Em um triângulo isósceles, 2 lados são iguais. Triângulo isósceles e suas propriedades

Esta lição abordará o tópico “Triângulo isósceles e suas propriedades”. Você aprenderá como são os triângulos isósceles e equiláteros e como eles são caracterizados. Prove o teorema da igualdade dos ângulos na base de um triângulo isósceles. Considere também o teorema sobre a bissetriz (mediana e altitude) desenhada na base de um triângulo isósceles. No final da lição, você resolverá dois problemas usando a definição e as propriedades de um triângulo isósceles.

Definição:Isóscelesé chamado de triângulo cujos dois lados são iguais.

Arroz. 1. Triângulo isósceles

AB = AC - lados. BC - fundação.

A área de um triângulo isósceles é igual à metade do produto de sua base pela altura.

Definição:Equiláteroé chamado de triângulo em que todos os três lados são iguais.

Arroz. 2. Triângulo Equilátero

AB = BC = SA.

Teorema 1: Em um triângulo isósceles, os ângulos da base são iguais.

Dado: AB = AC.

Provar:∠B =∠C.

Arroz. 3. Desenho para o teorema

Prova: triângulo ABC = triângulo ACB segundo o primeiro sinal (dois lados iguais e o ângulo entre eles). Da igualdade dos triângulos segue-se que todos os elementos correspondentes são iguais. Isso significa ∠B = ∠C, que é o que precisava ser provado.

Teorema 2: Em um triângulo isósceles bissetriz desenhado para a base é mediana E altura.

Dado: AB = AC, ∠1 = ∠2.

Provar:ВD = DC, AD perpendicular a BC.

Arroz. 4. Desenho para o Teorema 2

Prova: triângulo ADB = triângulo ADC de acordo com o primeiro sinal (AD - geral, AB = AC por condição, ∠BAD = ∠DAC). Da igualdade dos triângulos segue-se que todos os elementos correspondentes são iguais. BD = DC, pois eles estão opostos a ângulos iguais. Então AD é a mediana. Além disso, ∠3 = ∠4, uma vez que estão opostos lados iguais. Mas, além disso, são iguais no total. Portanto, ∠3 = ∠4 = . Isto significa que AD é a altura do triângulo, que é o que precisávamos provar.

No único caso a = b = . Neste caso, as linhas AC e BD são chamadas perpendiculares.

Como a bissetriz, a altura e a mediana são o mesmo segmento, as seguintes afirmações também são verdadeiras:

A altura de um triângulo isósceles desenhado até a base é a mediana e a bissetriz.

A mediana de um triângulo isósceles desenhado até a base é a altitude e a bissetriz.

Exemplo 1: Em um triângulo isósceles, a base tem metade do lado e o perímetro é 50 cm.

Dado: AB = AC, BC = AC. P = 50 cm.

Encontrar: BC, AC, AB.

Solução:

Arroz. 5. Desenho por exemplo 1

Vamos denotar a base BC como a, então AB = AC = 2a.

2a + 2a + a = 50.

5a = 50, a = 10.

Responder: BC = 10 cm, AC = AB = 20 cm.

Exemplo 2: Prove que em um triângulo equilátero todos os ângulos são iguais.

Dado: AB = BC = SA.

Provar:∠A = ∠B = ∠C.

Prova:

Arroz. 6. Desenhar por exemplo

∠B = ∠C, já que AB = AC, e ∠A = ∠B, já que AC = BC.

Portanto, ∠A = ∠B = ∠C, que é o que precisava ser provado.

Responder: Comprovado.

Na lição de hoje examinamos um triângulo isósceles e estudamos suas propriedades básicas. Na próxima lição resolveremos problemas sobre o tema triângulos isósceles, calculando a área de um triângulo isósceles e equilátero.

Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. e outros. Geometria 7. - M.: Educação.
Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B. e outros. Geometria 7. 5ª ed. - M.: Iluminismo.
Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolova V.V. Geometria 7 / V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev, V.V. Prasolova, ed. Sadovnichego V.A. - M.: Educação, 2010.

Dicionários e enciclopédias sobre Acadêmico ().
Festival ideia pedagógica « Lição pública» ().
Kaknauchit.ru().

1. Nº 29. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolova V.V. Geometria 7 / V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev, V.V. Prasolova, ed. Sadovnichego V.A. - M.: Educação, 2010.

