Abreviaturas matemáticas de números em que direção. Algumas regras importantes ao arredondar números

Muitas pessoas estão interessadas em como arredondar números. Essa necessidade surge frequentemente entre pessoas que vinculam suas vidas à contabilidade ou outras atividades que exigem cálculos. O arredondamento pode ser feito para números inteiros, décimos e assim por diante. E você precisa saber fazer isso corretamente para que os cálculos sejam mais ou menos precisos.

Afinal, o que é um número redondo? Este é aquele que termina em 0 (na maior parte). Na vida cotidiana, a capacidade de arredondar números facilita muito as compras. No caixa, você pode estimar aproximadamente o custo total das compras e comparar quanto custa um quilo do mesmo produto em sacolas de pesos diferentes. Com os números reduzidos a uma forma conveniente, é mais fácil fazer cálculos mentais sem recorrer a uma calculadora.

Por que os números são arredondados?

As pessoas tendem a arredondar quaisquer números nos casos em que é necessário realizar operações mais simplificadas. Por exemplo, um melão pesa 3.150 quilogramas. Quando uma pessoa conta aos amigos quantos gramas tem a fruta do sul, ela pode ser considerada um interlocutor pouco interessante. Frases como “Então comprei um melão de três quilos” soam muito mais concisas, sem entrar em todos os tipos de detalhes desnecessários.

Curiosamente, mesmo na ciência não há necessidade de lidar sempre com os números mais precisos possíveis. Mas se estamos falando de frações periódicas infinitas, que têm a forma 3,33333333...3, então isso se torna impossível. Portanto, a opção mais lógica seria simplesmente arredondá-los. Via de regra, o resultado fica ligeiramente distorcido. Então, como você arredonda os números?

Algumas regras importantes ao arredondar números

Então, se você quiser arredondar um número, é importante entender os princípios básicos do arredondamento? Esta é uma operação de modificação que visa reduzir o número de casas decimais. Para realizar esta ação, você precisa conhecer alguns regras importantes:

Se o número do dígito desejado estiver na faixa de 5 a 9, o arredondamento será feito para cima.
Se o número do dígito necessário estiver no intervalo de 1 a 4, o arredondamento será feito para baixo.

Por exemplo, temos o número 59. Precisamos arredondá-lo. Para fazer isso, você precisa pegar o número 9 e adicionar um a ele para obter 60. Esta é a resposta à questão de como arredondar números. Agora vamos examinar casos especiais. Na verdade, descobrimos como arredondar um número para dezenas usando este exemplo. Agora só falta usar esse conhecimento na prática.

Como arredondar um número para números inteiros

Muitas vezes acontece que é necessário arredondar, por exemplo, o número 5,9. Este procedimento não é difícil. Primeiro precisamos omitir a vírgula e, quando arredondamos, o já familiar número 60 aparece diante de nossos olhos. Agora colocamos a vírgula no lugar e obtemos 6,0. E como os zeros nas frações decimais geralmente são omitidos, obtemos o número 6.

Uma operação semelhante pode ser realizada com números mais complexos. Por exemplo, como você arredonda números como 5,49 para números inteiros? Tudo depende dos objetivos que você definiu para si mesmo. Em geral, de acordo com as regras da matemática, 5,49 ainda não é 5,5. Portanto, não pode ser arredondado. Mas você pode arredondar para 5,5, após o que se torna legal arredondar para 6. Mas esse truque nem sempre funciona, então você precisa ser extremamente cuidadoso.

Em princípio, um exemplo de arredondamento correto de um número para décimos já foi discutido acima, então agora é importante exibir apenas o princípio principal. Essencialmente, tudo acontece aproximadamente da mesma maneira. Se o dígito que está na segunda posição após a vírgula decimal estiver no intervalo de 5 a 9, ele será totalmente removido e o dígito à frente dele será aumentado em um. Se for menor que 5, esse número é removido e o anterior permanece em seu lugar.

Por exemplo, de 4,59 a 4,6, o número “9” desaparece e um é adicionado aos cinco. Mas ao arredondar 4,41, a unidade é omitida e o quatro permanece inalterado.

Como os profissionais de marketing aproveitam a incapacidade do consumidor em massa de arredondar números?

Acontece que, o máximo de as pessoas no mundo não têm o hábito de avaliar o custo real de um produto, que é ativamente explorado pelos profissionais de marketing. Todo mundo conhece slogans promocionais como “Compre por apenas 9,99”. Sim, entendemos conscientemente que se trata essencialmente de dez dólares. No entanto, nosso cérebro é projetado de tal forma que percebe apenas o primeiro dígito. Portanto, a simples operação de transformar um número em uma forma conveniente deveria se tornar um hábito.

Muitas vezes, o arredondamento permite avaliar melhor os sucessos intermediários expressos em forma numérica. Por exemplo, uma pessoa começou a ganhar US$ 550 por mês. Um otimista dirá que é quase 600, um pessimista dirá que é um pouco mais de 500. Parece que há uma diferença, mas é mais agradável para o cérebro “ver” que o objeto alcançou algo mais (ou vice-versa).

Há um grande número de exemplos em que a capacidade de arredondar acaba sendo extremamente útil. É importante ser criativo e evitar carregar-se com informações desnecessárias sempre que possível. Então o sucesso será imediato.

Entenda o significado dos números em decimais. Em qualquer número, dígitos diferentes representam dígitos diferentes. Por exemplo, no número 1872, um representa milhares, o oito representa centenas, o sete representa dezenas e o dois representa unidades. Se um número contém uma vírgula decimal, os números à direita dele refletem frações de números inteiros.

