2x+3)¢=2x+2)

ОпределениеРационални дроби се наричат правилно ако степента на полинома в числителя е по-малка от степента на полинома в знаменателя и грешно ако степента на полинома в числителя е по-голяма или равна на степента на полинома в знаменателя.

В случай на неправилна рационална дроб е възможно да се изолира цялата част. За да направите това, полиномът от числителя се разделя с остатъка на полинома в знаменателя. Полученото частно ще бъде цялата част, а остатъкът ще бъде числителят на новата правилна рационална дроб. Например, нека изберем цялата част: .

Така интегрирането на рационални дроби и в двата случая се свежда до интегриране на правилна рационална дроб, която не винаги е най-простата рационална дроб от един от четирите вида.

Нека разгледаме някакъв полином Q(x). Нека числото a е коренът на този полином, тогава Q(x)=(x-a)Q 1 (x), където Q 1 (x) е полином със степен 1, по-малка от степента на Q(x). Числото a може да бъде корен от кратност k, тогава Q(x) = (x-a) до Q 2 (x), където Q 2 (x) е полином със степен k, по-малка от степента на Q(x). В допълнение, полиномът Q(x), заедно с реалните корени, може да има комплексен корен a+bi, тогава комплексното число a-bi също ще бъде корен на Q(x). В този случай Q(x)=(x 2 +px+q)Q 3 (x), където x 2 +px+q=(x-(a+bi))(x-(a-bi)). Ако посочените комплексни числа са корени с кратност m, тогава Q(x)=(x 2 +px+q) m Q 4 (x).

Така всеки полином Q(x) може да бъде представен като:

Q(x)=(x-a 1) до 1 (x-a 2) до 2 ...(x-a n) k n (x 2 +p 1 x+q 1) m 1 (x 2 +p 2 x+ q 2) m 2 …(x 2 +p s x+q s) m s.

Теорема.Всяка правилна рационална дроб може да бъде представена като сбор от най-простите рационални дроби от типове 1-4.

Например.Нека разгледаме алгоритъм за представяне на правилна рационална дроб като сбор от най-простите рационални дроби от типове 1-4.

Тъй като знаменателите на дробите са равни, очевидно числителите също трябва да са равни и това равенство е възможно, ако коефициентите са равни за еднакви степени на x. По този начин, замествайки техните стойности вместо неопределените коефициенти A, B, C: .

НапримерНамерете интеграла.

Интегрантът е неправилна рационална дроб. След като разделим числителя на знаменателя с остатъка получаваме: .

Нека разложим правилна рационална дроб на нейните най-прости дроби, използвайки метода на неопределените коефициенти:

От това следва, че Решавайки получената система от линейни уравнения, получаваме Тогава , тоест = ;

Ще го намерим отделно

По този начин, .

Интегриране на тригонометрични функции.

1. Нека е необходимо да се намери , където R е някаква функция

При намирането на такива интеграли често е полезно да се използва универсалното тригонометрично заместване: . С негова помощ винаги можете да преминете от интеграла на тригонометрична функция към интеграла на рационална функция:

Х=2arctgt, .

2. Ако функцията R(sinx, cosx) е нечетна спрямо sinx, т.е. R(-sinx, cosx)=- R(sinx, cosx), тогава използвайте заместването cosx=t;

3. Ако функцията R(sinx, cosx) е нечетна по отношение на cosx, т.е. R(sinx, -cosx)=- R(sinx, cosx), тогава използвайте заместването sinx=t;

4. Ако функцията R(sinx, cosx) е четна по отношение на sinx и cosx, т.е. R(-sinx, -cosx)=R(sinx, cosx), тогава използвайте заместването tgx=t; същата замяна се прилага в случай на .

Например.

НапримерНамерете интеграла. Интеграндът е четен по отношение на sinx, тогава използваме заместването tgx=t.

5. За да намерите интеграли на формата, използвайте следните техники:

а) ако n е нечетно положително цяло число, тогава използвайте заместването sinx=t;

б) ако m е нечетно положително число, тогава използвайте замяната сosx=t;

в) ако m и n са неотрицателни четни числа, тогава се използват формули за редукция; ; ;

г) ако m+n е четно отрицателно цяло число, тогава използвайте заместването tgx=t.

Например. .

Например.. ; се редуцират до интеграли на тригонометрични функции, като се използват следните замествания:

а) за интеграла, заместване x=a×sint;

б) за интеграла, заместване x=a×tgt;

в) за интеграла, заместване.

Не винаги можем да изчислим антипроизводни функции, но проблемът с диференцирането може да бъде решен за всяка функция. Ето защо няма единен метод за интегриране, който да може да се използва за всеки тип изчисление.

