В равнобедрен триъгълник 2 страни са равни. Равнобедрен триъгълник и неговите свойства

В този урок ще бъде разгледана темата "Равнобедрен триъгълник и неговите свойства". Ще научиш как изглеждат равнобедреният и равностранният триъгълник и как се характеризират. Докажете теоремата за равенството на ъглите при основата на равнобедрен триъгълник. Разгледайте също теоремата за ъглополовящата (медиана и височина), начертана към основата на равнобедрен триъгълник. В края на урока ще разгледате два проблема, като използвате определението и свойствата на равнобедрен триъгълник.

определение:РавнобедренНарича се триъгълник, който има две равни страни.

Ориз. 1. Равнобедрен триъгълник

AB = AC - страни. пр. н. е. - база.

Площта на равнобедрен триъгълник е половината от произведението на основата му по височината му.

определение:равностраненНарича се триъгълник, в който и трите страни са равни.

Ориз. 2. Равностранен триъгълник

AB = BC = SA.

Теорема 1:В равнобедрен триъгълник ъглите при основата са равни.

дадени: AB = AC.

Докажи:∠B = ∠C.

Ориз. 3. Чертеж към теоремата

Доказателство:триъгълник ABC \u003d триъгълник DIA според първия знак (на две равни страни и ъгъла между тях). От равенството на триъгълниците следва равенството на всички съответни елементи. Следователно ∠B = ∠C, което трябваше да се докаже.

Теорема 2:В равнобедрен триъгълник ъглополовящаизтеглен към основата е МедианаИ висок.

дадени: AB = AC, ∠1 = ∠2.

Докажи: BD = DC, AD перпендикулярен на BC.

Ориз. 4. Чертеж за теорема 2

Доказателство:триъгълник ADB = триъгълник ADC по първия признак (AD - общ, AB = AC по условие, ∠BAD = ∠DAC). От равенството на триъгълниците следва равенството на всички съответни елементи. BD = DC, тъй като лежат срещу еднакви ъгли. Така че AD е медианата. Също така ∠3 = ∠4, тъй като те лежат срещуположно равни страни. Но, освен това, те са равни общо. Следователно ∠3 = ∠4 = . Следователно AD е височината на триъгълника, която трябваше да се докаже.

В единствения случай a = b = . В този случай правите AC и BD се наричат перпендикулярни.

Тъй като ъглополовящата, височината и медианата са една и съща отсечка, следните твърдения също са верни:

Височината на равнобедрен триъгълник, прекарана към основата, е медианата и ъглополовящата.

Медианата на равнобедрен триъгълник, прекарана към основата, е височината и ъглополовящата.

Пример 1:В равнобедрен триъгълник основата е половината от страната, а периметърът е 50 см. Намерете страните на триъгълника.

дадени: AB = AC, BC = AC. P = 50 см.

Намирам: BC, AC, AB.

Решение:

Ориз. 5. Чертеж за пример 1

Означаваме основата BC като a, след това AB \u003d AC \u003d 2a.

2a + 2a + a = 50.

5a = 50, a = 10.

Отговор: BC = 10 cm, AC = AB = 20 cm.

Пример 2:Докажете, че всички ъгли в равностранен триъгълник са равни.

дадени: AB = BC = SA.

Докажи:∠A = ∠B = ∠C.

Доказателство:

Ориз. 6. Рисуване например

∠B = ∠C, тъй като AB=AC, и ∠A = ∠B, тъй като AC = BC.

Следователно ∠A = ∠B = ∠C, което трябваше да се докаже.

Отговор:Доказано.

В днешния урок разгледахме равнобедрен триъгълник, проучихме основните му свойства. В следващия урок ще решаваме задачи по темата за равнобедрен триъгълник, за изчисляване на площта на равнобедрен и равностранен триъгълник.

Александров A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. и др. Геометрия 7. - М.: Просвещение.
Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7. 5-то изд. - М.: Просвещение.
Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / V.F. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, изд. Sadovnichy V.A. - М.: Образование, 2010.

Речници и енциклопедии на "Академик" ().
Фестивал педагогически идеи « Публичен урок» ().
Kaknauchit.ru ().

1. № 29. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / V.F. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, изд. Sadovnichy V.A. - М.: Образование, 2010.

2. Периметърът на равнобедрен триъгълник е 35 см, а основата е три пъти по-малка от страната. Намерете страните на триъгълника.

