So ermitteln Sie die durchschnittliche Höhe eines Trapezes. So ermitteln Sie die Fläche eines Trapezes: Formeln und Beispiele

Fläche eines Trapezes. Ich grüße sie! In dieser Veröffentlichung werden wir uns diese Formel ansehen. Warum ist sie genau so und wie kann man sie verstehen? Wenn Verständnis vorhanden ist, müssen Sie es nicht lehren. Wenn Sie sich diese Formel nur dringend ansehen möchten, können Sie sofort auf der Seite nach unten scrollen))

Jetzt im Detail und der Reihe nach.

Ein Trapez ist ein Viereck, zwei Seiten dieses Vierecks sind parallel, die anderen beiden nicht. Diejenigen, die nicht parallel sind, sind die Basen des Trapezes. Die anderen beiden werden Seiten genannt.

Wenn die Seiten gleich sind, heißt das Trapez gleichschenklig. Wenn eine der Seiten senkrecht zu den Basen steht, nennt man ein solches Trapez rechteckig.

In seiner klassischen Form wird ein Trapez wie folgt dargestellt – die größere Basis befindet sich jeweils unten, die kleinere oben. Aber niemand verbietet es, sie abzubilden und umgekehrt. Hier die Skizzen:

Nächstes wichtiges Konzept.
Die Mittellinie eines Trapezes ist ein Segment, das die Mittelpunkte der Seiten verbindet. Die Mittellinie verläuft parallel zu den Grundflächen des Trapezes und entspricht deren Halbsumme.

Lassen Sie uns nun tiefer eintauchen. Warum ist das so?

Betrachten Sie ein Trapez mit Basen A und B und mit der Mittellinie l, und führen Sie einige zusätzliche Konstruktionen durch: Zeichnen Sie gerade Linien durch die Basen und Senkrechte durch die Enden der Mittellinie, bis sie die Basen schneiden:

*Buchstabenbezeichnungen für Eckpunkte und andere Punkte werden absichtlich nicht eingefügt, um unnötige Bezeichnungen zu vermeiden.

Schauen Sie, die Dreiecke 1 und 2 sind gemäß dem zweiten Gleichheitszeichen der Dreiecke gleich, die Dreiecke 3 und 4 sind gleich. Aus der Gleichheit der Dreiecke folgt die Gleichheit der Elemente, nämlich der Beine (sie sind blau bzw. rot markiert).

Jetzt Achtung! Wenn wir im Geiste die blauen und roten Segmente von der unteren Basis „abschneiden“, bleibt ein Segment (das ist die Seite des Rechtecks) übrig, das der Mittellinie entspricht. Wenn wir als nächstes die ausgeschnittenen blauen und roten Segmente an die obere Basis des Trapezes „kleben“, erhalten wir auch ein Segment (dies ist auch die Seite des Rechtecks), das der Mittellinie des Trapezes entspricht.

Habe es? Es stellt sich heraus, dass die Summe der Basen gleich den beiden Mittellinien des Trapezes ist:

Sehen Sie sich eine weitere Erklärung an

Machen wir Folgendes: Konstruieren Sie eine gerade Linie, die durch die untere Basis des Trapezes verläuft, und eine gerade Linie, die durch die Punkte A und B verläuft:

Wir erhalten die Dreiecke 1 und 2, sie sind entlang der Seite und der angrenzenden Winkel gleich (das zweite Gleichheitszeichen der Dreiecke). Das bedeutet, dass das resultierende Segment (in der Skizze blau markiert) gleich der oberen Basis des Trapezes ist.

Betrachten Sie nun das Dreieck:

*Die Mittellinie dieses Trapezes und die Mittellinie des Dreiecks fallen zusammen.

Es ist bekannt, dass ein Dreieck gleich der Hälfte seiner parallelen Grundfläche ist, das heißt:

Okay, wir haben es herausgefunden. Nun zur Fläche des Trapezes.

Trapezflächenformel:

Man sagt: Die Fläche eines Trapezes ist gleich dem Produkt aus der halben Summe seiner Grundflächen und seiner Höhe.

Das heißt, es stellt sich heraus, dass es gleich dem Produkt aus Mittellinie und Höhe ist:

Sie haben wahrscheinlich bereits bemerkt, dass dies offensichtlich ist. Geometrisch lässt sich das so ausdrücken: Wenn wir gedanklich die Dreiecke 2 und 4 vom Trapez abschneiden und auf die Dreiecke 1 bzw. 3 legen:

Dann erhalten wir ein Rechteck mit einer Fläche, die der Fläche unseres Trapezes entspricht. Die Fläche dieses Rechtecks ist gleich dem Produkt aus Mittellinie und Höhe, das heißt, wir können schreiben:

Aber hier geht es natürlich nicht ums Schreiben, sondern ums Verstehen.

