Χρησιμοποιώντας μετασχηματισμούς εκφράσεων, τις απλούστερες μεθόδους ολοκλήρωσης. Μέθοδοι ολοκλήρωσης

4.1. ΑΠΛΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ 4.1.1. Η έννοια του αόριστου ολοκληρώματος

Στο διαφορικό λογισμό, εξετάστηκε το πρόβλημα εύρεσης της παραγώγου ή της διαφορικής σε σχέση με μια δεδομένη συνάρτηση y= F(x),δηλ. ήταν απαραίτητο να βρεθεί f(x)= F"(x)ή dF(x)= F"(x)dx= f(x)dx.Ας θέσουμε το αντίστροφο πρόβλημα: να επαναφέρουμε τη διαφοροποιημένη συνάρτηση, δηλ. γνωρίζοντας την παράγωγο f(x)(ή διαφορικό f(x)dx),βρείτε μια τέτοια συνάρτηση F(x),προς την F"(x)= f(x).Αυτό το έργο αποδεικνύεται πολύ πιο δύσκολο από το έργο της διαφοροποίησης. Για παράδειγμα, ας είναι γνωστή η ταχύτητα κίνησης ενός σημείου, αλλά πρέπει να βρούμε το νόμο

τις κινήσεις της μικρό= S(t),και Για να λυθούν τέτοια

εισάγονται εργασίες, νέες έννοιες και δράσεις.

Ορισμός.Διαφοροποιήσιμη λειτουργία F(x)που ονομάζεται αντιπαράγωγογια λειτουργία f(x)επί (α; β),Αν F"(x)= f(x)επί (α; β).

Για παράδειγμα, για φά(x) = x 2 αντιπαράγωγο επειδή

Για φά(χ) = κοσ Χτο αντιπαράγωγο θα είναι F(x) = sin x, επειδή F"(x) = (sin x)" = cos x, που συμπίπτει με φά(Χ).

Υπάρχει πάντα ένα αντιπαράγωγο για μια δεδομένη συνάρτηση; f(x);Ναι, εάν αυτή η λειτουργία είναι συνεχής στο (a; b). Επιπλέον, υπάρχουν αμέτρητοι αριθμοί πρωτόγονων και διαφέρουν μεταξύ τους μόνο κατά έναν σταθερό όρο. Πράγματι, αμαρτία Χ+ 2, αμαρτία Χ- 2, αμαρτία Χ+ ντο- όλες αυτές οι συναρτήσεις θα είναι αντιπαράγωγα για cos Χ(η παράγωγος μιας σταθερής τιμής είναι 0) - εικ. 4.1.

Ορισμός.Εκφραση F(x)+ ΝΤΟ,Οπου ΜΕ- μια αυθαίρετη σταθερή τιμή που ορίζει το σύνολο των αντιπαραγώγων για τη συνάρτηση f(x),που ονομάζεται αόριστο ολοκλήρωμακαι υποδεικνύεται με το σύμβολο , δηλ. , όπου το πρόσημο είναι το πρόσημο του αορίστου

αναπόσπαστο, f(x)- που ονομάζεται συνάρτηση ολοκλήρωσης, f (x)dx- από το ολοκλήρωμα, x- μεταβλητή ολοκλήρωσης.

Ρύζι. 4.1.Παράδειγμα οικογένειας ολοκληρωμένων καμπυλών

Ορισμός.Η λειτουργία εύρεσης αντιπαραγώγου από μια δεδομένη παράγωγο ή διαφορικό ονομάζεται ενσωμάτωσηαυτή τη λειτουργία.

Η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη δράση της διαφοροποίησης· μπορεί να επαληθευτεί με διαφοροποίηση και η διαφοροποίηση είναι μοναδική και η ολοκλήρωση δίνει την απάντηση μέχρι μια σταθερά. Δίνοντας σταθερή τιμή ΜΕσυγκεκριμένες αξίες Με-

Παίρνουμε διάφορες λειτουργίες

καθένα από τα οποία ορίζει μια καμπύλη στο επίπεδο συντεταγμένων που ονομάζεται αναπόσπαστο.Όλα τα γραφήματα των ολοκληρωτικών καμπυλών μετατοπίζονται παράλληλα μεταξύ τους κατά μήκος του άξονα Oy.Επομένως, ένα γεωμετρικά αόριστο ολοκλήρωμα είναι μια οικογένεια ολοκληρωτικών καμπυλών.

Λοιπόν, εισήχθησαν νέες έννοιες (αντιπαράγωγο και αόριστο ολοκλήρωμα) και μια νέα δράση (ολοκλήρωση), αλλά πώς βρίσκετε ακόμα το αντιπαράγωγο; Για να απαντήσετε εύκολα σε αυτήν την ερώτηση, πρέπει πρώτα να συντάξετε και να απομνημονεύσετε έναν πίνακα με αόριστα ολοκληρώματα βασικών στοιχειωδών συναρτήσεων. Λαμβάνεται με αντιστροφή των αντίστοιχων τύπων διαφοροποίησης. Για παράδειγμα, εάν

Συνήθως, ο πίνακας περιλαμβάνει ορισμένα ολοκληρώματα που λαμβάνονται μετά την εφαρμογή των απλούστερων μεθόδων ολοκλήρωσης. Αυτοί οι τύποι σημειώνονται στον πίνακα. 4.1 με το σύμβολο «*» και αποδεικνύονται στην περαιτέρω παρουσίαση του υλικού.

Πίνακας 4.1.Πίνακας βασικών αόριστων ολοκληρωμάτων

Formula 11 από τον πίνακα. Το 4.1 μπορεί να μοιάζει
,

επειδή. Ανάλογη παρατήρηση για το έντυπο

mules 13:

4.1.2. Ιδιότητες αόριστων ολοκληρωμάτων

Ας εξετάσουμε τις απλούστερες ιδιότητες του αόριστου ολοκληρώματος, που θα μας επιτρέψουν να ενσωματώσουμε όχι μόνο τις βασικές στοιχειώδεις συναρτήσεις.

1. Η παράγωγος του αορίστου ολοκληρώματος ισούται με το ολοκλήρωμα:

2. Το διαφορικό του αόριστου ολοκληρώματος ισούται με το ολοκλήρωμα:

3. Το αόριστο ολοκλήρωμα του διαφορικού μιας συνάρτησης είναι ίσο με αυτή τη συνάρτηση που προστίθεται σε μια αυθαίρετη σταθερά:

Παράδειγμα 1. Παράδειγμα 2.

4. Ο σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από το ολοκλήρωμα: Παράδειγμα 3.

5. Το ολοκλήρωμα του αθροίσματος ή της διαφοράς δύο συναρτήσεων ισούται με το άθροισμα ή τη διαφορά των ολοκληρωμάτων αυτών των συναρτήσεων:

Παράδειγμα 4.

Ο τύπος ολοκλήρωσης παραμένει έγκυρος εάν η μεταβλητή ολοκλήρωσης είναι συνάρτηση: αν Οτι

Μια αυθαίρετη συνάρτηση που έχει συνεχή παράγωγο. Αυτή η ιδιότητα ονομάζεται αμετάβλητο.

Παράδειγμα 5. , Να γιατί

Συγκρίνω με

Δεν υπάρχει καθολική μέθοδος ολοκλήρωσης. Παρακάτω θα παρουσιάσουμε μερικές μεθόδους που σας επιτρέπουν να υπολογίσετε ένα δεδομένο ολοκλήρωμα χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες 1-5 και τον πίνακα. 4.1.

4.1.3.Άμεση ολοκλήρωση

Αυτή η μέθοδος συνίσταται στην άμεση χρήση των ολοκληρωμάτων πίνακα και των ιδιοτήτων 4 και 5. Παραδείγματα.

4.1.4.Μέθοδος αποσύνθεσης

Αυτή η μέθοδος συνίσταται στην επέκταση του ολοκληρώματος σε έναν γραμμικό συνδυασμό συναρτήσεων με ήδη γνωστά ολοκληρώματα.

Παραδείγματα.

4.1.5. Μέθοδος εγγραφής στο διαφορικό πρόσημο

Για να μειώσετε αυτό το ολοκλήρωμα σε πίνακα, είναι βολικό να κάνετε διαφορικούς μετασχηματισμούς.

1. Υπολογίζοντας το διαφορικό πρόσημο μιας γραμμικής συνάρτησης

από εδώ
συγκεκριμένα, dx = d(x + σι),

το διαφορικό δεν αλλάζει αν προσθέσετε στη μεταβλητή

ή αφαιρέστε μια σταθερή τιμή. Εάν η μεταβλητή αυξηθεί πολλές φορές, τότε η διαφορά πολλαπλασιάζεται με την αμοιβαία τιμή της. Παραδείγματα με λύσεις.

Ας ελέγξουμε τους τύπους 9*, 12* και 14* από τον πίνακα. 4.1, χρησιμοποιώντας τη μέθοδο υπαγωγής του διαφορικού πρόσημου:

Q.E.D.

2. Υπαγωγή των βασικών στοιχειωδών συναρτήσεων κάτω από το διαφορικό πρόσημο:

Σχόλιο.Οι τύποι 15* και 16* μπορούν να επαληθευτούν με διαφοροποίηση (βλ. ιδιότητα 1). Για παράδειγμα,

και αυτή είναι η συνάρτηση ολοκλήρωσης από τον τύπο 16*.