3. Дадено е: AB = BC. Докажете, че ∠1 = ∠2.

4. Периметърът на равнобедрен триъгълник е 20 см, едната му страна е два пъти по-голяма от другата. Намерете страните на триъгълника. Колко решения има задачата?

Тема на урока

Равнобедрен триъгълник

Целта на урока

Запознаване на учениците с равнобедрения триъгълник;
Продължете да формирате умения за изграждане на правоъгълни триъгълници;
Да разшири знанията на учениците за свойствата на равнобедрените триъгълници;
За консолидиране на теоретичните знания при решаване на проблеми.

Цели на урока

Да може да формулира, доказва и използва теоремата за свойствата на равнобедрен триъгълник в процеса на решаване на задачи;
Продължете развитието на съзнателно възприемане на учебен материал, логическо мислене, умения за самоконтрол и самооценка;
Събудете познавателен интерес към уроците по математика;
Култивирайте активност, любопитство и организираност.

План на урока

1. Общи понятияи дефиниции на равнобедрен триъгълник.
2. Свойства на равнобедрен триъгълник.
3. Признаци на равнобедрен триъгълник.
4. Въпроси и задачи.

Равнобедрен триъгълник

Равнобедрен триъгълник е триъгълник, който има две равни страни, които се наричат страни на равнобедрен триъгълник, а третата му страна се нарича основа.

Горната част на тази фигура е тази, която се намира срещу нейната основа.

Ъгълът, който лежи срещу основата, се нарича ъгъл при върха на този триъгълник, а другите два ъгъла се наричат ъгли при основата на равнобедрения триъгълник.

Видове равнобедрени триъгълници

Равнобедреният триъгълник, както и другите фигури, може да има различни видове. Равнобедрените триъгълници включват остър, правоъгълен, тъпоъгълен и равностранен триъгълник.

Остроъгълният триъгълник има всички остри ъгли.
Правоъгълният триъгълник има прав ъгъл във върха и остри ъгли в основата си.
Тъпият има тъп ъгъл на върха и остри ъгли в основата си.
Равностранният има всички ъгли и страни равни.

Свойства на равнобедрен триъгълник

Противоположните ъгли спрямо равните страни на равнобедрен триъгълник са равни един на друг;

Ъглополовящи, медиани и височини, изтеглени от ъгли срещу равни страни на триъгълник, са равни една на друга.

Симетралата, медианата и височината, насочени и изтеглени към основата на триъгълника, съвпадат една с друга.

Центровете на вписаната и описаната окръжност лежат на височината, ъглополовящата и медианата (те съвпадат), начертани към основата.

Ъглите срещу равните страни на равнобедрен триъгълник винаги са остри.

Тези свойства на равнобедрен триъгълник се използват при решаване на задачи.

Домашна работа

1. Дефинирайте равнобедрен триъгълник.
2. Каква е особеността на този триъгълник?
3. Каква е разликата между равнобедрен триъгълник и правоъгълен триъгълник?
4. Назовете известните ви свойства на равнобедрен триъгълник.
5. Смятате ли, че е възможно на практика да се провери равенството на ъглите при основата и как да стане това?

Упражнение

А сега нека направим кратък тест и да разберем как сте научили новия материал.

Слушайте внимателно въпросите и отговорете дали следното твърдение е вярно:

1. Може ли триъгълник да се счита за равнобедрен, ако двете му страни са равни?
2. Симетрала е отсечка, която свързва върха на триъгълник със средата на срещуположната страна?
3. Симетрала ли е отсечка, която разделя ъгъла, който разполовява връх с точка от противоположната страна?

Съвети за решаване на проблеми с равнобедрен триъгълник:

1. За да определите периметъра на равнобедрен триъгълник, достатъчно е да умножите дължината на страната по 2 и да добавите този продукт към дължината на основата на триъгълника.
2. Ако периметърът и дължината на основата на равнобедрен триъгълник са известни в задачата, тогава за да намерите дължината на страничната страна, достатъчно е да извадите дължината на основата от периметъра и да разделите намерената разлика на 2 .
3. И за да намерите дължината на основата на равнобедрен триъгълник, като знаете както периметъра, така и дължината на страната, просто трябва да умножите страната по две и да извадите този продукт от периметъра на нашия триъгълник.