Determine a casa decimal para a qual deseja arredondar. O primeiro passo para arredondar decimais é determinar o local para o qual o número precisa ser arredondado. Se você fizer trabalho de casa, então isso geralmente é determinado pela condição do trabalho. Muitas vezes, a condição pode indicar a necessidade de arredondar a resposta para décimos, centésimos ou milésimos de casas decimais.

Por exemplo, se a tarefa é arredondar o número 12,9889 para milésimos, você deve começar identificando a localização desses milésimos. Conte casas decimais como décimos, centésimos, milésimos, seguidos por dez milésimos. Os segundos oito serão exatamente o que você precisa (12,98 8 9).
Às vezes, a condição pode especificar um local específico para arredondamento (por exemplo, "arredondar para a terceira casa decimal" significa o mesmo que "arredondar para milésimos").

Observe o número à direita do local de arredondamento que você precisa. Agora você precisa descobrir o número que está à direita do local para o qual você está arredondando. Dependendo deste número, você irá arredondar para cima ou para baixo (para cima ou para baixo).

No exemplo anterior, o número (12,9889) deve ser arredondado para milésimos (12,98 8 9), então agora você deve olhar para o número à direita do milésimo, ou seja, os últimos nove (12.988 9 ).

Se este valor for maior ou igual a cinco, será realizado o arredondamento. Para maior clareza, se houver um número 5, 6, 7, 8 ou 9 à direita do ponto de arredondamento, ele será arredondado para cima. Ou seja, é necessário aumentar em um o dígito da casa arredondada e descartar os dígitos restantes à direita dele.

No exemplo tomado (12.9889) os últimos nove são maiores que cinco, então vamos arredondar os milésimos para o lado maior. O número arredondado aparecerá como 12,989 . Observe que os números são descartados após o arredondamento.

Se este valor for inferior a cinco, será realizado o arredondamento para baixo. Ou seja, se houver um número 4, 3, 2, 1 ou 0 à direita do ponto de arredondamento, será realizado o arredondamento para baixo. O que significa deixar o número arredondado como está e descartar os números à direita dele.

Você não pode arredondar 12,9889 para baixo porque os últimos nove não representam quatro ou um dígito inferior. Porém, se o número em questão fosse 12.988 4 , então poderia ser arredondado para 12,988 .
O procedimento parece familiar? Isso se deve ao fato de os números inteiros serem arredondados da mesma forma e a presença da vírgula não altera nada.

Use o mesmo método para arredondar decimais para números inteiros. Freqüentemente, a tarefa determina a necessidade de arredondar a resposta para números inteiros. Neste caso, você deve usar o método acima.

Em outras palavras, encontre a localização das unidades inteiras do número, observe o número à direita. Se for maior ou igual a cinco, arredonde o número inteiro para cima. Se for menor ou igual a quatro, arredonde o número inteiro para baixo. A presença de uma vírgula entre a parte inteira de um número e sua fração decimal não altera nada.
Por exemplo, se precisar arredondar o número acima (12,9889) para números inteiros, você começará encontrando a localização das unidades inteiras do número: 1 2 ,9889. Como o nove à direita deste local é maior que cinco, arredondamos para 13 todo. Como a resposta é representada como um número inteiro, não há mais necessidade de escrever vírgula.

Preste atenção às instruções de arredondamento. As instruções de arredondamento acima são geralmente aceitas. No entanto, existem situações em que são fornecidos requisitos especiais de arredondamento. Certifique-se de lê-los antes de recorrer imediatamente às regras de arredondamento geralmente aceitas.

Por exemplo, se os requisitos dizem para arredondar para o décimo mais próximo, então no número 4,59 você deixaria um cinco, mesmo que os nove à direita normalmente resultem em arredondamento para cima. Isso lhe dará o resultado 4,5 .
Da mesma forma, se lhe disserem para arredondar o número 180,1 para números inteiros para cima, então você terá sucesso 181 .

Hoje veremos um tema um tanto enfadonho, sem entendê-lo não é possível seguir em frente. Este tópico é chamado de “arredondamento de números” ou em outras palavras “valores aproximados de números”.

Conteúdo da lição

Valores aproximados

Valores aproximados (ou aproximados) são usados quando valor exatoé impossível encontrar algo, ou esse valor não é importante para o objeto em estudo.

Por exemplo, em palavras pode-se dizer que meio milhão de pessoas vivem numa cidade, mas esta afirmação não será verdadeira, pois o número de pessoas na cidade muda - as pessoas vêm e vão, nascem e morrem. Portanto, seria mais correto dizer que a cidade vive aproximadamente meio milhão de pessoas.

Outro exemplo. As aulas começam às nove da manhã. Saímos de casa às 8h30. Depois de algum tempo na estrada, encontramos um amigo que nos perguntou que horas eram. Quando saímos de casa eram 8h30, passamos um tempo desconhecido na estrada. Não sabemos que horas são, então respondemos ao nosso amigo: “agora aproximadamente por volta das nove horas."

Em matemática, os valores aproximados são indicados usando sinal especial. Se parece com isso:

Leia como "aproximadamente igual".

Para indicar o valor aproximado de algo, recorrem a uma operação como o arredondamento de números.

Arredondamento de números

Para encontrar um valor aproximado, uma operação como arredondamento de números.