2. O perímetro de um triângulo isósceles é 35 cm e a base é três vezes menor que o lado. Encontre os lados do triângulo.

3. Dado: AB = BC. Prove que ∠1 = ∠2.

4. O perímetro de um triângulo isósceles é 20 cm, um de seus lados é duas vezes maior que o outro. Encontre os lados do triângulo. Quantas soluções o problema tem?

Tópico da lição

Triângulo isósceles

O objetivo da lição

Apresente aos alunos um triângulo isósceles;
Continuar a desenvolver competências na construção de triângulos retângulos;
Ampliar o conhecimento dos alunos sobre as propriedades dos triângulos isósceles;
Fortalecer o conhecimento teórico na resolução de problemas.

lições objetivas

Ser capaz de formular, provar e utilizar o teorema das propriedades de um triângulo isósceles no processo de resolução de problemas;
Continuar o desenvolvimento da percepção consciente do material educativo, do pensamento lógico, das habilidades de autocontrole e autoestima;
Despertar interesse cognitivo nas aulas de matemática;
Promova a atividade, a curiosidade e a organização.

Plano de aula

1. Conceitos gerais e definições de um triângulo isósceles.
2. Propriedades de um triângulo isósceles.
3. Sinais de um triângulo isósceles.
4. Perguntas e tarefas.

Triângulo isósceles

Um triângulo isósceles é um triângulo que tem dois lados iguais, chamados de lados de um triângulo isósceles, e seu terceiro lado é chamado de base.

O topo de uma determinada figura é aquele localizado em frente à sua base.

O ângulo oposto à base é chamado de ângulo do vértice desse triângulo, e os outros dois ângulos são chamados de ângulos da base de um triângulo isósceles.

Tipos de triângulos isósceles

Um triângulo isósceles, como outras figuras, pode ter tipos diferentes. Entre os triângulos isósceles existem triângulos agudos, retangulares, obtusos e equiláteros.

Um triângulo agudo possui todos os ângulos agudos.
Um triângulo retângulo tem um ângulo reto em seu vértice e ângulos agudos em sua base.
Um ângulo obtuso tem um ângulo obtuso no ápice e os ângulos em sua base são agudos.
Um objeto equilátero tem todos os seus ângulos e lados iguais.

Propriedades de um triângulo isósceles

Os ângulos opostos em relação aos lados iguais de um triângulo isósceles são iguais entre si;

Bissetrizes, medianas e altitudes traçadas a partir de ângulos opostos a lados iguais de um triângulo são iguais entre si.

A bissetriz, mediana e altura, direcionadas e traçadas até a base do triângulo, coincidem entre si.

Os centros dos círculos inscritos e circunscritos estão na altura, bissetriz e mediana (coincidem) traçadas para a base.

Ângulos opostos a lados iguais de um triângulo isósceles são sempre agudos.

Essas propriedades de um triângulo isósceles são usadas na resolução de problemas.

Trabalho de casa

1. Defina um triângulo isósceles.
2. O que há de especial neste triângulo?
3. Qual a diferença entre um triângulo isósceles e um triângulo retângulo?
4. Cite as propriedades de um triângulo isósceles que você conhece.
5. Você acha que é possível na prática verificar a igualdade dos ângulos na base e como fazer isso?

Exercício

Agora vamos fazer uma breve pesquisa e descobrir como você aprendeu o novo material.

Ouça atentamente as perguntas e responda se a seguinte afirmação é verdadeira:

1. Um triângulo pode ser considerado isósceles se seus dois lados forem iguais?
2. Uma bissetriz é um segmento que conecta o vértice de um triângulo ao ponto médio do lado oposto?
3. Uma bissetriz é um segmento que corta ao meio um ângulo que conecta um vértice a um ponto no lado oposto?

Dicas para resolver problemas de triângulo isósceles:

1. Para determinar o perímetro de um triângulo isósceles, basta multiplicar o comprimento do lado por 2 e somar este produto com o comprimento da base do triângulo.
2. Se o perímetro e o comprimento da base de um triângulo isósceles são conhecidos no problema, então para encontrar o comprimento do lado basta subtrair o comprimento da base do perímetro e dividir a diferença encontrada por 2.
3. E para encontrar o comprimento da base de um triângulo isósceles, conhecendo tanto o perímetro quanto o comprimento do lado, basta multiplicar o lado por dois e subtrair esse produto do perímetro do nosso triângulo.

