В равнобедрен триъгълник 2 страни са равни. Равнобедрен триъгълник

Триъгълник, в който двете страни са равни една на друга, се нарича равнобедрен. Тези страни се наричат странични, а третата страна се нарича основа. В тази статия ще ви разкажем за свойствата на равнобедрен триъгълник.

Теорема 1

Ъглите в близост до основата на равнобедрен триъгълник са равни един на друг

Доказателство на теоремата.

Да кажем, че имаме равнобедрен триъгълник ABC, чиято основа е AB. Нека разгледаме триъгълника BAC. Тези триъгълници по първия знак са равни един на друг. Това е вярно, защото BC = AC, AC = BC, ъгъл ACB = ъгъл ACB. От това следва, че ъгъл BAC = ъгъл ABC, защото това са съответните ъгли на нашите равни триъгълници. Това е свойството на ъглите на равнобедрен триъгълник.

Теорема 2

Медианата в равнобедрен триъгълник, която е начертана към основата му, е също височина и ъглополовяща

Доказателство на теоремата.

Да кажем, че имаме равнобедрен триъгълник ABC, чиято основа е AB, а CD е медианата, която сме начертали към основата му. В триъгълниците ACD и BCD ъгъл CAD = ъгъл CBD, като съответните ъгли при основата на равнобедрен триъгълник (теорема 1). И страна AC = страна BC (по дефиниция на равнобедрен триъгълник). Страна AD = страна BD, тъй като точка D разделя отсечката AB на равни части. От това следва, че триъгълник ACD = триъгълник BCD.

От равенството на тези триъгълници имаме равенството на съответните ъгли. Тоест ъгъл ACD = ъгъл BCD и ъгъл ADC = ъгъл BDC. От равенство 1 следва, че CD е ъглополовяща. А ъгъл ADC и ъгъл BDC са съседни ъгли и от равенство 2 следва, че и двата са прави ъгли. Оказва се, че CD е височината на триъгълника. Това е свойството на медианата на равнобедрен триъгълник.

А сега малко за признаците на равнобедрен триъгълник.

Теорема 3

Ако два ъгъла в триъгълник са равни един на друг, тогава триъгълникът е равнобедрен

Доказателство на теоремата.

Да кажем, че имаме триъгълник ABC, в който ъгъл CAB = ъгъл CBA. Триъгълник ABC = триъгълник BAC според втория критерий за равенство между триъгълниците. Това е вярно, защото AB = BA; ъгъл CBA = ъгъл CAB, ъгъл CAB = ъгъл CBA. От това равенство на триъгълниците имаме равенството на съответните страни на триъгълника - AC = BC. Тогава се оказва, че триъгълник ABC е равнобедрен.

Теорема 4

Ако във всеки триъгълник неговата медиана е и неговата надморска височина, тогава такъв триъгълник е равнобедрен

Доказателство на теоремата.

В триъгълник ABC ще начертаем медианата CD. Това ще бъде и височината. Правоъгълен триъгълник ACD = правоъгълен триъгълник BCD, тъй като катет CD е общ за тях, а катет AD = катет BD. От това следва, че техните хипотенузи са равни една на друга, като съответните части на равни триъгълници. Това означава, че AB = BC.

Теорема 5

Ако три страни на триъгълник са равни на три страни на друг триъгълник, тогава тези триъгълници са еднакви

Доказателство на теоремата.

Да предположим, че имаме триъгълник ABC и триъгълник A1B1C1, така че страните AB = A1B1, AC = A1C1, BC = B1C1. Нека разгледаме доказателството на тази теорема от противното.

Да приемем, че тези триъгълници не са равни един на друг. От тук имаме, че ъгъл BAC не е равен на ъгъл B1A1C1, ъгъл ABC не е равен на ъгъл A1B1C1, ъгъл ACB не е равен на ъгъл A1C1B1 в същото време. В противен случай тези триъгълници биха били равни според критериите, обсъдени по-горе.

