Trigonometrische Gleichungen erhöhter Komplexität mit Lösungen. Trigonometrische Gleichungen

Lektion und Präsentation zum Thema: „Einfache trigonometrische Gleichungen lösen“

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Was wir studieren werden:
1. Was sind trigonometrische Gleichungen?

3. Zwei Hauptmethoden zur Lösung trigonometrischer Gleichungen.
4. Homogene trigonometrische Gleichungen.
5. Beispiele.

Was sind trigonometrische Gleichungen?

Leute, wir haben bereits Arkussinus, Arkuskosinus, Arkustangens und Arkuskotangens studiert. Schauen wir uns nun trigonometrische Gleichungen im Allgemeinen an.

Trigonometrische Gleichungen– eine Gleichung, in der eine Variable unter dem Vorzeichen einer trigonometrischen Funktion enthalten ist.

Wiederholen wir die Form der Lösung der einfachsten trigonometrischen Gleichungen:

1)Wenn |a|≤ 1, dann hat die Gleichung cos(x) = a eine Lösung:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Wenn |a|≤ 1, dann Sündengleichung(x) = a hat eine Lösung:

3) Wenn |a| > 1, dann haben die Gleichungen sin(x) = a und cos(x) = a keine Lösungen. 4) Die Gleichung tg(x)=a hat eine Lösung: x=arctg(a)+ πk

5) Die Gleichung ctg(x)=a hat eine Lösung: x=arcctg(a)+ πk

Für alle Formeln ist k eine ganze Zahl

Die einfachsten trigonometrischen Gleichungen haben die Form: T(kx+m)=a, T ist eine trigonometrische Funktion.

Beispiel.

Lösen Sie die Gleichungen: a) sin(3x)= √3/2

Lösung:

A) Bezeichnen wir 3x=t, dann schreiben wir unsere Gleichung in der Form um:

Die Lösung dieser Gleichung lautet: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

Aus der Wertetabelle erhalten wir: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Kehren wir zu unserer Variablen zurück: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Dann ist x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Antwort: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, wobei n eine ganze Zahl ist. (-1)^n – minus eins hoch n.

Weitere Beispiele für trigonometrische Gleichungen.

Lösen Sie die Gleichungen: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

Lösung:

A) Kommen wir dieses Mal direkt zur Berechnung der Wurzeln der Gleichung:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Dann ist x/5= πk => x=5πk

Antwort: x=5πk, wobei k eine ganze Zahl ist.

B) Wir schreiben es in der Form: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Wir wissen: arctan(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Antwort: x=2π/9 + πk/3, wobei k eine ganze Zahl ist.

Lösen Sie die Gleichungen: cos(4x)= √2/2. Und finden Sie alle Wurzeln im Segment.

Lösung:

Wir entscheiden Gesamtansicht unsere Gleichung: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Sehen wir uns nun an, welche Wurzeln in unserem Segment liegen. Bei k Bei k=0, x= π/16 befinden wir uns im gegebenen Segment.
Mit k=1, x= π/16+ π/2=9π/16 treffen wir erneut.
Für k=2, x= π/16+ π=17π/16, aber hier haben wir nicht getroffen, was bedeutet, dass wir für große k offensichtlich auch nicht getroffen haben.

Antwort: x= π/16, x= 9π/16

Zwei Hauptlösungsmethoden.

Wir haben uns die einfachsten trigonometrischen Gleichungen angesehen, es gibt aber auch komplexere. Um sie zu lösen, werden die Methode der Einführung einer neuen Variablen und die Faktorisierungsmethode verwendet. Schauen wir uns Beispiele an.

Lösen wir die Gleichung:

Lösung:
Um unsere Gleichung zu lösen, verwenden wir die Methode der Einführung einer neuen Variablen mit der Bezeichnung: t=tg(x).

Als Ergebnis der Ersetzung erhalten wir: t 2 + 2t -1 = 0

Finden wir die Wurzeln der quadratischen Gleichung: t=-1 und t=1/3

Dann ist tg(x)=-1 und tg(x)=1/3, wir erhalten die einfachste trigonometrische Gleichung, finden wir ihre Wurzeln.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Antwort: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Ein Beispiel für die Lösung einer Gleichung

Gleichungen lösen: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Lösung:

Verwenden wir die Identität: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Unsere Gleichung wird die Form annehmen: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

Führen wir den Ersatz t=cos(x) ein: 2t 2 -3t - 2 = 0

Die Lösung unserer quadratischen Gleichung sind die Wurzeln: t=2 und t=-1/2

Dann ist cos(x)=2 und cos(x)=-1/2.

Weil Kosinus kann keine Werte größer als eins annehmen, dann hat cos(x)=2 keine Wurzeln.

Für cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Antwort: x= ±2π/3 + 2πk

Homogene trigonometrische Gleichungen.

Definition: Gleichungen der Form a sin(x)+b cos(x) heißen homogene trigonometrische Gleichungen ersten Grades.

Gleichungen der Form

homogene trigonometrische Gleichungen zweiten Grades.

Um eine homogene trigonometrische Gleichung ersten Grades zu lösen, dividieren Sie sie durch cos(x): Sie können nicht durch den Kosinus dividieren, wenn dieser gleich Null ist. Stellen wir sicher, dass dies nicht der Fall ist:
Sei cos(x)=0, dann ist asin(x)+0=0 => sin(x)=0, aber Sinus und Cosinus sind nicht gleichzeitig gleich Null, wir erhalten einen Widerspruch, sodass wir sicher dividieren können um Null.