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Das ist alles. Viel Glück!

Mit freundlichen Grüßen, Alexander.

Geometrie ist eine der Wissenschaften, mit denen Menschen fast täglich in der Praxis konfrontiert werden. Unter den vielfältigen geometrischen Formen verdient das Trapez besondere Aufmerksamkeit. Es ist eine konvexe Figur mit vier Seiten, von denen zwei parallel zueinander sind. Letztere werden als Basen bezeichnet, die übrigen beiden als Seiten. Das Segment senkrecht zu den Basen, das die Größe des Spalts zwischen ihnen bestimmt, ist die Höhe des Trapezes. Wie kann man seine Länge berechnen?

Finden Sie die Höhe eines beliebigen Trapezes

Basierend auf den Ausgangsdaten ist die Bestimmung der Körpergröße einer Figur auf verschiedene Arten möglich.

Bekanntes Gebiet

Wenn die Länge der parallelen Seiten bekannt ist und auch die Fläche der Figur angegeben ist, können Sie zur Bestimmung der gewünschten Senkrechten die folgende Beziehung verwenden:

S=h*(a+b)/2,
h – der gewünschte Wert (Höhe),
S – Fläche der Figur,
a und b sind zueinander parallele Seiten.
Aus der obigen Formel folgt, dass h=2S/(a+b).

Der Wert der Mittellinie ist bekannt

Wenn unter den Ausgangsdaten neben der Fläche des Trapezes (S) auch die Länge seiner Mittellinie (l) bekannt ist, ist eine andere Formel für Berechnungen hilfreich. Zunächst lohnt es sich zu klären, was die Mittellinie für diese Art von Viereck ist. Der Begriff definiert den Teil der geraden Linie, der die Mittelpunkte der Seiten der Figur verbindet.

Basierend auf der Trapezoideigenschaft l=(a+b)/2,
l – Mittellinie,
a, b – Grundseiten des Vierecks.
Daher ist h=2S/(a+b)=S/l.

Von der Figur sind 4 Seiten bekannt

In diesem Fall hilft der Satz des Pythagoras. Nachdem Sie die Senkrechten zur größeren Basisseite abgesenkt haben, verwenden Sie diese für die beiden resultierenden rechtwinkligen Dreiecke. Der endgültige Ausdruck sieht folgendermaßen aus:

h=√c 2 -(((a-b) 2 +c 2 -d 2)/2(a-b)) 2,

c und d – 2 andere Seiten.

Winkel an der Basis

Wenn Sie Daten zu den Basiswinkeln haben, verwenden Sie trigonometrische Funktionen.

h = c* sinα = d*sinβ,

α und β sind die Winkel an der Basis des Vierecks,
c und d sind seine Seiten.

Diagonalen einer Figur und die Winkel, die sie schneiden

Die Länge der Diagonale ist die Länge des Segments, das die gegenüberliegenden Eckpunkte der Figur verbindet. Bezeichnen wir diese Größen mit den Symbolen d1 und d2 und die Winkel zwischen ihnen mit γ und φ. Dann:

h = (d1*d2)/(a+b) sin γ = (d1*d2)/(a+b) sinφ,

h = (d1*d2)/2l sin γ = (d1*d2)/2l sinφ,

a und b sind die Basisseiten der Figur,
d1 und d2 sind die Diagonalen des Trapezes,
γ und φ sind die Winkel zwischen den Diagonalen.

Die Höhe der Figur und der Radius des darin eingeschriebenen Kreises

Wie aus der Definition dieses Kreistyps hervorgeht, berührt er jede Basis an einem Punkt, die Teil einer geraden Linie sind. Daher ist der Abstand zwischen ihnen der Durchmesser – die gewünschte Höhe der Figur. Und da der Durchmesser doppelt so groß ist wie der Radius, gilt:

h = 2 * r,
r ist der Radius des Kreises, der in dieses Trapez eingeschrieben ist.

Finden Sie die Höhe eines gleichschenkligen Trapezes

Wie sich aus dem Wortlaut ergibt, Unterscheidungsmerkmal eines gleichschenkligen Trapezes ist die Gleichheit seiner Seiten. Um die Höhe einer Figur zu ermitteln, verwenden Sie daher die Formel zur Bestimmung dieses Wertes, wenn die Seiten des Trapezes bekannt sind.

Wenn also c = d, dann h=√c 2 -(((a-b) 2 +c 2 -d 2)/2(a-b)) 2 = √c 2 -(a-b) 2 /4,
a, b – Grundseiten des Vierecks,
c = d – seine Seiten.

