Équations trigonométriques de base. Résoudre des équations trigonométriques

Les équations trigonométriques les plus simples sont généralement résolues à l'aide de formules. Permettez-moi de vous rappeler que les équations trigonométriques les plus simples sont :

sinx = un

cosx = un

tgx = un

ctgx = un

x est l'angle à trouver,
a est n’importe quel nombre.

Et voici les formules avec lesquelles vous pouvez immédiatement écrire les solutions de ces équations les plus simples.

Pour le sinus :


Pour le cosinus :

x = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z


Pour la tangente :

x = arctan a + π n, n ∈ Z


Pour la cotangente :

x = arcctg a + π n, n ∈ Z

En fait, c'est ça partie théorique solutions les plus simples équations trigonométriques. D'ailleurs, tout !) Rien du tout. Cependant, le nombre d’erreurs sur ce sujet est tout simplement hors du commun. Surtout si l'exemple s'écarte légèrement du modèle. Pourquoi?

Oui, parce que beaucoup de gens écrivent ces lettres, sans en comprendre du tout le sens ! Il écrit avec prudence, de peur que quelque chose n'arrive...) Il faut régler ce problème. Trigonométrie pour les gens, ou gens pour la trigonométrie, après tout !?)

Voyons ça ?

Un angle sera égal à arccos un, deuxième: -arccos a.

Et cela fonctionnera toujours ainsi. Pour toute UN.

Si vous ne me croyez pas, passez votre souris sur l'image ou touchez l'image sur votre tablette.) J'ai changé le numéro UN à quelque chose de négatif. Quoi qu'il en soit, nous avons un coin arccos un, deuxième: -arccos a.

Par conséquent, la réponse peut toujours s’écrire sous la forme de deux séries de racines :

x 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z

Combinons ces deux séries en une seule :

x= ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

Et c'est tout. Nous avons obtenu une formule générale pour résoudre l'équation trigonométrique la plus simple avec cosinus.

Si vous comprenez qu'il ne s'agit pas d'une sorte de sagesse superscientifique, mais juste une version abrégée de deux séries de réponses, Vous serez également capable de gérer les tâches « C ». Avec des inégalités, avec une sélection de racines dans un intervalle donné... Là, la réponse avec un plus/moins ne fonctionne pas. Mais si vous traitez la réponse de manière pragmatique et la divisez en deux réponses distinctes, tout sera résolu.) En fait, c’est pourquoi nous l’examinons. Quoi, comment et où.

Dans l'équation trigonométrique la plus simple

sinx = un

on obtient également deux séries de racines. Toujours. Et ces deux séries peuvent aussi être enregistrées en une seule ligne. Seule cette ligne sera plus délicate :

x = (-1) n arcsin a + π n, n ∈ Z

Mais l’essence reste la même. Les mathématiciens ont simplement conçu une formule pour créer une entrée au lieu de deux pour une série de racines. C'est tout!

Vérifions les mathématiciens ? Et on ne sait jamais...)

Dans la leçon précédente, la solution (sans aucune formule) d'une équation trigonométrique avec sinus a été discutée en détail :

La réponse a abouti à deux séries de racines :

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Si nous résolvons la même équation en utilisant la formule, nous obtenons la réponse :

x = (-1) n arcsin 0,5 + π n, n ∈ Z

En fait, c'est une réponse inachevée.) L'étudiant doit savoir que arcsin 0,5 = π /6. La réponse complète serait :

x = (-1)n π /6+ π n, n ∈ Z

Ici, il se pose intérêt Demander. Répondre via x1 ; x2 (c'est la bonne réponse !) et par la solitude X (et c'est la bonne réponse !) - est-ce la même chose ou pas ? Nous le découvrirons maintenant.)

Nous remplaçons la réponse par x1 valeurs n =0; 1; 2 ; etc., on compte, on obtient une série de racines :

x 1 = π/6 ; 13π/6 ; 25π/6 et ainsi de suite.

Avec la même substitution en réponse avec x2 , on a:

x2 = 5π/6 ; 17π/6 ; 29π/6 et ainsi de suite.

Maintenant, remplaçons les valeurs n (0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4...) dans la formule générale pour un seul X . C'est-à-dire que nous élevons moins un à la puissance zéro, puis à la première, à la seconde, etc. Eh bien, bien sûr, nous remplaçons 0 dans le deuxième terme ; 1; 2 3 ; 4, etc Et nous comptons. On obtient la série :

X = π/6 ; 5π/6 ; 13π/6 ; 17π/6 ; 25π/6 et ainsi de suite.

C'est tout ce que vous pouvez voir.) La formule générale nous donne exactement les mêmes résultats tout comme les deux réponses séparément. Juste tout à la fois, dans l'ordre. Les mathématiciens n'étaient pas dupes.)

Les formules de résolution d'équations trigonométriques avec tangente et cotangente peuvent également être vérifiées. Mais nous ne le ferons pas.) Ils sont déjà simples.

J'ai écrit spécifiquement toutes ces substitutions et vérifications. Ici, il est important de comprendre une chose simple : il existe des formules pour résoudre des équations trigonométriques élémentaires, juste un bref résumé des réponses. Pour cette brièveté, nous avons dû insérer plus/moins dans la solution cosinus et (-1) n dans la solution sinus.