Löse die Gleichung:
Beispiel: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Lösung:

Nehmen wir den gemeinsamen Faktor heraus: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Dann müssen wir zwei Gleichungen lösen:

Cos(x)=0 und cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 bei x= π/2 + πk;

Betrachten Sie die Gleichung cos(x)+sin(x)=0. Teilen Sie unsere Gleichung durch cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Antwort: x= π/2 + πk und x= -π/4+πk

Wie löst man homogene trigonometrische Gleichungen zweiten Grades?
Leute, befolgt immer diese Regeln!

1. Sehen Sie, was der Koeffizient a ist. Wenn a=0, dann nimmt unsere Gleichung die Form cos(x)(bsin(x)+ccos(x)) an, ein Beispiel für die Lösung finden Sie auf der vorherigen Folie

2. Wenn a≠0, dann müssen Sie beide Seiten der Gleichung durch das Kosinusquadrat dividieren, wir erhalten:


Wir ändern die Variable t=tg(x) und erhalten die Gleichung:

Beispiel Nr.:3 lösen

Löse die Gleichung:
Lösung:

Teilen wir beide Seiten der Gleichung durch das Kosinusquadrat:

Wir ändern die Variable t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Finden wir die Wurzeln der quadratischen Gleichung: t=-3 und t=1

Dann gilt: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Antwort: x=-arctg(3) + πk und x= π/4+ πk

Beispiel Nr.:4 lösen

Löse die Gleichung:

Lösung:
Lassen Sie uns unseren Ausdruck umwandeln:


Wir können solche Gleichungen lösen: x= - π/4 + 2πk und x=5π/4 + 2πk

Antwort: x= - π/4 + 2πk und x=5π/4 + 2πk

Beispiel Nr.:5 lösen

Löse die Gleichung:

Lösung:
Lassen Sie uns unseren Ausdruck umwandeln:


Führen wir den Ersatz tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0 ein

Die Lösung unserer quadratischen Gleichung sind die Wurzeln: t=-2 und t=1/2

Dann erhalten wir: tg(2x)=-2 und tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Antwort: x=-arctg(2)/2 + πk/2 und x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Probleme zur unabhängigen Lösung.

1) Lösen Sie die Gleichung

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 d) ctg(0,5x) = -1,7

2) Lösen Sie die Gleichungen: sin(3x)= √3/2. Und finden Sie alle Wurzeln auf dem Segment [π/2; π].

3) Lösen Sie die Gleichung: cot 2 (x) + 2 cot (x) + 1 =0

4) Lösen Sie die Gleichung: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Lösen Sie die Gleichung: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Lösen Sie die Gleichung: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Trigonometrische Gleichungen sind kein einfaches Thema. Sie sind zu vielfältig.) Zum Beispiel diese:

sin 2 x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = cot(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

Und dergleichen...

Aber diese (und alle anderen) trigonometrischen Monster haben zwei gemeinsame und obligatorische Merkmale. Erstens – Sie werden es nicht glauben – es gibt trigonometrische Funktionen in den Gleichungen.) Zweitens: Es werden alle Ausdrücke mit x gefunden innerhalb derselben Funktionen. Und nur dort! Wenn X irgendwo auftaucht draußen, Zum Beispiel, sin2x + 3x = 3, Dies wird bereits eine Gleichung gemischten Typs sein. Solche Gleichungen erfordern eine individuelle Herangehensweise. Wir werden sie hier nicht berücksichtigen.

Wir werden in dieser Lektion auch keine bösen Gleichungen lösen.) Hier werden wir uns damit befassen die einfachsten trigonometrischen Gleichungen. Warum? Ja, weil die Lösung beliebig trigonometrische Gleichungen bestehen aus zwei Phasen. Im ersten Schritt wird die böse Gleichung durch verschiedene Transformationen auf eine einfache reduziert. Im zweiten Schritt wird diese einfachste Gleichung gelöst. Kein anderer Weg.

Wenn Sie also auf der zweiten Stufe Probleme haben, macht die erste Stufe wenig Sinn.)

Wie sehen elementare trigonometrische Gleichungen aus?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

Hier A steht für eine beliebige Zahl. Beliebig.

Übrigens gibt es innerhalb einer Funktion möglicherweise kein reines X, sondern eine Art Ausdruck, wie zum Beispiel:

cos(3x+π /3) = 1/2

und dergleichen. Dies erschwert das Leben, hat jedoch keinen Einfluss auf die Methode zur Lösung einer trigonometrischen Gleichung.

Wie löst man trigonometrische Gleichungen?

Trigonometrische Gleichungen können auf zwei Arten gelöst werden. Der erste Weg: die Verwendung von Logik und dem trigonometrischen Kreis. Wir werden uns diesen Weg hier ansehen. Der zweite Weg – die Verwendung von Gedächtnis und Formeln – wird in der nächsten Lektion besprochen.

Der erste Weg ist klar, zuverlässig und schwer zu vergessen.) Er eignet sich gut zum Lösen trigonometrischer Gleichungen, Ungleichungen und aller möglichen kniffligen, nicht standardmäßigen Beispiele. Logik ist stärker als Gedächtnis!)

Gleichungen mit einem trigonometrischen Kreis lösen.

Wir beinhalten elementare Logik und die Fähigkeit, den trigonometrischen Kreis zu verwenden. Weißt du nicht wie? Allerdings... Sie werden es in der Trigonometrie schwer haben...) Aber das spielt keine Rolle. Schauen Sie sich die Lektionen „Trigonometrischer Kreis...... Was ist das?“ an. und „Messen von Winkeln auf einem trigonometrischen Kreis.“ Da ist alles einfach. Im Gegensatz zu Lehrbüchern...)

Oh du weißt!? Und sogar „Praktisches Arbeiten mit dem trigonometrischen Kreis“ gemeistert!? Glückwunsch. Dieses Thema wird für Sie nah und verständlich sein.) Besonders erfreulich ist, dass es dem trigonometrischen Kreis egal ist, welche Gleichung Sie lösen. Sinus, Cosinus, Tangens, Kotangens – bei ihm ist alles gleich. Es gibt nur ein Lösungsprinzip.

