Die Praxis des Einheitlichen Staatsexamens und des Staatsexamens im letzten Jahr zeigt, dass Geometrieprobleme vielen Schülern Schwierigkeiten bereiten. Sie können sie problemlos bewältigen, wenn Sie sich alle notwendigen Formeln merken und das Lösen von Problemen üben.

In diesem Artikel sehen Sie Formeln zum Ermitteln der Fläche eines Trapezes sowie Beispiele für Probleme mit Lösungen. Sie können in KIMs bei Zertifizierungsprüfungen oder bei Olympiaden auf dieselben stoßen. Behandeln Sie sie daher sorgfältig.

Was müssen Sie über das Trapez wissen?

Erinnern wir uns zunächst einmal daran Trapez wird ein Viereck genannt, bei dem zwei gegenüberliegende Seiten, auch Grundflächen genannt, parallel sind und die anderen beiden nicht.

Bei einem Trapez kann die Höhe (senkrecht zur Basis) auch abgesenkt werden. Die Mittellinie wird gezeichnet – das ist eine gerade Linie, die parallel zu den Basen verläuft und der Hälfte ihrer Summe entspricht. Sowie Diagonalen, die sich schneiden können und spitze und stumpfe Winkel bilden. Oder in manchen Fällen im rechten Winkel. Wenn das Trapez außerdem gleichschenklig ist, kann darin ein Kreis eingeschrieben werden. Und beschreibe einen Kreis darum.

Trapezflächenformeln

Schauen wir uns zunächst die Standardformeln zum Ermitteln der Fläche eines Trapezes an. Im Folgenden betrachten wir Möglichkeiten zur Berechnung der Fläche von gleichschenkligen und krummlinigen Trapezen.

Stellen Sie sich also vor, Sie hätten ein Trapez mit den Grundflächen a und b, bei dem die Höhe h auf die größere Grundfläche abgesenkt ist. Die Flächenberechnung einer Figur ist in diesem Fall so einfach wie das Schälen von Birnen. Sie müssen lediglich die Summe der Längen der Basen durch zwei teilen und das Ergebnis mit der Höhe multiplizieren: S = 1/2(a + b)*h.

Nehmen wir einen anderen Fall: Angenommen, in einem Trapez gibt es zusätzlich zur Höhe eine Mittellinie m. Wir kennen die Formel zum Ermitteln der Länge der Mittellinie: m = 1/2(a + b). Daher können wir die Formel für die Fläche eines Trapezes zu Recht auf die folgende Form vereinfachen: S = m*h. Mit anderen Worten: Um die Fläche eines Trapezes zu ermitteln, müssen Sie die Mittellinie mit der Höhe multiplizieren.

Betrachten wir eine andere Option: Das Trapez enthält Diagonalen d 1 und d 2, die sich nicht im rechten Winkel α schneiden. Um die Fläche eines solchen Trapezes zu berechnen, müssen Sie das Produkt der Diagonalen durch zwei teilen und das Ergebnis mit dem Sinus des Winkels zwischen ihnen multiplizieren: S= 1/2d 1 d 2 *sinα.

Betrachten Sie nun die Formel zum Ermitteln der Fläche eines Trapezes, wenn außer den Längen aller seiner Seiten nichts darüber bekannt ist: a, b, c und d. Dies ist eine umständliche und komplexe Formel, aber es wird für Sie nützlich sein, sie sich für alle Fälle zu merken: S = 1/2(a + b) * √c 2 – ((1/2(b – a)) * ((b – a) 2 + c 2 – d 2)) 2.

Die obigen Beispiele gelten übrigens auch für den Fall, dass Sie die Formel für die Fläche eines rechteckigen Trapezes benötigen. Dabei handelt es sich um ein Trapez, dessen Seite im rechten Winkel an die Basen angrenzt.

Gleichschenkliges Trapez

Ein Trapez, dessen Seiten gleich sind, heißt gleichschenklig. Wir werden mehrere Optionen für die Formel für die Fläche eines gleichschenkligen Trapezes betrachten.

Erste Option: für den Fall, dass ein Kreis mit dem Radius r in ein gleichschenkliges Trapez eingeschrieben ist und die Seite und die größere Grundfläche geformt sind scharfe Eckeα. Ein Kreis kann in ein Trapez eingeschrieben werden, vorausgesetzt, dass die Summe der Längen seiner Grundflächen gleich der Summe der Längen der Seiten ist.

Die Fläche eines gleichschenkligen Trapezes wird wie folgt berechnet: Multiplizieren Sie das Quadrat des Radius des eingeschriebenen Kreises mit vier und dividieren Sie alles durch sinα: S = 4r 2 /sinα. Eine andere Flächenformel ist ein Sonderfall für die Option, wenn der Winkel zwischen der großen Basis und der Seite 30 0 beträgt: S = 8r2.

Zweite Möglichkeit: Diesmal nehmen wir ein gleichschenkliges Trapez, in das zusätzlich die Diagonalen d 1 und d 2 eingezeichnet sind, sowie die Höhe h. Stehen die Diagonalen eines Trapezes senkrecht zueinander, ist die Höhe halb so groß wie die Summe der Grundflächen: h = 1/2(a + b). Mit diesem Wissen lässt sich die Ihnen bereits bekannte Formel für die Fläche eines Trapezes leicht in diese Form umwandeln: S = h2.

Formel für die Fläche eines gebogenen Trapezes

Beginnen wir damit, herauszufinden, was ein gebogenes Trapez ist. Stellen Sie sich eine Koordinatenachse und einen Graphen einer stetigen und nicht negativen Funktion f vor, die innerhalb eines bestimmten Segments auf der x-Achse ihr Vorzeichen nicht ändert. Ein krummliniges Trapez wird durch den Graphen der Funktion y = f(x) gebildet - oben befindet sich die x-Achse unten (Segment) und an den Seiten - gerade Linien zwischen den Punkten a und b und dem Graphen von die Funktion.