Ces inserts ne gênent en rien les tâches où il suffit d'écrire la réponse à une équation élémentaire. Mais si vous avez besoin de résoudre une inégalité, ou si vous devez faire quelque chose avec la réponse : sélectionner des racines sur un intervalle, vérifier l'ODZ, etc., ces insertions peuvent facilement déstabiliser une personne.

Donc qu'est ce que je devrais faire? Oui, soit écrivez la réponse en deux séries, soit résolvez l'équation/inégalité à l'aide du cercle trigonométrique. Ensuite ces insertions disparaissent et la vie devient plus facile.)

Nous pouvons résumer.

Pour résoudre les équations trigonométriques les plus simples, il existe des formules de réponse toutes faites. Quatre pièces. Ils sont parfaits pour écrire instantanément la solution d’une équation. Par exemple, vous devez résoudre les équations :


sinx = 0,3

Facilement: x = (-1) n arcsin 0,3 + π n, n ∈ Z


cosx = 0,2

Aucun problème: x = ± arccos 0,2 + 2π n, n ∈ Z


tgx = 1,2

Facilement: x = arctan 1,2 + π n, n ∈ Z


ctgx = 3,7

Un dernier: x= arcctg3,7 + π n, n ∈ Z

cosx = 1,8

Si vous, brillant de connaissances, écrivez instantanément la réponse :

x= ± arccos 1,8 + 2π n, n ∈ Z

alors tu brilles déjà, c'est... ça... d'une flaque d'eau.) Bonne réponse : il n'y a pas de solutions. Vous ne comprenez pas pourquoi ? Lisez ce qu'est l'arc cosinus. De plus, si sur le côté droit de l'équation d'origine se trouvent les valeurs tabulaires du sinus, du cosinus, de la tangente, de la cotangente, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 et ainsi de suite. - la réponse à travers les arches sera inachevée. Les arches doivent être converties en radians.

Et si vous rencontrez des inégalités, comme

alors la réponse est :

x πn, n ∈ Z

il y a de rares absurdités, oui...) Ici, vous devez résoudre en utilisant le cercle trigonométrique. Ce que nous ferons dans le sujet correspondant.

Pour ceux qui lisent héroïquement ces lignes. Je ne peux tout simplement pas m’empêcher d’apprécier vos efforts titanesques. Bonus pour vous.)

Prime:

Lorsqu'ils écrivent des formules dans une situation de combat alarmante, même les nerds chevronnés ne savent souvent pas où πn, Et où 2πn. Voici une astuce simple pour vous. Dans tout le monde des formules qui valent πn. Sauf pour la seule formule avec arc cosinus. Il est là 2πn. Deux panne. Mot-clé - deux. Dans cette même formule il y a deux signe au début. Plus et moins. Ici et là - deux.

Alors si tu écrivais deux signe avant l'arc cosinus, c'est plus facile de se rappeler ce qui va se passer à la fin deux panne. Et cela se produit aussi dans l'autre sens. La personne manquera le signe ± , arrive à la fin, écrit correctement deux Pien, et il reprendra ses esprits. Il y a quelque chose à venir deux signe! La personne reviendra au début et corrigera l’erreur ! Comme ça.)

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Vous pouvez vous entraîner à résoudre des exemples et découvrir votre niveau. Test avec vérification instantanée. Apprenons - avec intérêt !)

Vous pouvez vous familiariser avec les fonctions et les dérivées.

Résoudre des équations trigonométriques simples.

Résoudre des équations trigonométriques de tout niveau de complexité revient en fin de compte à résoudre les équations trigonométriques les plus simples. Et dans ce meilleure aide encore une fois, il s'agit d'un cercle trigonométrique.

Rappelons les définitions du cosinus et du sinus.

Le cosinus d'un angle est l'abscisse (c'est-à-dire la coordonnée le long de l'axe) d'un point du cercle unité correspondant à une rotation d'un angle donné.

Le sinus d'un angle est l'ordonnée (c'est-à-dire la coordonnée le long de l'axe) d'un point du cercle unité correspondant à une rotation d'un angle donné.

Le sens positif du mouvement sur le cercle trigonométrique est dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. Une rotation de 0 degré (ou 0 radian) correspond à un point de coordonnées (1;0)

Nous utilisons ces définitions pour résoudre des équations trigonométriques simples.

1. Résolvez l'équation

Cette équation est satisfaite par toutes les valeurs de l'angle de rotation qui correspondent aux points du cercle dont l'ordonnée est égale à .

Marquons un point d'ordonnée sur l'axe des ordonnées :


Tracez une ligne horizontale parallèle à l'axe des x jusqu'à ce qu'elle croise le cercle. On obtient deux points situés sur le cercle et ayant une ordonnée. Ces points correspondent aux angles de rotation en et en radians :


Si l'on part du point correspondant à l'angle de rotation par radian, on fait un cercle complet, alors on arrivera à un point correspondant à l'angle de rotation par radian et ayant la même ordonnée. Autrement dit, cet angle de rotation satisfait également notre équation. Nous pouvons faire autant de révolutions « à vide » que nous le souhaitons, en revenant au même point, et toutes ces valeurs d'angle satisferont notre équation. Le nombre de tours « au ralenti » sera désigné par la lettre (ou). Puisque nous pouvons effectuer ces révolutions dans les sens positif et négatif, (ou) peut prendre n’importe quelle valeur entière.