Wir nehmen also eine beliebige elementare trigonometrische Gleichung. Zumindest das hier:

cosx = 0,5

Wir müssen X finden. Sie müssen in menschlicher Sprache sprechen Finden Sie den Winkel (x), dessen Kosinus 0,5 beträgt.

Wie haben wir den Kreis bisher genutzt? Wir haben einen Winkel darauf gezeichnet. In Grad oder Bogenmaß. Und zwar sofort gesehen trigonometrische Funktionen dieses Winkels. Machen wir jetzt das Gegenteil. Zeichnen wir auf dem Kreis einen Kosinus von 0,5 und sofort wir werden sehen Ecke. Es bleibt nur noch, die Antwort aufzuschreiben.) Ja, ja!

Zeichnen Sie einen Kreis und markieren Sie den Kosinus mit 0,5. Natürlich auf der Kosinusachse. So:

Zeichnen wir nun den Winkel, den uns dieser Kosinus gibt. Bewegen Sie Ihre Maus über das Bild (oder berühren Sie das Bild auf Ihrem Tablet) und du wirst sehen genau diese Ecke X.

Der Kosinus welchen Winkels beträgt 0,5?

x = π /3

cos 60°= cos( π /3) = 0,5

Manche Leute werden skeptisch lachen, ja... Hat es sich gelohnt, einen Kreis zu bilden, wenn schon alles klar ist... Man kann natürlich kichern...) Aber Tatsache ist, dass dies eine falsche Antwort ist. Oder besser: unzureichend. Kreiskenner wissen, dass es hier noch eine ganze Reihe anderer Winkel gibt, die ebenfalls einen Kosinus von 0,5 ergeben.

Wenn Sie die bewegliche Seite OA drehen Volle Umdrehung, Punkt A kehrt in seine ursprüngliche Position zurück. Mit dem gleichen Kosinus gleich 0,5. Diese. Der Winkel wird sich ändern um 360° oder 2π Bogenmaß, und Kosinus - nein. Der neue Winkel 60° + 360° = 420° wird auch eine Lösung unserer Gleichung sein, weil

Solch Volle Umdrehungen Sie können eine unendliche Zahl aufziehen ... Und all diese neuen Winkel werden Lösungen für unsere trigonometrische Gleichung sein. Und sie alle müssen als Antwort irgendwie niedergeschrieben werden. Alle. Ansonsten zählt die Entscheidung nicht, ja...)

Die Mathematik kann dies einfach und elegant tun. Schreiben Sie eine kurze Antwort auf unendliche Menge Entscheidungen. So sieht es für unsere Gleichung aus:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

Ich werde es entziffern. Schreibe immer noch sinnvoll Das ist angenehmer, als dummerweise ein paar mysteriöse Buchstaben zu zeichnen, oder?)

π /3 - Das ist die gleiche Ecke wie wir gesehen auf dem Kreis und bestimmt nach der Kosinustabelle.

2π ist eine vollständige Umdrehung im Bogenmaß.

N - das ist die Anzahl der vollständigen, d.h. ganz U/min Es ist klar, dass N kann gleich 0, ±1, ±2, ±3 usw. sein. Wie aus dem kurzen Eintrag hervorgeht:

n ∈ Z

N gehört ( ∈ ) Menge von ganzen Zahlen ( Z ). Übrigens statt des Briefes N Es können durchaus Buchstaben verwendet werden k, m, t usw.

Diese Notation bedeutet, dass Sie jede ganze Zahl annehmen können N . Mindestens -3, mindestens 0, mindestens +55. Was immer du willst. Wenn Sie diese Zahl in die Antwort einsetzen, erhalten Sie einen bestimmten Winkel, der definitiv die Lösung unserer harten Gleichung sein wird.)

Oder mit anderen Worten: x = π /3 ist die einzige Wurzel einer unendlichen Menge. Um alle anderen Wurzeln zu erhalten, reicht es aus, eine beliebige Anzahl voller Umdrehungen zu π /3 zu addieren ( N ) im Bogenmaß. Diese. 2πn Bogenmaß.

Alle? Nein. Ich verlängere das Vergnügen bewusst. Zur besseren Erinnerung.) Wir haben nur einen Teil der Antworten auf unsere Gleichung erhalten. Ich werde diesen ersten Teil der Lösung folgendermaßen schreiben:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - nicht nur eine Wurzel, sondern eine ganze Reihe von Wurzeln, in Kurzform niedergeschrieben.

Es gibt aber auch Winkel, die ebenfalls einen Kosinus von 0,5 ergeben!

Kehren wir zu unserem Bild zurück, von dem wir die Antwort aufgeschrieben haben. Da ist sie:

Bewegen Sie die Maus über das Bild und wir sehen ein anderer Blickwinkel ergibt auch einen Kosinus von 0,5. Was ist Ihrer Meinung nach gleichwertig? Die Dreiecke sind gleich... Ja! Es ist gleich dem Winkel X , nur in negativer Richtung verzögert. Das ist die Ecke -X. Aber wir haben x bereits berechnet. π /3 oder 60°. Daher können wir sicher schreiben:

x 2 = - π /3

Nun, natürlich addieren wir alle Winkel, die sich durch volle Umdrehungen ergeben:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Das ist jetzt alles.) Auf dem trigonometrischen Kreis wir gesehen(Wer versteht das natürlich)) Alle Winkel, die einen Kosinus von 0,5 ergeben. Und wir haben diese Winkel in einer kurzen mathematischen Form aufgeschrieben. Die Antwort ergab zwei unendliche Reihen von Wurzeln:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Das ist die richtige Antwort.

