La présence d'une progression arithmétique dans les équations aux différences. Comment trouver la différence d'une progression arithmétique

Le thème « progression arithmétique » est étudié dans le cours d'algèbre générale dans les écoles de 9e année. Ce sujet est important pour une étude plus approfondie des mathématiques des séries de nombres. Dans cet article, nous nous familiariserons avec la progression arithmétique, ses différences, ainsi que les problèmes typiques que peuvent rencontrer les écoliers.

Le concept de progression algébrique

Une progression numérique est une séquence de nombres dans laquelle chaque élément suivant peut être obtenu à partir du précédent si nous appliquons une loi mathématique. Il y en a deux connus les simples progression : géométrique et arithmétique, également appelée algébrique. Regardons cela plus en détail.

Imaginons un nombre rationnel, désignons-le par le symbole a 1, où l'index indique son numéro de série dans la série considérée. Ajoutons un autre nombre à un 1 et appelons-le d. Alors le deuxième élément de la série peut se refléter comme suit : a 2 = a 1 + d. Maintenant, ajoutez à nouveau d, nous obtenons : a 3 = a 2 +d. En poursuivant cette opération mathématique, vous pouvez obtenir toute une série de nombres, que l'on appellera une progression arithmétique.

Comme on peut le comprendre de ce qui précède, pour trouver le nième élément de cette séquence, vous devez utiliser la formule : a n = a 1 + (n-1)*d. En effet, en substituant n=1 dans l'expression, nous obtenons a 1 = a 1, si n = 2, alors la formule suit : a 2 = a 1 + 1*d, et ainsi de suite.

Par exemple, si la différence de la progression arithmétique est 5 et que a 1 = 1, alors cela signifie que la série de nombres du type en question a la forme : 1, 6, 11, 16, 21, ... Comme vous Comme on peut le voir, chacun de ses membres est 5 de plus que le précédent.

Formules de différence de progression arithmétique

De la définition ci-dessus de la série de nombres considérée, il s'ensuit que pour la définir, vous devez connaître deux nombres : a 1 et d. Cette dernière est appelée la différence de cette progression. Il détermine de manière unique le comportement de toute la série. En effet, si d est positif, alors la série de nombres augmentera constamment ; au contraire, si d est négatif, les nombres de la série n'augmenteront qu'en valeur absolue, tandis que leur valeur absolue diminuera avec l'augmentation du nombre n.

Quelle est la différence entre la progression arithmétique ? Considérons deux formules de base utilisées pour calculer cette valeur :

d = a n+1 -a n, cette formule découle directement de la définition de la série de nombres considérée.
d = (-a 1 +a n)/(n-1), cette expression est obtenue si l'on exprime d à partir de la formule donnée dans le paragraphe précédent de l'article. Notez que cette expression devient indéfinie (0/0) si n=1. Cela est dû au fait qu'il est nécessaire de connaître au moins 2 éléments de la série afin de déterminer sa différence.

Ces deux formules de base sont utilisées pour résoudre tout problème impliquant la recherche de la différence d'une progression. Cependant, il existe une autre formule que vous devez également connaître.

Somme des premiers éléments

La formule avec laquelle vous pouvez déterminer la somme d'un nombre quelconque de termes d'une progression algébrique, selon des preuves historiques, a été obtenue pour la première fois par le « prince » des mathématiques au XVIIIe siècle, Carl Gauss. Le scientifique allemand, alors qu'il était encore un garçon école primaireécole du village, a remarqué que pour additionner des nombres naturels dans la série de 1 à 100, il faut d'abord additionner le premier élément et le dernier (la valeur résultante sera égale à la somme de l'avant-dernier et du deuxième, de l'avant-dernier et du troisième éléments, et ainsi de suite), puis ce nombre doit être multiplié par le nombre de ces montants, c'est-à-dire par 50.

La formule, qui reflète le résultat énoncé à l'aide d'un exemple particulier, peut être généralisée à un cas arbitraire. Cela ressemblera à : S n = n/2*(a n +a 1). A noter que pour trouver la valeur indiquée, la connaissance de la différence d n'est pas requise si deux termes de la progression sont connus (a n et a 1).

Exemple n°1. Déterminer la différence, connaissant deux termes de la série a1 et an

Nous allons vous montrer comment appliquer les formules mentionnées ci-dessus dans l'article. Donnons un exemple simple : la différence de la progression arithmétique est inconnue, il faut déterminer à quoi elle sera égale si un 13 = -5,6 et un 1 = -12,1.