Wenn durch zwei Seiten (Basis und Seite) Winkel gebildet werden, wird die Höhe des Trapezes durch das folgende Verhältnis bestimmt:

h = c* sinα,
h = с * tgα *cosα = с * tgα * (b – a)/2c = tgα * (b-a)/2,

α – Winkel an der Basis der Figur,
a, b (a< b) – основания фигуры,
c = d – seine Seiten.

Wenn die Werte der Diagonalen der Figur angegeben sind, ändert sich der Ausdruck zum Ermitteln der Höhe der Figur, weil d1 = d2:

h = d1 2 /(a+b)*sinγ = d1 2 /(a+b)*sinφ,

h = d1 2 /2*l*sinγ = d1 2 /2*l*sinφ.

In unserem Leben stoßen wir in der Praxis, beispielsweise im Bauwesen, sehr oft auf den Einsatz von Geometrie. Zu den häufigsten geometrischen Formen gehört das Trapez. Und damit das Projekt erfolgreich und schön wird, ist eine korrekte und genaue Berechnung der Elemente für eine solche Figur erforderlich.

Was ist ein konvexes Viereck mit zwei parallelen Seiten, die als Basen eines Trapezes bezeichnet werden? Aber es gibt zwei andere Seiten, die diese Basen verbinden. Sie werden seitlich genannt. Eine der Fragen zu dieser Figur lautet: „Wie finde ich die Höhe eines Trapezes?“ Es ist sofort zu beachten, dass die Höhe ein Segment ist, das den Abstand von einer Basis zur anderen bestimmt. Abhängig von den bekannten Größen gibt es mehrere Möglichkeiten, diesen Abstand zu bestimmen.

1. Die Werte beider Basen sind bekannt, bezeichnen wir sie mit b und k sowie der Fläche dieses Trapezes. Mit bekannten Werten ist es in diesem Fall sehr einfach, die Höhe des Trapezes zu ermitteln. Sie errechnet sich, wie aus der Geometrie bekannt, als Produkt aus der halben Summe der Grundflächen und der Höhe. Aus dieser Formel können Sie ganz einfach den gewünschten Wert ableiten. Dazu müssen Sie die Fläche durch die Hälfte der Basensumme teilen. In Form von Formeln sieht es so aus:

S=((b+k)/2)*h, also h=S/((b+k)/2)=2*S/(b+k)

2. Die Länge der Mittellinie ist bekannt, bezeichnen wir sie mit d, und die Fläche. Für diejenigen, die es nicht wissen: Die Mittellinie ist der Abstand zwischen den Seitenmitten. Wie ermittelt man in diesem Fall die Höhe des Trapezes? Gemäß der Trapezeigenschaft entspricht die Mittellinie der halben Summe der Basen, d. h. d=(b+k)/2. Auch hier greifen wir auf die Flächenformel zurück. Wenn wir die halbe Summe der Basen durch den Wert der Mittellinie ersetzen, erhalten wir Folgendes:

Wie wir sehen, ist es sehr einfach, die Höhe aus der resultierenden Formel abzuleiten. Indem wir die Fläche durch den Wert der Mittellinie dividieren, ermitteln wir den gewünschten Wert. Schreiben wir das mit der Formel auf:

3. Die Länge einer Seite (b) und der Winkel zwischen dieser Seite und der größten Basis sind bekannt. Auch in diesem Fall gibt es die Antwort auf die Frage, wie man die Höhe eines Trapezes ermittelt. Betrachten Sie das Trapez ABCD, wobei AB und CD die Seiten sind und AB=b. Die größte Basis ist AD. Bezeichnen wir den von AB und AD gebildeten Winkel als α. Verringern Sie von Punkt B aus die Höhe h auf die Basis AD. Betrachten Sie nun das resultierende Dreieck ABF, das ein rechtwinkliges Dreieck ist. Seite AB ist die Hypotenuse und Seite BF ist die Seite. Aufgrund der Eigenschaft eines rechtwinkligen Dreiecks entspricht das Verhältnis des Wertes des Schenkels und des Wertes der Hypotenuse dem Sinus des Winkels gegenüber dem Schenkel (BF). Um die Höhe des Trapezes zu berechnen, multiplizieren wir daher auf der Grundlage des oben Gesagten den Wert der bekannten Seite mit dem Sinus des Winkels α. In Formelform sieht es so aus:

4. Der Fall wird in ähnlicher Weise betrachtet, wenn die Größe der Seitenseite und der Winkel bekannt sind, bezeichnen wir ihn als β, der zwischen dieser Seite und der kleineren Basis gebildet wird. Bei der Lösung eines solchen Problems beträgt der Winkel zwischen der bekannten Seite und der gezeichneten Höhe 90° - β. Aufgrund der Eigenschaft von Dreiecken entspricht das Verhältnis der Beinlänge und der Hypotenuse dem Kosinus des zwischen ihnen liegenden Winkels. Aus dieser Formel lässt sich der Höhenwert leicht ableiten:

h = b *cos(β-90°)