Hoffnung, allgemeines Prinzip zur Lösung trigonometrischer Gleichungen Die Verwendung eines Kreises ist klar. Wir markieren den Kosinus (Sinus, Tangens, Kotangens) aus der gegebenen Gleichung auf einem Kreis, zeichnen die dazugehörigen Winkel ein und schreiben die Antwort auf. Natürlich müssen wir herausfinden, in welchen Ecken wir uns befinden gesehen auf dem Kreis. Manchmal ist es nicht so offensichtlich. Nun ja, ich habe gesagt, dass hier Logik gefragt ist.)

Schauen wir uns zum Beispiel eine andere trigonometrische Gleichung an:

Bitte bedenken Sie, dass die Zahl 0,5 nicht die einzig mögliche Zahl in Gleichungen ist!) Es ist für mich einfach bequemer, sie zu schreiben als Wurzeln und Brüche.

Wir arbeiten nach dem allgemeinen Prinzip. Wir zeichnen einen Kreis und markieren (natürlich auf der Sinusachse!) 0,5. Wir zeichnen alle Winkel, die diesem Sinus entsprechen, auf einmal. Wir erhalten dieses Bild:

Befassen wir uns zunächst mit dem Winkel X im ersten Viertel. Wir erinnern uns an die Sinustabelle und bestimmen den Wert dieses Winkels. Es ist eine einfache Sache:

x = π /6

Wir erinnern uns an volle Revolutionen und, mit reines Gewissen, wir schreiben die erste Reihe von Antworten auf:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

Die Hälfte der Arbeit ist erledigt. Aber jetzt müssen wir feststellen zweite Ecke... Es ist schwieriger als die Verwendung von Kosinuswerten, ja ... Aber die Logik wird uns retten! So bestimmen Sie den zweiten Winkel durch x? Ja, einfach! Die Dreiecke im Bild sind gleich und die rote Ecke X gleich Winkel X . Gezählt wird nur vom Winkel π in negativer Richtung. Deshalb ist es rot.) Und für die Antwort benötigen wir einen korrekt gemessenen Winkel von der positiven Halbachse OX, also aus einem Winkel von 0 Grad.

Wir bewegen den Cursor über die Zeichnung und sehen alles. Die erste Ecke habe ich entfernt, um das Bild nicht zu verkomplizieren. Der Winkel, der uns interessiert (grün dargestellt), ist gleich:

π - x

X wir wissen das π /6 . Daher wird der zweite Winkel sein:

π - π /6 = 5π /6

Erinnern wir uns noch einmal an das Hinzufügen vollständiger Umdrehungen und schreiben die zweite Reihe von Antworten auf:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Das ist alles. Eine vollständige Antwort besteht aus zwei Reihen von Wurzeln:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Tangenten- und Kotangensgleichungen lassen sich leicht lösen, indem man dasselbe allgemeine Prinzip zur Lösung trigonometrischer Gleichungen verwendet. Wenn Sie natürlich wissen, wie man Tangens und Kotangens auf einem trigonometrischen Kreis zeichnet.

In den obigen Beispielen habe ich den Tabellenwert von Sinus und Cosinus verwendet: 0,5. Diese. eine dieser Bedeutungen, die der Schüler kennt muss. Lassen Sie uns nun unsere Fähigkeiten erweitern alle anderen Werte. Entscheide, also entscheide!)

Nehmen wir also an, wir müssen diese trigonometrische Gleichung lösen:

In den kurzen Tabellen gibt es keinen solchen Kosinuswert. Wir ignorieren diese schreckliche Tatsache eiskalt. Zeichnen Sie einen Kreis, markieren Sie 2/3 auf der Kosinusachse und zeichnen Sie die entsprechenden Winkel ein. Wir bekommen dieses Bild.

Schauen wir uns zunächst den Blickwinkel im ersten Viertel an. Wenn wir nur wüssten, was x ist, würden wir die Antwort sofort aufschreiben! Wir wissen es nicht... Scheitern!? Ruhig! Die Mathematik bringt ihre eigenen Leute nicht in Schwierigkeiten! Sie hat sich für diesen Fall Arkuskosinusse ausgedacht. Weiß nicht? Vergeblich. Finden Sie es heraus. Es ist viel einfacher als Sie denken. In diesem Link gibt es keinen einzigen kniffligen Zauberspruch zum Thema „inverse trigonometrische Funktionen“ ... Das ist in diesem Thema überflüssig.

Wenn Sie sich auskennen, sagen Sie sich einfach: „X ist ein Winkel, dessen Kosinus gleich 2/3 ist.“ Und sofort können wir, rein durch die Definition des Arkuskosinus, schreiben:

Wir erinnern uns an die zusätzlichen Umdrehungen und schreiben in aller Ruhe die erste Reihe von Wurzeln unserer trigonometrischen Gleichung auf:

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Die zweite Wurzelreihe für den zweiten Winkel wird fast automatisch notiert. Alles ist gleich, nur X (arccos 2/3) wird mit einem Minus versehen:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Und das ist es! Das ist die richtige Antwort. Noch einfacher als mit Tabellenwerten. Es ist nicht nötig, sich etwas zu merken.) Den aufmerksamsten wird übrigens auffallen, dass dieses Bild die Lösung durch den Arkuskosinus zeigt Im Wesentlichen unterscheidet es sich nicht vom Bild für die Gleichung cosx = 0,5.

Genau so! Allgemeines Prinzip Deshalb ist es üblich! Ich habe bewusst zwei nahezu identische Bilder gezeichnet. Der Kreis zeigt uns den Winkel X durch seinen Kosinus. Ob es sich um einen Tafelkosinus handelt oder nicht, ist jedem unbekannt. Was das für ein Winkel ist, π /3, oder was der Arkuskosinus ist – das müssen wir entscheiden.