Puisque nous connaissons les valeurs de deux éléments d'une séquence de nombres et que l'un d'eux est le premier nombre, nous pouvons utiliser la formule n° 2 pour déterminer la différence d. On a : d =(-1*(-12.1)+(-5.6))/12 = 0.54167. Dans l’expression, nous avons utilisé la valeur n=13, puisque le terme avec ce numéro ordinal particulier est connu.

La différence qui en résulte indique que la progression augmente, malgré le fait que les éléments donnés dans l'énoncé du problème ont Sens négatif. On peut voir que a 13 >a 1, bien que |a 13 |<|a 1 |.

Exemple n°2. Termes positifs de la progression dans l'exemple n°1

Utilisons le résultat obtenu dans l'exemple précédent pour résoudre un nouveau problème. Il est formulé ainsi : à partir de quel numéro d'ordre les éléments de la progression de l'exemple n°1 commenceront-ils à prendre des valeurs positives ?

Comme nous l'avons montré, la progression dans laquelle a 1 = -12,1 et d = 0,54167 augmente, donc à partir d'un certain nombre les nombres commenceront à prendre uniquement des valeurs positives. Pour déterminer ce nombre n, il faut résoudre une inégalité simple, qui s'écrit mathématiquement comme suit : a n >0 ou, à l'aide de la formule appropriée, on réécrit l'inégalité : a 1 + (n-1)*d>0. Il faut trouver l'inconnue n, exprimons-la : n>-1*a 1 /d + 1. Reste maintenant à substituer valeurs connues différence et le premier terme de la suite. On obtient : n>-1*(-12.1) /0.54167 + 1= 23.338 ou n>23.338. Puisque n ne peut prendre que des valeurs entières, il résulte de l’inégalité résultante que tous les termes de la série ayant un nombre supérieur à 23 seront positifs.

Vérifions la réponse que nous avons reçue en utilisant la formule ci-dessus pour calculer les 23ème et 24ème éléments de cette progression arithmétique. On a : a 23 = -12,1 + 22*0,54167 = -0,18326 (nombre négatif) ; une 24 =-12,1 + 23*0,54167 =0,3584 ( valeur positive). Ainsi, le résultat obtenu est correct : à partir de n=24, tous les membres de la série de nombres seront supérieurs à zéro.

Exemple n°3. Combien de bûches peuvent contenir ?

Présentons un problème intéressant : lors de l'exploitation forestière, il a été décidé d'empiler les grumes sciées les unes sur les autres comme le montre la figure ci-dessous. Combien de bûches peuvent être empilées de cette manière, sachant qu'un total de 10 lignes peuvent tenir ?

Une chose intéressante peut être remarquée dans cette méthode de pliage des journaux : chaque ligne suivante contiendra un journal de moins que le précédent, c'est-à-dire qu'une progression algébrique a lieu dont la différence est d = 1. En supposant que le nombre de journaux dans chaque ligne fait partie de cette progression, et en tenant également compte du fait que a 1 = 1 (un seul journal tiendra tout en haut), nous trouvons le nombre a 10. Nous avons : a 10 = 1 + 1*(10-1) = 10. Autrement dit, dans la 10ème rangée, qui repose sur le sol, il y aura 10 bûches.

La somme totale de cette structure « pyramidale » peut être obtenue en utilisant la formule de Gauss. On obtient : S 10 = 10/2*(10+1) = 55 logs.

Lorsqu'on étudie l'algèbre en lycée(9e année) l'un des sujets importants est l'étude des suites de nombres, qui incluent des progressions - géométriques et arithmétiques. Dans cet article, nous examinerons une progression arithmétique et des exemples de solutions.

Qu'est-ce qu'une progression arithmétique ?

Pour comprendre cela, il est nécessaire de définir la progression en question, ainsi que de fournir les formules de base qui seront utilisées plus tard pour résoudre les problèmes.

L'arithmétique ou est un ensemble de nombres rationnels ordonnés, dont chaque membre diffère du précédent par une valeur constante. Cette valeur est appelée la différence. Autrement dit, connaissant n'importe quel membre d'une série ordonnée de nombres et la différence, vous pouvez restaurer toute la progression arithmétique.

Donnons un exemple. La séquence de nombres suivante sera une progression arithmétique : 4, 8, 12, 16, ..., puisque la différence dans ce cas est de 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Mais l'ensemble des nombres 3, 5, 8, 12, 17 ne peut plus être attribué au type de progression considéré, puisque la différence pour lui n'est pas une valeur constante (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17-12).

