Équations trigonométriques de complexité accrue avec solutions. Équations trigonométriques

Leçon et présentation sur le thème : "Résoudre des équations trigonométriques simples"

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Ce que nous étudierons :
1. Que sont les équations trigonométriques ?

3. Deux méthodes principales pour résoudre des équations trigonométriques.
4. Équations trigonométriques homogènes.
5. Exemples.

Que sont les équations trigonométriques ?

Les gars, nous avons déjà étudié l'arc sinus, l'arc cosinus, l'arc tangente et l'arc cotangente. Examinons maintenant les équations trigonométriques en général.

Équations trigonométriques– une équation dans laquelle une variable est contenue sous le signe d'une fonction trigonométrique.

Répétons la forme de résolution des équations trigonométriques les plus simples :

1)Si |a|≤ 1, alors l'équation cos(x) = a a une solution :

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Si |a|≤ 1, alors équation du péché(x) = a a une solution :

3) Si |a| > 1, alors l'équation sin(x) = a et cos(x) = a n'ont pas de solutions 4) L'équation tg(x)=a a une solution : x=arctg(a)+ πk

5) L'équation ctg(x)=a a une solution : x=arcctg(a)+ πk

Pour toutes les formules, k est un entier

Les équations trigonométriques les plus simples ont la forme : T(kx+m)=a, T est une fonction trigonométrique.

Exemple.

Résolvez les équations : a) sin(3x)= √3/2

Solution:

A) Notons 3x=t, puis nous réécrirons notre équation sous la forme :

La solution de cette équation sera : t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

Du tableau des valeurs, nous obtenons : t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Revenons à notre variable : 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Alors x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Réponse : x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, où n est un entier. (-1)^n – moins un à la puissance n.

Plus d'exemples d'équations trigonométriques.

Résolvez les équations : a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

Solution:

A) Cette fois, passons directement au calcul des racines de l’équation :

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Alors x/5= πk => x=5πk

Réponse : x=5πk, où k est un entier.

B) On l'écrit sous la forme : 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. On sait que : arctan(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Réponse : x=2π/9 + πk/3, où k est un entier.

Résolvez les équations : cos(4x)= √2/2. Et retrouvez toutes les racines sur le segment.

Solution:

Nous déciderons dans vue générale notre équation : 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk ;

X = ± π/16+ πk/2 ;

Voyons maintenant quelles sont les racines de notre segment. À k À k=0, x= π/16, nous sommes dans le segment donné.
Avec k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, on frappe à nouveau.
Pour k=2, x= π/16+ π=17π/16, mais ici nous n'avons pas touché, ce qui signifie que pour k grand, nous n'atteindrons évidemment pas non plus.

Réponse : x= π/16, x= 9π/16

Deux méthodes principales de résolution.

Nous avons examiné les équations trigonométriques les plus simples, mais il en existe aussi des plus complexes. Pour les résoudre, la méthode d'introduction d'une nouvelle variable et la méthode de factorisation sont utilisées. Regardons des exemples.

Résolvons l'équation :

Solution:
Pour résoudre notre équation, nous utiliserons la méthode d'introduction d'une nouvelle variable, notant : t=tg(x).

À la suite du remplacement on obtient : t 2 + 2t -1 = 0

Trouvons les racines de l'équation quadratique : t=-1 et t=1/3

Alors tg(x)=-1 et tg(x)=1/3, on obtient l'équation trigonométrique la plus simple, trouvons ses racines.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk ; x=arctg(1/3) + πk.

Réponse : x= -π/4+πk ; x=arctg(1/3) + πk.

Un exemple de résolution d'une équation

Résoudre les équations : 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Solution:

Utilisons l'identité : sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Notre équation prendra la forme : 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

Introduisons le remplacement t=cos(x) : 2t 2 -3t - 2 = 0

La solution de notre équation quadratique est les racines : t=2 et t=-1/2

Alors cos(x)=2 et cos(x)=-1/2.

Parce que le cosinus ne peut pas prendre de valeurs supérieures à un, alors cos(x)=2 n'a pas de racine.

Pour cos(x)=-1/2 : x= ± arccos(-1/2) + 2πk ; x= ±2π/3 + 2πk

Réponse : x= ±2π/3 + 2πk

Équations trigonométriques homogènes.

Définition : Les équations de la forme a sin(x)+b cos(x) sont appelées équations trigonométriques homogènes du premier degré.

Équations de la forme

équations trigonométriques homogènes du deuxième degré.

Pour résoudre une équation trigonométrique homogène du premier degré, divisez-la par cos(x) : Vous ne pouvez pas diviser par le cosinus s'il est égal à zéro, assurons-nous que ce n'est pas le cas :
Soit cos(x)=0, alors asin(x)+0=0 => sin(x)=0, mais le sinus et le cosinus ne sont pas égaux à zéro en même temps, nous obtenons une contradiction, nous pouvons donc diviser en toute sécurité par zéro.