4.1.6. Μέθοδος διαχωρισμού τέλειου τετραγώνου από τετραγωνικό τριώνυμο

Κατά την ενσωμάτωση εκφράσεων όπως ή

που χωρίζει ένα τέλειο τετράγωνο από ένα τετραγωνικό τριώνυμο

τσεκούρι 2 + bx+ ντοείναι δυνατό να μειωθούν σε πίνακα 12*, 14*, 15* ή 16* (βλ. Πίνακα 4.1).

Επειδή γενικά αυτή η λειτουργία φαίνεται πιο περίπλοκη από ό,τι είναι στην πραγματικότητα, θα περιοριστούμε σε παραδείγματα.

Παραδείγματα.

Λύση.Εδώ εξάγουμε το τέλειο τετράγωνο από το τετραγωνικό τριώνυμο Χ 2 + 6x+ 9 = (Χ 2 + 6x+ 9) - 9 + 5 = (x+ 3) 2 - 4, και στη συνέχεια χρησιμοποιούμε τη μέθοδο υπαγωγής του διαφορικού πρόσημου.

Χρησιμοποιώντας παρόμοια συλλογιστική, μπορούμε να υπολογίσουμε τα ακόλουθα ολοκληρώματα:

2. 3.

Στο τελικό στάδιο της ολοκλήρωσης χρησιμοποιήθηκε ο τύπος 16*.

4.1.7. Βασικές μέθοδοι ολοκλήρωσης

Υπάρχουν δύο τέτοιες μέθοδοι: η μέθοδος αλλαγής μιας μεταβλητής ή αντικατάστασης και η ολοκλήρωση με μέρη.

Μέθοδος αντικατάστασης μεταβλητής

Υπάρχουν δύο τύποι για την αλλαγή μιας μεταβλητής σε ένα αόριστο ολοκλήρωμα:

1) 2)

Εδώ, η ουσία είναι οι μονότονες διαφοροποιήσιμες συναρτήσεις

των μεταβλητών τους.

Η τέχνη της εφαρμογής της μεθόδου συνίσταται κυρίως στην επιλογή συναρτήσεων έτσι ώστε τα νέα ολοκληρώματα να είναι πινακοποιημένα ή να μειώνονται σε αυτά. Η τελική απάντηση θα πρέπει να επιστρέψει στην παλιά μεταβλητή.

Σημειώστε ότι η αντικατάσταση κάτω από το διαφορικό πρόσημο είναι μια ειδική περίπτωση αντικατάστασης μεταβλητής.

Παραδείγματα.

Λύση.Εδώ πρέπει να εισαχθεί μια νέα μεταβλητήtέτσι ώστε να απαλλαγούμε από την τετραγωνική ρίζα. Ας βάλουμεΧ+ 1 = t,Επειτα Χ= t 2+ 1 και dx = 2 tdt:

Λύση.Αντικατάσταση Χ- 2 ανά t, λαμβάνουμε ένα μονώνυμο στον παρονομαστή και μετά τη διαίρεση όρων προς όρο το ολοκλήρωμα ανάγεται στο ολοκλήρωμα πίνακα της συνάρτησης ισχύος:

Κατά τη μετάβαση σε μια μεταβλητή Χχρησιμοποιούμενοι τύποι:

Τρόπος ολοκλήρωσης ανά εξαρτήματα

Η διαφορά του γινομένου δύο συναρτήσεων προσδιορίζεται από τον τύπο

Ενσωματώνοντας αυτήν την ισότητα (βλ. ιδιότητα 3), βρίσκουμε:

Από εδώ Αυτή είναι η φόρμουλα ενσωμάτωση από

εξαρτήματα.

Η ολοκλήρωση κατά μέρη περιλαμβάνει την υποκειμενική αναπαράσταση του ολοκληρώματος στη μορφή u . dV,και ταυτόχρονα το ολοκλήρωμα θα πρέπει να είναι ευκολότερο από Διαφορετικά εφαρμογή

η μέθοδος δεν έχει νόημα.

Έτσι, η μέθοδος ολοκλήρωσης από μέρη προϋποθέτει την ικανότητα απομόνωσης παραγόντων από το ολοκλήρωμα uΚαι dVλαμβάνοντας υπόψη τις παραπάνω απαιτήσεις.

Παρουσιάζουμε έναν αριθμό τυπικών ολοκληρωμάτων που μπορούν να βρεθούν με τη μέθοδο της ολοκλήρωσης ανά εξαρτήματα. 1. Ολοκληρώματα της φόρμας

Οπου P(x)- πολυώνυμο; κ- σταθερό. Σε αυτήν την περίπτωση u= P(x) και dV- όλους τους άλλους παράγοντες.

Παράδειγμα 1.

2.Ολοκληρώματα τύπου

Εδώ βάζουμε άλλους παράγοντες.

Παράδειγμα 2.

Παράδειγμα 3.
Παράδειγμα 4.

Οποιοδήποτε αποτέλεσμα μπορεί να επαληθευτεί με διαφοροποίηση. Για παράδειγμα, σε αυτή την περίπτωση

Το αποτέλεσμα είναι σωστό.

3.Ολοκληρώματα της φόρμας

όπου ένας, σι- Κωνστ. Πίσω uπρέπει να πάρει ε τσεκούρι, αμαρτία bxή cos bx.

Παράδειγμα 5.

Από εδώ παίρνουμε Παράδειγμα 6.

Από εδώ

Παράδειγμα 7.
Παράδειγμα 8.

Λύση.Εδώ πρέπει πρώτα να κάνετε μια αλλαγή μεταβλητής και, στη συνέχεια, να ενσωματώσετε ανά μέρη:

Παράδειγμα 9.
Παράδειγμα 10.

Λύση.Αυτό το ολοκλήρωμα μπορεί να βρεθεί με την ίδια επιτυχία είτε αντικαθιστώντας τη μεταβλητή 1 + x 2 = t 2 είτε ολοκληρώνοντας με μέρη:

Ανεξάρτητη εργασία

Εκτελέστε άμεση ενσωμάτωση (1-10).

Εφαρμόστε απλές μεθόδους ολοκλήρωσης (11-46).

Εκτελέστε ενσωμάτωση χρησιμοποιώντας μεθόδους αλλαγής μεταβλητής και ολοκλήρωσης με μέρη (47-74).

Μια συνάρτηση F(x) που διαφοροποιείται σε ένα δεδομένο διάστημα X ονομάζεται αντιπαράγωγο της συνάρτησης f(x), ή το ολοκλήρωμα της f(x), αν για κάθε x ∈X ισχύει η ακόλουθη ισότητα:

F " (x) = f(x). (8.1)

Η εύρεση όλων των αντιπαραγώγων για μια δεδομένη συνάρτηση ονομάζεται της ενσωμάτωση. Αόριστη ολοκληρωτική συνάρτηση f(x) σε ένα δεδομένο διάστημα X είναι το σύνολο όλων των αντιπαραγώγων συναρτήσεων για τη συνάρτηση f(x). ονομασία -

Αν η F(x) είναι κάποια αντιπαράγωγος της συνάρτησης f(x), τότε ∫ f(x)dx = F(x) + C, (8.2)

όπου C είναι αυθαίρετη σταθερά.

Πίνακας ολοκληρωμάτων

Απευθείας από τον ορισμό λαμβάνουμε τις κύριες ιδιότητες του αόριστου ολοκληρώματος και μια λίστα με πίνακα ολοκληρωμάτων:

1) d∫f(x)dx=f(x)

2)∫df(x)=f(x)+C

3) ∫af(x)dx=a∫f(x)dx (a=const)

4) ∫(f(x)+g(x))dx = ∫f(x)dx+∫g(x)dx

Λίστα με πίνακα ολοκληρωμάτων

1. ∫x m dx = x m+1 /(m + 1) +C; (m ≠ -1)

3.∫a x dx = a x /ln a + C (a>0, a ≠1)

4.∫e x dx = e x + C

5.∫sin x dx = cosx + C

6.∫cos x dx = - sin x + C

7. = αρκτάνη x + C

8. = τόξο x + C

10. = - ctg x + C

Αντικατάσταση μεταβλητής

Για να ενσωματώσετε πολλές συναρτήσεις, χρησιμοποιήστε τη μέθοδο αντικατάστασης μεταβλητής ή αντικαταστάσεις,επιτρέποντάς σας να μειώσετε τα ολοκληρώματα σε μορφή πίνακα.

Αν η συνάρτηση f(z) είναι συνεχής στο [α,β], η συνάρτηση z =g(x) έχει συνεχή παράγωγο και α ≤ g(x) ≤ β, τότε

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫f(z)dz, (8.3)

Επιπλέον, μετά την ενσωμάτωση στη δεξιά πλευρά, θα πρέπει να γίνει η αντικατάσταση z=g(x).

Για να το αποδείξετε, αρκεί να γράψετε το αρχικό ολοκλήρωμα στη μορφή:

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫ f(g(x)) dg(x).

Για παράδειγμα:

Τρόπος ολοκλήρωσης ανά εξαρτήματα

Έστω u = f(x) και v = g(x) συναρτήσεις που έχουν συνεχή . Στη συνέχεια, σύμφωνα με την εργασία,

d(uv))= udv + vdu ή udv = d(uv) - vdu.