A palavra "arredondamento" fala por si. Arredondar um número significa arredondá-lo. Um número que termina em zero é chamado de redondo. Por exemplo, os seguintes números são redondos,

10, 20, 30, 100, 300, 700, 1000

Qualquer número pode ser arredondado. O procedimento pelo qual um número é arredondado é chamado arredondando o número.

Já tratamos de números “arredondados” quando dividimos números grandes. Lembremos que para isso deixamos inalterado o dígito que forma o dígito mais significativo e substituímos os dígitos restantes por zeros. Mas estes foram apenas esboços que fizemos para facilitar a divisão. Uma espécie de hack de vida. Na verdade, não se tratava sequer de um arredondamento de números. É por isso que no início deste parágrafo colocamos a palavra arredondamento entre aspas.

Na verdade, a essência do arredondamento é encontrar o valor mais próximo do original. Ao mesmo tempo, o número pode ser arredondado para um determinado dígito - para o dígito das dezenas, o dígito das centenas, o dígito dos milhares.

Vejamos um exemplo simples de arredondamento. Dado o número 17. Você precisa arredondá-lo para a casa das dezenas.

Sem nos precipitarmos, vamos tentar entender o que significa “arredondar para a casa das dezenas”. Quando dizem para arredondar o número 17, somos obrigados a encontrar o número redondo mais próximo para o número 17. Além disso, durante esta pesquisa, as mudanças também podem afetar o número que está na casa das dezenas no número 17 (ou seja, unidades) .

Vamos imaginar que todos os números de 10 a 20 estão em linha reta:

A figura mostra que para o número 17 o número redondo mais próximo é 20. Portanto a resposta para o problema será assim: 17 é aproximadamente igual a 20

17 ≈ 20

Encontramos um valor aproximado para 17, ou seja, arredondamos para a casa das dezenas. Pode-se observar que após o arredondamento, um novo dígito 2 apareceu na casa das dezenas.

Vamos tentar encontrar um número aproximado para o número 12. Para fazer isso, imagine novamente que todos os números de 10 a 20 estão em linha reta:

A figura mostra que o número redondo mais próximo de 12 é o número 10. Portanto, a resposta para o problema será assim: 12 é aproximadamente igual a 10

12 ≈ 10

Encontramos um valor aproximado para 12, ou seja, arredondamos para a casa das dezenas. Desta vez, o número 1, que estava na casa das dezenas no número 12, não sofreu arredondamento. Veremos por que isso aconteceu mais tarde.

Vamos tentar encontrar o número mais próximo do número 15. Vamos imaginar novamente que todos os números de 10 a 20 estão em linha reta:

A figura mostra que o número 15 está igualmente distante dos números redondos 10 e 20. Surge a pergunta: qual desses números redondos será o valor aproximado do número 15? Para tais casos, concordamos em considerar o número maior como aproximado. 20 é maior que 10, então a aproximação para 15 é 20

15 ≈ 20

Números grandes também podem ser arredondados. Naturalmente, não é possível para eles traçar uma linha reta e representar números. Existe um caminho para eles. Por exemplo, vamos arredondar o número 1456 para a casa das dezenas.

Devemos arredondar 1456 para a casa das dezenas. A casa das dezenas começa em cinco:

Agora esquecemos temporariamente a existência dos primeiros números 1 e 4. O número restante é 56

Agora veremos qual número redondo está mais próximo do número 56. Obviamente, o número redondo mais próximo de 56 é o número 60. Portanto, substituímos o número 56 pelo número 60

Então, ao arredondar o número 1456 para a casa das dezenas, obtemos 1460

1456 ≈ 1460

Pode-se observar que após arredondar o número 1456 para a casa das dezenas, as mudanças afetaram a própria casa das dezenas. O novo número obtido agora tem 6 na casa das dezenas em vez de 5.

Você pode arredondar números não apenas para a casa das dezenas. Você também pode arredondar para centenas, milhares ou dezenas de milhares.

Assim que ficar claro que o arredondamento nada mais é do que procurar o número mais próximo, você pode aplicar regras prontas que tornam o arredondamento de números muito mais fácil.

Primeira regra de arredondamento

A partir dos exemplos anteriores ficou claro que ao arredondar um número para um determinado dígito, os dígitos de ordem inferior são substituídos por zeros. Os números que são substituídos por zeros são chamados dígitos descartados.

A primeira regra de arredondamento é a seguinte:

Se, ao arredondar os números, o primeiro dígito a ser descartado for 0, 1, 2, 3 ou 4, o dígito retido permanece inalterado.

Por exemplo, vamos arredondar o número 123 para a casa das dezenas.

Primeiro de tudo, encontramos o dígito a ser armazenado. Para fazer isso, você precisa ler a própria tarefa. O dígito armazenado está localizado no dígito referido na tarefa. A tarefa diz: arredonde o número 123 para casa das dezenas.

Vemos que há um dois na casa das dezenas. Então o dígito armazenado é 2

Agora encontramos o primeiro dos dígitos descartados. O primeiro dígito a ser descartado é o dígito que vem depois do dígito a ser armazenado. Vemos que o primeiro dígito depois dos dois é o número 3. Isso significa que o número 3 é primeiro dígito a ser descartado.

Agora aplicamos a regra de arredondamento. Diz que ao arredondar números, se o primeiro dígito a ser descartado for 0, 1, 2, 3 ou 4, o dígito retido permanece inalterado.