Résous l'équation:
Exemple : cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Solution:

Supposons le facteur commun : cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Nous devons alors résoudre deux équations :

Cos(x)=0 et cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 à x= π/2 + πk ;

Considérons l'équation cos(x)+sin(x)=0 Divisez notre équation par cos(x) :

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Réponse : x= π/2 + πk et x= -π/4+πk

Comment résoudre des équations trigonométriques homogènes du deuxième degré ?
Les gars, suivez toujours ces règles !

1. Voyez à quoi est égal le coefficient a, si a=0 alors notre équation prendra la forme cos(x)(bsin(x)+ccos(x)), dont un exemple de solution se trouve sur la diapositive précédente

2. Si a≠0, alors vous devez diviser les deux côtés de l'équation par le cosinus carré, nous obtenons :

On change la variable t=tg(x) et on obtient l'équation :

Résoudre l'exemple n° : 3

Résous l'équation:
Solution:

Divisons les deux côtés de l'équation par le carré cosinus :

On change la variable t=tg(x) : t 2 + 2 t - 3 = 0

Trouvons les racines de l'équation quadratique : t=-3 et t=1

Alors : tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Réponse : x=-arctg(3) + πk et x= π/4+ πk

Résoudre l'exemple n° : 4

Résous l'équation:

Solution:
Transformons notre expression :

Nous pouvons résoudre de telles équations : x= - π/4 + 2πk et x=5π/4 + 2πk

Réponse : x= - π/4 + 2πk et x=5π/4 + 2πk

Résoudre l'exemple n° : 5

Résous l'équation:

Solution:
Transformons notre expression :

Introduisons le remplacement tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

La solution de notre équation quadratique sera les racines : t=-2 et t=1/2

On obtient alors : tg(2x)=-2 et tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Réponse : x=-arctg(2)/2 + πk/2 et x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Problèmes pour une solution indépendante.

1) Résoudre l'équation

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 d) ctg(0,5x) = -1,7

2) Résolvez les équations : sin(3x)= √3/2. Et trouvez toutes les racines du segment [π/2; π].

3) Résolvez l'équation : lit bébé 2 (x) + 2 lit bébé (x) + 1 =0

4) Résolvez l'équation : 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Résolvez l'équation : 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Résolvez l'équation : cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Les équations trigonométriques ne sont pas un sujet facile. Ils sont trop diversifiés.) Par exemple, ceux-ci :

péché 2 x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = lit bébé(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

Etc...

Mais ces monstres trigonométriques (et tous les autres) ont deux caractéristiques communes et obligatoires. Premièrement - vous ne le croirez pas - il y a des fonctions trigonométriques dans les équations.) Deuxièmement : toutes les expressions avec x sont trouvées au sein de ces mêmes fonctions. Et seulement là ! Si X apparaît quelque part dehors, Par exemple, péché2x + 3x = 3, ce sera déjà une équation de type mixte. De telles équations nécessitent une approche individuelle. Nous ne les considérerons pas ici.

Nous ne résoudrons pas non plus les équations maléfiques dans cette leçon.) Ici, nous traiterons de les équations trigonométriques les plus simples. Pourquoi? Oui parce que la solution n'importe lequel Les équations trigonométriques se composent de deux étapes. Dans un premier temps, l’équation du mal est réduite à une simple équation grâce à diverses transformations. Dans la seconde, cette équation la plus simple est résolue. Pas d'autre chemin.

Donc, si vous rencontrez des problèmes lors de la deuxième étape, la première étape n’a pas beaucoup de sens.)

À quoi ressemblent les équations trigonométriques élémentaires ?

sinx = un

cosx = un

tgx = un

ctgx = un

Ici UN représente n'importe quel nombre. N'importe lequel.

À propos, à l'intérieur d'une fonction, il peut y avoir non pas un X pur, mais une sorte d'expression, comme :

cos(3x+π /3) = 1/2

etc. Cela complique la vie, mais n'affecte pas la méthode de résolution d'une équation trigonométrique.

Comment résoudre des équations trigonométriques ?

Les équations trigonométriques peuvent être résolues de deux manières. La première façon : utiliser la logique et le cercle trigonométrique. Nous examinerons ce chemin ici. La deuxième méthode – utiliser la mémoire et les formules – sera abordée dans la prochaine leçon.

La première méthode est claire, fiable et difficile à oublier.) Elle est idéale pour résoudre des équations trigonométriques, des inégalités et toutes sortes d'exemples délicats non standard. La logique est plus forte que la mémoire !)