Για την έκφραση d(uv), το αντιπαράγωγο θα είναι προφανώς uv, οπότε ισχύει ο τύπος:

∫ udv = uv - ∫ vdu (8.4.)

Αυτός ο τύπος εκφράζει τον κανόνα ενσωμάτωση κατά εξαρτήματα. Οδηγεί την ολοκλήρωση της έκφρασης udv=uv"dx στην ολοκλήρωση της έκφρασης vdu=vu"dx.

Έστω, για παράδειγμα, που θέλετε να βρείτε το ∫xcosx dx. Ας βάλουμε u = x, dv = cosxdx, άρα du=dx, v=sinx. Επειτα

∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x sin x - ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.

Ο κανόνας της ολοκλήρωσης από μέρη έχει πιο περιορισμένο πεδίο εφαρμογής από την αντικατάσταση μεταβλητών. Αλλά υπάρχουν ολόκληρες κατηγορίες ολοκληρωμάτων, για παράδειγμα,

∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax και άλλα, τα οποία υπολογίζονται με ακρίβεια χρησιμοποιώντας την ολοκλήρωση ανά μέρη.

Ορισμένο ολοκλήρωμα

Η έννοια του ορισμένου ολοκληρώματος εισάγεται ως εξής. Έστω μια συνάρτηση f(x) να οριστεί σε ένα διάστημα. Ας χωρίσουμε το τμήμα [a,b] σε nμέρη κατά σημεία a= x 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
Δ x i =x i - x i-1. Καλείται άθροισμα της μορφής f(ξ i)Δ x i αναπόσπαστο άθροισμα, και το όριο του στο λ = maxΔx i → 0, αν υπάρχει και είναι πεπερασμένο, λέγεται οριστικό ολοκλήρωμασυναρτήσεις f(x) του έναπριν σικαι ορίζεται:

F(ξ i)Δx i (8.5).

Η συνάρτηση f(x) σε αυτή την περίπτωση καλείται ενσωματώσιμο στο διάστημα, καλούνται οι αριθμοί α και β κάτω και άνω όρια του ολοκληρώματος.

Οι ακόλουθες ιδιότητες ισχύουν για ένα ορισμένο ολοκλήρωμα:

4), (k = const, k∈R);

7) f(ξ)(b-a) (ξ∈).

Το τελευταίο ακίνητο ονομάζεται θεώρημα μέσης τιμής.

Έστω η f(x) συνεχής στο . Τότε σε αυτό το τμήμα υπάρχει ένα αόριστο ολοκλήρωμα

∫f(x)dx = F(x) + C

και λαμβάνει χώρα Τύπος Newton-Leibniz, συνδέοντας το οριστικό ολοκλήρωμα με το αόριστο ολοκλήρωμα:

F(b) - F(a). (8.6)

Γεωμετρική ερμηνεία: το οριστικό ολοκλήρωμα είναι το εμβαδόν ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς που οριοθετείται από πάνω από την καμπύλη y=f(x), ευθείες x = a και x = b και ένα τμήμα του άξονα Βόδι.

Ακατάλληλα ολοκληρώματα

Τα ολοκληρώματα με άπειρα όρια και τα ολοκληρώματα ασυνεχών (απεριόριστων) συναρτήσεων ονομάζονται όχι το δικό σου. Ακατάλληλα ολοκληρώματα πρώτου είδους -Αυτά είναι ολοκληρώματα σε ένα άπειρο διάστημα, που ορίζεται ως εξής:

(8.7)

Αν αυτό το όριο υπάρχει και είναι πεπερασμένο, τότε καλείται συγκλίνον ακατάλληλο ολοκλήρωμα της f(x)στο διάστημα [a,+ ∞), και καλείται η συνάρτηση f(x). ενσωματώνεται σε άπειρο διάστημα[a,+ ∞). Διαφορετικά, το ολοκλήρωμα λέγεται ότι είναι δεν υπάρχει ή αποκλίνει.

Τα ακατάλληλα ολοκληρώματα στα διαστήματα (-∞,b] και (-∞, + ∞) ορίζονται παρόμοια:

Ας ορίσουμε την έννοια του ολοκληρώματος μιας απεριόριστης συνάρτησης. Αν η f(x) είναι συνεχής για όλες τις τιμές Χτμήμα , εκτός από το σημείο c, στο οποίο η f(x) έχει άπειρη ασυνέχεια, τότε ακατάλληλο ολοκλήρωμα του δεύτερου είδους f(x) που κυμαίνονται από το α έως το βτο ποσό λέγεται:

αν αυτά τα όρια υπάρχουν και είναι πεπερασμένα. Ονομασία:

Παραδείγματα ολοκληρωτικών υπολογισμών

Παράδειγμα 3.30.Υπολογίστε το ∫dx/(x+2).

Λύση.Ας συμβολίσουμε t = x+2, τότε dx = dt, ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + C = ln|x+2| +C.

Παράδειγμα 3.31. Βρείτε το ∫ tgxdx.

Λύση.∫ tgxdx = ∫sinx/cosxdx = - ∫dcosx/cosx. Έστω t=cosx, τότε ∫ tgxdx = -∫ dt/t = - ln|t| + C = -ln|cosx|+C.

Παράδειγμα3.32 . Βρείτε το ∫dx/sinx

Λύση.

Παράδειγμα3.33. Εύρημα .

Λύση. = .

Παράδειγμα3.34 . Βρείτε το ∫arctgxdx.

Λύση. Ας ενσωματωθούμε ανά μέρη. Ας συμβολίσουμε u=arctgx, dv=dx. Τότε du = dx/(x 2 +1), v=x, από όπου ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; επειδή
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.

Παράδειγμα3.35 . Υπολογίστε το ∫lnxdx.

Λύση.Εφαρμόζοντας τον τύπο ολοκλήρωσης με μέρη, λαμβάνουμε:
u=lnx, dv=dx, du=1/x dx, v=x. Τότε ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1/x dx =
= xlnx - ∫dx + C= xlnx - x + C.

Παράδειγμα3.36 . Υπολογίστε το ∫e x sinxdx.

Λύση.Ας συμβολίσουμε u = e x, dv = sinxdx, τότε du = e x dx, v =∫ sinxdx= - cosx → ∫ e x sinxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx. Ενσωματώνουμε επίσης το ολοκλήρωμα ∫e x cosxdx κατά μέρη: u = e x , dv = cosxdx, du=e x dx, v=sinx. Εχουμε:
∫ e x cosxdx = e x sinx - ∫ e x sinxdx. Αποκτήσαμε τη σχέση ∫e x sinxdx = - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx, από την οποία 2∫e x sinx dx = - e x cosx + e x sinx + C.

Παράδειγμα 3.37. Υπολογίστε J = ∫cos(lnx)dx/x.

Λύση.Αφού dx/x = dlnx, τότε J= ∫cos(lnx)d(lnx). Αντικαθιστώντας το lnx έως το t, φτάνουμε στο ολοκλήρωμα πίνακα J = ∫ costdt = sint + C = sin(lnx) + C.

Παράδειγμα 3.38 . Υπολογίστε το J = .

Λύση.Θεωρώντας ότι = d(lnx), αντικαθιστούμε το lnx = t. Τότε J = .

Παράδειγμα 3.39 . Υπολογίστε το ολοκλήρωμα J = .

Λύση.Εχουμε: . Επομένως =
=
=. εισάγεται ως εξής: sqrt(tan(x/2)).

Και αν στο παράθυρο αποτελεσμάτων κάνετε κλικ στο Εμφάνιση βημάτων στην επάνω δεξιά γωνία, θα λάβετε μια λεπτομερή λύση.

Ολοκληρωτικος ΛΟΓΙΣΜΟΣ.

Αντιπαράγωγη λειτουργία.

Ορισμός: Καλείται η συνάρτηση F(x). αντιπαράγωγη λειτουργίασυνάρτηση f(x) στο τμήμα εάν η ισότητα είναι αληθής σε οποιοδήποτε σημείο αυτού του τμήματος:

Πρέπει να σημειωθεί ότι μπορεί να υπάρχει άπειρος αριθμός αντιπαραγώγων για την ίδια συνάρτηση. Θα διαφέρουν μεταξύ τους κατά κάποιο σταθερό αριθμό.

F 1 (x) = F 2 (x) + C.

Αόριστο ολοκλήρωμα.

Ορισμός: Αόριστο ολοκλήρωμαΗ συνάρτηση f(x) είναι ένα σύνολο αντιπαραγώγων συναρτήσεων που ορίζονται από τη σχέση:

Σημειωσε:

Προϋπόθεση για την ύπαρξη αόριστου ολοκληρώματος σε ένα συγκεκριμένο τμήμα είναι η συνέχεια της συνάρτησης σε αυτό το τμήμα.

Ιδιότητες:

Παράδειγμα:

Η εύρεση της τιμής του αόριστου ολοκληρώματος συνδέεται κυρίως με την εύρεση του αντιπαραγώγου της συνάρτησης. Για ορισμένες λειτουργίες αυτό είναι αρκετά δύσκολο έργο. Παρακάτω θα εξετάσουμε μεθόδους εύρεσης αόριστων ολοκληρωμάτων για τις κύριες κατηγορίες συναρτήσεων - ορθολογικές, παράλογες, τριγωνομετρικές, εκθετικές κ.λπ.