Autrement dit, la première série de solutions à l’équation originale a la forme :

, , - ensemble d'entiers (1)

De même, la deuxième série de solutions a la forme :

, Où , . (2)

Comme vous l'avez peut-être deviné, cette série de solutions est basée sur le point du cercle correspondant à l'angle de rotation de .

Ces deux séries de solutions peuvent être combinées en une seule entrée :

Si nous prenons (c'est-à-dire pair) cette entrée, nous obtiendrons alors la première série de solutions.

Si nous prenons (c'est-à-dire impair) cette entrée, alors nous obtenons la deuxième série de solutions.

2. Résolvons maintenant l'équation

Puisqu'il s'agit de l'abscisse d'un point sur le cercle unité obtenu en tournant d'un angle, on marque le point en abscisse sur l'axe :


Tracez une ligne verticale parallèle à l'axe jusqu'à ce qu'elle croise le cercle. Nous obtiendrons deux points situés sur un cercle et ayant une abscisse. Ces points correspondent aux angles de rotation en et en radians. Rappelons qu'en nous déplaçant dans le sens des aiguilles d'une montre, nous obtenons un angle de rotation négatif :


Écrivons deux séries de solutions :

,

,

(On arrive au point souhaité en partant du cercle complet principal, bien sûr.

Combinons ces deux séries en une seule entrée :

3. Résolvez l'équation

La tangente passe par le point de coordonnées (1,0) du cercle unité parallèle à l'axe OY

Marquons dessus un point avec une ordonnée égale à 1 (on recherche la tangente dont les angles sont égaux à 1) :


Relions ce point à l'origine des coordonnées par une ligne droite et marquons les points d'intersection de la ligne avec le cercle unité. Les points d'intersection de la droite et du cercle correspondent aux angles de rotation sur et :


Puisque les points correspondant aux angles de rotation qui satisfont notre équation se trouvent à une distance de radians les uns des autres, nous pouvons écrire la solution de cette façon :

4. Résolvez l'équation

La ligne des cotangentes passe par le point dont les coordonnées du cercle unité sont parallèles à l'axe.

Marquons un point d'abscisse -1 sur la ligne des cotangentes :


Relions ce point à l'origine de la ligne droite et continuons-le jusqu'à ce qu'il coupe le cercle. Cette droite coupera le cercle en des points correspondant aux angles de rotation en et en radians :


Puisque ces points sont séparés les uns des autres par une distance égale à , alors décision commune On peut écrire cette équation comme ceci :

Dans les exemples donnés illustrant la solution des équations trigonométriques les plus simples, des valeurs tabulaires de fonctions trigonométriques ont été utilisées.

Cependant, si le côté droit de l’équation contient une valeur non tabulaire, alors nous substituons la valeur dans la solution générale de l’équation :





SOLUTIONS SPÉCIALES :

Marquons les points sur le cercle dont l'ordonnée est 0 :


Marquons un seul point sur le cercle dont l'ordonnée est 1 :


Marquons un seul point sur le cercle dont l'ordonnée est égale à -1 :


Puisqu'il est d'usage d'indiquer les valeurs les plus proches de zéro, on écrit la solution comme suit :

Marquons les points sur le cercle dont l'abscisse est égale à 0 :


5.
Marquons un seul point sur le cercle dont l'abscisse est égale à 1 :


Marquons un seul point sur le cercle dont l'abscisse est égale à -1 :


Et des exemples un peu plus complexes :

1.

Le sinus est égal à un si l'argument est égal à

L'argument de notre sinus est égal, nous obtenons donc :

Divisons les deux côtés de l'égalité par 3 :

Répondre:

2.

Le cosinus est nul si l'argument du cosinus est

L'argument de notre cosinus est égal à , on obtient donc :

Exprimons , pour ce faire on se déplace d'abord vers la droite avec le signe opposé :

Simplifions le côté droit :

Divisez les deux côtés par -2 :

Notez que le signe devant le terme ne change pas, puisque k peut prendre n'importe quelle valeur entière.

Répondre:

Et enfin, regardez la leçon vidéo « Sélection de racines dans une équation trigonométrique à l'aide d'un cercle trigonométrique »

Ceci conclut notre conversation sur la résolution d’équations trigonométriques simples. La prochaine fois, nous parlerons de la façon de décider.

Les équations trigonométriques ne sont pas un sujet facile. Ils sont trop diversifiés.) Par exemple, ceux-ci :

péché 2 x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = lit bébé(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

Etc...

Mais ces monstres trigonométriques (et tous les autres) ont deux caractéristiques communes et obligatoires. Premièrement - vous ne le croirez pas - il y a des fonctions trigonométriques dans les équations.) Deuxièmement : toutes les expressions avec x sont trouvées au sein de ces mêmes fonctions. Et seulement là ! Si X apparaît quelque part dehors, Par exemple, péché2x + 3x = 3, ce sera déjà une équation de type mixte. De telles équations nécessitent une approche individuelle. Nous ne les considérerons pas ici.

Nous ne résoudrons pas non plus les équations maléfiques dans cette leçon.) Ici, nous traiterons de les équations trigonométriques les plus simples. Pourquoi? Oui parce que la solution n'importe lequel Les équations trigonométriques se composent de deux étapes. Dans un premier temps, l’équation du mal est réduite à une simple équation grâce à diverses transformations. Dans la seconde, cette équation la plus simple est résolue. Pas d'autre chemin.

