Περιοχή ογκομετρικών σχημάτων. Πώς να υπολογίσετε και να επισημάνετε την περιοχή

Για να λύσετε προβλήματα γεωμετρίας, πρέπει να γνωρίζετε τύπους - όπως το εμβαδόν ενός τριγώνου ή το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου - καθώς και απλές τεχνικές που θα καλύψουμε.

Αρχικά, ας μάθουμε τους τύπους για τις περιοχές των σχημάτων. Τα έχουμε συλλέξει ειδικά σε ένα βολικό τραπέζι. Εκτυπώστε, μάθετε και εφαρμόστε!

Φυσικά, δεν υπάρχουν όλοι οι τύποι γεωμετρίας στον πίνακά μας. Για παράδειγμα, για την επίλυση προβλημάτων γεωμετρίας και στερεομετρίας στο δεύτερο μέρος του προφίλ Unified State Exam στα μαθηματικά, χρησιμοποιούνται άλλοι τύποι για την περιοχή ενός τριγώνου. Θα σας πούμε σίγουρα για αυτούς.

Αλλά τι γίνεται αν δεν πρέπει να βρείτε την περιοχή ενός τραπεζοειδούς ή τριγώνου, αλλά την περιοχή μιας σύνθετης φιγούρας; Υπάρχουν καθολικοί τρόποι! Θα τους δείξουμε χρησιμοποιώντας παραδείγματα από την τράπεζα εργασιών FIPI.

1. Πώς να βρείτε την περιοχή μιας μη τυπικής φιγούρας; Για παράδειγμα, ένα αυθαίρετο τετράπλευρο; Μια απλή τεχνική - ας διαιρέσουμε αυτό το σχήμα σε εκείνα για τα οποία γνωρίζουμε τα πάντα και ας βρούμε το εμβαδόν του - ως το άθροισμα των εμβαδών αυτών των σχημάτων.

Διαιρέστε αυτό το τετράπλευρο με μια οριζόντια γραμμή σε δύο τρίγωνα με κοινή βάση ίση με . Τα ύψη αυτών των τριγώνων είναι ίσα με και . Τότε το εμβαδόν του τετράπλευρου είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των δύο τριγώνων: .

Απάντηση: .

2. Σε ορισμένες περιπτώσεις, το εμβαδόν ενός σχήματος μπορεί να αναπαρασταθεί ως η διαφορά ορισμένων περιοχών.

Δεν είναι τόσο εύκολο να υπολογίσεις με τι ισούται η βάση και το ύψος αυτού του τριγώνου! Μπορούμε όμως να πούμε ότι το εμβαδόν του είναι ίσο με τη διαφορά μεταξύ των εμβαδών ενός τετραγώνου με πλευρά και τρία ορθογώνια τρίγωνα. Τους βλέπετε στην εικόνα; Παίρνουμε: .

Απάντηση: .

3. Μερικές φορές σε μια εργασία πρέπει να βρείτε την περιοχή όχι ολόκληρης της φιγούρας, αλλά μέρος της. Συνήθως μιλάμε για το εμβαδόν ενός τομέα - μέρος ενός κύκλου Βρείτε το εμβαδόν ενός τομέα ενός κύκλου ακτίνας του οποίου το μήκος τόξου είναι ίσο με .

Σε αυτή την εικόνα βλέπουμε μέρος ενός κύκλου. Το εμβαδόν ολόκληρου του κύκλου είναι ίσο με . Απομένει να μάθουμε ποιο μέρος του κύκλου απεικονίζεται. Δεδομένου ότι το μήκος ολόκληρου του κύκλου είναι ίσο (από ), και το μήκος του τόξου ενός δεδομένου τομέα είναι ίσο με , επομένως, το μήκος του τόξου είναι αρκετές φορές μικρότερο από το μήκος ολόκληρου του κύκλου. Η γωνία στην οποία στηρίζεται αυτό το τόξο είναι επίσης ένας παράγοντας μικρότερος από έναν πλήρη κύκλο (δηλαδή μοίρες). Αυτό σημαίνει ότι η περιοχή του τομέα θα είναι αρκετές φορές μικρότερη από την περιοχή ολόκληρου του κύκλου.