Για ευκολία, οι τιμές των αόριστων ολοκληρωμάτων των περισσότερων στοιχειωδών συναρτήσεων συλλέγονται σε ειδικούς πίνακες ολοκληρωμάτων, οι οποίοι μερικές φορές είναι αρκετά ογκώδεις. Περιλαμβάνουν διάφορους ευρέως χρησιμοποιούμενους συνδυασμούς συναρτήσεων. Αλλά οι περισσότεροι από τους τύπους που παρουσιάζονται σε αυτούς τους πίνακες είναι συνέπειες ο ένας του άλλου, επομένως παρακάτω παρουσιάζουμε έναν πίνακα βασικών ολοκληρωμάτων, με τη βοήθεια του οποίου μπορείτε να λάβετε τις τιμές των αόριστων ολοκληρωμάτων διαφόρων συναρτήσεων.

Αναπόσπαστο	Εννοια	Αναπόσπαστο	Εννοια

	lnsinx+ C



	ln

Μέθοδοι ολοκλήρωσης.

Ας εξετάσουμε τρεις βασικές μεθόδους ολοκλήρωσης.

Άμεση ενσωμάτωση.

Η μέθοδος άμεσης ολοκλήρωσης βασίζεται στην υπόθεση της πιθανής τιμής της αντιπαράγωγης συνάρτησης με περαιτέρω επαλήθευση αυτής της τιμής με διαφοροποίηση. Γενικά, σημειώνουμε ότι η διαφοροποίηση είναι ένα ισχυρό εργαλείο για τον έλεγχο των αποτελεσμάτων της ολοκλήρωσης.

Ας δούμε την εφαρμογή αυτής της μεθόδου χρησιμοποιώντας ένα παράδειγμα:

Πρέπει να βρούμε την τιμή του ολοκληρώματος . Με βάση τον γνωστό τύπο διαφοροποίησης
μπορούμε να συμπεράνουμε ότι το αναζητούμενο ολοκλήρωμα είναι ίσο με
, όπου C είναι κάποιος σταθερός αριθμός. Ωστόσο, από την άλλη
. Έτσι, μπορούμε τελικά να συμπεράνουμε:

Σημειώστε ότι, σε αντίθεση με τη διαφοροποίηση, όπου χρησιμοποιήθηκαν σαφείς τεχνικές και μέθοδοι για την εύρεση της παραγώγου, κανόνες για την εύρεση της παραγώγου και, τέλος, τον ορισμό της παραγώγου, τέτοιες μέθοδοι δεν είναι διαθέσιμες για ολοκλήρωση. Αν, κατά την εύρεση του παραγώγου, χρησιμοποιήσαμε, ας πούμε, εποικοδομητικές μεθόδους, οι οποίες, βάσει ορισμένων κανόνων, οδήγησαν στο αποτέλεσμα, τότε κατά την εύρεση του αντιπαραγώγου πρέπει να βασιστούμε κυρίως στη γνώση των πινάκων παραγώγων και αντιπαραγώγων.

Όσον αφορά τη μέθοδο άμεσης ολοκλήρωσης, είναι εφαρμόσιμη μόνο για ορισμένες πολύ περιορισμένες κατηγορίες συναρτήσεων. Υπάρχουν πολύ λίγες συναρτήσεις για τις οποίες μπορείτε να βρείτε αμέσως ένα αντιπαράγωγο. Ως εκ τούτου, στις περισσότερες περιπτώσεις, χρησιμοποιούνται οι μέθοδοι που περιγράφονται παρακάτω.

Μέθοδος αντικατάστασης (αντικατάσταση μεταβλητών).

Θεώρημα: Εάν πρέπει να βρείτε το ολοκλήρωμα
, αλλά είναι δύσκολο να βρεθεί η αντιπαράγωγος, τότε χρησιμοποιώντας την αντικατάσταση x = (t) και dx = (t)dt παίρνουμε:

Απόδειξη : Ας διαφοροποιήσουμε την προτεινόμενη ισότητα:

Σύμφωνα με την ιδιότητα Νο. 2 του αορίστου ολοκληρώματος που συζητήθηκε παραπάνω:

φά(Χ) dx = φά[  (t)]  (t) dt

η οποία, λαμβάνοντας υπόψη τον εισαγόμενο συμβολισμό, είναι η αρχική υπόθεση. Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Παράδειγμα.Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα
.

Ας κάνουμε μια αντικατάσταση t = sinx, dt = cosxdt.

Παράδειγμα.

Αντικατάσταση
Παίρνουμε:

Παρακάτω θα εξετάσουμε άλλα παραδείγματα χρήσης της μεθόδου αντικατάστασης για διάφορους τύπους συναρτήσεων.

Ενσωμάτωση κατά εξαρτήματα.

Η μέθοδος βασίζεται στον γνωστό τύπο για το παράγωγο ενός προϊόντος:

(uv) = uv + vu

όπου u και v είναι μερικές συναρτήσεις του x.

Σε διαφορική μορφή: d(uv) = udv + vdu

Ενσωματώνοντας, παίρνουμε:
, και σύμφωνα με τις παραπάνω ιδιότητες του αορίστου ολοκληρώματος:

ή
;

Έχουμε αποκτήσει έναν τύπο για την ολοκλήρωση ανά μέρη, ο οποίος μας επιτρέπει να βρούμε τα ολοκληρώματα πολλών στοιχειωδών συναρτήσεων.

Παράδειγμα.

Όπως μπορείτε να δείτε, η συνεπής εφαρμογή της φόρμουλας ολοκλήρωσης ανά μέρη σάς επιτρέπει να απλοποιήσετε σταδιακά τη συνάρτηση και να μεταφέρετε το ολοκλήρωμα σε πίνακα.

Παράδειγμα.

Μπορεί να φανεί ότι ως αποτέλεσμα της επαναλαμβανόμενης εφαρμογής της ολοκλήρωσης από μέρη, η συνάρτηση δεν μπορούσε να απλοποιηθεί σε μορφή πίνακα. Ωστόσο, το τελευταίο ολοκλήρωμα που ελήφθη δεν διαφέρει από το αρχικό. Επομένως, το μετακινούμε στην αριστερή πλευρά της ισότητας.

Έτσι, το ολοκλήρωμα βρέθηκε χωρίς να χρησιμοποιηθούν καθόλου πίνακες ολοκληρωμάτων.

Πριν εξετάσουμε λεπτομερώς τις μεθόδους ολοκλήρωσης διαφόρων κατηγοριών συναρτήσεων, δίνουμε πολλά ακόμη παραδείγματα εύρεσης αόριστων ολοκληρωμάτων με την αναγωγή τους σε πίνακα.

Παράδειγμα.

Ολοκλήρωση στοιχειωδών κλασμάτων.

Ορισμός: ΣτοιχειώδηςΤα ακόλουθα τέσσερα είδη κλασμάτων ονομάζονται:

ΕΓΩ.
III.

II.
IV.

m, n – φυσικοί αριθμοί (m  2, n  2) και b 2 – 4ac<0.

Οι δύο πρώτοι τύποι ολοκληρωμάτων στοιχειωδών κλασμάτων μπορούν πολύ απλά να τεθούν στον πίνακα με αντικατάσταση t = ax + b.

Ας εξετάσουμε τη μέθοδο ολοκλήρωσης στοιχειωδών κλασμάτων τύπου III.

Το κλασματικό ολοκλήρωμα του τύπου III μπορεί να αναπαρασταθεί ως:

Εδώ, σε γενική μορφή, φαίνεται η αναγωγή ενός κλασματικού ολοκληρώματος τύπου III σε δύο ολοκληρώματα πίνακα.

Ας δούμε την εφαρμογή του παραπάνω τύπου χρησιμοποιώντας παραδείγματα.

Παράδειγμα.

Σε γενικές γραμμές, εάν το τριώνυμο ax 2 + bx + c έχει την έκφραση b 2 – 4ac >0, τότε το κλάσμα, εξ ορισμού, δεν είναι στοιχειώδες, ωστόσο, μπορεί ωστόσο να ενσωματωθεί με τον τρόπο που υποδεικνύεται παραπάνω.

Παράδειγμα.

Ας εξετάσουμε τώρα μεθόδους για την ολοκλήρωση απλών κλασμάτων τύπου IV.

Αρχικά, ας εξετάσουμε μια ειδική περίπτωση με M = 0, N = 1.

Στη συνέχεια το ολοκλήρωμα της φόρμας
μπορεί να αναπαρασταθεί στη φόρμα επιλέγοντας το πλήρες τετράγωνο στον παρονομαστή
. Ας κάνουμε τον ακόλουθο μετασχηματισμό:

Θα πάρουμε το δεύτερο ολοκλήρωμα που περιλαμβάνεται σε αυτήν την ισότητα ανά μέρη.

Ας υποδηλώσουμε:

Για το αρχικό ολοκλήρωμα λαμβάνουμε:

Ο τύπος που προκύπτει ονομάζεται επαναλαμβανόμενος.Εάν το εφαρμόσετε n-1 φορές, θα έχετε ένα ολοκλήρωμα πίνακα
.

Ας επιστρέψουμε τώρα στο ολοκλήρωμα ενός στοιχειώδους κλάσματος τύπου IV στη γενική περίπτωση.

Στην προκύπτουσα ισότητα, το πρώτο ολοκλήρωμα χρησιμοποιώντας την αντικατάσταση t = u 2 + μικρόανάγονται σε πίνακα , και ο τύπος επανάληψης που συζητήθηκε παραπάνω εφαρμόζεται στο δεύτερο ολοκλήρωμα.