Gleiches Lied mit Sinus. Zum Beispiel:

Zeichnen Sie erneut einen Kreis, markieren Sie den Sinus gleich 1/3 und zeichnen Sie die Winkel. Dies ist das Bild, das wir bekommen:

Und wieder ist das Bild fast das gleiche wie bei der Gleichung sinx = 0,5. Wieder beginnen wir im ersten Viertel aus der Ecke. Was ist X gleich, wenn sein Sinus 1/3 beträgt? Kein Problem!

Jetzt ist die erste Packung Wurzeln fertig:

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Befassen wir uns mit dem zweiten Blickwinkel. Im Beispiel mit einem Tabellenwert von 0,5 war es gleich:

π - x

Auch hier wird es genau so sein! Nur x ist unterschiedlich, Arcsin 1/3. Na und!? Sie können das zweite Wurzelpaket sicher aufschreiben:

x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Das ist eine völlig richtige Antwort. Obwohl es nicht sehr bekannt vorkommt. Aber es ist klar, hoffe ich.)

So werden trigonometrische Gleichungen mithilfe eines Kreises gelöst. Dieser Weg ist klar und verständlich. Er ist es, der in trigonometrischen Gleichungen mit der Auswahl von Wurzeln in einem bestimmten Intervall spart, in trigonometrischen Ungleichungen – sie werden im Allgemeinen fast immer im Kreis gelöst. Kurz gesagt, bei allen Aufgaben, die etwas schwieriger sind als Standardaufgaben.

Lassen Sie uns das Wissen in der Praxis anwenden?)

Lösen Sie trigonometrische Gleichungen:

Erstens einfacher, direkt aus dieser Lektion.

Jetzt ist es komplizierter.

Hinweis: Hier müssen Sie über den Kreis nachdenken. Persönlich.)

Und jetzt sind sie äußerlich einfach... Sie werden auch Sonderfälle genannt.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Hinweis: Hier müssen Sie im Kreis herausfinden, wo es zwei Antwortreihen und wo eine gibt ... Und wie Sie eine statt zwei Antwortreihen aufschreiben. Ja, damit keine einzige Wurzel aus einer unendlichen Zahl verloren geht!)

Na ja, ganz einfach):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Hinweis: Hier müssen Sie wissen, was Arkussinus und Arkuskosinus sind? Was ist Arcustangens, Arkuskotangens? Die einfachsten Definitionen. Sie müssen sich aber keine Tabellenwerte merken!)

Die Antworten sind natürlich ein Durcheinander):

x 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0,3 + 2

Es klappt nicht alles? Das passiert. Lesen Sie die Lektion noch einmal. Nur nachdenklich(Es gibt so ein veraltetes Wort...) Und folgen Sie den Links. Die Hauptlinks beziehen sich auf den Kreis. Ohne sie ist die Trigonometrie so, als würde man mit verbundenen Augen über die Straße gehen. Manchmal funktioniert es.)

Wenn Ihnen diese Seite gefällt...

Übrigens habe ich noch ein paar weitere interessante Seiten für Sie.)

Sie können das Lösen von Beispielen üben und Ihr Niveau herausfinden. Testen mit sofortiger Verifizierung. Lasst uns lernen – mit Interesse!)

Sie können sich mit Funktionen und Ableitungen vertraut machen.

Erfordert Kenntnisse der Grundformeln der Trigonometrie – der Summe der Quadrate von Sinus und Cosinus, dem Ausdruck des Tangens durch Sinus und Cosinus und anderen. Wer sie vergessen hat oder nicht kennt, dem empfehlen wir die Lektüre des Artikels „“.
Da wir also die grundlegenden trigonometrischen Formeln kennen, ist es an der Zeit, sie in der Praxis anzuwenden. Trigonometrische Gleichungen lösen mit der richtigen Herangehensweise - durchaus spannende Aktivität, wie zum Beispiel das Lösen eines Zauberwürfels.

Anhand des Namens selbst ist klar, dass eine trigonometrische Gleichung eine Gleichung ist, in der die Unbekannte im Vorzeichen der trigonometrischen Funktion steht.
Es gibt sogenannte einfachste trigonometrische Gleichungen. So sehen sie aus: sinx = a, cos x = a, tan x = a. Lassen Sie uns überlegen wie man solche trigonometrischen Gleichungen löst Aus Gründen der Übersichtlichkeit verwenden wir den bereits bekannten trigonometrischen Kreis.

sinx = a

cos x = a

tan x = a

Kinderbett x = a

Jede trigonometrische Gleichung wird in zwei Schritten gelöst: Wir reduzieren die Gleichung auf ihre einfachste Form und lösen sie dann als einfache trigonometrische Gleichung.
Es gibt 7 Hauptmethoden, mit denen trigonometrische Gleichungen gelöst werden.

  1. Variable Substitution und Substitutionsmethode

    2. Lösen Sie die Gleichung 2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0

    Mit den Reduktionsformeln erhalten wir:

    2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

    Ersetzen Sie cos(x + /6) durch y, um die übliche quadratische Gleichung zu vereinfachen und zu erhalten:

    2J 2 – 3J + 1 + 0

    Die Wurzeln davon sind y 1 = 1, y 2 = 1/2

    Gehen wir nun in umgekehrter Reihenfolge vor

    Wir ersetzen die gefundenen Werte von y und erhalten zwei Antwortmöglichkeiten:

  2. Trigonometrische Gleichungen durch Faktorisierung lösen

    3. Wie löst man die Gleichung sin x + cos x = 1?

    Verschieben wir alles nach links, sodass rechts 0 bleibt:

    sin x + cos x – 1 = 0

    Nutzen wir die oben besprochenen Identitäten, um die Gleichung zu vereinfachen:

    sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

    Lassen Sie uns faktorisieren:

    2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

    2sin(x/2) * = 0

    Wir erhalten zwei Gleichungen

  3. Reduktion auf eine homogene Gleichung

    4. Eine Gleichung ist bezüglich Sinus und Cosinus homogen, wenn alle ihre Terme relativ zu Sinus und Cosinus desselben Grades und desselben Winkels sind. Um eine homogene Gleichung zu lösen, gehen Sie wie folgt vor:

    a) alle seine Mitglieder auf die linke Seite verlegen;

    b) Nehmen Sie alle gemeinsamen Faktoren aus Klammern heraus;

    c) alle Faktoren und Klammern auf 0 setzen;

    d) In Klammern wird eine homogene Gleichung niedrigeren Grades erhalten, die wiederum in einen Sinus oder Cosinus höheren Grades unterteilt wird.

    e) Lösen Sie die resultierende Gleichung nach tg.