Задачи:

1. Сред триъгълниците на фигурата определете един допълнителен и обяснете избора си:

2. Определете кои от триъгълниците, показани на фигурата, са равнобедрени, назовете техните основи и страни, а също така изчислете техния периметър.

3. Периметърът на равнобедрен триъгълник е 21 см. Намерете страните на този триъгълник, ако една от тях е с 3 см по-голяма. Колко решения могат дадена задача?

4. Известно е, че ако страничната страна и ъгълът срещу основата на единия равнобедрен триъгълник са равни на страничната страна и ъгъла на другия, то тези триъгълници ще бъдат равни. Докажете това твърдение.

5. Помислете и кажете всеки равнобедрен триъгълник равностранен ли е? И всеки равностранен триъгълник ще бъде ли равнобедрен?

6. Ако страните на равнобедрен триъгълник са 4 m и 5 m, тогава какъв ще бъде неговият периметър? Колко решения може да има тази задача?

7. Ако един от ъглите на равнобедрен триъгълник е равен на 91 градуса, тогава на какво са равни останалите ъгли?

8. Помислете и отговорете какви ъгли трябва да има триъгълникът, за да бъде едновременно и правоъгълен, и равнобедрен?

Знаете ли какво представлява триъгълникът на Паскал? Триъгълникът на Паскал често се иска да се тестват основни умения по програмиране. Като цяло триъгълникът на Паскал се отнася до комбинаториката и теорията на вероятностите. И така, какъв е този триъгълник?

Триъгълникът на Паскал е безкраен аритметичен триъгълник или таблица с форма на триъгълник, която се формира с помощта на биномни коефициенти. С прости думи, върхът и страните на този триъгълник са единици и той е запълнен със сумите на двете числа, които са разположени отгоре. Можете да добавите такъв триъгълник към безкрайността, но ако го очертаете, тогава получаваме равнобедрен триъгълник със симетрични линии около вертикалната му ос.

Помислете къде в ЕжедневиетоСрещали ли сте някога равнобедрени триъгълници? Не е ли вярно, че покривите на къщите и древните архитектурни конструкции много напомнят за тях? И помнете какво е в основата на Египетски пирамиди? Къде другаде сте виждали равнобедрени триъгълници?

Равнобедрените триъгълници от древни времена са помагали на гърците и египтяните при определянето на разстояния и височини. Така например древните гърци са го използвали, за да определят отдалеч разстоянието до кораба в морето. А древните египтяни са определяли височината на своите пирамиди по дължината на хвърлената сянка, т.к. беше равнобедрен триъгълник.

От древни времена хората вече са оценили красотата и практичността на тази фигура, тъй като формите на триъгълници ни заобикалят навсякъде. Движейки се през различни села, виждаме покриви на къщи и други постройки, които ни напомнят за равнобедрен триъгълник, влизайки в магазин, виждаме триъгълни опаковки с храна и сокове и дори някои човешки лица имат формата на триъгълник. Тази фигура е толкова популярна, че може да се намери на всяка крачка.

Предмети > Математика > Математика 7 клас

Равнобедрен триъгълнике триъгълник, в който двете страни са равни по дължина. Равните страни се наричат странични, а последните - основата. По дефиниция правилният триъгълник също е равнобедрен, но обратното не е вярно.

Имоти

Ъглите срещу равните страни на равнобедрен триъгълник са равни един на друг. Бисектриси, медиани и височини, изтеглени от тези ъгли, също са равни.
Симетралата, медианата, височината и перпендикулярът, прекарани към основата, съвпадат една с друга. На тази права лежат центровете на вписаната и описаната окръжност.
Ъглите срещу равни страни са винаги остри (следва от тяхното равенство).

Позволявам ае дължината на две равни страни на равнобедрен триъгълник, b- дължината на третата страна, α И β - съответните ъгли, Р- радиус на описаната окръжност, r- радиусът на вписаната .

Страните могат да бъдат намерени по следния начин:

Ъглите могат да бъдат изразени по следните начини:

Периметърът на равнобедрен триъгълник може да се изчисли по някой от следните начини:

Площта на триъгълник може да се изчисли по един от следните начини:

(формула на Херон).

знаци

Двата ъгъла на триъгълник са равни.
Височината е същата като медианата.
Височината съвпада с ъглополовящата.
Симетралата е същата като медианата.
Двете височини са равни.
Двете медиани са равни.
Две ъглополовящи са равни (теоремата на Щайнер-Лемус).