Isso é o que fazemos. Deixamos o dígito armazenado inalterado e substituímos todos os dígitos de ordem inferior por zeros. Em outras palavras, substituímos tudo o que segue o número 2 por zeros (mais precisamente, zero):

123 ≈ 120

Isso significa que ao arredondar o número 123 para a casa das dezenas, obtemos o número 120 aproximando-o.

Agora vamos tentar arredondar o mesmo número 123, mas para centenas de lugares.

Precisamos arredondar o número 123 para a casa das centenas. Novamente estamos procurando o número a ser salvo. Desta vez, o dígito armazenado é 1 porque estamos arredondando o número para a casa das centenas.

Agora encontramos o primeiro dos dígitos descartados. O primeiro dígito a ser descartado é o dígito que vem depois do dígito a ser armazenado. Vemos que o primeiro dígito depois de um é o número 2. Isso significa que o número 2 é primeiro dígito a ser descartado:

Agora vamos aplicar a regra. Diz que ao arredondar números, se o primeiro dígito a ser descartado for 0, 1, 2, 3 ou 4, o dígito retido permanece inalterado.

Isso é o que fazemos. Deixamos o dígito armazenado inalterado e substituímos todos os dígitos de ordem inferior por zeros. Em outras palavras, substituímos tudo que segue o número 1 por zeros:

123 ≈ 100

Isso significa que ao arredondar o número 123 para a casa das centenas, obtemos o número aproximado 100.

Exemplo 3. Arredonde o número 1234 para a casa das dezenas.

Aqui o dígito retido é 3. E o primeiro dígito descartado é 4.

Isso significa que deixamos o número 3 salvo inalterado e substituímos tudo o que está localizado depois dele por zero:

1234 ≈ 1230

Exemplo 4. Arredonde 1234 para a casa das centenas.

Aqui, o dígito retido é 2. E o primeiro dígito descartado é 3. De acordo com a regra, se, ao arredondar os números, o primeiro dos dígitos descartados for 0, 1, 2, 3 ou 4, então o dígito retido permanece inalterado .

Isso significa que deixamos o número 2 salvo inalterado e substituímos tudo o que está localizado depois dele por zeros:

1234 ≈ 1200

Exemplo 3. Arredonde 1234 para a casa dos milhares.

Aqui, o dígito retido é 1. E o primeiro dígito descartado é 2. De acordo com a regra, se, ao arredondar os números, o primeiro dos dígitos descartados for 0, 1, 2, 3 ou 4, então o dígito retido permanece inalterado .

Isso significa que deixamos o dígito 1 salvo inalterado e substituímos tudo o que está localizado depois dele por zeros:

1234 ≈ 1000

Segunda regra de arredondamento

A segunda regra de arredondamento é a seguinte:

Ao arredondar números, se o primeiro dígito a ser descartado for 5, 6, 7, 8 ou 9, o dígito retido será aumentado em um.

Por exemplo, vamos arredondar o número 675 para a casa das dezenas.

Vemos que há um sete na casa das dezenas. Então o dígito que está sendo armazenado é 7

Agora encontramos o primeiro dos dígitos descartados. O primeiro dígito a ser descartado é o dígito que vem depois do dígito a ser armazenado. Vemos que o primeiro dígito depois de sete é o número 5. Isso significa que o número 5 é primeiro dígito a ser descartado.

Nosso primeiro dígito descartado é 5. Isso significa que devemos aumentar o dígito retido 7 em um e substituir tudo depois dele por zero:

675 ≈ 680

Isso significa que ao arredondar o número 675 para a casa das dezenas, obtemos o número aproximado 680.

Agora vamos tentar arredondar o mesmo número 675, mas para centenas de lugares.

Precisamos arredondar o número 675 para a casa das centenas. Novamente estamos procurando o número a ser salvo. Desta vez o dígito armazenado é 6, pois estamos arredondando o número para a casa das centenas:

Agora encontramos o primeiro dos dígitos descartados. O primeiro dígito a ser descartado é o dígito que vem depois do dígito a ser armazenado. Vemos que o primeiro dígito depois de seis é o número 7. Isso significa que o número 7 é primeiro dígito a ser descartado:

Agora aplicamos a segunda regra de arredondamento. Diz que ao arredondar números, se o primeiro dígito a ser descartado for 5, 6, 7, 8 ou 9, então o dígito retido é aumentado em um.

Nosso primeiro dígito descartado é 7. Isso significa que devemos aumentar o dígito retido 6 em um e substituir tudo depois dele por zeros:

675 ≈ 700

Isso significa que ao arredondar o número 675 para a casa das centenas, obtemos o número aproximado 700.

Exemplo 3. Arredonde o número 9876 para a casa das dezenas.

Aqui o dígito retido é 7. E o primeiro dígito descartado é 6.

Isso significa que aumentamos o número armazenado 7 em um e substituímos tudo o que está localizado depois dele por zero:

9876 ≈ 9880

Exemplo 4. Arredonde 9876 para a casa das centenas.

Aqui, o dígito retido é 8. E o primeiro dígito descartado é 7. De acordo com a regra, se, ao arredondar os números, o primeiro dos dígitos descartados for 5, 6, 7, 8 ou 9, então o dígito retido é aumentado por um.

Isso significa que aumentamos o número armazenado 8 em um e substituímos tudo o que está localizado depois dele por zeros:

9876 ≈ 9900

Exemplo 5. Arredonde 9876 para a casa dos milhares.

Aqui, o dígito retido é 9. E o primeiro dígito descartado é 8. De acordo com a regra, se, ao arredondar os números, o primeiro dos dígitos descartados for 5, 6, 7, 8 ou 9, então o dígito retido é aumentado por um.