Es ist unmöglich, die Fläche einer solchen nicht standardmäßigen Figur mit den oben genannten Methoden zu berechnen. Hier müssen Sie eine mathematische Analyse anwenden und das Integral verwenden. Nämlich: die Newton-Leibniz-Formel - S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). In dieser Formel ist F die Stammfunktion unserer Funktion auf dem ausgewählten Segment. Und die Fläche eines krummlinigen Trapezes entspricht dem Inkrement der Stammfunktion auf einem gegebenen Segment.

Beispielprobleme

Um Ihnen das Verständnis all dieser Formeln im Kopf zu erleichtern, finden Sie hier einige Beispiele für Aufgaben zum Ermitteln der Fläche eines Trapezes. Am besten versuchen Sie zunächst, die Probleme selbst zu lösen und vergleichen erst dann die Antwort, die Sie erhalten, mit der fertigen Lösung.

Aufgabe 1: Gegeben sei ein Trapez. Seine größere Basis ist 11 cm, die kleinere 4 cm. Das Trapez hat Diagonalen, eine 12 cm lang, die zweite 9 cm.

Lösung: Konstruieren Sie ein trapezförmiges AMRS. Zeichnen Sie eine Gerade РХ durch den Scheitelpunkt P, sodass sie parallel zur Diagonale MC verläuft und die Gerade AC im Punkt X schneidet. Sie erhalten ein Dreieck APХ.

Wir betrachten zwei Figuren, die als Ergebnis dieser Manipulationen erhalten wurden: das Dreieck APX und das Parallelogramm CMRX.

Dank des Parallelogramms erfahren wir, dass PX = MC = 12 cm und CX = MR = 4 cm. Daraus können wir die Seite AX des Dreiecks ARX berechnen: AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 cm.

Wir können auch beweisen, dass das Dreieck APX rechtwinklig ist (wenden Sie dazu den Satz des Pythagoras an – AX 2 = AP 2 + PX 2). Und berechnen Sie seine Fläche: S APX = 1/2(AP * PX) = 1/2(9 * 12) = 54 cm 2.

Als nächstes müssen Sie beweisen, dass die Dreiecke AMP und PCX flächengleich sind. Grundlage wird die Gleichheit der Parteien MR und CX sein (oben bereits nachgewiesen). Und auch die Höhen, die Sie auf diesen Seiten absenken – sie entsprechen der Höhe des AMRS-Trapezes.

All dies lässt uns sagen, dass S AMPC = S APX = 54 cm 2 ist.

Aufgabe #2: Gegeben ist das trapezförmige KRMS. Auf seinen lateralen Seiten befinden sich die Punkte O und E, während OE und KS parallel sind. Es ist auch bekannt, dass die Flächen der Trapeze ORME und OKSE im Verhältnis 1:5 stehen. RM = a und KS = b. Sie müssen OE finden.

Lösung: Zeichnen Sie eine Linie parallel zu RK durch den Punkt M und bezeichnen Sie den Schnittpunkt mit OE als T. A ist der Schnittpunkt einer Linie, die durch den Punkt E parallel zu RK gezogen wird, mit der Basis KS.

Lassen Sie uns eine weitere Notation einführen – OE = x. Und auch die Höhe h 1 für das Dreieck TME und die Höhe h 2 für das Dreieck AEC (Sie können die Ähnlichkeit dieser Dreiecke unabhängig beweisen).

Wir gehen davon aus, dass b > a. Die Flächen der Trapeze ORME und OKSE stehen im Verhältnis 1:5, was uns das Recht gibt, die folgende Gleichung zu erstellen: (x + a) * h 1 = 1/5(b + x) * h 2. Lassen Sie uns transformieren und erhalten: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + x)/(x + a)).

Da die Dreiecke TME und AEC ähnlich sind, gilt h 1 / h 2 = (x – a)/(b – x). Kombinieren wir beide Einträge und erhalten: (x – a)/(b – x) = 1/5 * ((b + x)/(x + a)) ↔ 5(x – a)(x + a) = ( b + x)(b – x) ↔ 5(x 2 – a 2) = (b 2 – x 2) ↔ 6x 2 = b 2 + 5a 2 ↔ x = √(5a 2 + b 2)/6.

Somit ist OE = x = √(5a 2 + b 2)/6.

Abschluss

Geometrie ist nicht die einfachste Wissenschaft, aber mit den Prüfungsfragen kommt man durchaus zurecht. Es reicht aus, bei der Vorbereitung ein wenig Ausdauer an den Tag zu legen. Und denken Sie natürlich an alle notwendigen Formeln.

Wir haben versucht, alle Formeln zur Berechnung der Fläche eines Trapezes an einem Ort zu sammeln, damit Sie sie bei der Prüfungsvorbereitung und der Überarbeitung des Stoffes verwenden können.

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Fläche eines Trapezes. Ich grüße sie! In dieser Veröffentlichung werden wir uns diese Formel ansehen. Warum ist sie genau so und wie kann man sie verstehen? Wenn Verständnis vorhanden ist, müssen Sie es nicht lehren. Wenn Sie sich diese Formel nur dringend ansehen möchten, können Sie sofort auf der Seite nach unten scrollen))

Nun im Detail und der Reihe nach.

Ein Trapez ist ein Viereck, zwei Seiten dieses Vierecks sind parallel, die anderen beiden nicht. Diejenigen, die nicht parallel sind, sind die Basen des Trapezes. Die anderen beiden werden Seiten genannt.