Вижте също

Фондация Уикимедия. 2010 г.

Вижте какво е "равнобедрен триъгълник" в други речници:

ТРИЪГЪЛНИК С ИЗОБРАЗЕН, ТРИЪГЪЛНИК с две страни с еднаква дължина; ъглите при тези страни също са равни ... Научно-технически енциклопедичен речник

И (прост) триъгълник, триъгълник, съпруг. 1. Геометрична фигура, ограничена от три взаимно пресичащи се прави, образуващи три вътрешни ъгъла (мат.). Тъп триъгълник. Остроъгълен триъгълник. Правоъгълен триъгълник... ... РечникУшаков

ISOSHELES, oy, oy: равнобедрен триъгълник с две равни страни. | съществително равнобедрен, и, съпруги. Обяснителен речник на Ожегов. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 ... Обяснителен речник на Ожегов

триъгълник- ▲ многоъгълник с триъгълен триъгълник е най-простият многоъгълник; се дава от 3 точки, които не лежат на една права линия. триъгълна. остър ъгъл. остроъгълен. правоъгълен триъгълник: крак. хипотенуза. равнобедрен триъгълник. ▼… … Идеографски речник на руския език

триъгълник- ТРИЪГЪЛНИК1, a, m от които или с деф. Обект, който има формата на геометрична фигура, ограничена от три пресичащи се прави линии, образуващи три вътрешни ъгъла. Тя сортира писмата на съпруга си, пожълтели триъгълници от първа линия. ТРИЪГЪЛНИК2, a, m ... ... Обяснителен речник на руски съществителни

Този термин има други значения, вижте Триъгълник (значения). Триъгълник (в евклидовото пространство) е геометрична фигура, образувана от три отсечки, които свързват три точки, които не лежат на една права линия. Три точки, ... ... Уикипедия

Триъгълник (многоъгълник)- Триъгълници: 1 остър, правоъгълен и тъп; 2 правилни (равностранни) и равнобедрени; 3 ъглополовящи; 4 медиани и център на тежестта; 5 височини; 6 ортоцентър; 7 средна линия. ТРИЪГЪЛНИК, многоъгълник с 3 страни. Понякога под... Илюстрован енциклопедичен речник

енциклопедичен речник

триъгълник- А; м. 1) а) Геометрична фигура, ограничена от три пресичащи се прави линии, образуващи три вътрешни ъгъла. Правоъгълен, равнобедрен триъгълник/лен. Изчислете площта на триъгълника. б) респ. какво или с деф. Фигура или предмет с такава форма....... Речник на много изрази

А; м. 1. Геометрична фигура, ограничена от три пресичащи се прави линии, образуващи три вътрешни ъгъла. Правоъгълник, равнобедрен м. Изчислете площта на триъгълника. // какво или с деф. Фигура или предмет с такава форма. Т. покрив. T.… … енциклопедичен речник

В който двете страни са еднакви по дължина. Равните страни се наричат странични, а последната неравна страна е основа. По дефиниция правилният триъгълник също е равнобедрен, но обратното не е вярно.

Терминология

Ако триъгълникът има две равни страни, тогава тези страни се наричат страни, а третата страна се нарича основа. Ъгълът, образуван от страните, се нарича ъгъл на върха, а ъглите, една от страните на които е основата, се наричат ъгли в основата.

Имоти

Ъглите срещу равните страни на равнобедрен триъгълник са равни един на друг. Бисектриси, медиани и височини, изтеглени от тези ъгли, също са равни.
Симетралата, медианата, височината и перпендикулярът, прекарани към основата, съвпадат една с друга. На тази права лежат центровете на вписаната и описаната окръжност.