τετράγωνο γεωμετρικό σχήμα - ένα αριθμητικό χαρακτηριστικό ενός γεωμετρικού σχήματος που δείχνει το μέγεθος αυτού του σχήματος (τμήμα της επιφάνειας που περιορίζεται από το κλειστό περίγραμμα αυτού του σχήματος). Το μέγεθος του εμβαδού εκφράζεται με τον αριθμό των τετραγωνικών μονάδων που περιέχονται σε αυτό.

Τύποι τριγωνικού εμβαδού

1. Τύπος για το εμβαδόν ενός τριγώνου δίπλα και το ύψος
   Εμβαδόν τριγώνουίσο με το μισό γινόμενο του μήκους μιας πλευράς ενός τριγώνου και του μήκους του υψομέτρου που τραβιέται σε αυτήν την πλευρά
   
2. Τύπος για το εμβαδόν ενός τριγώνου που βασίζεται σε τρεις πλευρές και την ακτίνα του κυκλικού κύκλου
   
3. Τύπος για το εμβαδόν ενός τριγώνου που βασίζεται σε τρεις πλευρές και την ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου
   Εμβαδόν τριγώνουισούται με το γινόμενο της ημιπεριμέτρου του τριγώνου και της ακτίνας του εγγεγραμμένου κύκλου.
   
όπου S είναι το εμβαδόν του τριγώνου,
- τα μήκη των πλευρών του τριγώνου,
- ύψος του τριγώνου,
- η γωνία μεταξύ των πλευρών και,
- ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου,
R - ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου,

Τύποι τετραγωνικού εμβαδού

1. Τύπος για το εμβαδόν ενός τετραγώνου κατά μήκος της πλευράς
   Τετράγωνη έκτασηίσο με το τετράγωνο του μήκους της πλευράς του.
2. Τύπος για το εμβαδόν ενός τετραγώνου κατά μήκος της διαγώνιας
   Τετράγωνη έκτασηίσο με το μισό του τετραγώνου του μήκους της διαγωνίου του.
   

   S=	1	2
   	2

όπου S είναι το εμβαδόν του τετραγώνου,
- μήκος της πλευράς του τετραγώνου,
- μήκος της διαγωνίου του τετραγώνου.

Τύπος ορθογώνιου εμβαδού

Εμβαδόν ορθογωνίουίσο με το γινόμενο των μηκών των δύο διπλανών πλευρών του

όπου S είναι το εμβαδόν του ορθογωνίου,
- μήκη των πλευρών του ορθογωνίου.

Τύποι εμβαδού παραλληλογράμμου

1. Τύπος για το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου με βάση το μήκος και το ύψος της πλευράς
   Εμβαδόν παραλληλογράμμου
2. Τύπος για το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου με βάση δύο πλευρές και τη γωνία μεταξύ τους
   Εμβαδόν παραλληλογράμμουισούται με το γινόμενο των μηκών των πλευρών του πολλαπλασιασμένο με το ημίτονο της μεταξύ τους γωνίας.
   

   a b sin α

όπου S είναι το εμβαδόν του παραλληλογράμμου,
- τα μήκη των πλευρών του παραλληλογράμμου,
- μήκος παραλληλογράμμου ύψους,
- η γωνία μεταξύ των πλευρών του παραλληλογράμμου.