Isso significa que aumentamos o número armazenado 9 em um e substituímos tudo o que está localizado depois dele por zeros:

9876 ≈ 10000

Exemplo 6. Arredonde 2971 para a centena mais próxima.

Ao arredondar este número para a centena mais próxima, você deve ter cuidado porque o dígito retido aqui é 9, e o primeiro dígito a ser descartado é 7. Isso significa que o dígito 9 deve ser aumentado em um. Mas o fato é que depois de aumentar nove por um, o resultado é 10, e esse número não caberá no dígito das centenas do novo número.

Neste caso, na casa das centenas do novo número você precisa escrever 0, e mover a unidade para a próxima casa e somá-la com o número que está lá. Em seguida, substitua todos os dígitos após o salvo por zeros:

2971 ≈ 3000

Arredondando decimais

Ao arredondar frações decimais, você deve ter um cuidado especial porque uma fração decimal consiste em uma parte inteira e uma parte fracionária. E cada uma dessas duas partes tem suas próprias categorias:

Dígitos inteiros:

dígito das unidades
casa das dezenas
centenas de lugares
mil dígitos

Dígitos fracionários:

décimo lugar
centésimos de lugar
milésimo lugar

Considere a fração decimal 123,456 - cento e vinte e três vírgula quatrocentos e cinquenta e seis milésimos. Aqui a parte inteira é 123 e a parte fracionária é 456. Além disso, cada uma dessas partes tem seus próprios dígitos. É muito importante não confundi-los:

Para a parte inteira, aplicam-se as mesmas regras de arredondamento dos números regulares. A diferença é que após arredondar a parte inteira e substituir todos os dígitos após o dígito armazenado por zeros, a parte fracionária é completamente descartada.

Por exemplo, arredonde a fração 123,456 para casa das dezenas. Exatamente até casa das dezenas, mas não décimo lugar. É muito importante não confundir estas categorias. Descarga dezenas está localizado na parte inteira, e o dígito décimos em fracionário

Devemos arredondar 123,456 para a casa das dezenas. O dígito retido aqui é 2 e o primeiro dígito descartado é 3

Pela regra, se, no arredondamento dos números, o primeiro dígito a ser descartado for 0, 1, 2, 3 ou 4, o dígito retido permanece inalterado.

Isso significa que o dígito salvo permanecerá inalterado e todo o resto será substituído por zero. O que fazer com a parte fracionária? É simplesmente descartado (removido):

123,456 ≈ 120

Agora vamos tentar arredondar a mesma fração 123,456 para dígito das unidades. O algarismo a ser retido aqui será o 3, e o primeiro algarismo a ser descartado é o 4, que está na parte fracionária:

Pela regra, se, no arredondamento dos números, o primeiro dígito a ser descartado for 0, 1, 2, 3 ou 4, o dígito retido permanece inalterado.

Isso significa que o dígito salvo permanecerá inalterado e todo o resto será substituído por zero. A parte fracionária restante será descartada:

123,456 ≈ 123,0

O zero que resta após a vírgula também pode ser descartado. Então a resposta final ficará assim:

123,456 ≈ 123,0 ≈ 123

Agora vamos começar a arredondar as partes fracionárias. As mesmas regras se aplicam ao arredondamento de partes fracionárias e ao arredondamento de partes inteiras. Vamos tentar arredondar a fração 123,456 para décimo lugar. O número 4 está na décima casa, o que significa que é o dígito retido, e o primeiro dígito a ser descartado é o 5, que está na centésima casa:

De acordo com a regra, no arredondamento de números, se o primeiro dígito a ser descartado for 5, 6, 7, 8 ou 9, o dígito retido é aumentado em um.

Isso significa que o dígito 4 armazenado aumentará em um e o restante será substituído por zeros

123,456 ≈ 123,500

Vamos tentar arredondar a mesma fração 123,456 para a centésima casa. O dígito retido aqui é 5, e o primeiro dígito descartado é 6, que está na casa dos milésimos:

De acordo com a regra, no arredondamento de números, se o primeiro dígito a ser descartado for 5, 6, 7, 8 ou 9, o dígito retido é aumentado em um.

Isso significa que o dígito 5 armazenado aumentará em um e o restante será substituído por zeros

123,456 ≈ 123,460

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Existem várias maneiras de arredondar números no Excel. Usando formato de célula e usando funções. Esses dois métodos devem ser distinguidos da seguinte forma: o primeiro serve apenas para exibir valores ou imprimir, e o segundo método também serve para cálculos e cálculos.

Usando as funções, é possível arredondar com precisão para um dígito especificado pelo usuário. E os valores obtidos nos cálculos podem ser utilizados em outras fórmulas e funções. Porém, o arredondamento usando o formato da célula não dará o resultado desejado e os resultados dos cálculos com tais valores serão errôneos. Afinal, o formato das células, na verdade, não altera o valor, apenas muda a forma como ele é exibido. Para entender isso de forma rápida e fácil e evitar cometer erros, daremos alguns exemplos.

Como arredondar um número usando formato de célula

Vamos inserir o valor 76,575 na célula A1. Clique com o botão direito para abrir o menu “Formatar células”. Você pode fazer o mesmo usando a ferramenta “Número” na página principal do Livro. Ou pressione a combinação de teclas de atalho CTRL+1.

Selecione o formato numérico e defina o número de casas decimais como 0.

Resultado de arredondamento:

Você pode atribuir o número de casas decimais nos formatos “monetário”, “financeiro”, “porcentagem”.