Résoudre des équations à l'aide d'un cercle trigonométrique.

Nous incluons la logique élémentaire et la capacité d'utiliser le cercle trigonométrique. Tu ne sais pas comment ? Par contre... Vous aurez du mal en trigonométrie...) Mais ce n'est pas grave. Jetez un oeil aux leçons "Cercle trigonométrique...... Qu'est-ce que c'est ?" et "Mesurer les angles sur un cercle trigonométrique". Tout y est simple. Contrairement aux manuels...)

Oh, tu sais !? Et même maîtrisé « Travaux pratiques avec le cercle trigonométrique » !? Toutes nos félicitations. Ce sujet vous sera proche et compréhensible.) Ce qui est particulièrement agréable, c'est que le cercle trigonométrique ne se soucie pas de l'équation que vous résolvez. Sinus, cosinus, tangente, cotangente, tout est pareil pour lui. Il n’existe qu’un seul principe de solution.

Nous prenons donc n’importe quelle équation trigonométrique élémentaire. Au moins ça :

cosx = 0,5

Nous devons trouver X. Pour parler en langage humain, il faut trouver l'angle (x) dont le cosinus est 0,5.

Comment utilisions-nous le cercle auparavant ? Nous avons tracé un angle dessus. En degrés ou en radians. Et tout de suite scie fonctions trigonométriques de cet angle. Maintenant, faisons le contraire. Traçons un cosinus sur le cercle égal à 0,5 et immédiatement nous verrons coin. Il ne reste plus qu'à écrire la réponse.) Oui, oui !

Tracez un cercle et marquez le cosinus égal à 0,5. Sur l'axe cosinus, bien sûr. Comme ça:

Traçons maintenant l'angle que nous donne ce cosinus. Passez votre souris sur l'image (ou touchez l'image sur votre tablette), et tu verras ce coin même X.

Le cosinus de quel angle est 0,5 ?

x = π /3

parce que 60°= cos( π /3) = 0,5

Certaines personnes riront d'un air sceptique, oui... Par exemple, cela valait-il la peine de faire un cercle alors que tout est déjà clair... Vous pouvez, bien sûr, rire...) Mais le fait est que c'est une réponse erronée. Ou plutôt insuffisant. Les connaisseurs de cercles comprennent qu'il existe ici tout un tas d'autres angles qui donnent également un cosinus de 0,5.

Si vous tournez le côté mobile OA tour complet, le point A reviendra à sa position d'origine. Avec le même cosinus égal à 0,5. Ceux. l'angle va changer de 360° ou 2π radians, et cosinus - non. Le nouvel angle 60° + 360° = 420° sera également une solution à notre équation, car

Tel révolutions complètes vous pouvez en trouver un nombre infini... Et tous ces nouveaux angles seront des solutions à notre équation trigonométrique. Et ils doivent tous être écrits d’une manière ou d’une autre en réponse. Tous. Sinon, la décision ne compte pas, oui...)

Les mathématiques peuvent le faire de manière simple et élégante. Écrivez en une seule réponse courte ensemble infini les décisions. Voici à quoi cela ressemble pour notre équation :

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

Je vais le déchiffrer. Écrivez toujours de manière significative C'est plus agréable que de dessiner bêtement des lettres mystérieuses, non ?)

π /3 - c'est le même coin que nous scie sur le cercle et déterminé selon la table des cosinus.

2π est une révolution complète en radians.

n - c'est le nombre de complets, c'est-à-dire entier tr/min Il est clair que n peut être égal à 0, ±1, ±2, ±3.... et ainsi de suite. Comme l'indique une courte entrée :

n ∈Z

n fait parti ( ∈ ) ensemble d'entiers ( Z ). D'ailleurs, au lieu de la lettre n les lettres peuvent très bien être utilisées k, m, t etc.

Cette notation signifie que vous pouvez prendre n'importe quel entier n . Au moins -3, au moins 0, au moins +55. Tout ce que vous voulez. Si vous remplacez ce nombre dans la réponse, vous obtiendrez un angle spécifique, qui sera certainement la solution à notre dure équation.)

Ou, en d'autres termes, x = π /3 est la seule racine d'un ensemble infini. Pour obtenir toutes les autres racines, il suffit d’ajouter n’importe quel nombre de tours complets à π /3 ( n ) en radians. Ceux. 2πn radian.

Tous? Non. Je prolonge volontairement le plaisir. Pour mieux retenir.) Nous n’avons reçu qu’une partie des réponses à notre équation. J'écrirai cette première partie de la solution comme ceci :

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x1 - pas seulement une racine, mais toute une série de racines, écrites sous une forme abrégée.

Mais il y a aussi des angles qui donnent aussi un cosinus de 0,5 !