Wenn die Seiten gleich sind, heißt das Trapez gleichschenklig. Wenn eine der Seiten senkrecht zu den Basen steht, nennt man ein solches Trapez rechteckig.

In seiner klassischen Form wird ein Trapez wie folgt dargestellt – die größere Basis befindet sich jeweils unten, die kleinere oben. Aber niemand verbietet es, sie abzubilden und umgekehrt. Hier die Skizzen:

Nächstes wichtiges Konzept.

Die Mittellinie eines Trapezes ist ein Segment, das die Mittelpunkte der Seiten verbindet. Die Mittellinie verläuft parallel zu den Grundflächen des Trapezes und entspricht deren Halbsumme.

Lassen Sie uns nun tiefer eintauchen. Warum ist das so?

Betrachten Sie ein Trapez mit Basen A und B und mit der Mittellinie l, und führen Sie einige zusätzliche Konstruktionen durch: Zeichnen Sie gerade Linien durch die Basen und Senkrechte durch die Enden der Mittellinie, bis sie die Basen schneiden:

*Buchstabenbezeichnungen für Scheitelpunkte und andere Punkte sind absichtlich nicht enthalten, um unnötige Bezeichnungen zu vermeiden.

Schauen Sie, die Dreiecke 1 und 2 sind gemäß dem zweiten Gleichheitszeichen der Dreiecke gleich, die Dreiecke 3 und 4 sind gleich. Aus der Gleichheit der Dreiecke folgt die Gleichheit der Elemente, nämlich der Beine (sie sind blau bzw. rot markiert).

Jetzt Achtung! Wenn wir im Geiste die blauen und roten Segmente von der unteren Basis „abschneiden“, bleibt ein Segment (das ist die Seite des Rechtecks) übrig, das der Mittellinie entspricht. Wenn wir als nächstes die ausgeschnittenen blauen und roten Segmente an die obere Basis des Trapezes „kleben“, erhalten wir auch ein Segment (dies ist auch die Seite des Rechtecks), das der Mittellinie des Trapezes entspricht.

Habe es? Es stellt sich heraus, dass die Summe der Basen gleich den beiden Mittellinien des Trapezes ist:

Sehen Sie sich eine weitere Erklärung an

Machen wir Folgendes: Konstruieren Sie eine gerade Linie, die durch die untere Basis des Trapezes verläuft, und eine gerade Linie, die durch die Punkte A und B verläuft:

Wir erhalten die Dreiecke 1 und 2, sie sind entlang der Seite und der angrenzenden Winkel gleich (das zweite Gleichheitszeichen der Dreiecke). Das bedeutet, dass das resultierende Segment (in der Skizze blau markiert) gleich der oberen Basis des Trapezes ist.

Betrachten Sie nun das Dreieck:

*Die Mittellinie dieses Trapezes und die Mittellinie des Dreiecks fallen zusammen.

Es ist bekannt, dass ein Dreieck gleich der Hälfte seiner parallelen Grundfläche ist, das heißt:

Okay, wir haben es herausgefunden. Nun zur Fläche des Trapezes.

Trapezflächenformel:

Man sagt: Die Fläche eines Trapezes ist gleich dem Produkt aus der halben Summe seiner Grundflächen und seiner Höhe.

Das heißt, es stellt sich heraus, dass es gleich dem Produkt aus Mittellinie und Höhe ist:

Sie haben wahrscheinlich bereits bemerkt, dass dies offensichtlich ist. Geometrisch lässt sich das so ausdrücken: Wenn wir gedanklich die Dreiecke 2 und 4 vom Trapez abschneiden und auf die Dreiecke 1 bzw. 3 legen:

Dann erhalten wir ein Rechteck mit einer Fläche, die der Fläche unseres Trapezes entspricht. Die Fläche dieses Rechtecks ​​​​ist gleich dem Produkt aus Mittellinie und Höhe, das heißt, wir können schreiben:

Aber hier geht es natürlich nicht ums Schreiben, sondern ums Verstehen.

Artikelmaterial im *pdf-Format herunterladen (ansehen).

Das ist alles. Viel Glück!

Mit freundlichen Grüßen, Alexander.

Ein Trapez ist ein Reliefviereck, bei dem zwei gegenüberliegende Seiten parallel und die anderen beiden nicht parallel sind. Wenn alle gegenüberliegenden Seiten eines Vierecks paarweise parallel sind, dann handelt es sich um ein Parallelogramm.

Du wirst brauchen

• – alle Seiten des Trapezes (AB, BC, CD, DA).

Anweisungen

1. Nicht parallel Seiten Trapeze werden laterale Seiten und parallele Seiten Basen genannt. Die Linie zwischen den Basen senkrecht zu ihnen ist die Höhe Trapeze. Wenn seitlich Seiten Trapeze gleich sind, dann heißt es gleichschenklig. Schauen wir uns zunächst die Lösung an Trapeze, was nicht gleichschenklig ist.

2. Zeichnen Sie das Liniensegment BE vom Punkt B zur unteren Basis AD parallel zur Seite Trapeze CD. Weil BE und CD parallel sind und zwischen parallelen Basen gezeichnet werden Trapeze BC und DA, dann ist BCDE ein Parallelogramm und sein Gegenteil Seiten BE und CD sind gleich. BE=CD.

3. Schauen Sie sich das Dreieck ABE an. Berechnen Sie die Seiten-AE. AE=AD-ED. Gründe Trapeze BC und AD sind bekannt und in einem Parallelogramm sind BCDE entgegengesetzt Seiten ED und BC sind gleich. ED=BC, also AE=AD-BC.