В този материал ще разгледаме примери за решаване на задачи, свързани с намирането на неопределен интеграл, и ще видим за какви типове интегранти е подходящ всеки метод.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Метод на директна интеграция

Основният метод за изчисляване на първоизводната функция е директното интегриране. Това действие се основава на свойствата на неопределения интеграл и за изчисленията се нуждаем от таблица с първоизводни. Други методи могат само да помогнат за привеждането на оригиналния интеграл в таблична форма.

Пример 1

Изчислете множеството от първоизводни на функцията f (x) = 2 x + 3 2 · 5 x + 4 3 .

Решение

Първо, нека променим формата на функцията на f (x) = 2 x + 3 2 5 x + 4 3 = 2 x + 3 2 5 x + 4 1 3.

Знаем, че интегралът от сбора на функциите ще бъде равен на сбора от тези интеграли, което означава:

∫ f (x) d x = ∫ 3 2 5 x + 4 3 = 2 x + 3 2 5 x + 4 1 3 d x = ∫ 3 2 5 x + 4 1 3 d x

Извеждаме числовия коефициент зад интегралния знак:

∫ f (x) d x = ∫ 2 x d x + ∫ 3 2 (5 x + 4) 1 3 d x = = ∫ 2 x d x + 2 3 ∫ (5 x + 4) 1 3 d x

За да намерим първия интеграл, ще трябва да се позовем на таблицата на първоизводните. Вземаме от него стойността ∫ 2 x d x = 2 x ln 2 + C 1

За да намерите втория интеграл, ще ви трябва таблица с първоизводни за степенната функция ∫ x p · d x = x p + 1 p + 1 + C , както и правилото ∫ f k · x + b d x = 1 k · F (k · x + b) + C.

Следователно ∫ f (x) d x = ∫ 2 x d x + 3 2 ∫ 5 x + 4 1 3 d x = = 2 x ln 2 + C 1 + 3 2 3 20 (5 x + 4) 4 3 + C 2 = = 2 x ln 2 + 9 40 5 x + 4 4 3 + C

Получихме следното:

∫ f (x) d x = ∫ 2 x d x + 3 2 ∫ 5 x + 4 1 3 d x = = 2 x ln 2 + C 1 + 3 2 3 20 (5 x + 4) 4 3 + C 2 = = 2 x ln 2 + 9 40 5 x + 4 4 3 + C

с C = C 1 + 3 2 C 2

Отговор:∫ f (x) d x = 2 x ln 2 + 9 40 5 x + 4 4 3 + C

Посветихме отделна статия на директното интегриране с помощта на таблици с антипроизводни. Препоръчваме ви да се запознаете с него.

Метод на заместване

Този метод на интегриране се състои в изразяване на интегранта чрез нова променлива, въведена специално за тази цел. В резултат на това трябва да получим таблична форма на интеграла или просто по-малко сложен интеграл.

Този метод е много полезен, когато трябва да интегрирате функции с радикали или тригонометрични функции.

Пример 2

Изчислете неопределения интеграл ∫ 1 x 2 x - 9 d x .

Решение

Нека добавим още една променлива z = 2 x - 9 . Сега трябва да изразим x чрез z:

z 2 = 2 x - 9 ⇒ x = z 2 + 9 2 ⇒ d x = d z 2 + 9 2 = z 2 + 9 2 " d z = 1 2 z d z = z d z

∫ d x x 2 x - 9 = ∫ z d z z 2 + 9 2 · z = 2 ∫ d z z 2 + 9

Взимаме таблицата с първоизводните и откриваме, че 2 ∫ d z z 2 + 9 = 2 3 a r c t g z 3 + C .

Сега трябва да се върнем към променливата x и да получим отговора:

2 3 a r c t g z 3 + C = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C

Отговор:∫ 1 x 2 x - 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C .

Ако трябва да интегрираме функции с ирационалност под формата x m (a + b x n) p, където стойностите m, n, p са рационални числа, тогава е важно правилно да формулираме израз за въвеждане на нова променлива. Прочетете повече за това в статията за интегриране на ирационални функции.

Както казахме по-горе, методът на заместване е удобен за използване, когато трябва да интегрирате тригонометрична функция. Например, използвайки универсално заместване, можете да намалите израз до частично рационална форма.

Този метод обяснява правилото за интегриране ∫ f (k · x + b) d x = 1 k · F (k · x + b) + C .

Добавяме друга променлива z = k x + b. Получаваме следното:

x = z k - b k ⇒ d x = d z k - b k = z k - b k " d z = d z k

Сега вземаме получените изрази и ги добавяме към интеграла, посочен в условието:

∫ f (k x + b) d x = ∫ f (z) d z k = 1 k ∫ f (z) d z = = 1 k F z + C 1 = F (z) k + C 1 k

Ако приемем C 1 k = C и се върнем към първоначалната променлива x, тогава получаваме:

F (z) k + C 1 k = 1 k F k x + b + C

Метод на подписване на диференциалния знак

Този метод се основава на трансформиране на подинтегралната функция във функция от формата f (g (x)) d (g (x)). След това извършваме заместване, като въвеждаме нова променлива z = g (x), намираме антипроизводна за нея и се връщаме към оригиналната променлива.