Tarefas:

1. Entre os triângulos da figura, identifique um a mais e explique sua escolha:

2. Determine quais dos triângulos mostrados na figura são isósceles, nomeie suas bases e lados e calcule também seu perímetro.

3. O perímetro de um triângulo isósceles é 21 cm. Encontre os lados deste triângulo se um deles for 3 cm maior. esta tarefa?

4. Sabe-se que se o lado lateral e o ângulo oposto à base de um triângulo isósceles forem iguais ao lado lateral e ao ângulo de outro, então esses triângulos serão iguais. Prove esta afirmação.

5. Pense e diga se algum triângulo isósceles é equilátero? E qualquer triângulo equilátero será isósceles?

6. Se os lados de um triângulo isósceles medem 4 me 5 m, qual será o seu perímetro? Quantas soluções esse problema pode ter?

7. Se um dos ângulos de um triângulo isósceles é igual a 91 graus, então a que são iguais os outros ângulos?

8. Pense e responda: quais ângulos um triângulo deve ter para ser retangular e isósceles?

Quantos de vocês sabem o que é o triângulo de Pascal? O problema da construção do triângulo de Pascal é frequentemente solicitado para testar habilidades básicas de programação. Em geral, o triângulo de Pascal refere-se à combinatória e à teoria das probabilidades. Então, que tipo de triângulo é esse?

O triângulo de Pascal é um triângulo aritmético infinito ou uma tabela em forma de triângulo formada por coeficientes binomiais. Em palavras simples, o vértice e os lados deste triângulo são unidades e ele próprio é preenchido com as somas dos dois números localizados acima. Tal triângulo pode ser dobrado ad infinitum, mas se o delinearmos, obteremos um triângulo isósceles com linhas simétricas em relação ao seu eixo vertical.

Pense em onde Vida cotidiana Você já se deparou com triângulos isósceles? Não é verdade que os telhados das casas e as estruturas arquitetônicas antigas lembram muito elas? E lembre-se qual é a base Pirâmides egípcias? Onde mais você encontrou triângulos isósceles?

Desde os tempos antigos, os triângulos isósceles ajudaram os gregos e egípcios na determinação de distâncias e alturas. Por exemplo, os antigos gregos o usavam para determinar à distância a distância até um navio no mar. E os antigos egípcios determinavam a altura das suas pirâmides com base no comprimento da sombra projetada, porque... era um triângulo isósceles.

Desde a antiguidade, as pessoas já apreciam a beleza e a praticidade desta figura, pois as formas dos triângulos nos rodeiam por toda parte. Movendo-nos por diferentes aldeias, vemos os telhados de casas e outros edifícios que nos lembram um triângulo isósceles quando entramos numa loja, vemos embalagens de alimentos e sumos em formato triangular, e até alguns rostos humanos têm a forma de um; triângulo. Esta figura é tão popular que você pode vê-la a cada passo.

Disciplinas > Matemática > Matemática 7º ano

Triângulo isóscelesé um triângulo em que dois lados têm comprimentos iguais. Os lados iguais são chamados de laterais e o último é chamado de base. Por definição, um triângulo regular também é isósceles, mas o inverso não é verdadeiro.

Propriedades

Ângulos opostos a lados iguais de um triângulo isósceles são iguais entre si. As bissetrizes, medianas e altitudes traçadas a partir desses ângulos também são iguais.
A bissetriz, mediana, altura e bissetriz perpendicular traçada até a base coincidem entre si. Os centros dos círculos inscritos e circunscritos estão nesta linha.
Ângulos opostos a lados iguais são sempre agudos (decorre de sua igualdade).

Deixar a- o comprimento de dois lados iguais de um triângulo isósceles, b- comprimento do terceiro lado, α E β - ângulos correspondentes, R- raio do círculo circunscrito, R- raio do inscrito.

Os lados podem ser encontrados da seguinte forma:

Os ângulos podem ser expressos das seguintes maneiras:

O perímetro de um triângulo isósceles pode ser calculado de qualquer uma das seguintes maneiras:

A área de um triângulo pode ser calculada de uma das seguintes maneiras:

(Fórmula de Heron).