5. Wie ermittelt man die Höhe eines Trapezes, wenn nur der Radius des eingeschriebenen Kreises bekannt ist? Aus der Definition eines Kreises geht hervor, dass er an jeder Basis einen Punkt berührt. Außerdem liegen diese Punkte auf einer Linie mit dem Mittelpunkt des Kreises. Daraus folgt, dass der Abstand zwischen ihnen der Durchmesser und gleichzeitig die Höhe des Trapezes ist. Sieht so aus:

6. Es gibt oft Probleme, bei denen es notwendig ist, die Höhe eines gleichschenkligen Trapezes zu ermitteln. Denken Sie daran, dass ein Trapez mit gleichen Seiten gleichschenklig genannt wird. Wie finde ich die Höhe eines gleichschenkligen Trapezes? Bei senkrechten Diagonalen ist die Höhe gleich der halben Summe der Grundflächen.

Was aber, wenn die Diagonalen nicht senkrecht sind? Betrachten Sie das gleichschenklige Trapez ABCD. Aufgrund seiner Eigenschaften sind die Basen parallel. Daraus folgt, dass auch die Winkel an den Basen gleich sind. Zeichnen wir zwei Höhen BF und CM. Basierend auf dem oben Gesagten können wir sagen, dass die Dreiecke ABF und DCM gleich sind, d die bekannten Werte und ermitteln erst dann die Höhe unter Berücksichtigung aller Eigenschaften eines gleichschenkligen Trapezes.

Auf die einfache Frage „Wie finde ich die Höhe eines Trapezes?“ Es gibt mehrere Antworten, da unterschiedliche Startwerte angegeben werden können. Daher unterscheiden sich die Formeln.

Diese Formeln kann man sich merken, aber sie sind nicht schwer abzuleiten. Sie müssen lediglich zuvor erlernte Theoreme anwenden.

In Formeln verwendete Notationen

In allen folgenden mathematischen Notationen sind diese Lesarten der Buchstaben korrekt.

In den Quelldaten: alle Seiten

Um die Höhe eines Trapezes im allgemeinen Fall zu ermitteln, müssen Sie die folgende Formel verwenden:

n = √(c 2 - (((a - c) 2 + c 2 - d 2)/(2(a - c))) 2). Nummer 1.

Nicht die kürzeste, aber auch bei Problemen eher selten anzutreffen. Normalerweise können Sie auch andere Daten verwenden.

Die Formel, die Ihnen sagt, wie Sie die Höhe eines gleichschenkligen Trapezes in derselben Situation ermitteln können, ist viel kürzer:

n = √(c 2 - (a - c) 2 /4). Nummer 2.

Das Problem ergibt: seitliche Seiten und Winkel an der unteren Basis

Es wird angenommen, dass der Winkel α an die Seite mit der Bezeichnung „c“ angrenzt bzw. der Winkel β an die Seite d angrenzt. Dann lautet die allgemeine Formel zum Ermitteln der Höhe eines Trapezes:

n = c * sin α = d * sin β. Nummer 3.

Wenn die Figur gleichschenklig ist, können Sie diese Option verwenden:

n = c * sin α= ((a - b) / 2) * tan α. Nummer 4.

Bekannt: Diagonalen und Winkel zwischen ihnen

Typischerweise werden diese Daten von anderen bekannten Größen begleitet. Zum Beispiel die Basen oder die Mittellinie. Wenn die Gründe angegeben sind, ist zur Beantwortung der Frage, wie man die Höhe eines Trapezes ermittelt, die folgende Formel hilfreich:

n = (d 1 * d 2 * sin γ) / (a + b) oder n = (d 1 * d 2 * sin δ) / (a + b). Nummer 5.

Es ist für Gesamtansicht Figuren. Wenn eine gleichschenklige Zahl angegeben ist, ändert sich die Notation wie folgt:

n = (d 1 2 * sin γ) / (a + b) oder n = (d 1 2 * sin δ) / (a + b). Nummer 6.

Wenn sich das Problem mit der Mittellinie eines Trapezes befasst, lauten die Formeln zur Bestimmung seiner Höhe wie folgt:

n = (d 1 * d 2 * sin γ) / 2m oder n = (d 1 * d 2 * sin δ) / 2m. Nummer 5a.

n = (d 1 2 * sin γ) / 2m oder n = (d 1 2 * sin δ) / 2m. Nummer 6a.