Como você pode ver, o arredondamento ocorre de acordo com leis matemáticas. O último dígito a ser armazenado é aumentado em um se for seguido de um dígito maior ou igual a “5”.

A peculiaridade desta opção: quanto mais números após a vírgula deixarmos, mais preciso será o resultado.

Como arredondar corretamente um número no Excel

Usando a função ROUND() (arredonda para o número de casas decimais exigidas pelo usuário). Para chamar o “Assistente de Função” usamos o botão fx. A função que você precisa está na categoria “Matemática”.

Argumentos:

“Número” - um link para uma célula com o valor desejado(A1).
“Número de dígitos” - o número de casas decimais para as quais o número será arredondado (0 – para arredondar para um número inteiro, 1 – sobrará uma casa decimal, 2 – duas, etc.).

Agora vamos arredondar o número inteiro (não o decimal). Vamos usar a função ROUND:

o primeiro argumento da função é uma referência de célula;
o segundo argumento é com o sinal “-” (até dezenas – “-1”, até centenas – “-2”, para arredondar o número para milhares – “-3”, etc.).

Como arredondar um número para milhares no Excel?

Um exemplo de arredondamento de um número para milhares:

Fórmula: =ROUND(A3,-3).

Você pode arredondar não apenas um número, mas também o valor de uma expressão.

Digamos que existam dados sobre o preço e a quantidade de um produto. É necessário encontrar o custo com precisão de rublo mais próximo (arredondado para o número inteiro mais próximo).

O primeiro argumento da função é uma expressão numérica para encontrar o custo.

Como arredondar para cima e para baixo no Excel

Para arredondar, use a função “ROUNDUP”.

Preenchemos o primeiro argumento de acordo com o princípio já familiar - um link para uma célula com dados.

Segundo argumento: “0” - arredonda a fração decimal para a parte inteira, “1” - a função arredonda, deixando uma casa decimal, etc.

Fórmula: =ROUNDUP(A1;0).

Resultado:

Para arredondar no Excel, use a função ROUNDDOWN.

Fórmula de exemplo: =ROUNDBOTTOM(A1,1).

Resultado:

As fórmulas “ROUND UP” e “ROUND DOWN” são utilizadas para arredondar os valores das expressões (produto, soma, diferença, etc.).

Como arredondar para um número inteiro no Excel?

Para arredondar para um número inteiro, use a função “ROUND UP”. Para arredondar para um número inteiro, use a função “ROUND DOWN”. A função “ROUND” e o formato da célula também permitem arredondar para um número inteiro definindo o número de dígitos como “0” (veja acima).

O Excel também usa a função RUN para arredondar para um número inteiro. Simplesmente descarta as casas decimais. Essencialmente, nenhum arredondamento ocorre. A fórmula corta os números no dígito designado.

Comparar:

O segundo argumento é “0” - a função corta para um número inteiro; “1” - até um décimo; “2” - até um centésimo, etc.

Uma função especial do Excel que retornará apenas um número inteiro é “INTEGER”. Possui um único argumento – “Número”. Você pode especificar um valor numérico ou uma referência de célula.

A desvantagem de usar a função "INTEGER" é que ela apenas arredonda para baixo.

Você pode arredondar para o número inteiro mais próximo no Excel usando as funções “OKRUP” e “OKRVDOWN”. O arredondamento ocorre para cima ou para baixo para o número inteiro mais próximo.

Exemplo de uso de funções:

O segundo argumento é uma indicação do dígito para o qual deve ocorrer o arredondamento (10 para dezenas, 100 para centenas, etc.).

O arredondamento para o número inteiro par mais próximo é realizado pela função “PAR”, o arredondamento para o número inteiro ímpar mais próximo é realizado pela função “ODD”.

Um exemplo de seu uso:

Por que o Excel arredonda números grandes?

Se números grandes forem inseridos nas células da planilha (por exemplo, 78568435923100756), o Excel os arredondará automaticamente assim por padrão: 7,85684E+16 é um recurso do formato de célula “Geral”. Para evitar essa exibição de números grandes, você precisa alterar o formato da célula com os dados um grande número em "Numérico" (o mais Atalho pressione a combinação de teclas de atalho CTRL+SHIFT+1). Em seguida, o valor da célula será exibido assim: 78.568.435.923.100.756,00. Se desejar, o número de dígitos pode ser reduzido: “Home” - “Número” - “Reduzir dígitos”.

Métodos

Pode ser usado em diversas áreas vários métodos arredondamento. Em todos esses métodos, os sinais “extras” são redefinidos (descartados) e o sinal que os precede é ajustado de acordo com alguma regra.