Позволявам ае дължината на две равни страни на равнобедрен триъгълник, b- дължината на третата страна, ч- височина на равнобедрен триъгълник

$a = \frac b (2 \cos \alpha)$ (следствие от косинусовата теорема);
$b = a \sqrt (2 (1 - \cos\beta))$ (следствие от косинусовата теорема);
$b = 2a\sin\frac\бета 2$ ;
$b = 2a\cos\alpha$ (теорема за проекция)

Радиусът на вписаната окръжност може да бъде изразен по шест начина, в зависимост от това кои два параметъра на равнобедрения триъгълник са известни:

$r=\frac b2 \sqrt(\frac(2a-b)(2a+b))$
$r=\frac(bh)(b+\sqrt(4h^2+b^2))$
$r=\frac(h)(1+\frac(a)(\sqrt(a^2-h^2)))$
$r=\frac b2 \operatorname(tg) \left (\frac(\alpha)(2) \right)$
$r=a\cdot \cos(\alpha)\cdot \operatorname(tg) \left (\frac(\alpha)(2) \right)$

ъглиможе да се изрази по следните начини:

$\alpha = \frac (\pi - \beta) 2;$
$\beta = \pi - 2\alpha;$
$\alpha = \arcsin \frac a (2R), \beta = \arcsin \frac b (2R)$ (синусова теорема).
Ъгъл може да се намери и без $(\pi)$ И $Р$ . Триъгълникът е разполовен от медианата и полученидва равни правоъгълни триъгълника, ъглите се изчисляват:

y = \cos\alpha =\frac (b)(c), \arccos y = x

Периметърравнобедрен триъгълник се намира по следните начини:

$P = 2a + b$ (a-приорен);
$P = 2R (2 \sin \alpha + \sin \beta)$ (следствие от синусовата теорема).

Квадраттриъгълник се намира по следните начини:

$S = \frac 1 2bh;$

$S = \frac 1 2 a^2 \sin \beta = \frac 1 2 ab \sin \alpha = \frac (b^2)(4 \tan \frac \beta 2);$ $S = \frac 1 2 b \sqrt (\left(a + \frac 1 2 b \right) \left(a - \frac 1 2 b \right));$ $S = \frac 2 1 a \sqrt \beta = \frac 2 1 ab \cos \alpha = \frac (b^1)(2 \sin \frac \beta 1);$

Вижте също

Напишете отзив за статията "Равнобедрен триъгълник"

Бележки

Откъс, характеризиращ равнобедрения триъгълник

На Мария Дмитриевна, въпреки че се страхуваха от нея, в Петербург гледаха като на шегаджия и затова от изречените от нея думи забелязаха само груба дума и я повториха шепнешком един на друг, предполагайки, че тази дума съдържа цялата сол на казаното.
княз Василий, напоследъкособено често забравяйки какво е казал и повтаряйки едно и също нещо сто пъти, казано всеки път, когато случайно види дъщеря си.
- Хелене, j "ai un mot a vous dire", каза й той, като я отведе настрани и дръпна ръката й надолу. - J "ai eu vent de certains projets relatifs a ... Vous savez. Eh bien, ma chere enfant, vous savez que mon c?ur de pere se rejouit do vous savoir… Vous avez tant souffert… Mais, chere enfant… ne consultez que votre c?ur. C "est tout ce que je vous dis. [Хелън, трябва да ти кажа нещо. Чух за някои видове ... знаеш ли. Е, мило мое дете, знаеш, че сърцето на баща ти се радва, че ти ... Ти изтърпя толкова много... Но, мило дете... Направи каквото ти казва сърцето.Това е целият ми съвет.] И, винаги прикривайки едно и също вълнение, той долепи бузата си до бузата на дъщеря си и се отдалечи.
Билибин, който не е загубил репутацията си най-умният човеки като незаинтересован приятел на Хелън, един от онези приятели, които блестящите жени винаги имат, приятели на мъже, които никога не могат да се превърнат в ролята на любовници, Билибин веднъж в petit comite [малък интимен кръг] изрази на приятелката си Хелън мнението си за цялото нещо.
- Екутез, Билибин (Хелън винаги наричаше приятели като Билибин с фамилните им имена) - и тя докосна бялата му ръка с пръстени до ръкава на фрака му. - Dites moi comme vous diriez a une s?ur, que dois je faire? Lequel des deux? [Слушай, Билибин: кажи ми, как ще кажеш на сестра си, какво да правя? Коя от двете?]
Билибин събра кожата над веждите си и се замисли с усмивка на устните.
„Vous ne me prenez pas en by изненада, vous savez“, каза той. - Comme veritable ami j "ai pense et repense a votre affaire. Voyez vous. Si vous epousez le princ (беше млад мъж)," той сви пръста си, "vous perdez pour toujours la chance d" epouser l "autre, et puis vous mecontentez la Cour. (Comme vous savez, il y a une espece de parente.) Mais si vous epousez le vieux comte, vous faites le bonheur de ses derniers jours, et puis comme veuve du grand… le prince ne fait plus de mesalliance en vous epousant, [Знаеш ли, не ме изненадваш. Като истински приятел, обмислям твоя случай от дълго време. Виждаш ли, ако се омъжиш за принц, тогава завинаги губиш възможност да бъдеш съпруга на друг, а освен това съдът ще бъде недоволен.(Знаеш ли, все пак тук става въпрос за родство.) И ако се омъжиш за стария граф, тогава ще бъдеш щастлива последните днинего, а след това ... принцът вече няма да бъде унизително да се ожени за вдовицата на благородник.] - и Билибин отпусна кожата.
– Voila un veritable ami! — каза Хелън сияеща и отново докосна ръкава на Билибип с ръка. - Mais c "est que j" aime l "un et l" autre, je ne voudrais pas leur faire de chagrin. Je donnerais ma vie pour leur bonheur a tous deux, [Ето един истински приятел! Но аз обичам и двете и не бих искал да разстройвам никого. За щастието и на двамата бих била готова да пожертвам живота си.] – каза тя.
Билибин сви рамене, изразявайки, че дори той вече не може да се справи с такава скръб.
„Une maitresse femme! Voila ce qui s "appelle poser carrement la question. Elle voudrait epouser tous les trois a la fois", [„Браво на жената! Това се нарича да постави въпроса твърдо. Тя би искала да бъде съпруга и на тримата в същото време.“] помисли си Билибин.