Sinais

Dois ângulos de um triângulo são iguais.
A altura coincide com a mediana.
A altura coincide com a bissetriz.
A bissetriz coincide com a mediana.
As duas alturas são iguais.
As duas medianas são iguais.
Duas bissetoras são iguais (teorema de Steiner-Lemus).

Veja também

Fundação Wikimedia. 2010.

Veja o que é um “triângulo isósceles” em outros dicionários:

TRIÂNGULO ISOSceles, UM TRIÂNGULO que tem dois lados de igual comprimento; os ângulos desses lados também são iguais... Dicionário enciclopédico científico e técnico

E (simples) trígono, triângulo, cara. 1. Uma figura geométrica delimitada por três linhas que se cruzam formando três ângulos internos (mat.). Triângulo obtuso. Triângulo agudo. Triângulo retângulo.… … Dicionário Ushakova

ISOSceles, aya, oe: um triângulo isósceles com dois lados iguais. | substantivo isósceles e, feminino Dicionário explicativo de Ozhegov. SI. Ozhegov, N.Yu. Shvedova. 1949 1992… Dicionário Explicativo de Ozhegov

triângulo- ▲ um polígono com três ângulos, um triângulo, o polígono mais simples; é definido por 3 pontos que não estão na mesma linha. triangular. ângulo agudo. ângulo agudo. triângulo retângulo: perna. hipotenusa. Triângulo isósceles. ▼… … Dicionário Ideográfico da Língua Russa

triângulo- TRIÂNGULO1, a, m de quê ou com def. Um objeto na forma de uma figura geométrica delimitada por três linhas que se cruzam formando três ângulos internos. Ela vasculhou as cartas do marido, com triângulos amarelados na frente. TRIÂNGULO2, a, m... ... Dicionário explicativo de substantivos russos

Este termo possui outros significados, veja Triângulo (significados). Um triângulo (no espaço euclidiano) é figura geométrica, formado por três segmentos que conectam três pontos que não estão na mesma reta. Três pontos,... ...Wikipedia

Triângulo (polígono)- Triângulos: 1 agudo, retangular e obtuso; 2 regulares (equiláteros) e isósceles; 3 bissetrizes; 4 medianas e centro de gravidade; 5 alturas; 6 ortocentro; 7 linha do meio. TRIÂNGULO, um polígono com 3 lados. Às vezes sob... ... Dicionário Enciclopédico Ilustrado

dicionário enciclopédico

triângulo- A; m. 1) a) Uma figura geométrica delimitada por três linhas que se cruzam formando três ângulos internos. Triângulo retangular isósceles. Calcule a área do triângulo. b) ot. o que ou com def. Uma figura ou objeto com esta forma... ... Dicionário de muitas expressões

A; m.1. Uma figura geométrica delimitada por três linhas que se cruzam formando três ângulos internos. Retangular, isósceles t. Calcule a área do triângulo. // o que ou com def. Uma figura ou objeto com esta forma. T. telhados. T.… … dicionário enciclopédico

Em que dois lados têm comprimentos iguais. Os lados iguais são chamados de laterais e o último lado desigual é chamado de base. Por definição, um triângulo regular também é isósceles, mas o inverso não é verdadeiro.

Terminologia

Se um triângulo tem dois lados iguais, esses lados são chamados de lados e o terceiro lado é chamado de base. O ângulo formado pelos lados é chamado ângulo do vértice, e os ângulos, um dos lados dos quais é a base, são chamados cantos na base.

Propriedades

Ângulos opostos a lados iguais de um triângulo isósceles são iguais entre si. As bissetrizes, medianas e altitudes traçadas a partir desses ângulos também são iguais.
A bissetriz, mediana, altura e bissetriz perpendicular traçada até a base coincidem entre si. Os centros dos círculos inscritos e circunscritos estão nesta linha.