    Lösen Sie die Gleichung 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

    Verwenden wir die Formel sin 2 x + cos 2 x = 1 und entfernen wir die offenen beiden rechts:

    3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

    sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

    Division durch cos x:

    tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

    Ersetzen Sie tan x durch y und erhalten Sie eine quadratische Gleichung:

    y 2 + 4y +3 = 0, deren Wurzeln y 1 =1, y 2 = 3 sind

    Von hier aus finden wir zwei Lösungen für die ursprüngliche Gleichung:

    x 2 = arctan 3 + k

  4. Lösen von Gleichungen durch den Übergang zu einem halben Winkel

    5. Lösen Sie die Gleichung 3sin x – 5cos x = 7

    Kommen wir zu x/2:

    6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

    Verschieben wir alles nach links:

    2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

    Division durch cos(x/2):

    tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

  5. Einführung des Hilfswinkels

    6. Zur Betrachtung nehmen wir eine Gleichung der Form: a sin x + b cos x = c,

    wobei a, b, c einige beliebige Koeffizienten sind und x eine Unbekannte ist.

    Teilen wir beide Seiten der Gleichung durch:

    Nun haben die Koeffizienten der Gleichung gemäß trigonometrischen Formeln die Eigenschaften sin und cos, nämlich: ihr Modul ist nicht größer als 1 und die Summe der Quadrate = 1. Bezeichnen wir sie jeweils als cos und sin, wobei - das ist der sogenannte Hilfswinkel. Dann nimmt die Gleichung die Form an:

    cos * sin x + sin * cos x = C

    oder sin(x + ) = C

    Die Lösung dieser einfachsten trigonometrischen Gleichung lautet

    x = (-1) k * arcsin C - + k, wobei

    Es ist zu beachten, dass die Bezeichnungen cos und sin austauschbar sind.

    Lösen Sie die Gleichung sin 3x – cos 3x = 1

    Die Koeffizienten in dieser Gleichung sind:

    a = , b = -1, also dividiere beide Seiten durch = 2

Konzept zur Lösung trigonometrischer Gleichungen.

  • Um eine trigonometrische Gleichung zu lösen, wandeln Sie sie in eine oder mehrere grundlegende trigonometrische Gleichungen um. Bei der Lösung einer trigonometrischen Gleichung geht es letztendlich darum, die vier grundlegenden trigonometrischen Gleichungen zu lösen.

  • Grundlegende trigonometrische Gleichungen lösen.

    • Es gibt 4 Arten grundlegender trigonometrischer Gleichungen:
    • Sünde x = a; cos x = a
    • tan x = a; ctg x = a
    • Das Lösen grundlegender trigonometrischer Gleichungen erfordert die Betrachtung verschiedener x-Positionen auf dem Einheitskreis sowie die Verwendung einer Umrechnungstabelle (oder eines Taschenrechners).
    • Beispiel 1. sin x = 0,866. Mit einer Umrechnungstabelle (oder einem Taschenrechner) erhalten Sie die Antwort: x = π/3. Der Einheitskreis gibt eine andere Antwort: 2π/3. Denken Sie daran: Alle trigonometrischen Funktionen sind periodisch, das heißt, ihre Werte wiederholen sich. Beispielsweise beträgt die Periodizität von sin x und cos x 2πn, und die Periodizität von tg x und ctg x beträgt πn. Daher lautet die Antwort wie folgt:
    • x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
    • Beispiel 2. cos x = -1/2. Mit einer Umrechnungstabelle (oder einem Taschenrechner) erhalten Sie die Antwort: x = 2π/3. Der Einheitskreis gibt eine andere Antwort: -2π/3.
    • x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
    • Beispiel 3. tg (x - π/4) = 0.
    • Antwort: x = π/4 + πn.
    • Beispiel 4. ctg 2x = 1,732.
    • Antwort: x = π/12 + πn.

  • Transformationen zur Lösung trigonometrischer Gleichungen.

    • Zur Transformation trigonometrischer Gleichungen werden algebraische Transformationen (Faktorisierung, Reduktion homogener Terme usw.) und trigonometrische Identitäten verwendet.
    • Beispiel 5: Unter Verwendung trigonometrischer Identitäten wird die Gleichung sin x + sin 2x + sin 3x = 0 in die Gleichung 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0 umgewandelt. Somit ergeben sich die folgenden grundlegenden trigonometrischen Gleichungen müssen gelöst werden: cos x = 0; sin(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.

    • Winkel finden von bekannte Werte Funktionen.

      • Bevor Sie lernen, trigonometrische Gleichungen zu lösen, müssen Sie lernen, wie man Winkel mithilfe bekannter Funktionswerte ermittelt. Dies kann mithilfe einer Umrechnungstabelle oder eines Taschenrechners erfolgen.
      • Beispiel: cos x = 0,732. Der Rechner gibt als Ergebnis x = 42,95 Grad aus. Der Einheitskreis ergibt zusätzliche Winkel, deren Kosinus ebenfalls 0,732 beträgt.