Zu den bekannten Größen gehören: Fläche mit Basen oder Mittellinie

Dies sind vielleicht die kürzesten und einfachsten Formeln zum Ermitteln der Höhe eines Trapezes. Für eine beliebige Figur sieht es so aus:

n = 2S / (a + b). Nummer 7.

Es ist das Gleiche, aber mit einer bekannten Mittellinie:

n = S/m. Nummer 7a.

Seltsamerweise sehen die Formeln für ein gleichschenkliges Trapez gleich aus.

Aufgaben

Nr. 1. Zur Bestimmung der Winkel an der unteren Basis des Trapezes.

Zustand. Gegeben sei ein gleichschenkliges Trapez, dessen Seitenlänge 5 cm beträgt und dessen Grundflächen 6 und 12 cm betragen. Sie müssen den Sinus ermitteln spitzer Winkel.

Lösung. Der Einfachheit halber sollten Sie eine Bezeichnung eingeben. Der untere linke Scheitelpunkt sei A, der Rest im Uhrzeigersinn: B, C, D. Somit wird die untere Basis mit AD bezeichnet, die obere mit BC.

Es ist notwendig, Höhen von den Eckpunkten B und C aus zu zeichnen. Die Punkte, die die Enden der Höhen anzeigen, werden mit H 1 bzw. H 2 bezeichnet. Da alle Winkel in der Abbildung BCH 1 H 2 rechte Winkel sind, handelt es sich um ein Rechteck. Das bedeutet, dass das Segment H 1 H 2 6 cm beträgt.

Jetzt müssen wir zwei Dreiecke betrachten. Sie sind gleich, weil sie rechteckig sind und die gleichen Hypotenusen und vertikalen Schenkel haben. Daraus folgt, dass ihre kleineren Beine gleich sind. Daher können sie als Quotient der Differenz definiert werden. Letzteres erhält man durch Subtrahieren der oberen von der unteren Basis. Es wird durch 2 geteilt. Das heißt, 12 - 6 muss durch 2 geteilt werden. AN 1 = N 2 D = 3 (cm).

Nun müssen Sie anhand des Satzes des Pythagoras die Höhe des Trapezes ermitteln. Es ist notwendig, den Sinus eines Winkels zu ermitteln. VN 1 = √(5 2 - 3 2) = 4 (cm).

Mit dem Wissen, wie der Sinus eines spitzen Winkels in einem Dreieck mit rechtem Winkel ermittelt wird, können wir den folgenden Ausdruck schreiben: sin α = ВН 1 / AB = 0,8.

Antwort. Der erforderliche Sinus beträgt 0,8.

Nr. 2. Die Höhe eines Trapezes mithilfe einer bekannten Tangente ermitteln.

Zustand. Für ein gleichschenkliges Trapez müssen Sie die Höhe berechnen. Es ist bekannt, dass seine Grundflächen 15 und 28 cm betragen. Der Tangens des spitzen Winkels ist angegeben: 11/13.

Lösung. Die Bezeichnung der Eckpunkte ist die gleiche wie im vorherigen Problem. Auch hier müssen Sie zwei Höhen von den oberen Ecken zeichnen. Analog zur Lösung des ersten Problems müssen Sie AN 1 = N 2 D finden, was als Differenz von 28 und 15 geteilt durch zwei definiert ist. Nach Berechnungen ergibt sich: 6,5 cm.

Da der Tangens das Verhältnis zweier Schenkel ist, können wir die folgende Gleichheit schreiben: tan α = AH 1 / VN 1 . Darüber hinaus beträgt dieses Verhältnis 11/13 (je nach Bedingung). Da AN 1 bekannt ist, kann die Höhe berechnet werden: BH 1 = (11 * 6,5) / 13. Einfache Berechnungen ergeben ein Ergebnis von 5,5 cm.

Antwort. Die erforderliche Höhe beträgt 5,5 cm.

Nr. 3. Zur Berechnung der Höhe anhand bekannter Diagonalen.

Zustand. Vom Trapez ist bekannt, dass seine Diagonalen 13 und 3 cm betragen. Sie müssen seine Höhe ermitteln, wenn die Summe der Grundflächen 14 cm beträgt.

Lösung. Die Bezeichnung der Figur sei dieselbe wie zuvor. Nehmen wir an, dass AC die kleinere Diagonale ist. Vom Scheitelpunkt C aus müssen Sie die gewünschte Höhe zeichnen und sie mit CH bezeichnen.