Първите историци на нашата цивилизация - древните гърци - споменават Египет като родното място на геометрията. Трудно е да не се съглася с тях, знаейки с каква удивителна точност са издигнати гигантските гробници на фараоните. Взаимното разположение на равнините на пирамидите, техните пропорции, ориентация към кардиналните точки - би било немислимо да се постигне такова съвършенство без познаване на основите на геометрията.

Самата дума "геометрия" може да се преведе като "измерване на земята". Освен това думата "земя" не действа като част от планета слънчева система, но като самолет. Маркиране на зони за поддръжка селско стопанство, най-вероятно, е оригиналната основа на науката за геометричните фигури, техните видове и свойства.

Триъгълникът е най-простата пространствена фигура на планиметрията, съдържаща само три точки - върхове (няма по-малко). Основата на основите, може би, е причината да изглежда нещо мистериозно и древно в него. Всевиждащото око в триъгълник е един от най-ранните известни окултни знаци, а географията на неговото разпространение и времевата рамка са просто невероятни. От древните египетски, шумерски, ацтекски и други цивилизации до по-модерни общности от любители на окултното, разпръснати по целия свят.

Какво представляват триъгълниците

Обикновеният мащабен триъгълник е затворена геометрична фигура, състояща се от три сегмента с различна дължина и три ъгъла, нито един от които не е прав. В допълнение към него има няколко специални вида.

Остроъгълният триъгълник има всички ъгли, по-малки от 90 градуса. С други думи, всички ъгли на такъв триъгълник са остри.

Правоъгълният триъгълник, над който учениците са плакали през цялото време поради изобилието от теореми, има един ъгъл със стойност 90 градуса или, както се нарича още, прав.

Тъпият триъгълник се отличава с факта, че един от ъглите му е тъп, тоест стойността му е повече от 90 градуса.

Равностранен триъгълник има три страни с еднаква дължина. В такава фигура всички ъгли също са равни.

И накрая, в равнобедрен триъгълник с три страни две са равни една на друга.

Отличителни черти

Свойствата на равнобедрен триъгълник също определят неговата основна, основна разлика - равенството на двете страни. Тези равни страни обикновено се наричат бедрата (или, по-често, страните), но третата страна се нарича „основа“.

На разглежданата фигура a = b.

Вторият признак на равнобедрен триъгълник следва от синусовата теорема. Тъй като страните a и b са равни, синусите на противоположните им ъгли също са равни:

a/sin γ = b/sin α, откъдето имаме: sin γ = sin α.

От равенството на синусите следва равенството на ъглите: γ = α.

И така, вторият признак на равнобедрен триъгълник е равенството на два ъгъла, съседни на основата.

Трети знак. В триъгълник се разграничават елементи като височина, ъглополовяща и медиана.