Donc, si vous rencontrez des problèmes lors de la deuxième étape, la première étape n’a pas beaucoup de sens.)

À quoi ressemblent les équations trigonométriques élémentaires ?

sinx = un

cosx = un

tgx = un

ctgx = un

Ici UN représente n'importe quel nombre. N'importe lequel.

À propos, à l'intérieur d'une fonction, il peut y avoir non pas un X pur, mais une sorte d'expression, comme :

cos(3x+π /3) = 1/2

etc. Cela complique la vie, mais n'affecte pas la méthode de résolution d'une équation trigonométrique.

Comment résoudre des équations trigonométriques ?

Les équations trigonométriques peuvent être résolues de deux manières. La première façon : utiliser la logique et le cercle trigonométrique. Nous examinerons ce chemin ici. La deuxième méthode – utiliser la mémoire et les formules – sera abordée dans la prochaine leçon.

La première méthode est claire, fiable et difficile à oublier.) Elle est idéale pour résoudre des équations trigonométriques, des inégalités et toutes sortes d'exemples délicats non standard. La logique est plus forte que la mémoire !)

Résoudre des équations à l'aide d'un cercle trigonométrique.

Nous incluons la logique élémentaire et la capacité d'utiliser le cercle trigonométrique. Tu ne sais pas comment ? Par contre... Vous aurez du mal en trigonométrie...) Mais ce n'est pas grave. Jetez un oeil aux leçons "Cercle trigonométrique...... Qu'est-ce que c'est ?" et "Mesurer les angles sur un cercle trigonométrique". Tout y est simple. Contrairement aux manuels...)

Oh, tu sais !? Et même maîtrisé « Travaux pratiques avec le cercle trigonométrique » !? Toutes nos félicitations. Ce sujet vous sera proche et compréhensible.) Ce qui est particulièrement agréable, c'est que le cercle trigonométrique ne se soucie pas de l'équation que vous résolvez. Sinus, cosinus, tangente, cotangente, tout est pareil pour lui. Il n’existe qu’un seul principe de solution.

Nous prenons donc n’importe quelle équation trigonométrique élémentaire. Au moins ça :

cosx = 0,5

Nous devons trouver X. Pour parler en langage humain, il faut trouver l'angle (x) dont le cosinus est 0,5.

Comment utilisions-nous le cercle auparavant ? Nous avons tracé un angle dessus. En degrés ou en radians. Et tout de suite scie fonctions trigonométriques de cet angle. Maintenant, faisons le contraire. Traçons un cosinus sur le cercle égal à 0,5 et immédiatement nous verrons coin. Il ne reste plus qu'à écrire la réponse.) Oui, oui !

Tracez un cercle et marquez le cosinus égal à 0,5. Sur l'axe cosinus, bien sûr. Comme ça:

Traçons maintenant l'angle que nous donne ce cosinus. Passez votre souris sur l'image (ou touchez l'image sur votre tablette), et tu verras ce coin même X.

Le cosinus de quel angle est 0,5 ?

x = π /3

parce que 60°= cos( π /3) = 0,5

Certaines personnes riront d'un air sceptique, oui... Par exemple, cela valait-il la peine de faire un cercle alors que tout est déjà clair... Vous pouvez, bien sûr, rire...) Mais le fait est que c'est une réponse erronée. Ou plutôt insuffisant. Les connaisseurs de cercles comprennent qu'il existe ici tout un tas d'autres angles qui donnent également un cosinus de 0,5.

Si vous tournez le côté mobile OA tour complet, le point A reviendra à sa position initiale. Avec le même cosinus égal à 0,5. Ceux. l'angle va changer de 360° ou 2π radians, et cosinus - non. Le nouvel angle 60° + 360° = 420° sera également une solution à notre équation, car

Tel révolutions complètes vous pouvez en trouver un nombre infini... Et tous ces nouveaux angles seront des solutions à notre équation trigonométrique. Et ils doivent tous être écrits d’une manière ou d’une autre en réponse. Tous. Sinon, la décision ne compte pas, oui...)

Les mathématiques peuvent le faire de manière simple et élégante. Écrivez en une seule réponse courte ensemble infini les décisions. Voici à quoi cela ressemble pour notre équation :

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

Je vais le déchiffrer. Écrivez toujours de manière significative C'est plus agréable que de dessiner bêtement des lettres mystérieuses, non ?)

π /3 - c'est le même coin que nous scie sur le cercle et déterminé selon la table des cosinus.

2π est une révolution complète en radians.

n - c'est le nombre de complets, c'est-à-dire entier tr/min Il est clair que n peut être égal à 0, ±1, ±2, ±3.... et ainsi de suite. Comme l'indique la courte entrée :

n ∈Z

n fait parti ( ∈ ) ensemble d'entiers ( Z ). D'ailleurs, au lieu de la lettre n les lettres peuvent très bien être utilisées k, m, t etc.

Cette notation signifie que vous pouvez prendre n'importe quel entier n . Au moins -3, au moins 0, au moins +55. Tout ce que vous voulez. Si vous remplacez ce nombre dans la réponse, vous obtiendrez un angle spécifique, qui sera certainement la solution à notre dure équation.)