Revenons à notre image à partir de laquelle nous avons noté la réponse. Elle est là:

Passez votre souris sur l'image et nous voyons un autre angle qui donne également un cosinus de 0,5.À votre avis, à quoi est-ce égal ? Les triangles sont les mêmes... Oui ! Il est égal à l'angle X , seulement retardé dans le sens négatif. C'est le coin -X. Mais nous avons déjà calculé x. π /3 ou 60°. On peut donc écrire en toute sécurité :

x 2 = - π /3

Eh bien, bien sûr, nous additionnons tous les angles obtenus grâce à des tours complets :

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

C'est tout maintenant.) Sur le cercle trigonométrique nous scie(qui comprend, bien sûr)) Tous angles qui donnent un cosinus de 0,5. Et nous avons noté ces angles sous une forme mathématique courte. La réponse a abouti à deux séries infinies de racines :

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

C'est la bonne réponse.

Espoir, principe général de résolution d'équations trigonométriques utiliser un cercle est clair. Nous marquons le cosinus (sinus, tangente, cotangente) de l'équation donnée sur un cercle, dessinons les angles qui lui correspondent et notons la réponse. Bien sûr, nous devons déterminer dans quels coins nous nous trouvons scie sur le cercle. Parfois, ce n'est pas si évident. Eh bien, j'ai dit que la logique est requise ici.)

Par exemple, regardons une autre équation trigonométrique :

Veuillez noter que le nombre 0,5 n'est pas le seul nombre possible dans les équations !) C'est juste plus pratique pour moi de l'écrire que les racines et les fractions.

Nous travaillons selon le principe général. On trace un cercle, on marque (sur l'axe sinusoïdal, bien sûr !) 0,5. On dessine d'un coup tous les angles correspondant à ce sinus. On obtient cette image :

Parlons d'abord de l'angle X au premier trimestre. On rappelle la table des sinus et on détermine la valeur de cet angle. C'est simple :

x = π /6

Nous nous souvenons des révolutions complètes et, avec la conscience tranquille, nous notons la première série de réponses :

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

La moitié du travail est fait. Mais maintenant nous devons déterminer deuxième virage.... C'est plus délicat que d'utiliser les cosinus, oui... Mais la logique nous sauvera ! Comment déterminer le deuxième angle à travers x ? Oui Facile ! Les triangles sur la photo sont les mêmes et le coin rouge X égal à l'angle X . Seulement, il est compté à partir de l'angle π dans le sens négatif. C'est pourquoi il est rouge.) Et pour la réponse, nous avons besoin d'un angle, mesuré correctement, à partir du demi-axe positif OX, c'est-à-dire sous un angle de 0 degré.

Nous passons le curseur sur le dessin et voyons tout. J'ai supprimé le premier coin pour ne pas compliquer le tableau. L'angle qui nous intéresse (dessiné en vert) sera égal à :

π-x

X, nous le savons /6 . Le deuxième angle sera donc :

π - π /6 = 5π /6

Encore une fois, nous nous souvenons de l'ajout de tours complets et notons la deuxième série de réponses :

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

C'est tout. Une réponse complète se compose de deux séries de racines :

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Les équations tangentes et cotangentes peuvent être facilement résolues en utilisant le même principe général pour résoudre les équations trigonométriques. Si, bien sûr, vous savez dessiner une tangente et une cotangente sur un cercle trigonométrique.

Dans les exemples ci-dessus, j'ai utilisé la valeur du tableau du sinus et du cosinus : 0,5. Ceux. une de ces significations que l'étudiant connaît doit. Maintenant, élargissons nos capacités pour toutes les autres valeurs. Décidez, alors décidez !)

Supposons donc que nous devions résoudre cette équation trigonométrique :

Il n’existe pas de telle valeur de cosinus dans les tableaux courts. Nous ignorons froidement ce terrible fait. Tracez un cercle, marquez 2/3 sur l'axe cosinus et tracez les angles correspondants. Nous obtenons cette image.

Regardons d'abord l'angle du premier trimestre. Si seulement nous savions à quoi x est égal, nous écririons immédiatement la réponse ! On ne sait pas... Échec !? Calme! Les mathématiques ne laissent pas leurs propres ennuis ! Elle a proposé des arcs cosinus pour ce cas. Ne sait pas? En vain. Découvrez-le, c'est beaucoup plus facile que vous ne le pensez. Il n'y a pas un seul sort délicat sur les « fonctions trigonométriques inverses » sur ce lien... C'est superflu dans ce sujet.