Deixar a- o comprimento de dois lados iguais de um triângulo isósceles, b- comprimento do terceiro lado, h- altura de um triângulo isósceles

$a = \frac b (2 \cos \alpha)$ (uma consequência do teorema do cosseno);
$b = a \sqrt (2 (1 - \cos \beta))$ (uma consequência do teorema do cosseno);
$b = 2a \ sin \ frac \ beta 2$ ;
$b = 2a\cos\alfa$ (teorema da projeção)

O raio do círculo interno pode ser expresso de seis maneiras, dependendo de quais dois parâmetros do triângulo isósceles são conhecidos:

$r=\frac b2 \sqrt(\frac(2a-b)(2a+b))$
$r=\frac(bh)(b+\sqrt(4h^2+b^2))$
$r=\frac(h)(1+\frac(a)(\sqrt(a^2-h^2)))$
$r=\frac b2 \operatorname(tg) \left (\frac(\alpha)(2) \right)$
$r=a\cdot \cos(\alpha)\cdot \operatorname(tg) \left (\frac(\alpha)(2) \right)$

Ângulos pode ser expresso das seguintes maneiras:

$\alfa = \frac (\pi - \beta) 2;$
$\beta = \pi - 2\alfa;$
$\alfa = \arcsin \frac a (2R), \beta = \arcsin \frac b (2R)$ (teorema do seno).
O ângulo também pode ser encontrado sem $(\pi)$ E $R$ . Um triângulo é dividido ao meio pela sua mediana e recebido Os ângulos de dois triângulos retângulos iguais são calculados:

y = \cos\alpha =\frac (b)(c), \arccos y = x

Perímetro Um triângulo isósceles é encontrado das seguintes maneiras:

$P = 2a + b$ (a-prior);
$P = 2R (2 \sin \alpha + \sin \beta)$ (um corolário do teorema do seno).

Quadrado o triângulo é encontrado das seguintes maneiras:

$S = \frac 1 2bh;$

$S = \frac 1 2 a^2 \sin \beta = \frac 1 2 ab \sin \alpha = \frac (b^2)(4 \tan \frac \beta 2);$ $S = \frac 1 2 b \sqrt (\left(a + \frac 1 2 b \right) \left(a - \frac 1 2 b \right));$ $S = \frac 2 1 a \sqrt \beta = \frac 2 1 ab \cos \alpha = \frac (b^1)(2 \sin \frac \beta 1);$

Veja também

Escreva uma resenha sobre o artigo "Triângulo Isósceles"

Notas

Trecho caracterizando um triângulo isósceles

Marya Dmitrievna, embora tivessem medo dela, era vista em São Petersburgo como uma cracker e, portanto, das palavras ditas por ela, eles notaram apenas uma palavra rude e a repetiram em um sussurro um para o outro, presumindo que esta palavra continha todo o sal do que foi dito.
Príncipe Vasily, Ultimamente especialmente muitas vezes esquecendo o que dizia e repetindo a mesma coisa centenas de vezes, falava toda vez que via sua filha.
“Helene, j'ai un mot a vous dire”, ele disse a ela, puxando-a de lado e puxando-a pela mão. Eh bien, minha querida criança, vous savez que mon c?ur de pere se rejouit do vous savoir... Vous avez tant souffert... Mais, querida criança... ne consultez que votre c?ur. C"est tout ce que je vous dis. [Helen, preciso lhe contar uma coisa. Ouvi falar de algumas espécies sobre... você sabe. Bem, meu querido filho, você sabe que o coração de seu pai se alegra por você.. .Você suportou tanta coisa... Mas, querida criança... Faça o que seu coração manda. Esse é todo o meu conselho.] - E, sempre escondendo a mesma excitação, ele encostou a bochecha na bochecha da filha e foi embora.
Bilibin, que não perdeu sua reputação a pessoa mais inteligente e sendo o amigo desinteressado de Helen, um daqueles amigos que as mulheres brilhantes sempre têm, amigos de homens que nunca podem assumir o papel de amantes, Bilibin uma vez em um petit comite [pequeno círculo íntimo] expressou à sua amiga Helen sua opinião sobre tudo isso. matéria.
- Ecoutez, Bilibine (Helen sempre chamava amigos como Bilibine pelo sobrenome) - e ela tocou a mão com anéis brancos na manga do fraque dele. – Dites moi como vous diriez a une sûur, que dois je faire? Lequel des deux? [Escute, Bilibin: diga-me, como você contaria para sua irmã, o que devo fazer? Qual dos dois?]
Bilibin juntou a pele acima das sobrancelhas e pensou com um sorriso nos lábios.
“Vous ne me prenez pas en surpreso, vous savez”, disse ele. - Comme veritable ami j"ai pense et repense a votre affaire. Voyez vous. Si vous epousez le prince (era um jovem)", ele dobrou o dedo, "vous perdez pour toujours la chance d"epouser l"autre, et puis vous me contentez la Cour. vous epousant, [Você não vai me pegar de surpresa, você sabe. perderá para sempre a oportunidade de ser esposa de outro e, além disso, o tribunal ficará insatisfeito, afinal, o parentesco está envolvido aqui.) E se você se casar com o velho conde, então você fará a felicidade. últimos dias ele, e então... não será mais humilhante para o príncipe se casar com a viúva de um nobre.] - e Bilibin afrouxou a pele.
– Voila, um verdadeiro amigo! - disse Helen radiante, tocando mais uma vez a manga de Bilibip com a mão. – Mais c"est que j"aime l"un et l"autre, je ne voudrais pas leur faire de desgosto. Je donnerais ma vie pour leur bonheur a tous deux, [Aqui está um verdadeiro amigo! Mas eu amo os dois e não gostaria de incomodar ninguém. Para a felicidade de ambos, estaria disposta a sacrificar minha vida.] - disse ela.
Bilibin encolheu os ombros, expressando que nem ele poderia mais evitar tal dor.
“Uma maitresse femme! Voila ce qui s"appelle poser carrement la question. Elle voudrait epouser tous les trois a la fois", ["Muito bem, mulher! É assim que se chama fazer a pergunta com firmeza. Ela gostaria de ser esposa dos três ao mesmo tempo."] - pensou Bilibin.