Ou, en d'autres termes, x = π /3 est la seule racine d'un ensemble infini. Pour obtenir toutes les autres racines, il suffit d’ajouter n’importe quel nombre de tours complets à π /3 ( n ) en radians. Ceux. 2πn radian.

Tous? Non. Je prolonge volontairement le plaisir. Pour mieux retenir.) Nous n’avons reçu qu’une partie des réponses à notre équation. J'écrirai cette première partie de la solution comme ceci :

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x1 - pas seulement une racine, mais toute une série de racines, écrites sous une forme abrégée.

Mais il y a aussi des angles qui donnent aussi un cosinus de 0,5 !

Revenons à notre image à partir de laquelle nous avons noté la réponse. Elle est là:

Passez votre souris sur l'image et nous voyons un autre angle qui donne également un cosinus de 0,5.À votre avis, à quoi est-ce égal ? Les triangles sont les mêmes... Oui ! Il est égal à l'angle X , seulement retardé dans le sens négatif. C'est le coin -X. Mais nous avons déjà calculé x. π /3 ou 60°. On peut donc écrire en toute sécurité :

x 2 = - π /3

Eh bien, bien sûr, nous additionnons tous les angles obtenus grâce à des tours complets :

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

C'est tout maintenant.) Sur le cercle trigonométrique nous scie(qui comprend, bien sûr)) Tous angles qui donnent un cosinus de 0,5. Et nous avons noté ces angles sous une forme mathématique courte. La réponse a abouti à deux séries infinies de racines :

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

C'est la bonne réponse.

Espoir, principe général de résolution d'équations trigonométriques utiliser un cercle est clair. Nous marquons le cosinus (sinus, tangente, cotangente) de l'équation donnée sur un cercle, dessinons les angles qui lui correspondent et notons la réponse. Bien sûr, nous devons déterminer dans quels coins nous nous trouvons scie sur le cercle. Parfois, ce n'est pas si évident. Eh bien, j'ai dit que la logique est requise ici.)

Par exemple, regardons une autre équation trigonométrique :

Veuillez noter que le nombre 0,5 n'est pas le seul nombre possible dans les équations !) C'est juste plus pratique pour moi de l'écrire que les racines et les fractions.

Nous travaillons selon le principe général. On trace un cercle, on marque (sur l'axe sinusoïdal, bien sûr !) 0,5. On dessine d'un coup tous les angles correspondant à ce sinus. On obtient cette image :

Parlons d'abord de l'angle X au premier trimestre. On rappelle la table des sinus et on détermine la valeur de cet angle. C'est simple :

x = π /6

Nous nous souvenons des révolutions complètes et, avec la conscience tranquille, nous notons la première série de réponses :

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

La moitié du travail est fait. Mais maintenant nous devons déterminer deuxième virage.... C'est plus délicat que d'utiliser les cosinus, oui... Mais la logique nous sauvera ! Comment déterminer le deuxième angle à travers x ? Oui Facile ! Les triangles sur la photo sont les mêmes et le coin rouge X égal à l'angle X . Seulement, il est compté à partir de l'angle π dans le sens négatif. C'est pourquoi il est rouge.) Et pour la réponse, nous avons besoin d'un angle, mesuré correctement, à partir du demi-axe positif OX, c'est-à-dire sous un angle de 0 degré.

Nous passons le curseur sur le dessin et voyons tout. J'ai supprimé le premier coin pour ne pas compliquer le tableau. L'angle qui nous intéresse (dessiné en vert) sera égal à :

π-x

X, nous le savons π /6 . Le deuxième angle sera donc :

π - π /6 = 5π /6

Encore une fois, nous nous souvenons de l'ajout de tours complets et notons la deuxième série de réponses :

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

C'est tout. Une réponse complète se compose de deux séries de racines :

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Les équations tangentes et cotangentes peuvent être facilement résolues en utilisant le même principe général pour résoudre les équations trigonométriques. Si, bien sûr, vous savez dessiner une tangente et une cotangente sur un cercle trigonométrique.

Dans les exemples ci-dessus, j'ai utilisé la valeur du tableau du sinus et du cosinus : 0,5. Ceux. une de ces significations que l'étudiant connaît doit. Maintenant, élargissons nos capacités pour toutes les autres valeurs. Décidez, alors décidez !)

Supposons donc que nous devions résoudre cette équation trigonométrique :

Il n’existe pas de telle valeur de cosinus dans les tableaux courts. Nous ignorons froidement ce terrible fait. Tracez un cercle, marquez 2/3 sur l'axe cosinus et tracez les angles correspondants. Nous obtenons cette image.

Regardons d'abord l'angle du premier trimestre. Si seulement nous savions à quoi x est égal, nous écririons immédiatement la réponse ! On ne sait pas... Échec !? Calme! Les mathématiques ne laissent pas leurs propres ennuis ! Elle a proposé des arcs cosinus pour ce cas. Ne sait pas? En vain. Découvrez-le, c'est beaucoup plus facile que vous ne le pensez. Il n'y a pas un seul sort délicat sur les « fonctions trigonométriques inverses » sur ce lien... C'est superflu dans ce sujet.