4. Ermitteln Sie nun die Fläche des Dreiecks ABE mithilfe der Heron-Formel, indem Sie den Halbumfang berechnen. S=root(p*(p-AB)*(p-BE)*(p-AE)). In dieser Formel ist p der Halbumfang des Dreiecks ABE. p=1/2*(AB+BE+AE). Um die Fläche zu berechnen, kennen Sie alle notwendigen Daten: AB, BE=CD, AE=AD-BC.

6. Drücken Sie mit dieser Formel die Höhe des Dreiecks aus, die auch die Höhe ist Trapeze. BH=2*S/AE. Berechnen Sie es.

7. Wenn das Trapez gleichschenklig ist, kann die Lösung anders ausgeführt werden. Schauen Sie sich das Dreieck ABH an. Es ist rechteckig, weil eine der Ecken, BHA, richtig ist.

8. Zeichnen Sie die Höhe CF vom Scheitelpunkt C aus.

9. Studieren Sie die HBCF-Zahl. HBCF-Rechteck, weil es zwei davon gibt Seiten sind Höhen und die anderen beiden sind Basen Trapeze, das heißt, die Winkel sind rechts und umgekehrt Seiten parallel. Das bedeutet, dass BC=HF.

10. Schauen Sie sich die rechtwinkligen Dreiecke ABH und FCD an. Die Winkel in der Höhe BHA und CFD sind rechtwinklig und die Winkel in seitlicher Richtung Seiten x BAH und CDF sind gleich, weil das Trapez ABCD gleichschenklig ist, was bedeutet, dass die Dreiecke ähnlich sind. Weil die Höhen BH und CF gleich oder seitlich sind Seiten gleichschenklig Trapeze AB und CD sind kongruent, dann sind ähnliche Dreiecke kongruent. So dass sie Seiten AH und FD sind ebenfalls gleich.

11. Entdecken Sie AH. AH+FD=AD-HF. Denn aus einem Parallelogramm HF=BC und aus Dreiecken AH=FD gilt AH=(AD-BC)*1/2.

Trapez – geometrische Figur, das ist ein Viereck, bei dem zwei Seiten, sogenannte Basen, parallel sind und die anderen beiden nicht parallel sind. Sie werden Seiten genannt Trapeze. Das durch die Mittelpunkte der seitlichen Seiten gezogene Segment wird Mittellinie genannt Trapeze. Ein Trapez kann unterschiedliche oder gleiche Seitenlängen haben, man nennt es dann gleichschenklig. Wenn eine der Seiten senkrecht zur Basis steht, ist das Trapez rechteckig. Aber es ist viel praktischer zu wissen, wie man erkennt Quadrat Trapeze .

Du wirst brauchen

• Lineal mit Millimetereinteilung

Anweisungen

1. Messen Sie alle Seiten Trapeze: AB, BC, CD und DA. Notieren Sie Ihre Messungen.

2. Markieren Sie auf dem Segment AB den Mittelpunkt – Punkt K. Markieren Sie auf dem Segment DA den Punkt L, der sich ebenfalls in der Mitte des Segments AD befindet. Kombinieren Sie die Punkte K und L, das resultierende Segment KL ist die Mittellinie Trapeze A B C D. Messen Sie das Segment KL.

3. Von oben Trapeze– Wirf C, senke die Senkrechte zu seiner Basis AD auf dem Segment CE. Es wird die Höhe sein Trapeze A B C D. Messen Sie das Segment CE.

4. Nennen wir also das Segment KL den Buchstaben m und das Segment CE den Buchstaben h Quadrat S Trapeze ABCD wird nach der Formel S=m*h berechnet, wobei m die Mittellinie ist Trapeze ABCD, h – Höhe Trapeze A B C D.

5. Es gibt eine andere Formel, mit der Sie berechnen können Quadrat Trapeze A B C D. Untere Basis Trapeze– Nennen wir AD den Buchstaben b und die obere Basis BC den Buchstaben a. Die Fläche wird durch die Formel S=1/2*(a+b)*h bestimmt, wobei a und b die Basen sind Trapeze, h – Höhe Trapeze .

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Tipp 3: So ermitteln Sie die Höhe eines Trapezes, wenn die Fläche bekannt ist

Ein Trapez ist ein Viereck, bei dem zwei seiner vier Seiten parallel zueinander sind. Die Basis dafür sind parallele Seiten Trapeze, die anderen beiden sind die seitlichen Seiten davon Trapeze. Entdecken Höhe Trapeze, wenn Sie die Gegend kennen, wird es sehr einfach sein.

Anweisungen

1. Wir müssen herausfinden, wie wir die Fläche des Anfangs berechnen Trapeze. Abhängig von den Ausgangsdaten gibt es hierfür mehrere Formeln: S = ((a+b)*h)/2, wobei a und b die Längen der Basen sind Trapeze, und h ist seine Höhe (Height Trapeze– senkrecht, von einer Basis abgesenkt Trapeze zu einem anderen);S = m*h, wobei m die Mittellinie ist Trapeze(Die Mittellinie ist ein Segment parallel zu den Basen Trapeze und die Mittelpunkte seiner Seiten verbinden).

2. Nun kennen wir die Formeln zur Flächenberechnung Trapeze, es ist erlaubt, daraus neue abzuleiten, um die Höhe zu ermitteln Trapeze:h = (2*S)/(a+b);h = S/m.