Si vous êtes au courant, dites-vous simplement : « X est un angle dont le cosinus est égal à 2/3. » Et immédiatement, uniquement par la définition de l'arc cosinus, on peut écrire :

Nous nous souvenons des révolutions supplémentaires et notons calmement la première série de racines de notre équation trigonométrique :

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

La deuxième série de racines du deuxième angle est écrite presque automatiquement. Tout est pareil, seul X (arccos 2/3) sera avec un moins :

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Et c'est tout! C'est la bonne réponse. Encore plus simple qu'avec les valeurs du tableau. Il n'est pas nécessaire de se souvenir de quoi que ce soit.) D'ailleurs, les plus attentifs remarqueront que cette image montre la solution à travers l'arc cosinus en substance, ce n'est pas différent de l'image de l'équation cosx = 0,5.

Exactement! Principe général C'est pour ça que c'est courant ! J'ai délibérément dessiné deux images presque identiques. Le cercle nous montre l'angle X par son cosinus. Qu'il s'agisse d'un cosinus tabulaire ou non, tout le monde ne le sait pas. Quel type d'angle il s'agit, π /3, ou quel est l'arc cosinus - c'est à nous de décider.

Même chanson avec sinus. Par exemple:

Dessinez à nouveau un cercle, marquez le sinus égal à 1/3, dessinez les angles. Voici l'image que nous obtenons :

Et encore une fois, l'image est presque la même que pour l'équation sinx = 0,5. Encore une fois, nous repartons du corner au premier quart-temps. À quoi est égal X si son sinus est 1/3 ? Aucun problème!

Le premier paquet de racines est maintenant prêt :

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Parlons du deuxième angle. Dans l'exemple avec une valeur de tableau de 0,5, elle était égale à :

π-x

Ce sera exactement la même chose ici aussi ! Seul x est différent, arcsin 1/3. Et alors!? Vous pouvez écrire en toute sécurité le deuxième paquet de racines :

x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

C'est une réponse tout à fait correcte. Même si cela ne semble pas très familier. Mais c'est clair, j'espère.)

C'est ainsi que les équations trigonométriques sont résolues à l'aide d'un cercle. Ce chemin est clair et compréhensible. C'est lui qui économise dans les équations trigonométriques avec sélection de racines sur un intervalle donné, dans les inégalités trigonométriques - elles sont généralement résolues presque toujours en cercle. Bref, dans toutes les tâches un peu plus difficiles que les tâches standards.

Appliquons les connaissances dans la pratique ?)

Résoudre des équations trigonométriques :

Tout d’abord, plus simple, directement issu de cette leçon.

Maintenant, c'est plus compliqué.

Indice : ici il faudra penser au cercle. Personnellement.)

Et maintenant, ils sont extérieurement simples... On les appelle aussi cas particuliers.

péché = 0

péché = 1

cosx = 0

cosx = -1

Astuce : ici, vous devez déterminer dans un cercle où se trouvent deux séries de réponses et où il y en a une... Et comment écrire une au lieu de deux séries de réponses. Oui, pour qu'aucune racine d'un nombre infini ne soit perdue !)

Eh bien, très simple) :

péché = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Indice : ici, vous devez savoir ce que sont l'arc sinus et l'arc cosinus ? Qu'est-ce que l'arctangente, l'arccotangente ? Les définitions les plus simples. Mais vous n’avez pas besoin de mémoriser les valeurs du tableau !)

Les réponses sont, bien sûr, en désordre) :

x1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x2= π - arcsin0,3 + 2

Tout ne fonctionne pas ? Arrive. Relisez la leçon. Seulement pensivement(il y a un mot tellement dépassé...) Et suivez les liens. Les principaux liens concernent le cercle. Sans cela, la trigonométrie revient à traverser la route les yeux bandés. Parfois, ça marche.)

Si vous aimez ce site...

Au fait, j'ai quelques autres sites intéressants pour vous.)

Vous pouvez vous entraîner à résoudre des exemples et découvrir votre niveau. Test avec vérification instantanée. Apprenons - avec intérêt !)

Vous pouvez vous familiariser avec les fonctions et les dérivées.

Nécessite la connaissance des formules de base de la trigonométrie - la somme des carrés du sinus et du cosinus, l'expression de la tangente par le sinus et le cosinus, et autres. Pour ceux qui les ont oubliés ou ne les connaissent pas, nous recommandons de lire l'article "".
Nous connaissons donc les formules trigonométriques de base, il est temps de les utiliser dans la pratique. Résoudre des équations trigonométriques avec la bonne approche - tout à fait activité passionnante, comme, par exemple, résoudre un Rubik's cube.