Παρά τη φαινομενική πολυπλοκότητα της ολοκλήρωσης ενός στοιχειώδους κλάσματος τύπου IV, στην πράξη είναι αρκετά εύκολο να χρησιμοποιηθεί για κλάσματα με μικρό βαθμό n, και η καθολικότητα και η γενικότητα της προσέγγισης καθιστά δυνατή μια πολύ απλή εφαρμογή αυτής της μεθόδου σε έναν υπολογιστή.

Παράδειγμα:

Ολοκλήρωση ορθολογικών συναρτήσεων.

Ολοκλήρωση λογικών κλασμάτων.

Για να ενσωματωθεί ένα ορθολογικό κλάσμα, είναι απαραίτητο να το αποσυνθέσουμε σε στοιχειώδη κλάσματα.

Θεώρημα: Αν
- ένα σωστό ορθολογικό κλάσμα, του οποίου ο παρονομαστής P(x) παριστάνεται ως γινόμενο γραμμικών και τετραγωνικών παραγόντων (σημειώστε ότι οποιοδήποτε πολυώνυμο με πραγματικούς συντελεστές μπορεί να αναπαρασταθεί με αυτή τη μορφή: Π(Χ) = (Χ - ένα)  …(Χ - σι)  (Χ 2 + px + q)  …(Χ 2 + rx + μικρό)  ), τότε αυτό το κλάσμα μπορεί να αποσυντεθεί σε στοιχειώδη σύμφωνα με το ακόλουθο σχήμα:

όπου A i, B i, M i, N i, R i, S i είναι κάποιες σταθερές ποσότητες.

Όταν ενσωματώνουν λογικά κλάσματα, καταφεύγουν στην αποσύνθεση του αρχικού κλάσματος σε στοιχειώδη. Για να βρείτε τις ποσότητες A i, B i, M i, N i, R i, S i, τα λεγόμενα μέθοδος αβέβαιων συντελεστών, η ουσία του οποίου είναι ότι για να είναι δύο πολυώνυμα πανομοιότυπα ίσα, είναι απαραίτητο και αρκετό οι συντελεστές στις ίδιες δυνάμεις του x να είναι ίσοι.

Ας εξετάσουμε τη χρήση αυτής της μεθόδου χρησιμοποιώντας ένα συγκεκριμένο παράδειγμα.

Παράδειγμα.

Αναγωγή σε κοινό παρονομαστή και εξισώνοντας τους αντίστοιχους αριθμητές, παίρνουμε:

Παράδειγμα.

Επειδή Εάν το κλάσμα είναι ακατάλληλο, πρέπει πρώτα να επιλέξετε ολόκληρο το τμήμα του:

6x 5 – 8x 4 – 25x 3 + 20x 2 – 76x – 7 3x 3 – 4x 2 – 17x + 6

6x 5 – 8x 4 – 34x 3 + 12x 2 2x 2 + 3

9x 3 + 8x 2 – 76x - 7

9x 3 – 12x 2 – 51x +18

20x 2 – 25x – 25

Ας παραγοντοποιήσουμε τον παρονομαστή του κλάσματος που προκύπτει. Φαίνεται ότι στο x = 3 ο παρονομαστής του κλάσματος γίνεται μηδέν. Επειτα:

3x 3 – 4x 2 – 17x + 6 x - 3

3x 3 – 9x 2 3x 2 + 5x - 2

Άρα 3x 3 – 4x 2 – 17x + 6 = (x – 3)(3x 2 + 5x – 2) = (x – 3)(x + 2)(3x – 1). Επειτα:

Προκειμένου να αποφευχθεί το άνοιγμα αγκύλων, η ομαδοποίηση και η επίλυση ενός συστήματος εξισώσεων (το οποίο σε ορισμένες περιπτώσεις μπορεί να αποδειχθεί αρκετά μεγάλο) κατά την εύρεση αβέβαιων συντελεστών, το λεγόμενο μέθοδος αυθαίρετης τιμής. Η ουσία της μεθόδου είναι ότι αρκετές (ανάλογα με τον αριθμό των απροσδιόριστων συντελεστών) αυθαίρετες τιμές του x αντικαθίστανται στην παραπάνω έκφραση. Για να απλοποιηθούν οι υπολογισμοί, είναι συνηθισμένο να λαμβάνονται ως αυθαίρετες τιμές σημεία στα οποία ο παρονομαστής του κλάσματος είναι ίσος με μηδέν, δηλ. στην περίπτωσή μας – 3, -2, 1/3. Παίρνουμε:

Τελικά παίρνουμε:

Παράδειγμα.

Ας βρούμε τους απροσδιόριστους συντελεστές:

Τότε η τιμή του δεδομένου ολοκληρώματος:

Ενσωμάτωση ορισμένων τριγωνομετρικών

λειτουργίες.

Μπορεί να υπάρχει άπειρος αριθμός ολοκληρωμάτων από τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Τα περισσότερα από αυτά τα ολοκληρώματα δεν μπορούν να υπολογιστούν καθόλου αναλυτικά, επομένως θα εξετάσουμε μερικούς από τους πιο σημαντικούς τύπους συναρτήσεων που μπορούν πάντα να ενσωματωθούν.

Αναπόσπαστο της φόρμας
.

Εδώ το R είναι ο ορισμός κάποιας ορθολογικής συνάρτησης των μεταβλητών sinx και cosx.

Τα ολοκληρώματα αυτού του τύπου υπολογίζονται με χρήση αντικατάστασης
. Αυτή η αντικατάσταση σάς επιτρέπει να μετατρέψετε μια τριγωνομετρική συνάρτηση σε ορθολογική.

Επειτα

Ετσι:

Ο μετασχηματισμός που περιγράφεται παραπάνω ονομάζεται καθολική τριγωνομετρική υποκατάσταση.

Παράδειγμα.

Το αναμφισβήτητο πλεονέκτημα αυτής της αντικατάστασης είναι ότι με τη βοήθειά της μπορείτε πάντα να μετατρέψετε μια τριγωνομετρική συνάρτηση σε ορθολογική και να υπολογίσετε το αντίστοιχο ολοκλήρωμα. Τα μειονεκτήματα περιλαμβάνουν το γεγονός ότι ο μετασχηματισμός μπορεί να οδηγήσει σε μια μάλλον περίπλοκη ορθολογική λειτουργία, η ενσωμάτωση της οποίας θα πάρει πολύ χρόνο και προσπάθεια.

Ωστόσο, εάν είναι αδύνατο να εφαρμοστεί μια πιο ορθολογική αντικατάσταση της μεταβλητής, αυτή η μέθοδος είναι η μόνη αποτελεσματική.

Παράδειγμα.

Αναπόσπαστο της φόρμας
Αν

λειτουργίαRcosx.

Παρά τη δυνατότητα υπολογισμού ενός τέτοιου ολοκληρώματος χρησιμοποιώντας την καθολική τριγωνομετρική αντικατάσταση, είναι πιο λογικό να χρησιμοποιηθεί η αντικατάσταση t = sinx.

Λειτουργία
μπορεί να περιέχει cosx μόνο σε ζυγές δυνάμεις και επομένως μπορεί να μετατραπεί σε ορθολογική συνάρτηση σε σχέση με το sinx.

Παράδειγμα.

Σε γενικές γραμμές, για να εφαρμοστεί αυτή η μέθοδος, είναι απαραίτητη μόνο η περιττότητα της συνάρτησης σε σχέση με το συνημίτονο και ο βαθμός του ημιτόνου που περιλαμβάνεται στη συνάρτηση μπορεί να είναι οποιοσδήποτε, τόσο ακέραιος όσο και κλασματικός.

Αναπόσπαστο της φόρμας
Αν

λειτουργίαRείναι περίεργο σε σχέση μεsinx.

Κατ' αναλογία με την παραπάνω περίπτωση, γίνεται η αντικατάσταση t = cosx.

Παράδειγμα.

Αναπόσπαστο της φόρμας

λειτουργίαRέστω και σχετικάsinxΚαιcosx.

Για να μετατρέψετε τη συνάρτηση R σε ορθολογική, χρησιμοποιήστε την αντικατάσταση

t = tgx.

Παράδειγμα.

Ολοκλήρωμα του γινομένου ημιτόνων και συνημιτόνων

διάφορα επιχειρήματα.

Ανάλογα με το είδος της εργασίας, θα εφαρμοστεί ένας από τους τρεις τύπους:

Παράδειγμα.

Μερικές φορές κατά την ενσωμάτωση τριγωνομετρικών συναρτήσεων είναι βολικό να χρησιμοποιείτε γνωστούς τριγωνομετρικούς τύπους για τη μείωση της σειράς των συναρτήσεων.

Παράδειγμα.

Μερικές φορές χρησιμοποιούνται κάποιες μη τυποποιημένες τεχνικές.

Παράδειγμα.

Ενσωμάτωση κάποιων παράλογων συναρτήσεων.

Δεν μπορεί κάθε παράλογη συνάρτηση να έχει ένα ολοκλήρωμα που εκφράζεται με στοιχειώδεις συναρτήσεις. Για να βρείτε το ολοκλήρωμα μιας παράλογης συνάρτησης, θα πρέπει να χρησιμοποιήσετε μια αντικατάσταση που θα σας επιτρέψει να μετατρέψετε τη συνάρτηση σε ορθολογική, το ολοκλήρωμα της οποίας μπορεί πάντα να βρεθεί, όπως είναι πάντα γνωστό.