3. Um zu verdeutlichen, wie man ähnliche Probleme löst, können Sie sich Beispiele ansehen: Beispiel 1: Gegeben sei ein Trapez mit einer Fläche von 68 cm?, dessen Mittellinie 8 cm beträgt, das müssen Sie finden Höhe gegeben Trapeze. Um zu entscheiden diese Aufgabe, müssen Sie die zuvor abgeleitete Formel verwenden: h = 68/8 = 8,5 cm Antwort: die Höhe davon Trapeze beträgt 8,5 cmBeispiel 2: Sei y Trapeze Die Fläche beträgt 120 cm?, die Länge der Sockel ist angegeben Trapeze 8 cm bzw. 12 cm betragen, ist eine Erkennung erforderlich Höhe Das Trapeze. Dazu müssen Sie eine der abgeleiteten Formeln anwenden:h = (2*120)/(8+12) = 240/20 = 12 cmAntwort: Höhe des Gegebenen Trapeze gleich 12 cm

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Beachten Sie!
Jedes Trapez hat eine Reihe von Eigenschaften: - Die Mittellinie eines Trapezes ist gleich der Hälfte der Summe seiner Basen. - Das Segment, das die Diagonalen des Trapezes verbindet, ist gleich der Hälfte der Differenz seiner Basen wird durch die Mittelpunkte der Basen gezogen, dann schneidet es den Schnittpunkt der Diagonalen des Trapezes. - Sie können einem Trapez einen Kreis einschreiben, wenn die Summe der Basen eines gegebenen Trapezes gleich der Summe seiner ist Nutzen Sie diese Eigenschaften bei der Lösung von Problemen.

Tipp 4: So ermitteln Sie die Höhe eines Dreiecks anhand der Koordinaten der Punkte

Die Höhe in einem Dreieck ist das gerade Liniensegment, das den Scheitelpunkt der Figur mit der gegenüberliegenden Seite verbindet. Dieses Segment muss unbedingt senkrecht zur Seite sein; daher darf von jedem Scheitelpunkt nur eins gezeichnet werden Höhe. Da es in dieser Abbildung drei Scheitelpunkte gibt, gibt es die gleiche Anzahl an Höhen. Wenn ein Dreieck durch die Koordinaten seiner Eckpunkte gegeben ist, kann die Länge jeder der Höhen beispielsweise mithilfe der Formel zur Flächenermittlung und Berechnung der Seitenlängen berechnet werden.

Anweisungen

1. Gehen Sie bei Ihren Berechnungen davon aus, dass die Fläche Dreieck ist gleich dem halben Produkt der Länge jeder seiner Seiten und der Länge der auf diese Seite abgesenkten Höhe. Aus dieser Definition folgt, dass Sie zum Ermitteln der Höhe die Fläche der Figur und die Länge der Seite kennen müssen.

2. Beginnen Sie mit der Berechnung der Seitenlängen Dreieck. Bezeichnen Sie die Koordinaten der Eckpunkte der Figur wie folgt: A(X?,Y?,Z?), B(X?,Y?,Z?) und C(X?,Y?,Z?). Dann können Sie die Länge der Seite AB mithilfe der Formel AB = ?((X?-X?)? + (Y?-Y?)? + (Z?-Z?)?) berechnen. Für die anderen beiden Seiten sehen diese Formeln wie folgt aus: BC = ?((X?-X?)? + (Y?-Y?)? + (Z?-Z?)?) und AC = ?(( X ?-X?)? + (Y?-Y?)? + (Z?-Z?)? Sagen wir für Dreieck mit den Koordinaten A(3,5,7), B(16,14,19) und C(1,2,13) ​​beträgt die Länge der Seite AB?((3-16)? + (5-14 )? + (7 -19)?) = ?(-13? + (-9?) + (-12?)) = ?(169 + 81 + 144) = ?394 ? 19.85. Die nach derselben Methode berechneten Längen der Seiten BC und AC sind gleich?(15? + 12? + 6?) = ?405? 20.12 und?(2? + 3? + (-6?)) =?49 = 7.

3. Um die Fläche zu berechnen, reicht es aus, die im vorherigen Schritt ermittelten Längen der drei Seiten zu kennen Dreieck(S) nach Herons Formel: S = ? * ?((AB+BC+CA) * (BC+CA-AB) * (AB+CA-BC) * (AB+BC-CA)). Nehmen wir an, nachdem wir die aus den Koordinaten erhaltenen Werte in diese Formel eingesetzt haben Dreieck-Beispiel aus dem vorherigen Schritt, diese Formel ergibt den folgenden Wert: S = ?*?((19,85+20,12+7) * (20,12+7-19,85) * (19,85+7-20 ,12) * (19,85+ 20,12-7)) = ?*?(46,97 * 7,27 * 6,73 * 32,97) ? ?*?75768,55 ? ?*275,26 = 68,815.

4. Basierend auf der Fläche Dreieck, berechnet im vorherigen Schritt, und die Längen der Seiten, die im zweiten Schritt erhalten wurden, berechnen die Höhen für jede der Seiten. Da die Fläche gleich der Hälfte des Produkts aus Höhe und Länge der Seite ist, auf die sie gezeichnet wird, teilen Sie zur Ermittlung der Höhe die doppelte Fläche durch die Länge der erforderlichen Seite: H = 2*S/a. Für das oben verwendete Beispiel beträgt die zur Seite AB abgesenkte Höhe 2*68,815/16,09? 8,55, die Höhe zur BC-Seite beträgt 2*68,815/20,12? 6,84, und für die AC-Seite beträgt dieser Wert 2*68,815/7? 19.66.

Ein Trapez ist ein konvexes Viereck, bei dem zwei gegenüberliegende Seiten parallel und die anderen beiden nicht parallel sind. Wenn alle gegenüberliegenden Seiten eines Vierecks paarweise parallel sind, dann handelt es sich um ein Parallelogramm.