D'après le nom lui-même, il est clair qu'une équation trigonométrique est une équation dans laquelle l'inconnue est sous le signe de la fonction trigonométrique.
Il existe des équations trigonométriques dites les plus simples. Voici à quoi ils ressemblent : sinx = a, cos x = a, tan x = a. Considérons comment résoudre de telles équations trigonométriques, pour plus de clarté, nous utiliserons le cercle trigonométrique déjà familier.

sinx = un

cos x = une

bronzage x = une

lit bébé x = un

Toute équation trigonométrique est résolue en deux étapes : on réduit l’équation à sa forme la plus simple puis on la résout comme une équation trigonométrique simple.
Il existe 7 méthodes principales par lesquelles les équations trigonométriques sont résolues.

Substitution de variables et méthode de substitution

Résolvez l’équation 2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0

En utilisant les formules de réduction, nous obtenons :

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

Remplacez cos(x + /6) par y pour simplifier et obtenir l'équation quadratique habituelle :

2 ans 2 – 3 ans + 1 + 0

Dont les racines sont y 1 = 1, y 2 = 1/2

Maintenant, allons-y dans l'ordre inverse

Nous substituons les valeurs trouvées de y et obtenons deux options de réponse :

Résoudre des équations trigonométriques par factorisation

Comment résoudre l’équation sin x + cos x = 1 ?

Déplaçons tout vers la gauche pour que 0 reste à droite :

péché x + cos x – 1 = 0

Utilisons les identités discutées ci-dessus pour simplifier l'équation :

péché x - 2 péché 2 (x/2) = 0

Factorisons :

2 péché(x/2) * cos(x/2) - 2 péché 2 (x/2) = 0

2 péché (x/2) * = 0

On obtient deux équations

Réduction à une équation homogène

Une équation est homogène par rapport au sinus et au cosinus si tous ses termes sont relatifs au sinus et au cosinus de même degré et de même angle. Pour résoudre une équation homogène, procédez comme suit :

a) transférer tous ses membres vers le côté gauche ;

b) retirer tous les facteurs communs des parenthèses ;

c) égaliser tous les facteurs et parenthèses à 0 ;

d) une équation homogène d'un degré inférieur est obtenue entre parenthèses, qui à son tour est divisée en un sinus ou un cosinus d'un degré supérieur ;

e) résoudre l’équation résultante pour tg.

Résoudre l'équation 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

Utilisons la formule sin 2 x + cos 2 x = 1 et débarrassons-nous des deux ouverts à droite :

3 péché 2 x + 4 péché x cos x + 5 cos x = 2 péché 2 x + 2 cos 2 x

péché 2 x + 4 péché x cos x + 3 cos 2 x = 0

Diviser par cos x :

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Remplacez tan x par y et obtenez une équation quadratique :

y 2 + 4y +3 = 0, dont les racines sont y 1 =1, y 2 = 3

De là, nous trouvons deux solutions à l’équation originale :

x 2 = arctan 3 + k

Résoudre des équations par la transition vers un demi-angle

Résolvez l’équation 3sin x – 5cos x = 7

Passons à x/2 :

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Déplaçons tout vers la gauche :

2 péché 2 (x/2) – 6 péché (x/2) * cos (x/2) + 12 cos 2 (x/2) = 0

Diviser par cos(x/2) :

tg2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

Introduction de l'angle auxiliaire

Pour considération, prenons une équation de la forme : a sin x + b cos x = c,

où a, b, c sont des coefficients arbitraires et x est une inconnue.

Divisons les deux côtés de l'équation par :

Or les coefficients de l'équation, selon les formules trigonométriques, ont les propriétés sin et cos, à savoir : leur module n'est pas supérieur à 1 et la somme des carrés = 1. Notons-les respectivement cos et sin, où - c'est l'angle dit auxiliaire. L’équation prendra alors la forme :

cos * péché x + péché * cos x = C

ou sin(x + ) = C

La solution de cette équation trigonométrique la plus simple est

x = (-1) k * arcsin C - + k, où

Il convient de noter que les notations cos et sin sont interchangeables.

Résoudre l'équation sin 3x – cos 3x = 1

Les coefficients de cette équation sont :

a = , b = -1, donc divisez les deux côtés par = 2

Concept de résolution d'équations trigonométriques.

Pour résoudre une équation trigonométrique, convertissez-la en une ou plusieurs équations trigonométriques de base. Résoudre une équation trigonométrique revient en fin de compte à résoudre les quatre équations trigonométriques de base.

Résoudre des équations trigonométriques de base.