Si vous êtes au courant, dites-vous simplement : « X est un angle dont le cosinus est égal à 2/3. » Et immédiatement, uniquement par la définition de l'arc cosinus, on peut écrire :

Nous nous souvenons des révolutions supplémentaires et notons calmement la première série de racines de notre équation trigonométrique :

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

La deuxième série de racines du deuxième angle est écrite presque automatiquement. Tout est pareil, seul X (arccos 2/3) sera avec un moins :

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Et c'est tout! C'est la bonne réponse. Encore plus simple qu'avec les valeurs du tableau. Il n'est pas nécessaire de se souvenir de quoi que ce soit.) D'ailleurs, les plus attentifs remarqueront que cette image montre la solution par arc cosinus en substance, ce n'est pas différent de l'image de l'équation cosx = 0,5.

Exactement! Principe général C'est pour ça que c'est courant ! J'ai délibérément dessiné deux images presque identiques. Le cercle nous montre l'angle X par son cosinus. Qu'il s'agisse d'un cosinus tabulaire ou non, tout le monde ne le sait pas. Quel type d'angle il s'agit, π /3, ou quel est l'arc cosinus - c'est à nous de décider.

Même chanson avec sinus. Par exemple:

Dessinez à nouveau un cercle, marquez le sinus égal à 1/3, dessinez les angles. Voici l'image que nous obtenons :

Et encore une fois, l'image est presque la même que pour l'équation sinx = 0,5. Encore une fois, nous repartons du corner au premier quart-temps. À quoi est égal X si son sinus est 1/3 ? Aucun problème!

Le premier paquet de racines est maintenant prêt :

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Parlons du deuxième angle. Dans l'exemple avec une valeur de tableau de 0,5, elle était égale à :

π-x

Ce sera exactement la même chose ici aussi ! Seul x est différent, arcsin 1/3. Et alors!? Vous pouvez écrire en toute sécurité le deuxième paquet de racines :

x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

C'est une réponse tout à fait correcte. Même si cela ne semble pas très familier. Mais c'est clair, j'espère.)

C'est ainsi que les équations trigonométriques sont résolues à l'aide d'un cercle. Ce chemin est clair et compréhensible. C'est lui qui économise dans les équations trigonométriques avec sélection de racines sur un intervalle donné, dans les inégalités trigonométriques - elles sont généralement résolues presque toujours en cercle. Bref, dans toutes les tâches un peu plus difficiles que les tâches standards.

Appliquons les connaissances dans la pratique ?)

Résoudre des équations trigonométriques :

Tout d’abord, plus simple, directement issu de cette leçon.

Maintenant, c'est plus compliqué.

Indice : ici il faudra penser au cercle. Personnellement.)

Et maintenant, ils sont extérieurement simples... On les appelle aussi cas particuliers.

péché = 0

péché = 1

cosx = 0

cosx = -1

Astuce : ici, vous devez déterminer dans un cercle où se trouvent deux séries de réponses et où il y en a une... Et comment écrire une au lieu de deux séries de réponses. Oui, pour qu'aucune racine d'un nombre infini ne soit perdue !)

Eh bien, très simple) :

péché = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Indice : ici, vous devez savoir ce que sont l'arc sinus et l'arc cosinus ? Qu'est-ce que l'arctangente, l'arccotangente ? Les définitions les plus simples. Mais vous n’avez pas besoin de mémoriser les valeurs du tableau !)

Les réponses sont, bien sûr, en désordre) :

x1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x2= π - arcsin0,3 + 2

Tout ne fonctionne pas ? Arrive. Relisez la leçon. Seulement pensivement(il y a un mot tellement dépassé...) Et suivez les liens. Les principaux liens concernent le cercle. Sans cela, la trigonométrie revient à traverser la route les yeux bandés. Parfois, ça marche.)

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Vous pouvez vous familiariser avec les fonctions et les dérivées.

Concept de résolution d'équations trigonométriques.

  • Pour résoudre une équation trigonométrique, convertissez-la en une ou plusieurs équations trigonométriques de base. Résoudre une équation trigonométrique revient en fin de compte à résoudre les quatre équations trigonométriques de base.

  • Résoudre des équations trigonométriques de base.

    • Il existe 4 types d'équations trigonométriques de base :
    • péché x = a; cos x = une
    • bronzage x = une; ctg x = a
    • La résolution d'équations trigonométriques de base implique d'examiner différentes positions x sur le cercle unité, ainsi que d'utiliser une table de conversion (ou une calculatrice).
    • Exemple 1. péché x = 0,866. À l’aide d’une table de conversion (ou d’une calculatrice), vous obtiendrez la réponse : x = π/3. Le cercle unité donne une autre réponse : 2π/3. N'oubliez pas : toutes les fonctions trigonométriques sont périodiques, ce qui signifie que leurs valeurs se répètent. Par exemple, la périodicité de sin x et cos x est 2πn, et la périodicité de tg x et ctg x est πn. La réponse s’écrit donc comme suit :
    • x1 = π/3 + 2πn ; x2 = 2π/3 + 2πn.
    • Exemple 2. cos x = -1/2. À l’aide d’une table de conversion (ou d’une calculatrice), vous obtiendrez la réponse : x = 2π/3. Le cercle unité donne une autre réponse : -2π/3.
    • x1 = 2π/3 + 2π ; x2 = -2π/3 + 2π.
    • Exemple 3. tg (x - π/4) = 0.
    • Réponse : x = π/4 + πn.
    • Exemple 4. ctg 2x = 1,732.
    • Réponse : x = π/12 + πn.

  • Transformations utilisées dans la résolution d'équations trigonométriques.