Jetzt müssen Sie einige zusätzliche Konstruktionen durchführen. Von Ecke C aus müssen Sie eine gerade Linie parallel zur größeren Diagonale zeichnen und den Schnittpunkt mit der Fortsetzung der Seite AD ermitteln. Das wird D 1 sein. Das Ergebnis ist ein neues Trapez, in das ein Dreieck ASD 1 eingezeichnet ist. Dies ist erforderlich, um das Problem weiter zu lösen.

Die gewünschte Höhe wird ebenfalls im Dreieck angezeigt. Daher können Sie die in einem anderen Thema untersuchten Formeln verwenden. Die Höhe eines Dreiecks ist definiert als das Produkt aus der Zahl 2 und der Fläche dividiert durch die Seite, auf der es gezeichnet wird. Und es stellt sich heraus, dass die Seite gleich der Summe der Basen des ursprünglichen Trapezes ist. Dies ergibt sich aus der Regel, nach der die zusätzliche Konstruktion erstellt wurde.

Im betrachteten Dreieck sind alle Seiten bekannt. Der Einfachheit halber führen wir die Notation x = 3 cm, y = 13 cm, z = 14 cm ein.

Jetzt können Sie die Fläche mit dem Satz von Heron berechnen. Der Halbumfang beträgt p = (x + y + z) / 2 = (3 + 13 + 14) / 2 = 15 (cm). Dann sieht die Formel für die Fläche nach dem Ersetzen der Werte so aus: S = √(15 * (15 - 3) * (15 - 13) * (15 - 14)) = 6 √10 (cm 2).

Antwort. Die Höhe beträgt 6√10 / 7 cm.

Nummer 4. Um die Höhe an den Seiten zu ermitteln.

Zustand. Bei einem Trapez, dessen drei Seiten 10 cm und die vierte 24 cm lang sind, müssen Sie dessen Höhe ermitteln.

Lösung. Da die Figur gleichschenklig ist, benötigen Sie die Formel Nummer 2. Sie müssen nur alle Werte darin einsetzen und zählen. Es wird so aussehen:

n = √(10 2 - (10 - 24) 2 /4) = √51 (cm).

Antwort. n = √51 cm.

Um sich im Geometrieunterricht sicher zu fühlen und Probleme erfolgreich zu lösen, reicht es nicht aus, die Formeln zu lernen. Sie müssen zuerst verstanden werden. Angst zu haben und noch mehr Formeln zu hassen, ist unproduktiv. Dieser Artikel wird in verständlicher Sprache analysiert verschiedene Wege Ermitteln der Fläche eines Trapezes. Um die entsprechenden Regeln und Theoreme besser zu verstehen, werden wir ihren Eigenschaften etwas Aufmerksamkeit schenken. Dies hilft Ihnen zu verstehen, wie die Regeln funktionieren und in welchen Fällen bestimmte Formeln angewendet werden sollten.

Ein Trapez definieren

Was ist das insgesamt für eine Zahl? Ein Trapez ist ein Polygon mit vier Ecken und zwei parallelen Seiten. Die anderen beiden Seiten des Trapezes können in unterschiedlichen Winkeln geneigt sein. Seine parallelen Seiten werden Basen genannt, und für nichtparallele Seiten wird die Bezeichnung „Seiten“ oder „Hüften“ verwendet. Solche Figuren sind im Alltag durchaus üblich. Die Konturen des Trapezes sind in den Silhouetten von Kleidung, Einrichtungsgegenständen, Möbeln, Geschirr und vielem mehr zu sehen. Trapez passiert verschiedene Typen: ungleichseitig, gleichseitig und rechteckig. Wir werden ihre Typen und Eigenschaften später in diesem Artikel genauer untersuchen.

Eigenschaften eines Trapezes

Lassen Sie uns kurz auf die Eigenschaften dieser Figur eingehen. Die Summe der an jede Seite angrenzenden Winkel beträgt immer 180°. Dabei ist zu beachten, dass sich alle Winkel eines Trapezes zu 360° addieren. Das Trapez hat das Konzept einer Mittellinie. Wenn Sie die Mittelpunkte der Seiten mit einem Segment verbinden, ist dies die Mittellinie. Es wird mit m bezeichnet. Die Mittellinie hat wichtige Eigenschaften: Sie verläuft immer parallel zu den Basen (wir erinnern uns, dass die Basen auch zueinander parallel sind) und gleich ihrer Halbsumme:

Diese Definition muss gelernt und verstanden werden, denn sie ist der Schlüssel zur Lösung vieler Probleme!

Bei einem Trapez können Sie die Höhe jederzeit bis zur Basis senken. Eine Höhe ist eine Senkrechte, oft mit dem Symbol h bezeichnet, die von einem beliebigen Punkt einer Basis zu einer anderen Basis oder deren Verlängerung verläuft. Mithilfe der Mittellinie und der Höhe können Sie die Fläche des Trapezes ermitteln. Solche Probleme treten im schulischen Geometrieunterricht am häufigsten auf und tauchen regelmäßig bei Prüfungs- und Prüfungsarbeiten auf.