Да приемем, че триъгълник A1B1C2 = триъгълник ABC. В триъгълник връх C2 лежи с връх C1 спрямо права линия A1B1 в една и съща полуравнина. Приехме, че върховете C2 и C1 не съвпадат. Да приемем, че точка D е средата на отсечката C1C2. Така че имаме равнобедрени триъгълници B1C1C2 и A1C1C2, които имат обща основа C1C2. Оказва се, че техните медиани B1D и A1D са и техните височини. Това означава, че правата B1D и правата A1D са перпендикулярни на правата C1C2.

B1D и A1D имат различни точки B1 и A1 и съответно не могат да съвпадат. Но през точка D на права C1C2 можем да начертаем само една права, перпендикулярна на нея. Имаме противоречие.

Сега знаете какви са свойствата на равнобедрения триъгълник!

Преглед домашна работа

№ 111.

дадени: CD = BD , 1 = 2

Докажете: А б C - равнобедрен

№ 107.

страна А C е 2 пъти по-малко от AB

P = 50 см,

P = 50 см

x + 2x + 2x = 50

х = 10

2 х

AC = 10 см,

AB = BC = 20 cm

Кои триъгълници са равнобедрени? За равнобедрени триъгълници назовете основата и страните.

Дадено е: AD - ъглополовяща ∆ BAC, BAC = 74 0. Намерете: BA D. (фиг. 1)

Дадено е: KL - височина ∆ KMN. Намерете: KLN. (фиг.2)

Дадено: QS - медиана ∆ PQR, PS = 5,3 cm. Намерете: PR. (фиг.3)

Дадено е: ∆ ABC е равнобедрен с основа AC, VC е ъглополовяща, AC = 46 cm. Намерете: AK. (фиг.4)
Дадено е: ∆ ABC е равнобедрен с основа AC, VC височина, ABC = 46 0. Намерете: AVK. (фиг.5)
Дадено е: ∆ C BD равнобедрен с основа B C, DA медиана, BDC = 120 0. Намерете: ADB. (фиг.6)

7 клас

Свойства на равнобедрен триъгълник

Три пътя водят до знанието:

Пътят на размисъл е най-благородният път,

Пътят на имитацията е най-лесният път,

А пътят на опита е най-горчивият път.

Конфуций.

В равнобедрен триъгълник ъглите при основата са равни.

Дадено е: ABC равнобедрен

Докажи:

Доказателство:

1. Нека начертаем ъглополовящата BD на ъгъл B.

2. Разгледайте ∆ AB D и ∆ CBD:

AB = BC (по условие),

В D – обща страна,

∠ A BD = ∠ C BD

∆ АВD = ∆CBD (на базата на 1 знак за равенство на триъгълниците)

3. IN равни триъгълницисъответните ъгли са равни на ∠ A= ∠ C.

В равнобедрен триъгълник ъглополовящата, начертана към основата, е медианата и надморската височина.

дадени: ABC равнобедрен,

А Д - ъглополовяща .

Докажи: А д - височина,

А д - Медиана.

Доказателство:

1) Помислете също за:

∆ BAD = ∆CAD (на базата на 1 критерий за равенство на триъгълниците).

2) В равните триъгълници съответните страни и ъгли са равни

1 = 2 = 90° (съседни ъгли).

Следователно AD е медианата и височината ∆ ABC.

Разрешаване на проблем.

Саврасова С.М., Ястребинецки Г.А. „Упражнения по планиметрия върху готови чертежи“

110

Разрешаване на проблем.

Дадено е: AB = B C, 1=130 0.

Л. С. Атанасян. "Геометрия 7-9" №112.

Разрешаване на проблем.

Намерете: AB D.

Триъгълник

ABC - равнобедрен

В D – медиана

Това означава, че B D е ъглополовяща

40 0

СМ. Саврасова, Г.А. Ястребинецки „Упражнения върху готови рисунки“

Домашна работа:

параграф 19 (стр. 35 – 36), № 109, 112, 118.

Този урок ще покрие темата „Равнобедрен триъгълник и неговите свойства“. Ще научиш как изглеждат равнобедрените и равностранните триъгълници и как се характеризират. Докажете теоремата за равенството на ъглите при основата на равнобедрен триъгълник. Разгледайте също теоремата за ъглополовящата (медиана и височина), начертана към основата на равнобедрен триъгълник. В края на урока ще решите две задачи, използвайки определението и свойствата на равнобедрен триъгълник.