Il existe 4 types d'équations trigonométriques de base :
péché x = a; cos x = une
bronzage x = une; ctg x = a
La résolution d'équations trigonométriques de base implique d'examiner différentes positions x sur le cercle unité, ainsi que d'utiliser une table de conversion (ou une calculatrice).
Exemple 1. péché x = 0,866. À l’aide d’une table de conversion (ou d’une calculatrice), vous obtiendrez la réponse : x = π/3. Le cercle unité donne une autre réponse : 2π/3. N'oubliez pas : toutes les fonctions trigonométriques sont périodiques, ce qui signifie que leurs valeurs se répètent. Par exemple, la périodicité de sin x et cos x est 2πn, et la périodicité de tg x et ctg x est πn. La réponse s’écrit donc comme suit :
x1 = π/3 + 2πn ; x2 = 2π/3 + 2πn.
Exemple 2. cos x = -1/2. À l’aide d’une table de conversion (ou d’une calculatrice), vous obtiendrez la réponse : x = 2π/3. Le cercle unité donne une autre réponse : -2π/3.
x1 = 2π/3 + 2π ; x2 = -2π/3 + 2π.
Exemple 3. tg (x - π/4) = 0.
Réponse : x = π/4 + πn.
Exemple 4. ctg 2x = 1,732.
Réponse : x = π/12 + πn.

Transformations utilisées dans la résolution d'équations trigonométriques.

Pour transformer des équations trigonométriques, des transformations algébriques (factorisation, réduction de termes homogènes, etc.) et des identités trigonométriques sont utilisées.
Exemple 5 : En utilisant des identités trigonométriques, l'équation sin x + sin 2x + sin 3x = 0 est convertie en l'équation 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. Ainsi, les équations trigonométriques de base suivantes doivent être résolus : cos x = 0 ; péché(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.
Trouver des angles par valeurs connues les fonctions.
- Avant d'apprendre à résoudre des équations trigonométriques, vous devez apprendre à trouver des angles à l'aide de valeurs de fonctions connues. Cela peut être fait à l'aide d'une table de conversion ou d'une calculatrice.
- Exemple : cos x = 0,732. La calculatrice donnera la réponse x = 42,95 degrés. Le cercle unité donnera des angles supplémentaires dont le cosinus est également de 0,732.
Mettez de côté la solution sur le cercle unité.
- Vous pouvez tracer les solutions d'une équation trigonométrique sur le cercle unité. Les solutions d'une équation trigonométrique sur le cercle unité sont les sommets d'un polygone régulier.
- Exemple : Les solutions x = π/3 + πn/2 sur le cercle unité représentent les sommets du carré.
- Exemple : Les solutions x = π/4 + πn/3 sur le cercle unité représentent les sommets d'un hexagone régulier.
Méthodes de résolution d'équations trigonométriques.
- Si une équation trigonométrique donnée ne contient qu'une seule fonction trigonométrique, résolvez cette équation comme une équation trigonométrique de base. Si une équation donnée comprend deux ou plusieurs fonctions trigonométriques, alors il existe 2 méthodes pour résoudre une telle équation (en fonction de la possibilité de sa transformation).
  - Méthode 1.
- Transformez cette équation en une équation de la forme : f(x)*g(x)*h(x) = 0, où f(x), g(x), h(x) sont les équations trigonométriques de base.
- Exemple 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
- Solution. En utilisant la formule du double angle sin 2x = 2*sin x*cos x, remplacez sin 2x.
- 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Résolvez maintenant les deux équations trigonométriques de base : cos x = 0 et (sin x + 1) = 0.
- Exemple 7. cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
- Solution : À l'aide d'identités trigonométriques, transformez cette équation en une équation de la forme : cos 2x(2cos x + 1) = 0. Résolvez maintenant les deux équations trigonométriques de base : cos 2x = 0 et (2cos x + 1) = 0.
- Exemple 8. sin x - sin 3x = cos 2x. (0< x < 2π)
- Solution : À l'aide d'identités trigonométriques, transformez cette équation en une équation de la forme : -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Résolvez maintenant les deux équations trigonométriques de base : cos 2x = 0 et (2sin x + 1) = 0 .
  - Méthode 2.
- Convertissez l'équation trigonométrique donnée en une équation contenant une seule fonction trigonométrique. Remplacez ensuite cette fonction trigonométrique par une fonction inconnue, par exemple t (sin x = t ; cos x = t ; cos 2x = t, tan x = t ; tg (x/2) = t, etc.).
- Exemple 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
- Solution. Dans cette équation, remplacez (cos^2 x) par (1 - sin^2 x) (selon l'identité). L'équation transformée est :
- 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Remplacez sin x par t. L'équation ressemble maintenant à : 5t^2 - 4t - 9 = 0. Il s'agit d'une équation quadratique qui a deux racines : t1 = -1 et t2 = 9/5. La deuxième racine t2 ne satisfait pas l'intervalle de fonction (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
- Exemple 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
- Solution. Remplacez tgx par t. Réécrivez l'équation d'origine comme suit : (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Trouvez maintenant t, puis trouvez x pour t = tan x.

Résoudre des équations trigonométriques simples.