Os primeiros historiadores da nossa civilização - os antigos gregos - mencionam o Egito como o berço da geometria. É difícil discordar deles, sabendo com que precisão surpreendente foram erguidas as tumbas gigantes dos faraós. A disposição relativa dos planos das pirâmides, suas proporções, orientação aos pontos cardeais - seria impensável atingir tal perfeição sem conhecer os fundamentos da geometria.

A própria palavra “geometria” pode ser traduzida como “medição da terra”. Além disso, a palavra “terra” não aparece como um planeta - parte sistema solar, mas como um avião. Marcação de áreas para manutenção Agricultura, provavelmente, é a base original da ciência das figuras geométricas, seus tipos e propriedades.

Um triângulo é a figura espacial mais simples da planimetria, contendo apenas três pontos - vértices (não há menos). A base dos alicerces, talvez por isso pareça haver algo misterioso e antigo nele. O olho que tudo vê dentro de um triângulo é um dos primeiros sinais ocultos conhecidos, e a geografia de sua distribuição e período de tempo são simplesmente incríveis. Desde as antigas civilizações egípcias, sumérias, astecas e outras civilizações até comunidades mais modernas de amantes do ocultismo espalhadas por todo o mundo.

O que são triângulos?

Um triângulo escaleno comum é uma figura geométrica fechada que consiste em três segmentos de comprimentos diferentes e três ângulos, nenhum dos quais é reto. Além disso, existem vários tipos especiais.

Um triângulo agudo tem todos os ângulos menores que 90 graus. Em outras palavras, todos os ângulos desse triângulo são agudos.

Um triângulo retângulo, pelo qual os alunos sempre choraram pela abundância de teoremas, tem um ângulo de 90 graus ou, como também é chamado, uma linha reta.

Um triângulo obtuso se distingue pelo fato de um de seus ângulos ser obtuso, ou seja, seu tamanho é superior a 90 graus.

Um triângulo equilátero tem três lados de comprimento igual. Nessa figura, todos os ângulos também são iguais.

E finalmente, um triângulo isósceles tem três lados, dois iguais entre si.

Características distintas

As propriedades de um triângulo isósceles também determinam sua principal diferença - a igualdade de seus dois lados. Esses lados iguais são geralmente chamados de quadris (ou, mais frequentemente, de lados), e o terceiro lado é chamado de “base”.

Na figura em consideração, a = b.

O segundo critério para um triângulo isósceles decorre do teorema dos senos. Como os lados aeb são iguais, os senos de seus ângulos opostos são iguais:

a/sin γ = b/sin α, de onde temos: sin γ = sin α.

Da igualdade dos senos segue a igualdade dos ângulos: γ = α.

Assim, o segundo sinal de um triângulo isósceles é a igualdade de dois ângulos adjacentes à base.

Terceiro sinal. Em um triângulo, existem elementos como altitude, bissetriz e mediana.

Se, no processo de resolução do problema, se verificar que no triângulo em questão quaisquer dois destes elementos coincidem: a altura com a bissetriz; bissetriz com mediana; mediana com altura - podemos concluir definitivamente que o triângulo é isósceles.