Τύποι για την περιοχή ενός ρόμβου

1. Τύπος για το εμβαδόν ενός ρόμβου με βάση το μήκος και το ύψος της πλευράς
   Περιοχή ρόμβουίσο με το γινόμενο του μήκους της πλευράς του και το μήκος του ύψους που έχει χαμηλώσει σε αυτήν την πλευρά.
2. Τύπος για το εμβαδόν ενός ρόμβου με βάση το μήκος και τη γωνία της πλευράς
   Περιοχή ρόμβουείναι ίσο με το γινόμενο του τετραγώνου του μήκους της πλευράς του και του ημιτόνου της γωνίας μεταξύ των πλευρών του ρόμβου.
3. Τύπος για το εμβαδόν ενός ρόμβου με βάση τα μήκη των διαγωνίων του
   Περιοχή ρόμβουίσο με το μισό του γινόμενου των μηκών των διαγωνίων του.
όπου S είναι το εμβαδόν του ρόμβου,
- μήκος της πλευράς του ρόμβου,
- μήκος του ύψους του ρόμβου,
- η γωνία μεταξύ των πλευρών του ρόμβου,
1, 2 - μήκη διαγωνίων.

Τύποι τραπεζοειδούς περιοχής

1. Ο τύπος του Heron για το τραπεζοειδές

   Όπου S είναι το εμβαδόν του τραπεζοειδούς,
   - τα μήκη των βάσεων του τραπεζοειδούς,
   - μήκη των πλευρών του τραπεζοειδούς,
   

Μπορείτε να βρείτε πάνω από 10 τύπους για τον υπολογισμό του εμβαδού ενός τριγώνου στο Διαδίκτυο. Πολλοί από αυτούς χρησιμοποιούνται σε προβλήματα με γνωστές πλευρές και γωνίες του τριγώνου. Ωστόσο, υπάρχει ένας αριθμός σύνθετων παραδειγμάτων όπου, σύμφωνα με τις συνθήκες της ανάθεσης, είναι γνωστές μόνο η μία πλευρά και οι γωνίες ενός τριγώνου ή η ακτίνα ενός περιγεγραμμένου ή εγγεγραμμένου κύκλου και ένα ακόμη χαρακτηριστικό. Σε τέτοιες περιπτώσεις, δεν μπορεί να εφαρμοστεί ένας απλός τύπος.

Οι τύποι που δίνονται παρακάτω θα σας επιτρέψουν να λύσετε το 95 τοις εκατό των προβλημάτων στα οποία πρέπει να βρείτε το εμβαδόν ενός τριγώνου.
Ας προχωρήσουμε στην εξέταση των τύπων κοινής περιοχής.
Θεωρήστε το τρίγωνο που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα

Στο σχήμα και παρακάτω στους τύπους, εισάγονται οι κλασικοί χαρακτηρισμοί όλων των χαρακτηριστικών του.
a,b,c – πλευρές του τριγώνου,
R – ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου,
r – ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου,
h[b],h[a],h[c] – ύψη σχεδιασμένα σύμφωνα με τις πλευρές a,b,c.
άλφα, βήτα, χαμά – γωνίες κοντά στις κορυφές.

Βασικοί τύποι για το εμβαδόν ενός τριγώνου

1. Το εμβαδόν είναι ίσο με το μισό του γινόμενου της πλευράς του τριγώνου και του ύψους που έχει χαμηλώσει σε αυτήν την πλευρά. Στη γλώσσα των τύπων, αυτός ο ορισμός μπορεί να γραφτεί ως εξής

Έτσι, αν είναι γνωστά η πλευρά και το ύψος, τότε κάθε μαθητής θα βρει την περιοχή.
Παρεμπιπτόντως, από αυτόν τον τύπο μπορεί κανείς να αντλήσει μια χρήσιμη σχέση μεταξύ των υψών

2. Αν λάβουμε υπόψη ότι το ύψος ενός τριγώνου διαμέσου της διπλανής πλευράς εκφράζεται με την εξάρτηση

Στη συνέχεια, ο πρώτος τύπος περιοχής ακολουθείται από τον δεύτερο του ίδιου τύπου

Κοιτάξτε προσεκτικά τους τύπους - είναι εύκολο να θυμάστε, καθώς η εργασία περιλαμβάνει δύο πλευρές και τη γωνία μεταξύ τους. Αν προσδιορίσουμε σωστά τις πλευρές και τις γωνίες του τριγώνου (όπως στο παραπάνω σχήμα), θα πάρουμε δύο πλευρές α, β και η γωνία συνδέεται με την τρίτηΜε (χαμά).