Formules importantes

Présentons maintenant les formules de base qui seront nécessaires pour résoudre des problèmes utilisant la progression arithmétique. Désignons par le symbole a n nième mandat séquences où n est un entier. Nous désignons la différence par la lettre latine d. Alors les expressions suivantes sont valides :

Pour déterminer la valeur du nième terme, la formule suivante convient : a n = (n-1)*d+a 1 .
Pour déterminer la somme des n premiers termes : S n = (a n +a 1)*n/2.

Pour comprendre d'éventuels exemples de progression arithmétique avec solutions en 9e année, il suffit de retenir ces deux formules, puisque tout problème du type considéré repose sur leur utilisation. N'oubliez pas non plus que la différence de progression est déterminée par la formule : d = a n - a n-1.

Exemple n°1 : trouver un membre inconnu

Donnons un exemple simple d'une progression arithmétique et les formules qui doivent être utilisées pour la résoudre.

Soit la séquence 10, 8, 6, 4, ..., vous devez y trouver cinq termes.

Des conditions du problème, il résulte déjà que les 4 premiers termes sont connus. Le cinquième peut être défini de deux manières :

Calculons d'abord la différence. On a : d = 8 - 10 = -2. De même, vous pouvez emmener deux autres membres l’un à côté de l’autre. Par exemple, d = 4 - 6 = -2. Puisqu'on sait que d = a n - a n-1, alors d = a 5 - a 4, d'où on obtient : a 5 = a 4 + d. On substitue les valeurs connues : a 5 = 4 + (-2) = 2.
La deuxième méthode nécessite également de connaître la différence de progression en question, il faut donc d'abord la déterminer comme indiqué ci-dessus (d = -2). Sachant que le premier terme a 1 = 10, on utilise la formule du nombre n de la suite. On a : a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2*n. En remplaçant n = 5 dans la dernière expression, nous obtenons : a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Comme vous pouvez le constater, les deux solutions ont conduit au même résultat. Notez que dans cet exemple, la différence de progression d est une valeur négative. De telles séquences sont dites décroissantes, puisque chaque terme suivant est inférieur au précédent.

Exemple n°2 : différence de progression

Compliquons maintenant un peu le problème, donnons un exemple de la façon de trouver la différence d'une progression arithmétique.

On sait que dans certaines progressions algébriques le 1er terme est égal à 6, et le 7ème terme est égal à 18. Il faut trouver la différence et restituer cette suite au 7ème terme.

Utilisons la formule pour déterminer le terme inconnu : a n = (n - 1) * d + a 1 . Remplaçons-y les données connues de la condition, c'est-à-dire les nombres a 1 et a 7, nous avons : 18 = 6 + 6 * d. A partir de cette expression vous pouvez facilement calculer la différence : d = (18 - 6) /6 = 2. Ainsi, nous avons répondu à la première partie du problème.

Pour restituer la séquence au 7ème terme, vous devez utiliser la définition d'une progression algébrique, c'est-à-dire a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d, et ainsi de suite. En conséquence, on restitue la séquence entière : a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , un 6 = 14 + 2 = 16, un 7 = 18.

Exemple n°3 : établir une progression

Compliquons encore plus le problème. Nous devons maintenant répondre à la question de savoir comment trouver une progression arithmétique. L'exemple suivant peut être donné : deux nombres sont donnés, par exemple - 4 et 5. Il est nécessaire de créer une progression algébrique pour que trois termes supplémentaires soient placés entre ceux-ci.

Avant de commencer à résoudre ce problème, vous devez comprendre quelle place les nombres donnés occuperont dans la progression future. Puisqu'il y aura trois autres termes entre eux, alors a 1 = -4 et a 5 = 5. Après avoir établi cela, passons au problème, qui est similaire au précédent. Encore une fois, pour le nième terme nous utilisons la formule, nous obtenons : a 5 = a 1 + 4 * d. De : d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Ce que nous obtenons ici n’est pas une valeur entière de la différence, mais c’est un nombre rationnel, donc les formules de progression algébrique restent les mêmes.

Ajoutons maintenant la différence trouvée à 1 et restaurons les termes manquants de la progression. On obtient : a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, ce qui a coïncidé avec les conditions du problème.

Exemple n°4 : premier terme de progression

Continuons à donner des exemples de progression arithmétique avec solutions. Dans tous les problèmes précédents, le premier nombre de la progression algébrique était connu. Considérons maintenant un problème d'un type différent : donnons deux nombres, où a 15 = 50 et a 43 = 37. Il faut trouver par quel nombre commence cette suite.