    • Legen Sie die Lösung auf dem Einheitskreis beiseite.

      • Sie können Lösungen einer trigonometrischen Gleichung auf dem Einheitskreis darstellen. Lösungen einer trigonometrischen Gleichung auf dem Einheitskreis sind die Eckpunkte eines regelmäßigen Polygons.
      • Beispiel: Die Lösungen x = π/3 + πn/2 auf dem Einheitskreis stellen die Eckpunkte des Quadrats dar.
      • Beispiel: Die Lösungen x = π/4 + πn/3 auf dem Einheitskreis stellen die Eckpunkte eines regelmäßigen Sechsecks dar.

    • Methoden zur Lösung trigonometrischer Gleichungen.

      • Wenn eine gegebene trigonometrische Gleichung nur eine trigonometrische Funktion enthält, lösen Sie diese Gleichung als grundlegende trigonometrische Gleichung. Wenn eine gegebene Gleichung zwei oder mehr trigonometrische Funktionen enthält, gibt es zwei Methoden zur Lösung einer solchen Gleichung (abhängig von der Möglichkeit ihrer Transformation).
        • Methode 1.
      • Transformieren Sie diese Gleichung in eine Gleichung der Form: f(x)*g(x)*h(x) = 0, wobei f(x), g(x), h(x) die grundlegenden trigonometrischen Gleichungen sind.
      • Beispiel 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
      • Lösung. Ersetzen Sie sin 2x mithilfe der Doppelwinkelformel sin 2x = 2*sin x*cos x.
      • 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Lösen Sie nun die beiden grundlegenden trigonometrischen Gleichungen: cos x = 0 und (sin x + 1) = 0.
      • Beispiel 7. cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
      • Lösung: Transformieren Sie diese Gleichung unter Verwendung trigonometrischer Identitäten in eine Gleichung der Form: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Lösen Sie nun die beiden grundlegenden trigonometrischen Gleichungen: cos 2x = 0 und (2cos x + 1) = 0.
      • Beispiel 8. sin x - sin 3x = cos 2x. (0< x < 2π)
      • Lösung: Transformieren Sie diese Gleichung unter Verwendung trigonometrischer Identitäten in eine Gleichung der Form: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Lösen Sie nun die beiden grundlegenden trigonometrischen Gleichungen: cos 2x = 0 und (2sin x + 1) = 0 .
        • Methode 2.
      • Wandeln Sie die gegebene trigonometrische Gleichung in eine Gleichung um, die nur eine trigonometrische Funktion enthält. Ersetzen Sie dann diese trigonometrische Funktion durch eine unbekannte Funktion, zum Beispiel t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tan x = t; tg (x/2) = t usw.).
      • Beispiel 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
      • Lösung. Ersetzen Sie in dieser Gleichung (cos^2 x) durch (1 - sin^2 x) (entsprechend der Identität). Die transformierte Gleichung lautet:
      • 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Ersetzen Sie sin x durch t. Jetzt sieht die Gleichung so aus: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Dies ist eine quadratische Gleichung mit zwei Wurzeln: t1 = -1 und t2 = 9/5. Die zweite Wurzel t2 erfüllt nicht den Funktionsbereich (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
      • Beispiel 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
      • Lösung. Ersetzen Sie tg x durch t. Schreiben Sie die ursprüngliche Gleichung wie folgt um: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Finden Sie nun t und dann x für t = tan x.

    • Einfache trigonometrische Gleichungen lösen.

    Bei der Lösung trigonometrischer Gleichungen jeglicher Komplexität kommt es letztlich darauf an, die einfachsten trigonometrischen Gleichungen zu lösen. Und dabei bester Helfer Es stellt sich wiederum heraus, dass es sich um einen trigonometrischen Kreis handelt.

    Erinnern wir uns an die Definitionen von Kosinus und Sinus.

    Der Kosinus eines Winkels ist die Abszisse (d. h. die Koordinate entlang der Achse) eines Punktes auf dem Einheitskreis, der einer Drehung um einen bestimmten Winkel entspricht.

    Der Sinus eines Winkels ist die Ordinate (d. h. die Koordinate entlang der Achse) eines Punktes auf dem Einheitskreis, der einer Drehung um einen bestimmten Winkel entspricht.

    Die positive Bewegungsrichtung auf dem trigonometrischen Kreis ist gegen den Uhrzeigersinn. Eine Drehung um 0 Grad (oder 0 Bogenmaß) entspricht einem Punkt mit den Koordinaten (1;0)

    Wir verwenden diese Definitionen, um einfache trigonometrische Gleichungen zu lösen.

    1. Lösen Sie die Gleichung

    Diese Gleichung wird von allen Werten des Drehwinkels erfüllt, die Punkten auf dem Kreis entsprechen, deren Ordinate gleich ist.

    Markieren wir einen Punkt mit der Ordinate auf der Ordinatenachse:


    Zeichnen Sie eine horizontale Linie parallel zur x-Achse, bis sie den Kreis schneidet. Wir erhalten zwei Punkte, die auf dem Kreis liegen und eine Ordinate haben. Diese Punkte entsprechen den Drehwinkeln im Bogenmaß:


    Wenn wir den Punkt, der dem Drehwinkel pro Bogenmaß entspricht, verlassen und einen Vollkreis umrunden, gelangen wir zu einem Punkt, der dem Drehwinkel pro Bogenmaß entspricht und die gleiche Ordinate hat. Das heißt, dieser Drehwinkel erfüllt auch unsere Gleichung. Wir können so viele „Leerlauf“-Umdrehungen machen, wie wir möchten, und zum selben Punkt zurückkehren, und alle diese Winkelwerte werden unsere Gleichung erfüllen. Die Anzahl der „Leerlauf“-Umdrehungen wird mit dem Buchstaben (oder) angegeben. Da wir diese Umdrehungen sowohl in positiver als auch in negativer Richtung durchführen können (oder) können wir beliebige ganzzahlige Werte annehmen.