    • Pour transformer des équations trigonométriques, des transformations algébriques (factorisation, réduction de termes homogènes, etc.) et des identités trigonométriques sont utilisées.
    • Exemple 5. En utilisant des identités trigonométriques, équation du péché x + sin 2x + sin 3x = 0 est converti en l'équation 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. Ainsi, les équations trigonométriques de base suivantes doivent être résolues : cos x = 0 ; péché(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.

    • Trouver des angles par valeurs connues les fonctions.

      • Avant d'apprendre à résoudre des équations trigonométriques, vous devez apprendre à trouver des angles à l'aide de valeurs de fonctions connues. Cela peut être fait à l'aide d'une table de conversion ou d'une calculatrice.
      • Exemple : cos x = 0,732. La calculatrice donnera la réponse x = 42,95 degrés. Le cercle unité donnera des angles supplémentaires dont le cosinus est également de 0,732.

    • Mettez de côté la solution sur le cercle unité.

      • Vous pouvez tracer les solutions d'une équation trigonométrique sur le cercle unité. Les solutions d'une équation trigonométrique sur le cercle unité sont les sommets d'un polygone régulier.
      • Exemple : Les solutions x = π/3 + πn/2 sur le cercle unité représentent les sommets du carré.
      • Exemple : Les solutions x = π/4 + πn/3 sur le cercle unité représentent les sommets d'un hexagone régulier.

    • Méthodes de résolution d'équations trigonométriques.

      • Si une équation trigonométrique donnée ne contient qu'une seule fonction trigonométrique, résolvez cette équation comme une équation trigonométrique de base. Si une équation donnée comprend deux ou plusieurs fonctions trigonométriques, alors il existe 2 méthodes pour résoudre une telle équation (en fonction de la possibilité de sa transformation).
        • Méthode 1.
      • Transformez cette équation en une équation de la forme : f(x)*g(x)*h(x) = 0, où f(x), g(x), h(x) sont les équations trigonométriques de base.
      • Exemple 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
      • Solution. En utilisant la formule du double angle sin 2x = 2*sin x*cos x, remplacez sin 2x.
      • 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Résolvez maintenant les deux équations trigonométriques de base : cos x = 0 et (sin x + 1) = 0.
      • Exemple 7. cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
      • Solution : À l'aide d'identités trigonométriques, transformez cette équation en une équation de la forme : cos 2x(2cos x + 1) = 0. Résolvez maintenant les deux équations trigonométriques de base : cos 2x = 0 et (2cos x + 1) = 0.
      • Exemple 8. sin x - sin 3x = cos 2x. (0< x < 2π)
      • Solution : À l'aide d'identités trigonométriques, transformez cette équation en une équation de la forme : -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Résolvez maintenant les deux équations trigonométriques de base : cos 2x = 0 et (2sin x + 1) = 0 .
        • Méthode 2.
      • Convertissez l'équation trigonométrique donnée en une équation contenant une seule fonction trigonométrique. Remplacez ensuite cette fonction trigonométrique par une fonction inconnue, par exemple t (sin x = t ; cos x = t ; cos 2x = t, tan x = t ; tg (x/2) = t, etc.).
      • Exemple 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
      • Solution. Dans cette équation, remplacez (cos^2 x) par (1 - sin^2 x) (selon l'identité). L'équation transformée est :
      • 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Remplacez sin x par t. L'équation ressemble maintenant à : 5t^2 - 4t - 9 = 0. Il s'agit d'une équation quadratique qui a deux racines : t1 = -1 et t2 = 9/5. La deuxième racine t2 ne satisfait pas l'intervalle de fonction (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
      • Exemple 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
      • Solution. Remplacez tgx par t. Réécrivez l'équation d'origine comme suit : (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Trouvez maintenant t, puis trouvez x pour t = tan x.

    • En résolvant plusieurs problèmes mathématiques, en particulier ceux qui surviennent avant la 10e année, l'ordre des actions effectuées qui mèneront à l'objectif est clairement défini. De tels problèmes incluent, par exemple, les équations linéaires et quadratiques, les équations linéaires et inégalités quadratiques, les équations fractionnaires et les équations qui se réduisent au quadratique. Le principe pour résoudre avec succès chacun des problèmes mentionnés est le suivant : vous devez établir le type de problème que vous résolvez, vous rappeler la séquence d'actions nécessaire qui mènera au résultat souhaité, c'est-à-dire répondez et suivez ces étapes.

    Il est évident que le succès ou l'échec de la résolution d'un problème particulier dépend principalement de la manière dont le type d'équation à résoudre est correctement déterminé et de la manière dont la séquence de toutes les étapes de sa solution est correctement reproduite. Bien entendu, dans ce cas, il est nécessaire d’avoir les compétences nécessaires pour effectuer des transformations et des calculs identiques.

    La situation est différente avec équations trigonométriques. Il n'est pas du tout difficile d'établir que l'équation est trigonométrique. Des difficultés surviennent lors de la détermination de la séquence d'actions qui mènerait à la bonne réponse.

    Par apparenceéquation, il est parfois difficile d’en déterminer le type. Et sans connaître le type d'équation, il est quasiment impossible de choisir la bonne parmi plusieurs dizaines de formules trigonométriques.