Les formules utilisées jusqu'à présent supposent la connaissance de a 1 et d. Dans l’énoncé du problème, on ne sait rien de ces chiffres. Néanmoins, nous écrirons des expressions pour chaque terme sur lequel des informations sont disponibles : a 15 = a 1 + 14 * d et a 43 = a 1 + 42 * d. Nous avons reçu deux équations dans lesquelles il y a 2 quantités inconnues (a 1 et d). Cela signifie que le problème se réduit à résoudre un système d’équations linéaires.

La façon la plus simple de résoudre ce système est d’exprimer un 1 dans chaque équation, puis de comparer les expressions résultantes. Première équation : a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d ; deuxième équation : a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. En égalisant ces expressions, nous obtenons : 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, d'où la différence d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (seulement 3 décimales sont données).

Connaissant d, vous pouvez utiliser l'une des 2 expressions ci-dessus pour un 1. Par exemple, d'abord : a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.

Si vous avez des doutes sur le résultat obtenu, vous pouvez le vérifier, par exemple, déterminer le 43ème terme de la progression, qui est précisé dans la condition. On obtient : a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. La petite erreur est due au fait que les calculs ont été arrondis au millième.

Exemple n°5 : montant

Examinons maintenant plusieurs exemples avec des solutions pour la somme d'une progression arithmétique.

Soit une progression numérique de la forme suivante : 1, 2, 3, 4, ...,. Comment calculer la somme de 100 de ces nombres ?

Grâce au développement la technologie informatique vous pouvez résoudre ce problème, c'est-à-dire ajouter tous les nombres séquentiellement, ce que l'ordinateur fera immédiatement dès qu'une personne appuie sur la touche Entrée. Cependant, le problème peut être résolu mentalement si vous faites attention au fait que la série de nombres présentée est une progression algébrique et que sa différence est égale à 1. En appliquant la formule de la somme, nous obtenons : S n = n * (a 1 + une n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Il est intéressant de noter que ce problème est dit « gaussien » car au début du XVIIIe siècle le célèbre Allemand, encore âgé de seulement 10 ans, était capable de le résoudre dans sa tête en quelques secondes. Le garçon ne connaissait pas la formule de la somme d'une progression algébrique, mais il a remarqué que si l'on additionne les nombres aux extrémités de la séquence par paires, on obtient toujours le même résultat, c'est-à-dire 1 + 100 = 2 + 99. = 3 + 98 = ..., et puisque ces sommes seront exactement 50 (100 / 2), alors pour obtenir la bonne réponse il suffit de multiplier 50 par 101.

Exemple n°6 : somme de termes de n à m

Un autre exemple typique de somme d'une progression arithmétique est le suivant : étant donné une série de nombres : 3, 7, 11, 15, ..., il faut trouver à quoi sera égale la somme de ses termes de 8 à 14. .

Le problème est résolu de deux manières. La première consiste à trouver les termes inconnus de 8 à 14, puis à les additionner séquentiellement. Comme il y a peu de termes, cette méthode ne demande pas beaucoup de travail. Néanmoins, il est proposé de résoudre ce problème en utilisant une deuxième méthode, plus universelle.

L'idée est d'obtenir une formule pour la somme de la progression algébrique entre les termes m et n, où n > m sont des nombres entiers. Dans les deux cas, on écrit deux expressions pour la somme :

S m = m * (un m + un 1) / 2.
S n = n * (un n + un 1) / 2.

Puisque n > m, il est évident que la 2ème somme inclut la première. La dernière conclusion signifie que si nous prenons la différence entre ces sommes et y ajoutons le terme a m (dans le cas de la différence, il est soustrait de la somme S n), nous obtiendrons la réponse nécessaire au problème. On a : S mn = S n - S m + a m = n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + un m * (1- m/2). Il est nécessaire de substituer des formules pour a n et a m dans cette expression. On obtient alors : S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d *(3 * m - m 2 - 2) / 2.

La formule résultante est quelque peu lourde, cependant, la somme S mn ne dépend que de n, m, a 1 et d. Dans notre cas, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. En substituant ces nombres, nous obtenons : S mn = 301.