определение:Равнобедренсе нарича триъгълник, чиито две страни са равни.

Ориз. 1. Равнобедрен триъгълник

AB = AC - страни. пр. н. е. – осн.

Площта на равнобедрен триъгълник е равна на половината от произведението на основата и височината му.

определение:Равностраненсе нарича триъгълник, в който и трите страни са равни.

Ориз. 2. Равностранен триъгълник

AB = BC = SA.

Теорема 1:В равнобедрен триъгълник ъглите при основата са равни.

дадени: AB = AC.

Докажи:∠B =∠C.

Ориз. 3. Чертеж към теоремата

Доказателство:триъгълник ABC = триъгълник ACB според първия признак (две равни страни и ъгълът между тях). От равенството на триъгълниците следва, че всички съответни елементи са равни. Това означава ∠B = ∠C, което е необходимо да се докаже.

Теорема 2:В равнобедрен триъгълник ъглополовящаизтеглен към основата е МедианаИ височина.

дадени: AB = AC, ∠1 = ∠2.

Докажи:ВD = DC, AD перпендикулярно на BC.

Ориз. 4. Чертеж за теорема 2

Доказателство:триъгълник ADB = триъгълник ADC според първия знак (AD - общ, AB = AC по условие, ∠BAD = ∠DAC). От равенството на триъгълниците следва, че всички съответни елементи са равни. BD = DC, тъй като лежат срещу еднакви ъгли. Така че AD е медианата. Също така ∠3 = ∠4, тъй като те лежат срещу еднакви страни. Но, освен това, те са равни общо. Следователно ∠3 = ∠4 = . Това означава, че AD е височината на триъгълника, което трябваше да докажем.

В единствения случай a = b = . В този случай правите AC и BD се наричат перпендикулярни.

Тъй като ъглополовящата, височината и медианата са една и съща отсечка, следните твърдения също са верни:

Височината на равнобедрен триъгълник, начертана към основата, е медиана и ъглополовяща.

Медианата на равнобедрен триъгълник, начертана към основата, е надморска височина и ъглополовяща.

Пример 1:В равнобедрен триъгълник основата е половината от страната, а периметърът е 50 см. Намерете страните на триъгълника.

дадени: AB = AC, BC = AC. P = 50 см.

Намирам: BC, AC, AB.

Решение:

Ориз. 5. Чертеж за пример 1

Нека означим основата BC като a, тогава AB = AC = 2a.

2a + 2a + a = 50.

5a = 50, a = 10.

Отговор: BC = 10 cm, AC = AB = 20 cm.

Пример 2:Докажете, че в равностранен триъгълник всички ъгли са равни.

дадени: AB = BC = SA.

Докажи:∠A = ∠B = ∠C.

Доказателство:

Ориз. 6. Рисуване например

∠B = ∠C, тъй като AB = AC, и ∠A = ∠B, тъй като AC = BC.

Следователно ∠A = ∠B = ∠C, което трябваше да се докаже.

Отговор:Доказано.

В днешния урок разгледахме равнобедрен триъгълник и проучихме основните му свойства. В следващия урок ще решаваме задачи по темата за равнобедрените триъгълници, за изчисляване на площта на равнобедрен и равностранен триъгълник.

Александров A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. и др.. Геометрия 7. - М.: Образование.
Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.Геометрия 7. 5-то изд. - М.: Просвещение.
Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / V.F. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, изд. Sadovnichego V.A. - М.: Образование, 2010.

Речници и енциклопедии на Академик ().
Фестивал педагогическа идея « Публичен урок» ().
Kaknauchit.ru ().

1. № 29. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / V.F. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, изд. Sadovnichego V.A. - М.: Образование, 2010.

2. Периметърът на равнобедрен триъгълник е 35 см, а основата е три пъти по-малка от страната. Намерете страните на триъгълника.

3. Дадено е: AB = BC. Докажете, че ∠1 = ∠2.

4. Периметърът на равнобедрен триъгълник е 20 см, едната му страна е два пъти по-голяма от другата. Намерете страните на триъгълника. Колко решения има задачата?