Du wirst brauchen

• - alle Seiten des Trapezes (AB, BC, CD, DA).

Anweisungen

• Nicht parallele Seiten Trapeze werden Seitenteile genannt, parallele werden Basen genannt. Die Linie zwischen den Basen senkrecht zu ihnen ist die Höhe Trapeze. Wenn die Seiten Trapeze gleich sind, dann heißt es gleichschenklig. Schauen wir uns zunächst die Lösung an Trapeze, was nicht gleichschenklig ist.
• Zeichnen Sie das Liniensegment BE vom Punkt B zur unteren Basis AD parallel zur Seite Trapeze CD. Da BE und CD parallel sind und zwischen parallelen Basen gezeichnet werden Trapeze BC und DA, dann ist BCDE ein Parallelogramm und seine gegenüberliegenden Seiten BE und CD sind gleich. BE=CD.
• Betrachten Sie das Dreieck ABE. Berechnen Sie die Seiten-AE. AE=AD-ED. Gründe Trapeze BC und AD sind bekannt, und im Parallelogramm BCDE sind die gegenüberliegenden Seiten ED und BC gleich. ED=BC, also AE=AD-BC.
• Ermitteln Sie nun die Fläche des Dreiecks ABE mithilfe der Heron-Formel, indem Sie den Halbumfang berechnen. S=root(p*(p-AB)*(p-BE)*(p-AE)). In dieser Formel ist p der Halbumfang des Dreiecks ABE. p=1/2*(AB+BE+AE). Um die Fläche zu berechnen, kennen Sie alle notwendigen Daten: AB, BE=CD, AE=AD-BC.
• Als nächstes schreiben Sie die Fläche des Dreiecks ABE auf andere Weise auf – sie ist gleich der Hälfte des Produkts aus der Höhe des Dreiecks BH und der Seite AE, auf die es gezeichnet wird. S=1/2*BH*AE.
• Drücken Sie aus dieser Formel aus Höhe Dreieck, das auch die Höhe ist Trapeze. BH=2*S/AE. Berechnen Sie es.

Wenn das Trapez gleichschenklig ist, kann die Lösung anders erfolgen. Betrachten Sie das Dreieck ABH. Es ist rechteckig, weil eine der Ecken, BHA, richtig ist.

• Streichen Sie vom Scheitelpunkt C aus Höhe CF.
• Studieren Sie die HBCF-Zahl. HBCF ist ein Rechteck, weil zwei seiner Seiten Höhen und die anderen beiden Grundflächen sind Trapeze, das heißt, die Winkel sind rechtwinklig und die gegenüberliegenden Seiten sind parallel. Das bedeutet, dass BC=HF.
• Schauen Sie sich die rechtwinkligen Dreiecke ABH und FCD an. Die Winkel an den Höhen BHA und CFD sind rechtwinklig und die Winkel an den Seiten BAH und CDF sind gleich, da das Trapez ABCD gleichschenklig ist, was bedeutet, dass die Dreiecke ähnlich sind. Da die Höhen BH und CF gleich sind oder die Seitenflächen einer Gleichschenkel sind Trapeze AB und CD sind kongruent, dann sind ähnliche Dreiecke kongruent. Das bedeutet, dass auch ihre Seiten AH und FD gleich sind.
• Finden Sie AH. AH+FD=AD-HF. Da aus einem Parallelogramm HF=BC und aus Dreiecken AH=FD gilt, gilt AH=(AD-BC)*1/2.
• Berechnen Sie als nächstes aus dem rechtwinkligen Dreieck ABH unter Verwendung des Satzes des Pythagoras Höhe B.H. Das Quadrat der Hypotenuse AB ist gleich der Summe der Quadrate der Schenkel AH und BH. BH=root(AB*AB-AH*AH).

Das vielseitige Trapez... Es kann beliebig, gleichschenklig oder rechteckig sein. Und in jedem Fall müssen Sie wissen, wie Sie die Fläche eines Trapezes ermitteln. Am einfachsten ist es natürlich, sich die Grundformeln zu merken. Manchmal ist es jedoch einfacher, ein Modell zu verwenden, das alle Merkmale einer bestimmten geometrischen Figur berücksichtigt.

Ein paar Worte zum Trapez und seinen Elementen

Jedes Viereck, dessen zwei Seiten parallel sind, kann als Trapez bezeichnet werden. Im Allgemeinen sind sie nicht gleich und werden Basen genannt. Der größere ist der untere und der andere ist der obere.

Die anderen beiden Seiten erweisen sich als seitlich. In einem beliebigen Trapez haben sie unterschiedliche Längen. Wenn sie gleich sind, wird die Figur gleichschenklig.

Wenn sich plötzlich herausstellt, dass der Winkel zwischen einer Seite und der Basis 90 Grad beträgt, ist das Trapez rechteckig.

Alle diese Funktionen können bei der Lösung des Problems helfen, die Fläche eines Trapezes zu finden.

Unter den Elementen der Figur, die bei der Lösung von Problemen unverzichtbar sein können, können wir Folgendes hervorheben:

• Höhe, das heißt ein Segment senkrecht zu beiden Basen;
• die Mittellinie, an deren Enden sich die Mittelpunkte der Seiten befinden.

Mit welcher Formel lässt sich die Fläche berechnen, wenn Grundfläche und Höhe bekannt sind?

Dieser Ausdruck wird als grundlegender Ausdruck angegeben, da man diese Größen meist auch dann erkennen kann, wenn sie nicht explizit angegeben werden. Um also zu verstehen, wie man die Fläche eines Trapezes ermittelt, müssen Sie beide Grundflächen addieren und durch zwei dividieren. Dann multiplizieren Sie den resultierenden Wert mit dem Höhenwert.