Ας δούμε μερικές τεχνικές για την ενσωμάτωση διαφόρων τύπων παράλογων συναρτήσεων.

Αναπόσπαστο της φόρμας
Οπουn- φυσικός αριθμός.

Χρήση αντικατάστασης
η συνάρτηση εξορθολογίζεται.

Παράδειγμα.

Εάν η σύνθεση μιας παράλογης συνάρτησης περιλαμβάνει ρίζες διαφόρων βαθμών, τότε ως νέα μεταβλητή είναι λογικό να λαμβάνεται η ρίζα ενός βαθμού ίσης με το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των βαθμών των ριζών που περιλαμβάνονται στην έκφραση.

Ας το επεξηγήσουμε αυτό με ένα παράδειγμα.

Παράδειγμα.

Ολοκλήρωση διωνυμικών διαφορικών.

Ορισμός. Η μέθοδος ολοκλήρωσης, στην οποία ένα δεδομένο ολοκλήρωμα ανάγεται σε ένα ή περισσότερα ολοκληρώματα πίνακα μέσω πανομοιότυπων μετασχηματισμών του ολοκληρώματος (ή έκφρασης ολοκληρώματος) και εφαρμόζοντας τις ιδιότητες του αόριστου ολοκληρώματος άμεση ενσωμάτωση .

Συχνά, κατά την άμεση ολοκλήρωση, χρησιμοποιούνται οι ακόλουθοι διαφορικοί μετασχηματισμοί (η λειτουργία "εισαγωγή κάτω από το διαφορικό πρόσημο"):

Για παράδειγμα. 1) ;

Κατά τον υπολογισμό αυτών των ολοκληρωμάτων, χρησιμοποιήσαμε τους τύπους 1 και 2 του πίνακα των ολοκληρωμάτων, που δίνεται παρακάτω.

Πίνακας βασικών αόριστων ολοκληρωμάτων.

Μέθοδος ολοκλήρωσης με αντικατάσταση (μεταβλητή αντικατάσταση).

Η μέθοδος ολοκλήρωσης με υποκατάσταση περιλαμβάνει την εισαγωγή μιας νέας μεταβλητής ολοκλήρωσης. Σε αυτήν την περίπτωση, το δεδομένο ολοκλήρωμα ανάγεται σε ένα νέο ολοκλήρωμα, το οποίο είναι πίνακας ή αναγώγιμο σε αυτό.

Αυτή η μέθοδος ολοκλήρωσης βασίζεται στο ακόλουθο θεώρημα:

Θεώρημα.Έστω η συνάρτηση f(x) με τη μορφή: f(x)=g(j(x))×j¢(x), τότε αν το G(u) είναι αντιπαράγωγο για το g(u), τότε το G( Το j( x)) είναι αντιπαράγωγο του g(j(x)). Δηλαδή υπάρχει ισότητα: .

Για παράδειγμα.

Τρόπος ολοκλήρωσης ανά εξαρτήματα.

Η ολοκλήρωση με μέρη αποτελείται από την αναπαράσταση του ολοκληρώματος κάποιου ολοκληρώματος ως γινόμενο δύο παραγόντων u και dv, και στη συνέχεια χρησιμοποιώντας τον τύπο ολοκλήρωσης με μέρη.

ΘεώρημαΈστω οι συναρτήσεις u(x) και v(x) διαφοροποιήσιμες, τότε ισχύει ο τύπος:

Εφόσον u¢(x)dx=du, v¢(x)dx=dv, ο τύπος μπορεί να ξαναγραφτεί ως:

Για παράδειγμα.

Ο τύπος ενσωμάτωσης ανά εξαρτήματα μπορεί να χρησιμοποιηθεί πολλές φορές κατά τη διάρκεια της διαδικασίας επίλυσης.

Για παράδειγμα

Ας μετακινηθούμε από τη δεξιά πλευρά της ισότητας προς τα αριστερά:

Μερικοί τύποι ολοκληρωμάτων που είναι εύκολο να υπολογιστούν χρησιμοποιώντας τη μέθοδο ολοκλήρωσης με μέρη:

; ; , όπου P(x) είναι πολυώνυμο στο x, k είναι ένας ορισμένος αριθμός	u=P(x), dv – άλλοι παράγοντες
; ; ; ;	dv=P(x)dх, u – όλοι οι άλλοι παράγοντες
; , όπου α και β είναι κάποιοι αριθμοί	, dv – άλλοι παράγοντες

Ολοκλήρωση λογικών κλασμάτων.

Ορισμός Λογικός θα ονομάσουμε κλάσματα της μορφής , όπου P n (x), Q m (x) είναι πολυώνυμα της nης και mth βαθμών, αντίστοιχα, στο x. Τα απλούστερα ορθολογικά κλάσματα περιλαμβάνουν κλάσματα τεσσάρων τύπων:

Όπου Α και α είναι μερικοί πραγματικοί αριθμοί, το απλούστερο κλάσμα πρώτατύπος;

– απλό κλάσμα δεύτεροςτύπος;

– απλό κλάσμα τρίτοςτύπος;

– απλό κλάσμα τέταρτοςτύπος.

Ας εξετάσουμε την ολοκλήρωση των κλασμάτων των τριών πρώτων τύπων.

3) Η ολοκλήρωση του απλούστερου κλάσματος του τρίτου τύπου πραγματοποιείται σε δύο στάδια. Ας δούμε τη διαδικασία ολοκλήρωσης χρησιμοποιώντας ένα παράδειγμα.

(επιλέγουμε την παράγωγο του παρονομαστή στον αριθμητή για επόμενη καταχώρηση κάτω από το διαφορικό πρόσημο: (x 2 +2x+3)¢=2x+2)

ΟρισμόςΟρθολογικά κλάσματα λέγονται σωστός αν ο βαθμός του πολυωνύμου στον αριθμητή είναι μικρότερος από τον βαθμό του πολυωνύμου στον παρονομαστή και λανθασμένος αν ο βαθμός του πολυωνύμου στον αριθμητή είναι μεγαλύτερος ή ίσος με τον βαθμό του πολυωνύμου στον παρονομαστή.

Στην περίπτωση ενός ακατάλληλου ορθολογικού κλάσματος, είναι δυνατό να απομονωθεί ολόκληρο το τμήμα. Για να γίνει αυτό, το πολυώνυμο από τον αριθμητή διαιρείται με το υπόλοιπο με το πολυώνυμο στον παρονομαστή. Το προκύπτον πηλίκο θα είναι το ακέραιο μέρος και το υπόλοιπο θα είναι ο αριθμητής του νέου κατάλληλου ορθολογικού κλάσματος. Για παράδειγμα, ας επιλέξουμε ολόκληρο το τμήμα: .

Έτσι, η ολοκλήρωση ορθολογικών κλασμάτων και στις δύο περιπτώσεις καταλήγει στην ολοκλήρωση ενός σωστού ορθολογικού κλάσματος, το οποίο δεν είναι πάντα το απλούστερο ορθολογικό κλάσμα ενός από τους τέσσερις τύπους.

Ας εξετάσουμε κάποιο πολυώνυμο Q(x). Έστω ο αριθμός a η ρίζα αυτού του πολυωνύμου, τότε Q(x)=(x-a)Q 1 (x), όπου το Q 1 (x) είναι ένα πολυώνυμο βαθμού 1 μικρότερο από το βαθμό του Q(x). Ο αριθμός a μπορεί να είναι ρίζα της πολλαπλότητας k, μετά Q(x) = (x-a) έως Q 2 (x), όπου το Q 2 (x) είναι ένα πολυώνυμο βαθμού k μικρότερο από το βαθμό του Q(x). Επιπλέον, το πολυώνυμο Q(x), μαζί με πραγματικές ρίζες, μπορεί να έχει σύνθετη ρίζα a+bi, τότε ο μιγαδικός αριθμός a-bi θα είναι επίσης ρίζα του Q(x). Σε αυτή την περίπτωση, Q(x)=(x2 +px+q)Q 3 (x), όπου x 2 +px+q=(x-(a+bi))(x-(a-bi)). Αν οι υποδεικνυόμενοι μιγαδικοί αριθμοί είναι ρίζες πολλαπλότητας m, τότε Q(x)=(x 2 +px+q) m Q 4 (x).

Έτσι, οποιοδήποτε πολυώνυμο Q(x) μπορεί να αναπαρασταθεί ως:

Q(x)=(x-a 1) έως 1 (x-a 2) έως 2 ...(x-a n) k n (x 2 +p 1 x+q 1) m 1 (x 2 +p 2 x+ q 2) m 2 …(x 2 +p s x+q s) m s.

Θεώρημα.Οποιοδήποτε σωστό ορθολογικό κλάσμα μπορεί να αναπαρασταθεί ως άθροισμα των απλούστερων ορθολογικών κλασμάτων των τύπων 1-4.

Για παράδειγμα.Ας εξετάσουμε έναν αλγόριθμο για την αναπαράσταση ενός σωστού ορθολογικού κλάσματος ως άθροισμα των απλούστερων ορθολογικών κλασμάτων των τύπων 1-4.