Равнобедрен триъгълнике триъгълник, в който двете страни са равни по дължина. Равните страни се наричат странични, а последната се нарича основа. По дефиниция правилният триъгълник също е равнобедрен, но обратното не е вярно.

Имоти

Ъгли срещу равни страни на равнобедрен триъгълник са равни един на друг. Симетралите, медианите и надморските височини, изтеглени от тези ъгли, също са равни.
Симетралата, медианата, височината и перпендикулярът, прекарани към основата, съвпадат една с друга. На тази права лежат центровете на вписаната и описаната окръжност.
Ъглите срещу равни страни са винаги остри (следва от тяхното равенство).

Позволявам а- дължината на две равни страни на равнобедрен триъгълник, b- дължина на третата страна, α И β - съответните ъгли, Р- радиус на описаната окръжност, r- радиус на вписана .

Страните могат да бъдат намерени, както следва:

Ъглите могат да бъдат изразени по следните начини:

Периметърът на равнобедрен триъгълник може да се изчисли по някой от следните начини:

Площта на триъгълник може да се изчисли по един от следните начини:

(формула на Херон).

Знаци

Два ъгъла на триъгълник са равни.
Височината съвпада с медианата.
Височината съвпада с ъглополовящата.
Симетралата съвпада с медианата.
Двете височини са равни.
Двете медиани са равни.
Две ъглополовящи са равни (теорема на Щайнер-Лемус).

Вижте също

Фондация Уикимедия. 2010 г.

Вижте какво е "равнобедрен триъгълник" в други речници:

Равнобедрен ТРИЪГЪЛНИК, ТРИЪГЪЛНИК с две страни с еднаква дължина; ъглите при тези страни също са равни... Научно-технически енциклопедичен речник

И (прост) триъгълник, триъгълник, човек. 1. Геометрична фигура, ограничена от три взаимно пресичащи се прави, образуващи три вътрешни ъгъла (мат.). Тъп триъгълник. Остроъгълен триъгълник. Правоъгълен триъгълник... ... РечникУшакова

ISOSceles, aya, oe: равнобедрен триъгълник с две равни страни. | съществително равнобедрен, и, женски Обяснителен речник на Ожегов. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Обяснителен речник на Ожегов

триъгълник- ▲ многоъгълник с три ъгъла, триъгълник, най-простият многоъгълник; се определя от 3 точки, които не лежат на една права. триъгълна. остър ъгъл. остроъгълен. правоъгълен триъгълник: крак. хипотенуза. равнобедрен триъгълник. ▼… … Идеографски речник на руския език

триъгълник- ТРИЪГЪЛНИК1, a, m от какво или с деф. Обект във формата на геометрична фигура, ограничена от три пресичащи се линии, образуващи три вътрешни ъгъла. Тя сортира писмата на съпруга си, пожълтели триъгълници отпред. ТРИЪГЪЛНИК2, a, m... ... Обяснителен речник на руски съществителни

Този термин има други значения, вижте Триъгълник (значения). Триъгълник (в евклидовото пространство) е геометрична фигура, образувана от три сегмента, които свързват три точки, които не лежат на една и съща права линия. Три точки,... ... Уикипедия

Триъгълник (многоъгълник)- Триъгълници: 1 остър, правоъгълен и тъп; 2 правилни (равностранни) и равнобедрени; 3 ъглополовящи; 4 медиани и център на тежестта; 5 височини; 6 ортоцентър; 7 средна линия. ТРИЪГЪЛНИК, многоъгълник с 3 страни. Понякога под... ... Илюстрован енциклопедичен речник

енциклопедичен речник

триъгълник- А; м. 1) а) Геометрична фигура, ограничена от три пресичащи се прави, образуващи три вътрешни ъгъла. Правоъгълен, равнобедрен триъгълник. Изчислете площта на триъгълника. б) отт. какво или с деф. Фигура или предмет с тази форма... ... Речник на много изрази

А; м. 1. Геометрична фигура, ограничена от три пресичащи се линии, образуващи три вътрешни ъгъла. Правоъгълник, равнобедрен т. Изчислете площта на триъгълника. // какво или с деф. Фигура или предмет с тази форма. Т. покриви. T.… … енциклопедичен речник

$моб_инфо$