Wenn wir die Basen mit a 1 und a 2 und die Höhe mit n bezeichnen, dann sieht die Formel für die Fläche so aus:

S = ((a 1 + a 2)/2)*n.

Die Formel, die die Fläche berechnet, wenn ihre Höhe und Mittellinie angegeben sind

Wenn Sie sich die vorherige Formel genau ansehen, können Sie leicht erkennen, dass sie eindeutig den Wert der Mittellinie enthält. Nämlich die Summe der Basen dividiert durch zwei. Bezeichne die Mittellinie mit dem Buchstaben l, dann lautet die Formel für die Fläche:

S = l * n.

Fähigkeit, Fläche mithilfe von Diagonalen zu finden

Diese Methode hilft, wenn der von ihnen gebildete Winkel bekannt ist. Angenommen, die Diagonalen werden mit den Buchstaben d 1 und d 2 bezeichnet und die Winkel zwischen ihnen betragen α und β. Dann wird die Formel zum Ermitteln der Fläche eines Trapezes wie folgt geschrieben:

S = ((d 1 * d 2)/2) * sin α.

Sie können in diesem Ausdruck einfach α durch β ersetzen. Das Ergebnis wird sich nicht ändern.

Wie kann man die Fläche herausfinden, wenn alle Seiten der Figur bekannt sind?

Es gibt auch Situationen, in denen die Seiten dieser Figur genau bekannt sind. Diese Formel ist umständlich und schwer zu merken. Aber wahrscheinlich. Die Seiten sollen die Bezeichnung haben: a 1 und a 2, die Basis a 1 ist größer als a 2. Dann sieht die Flächenformel wie folgt aus:

S = ((a 1 + a 2) / 2) * √ (in 1 2 - [(a 1 - a 2) 2 + in 1 2 - in 2 2) / (2 * (a 1 - a 2)) ] 2 ).

Methoden zur Berechnung der Fläche eines gleichschenkligen Trapezes

Der erste Grund liegt darin, dass darin ein Kreis eingeschrieben werden kann. Und wenn Sie seinen Radius (er wird mit dem Buchstaben r bezeichnet) sowie den Winkel an der Basis – γ – kennen, können Sie die folgende Formel verwenden:

S = (4 * r 2) / sin γ.

Die letzte allgemeine Formel, die auf der Kenntnis aller Seiten der Figur basiert, wird aufgrund der Tatsache, dass die Seiten die gleiche Bedeutung haben, deutlich vereinfacht:

S = ((a 1 + a 2) / 2) * √ (in 2 - [(a 1 - a 2) 2 / (2 * (a 1 - a 2))] 2 ).

Methoden zur Berechnung der Fläche eines rechteckigen Trapezes

Es ist klar, dass jedes der oben genannten Dinge für jede Figur geeignet ist. Aber manchmal ist es nützlich, ein Merkmal eines solchen Trapezes zu kennen. Es liegt darin, dass die Differenz zwischen den Quadraten der Längen der Diagonalen gleich der Differenz aus den Quadraten der Grundflächen ist.

Oft werden die Formeln für ein Trapez vergessen, während man sich an die Ausdrücke für die Flächen eines Rechtecks ​​und eines Dreiecks erinnert. Dann können Sie eine einfache Methode verwenden. Teilen Sie das Trapez in zwei Formen, wenn es rechteckig ist, oder in drei. Eines wird definitiv ein Rechteck sein und das zweite oder die restlichen beiden werden Dreiecke sein. Nachdem die Flächen dieser Figuren berechnet wurden, müssen sie nur noch addiert werden.

Dies ist eine ziemlich einfache Möglichkeit, die Fläche eines rechteckigen Trapezes zu ermitteln.

Was wäre, wenn die Koordinaten der Eckpunkte des Trapezes bekannt wären?

In diesem Fall müssen Sie einen Ausdruck verwenden, mit dem Sie den Abstand zwischen Punkten bestimmen können. Es kann dreimal angewendet werden: um beide Basen und eine Höhe herauszufinden. Und dann wenden Sie einfach die erste Formel an, die etwas weiter oben beschrieben wird.

Um diese Methode zu veranschaulichen, kann das folgende Beispiel gegeben werden. Gegebene Eckpunkte mit den Koordinaten A(5; 7), B(8; 7), C(10; 1), D(1; 1). Sie müssen den Bereich der Figur herausfinden.

Bevor Sie die Fläche des Trapezes ermitteln, müssen Sie die Längen der Basen anhand der Koordinaten berechnen. Sie benötigen die folgende Formel:

Länge des Segments = √((Differenz der ersten Koordinaten der Punkte) 2 + (Differenz der zweiten Koordinaten der Punkte) 2 ).

Die obere Basis wird mit AB bezeichnet, was bedeutet, dass ihre Länge gleich √((8-5) 2 + (7-7) 2 ) = √9 = 3 ist. Die untere ist CD = √ ((10-1) 2 + (1-1 ) 2 ) = √81 = 9.

Jetzt müssen Sie die Höhe von oben bis zur Basis einzeichnen. Sein Anfang sei am Punkt A. Das Ende des Segments befindet sich auf der unteren Basis am Punkt mit den Koordinaten (5; 1), dies sei Punkt H. Die Länge des Segments AN ist gleich √((5 -5) 2 + (7-1) 2 ) = √36 = 6.

Es bleibt nur noch, die resultierenden Werte in die Formel für die Fläche eines Trapezes einzusetzen:

S = ((3 + 9) / 2) * 6 = 36.

Das Problem wurde ohne Maßeinheiten gelöst, da der Maßstab des Koordinatengitters nicht angegeben war. Es kann entweder ein Millimeter oder ein Meter sein.