    Das heißt, die erste Lösungsreihe der ursprünglichen Gleichung hat die Form:

    , , - Menge von ganzen Zahlen (1)

    Ebenso hat die zweite Lösungsreihe die Form:

    , Wo , . (2)

    Wie Sie vielleicht schon vermutet haben, basiert diese Lösungsreihe auf dem Punkt auf dem Kreis, der dem Drehwinkel von entspricht.

    Diese beiden Lösungsreihen können in einem Eintrag zusammengefasst werden:

    Wenn wir diesen Eintrag nehmen (also gerade), dann erhalten wir die erste Reihe von Lösungen.

    Wenn wir in diesem Eintrag (das heißt ungerade) nehmen, erhalten wir die zweite Reihe von Lösungen.

    2. Jetzt lösen wir die Gleichung

    Da dies die Abszisse eines Punktes auf dem Einheitskreis ist, der durch Drehung um einen Winkel entsteht, markieren wir den Punkt mit der Abszisse auf der Achse:


    Zeichnen Sie eine vertikale Linie parallel zur Achse, bis sie den Kreis schneidet. Wir erhalten zwei Punkte, die auf dem Kreis liegen und eine Abszisse haben. Diese Punkte entsprechen Drehwinkeln im Bogenmaß. Denken Sie daran, dass wir bei einer Bewegung im Uhrzeigersinn einen negativen Drehwinkel erhalten:


    Schreiben wir zwei Lösungsreihen auf:

    ,

    ,

    (Wir gelangen zum gewünschten Punkt, indem wir vom Hauptvollkreis ausgehen.

    Fassen wir diese beiden Serien zu einem Eintrag zusammen:

    3. Lösen Sie die Gleichung

    Die Tangente verläuft durch den Punkt mit den Koordinaten (1,0) des Einheitskreises parallel zur OY-Achse

    Markieren wir darauf einen Punkt mit einer Ordinate gleich 1 (wir suchen den Tangens, dessen Winkel gleich 1 ist):


    Verbinden wir diesen Punkt mit einer Geraden mit dem Koordinatenursprung und markieren wir die Schnittpunkte der Geraden mit dem Einheitskreis. Die Schnittpunkte der Geraden und des Kreises entsprechen den Drehwinkeln auf und:


    Da die Punkte, die den Drehwinkeln entsprechen, die unsere Gleichung erfüllen, im Bogenmaß voneinander entfernt liegen, können wir die Lösung folgendermaßen schreiben:

    4. Lösen Sie die Gleichung

    Die Kotangenslinie verläuft durch den Punkt mit den Koordinaten des Einheitskreises parallel zur Achse.

    Markieren wir einen Punkt mit der Abszisse -1 auf der Kotangensgeraden:


    Verbinden wir diesen Punkt mit dem Ursprung der Geraden und setzen wir ihn fort, bis er den Kreis schneidet. Diese gerade Linie schneidet den Kreis an Punkten, die den Drehwinkeln in und Bogenmaß entsprechen:


    Da diese Punkte einen Abstand voneinander haben, der gleich ist, dann gemeinsame Entscheidung Wir können diese Gleichung so schreiben:

    In den angegebenen Beispielen, die die Lösung der einfachsten trigonometrischen Gleichungen veranschaulichen, wurden Tabellenwerte trigonometrischer Funktionen verwendet.

    Wenn die rechte Seite der Gleichung jedoch einen nicht tabellarischen Wert enthält, ersetzen wir den Wert in der allgemeinen Lösung der Gleichung:





    SPEZIELLE LÖSUNGEN:

    Markieren wir die Punkte auf dem Kreis, deren Ordinate 0 ist:


    Markieren wir einen einzelnen Punkt auf dem Kreis, dessen Ordinate 1 ist:


    Markieren wir einen einzelnen Punkt auf dem Kreis, dessen Ordinate gleich -1 ist:


    Da es üblich ist, Werte anzugeben, die am nächsten bei Null liegen, schreiben wir die Lösung wie folgt:

    Markieren wir die Punkte auf dem Kreis, deren Abszisse gleich 0 ist:


    5.
    Markieren wir einen einzelnen Punkt auf dem Kreis, dessen Abszisse gleich 1 ist:


    Markieren wir einen einzelnen Punkt auf dem Kreis, dessen Abszisse gleich -1 ist:


    Und etwas komplexere Beispiele:

    1.

    Der Sinus ist gleich eins, wenn das Argument gleich ist

    Das Argument unseres Sinus ist gleich, also erhalten wir:

    Teilen Sie beide Seiten der Gleichheit durch 3:

    Antwort:

    2.

    Der Kosinus ist Null, wenn das Argument des Kosinus ist

    Das Argument unseres Kosinus ist gleich, also erhalten wir:

    Drücken wir aus, dazu bewegen wir uns zunächst mit dem umgekehrten Vorzeichen nach rechts:

    Vereinfachen wir die rechte Seite:

    Teilen Sie beide Seiten durch -2:

    Beachten Sie, dass sich das Vorzeichen vor dem Term nicht ändert, da k einen beliebigen ganzzahligen Wert annehmen kann.

    Antwort:

    Und zum Schluss sehen Sie sich die Videolektion „Wurzeln in einer trigonometrischen Gleichung mithilfe eines trigonometrischen Kreises auswählen“ an.

    Damit ist unser Gespräch über das Lösen einfacher trigonometrischer Gleichungen abgeschlossen. Das nächste Mal werden wir darüber sprechen, wie wir uns entscheiden sollen.

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