Propriedades geométricas de uma figura

1. Propriedades de um triângulo isósceles. Uma das qualidades distintivas da figura é a igualdade dos ângulos adjacentes à base:

<ВАС = <ВСА.

2. Mais uma propriedade foi discutida acima: a mediana, a bissetriz e a altitude em um triângulo isósceles coincidem se forem construídas do seu vértice à sua base.

3. Igualdade de bissetrizes traçadas a partir dos vértices da base:

Se AE é a bissetriz do ângulo BAC e CD é a bissetriz do ângulo BCA, então: AE = DC.

4. As propriedades de um triângulo isósceles também proporcionam a igualdade das alturas traçadas a partir dos vértices da base.

Se construirmos as alturas do triângulo ABC (onde AB = BC) a partir dos vértices A e C, então os segmentos resultantes CD e AE serão iguais.

5. As medianas traçadas nos cantos da base também serão iguais.

Então, se AE e DC são medianas, ou seja, AD = DB, e BE = EC, então AE = DC.

Altura de um triângulo isósceles

A igualdade dos lados e ângulos com eles introduz algumas características no cálculo dos comprimentos dos elementos da figura em consideração.

A altitude em um triângulo isósceles divide a figura em 2 triângulos retângulos simétricos, cujas hipotenusas estão nas laterais. A altura, neste caso, é determinada de acordo com o teorema de Pitágoras como uma perna.

Um triângulo pode ter todos os três lados iguais, então será chamado de equilátero. A altura de um triângulo equilátero é determinada de forma semelhante, apenas para os cálculos basta saber apenas um valor - o comprimento do lado deste triângulo.

Você pode determinar a altura de outra forma, por exemplo, conhecendo a base e o ângulo adjacente a ela.

Mediana de um triângulo isósceles

O tipo de triângulo em consideração, devido às suas características geométricas, pode ser resolvido de forma bastante simples utilizando um conjunto mínimo de dados iniciais. Como a mediana de um triângulo isósceles é igual à sua altura e à sua bissetriz, o algoritmo para determiná-la não difere do procedimento de cálculo desses elementos.

Por exemplo, você pode determinar o comprimento da mediana pelo lado lateral conhecido e pela magnitude do ângulo do vértice.

Como determinar o perímetro

Como os dois lados da figura planimétrica em consideração são sempre iguais, para determinar o perímetro basta conhecer o comprimento da base e o comprimento de um dos lados.

Considere um exemplo quando você precisa determinar o perímetro de um triângulo usando base e altura conhecidas.

O perímetro é igual à soma da base e ao dobro do comprimento do lado. O lado lateral, por sua vez, é definido pelo teorema de Pitágoras como a hipotenusa de um triângulo retângulo. Seu comprimento é igual à raiz quadrada da soma do quadrado da altura e do quadrado da metade da base.

Área de um triângulo isósceles

Via de regra, calcular a área de um triângulo isósceles não causa dificuldades. A regra universal para determinar a área de um triângulo como metade do produto da base e sua altura é aplicável, é claro, no nosso caso. No entanto, as propriedades de um triângulo isósceles tornam a tarefa mais fácil.

Suponhamos que a altura e o ângulo adjacente à base sejam conhecidos. É necessário determinar a área da figura. Isso pode ser feito desta forma.

Como a soma dos ângulos de qualquer triângulo é 180°, não é difícil determinar o tamanho do ângulo. A seguir, usando a proporção compilada de acordo com o teorema dos senos, determina-se o comprimento da base do triângulo. Tudo, base e altura – dados suficientes para determinar a área – estão disponíveis.

Outras propriedades de um triângulo isósceles

A posição do centro de um círculo circunscrito em torno de um triângulo isósceles depende da magnitude do ângulo do vértice. Portanto, se um triângulo isósceles for agudo, o centro do círculo estará localizado dentro da figura.

O centro de um círculo circunscrito em torno de um triângulo isósceles obtuso fica fora dele. E finalmente, se o ângulo no vértice for 90°, o centro estará exatamente no meio da base e o diâmetro do círculo passará pela própria base.

Para determinar o raio de um círculo circunscrito a um triângulo isósceles, basta dividir o comprimento do lado pelo dobro do cosseno da metade do ângulo do vértice.

$mob_info$