Εφόσον οι παρονομαστές των κλασμάτων είναι ίσοι, προφανώς και οι αριθμητές πρέπει να είναι ίσοι, και αυτή η ισότητα είναι δυνατή εάν οι συντελεστές είναι ίσοι για τις ίδιες δυνάμεις του x. Έτσι, αντικαθιστώντας τις τιμές τους αντί για τους απροσδιόριστους συντελεστές A, B, C: .

Για παράδειγμαΒρείτε το ολοκλήρωμα.

Το ολοκλήρωμα είναι ένα ακατάλληλο ορθολογικό κλάσμα. Αφού διαιρέσουμε τον αριθμητή με τον παρονομαστή με το υπόλοιπο παίρνουμε: .

Ας αποσυνθέσουμε ένα σωστό ορθολογικό κλάσμα στα πιο απλά κλάσματα του χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των αόριστων συντελεστών:

Από αυτό προκύπτει ότι λύνοντας το προκύπτον σύστημα γραμμικών εξισώσεων, λαμβάνουμε Τότε , δηλαδή, = ;

Θα το βρούμε ξεχωριστά

Ετσι, .

Ολοκλήρωση τριγωνομετρικών συναρτήσεων.

1. Ας είναι απαραίτητο να βρούμε , όπου R είναι κάποια συνάρτηση

Όταν βρίσκουμε τέτοια ολοκληρώματα, είναι συχνά χρήσιμο να χρησιμοποιείται η καθολική τριγωνομετρική αντικατάσταση: . Με τη βοήθειά του, μπορείτε πάντα να μεταβείτε από το ολοκλήρωμα μιας τριγωνομετρικής συνάρτησης στο ολοκλήρωμα μιας ορθολογικής συνάρτησης:

Х=2arctgt, .

2. Αν η συνάρτηση R(sinx, cosx) είναι περιττή σε σχέση με sinx, δηλαδή R(-sinx, cosx)=- R(sinx, cosx), τότε χρησιμοποιήστε την αντικατάσταση cosx=t;

3. Αν η συνάρτηση R(sinx, cosx) είναι περιττή ως προς το cosx, δηλαδή R(sinx, -cosx)=- R(sinx, cosx), τότε χρησιμοποιήστε την αντικατάσταση sinx=t;

4. Αν η συνάρτηση R(sinx, cosx) είναι άρτια σε σχέση με sinx και cosx, δηλαδή R(-sinx, -cosx)=R(sinx, cosx), τότε χρησιμοποιήστε την αντικατάσταση tgx=t; η ίδια αντικατάσταση ισχύει και στην περίπτωση του .

Για παράδειγμα.

Για παράδειγμαΒρείτε το ολοκλήρωμα. Το ολοκλήρωμα είναι άρτιο ως προς το sinx, τότε χρησιμοποιούμε την αντικατάσταση tgx=t.

5. Για να βρείτε ολοκληρώματα της φόρμας, χρησιμοποιήστε τις ακόλουθες τεχνικές:

α) αν το n είναι ένας περιττός θετικός ακέραιος, τότε χρησιμοποιήστε την αντικατάσταση sinx=t.

β) αν το m είναι περιττός θετικός ακέραιος, τότε χρησιμοποιήστε την αντικατάσταση сosx=t.

γ) εάν τα m και n είναι μη αρνητικοί άρτιοι ακέραιοι, τότε χρησιμοποιούνται τύποι μείωσης τάξης. ; ;

δ) αν m+n είναι άρτιος αρνητικός ακέραιος, τότε χρησιμοποιήστε την αντικατάσταση tgx=t.

Για παράδειγμα. .

Για παράδειγμα.. ; ανάγεται σε ολοκληρώματα τριγωνομετρικών συναρτήσεων χρησιμοποιώντας τις ακόλουθες αντικαταστάσεις:

α) για το ολοκλήρωμα, αντικατάσταση x=a×sint.

β) για το ολοκλήρωμα, αντικατάσταση x=a×tgt;

γ) για το ολοκλήρωμα, αντικατάσταση .

Δεν μπορούμε πάντα να υπολογίσουμε αντιπαράγωγες συναρτήσεις, αλλά το πρόβλημα διαφοροποίησης μπορεί να λυθεί για οποιαδήποτε συνάρτηση. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο δεν υπάρχει ενιαία μέθοδος ολοκλήρωσης που να μπορεί να χρησιμοποιηθεί για οποιοδήποτε τύπο υπολογισμού.

Σε αυτό το υλικό, θα δούμε παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων που σχετίζονται με την εύρεση του αόριστου ολοκληρώματος και θα δούμε για ποιους τύπους ολοκληρωμάτων είναι κατάλληλη κάθε μέθοδος.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Μέθοδος άμεσης ολοκλήρωσης

Η κύρια μέθοδος για τον υπολογισμό της αντιπαράγωγης συνάρτησης είναι η άμεση ολοκλήρωση. Αυτή η ενέργεια βασίζεται στις ιδιότητες του αόριστου ολοκληρώματος και για τους υπολογισμούς χρειαζόμαστε έναν πίνακα αντιπαραγώγων. Άλλες μέθοδοι μπορούν μόνο να βοηθήσουν στη μεταφορά του αρχικού ολοκληρώματος σε μορφή πίνακα.

Παράδειγμα 1

Να υπολογίσετε το σύνολο των αντιπαραγώγων της συνάρτησης f (x) = 2 x + 3 2 · 5 x + 4 3 .

Λύση

Αρχικά, ας αλλάξουμε τη μορφή της συνάρτησης σε f (x) = 2 x + 3 2 5 x + 4 3 = 2 x + 3 2 5 x + 4 1 3.

Γνωρίζουμε ότι το ολοκλήρωμα του αθροίσματος των συναρτήσεων θα είναι ίσο με το άθροισμα αυτών των ολοκληρωμάτων, που σημαίνει:

∫ f (x) d x = ∫ 3 2 5 x + 4 3 = 2 x + 3 2 5 x + 4 1 3 d x = ∫ 3 2 5 x + 4 1 3 d x

Εξάγουμε τον αριθμητικό συντελεστή πίσω από το ολοκλήρωμα:

∫ f (x) d x = ∫ 2 x d x + ∫ 3 2 (5 x + 4) 1 3 d x = = ∫ 2 x d x + 2 3 ∫ (5 x + 4) 1 3 d x

Για να βρούμε το πρώτο ολοκλήρωμα, θα χρειαστεί να ανατρέξουμε στον πίνακα των αντιπαραγώγων. Παίρνουμε από αυτό την τιμή ∫ 2 x d x = 2 x ln 2 + C 1

Για να βρείτε το δεύτερο ολοκλήρωμα, θα χρειαστείτε έναν πίνακα αντιπαραγώγων για τη συνάρτηση ισχύος ∫ x p · d x = x p + 1 p + 1 + C , καθώς και τον κανόνα ∫ f k · x + b d x = 1 k · F (k · x + β) + Γ .

Επομένως, ∫ f (x) d x = ∫ 2 x d x + 3 2 ∫ 5 x + 4 1 3 d x = = 2 x ln 2 + C 1 + 3 2 3 20 (5 x + 4) 4 3 + C 2 = = 2 x ln 2 + 9 40 5 x + 4 4 3 + C

Πήραμε τα εξής:

∫ f (x) d x = ∫ 2 x d x + 3 2 ∫ 5 x + 4 1 3 d x = = 2 x ln 2 + C 1 + 3 2 3 20 (5 x + 4) 4 3 + C 2 = = 2 x ln 2 + 9 40 5 x + 4 4 3 + C

με C = C 1 + 3 2 C 2

Απάντηση:∫ f (x) d x = 2 x ln 2 + 9 40 5 x + 4 4 3 + C

Αφιερώσαμε ένα ξεχωριστό άρθρο στην άμεση ολοκλήρωση χρησιμοποιώντας πίνακες αντιπαραγώγων. Σας συνιστούμε να εξοικειωθείτε με αυτό.

Μέθοδος αντικατάστασης

Αυτή η μέθοδος ολοκλήρωσης συνίσταται στην έκφραση του integrand μέσω μιας νέας μεταβλητής που εισήχθη ειδικά για αυτόν τον σκοπό. Ως αποτέλεσμα, θα πρέπει να έχουμε μια μορφή πίνακα του ολοκληρώματος ή απλά ένα λιγότερο σύνθετο ολοκλήρωμα.

Αυτή η μέθοδος είναι πολύ χρήσιμη όταν χρειάζεται να ενσωματώσετε συναρτήσεις με ρίζες ή τριγωνομετρικές συναρτήσεις.

Παράδειγμα 2

Να αξιολογήσετε το αόριστο ολοκλήρωμα ∫ 1 x 2 x - 9 d x .

Λύση

Ας προσθέσουμε μια ακόμη μεταβλητή z = 2 x - 9 . Τώρα πρέπει να εκφράσουμε το x ως z:

z 2 = 2 x - 9 ⇒ x = z 2 + 9 2 ⇒ d x = d z 2 + 9 2 = z 2 + 9 2 "d z = 1 2 z d z = z d z

∫ d x x 2 x - 9 = ∫ z d z z 2 + 9 2 · z = 2 ∫ d z z 2 + 9

Παίρνουμε τον πίνακα των αντιπαραγώγων και διαπιστώνουμε ότι 2 ∫ d z z 2 + 9 = 2 3 a r c t g z 3 + C .