Comme le montrent les solutions ci-dessus, tous les problèmes sont basés sur la connaissance de l’expression du nième terme et de la formule de la somme de l’ensemble des premiers termes. Avant de commencer à résoudre l'un de ces problèmes, il est recommandé de lire attentivement la condition, de comprendre clairement ce que vous devez trouver, puis de procéder ensuite à la solution.

Un autre conseil est de rechercher la simplicité, c'est-à-dire que si vous pouvez répondre à une question sans utiliser de calculs mathématiques complexes, c'est exactement ce que vous devez faire, car dans ce cas, la probabilité de commettre une erreur est moindre. Par exemple, dans l'exemple d'une progression arithmétique avec la solution n°6, on pourrait s'arrêter à la formule S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, et divisez le problème global en sous-tâches distinctes (dans ce cas, trouvez d'abord les termes a n et a m).

Si vous avez des doutes sur le résultat obtenu, il est recommandé de le vérifier, comme cela a été fait dans certains des exemples donnés. Nous avons découvert comment trouver une progression arithmétique. Si vous comprenez, ce n'est pas si difficile.

Oui, oui : la progression arithmétique n'est pas un jouet pour vous :)

Eh bien, mes amis, si vous lisez ce texte, alors les preuves internes me disent que vous ne savez pas encore ce qu'est une progression arithmétique, mais vous voulez vraiment (non, comme ça : TELLEMENT !) vouloir savoir. Par conséquent, je ne vous tourmenterai pas avec de longues introductions et j’irai droit au but.

Tout d’abord, quelques exemples. Examinons plusieurs ensembles de nombres :

1; 2; 3; 4; ...
15; 20; 25; 30; ...
$\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Quel est le point commun entre tous ces ensembles ? A première vue, rien. Mais en réalité, il y a quelque chose. À savoir: chaque élément suivant diffère du précédent par le même numéro.

Jugez par vous-même. Le premier ensemble est simplement constitué de nombres consécutifs, chaque suivant étant un de plus que le précédent. Dans le second cas, la différence entre les nombres adjacents est déjà de cinq, mais cette différence reste constante. Dans le troisième cas, il y a complètement des racines. Cependant, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$ et $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, c'est-à-dire et dans ce cas, chaque élément suivant augmente simplement de $\sqrt(2)$ (et n'ayez pas peur que ce nombre soit irrationnel).

Donc : toutes ces séquences sont appelées progressions arithmétiques. Donnons une définition stricte :

Définition. Une séquence de nombres dans laquelle chacun des nombres suivants diffère du précédent exactement du même montant est appelée progression arithmétique. Le montant même par lequel les nombres diffèrent est appelé différence de progression et est le plus souvent désigné par la lettre $d$.

Notation : $\left(((a)_(n)) \right)$ est la progression elle-même, $d$ est sa différence.

Et juste quelques notes importantes. Premièrement, la progression n’est prise en compte que commandé séquence de nombres : ils peuvent être lus strictement dans l'ordre dans lequel ils sont écrits - et rien d'autre. Les numéros ne peuvent pas être réorganisés ou échangés.

Deuxièmement, la séquence elle-même peut être finie ou infinie. Par exemple, l'ensemble (1 ; 2 ; 3) est évidemment une progression arithmétique finie. Mais si vous écrivez quelque chose dans l'esprit (1 ; 2 ; 3 ; 4 ; ...) - c'est déjà une progression infinie. Les points de suspension après les quatre semblent laisser entendre qu’il y a encore quelques chiffres à venir. Une infinité, par exemple :)

Je voudrais également noter que les progressions peuvent être croissantes ou décroissantes. Nous en avons déjà vu des croissants - le même ensemble (1 ; 2 ; 3 ; 4 ; ...). Voici des exemples de progressions décroissantes :

49; 41; 33; 25; 17; ...
17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
$\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

D'accord, d'accord : le dernier exemple peut sembler trop compliqué. Mais le reste, je pense, vous comprenez. Nous introduisons donc de nouvelles définitions :

Définition. Une progression arithmétique s'appelle :

augmentant si chaque élément suivant est supérieur au précédent ;

décroissant si, au contraire, chaque élément suivant est inférieur au précédent.

De plus, il existe des séquences dites « stationnaires » - elles sont constituées du même numéro répétitif. Par exemple, (3 ; 3 ; 3 ; ...).

Une seule question demeure : comment distinguer une progression croissante d’une progression décroissante ? Heureusement, tout ici dépend uniquement du signe du nombre $d$, c'est-à-dire différences de progression :

Si $d \gt 0$, alors la progression augmente ;
Si $d \lt 0$, alors la progression est évidemment décroissante ;
Enfin, il y a le cas $d=0$ - dans ce cas toute la progression est réduite à une séquence stationnaire de nombres identiques : (1 ; 1 ; 1 ; 1 ; ...), etc.