∫ f (g (x)) d (g (x)) = g (x) = z = ∫ f (z) d (z) = = F (z) + C = z = g (x) = F ( g(x)) + C

За да разрешите проблемите по-бързо с помощта на този метод, дръжте под ръка таблица с производни под формата на диференциали и таблица с антипроизводни, за да намерите израза, до който ще трябва да бъде намален интеграндът.

Нека анализираме задача, в която трябва да изчислим множеството от първоизводни на функцията котангенс.

Пример 3

Изчислете неопределения интеграл ∫ c t g x d x .

Решение

Нека трансформираме оригиналния израз под интеграла, използвайки основни тригонометрични формули.

c t g x d x = cos s d x sin x

Разглеждаме таблицата с производни и виждаме, че числителят може да бъде включен под диференциалния знак cos x d x = d (sin x), което означава:

c t g x d x = cos x d x sin x = d sin x sin x, т.е. ∫ c t g x d x = ∫ d sin x sin x .

Нека приемем, че sin x = z, в този случай ∫ d sin x sin x = ∫ d z z. Според таблицата на първоизводните, ∫ d z z = ln z + C . Сега нека се върнем към първоначалната променлива ∫ d z z = ln z + C = ln sin x + C .

Цялото решение може да бъде написано накратко, както следва:

∫ с t g x d x = ∫ cos x d x sin x = ∫ d sin x sin x = s i n x = t = = ∫ d t t = ln t + C = t = sin x = ln sin x + C

Отговор: ∫ c t g x d x = ln sin x + C

Методът за абониране на диференциалния знак се използва много често на практика, затова ви съветваме да прочетете отделна статия, посветена на него.

Метод на интегриране по части

Този метод се основава на трансформиране на подинтегралната функция в продукт под формата f (x) d x = u (x) v " x d x = u (x) d (v (x)), след което формулата ∫ u (x) d ( v (x)) = u (x) · v (x) - ∫ v (x) · d u (x). Това е много удобен и често срещан метод за решаване. Понякога частичното интегриране в един проблем трябва да се приложи няколко пъти преди да получите желания резултат.

Нека анализираме задача, в която трябва да изчислим множеството от първоизводни на арктангенса.

Пример 4

Изчислете неопределения интеграл ∫ a r c t g (2 x) d x .

Решение

Да приемем, че u (x) = a r c t g (2 x), d (v (x)) = d x, в този случай:

d (u (x)) = u " (x) d x = a r c t g (2 x) " d x = 2 d x 1 + 4 x 2 v (x) = ∫ d (v (x)) = ∫ d x = x

Когато изчисляваме стойността на функцията v (x), не трябва да добавяме произволна константа C.

∫ a r c t g (2 x) d x = u (x) v (x) - ∫ v (x) d (u (x)) = = x a r c t g (2 x) - ∫ 2 x d x 1 + 4 x 2

Изчисляваме получения интеграл, като използваме метода на добавяне на диференциалния знак.

Тъй като ∫ a r c t g (2 x) d x = u (x) · v (x) - ∫ v (x) d (u (x)) = x · a r c t g (2 x) - ∫ 2 x d x 1 + 4 x 2 , тогава 2 x d x = 1 4 d (1 + 4 x 2) .

∫ a r c t g (2 x) d x = x · a r c t g (2 x) - ∫ 2 x d x 1 + 4 x 2 = = x · a r c t g (2 x) - 1 4 ln 1 + 4 x 2 + C 1 = = x · a r c t g (2 x) - 1 4 ln 1 + 4 x 2 + C

Отговор:∫ a r c t g (2 x) d x = x · a r c t g (2 x) - 1 4 ln 1 + 4 x 2 + C .

Основната трудност при използването на този метод е необходимостта да се избере коя част да се вземе като диференциал и коя като функция u (x). Статията за метода на интегриране по части предоставя някои съвети по този въпрос, с които трябва да се запознаете.

Ако трябва да намерим множеството от първоизводни на дробно рационална функция, тогава първо трябва да представим интегранта като сбор от прости дроби и след това да интегрираме получените дроби. За повече информация вижте статията за интегриране на прости дроби.

Ако интегрираме степенен израз под формата sin 7 x · d x или d x (x 2 + a 2) 8, тогава ще се възползваме от формули за повторение, които могат постепенно да намалят степента. Те се извличат с помощта на последователно повтарящо се интегриране по части. Препоръчваме да прочетете статията „Интегриране с помощта на рекурентни формули.

Нека да обобщим. За решаване на проблеми е много важно да се знае методът на директното интегриране. Други методи (заместване, заместване, интегриране по части) също ви позволяват да опростите интеграла и да го приведете в таблична форма.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

$моб_инфо$