3. Για τις γωνίες ενός τριγώνου η σχέση είναι αληθής

Η εξάρτηση σάς επιτρέπει να χρησιμοποιείτε τους ακόλουθους τύπους για το εμβαδόν ενός τριγώνου στους υπολογισμούς:

Παραδείγματα αυτής της εξάρτησης είναι εξαιρετικά σπάνια, αλλά πρέπει να θυμάστε ότι υπάρχει ένας τέτοιος τύπος.

4. Αν η πλευρά και οι δύο παρακείμενες γωνίες είναι γνωστές, τότε το εμβαδόν βρίσκεται από τον τύπο

5. Ο τύπος για το εμβαδόν ως προς την πλευρά και την συνεφαπτομένη γειτονικών γωνιών έχει ως εξής

Με την αναδιάταξη των ευρετηρίων μπορείτε να λάβετε εξαρτήσεις για άλλα μέρη.

6. Ο παρακάτω τύπος εμβαδού χρησιμοποιείται σε προβλήματα όταν οι κορυφές ενός τριγώνου καθορίζονται στο επίπεδο με συντεταγμένες. Σε αυτήν την περίπτωση, το εμβαδόν είναι ίσο με το μισό της ορίζουσας που λαμβάνεται.

7. Η φόρμουλα του Heronχρησιμοποιείται σε παραδείγματα με γνωστές πλευρές τριγώνου.
Βρείτε πρώτα την ημιπερίμετρο του τριγώνου

Στη συνέχεια, προσδιορίστε την περιοχή χρησιμοποιώντας τον τύπο

ή

Χρησιμοποιείται αρκετά συχνά στον κώδικα των προγραμμάτων αριθμομηχανής.

8. Αν είναι γνωστά όλα τα ύψη του τριγώνου, τότε το εμβαδόν καθορίζεται από τον τύπο

Είναι δύσκολο να υπολογιστεί σε μια αριθμομηχανή, αλλά στα πακέτα MathCad, Mathematica, Maple η περιοχή είναι "χρόνος δύο".

9. Οι παρακάτω τύποι χρησιμοποιούν τις γνωστές ακτίνες εγγεγραμμένων και περιγεγραμμένων κύκλων.

Συγκεκριμένα, εάν η ακτίνα και οι πλευρές του τριγώνου ή η περίμετρός του είναι γνωστές, τότε το εμβαδόν υπολογίζεται σύμφωνα με τον τύπο

10. Σε παραδείγματα όπου δίνονται οι πλευρές και η ακτίνα ή η διάμετρος του περιγεγραμμένου κύκλου, η περιοχή βρίσκεται χρησιμοποιώντας τον τύπο

11. Ο παρακάτω τύπος καθορίζει το εμβαδόν ενός τριγώνου ως προς την πλευρά και τις γωνίες του τριγώνου.

Και τέλος - ειδικές περιπτώσεις:
Εμβαδόν ορθογωνίου τριγώνουμε σκέλη α και β ίσα με το μισό γινόμενο τους

Τύπος για το εμβαδόν ενός ισόπλευρου (κανονικού) τριγώνου=

= το ένα τέταρτο του γινομένου του τετραγώνου της πλευράς και της ρίζας των τριών.

Εάν σκοπεύετε να κάνετε επισκευές μόνοι σας, τότε θα χρειαστεί να συντάξετε μια εκτίμηση για την κατασκευή και υλικά φινιρίσματος. Για να γίνει αυτό, θα πρέπει να υπολογίσετε την περιοχή του δωματίου στο οποίο σκοπεύετε να πραγματοποιήσετε εργασίες ανακαίνισης. Ο κύριος βοηθός σε αυτό είναι μια ειδικά αναπτυγμένη φόρμουλα. Η περιοχή του δωματίου, δηλαδή ο υπολογισμός του, θα σας επιτρέψει να εξοικονομήσετε πολλά χρήματα οικοδομικά υλικάκαι να κατευθύνουν τους αποδεσμευθέντες οικονομικούς πόρους σε πιο κατάλληλη κατεύθυνση.