Arredondar para o número inteiro mais próximo(Inglês) arredondamento) - o arredondamento mais utilizado, em que um número é arredondado para um inteiro, módulo de diferença com o qual esse número tem mínimo. Em geral, quando um número no sistema decimal é arredondado para a enésima casa decimal, a regra pode ser formulada da seguinte forma:
- Se Sinal N+1< 5 , então o enésimo sinal é retido e N+1 e todos os subsequentes são zerados;
- Se N+1 caractere ≥ 5, então o enésimo sinal é aumentado em um, e N+1 e todos os subsequentes são zerados;
Por exemplo: 11,9 → 12; −0,9 → −1; −1,1 → −1; 2,5 → 3.
Módulo de arredondamento(arredondado para zero, inteiro em inglês) corrigir, truncar, inteiro) é o arredondamento “mais simples”, pois após zerar os sinais “extras”, o sinal anterior é retido. Por exemplo, 11,9 → 11; −0,9 → 0; −1,1 → −1).
Arredondar para cima(arredondar para +∞, arredondar para cima, eng. teto) - se os sinais de zeragem não forem iguais a zero, o sinal anterior é aumentado em um se o número for positivo ou mantido se o número for negativo. No jargão econômico - arredondamento a favor do vendedor, credor(pessoa que recebe dinheiro). Em particular, 2,6 → 3, −2,6 → −2.
Arredondar para baixo(arredondado para −∞, arredondado para baixo, inglês. chão) - se os sinais de zeragem não forem iguais a zero, o sinal anterior é mantido se o número for positivo ou aumentado de um se o número for negativo. No jargão econômico - arredondamento a favor do comprador, devedor(a pessoa que dá o dinheiro). Aqui 2,6 → 2, −2,6 → −3.
Módulo de arredondamento(arredondar para o infinito, arredondar para longe de zero) é uma forma de arredondamento relativamente raramente usada. Se os sinais de zeragem não forem iguais a zero, o sinal anterior será aumentado em um.

Opções para arredondar 0,5 para o número inteiro mais próximo

As regras de arredondamento exigem uma descrição separada para o caso especial quando (N+1)º dígito = 5 e os dígitos subsequentes são zero. Se em todos os outros casos o arredondamento para o número inteiro mais próximo proporciona um erro de arredondamento menor, então este caso particular é caracterizado pelo facto de que para um único arredondamento é formalmente indiferente se é feito “para cima” ou “para baixo” - em ambos os casos um é introduzido um erro de exatamente 1/2 do dígito menos significativo. Existem as seguintes opções para o arredondamento para a regra do número inteiro mais próximo para este caso:

Arredondamento matemático- o arredondamento é sempre para cima (o dígito anterior é sempre aumentado de uma unidade).
Arredondamento bancário(Inglês) arredondamento do banqueiro) - o arredondamento para este caso ocorre para o número par mais próximo, ou seja, 2,5 → 2, 3,5 → 4.
Arredondamento aleatório- o arredondamento ocorre para cima ou para baixo em ordem aleatória, mas com igual probabilidade (pode ser usado em estatísticas).
Arredondamento alternativo- o arredondamento ocorre alternadamente para baixo ou para cima.

Em todos os casos, quando o (N+1)-ésimo dígito não for igual a 5 ou os dígitos subsequentes não forem iguais a zero, o arredondamento ocorre de acordo com as regras usuais: 2,49 → 2; 2,51 → 3.

O arredondamento matemático corresponde simplesmente formalmente regra geral arredondamento (veja acima). Sua desvantagem é que ao arredondar um grande número de valores pode ocorrer acúmulo. erros de arredondamento. Um exemplo típico: arredondamento de valores monetários para rublos inteiros. Portanto, se num registo de 10.000 linhas existem 100 linhas com valores contendo o valor de 50 em copeques (e esta é uma estimativa muito realista), então quando todas essas linhas são arredondadas “para cima”, o valor “total” para o o registro arredondado será 50 rublos a mais que o exato .

As outras três opções foram inventadas justamente para reduzir o erro geral da soma no arredondamento grande quantidade valores. O arredondamento “para o par mais próximo” baseia-se na suposição de que quando número grande Para valores arredondados que tenham 0,5 no restante, em média metade ficará à esquerda e metade à direita do número par mais próximo, anulando assim erros de arredondamento. A rigor, esta suposição só é verdadeira quando o conjunto de números a ser arredondado tem as propriedades de uma série aleatória, o que normalmente é verdade em aplicações contabilísticas onde estamos a falar de preços, montantes de contas, e assim por diante. Se a suposição for violada, o arredondamento “para igual” pode levar a erros sistemáticos. Para tais casos, os dois métodos a seguir funcionam melhor.

As duas últimas opções de arredondamento garantem que aproximadamente metade dos valores especiais sejam arredondados para um lado e metade para o outro. Mas a implementação de tais métodos na prática requer esforços adicionais para organizar o processo computacional.

Formulários

O arredondamento é usado para trabalhar com números dentro do número de casas decimais que corresponde à precisão real dos parâmetros de cálculo (se esses valores representam quantidades reais medidas de uma forma ou de outra), a precisão realmente alcançável dos cálculos, ou o precisão desejada do resultado. No passado, o arredondamento de valores e resultados intermediários era de importância prática (já que ao calcular no papel ou usar dispositivos primitivos como o ábaco, levar em consideração casas decimais extras pode aumentar seriamente a quantidade de trabalho). Agora continua a ser um elemento da cultura científica e de engenharia. Além disso, em aplicações contábeis, o uso de arredondamento, incluindo arredondamento intermediário, pode ser necessário para proteger contra erros computacionais associados à capacidade finita dos dispositivos de computação.