    Pour résoudre une équation trigonométrique, vous devez essayer :

    1. amener toutes les fonctions incluses dans l'équation aux « mêmes angles » ;
    2. ramener l'équation à des « fonctions identiques » ;
    3. déplier côté gaucheéquations de factorisation, etc.

    Considérons méthodes de base pour résoudre des équations trigonométriques.

    I. Réduction aux équations trigonométriques les plus simples

    Diagramme de solutions

    Étape 1. Exprimer une fonction trigonométrique en termes de composantes connues.

    Étape 2. Trouvez l'argument de la fonction à l'aide des formules :

    cosx = une ; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

    péché x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

    bronzage x = une; x = arctan a + πn, n Є Z.

    ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

    Étape 3. Trouvez la variable inconnue.

    Exemple.

    2 cos(3x – π/4) = -√2.

    Solution.

    1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

    2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z ;

    3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

    3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z ;

    x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z ;

    x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

    Réponse : ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

    II. Remplacement variable

    Diagramme de solutions

    Étape 1. Réduisez l’équation sous forme algébrique par rapport à l’une des fonctions trigonométriques.

    Étape 2. Notons la fonction résultante par la variable t (si nécessaire, introduisez des restrictions sur t).

    Étape 3.Écrivez et résolvez l’équation algébrique résultante.

    Étape 4. Effectuez un remplacement inversé.

    Étape 5. Résolvez l'équation trigonométrique la plus simple.

    Exemple.

    2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

    Solution.

    1) 2(1 – péché 2 (x/2)) – 5 péché (x/2) – 5 = 0 ;

    2 péché 2 (x/2) + 5 péché (x/2) + 3 = 0.

    2) Soit sin (x/2) = t, où |t| ≤ 1.

    3) 2t 2 + 5t + 3 = 0 ;

    t = 1 ou e = -3/2, ne satisfait pas à la condition |t| ≤ 1.

    4) péché(x/2) = 1.

    5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z ;

    x = π + 4πn, n Є Z.

    Réponse : x = π + 4πn, n Є Z.

    III. Méthode de réduction de l'ordre des équations

    Diagramme de solutions

    Étape 1. Remplacez cette équation par une équation linéaire, en utilisant la formule de réduction du degré :

    péché 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x) ;

    cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x) ;

    tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

    Étape 2. Résolvez l'équation résultante en utilisant les méthodes I et II.

    Exemple.

    cos 2x + cos 2 x = 5/4.

    Solution.

    1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

    2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4 ;

    3/2 car 2x = 3/4 ;

    2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z ;

    x = ±π/6 + πn, n Є Z.

    Réponse : x = ±π/6 + πn, n Є Z.

    IV. Équations homogènes

    Diagramme de solutions

    Étape 1. Réduisons cette équation à la forme

    a) a sin x + b cos x = 0 (équation homogène du premier degré)

    ou à la vue

    b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (équation homogène du deuxième degré).

    Étape 2. Divisez les deux côtés de l'équation par

    une) cosx ≠ 0 ;

    b) cos 2 x ≠ 0 ;

    et obtenez l'équation pour tan x :

    a) un bronzage x + b = 0 ;

    b) un bronzage 2 x + b arctan x + c = 0.

    Étape 3. Résolvez l'équation en utilisant des méthodes connues.

    Exemple.

    5 péché 2 x + 3 péché x cos x – 4 = 0.

    Solution.

    1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0 ;

    5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0 ;

    péché 2 x + 3 péché x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

    2) tg 2 x + 3 tg x – 4 = 0.

    3) Soit tg x = t, alors

    t 2 + 3t – 4 = 0 ;

    t = 1 ou t = -4, ce qui signifie

    tg x = 1 ou tg x = -4.

    D'après la première équation x = π/4 + πn, n Є Z ; de la deuxième équation x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

    Réponse : x = π/4 + πn, n Є Z ; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

    V. Méthode de transformation d'une équation à l'aide de formules trigonométriques

    Diagramme de solutions

    Étape 1. En utilisant toutes les formules trigonométriques possibles, réduisez cette équation à une équation résolue par les méthodes I, II, III, IV.

    Étape 2. Résolvez l'équation résultante en utilisant des méthodes connues.

    Exemple.

    péché x + péché 2x + péché 3x = 0.

    Solution.

    1) (péché x + péché 3x) + péché 2x = 0 ;

    2 péché 2x cos x + péché 2x = 0.

    2) péché 2x (2cos x + 1) = 0 ;

    péché 2x = 0 ou 2cos x + 1 = 0 ;

    D'après la première équation 2x = π/2 + πn, n Є Z ; de la deuxième équation cos x = -1/2.

    Nous avons x = π/4 + πn/2, n Є Z ; à partir de la deuxième équation x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

    En conséquence, x = π/4 + πn/2, n Є Z ; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

    Réponse : x = π/4 + πn/2, n Є Z ; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

    La capacité et l'habileté à résoudre des équations trigonométriques sont très important, leur développement nécessite un effort important, tant de la part de l’élève que de la part de l’enseignant.

    De nombreux problèmes de stéréométrie, de physique, etc. sont associés à la solution d'équations trigonométriques. Le processus de résolution de ces problèmes incarne de nombreuses connaissances et compétences acquises en étudiant les éléments de la trigonométrie.

    Les équations trigonométriques prennent place importante dans le processus d'enseignement des mathématiques et du développement de la personnalité en général.

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