Γεωμετρικό σχήμα του δωματίου

Ο τύπος για τον υπολογισμό της επιφάνειας ενός δωματίου εξαρτάται άμεσα από το σχήμα του. Τα πιο χαρακτηριστικά για τα οικιακά κτίρια είναι τα ορθογώνια και τετράγωνα δωμάτια. Ωστόσο, κατά την ανάπλαση, η τυπική φόρμα μπορεί να παραμορφωθεί. Τα δωμάτια είναι:

• Ορθογώνιος.
• Τετράγωνο.
• Σύνθετη διαμόρφωση (για παράδειγμα, στρογγυλή).
• Με κόγχες και προβολές.

Κάθε ένα από αυτά έχει τα δικά του χαρακτηριστικά υπολογισμού, αλλά, κατά κανόνα, χρησιμοποιείται ο ίδιος τύπος. Η περιοχή ενός δωματίου οποιουδήποτε σχήματος και μεγέθους, με τον ένα ή τον άλλο τρόπο, μπορεί να υπολογιστεί.

Ορθογώνιο ή τετράγωνο δωμάτιο

Για να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός ορθογώνιου ή τετράγωνου δωματίου, απλώς θυμηθείτε τα μαθήματα γεωμετρίας του σχολείου σας. Επομένως, δεν θα πρέπει να είναι δύσκολο για εσάς να προσδιορίσετε την περιοχή του δωματίου. Ο τύπος υπολογισμού μοιάζει με:

S δωμάτια=A*B, όπου

Α είναι το μήκος του δωματίου.

B είναι το πλάτος του δωματίου.

Για να μετρήσετε αυτές τις τιμές θα χρειαστείτε μια κανονική μεζούρα. Για να έχετε τους πιο ακριβείς υπολογισμούς, αξίζει να μετρήσετε τον τοίχο και στις δύο πλευρές. Εάν οι τιμές δεν συμφωνούν, λάβετε ως βάση τον μέσο όρο των δεδομένων που προκύπτουν. Αλλά να θυμάστε ότι οποιοιδήποτε υπολογισμοί έχουν τα δικά τους σφάλματα, επομένως το υλικό πρέπει να αγοραστεί με αποθεματικό.

Ένα δωμάτιο με πολύπλοκη διαμόρφωση

Εάν το δωμάτιό σας δεν ταιριάζει με τον ορισμό του «τυπικού», π.χ. έχει σχήμα κύκλου, τριγώνου, πολυγώνου, τότε μπορεί να χρειαστείτε διαφορετικό τύπο για τους υπολογισμούς. Μπορείτε να προσπαθήσετε να διαιρέσετε κατά προσέγγιση την περιοχή ενός δωματίου με αυτό το χαρακτηριστικό σε ορθογώνια στοιχεία και να κάνετε υπολογισμούς χρησιμοποιώντας την τυπική μέθοδο. Εάν δεν έχετε αυτήν την ευκαιρία, χρησιμοποιήστε τις ακόλουθες μεθόδους:

• Τύπος εύρεσης του εμβαδού ενός κύκλου:

S room=π*R 2, όπου

R είναι η ακτίνα του δωματίου.

• Τύπος εύρεσης του εμβαδού ενός τριγώνου:

S δωμάτιο = √ (P(P - A) x (P - B) x (P - C)), όπου

P είναι η ημιπερίμετρος του τριγώνου.

Α, Β, Γ είναι τα μήκη των πλευρών του.

Επομένως P=A+B+C/2

Εάν έχετε οποιεσδήποτε δυσκολίες κατά τη διαδικασία υπολογισμού, τότε είναι καλύτερα να μην βασανίζετε τον εαυτό σας και να απευθυνθείτε σε επαγγελματίες.