Résoudre des équations trigonométriques de tout niveau de complexité revient en fin de compte à résoudre les équations trigonométriques les plus simples. Et dans ce meilleure aide encore une fois, il s'agit d'un cercle trigonométrique.

Rappelons les définitions du cosinus et du sinus.

Le cosinus d'un angle est l'abscisse (c'est-à-dire la coordonnée le long de l'axe) d'un point du cercle unité correspondant à une rotation d'un angle donné.

Le sinus d'un angle est l'ordonnée (c'est-à-dire la coordonnée le long de l'axe) d'un point du cercle unité correspondant à une rotation d'un angle donné.

Le sens positif du mouvement sur le cercle trigonométrique est dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. Une rotation de 0 degré (ou 0 radian) correspond à un point de coordonnées (1;0)

Nous utilisons ces définitions pour résoudre des équations trigonométriques simples.

1. Résolvez l'équation

Cette équation est satisfaite par toutes les valeurs de l'angle de rotation qui correspondent aux points du cercle dont l'ordonnée est égale à .

Marquons un point d'ordonnée sur l'axe des ordonnées :

Tracez une ligne horizontale parallèle à l'axe des x jusqu'à ce qu'elle croise le cercle. On obtient deux points situés sur le cercle et ayant une ordonnée. Ces points correspondent aux angles de rotation en et en radians :

Si l'on part du point correspondant à l'angle de rotation par radian, on fait un cercle complet, alors on arrivera à un point correspondant à l'angle de rotation par radian et ayant la même ordonnée. Autrement dit, cet angle de rotation satisfait également notre équation. Nous pouvons faire autant de révolutions « à vide » que nous le souhaitons, en revenant au même point, et toutes ces valeurs d'angle satisferont notre équation. Le nombre de tours « au ralenti » sera désigné par la lettre (ou). Puisque nous pouvons effectuer ces révolutions dans les sens positif et négatif, (ou) peut prendre n’importe quelle valeur entière.

Autrement dit, la première série de solutions à l’équation originale a la forme :

, , - ensemble d'entiers (1)

De même, la deuxième série de solutions a la forme :

, Où , . (2)

Comme vous l'avez peut-être deviné, cette série de solutions est basée sur le point du cercle correspondant à l'angle de rotation de .

Ces deux séries de solutions peuvent être combinées en une seule entrée :

Si nous prenons (c'est-à-dire pair) cette entrée, nous obtiendrons alors la première série de solutions.

Si nous prenons (c'est-à-dire impair) cette entrée, alors nous obtenons la deuxième série de solutions.

2. Résolvons maintenant l'équation

Puisqu'il s'agit de l'abscisse d'un point sur le cercle unité obtenu en tournant d'un angle, on marque le point avec l'abscisse sur l'axe :

Tracez une ligne verticale parallèle à l'axe jusqu'à ce qu'elle croise le cercle. Nous obtiendrons deux points situés sur un cercle et ayant une abscisse. Ces points correspondent aux angles de rotation en et en radians. Rappelons qu'en nous déplaçant dans le sens des aiguilles d'une montre, nous obtenons un angle de rotation négatif :

Écrivons deux séries de solutions :

(On arrive au point souhaité en partant du cercle complet principal, bien sûr.

Combinons ces deux séries en une seule entrée :

3. Résolvez l'équation

La tangente passe par le point de coordonnées (1,0) du cercle unité parallèle à l'axe OY

Marquons dessus un point avec une ordonnée égale à 1 (on recherche la tangente dont les angles sont égaux à 1) :

Relions ce point à l'origine des coordonnées par une ligne droite et marquons les points d'intersection de la ligne avec le cercle unité. Les points d'intersection de la droite et du cercle correspondent aux angles de rotation sur et :

Puisque les points correspondant aux angles de rotation qui satisfont notre équation se trouvent à une distance de radians les uns des autres, nous pouvons écrire la solution de cette façon :

4. Résolvez l'équation

La ligne des cotangentes passe par le point dont les coordonnées du cercle unité sont parallèles à l'axe.

Marquons un point d'abscisse -1 sur la ligne des cotangentes :

Relions ce point à l'origine de la ligne droite et continuons-le jusqu'à ce qu'il coupe le cercle. Cette droite coupera le cercle en des points correspondant aux angles de rotation en et en radians :

Puisque ces points sont séparés les uns des autres par une distance égale à , alors décision commune On peut écrire cette équation comme ceci :

Dans les exemples donnés illustrant la solution des équations trigonométriques les plus simples, des valeurs tabulaires de fonctions trigonométriques ont été utilisées.

Cependant, si le côté droit de l’équation contient une valeur non tabulaire, alors nous substituons la valeur dans la solution générale de l’équation :