Usando arredondamento ao trabalhar com números de precisão limitada

As grandezas físicas reais são sempre medidas com uma certa precisão finita, que depende dos instrumentos e métodos de medição e é estimada pelo desvio máximo relativo ou absoluto do valor real desconhecido do valor medido, que na representação decimal do valor corresponde a ou um certo número de dígitos significativos ou uma certa posição no registro do número, todos os números após (à direita) são insignificantes (estão dentro do erro de medição). Os próprios parâmetros medidos são registrados com um número tal de caracteres que todos os números são confiáveis, talvez o último seja duvidoso. O erro em operações matemáticas com números de precisão limitada é preservado e muda de acordo com leis matemáticas conhecidas, portanto, quando valores intermediários e resultados com um grande número de dígitos surgem em cálculos posteriores, apenas alguns desses dígitos são significativos. Os restantes números, embora presentes nos valores, na verdade não reflectem qualquer realidade física e apenas ocupam tempo para cálculos. Como resultado, os valores intermediários e os resultados em cálculos com precisão limitada são arredondados para o número de casas decimais que reflete a precisão real dos valores obtidos. Na prática, geralmente é recomendado armazenar mais um dígito em valores intermediários para cálculos manuais de “cadeia” longa. Ao usar um computador, o arredondamento intermediário em aplicações científicas e técnicas geralmente perde seu significado e apenas o resultado é arredondado.

Assim, por exemplo, se uma força de 5815 gf é dada com precisão de um grama de força e o comprimento do braço é de 1,4 m com precisão de um centímetro, então o momento de força em kgf de acordo com a fórmula, no caso de um cálculo formal com todos os sinais, será igual a: 5,815 kgf 1,4 m = 8,141 kgf m. No entanto, se levarmos em conta o erro de medição, descobrimos que o erro relativo máximo do primeiro valor é 1/5815 ≈ 1,7 10 −4 , segundo - 1/140 ≈ 7,1 10 −3 , o erro relativo do resultado de acordo com a regra de erro da operação de multiplicação (ao multiplicar valores aproximados, os erros relativos se somam) será 7,3 10 −3 , que corresponde ao erro absoluto máximo do resultado ±0,059 kgf m! Ou seja, na realidade, levando em consideração o erro, o resultado pode ser de 8.082 a 8.200 kgf m, portanto, no valor calculado de 8.141 kgf m, apenas o primeiro valor é totalmente confiável, mesmo o segundo já é duvidoso! Seria correto arredondar o resultado do cálculo para o primeiro dígito duvidoso, ou seja, para décimos: 8,1 kgf m, ou, se for necessário indicar com maior precisão a extensão do erro, apresentá-lo na forma arredondada para um ou duas casas decimais indicando o erro: 8,14 ± 0,06 kgf·m.

Regras básicas para aritmética com arredondamento

Nos casos em que não há necessidade de levar em conta erros computacionais com precisão, mas apenas é necessário estimar aproximadamente o número de números exatos como resultado do cálculo usando a fórmula, você pode usar um conjunto de regras simples para cálculos arredondados:

Todos os valores originais são arredondados para a precisão real da medição e escritos com o número apropriado de dígitos significativos, de modo que na notação decimal todos os dígitos sejam confiáveis (o último dígito pode ser duvidoso). Se necessário, os valores são escritos com zeros significativos à direita para que o registro indique o número real de caracteres confiáveis (por exemplo, se um comprimento de 1 m for realmente medido até o centímetro mais próximo, escreva “1,00 m” para mostrar que dois caracteres são confiáveis no registro após o ponto decimal), ou a precisão é explicitamente indicada (por exemplo, 2500 ± 5 m - aqui apenas dezenas são confiáveis e devem ser arredondadas para elas).
Os valores intermediários são arredondados com um dígito “sobressalente”.
Ao somar e subtrair, o resultado é arredondado para a última casa decimal do parâmetro menos preciso (por exemplo, ao calcular o valor 1,00 m + 1,5 m + 0,075 m, o resultado é arredondado para o décimo de metro, ou seja, a 2,6 m). Neste caso, recomenda-se realizar os cálculos de forma a evitar subtrair números de magnitude próxima e realizar operações sobre os números, se possível, em ordem crescente de seus módulos.
Ao multiplicar e dividir, o resultado é arredondado para o menor número de algarismos significativos que os parâmetros possuem (por exemplo, ao calcular a velocidade do movimento uniforme de um corpo a uma distância de 2,5 10 2 m, em 600 s o resultado deve ser arredondado para 4,2 m/s, pois a distância tem dois dígitos e o tempo tem três, assumindo que todos os dígitos na entrada são significativos).
Ao calcular o valor da função f(x)é necessário estimar o módulo da derivada desta função nas proximidades do ponto de cálculo. Se (|f"(x)| ≤ 1), então o resultado da função terá precisão na mesma casa decimal do argumento. Caso contrário, o resultado contém menos casas decimais exatas pela quantidade registro 10 (|f"(x)|), arredondado para o número inteiro mais próximo.

Apesar da falta de rigor, as regras acima funcionam muito bem na prática, em particular, devido à probabilidade bastante elevada de cancelamento mútuo de erros, que normalmente não é levada em consideração na contabilização precisa dos erros.

Erros

O abuso de números não redondos é bastante comum. Por exemplo:

Números com baixa precisão são escritos de forma não arredondada. Nas estatísticas: se 4 entre 17 pessoas responderam “sim”, então escrevem “23,5%” (enquanto “24%” está correto).
Os usuários de instrumentos ponteiros às vezes pensam assim: “a agulha parou entre 5,5 e 6, mais perto de 6, deixe ser 5,8” - isso também é proibido (a calibração do aparelho geralmente corresponde à sua precisão real). Neste caso, você deve dizer “5,5” ou “6”.

Veja também

Processando observações
Erros de arredondamento

Notas

Literatura

Henry S.Warren, Jr. Capítulo 3. Arredondamento para potências de 2// Truques algorítmicos para programadores = Hacker's Delight - M.: Williams, 2007. - P. 288. - ISBN 0-201-91465-4.

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