Die einfachsten Formeln für die Fläche eines Trapezes

Schauen wir uns die beiden beliebtesten und einfachsten Formeln an, mit denen die Fläche eines Trapezes ermittelt wird. Es reicht aus, die Höhe mit der halben Summe der Grundflächen zu multiplizieren, um leicht zu finden, was Sie suchen:

S = h*(a + b)/2.

In dieser Formel bezeichnen a, b die Basen des Trapezes, h die Höhe. Zur besseren Lesbarkeit werden in diesem Artikel Multiplikationszeichen in Formeln mit einem Symbol (*) gekennzeichnet, obwohl in offiziellen Nachschlagewerken das Multiplikationszeichen normalerweise weggelassen wird.

Schauen wir uns ein Beispiel an.

Gegeben: Ein Trapez mit zwei Grundflächen gleich 10 und 14 cm, die Höhe beträgt 7 cm. Wie groß ist die Fläche des Trapezes?

Schauen wir uns die Lösung für dieses Problem an. Mit dieser Formel müssen Sie zunächst die Halbsumme der Basen ermitteln: (10+14)/2 = 12. Die Halbsumme ist also gleich 12 cm. Jetzt multiplizieren wir die Halbsumme mit der Höhe: 12*7 = 84. Was wir suchen, ist gefunden. Antwort: Die Fläche des Trapezes beträgt 84 Quadratmeter. cm.

Die zweite bekannte Formel besagt: Die Fläche eines Trapezes ist gleich dem Produkt aus der Mittellinie und der Höhe des Trapezes. Das heißt, es folgt tatsächlich aus dem vorherigen Konzept der Mittellinie: S=m*h.

Verwendung von Diagonalen für Berechnungen

Eine andere Möglichkeit, die Fläche eines Trapezes zu ermitteln, ist eigentlich nicht so kompliziert. Es ist mit seinen Diagonalen verbunden. Mit dieser Formel müssen Sie zum Ermitteln der Fläche das Halbprodukt seiner Diagonalen (d 1 d 2) mit dem Sinus des Winkels zwischen ihnen multiplizieren:

S = ½ d 1 d 2 sin A.

Betrachten wir ein Problem, das die Anwendung dieser Methode zeigt. Gegeben: ein Trapez mit einer Diagonalenlänge von 8 bzw. 13 cm. Der Winkel a zwischen den Diagonalen beträgt 30°. Finden Sie die Fläche des Trapezes.

Lösung. Mit der obigen Formel lässt sich der Bedarf leicht berechnen. Wie Sie wissen, beträgt sin 30° 0,5. Daher ist S = 8*13*0,5=52. Antwort: Die Fläche beträgt 52 Quadratmeter. cm.

Ermitteln der Fläche eines gleichschenkligen Trapezes

Ein Trapez kann gleichschenklig (gleichschenklig) sein. Seine Seiten sind gleich und die Winkel an den Basen sind gleich, was durch die Abbildung gut veranschaulicht wird. Ein gleichschenkliges Trapez hat die gleichen Eigenschaften wie ein normales, zusätzlich zu einigen besonderen Eigenschaften. Um ein gleichschenkliges Trapez kann ein Kreis umschrieben werden, und darin kann ein Kreis eingeschrieben werden.

Welche Methoden gibt es, die Fläche einer solchen Figur zu berechnen? Die folgende Methode erfordert viele Berechnungen. Um es verwenden zu können, müssen Sie die Werte des Sinus (sin) und des Kosinus (cos) des Winkels an der Basis des Trapezes kennen. Um sie zu berechnen, benötigen Sie entweder Bradis-Tabellen oder einen technischen Taschenrechner. Hier ist die Formel:

S= C*Sünde A*(A - C*cos A),

Wo Mit- seitlicher Oberschenkel, A- Winkel an der unteren Basis.

Ein gleichseitiges Trapez hat gleich lange Diagonalen. Das Umgekehrte gilt auch: Wenn ein Trapez gleiche Diagonalen hat, dann ist es gleichschenklig. Daher die folgende Formel, um die Fläche eines Trapezes zu ermitteln – das halbe Produkt aus dem Quadrat der Diagonalen und dem Sinus des Winkels zwischen ihnen: S = ½ d 2 sin A.