Περιοχή του δωματίου με προβολές και κόγχες

Συχνά οι τοίχοι είναι διακοσμημένοι με διακοσμητικά στοιχεία με τη μορφή διαφόρων κόγχων ή προεξοχών. Επίσης, η παρουσία τους μπορεί να οφείλεται στην ανάγκη να κρύψετε κάποια αντιαισθητικά στοιχεία του δωματίου σας. Η παρουσία προεξοχών ή κόγχων στον τοίχο σας σημαίνει ότι ο υπολογισμός πρέπει να πραγματοποιείται σταδιακά. Εκείνοι. Αρχικά, βρίσκεται η περιοχή ενός επίπεδου τμήματος του τοίχου και στη συνέχεια προστίθεται η περιοχή της κόγχης ή της προεξοχής.

Η περιοχή του τοίχου βρίσκεται με τον τύπο:

S τοίχοι = P x C, όπου

P - περίμετρος

Γ - ύψος

Πρέπει επίσης να λάβετε υπόψη την παρουσία παραθύρων και θυρών. Το εμβαδόν τους πρέπει να αφαιρεθεί από την τιμή που προκύπτει.

Δωμάτιο με οροφή πολλαπλών επιπέδων

Ένα ανώτατο όριο πολλαπλών επιπέδων δεν περιπλέκει τους υπολογισμούς όσο φαίνεται με την πρώτη ματιά. Εάν έχει απλό σχεδιασμό, τότε οι υπολογισμοί μπορούν να γίνουν με βάση την αρχή της εύρεσης της περιοχής των τοίχων που περιπλέκονται από κόγχες και προβολές.

Ωστόσο, εάν το σχέδιο της οροφής σας έχει τοξωτά και κυματοειδή στοιχεία, τότε είναι πιο κατάλληλο να προσδιορίσετε την έκτασή του χρησιμοποιώντας την επιφάνεια του δαπέδου. Για να το κάνετε αυτό χρειάζεστε:

1. Βρείτε τις διαστάσεις όλων των ευθύγραμμων τμημάτων των τοίχων.
2. Βρείτε την περιοχή του δαπέδου.
3. Πολλαπλασιάστε το μήκος και το ύψος των κάθετων τμημάτων.
4. Αθροίστε την προκύπτουσα τιμή με την επιφάνεια του δαπέδου.

Βήμα προς βήμα οδηγίες για τον προσδιορισμό του γενικού

χώρο δωματίου

1. Καθαρίστε το δωμάτιο από περιττά πράγματα. Κατά τη διαδικασία μέτρησης θα χρειαστείτε Ελεύθερη πρόσβασησε όλους τους χώρους του δωματίου σας, επομένως πρέπει να απαλλαγείτε από οτιδήποτε μπορεί να παρεμβαίνει σε αυτό.
2. Διαχωρίστε οπτικά το δωμάτιο σε περιοχές κανονικού και ακανόνιστου σχήματος. Εάν το δωμάτιό σας έχει αυστηρά τετράγωνο ή ορθογώνιο σχήμα, τότε μπορείτε να παραλείψετε αυτό το βήμα.
3. Κάντε μια τυχαία διάταξη του δωματίου. Αυτό το σχέδιο είναι απαραίτητο ώστε όλα τα δεδομένα να είναι πάντα διαθέσιμα. Επίσης, δεν θα σας δώσει την ευκαιρία να μπερδευτείτε σε πολλές μετρήσεις.
4. Οι μετρήσεις πρέπει να γίνονται πολλές φορές. Αυτό σημαντικός κανόναςγια την εξάλειψη σφαλμάτων στους υπολογισμούς. Επίσης, εάν το χρησιμοποιείτε, βεβαιωθείτε ότι η δοκός βρίσκεται επίπεδη στην επιφάνεια του τοίχου.
5. Βρείτε τη συνολική επιφάνεια του δωματίου. Ο τύπος για τη συνολική επιφάνεια ενός δωματίου είναι να βρείτε το άθροισμα όλων των περιοχών των επιμέρους τμημάτων του δωματίου. Εκείνοι. S σύνολο = S τοίχοι+S δάπεδο+S οροφή