Beispielprobleme

Nr. 1. Zustand. Der Winkel zwischen den Diagonalen eines beliebigen Trapezes ist bekannt; er beträgt 30 Grad. Die kleinere Diagonale hat einen Wert von 3 dm und die zweite ist 2-mal größer. Es ist notwendig, die Fläche des Trapezes zu berechnen.

Lösung. Zuerst müssen Sie die Länge der zweiten Diagonale ermitteln, da ohne diese die Antwort nicht berechnet werden kann. Es ist nicht schwer zu berechnen: 3 * 2 = 6 (dm).

Jetzt müssen Sie die entsprechende Formel für die Fläche verwenden:

S = ((3 * 6) / 2) * sin 30º = 18/2 * ½ = 4,5 (dm 2). Das Problem ist behoben.

Antwort: Die Fläche des Trapezes beträgt 4,5 dm2.

Nr. 2. Zustand. Im Trapez ABCD sind die Basen die Segmente AD und BC. Punkt E ist die Mitte der SD-Seite. Daraus wird eine Senkrechte zur Geraden AB gezogen, das Ende dieses Segments wird mit dem Buchstaben H bezeichnet. Es ist bekannt, dass die Längen AB und EH gleich 5 bzw. 4 cm sind. Es ist notwendig, die Fläche zu berechnen ​​das Trapez.

Lösung. Zuerst müssen Sie eine Zeichnung erstellen. Da der Wert der Senkrechten kleiner ist als die Seite, zu der sie gezogen wird, wird das Trapez leicht nach oben verlängert. Also wird EH innerhalb der Figur sein.

Um den Fortschritt der Lösung des Problems deutlich zu erkennen, müssen Sie zusätzliche Konstruktionen durchführen. Zeichnen Sie nämlich eine gerade Linie, die parallel zur Seite AB verläuft. Die Schnittpunkte dieser Geraden mit AD sind P und mit der Fortsetzung von BC sind X. Die resultierende Figur VHRA ist ein Parallelogramm. Darüber hinaus entspricht seine Fläche der erforderlichen. Dies liegt daran, dass die Dreiecke, die beim Nachbau entstanden sind, gleich sind. Dies ergibt sich aus der Gleichheit der Seite und zweier angrenzender Winkel, von denen einer vertikal und der andere quer liegt.

Sie können die Fläche eines Parallelogramms mithilfe einer Formel ermitteln, die das Produkt aus der Seite und der darauf abgesenkten Höhe enthält.

Somit beträgt die Fläche des Trapezes 5 * 4 = 20 cm 2.

Antwort: S = 20 cm 2.

Nr. 3. Zustand. Die Elemente eines gleichschenkligen Trapezes haben folgende Werte: untere Basis – 14 cm, obere – 4 cm, spitzer Winkel – 45°. Sie müssen seine Fläche berechnen.

Lösung. Die kleinere Basis sei mit BC bezeichnet. Die vom Punkt B aus gezeichnete Höhe wird VH genannt. Da der Winkel 45° beträgt, ist das Dreieck ABH rechteckig und gleichschenklig. Also AN=VN. Darüber hinaus ist AN sehr leicht zu finden. Es entspricht der Hälfte der Basendifferenz. Das ist (14 - 4) / 2 = 10 / 2 = 5 (cm).

Die Stützpunkte sind bekannt, die Höhen sind berechnet. Sie können die erste Formel, die hier besprochen wurde, für ein beliebiges Trapez verwenden.

S = ((14 + 4) / 2) * 5 = 18/2 * 5 = 9 * 5 = 45 (cm 2).

Antwort: Die benötigte Fläche beträgt 45 cm 2.

Nr. 4. Zustand. Es gibt ein beliebiges Trapez ABCD. Die Punkte O und E werden auf seinen lateralen Seiten genommen, so dass OE parallel zur Basis von AD ist. Die Fläche des AOED-Trapezes ist fünfmal größer als die des OVSE. Berechnen Sie den OE-Wert, wenn die Längen der Basen bekannt sind.

Lösung. Sie müssen zwei parallele Linien AB zeichnen: die erste durch Punkt C, deren Schnittpunkt mit OE - Punkt T; der zweite durch E und der Schnittpunkt mit AD wird M sein.

Sei die Unbekannte OE=x. Die Höhe des kleineren Trapezes OVSE beträgt n 1, die des größeren AOED beträgt n 2.

Da die Flächen dieser beiden Trapeze im Verhältnis 1 zu 5 stehen, können wir die folgende Gleichheit schreiben:

(x + a 2) * n 1 = 1/5 (x + a 1) * n 2

n 1 / n 2 = (x + a 1) / (5 (x + a 2)).

Die Höhen und Seiten der Dreiecke sind konstruktionsbedingt proportional. Daher können wir noch eine Gleichheit schreiben:

n 1 / n 2 = (x – a 2) / (a ​​​​1 – x).

In den letzten beiden Einträgen auf der linken Seite gibt es gleiche Werte, was bedeutet, dass wir schreiben können, dass (x + a 1) / (5(x + a 2)) gleich (x - a 2) / (a ​​​) ist ​1 - x).

Hier sind eine Reihe von Transformationen erforderlich. Zuerst kreuzweise multiplizieren. Es erscheinen Klammern, um die Differenz der Quadrate anzuzeigen. Nach Anwendung dieser Formel erhalten Sie eine kurze Gleichung.

Darin müssen Sie die Klammern öffnen und alle Terme mit dem unbekannten „x“ nach links verschieben und dann die Quadratwurzel ziehen.

Antwort: x = √ ((a 1 2 + 5 a 2 2) / 6).