Ermitteln der Fläche eines rechteckigen Trapezes

Ein Sonderfall eines rechteckigen Trapezes ist bekannt. Dabei handelt es sich um ein Trapez, dessen eine Seite (sein Schenkel) im rechten Winkel an die Grundflächen angrenzt. Es hat die Eigenschaften eines regelmäßigen Trapezes. Darüber hinaus hat sie sehr interessante Funktion. Der Unterschied in den Quadraten der Diagonalen eines solchen Trapezes ist gleich dem Unterschied in den Quadraten seiner Grundflächen. Dabei kommen alle zuvor beschriebenen Methoden zur Flächenberechnung zum Einsatz.

Wir nutzen Einfallsreichtum

Es gibt einen Trick, der helfen kann, wenn Sie bestimmte Formeln vergessen. Schauen wir uns genauer an, was ein Trapez ist. Wenn wir es gedanklich in Teile zerlegen, erhalten wir bekannte und verständliche geometrische Formen: ein Quadrat oder Rechteck und ein Dreieck (eins oder zwei). Wenn die Höhe und die Seiten des Trapezes bekannt sind, können Sie die Formeln für die Fläche eines Dreiecks und eines Rechtecks verwenden und dann alle resultierenden Werte addieren.

Lassen Sie uns dies anhand des folgenden Beispiels veranschaulichen. Gegeben sei ein rechteckiges Trapez. Winkel C = 45°, Winkel A, D betragen 90°. Die obere Basis des Trapezes beträgt 20 cm, die Höhe beträgt 16 cm. Sie müssen die Fläche der Figur berechnen.

Diese Figur besteht offensichtlich aus einem Rechteck (wenn zwei Winkel gleich 90° sind) und einem Dreieck. Da das Trapez rechteckig ist, entspricht seine Höhe seiner Seite, also 16 cm. Wir haben ein Rechteck mit einer Seitenlänge von 20 bzw. 16 cm. Betrachten Sie nun ein Dreieck, dessen Winkel 45° beträgt. Wir wissen, dass eine Seite davon 16 cm beträgt. Da diese Seite auch die Höhe des Trapezes ist (und wir wissen, dass die Höhe im rechten Winkel zur Basis abfällt), beträgt der zweite Winkel des Dreiecks 90°. Daher beträgt der verbleibende Winkel des Dreiecks 45°. Als Konsequenz daraus erhalten wir ein Rechteck gleichschenkligen Dreiecks, dessen beide Seiten gleich sind. Dies bedeutet, dass die andere Seite des Dreiecks gleich der Höhe ist, also 16 cm. Es bleibt die Fläche des Dreiecks und des Rechtecks zu berechnen und die resultierenden Werte zu addieren.

Die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks ist gleich dem halben Produkt seiner Schenkel: S = (16*16)/2 = 128. Die Fläche eines Rechtecks ist gleich dem Produkt aus seiner Breite und Länge: S = 20*16 = 320. Wir haben die erforderliche Fläche des Trapezes S = 128 + 320 = 448 Quadratfuß gefunden. Sehen Sie. Mit den obigen Formeln können Sie sich leicht selbst überprüfen, die Antwort wird identisch sein.

Wir verwenden die Pick-Formel

Abschließend stellen wir eine weitere Originalformel vor, die dabei hilft, die Fläche eines Trapezes zu ermitteln. Sie wird als Pick-Formel bezeichnet. Es ist praktisch, wenn das Trapez auf kariertem Papier gezeichnet wird. Ähnliche Probleme treten häufig bei GIA-Materialien auf. Es sieht aus wie das:

S = M/2 + N - 1,

In dieser Formel ist M die Anzahl der Knoten, d.h. Schnittpunkte der Linien der Figur mit den Linien der Zelle an den Grenzen des Trapezes (orangefarbene Punkte in der Abbildung), N ist die Anzahl der Knoten innerhalb der Figur (blaue Punkte). Es ist am bequemsten, es zu verwenden, wenn Sie die Fläche eines unregelmäßigen Polygons ermitteln. Je größer jedoch das Arsenal der verwendeten Techniken ist, desto weniger Fehler treten auf und desto besser sind die Ergebnisse.

Die bereitgestellten Informationen erschöpfen natürlich nicht die Arten und Eigenschaften eines Trapezes sowie Methoden zur Bestimmung seiner Fläche. Dieser Artikel gibt einen Überblick über seine wichtigsten Eigenschaften. Beim Lösen geometrischer Probleme ist es wichtig, schrittweise vorzugehen, mit einfachen Formeln und Problemen zu beginnen, das Verständnis konsequent zu festigen und zu einer anderen Komplexitätsebene überzugehen.

Die Zusammenstellung der gebräuchlichsten Formeln hilft den Schülern dabei, sich in den verschiedenen Methoden zur Berechnung der Fläche eines Trapezes zurechtzufinden und sich besser auf Tests vorzubereiten Tests Zu diesem Thema.

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