Τώρα πρέπει να επιστρέψουμε στη μεταβλητή x και να λάβουμε την απάντηση:

2 3 a r c t g z 3 + C = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C

Απάντηση:∫ 1 x 2 x - 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C .

Εάν πρέπει να ενσωματώσουμε συναρτήσεις με ανορθολογισμό της μορφής x m (a + b x n) p, όπου οι τιμές m, n, p είναι ορθολογικοί αριθμοί, τότε είναι σημαντικό να διατυπώσουμε σωστά μια έκφραση για την εισαγωγή μιας νέας μεταβλητής. Διαβάστε περισσότερα για αυτό στο άρθρο για την ενσωμάτωση παράλογων συναρτήσεων.

Όπως είπαμε παραπάνω, η μέθοδος αντικατάστασης είναι βολική στη χρήση όταν χρειάζεται να ενσωματώσετε μια τριγωνομετρική συνάρτηση. Για παράδειγμα, χρησιμοποιώντας μια καθολική αντικατάσταση, μπορείτε να μειώσετε μια έκφραση σε μια κλασματικά ορθολογική μορφή.

Αυτή η μέθοδος εξηγεί τον κανόνα ολοκλήρωσης ∫ f (k · x + b) d x = 1 k · F (k · x + b) + C .

Προσθέτουμε μια άλλη μεταβλητή z = k x + b. Παίρνουμε τα εξής:

x = z k - b k ⇒ d x = d z k - b k = z k - b k " d z = d z k

Τώρα παίρνουμε τις παραστάσεις που προκύπτουν και τις προσθέτουμε στο ολοκλήρωμα που καθορίζεται στη συνθήκη:

∫ f (k x + b) d x = ∫ f (z) d z k = 1 k ∫ f (z) d z = = 1 k F z + C 1 = F (z) k + C 1 k

Εάν δεχθούμε C 1 k = C και επιστρέψουμε στην αρχική μεταβλητή x, τότε παίρνουμε:

F (z) k + C 1 k = 1 k F k x + b + C

Μέθοδος εγγραφής στο διαφορικό πρόσημο

Αυτή η μέθοδος βασίζεται στον μετασχηματισμό του ολοκληρώματος σε συνάρτηση της μορφής f (g (x)) d (g (x)). Μετά από αυτό, πραγματοποιούμε μια αντικατάσταση εισάγοντας μια νέα μεταβλητή z = g (x), βρίσκουμε ένα αντιπαράγωγο για αυτήν και επιστρέφουμε στην αρχική μεταβλητή.

∫ f (g (x)) d (g (x)) = g (x) = z = ∫ f (z) d (z) = = F (z) + C = z = g (x) = F ( g(x)) + C

Για να λύσετε προβλήματα γρηγορότερα χρησιμοποιώντας αυτήν τη μέθοδο, κρατήστε έναν πίνακα παραγώγων με τη μορφή διαφορικών και έναν πίνακα αντιπαραγώγων για να βρείτε την έκφραση στην οποία θα πρέπει να αναχθεί το ολοκλήρωμα.

Ας αναλύσουμε ένα πρόβλημα στο οποίο πρέπει να υπολογίσουμε το σύνολο των αντιπαραγώγων της συνάρτησης συνεφαπτομένης.

Παράδειγμα 3

Να υπολογίσετε το αόριστο ολοκλήρωμα ∫ c t g x d x .

Λύση

Ας μετατρέψουμε την αρχική έκφραση κάτω από το ολοκλήρωμα χρησιμοποιώντας βασικούς τριγωνομετρικούς τύπους.

c t g x d x = cos s d x sin x

Εξετάζουμε τον πίνακα των παραγώγων και βλέπουμε ότι ο αριθμητής μπορεί να υπαχθεί στο διαφορικό πρόσημο cos x d x = d (sin x), που σημαίνει:

c t g x d x = cos x d x sin x = d sin x sin x, δηλ. ∫ c t g x d x = ∫ d sin x sin x .

Ας υποθέσουμε ότι sin x = z, στην περίπτωση αυτή ∫ d sin x sin x = ∫ d z z. Σύμφωνα με τον πίνακα των αντιπαραγώγων, ∫ d z z = ln z + C . Τώρα ας επιστρέψουμε στην αρχική μεταβλητή ∫ d z z = ln z + C = ln sin x + C .

Ολόκληρη η λύση μπορεί να γραφτεί εν συντομία ως εξής:

∫ σ t g x d x = ∫ cos x d x sin x = ∫ d sin x sin x = s i n x = t = = ∫ d t t = ln t + C = t = sin x = ln sin x + C

Απάντηση: ∫ c t g x d x = ln sin x + C

Η μέθοδος εγγραφής στο διαφορικό σήμα χρησιμοποιείται πολύ συχνά στην πράξη, επομένως σας συμβουλεύουμε να διαβάσετε ένα ξεχωριστό άρθρο αφιερωμένο σε αυτό.

Τρόπος ολοκλήρωσης ανά εξαρτήματα

Αυτή η μέθοδος βασίζεται στον μετασχηματισμό του ολοκληρώματος σε γινόμενο της μορφής f (x) d x = u (x) v " x d x = u (x) d (v (x)), μετά τον οποίο ο τύπος ∫ u (x) d ( v (x)) = u (x) · v (x) - ∫ v (x) · d u (x). Αυτή είναι μια πολύ βολική και κοινή μέθοδος λύσης. Μερικές φορές η μερική ολοκλήρωση σε ένα πρόβλημα πρέπει να εφαρμοστεί πολλές φορές πριν επιτύχετε το επιθυμητό αποτέλεσμα.

Ας αναλύσουμε ένα πρόβλημα στο οποίο πρέπει να υπολογίσουμε το σύνολο των αντιπαραγώγων του τόξου.

Παράδειγμα 4

Να υπολογίσετε το αόριστο ολοκλήρωμα ∫ a r c t g (2 x) d x .

Λύση

Ας υποθέσουμε ότι u (x) = a r c t g (2 x), d (v (x)) = d x, σε αυτήν την περίπτωση:

d (u (x)) = u " (x) d x = a r c t g (2 x) " d x = 2 d x 1 + 4 x 2 v (x) = ∫ d (v (x)) = ∫ d x = x

Όταν υπολογίζουμε την τιμή της συνάρτησης v (x), δεν πρέπει να προσθέτουμε αυθαίρετη σταθερά C.

∫ a r c t g (2 x) d x = u (x) v (x) - ∫ v (x) d (u (x)) = = x a r c t g (2 x) - ∫ 2 x d x 1 + 4 x 2

Υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα που προκύπτει χρησιμοποιώντας τη μέθοδο υπαγωγής του διαφορικού πρόσημου.

Αφού ∫ a r c t g (2 x) d x = u (x) · v (x) - ∫ v (x) d (u (x)) = x · a r c t g (2 x) - ∫ 2 x d x 1 + 4 x 2 , τότε 2 x d x = 1 4 d (1 + 4 x 2) .

∫ a r c t g (2 x) d x = x · a r c t g (2 x) - ∫ 2 x d x 1 + 4 x 2 = = x · a r c t g (2 x) - 1 4 ln 1 + 4 x 2 + C 1 = = x · a r c t g (2 x) - 1 4 ln 1 + 4 x 2 + C

Απάντηση:∫ a r c t g (2 x) d x = x · a r c t g (2 x) - 1 4 ln 1 + 4 x 2 + C .

Η κύρια δυσκολία στη χρήση αυτής της μεθόδου είναι η ανάγκη επιλογής ποιο μέρος θα ληφθεί ως διαφορικό και ποιο μέρος ως συνάρτηση u (x). Το άρθρο σχετικά με τη μέθοδο ενσωμάτωσης ανά εξαρτήματα παρέχει μερικές συμβουλές σχετικά με αυτό το θέμα που πρέπει να εξοικειωθείτε.

Εάν χρειάζεται να βρούμε το σύνολο των αντιπαραγώγων μιας κλασματικά ορθολογικής συνάρτησης, τότε πρέπει πρώτα να αναπαραστήσουμε το ολοκλήρωμα ως άθροισμα απλών κλασμάτων και μετά να ενσωματώσουμε τα κλάσματα που προκύπτουν. Για περισσότερες πληροφορίες, ανατρέξτε στο άρθρο σχετικά με την ολοκλήρωση απλών κλασμάτων.

Αν ενσωματώσουμε μια έκφραση ισχύος της μορφής sin 7 x · d x ή d x (x 2 + a 2) 8, τότε θα επωφεληθούμε από τύπους επανάληψης που μπορούν σταδιακά να μειώσουν την ισχύ. Προέρχονται χρησιμοποιώντας διαδοχική επαναλαμβανόμενη ολοκλήρωση ανά μέρη. Συνιστούμε να διαβάσετε το άρθρο «Ενσωμάτωση με χρήση τύπων επανάληψης.

Ας συνοψίσουμε. Για την επίλυση προβλημάτων, είναι πολύ σημαντικό να γνωρίζουμε τη μέθοδο της άμεσης ολοκλήρωσης. Άλλες μέθοδοι (υποκατάσταση, αντικατάσταση, ενσωμάτωση με μέρη) σας επιτρέπουν επίσης να απλοποιήσετε το ολοκλήρωμα και να το φέρετε σε μορφή πίνακα.

Εάν παρατηρήσετε κάποιο σφάλμα στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

$mob_info$