Ако в процеса на решаване на проблема се окаже, че в разглеждания триъгълник всеки два от тези елемента съвпадат: височината с ъглополовящата; ъглополовяща с медиана; медиана с височина - категорично можем да заключим, че триъгълникът е равнобедрен.

Геометрични свойства на фигура

1. Свойства на равнобедрен триъгълник. Едно от отличителните качества на фигурата е равенството на ъглите, съседни на основата:

<ВАС = <ВСА.

2. Друго свойство, разгледано по-горе: медианата, ъглополовящата и височината в равнобедрен триъгълник са еднакви, ако са построени от върха му до основата.

3. Равенството на ъглополовящите, изтеглени от върховете в основата:

Ако AE е ъглополовяща на ъгъл BAC и CD е ъглополовяща на ъгъл BCA, тогава: AE = DC.

4. Свойствата на равнобедрен триъгълник също осигуряват равенство на височините, които се изтеглят от върховете в основата.

Ако изградим височините на триъгълника ABC (където AB = BC) от върховете A и C, то получените отсечки CD и AE ще бъдат равни.

5. Медианите, изтеглени от ъглите в основата, също ще се окажат равни.

Така че, ако AE и DC са медиани, тоест AD = DB и BE = EC, тогава AE = DC.

Височина на равнобедрен триъгълник

Равенството на страните и ъглите при тях въвежда някои особености при изчисляването на дължините на елементите на въпросната фигура.

Височината в равнобедрен триъгълник разделя фигурата на 2 симетрични правоъгълни триъгълника, чиито хипотенузи са страни. Височината в този случай се определя според питагоровата теорема, като крак.

Триъгълникът може да има и трите страни равни, тогава той ще се нарича равностранен. Височината в равностранен триъгълник се определя по подобен начин, само за изчисления е достатъчно да знаете само една стойност - дължината на страната на този триъгълник.

Можете да определите височината по друг начин, например като знаете основата и ъгъла, прилежащ към нея.

Медиана на равнобедрен триъгълник

Видът на разглеждания триъгълник, поради геометрични характеристики, се решава доста просто чрез минималния набор от първоначални данни. Тъй като медианата в равнобедрен триъгълник е равна както на неговата височина, така и на неговата ъглополовяща, алгоритъмът за нейното определяне не се различава от реда, в който се изчисляват тези елементи.

Например, можете да определите дължината на медианата по известната странична страна и стойността на ъгъла при върха.

Как да определим периметъра

Тъй като разглежданата планиметрична фигура има две винаги равни страни, за определяне на периметъра е достатъчно да знаете дължината на основата и дължината на една от страните.

Помислете за пример, когато трябва да определите периметъра на триъгълник, като се има предвид известната основа и височина.

Периметърът е равен на сумата от основата и удвоената дължина на страната. Страничната страна от своя страна се определя с помощта на Питагоровата теорема като хипотенуза на правоъгълен триъгълник. Дължината му е равна на корен квадратен от сбора на квадрата на височината и квадрата на половината от основата.

Площ на равнобедрен триъгълник

Като правило не създава трудности и изчисляването на площта на равнобедрен триъгълник. Универсалното правило за определяне на площта на триъгълник като половината от произведението на основата и нейната височина е приложимо, разбира се, в нашия случай. Свойствата на равнобедрения триъгълник обаче отново улесняват задачата.

Да приемем, че знаем височината и ъгъла, прилежащ към основата. Трябва да определите площта на фигурата. Можете да го направите по този начин.

Тъй като сборът от ъглите на всеки триъгълник е 180°, не е трудно да се определи големината на ъгъла. Освен това, като се използва пропорцията, съставена съгласно синусовата теорема, се определя дължината на основата на триъгълника. Всичко, основа и височина - достатъчно данни за определяне на площта - е налично.

Други свойства на равнобедрен триъгълник

Положението на центъра на окръжност, описана около равнобедрен триъгълник, зависи от ъгъла на върха. Така че, ако равнобедреният триъгълник е остроъгълен, центърът на кръга се намира вътре във фигурата.

Центърът на окръжност, описана около тъп равнобедрен триъгълник, е извън него. И накрая, ако ъгълът при върха е 90°, центърът лежи точно в средата на основата, а диаметърът на окръжността минава през самата основа.

За да се определи радиусът на окръжност, описана около равнобедрен триъгълник, е достатъчно да се раздели дължината на страничната страна на два пъти косинуса на половината от ъгъла при върха.

$моб_инфо$