Essayons de calculer la différence $d$ pour les trois progressions décroissantes données ci-dessus. Pour ce faire, il suffit de prendre deux éléments adjacents (par exemple, le premier et le deuxième) et de soustraire le nombre de gauche du nombre de droite. Il ressemblera à ceci:

41−49=−8;
12−17,5=−5,5;
$\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Comme nous pouvons le constater, dans les trois cas, la différence s’est avérée négative. Et maintenant que nous avons plus ou moins compris les définitions, il est temps de comprendre comment les progressions sont décrites et quelles sont leurs propriétés.

Termes de progression et formule de récurrence

Les éléments de nos séquences ne pouvant pas être intervertis, ils peuvent être numérotés :

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left$ ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \droite$\]

Les éléments individuels de cet ensemble sont appelés membres d'une progression. Ils sont indiqués par un numéro : premier membre, deuxième membre, etc.

De plus, comme nous le savons déjà, les termes voisins de la progression sont liés par la formule :

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rightarrow ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Bref, pour trouver le $n$ième terme d'une progression, il faut connaître le $n-1$ième terme et la différence $d$. Cette formule est dite récurrente, car avec son aide, vous pouvez trouver n'importe quel nombre uniquement en connaissant le précédent (et en fait, tous les précédents). C'est très gênant, il existe donc une formule plus astucieuse qui réduit tous les calculs au premier terme et à la différence :

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]

Vous avez probablement déjà rencontré cette formule. Ils aiment le donner dans toutes sortes d’ouvrages de référence et de livres de solutions. Et dans tout manuel de mathématiques sensé, c'est l'un des premiers.

Cependant, je vous suggère de vous entraîner un peu.

Tâche n°1. Notez les trois premiers termes de la progression arithmétique $\left(((a)_(n)) \right)$ si $((a)_(1))=8,d=-5$.

Solution. Ainsi, nous connaissons le premier terme $((a)_(1))=8$ et la différence de progression $d=-5$. Utilisons la formule que nous venons de donner et remplaçons $n=1$, $n=2$ et $n=3$ :

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3 ; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \fin(aligner)\]

Réponse : (8 ; 3 ; −2)

C'est tout! Attention : notre progression est décroissante.

Bien entendu, $n=1$ ne peut pas être substitué - le premier terme nous est déjà connu. Cependant, en substituant l’unité, nous étions convaincus que même pour le premier mandat, notre formule fonctionnait. Dans d’autres cas, tout se résumait à de banales arithmétiques.

Tâche n°2. Écrivez les trois premiers termes d'une progression arithmétique si son septième terme est égal à −40 et son dix-septième terme est égal à −50.

Solution. Écrivons la condition problématique en termes familiers :

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \droite.\]

J'ai mis le signe du système car ces exigences doivent être remplies simultanément. Notons maintenant que si on soustrait la première de la deuxième équation (on en a le droit, puisqu’on a un système), on obtient ceci :

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40 ; \\&10d=-10 ; \\&d=-1. \\ \fin(aligner)\]

C'est comme ça qu'il est facile de trouver la différence de progression ! Il ne reste plus qu'à substituer le nombre trouvé dans l'une des équations du système. Par exemple, dans le premier :

\[\begin(matrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \fin(matrice)\]

Maintenant, connaissant le premier terme et la différence, il reste à trouver les deuxième et troisième termes :

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \fin(aligner)\]

Prêt! Le problème est résolu.

Réponse : (−34 ; −35 ; −36)

Remarquez la propriété intéressante de progression que nous avons découverte : si nous prenons les $n$ième et $m$ième termes et les soustrayons les uns des autres, nous obtenons la différence de la progression multipliée par le nombre $n-m$ :

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

Simple mais très propriété utile, que vous devez absolument connaître - avec son aide, vous pouvez accélérer considérablement la solution de nombreux problèmes de progression. En voici un exemple clair :

Tâche n°3. Le cinquième terme d'une progression arithmétique est 8,4 et son dixième terme est 14,4. Trouvez le quinzième terme de cette progression.

Solution. Puisque $((a)_(5))=8,4$, $((a)_(10))=14,4$, et que nous devons trouver $((a)_(15))$, nous notons ce qui suit :

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \fin(aligner)\]

Mais par condition $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, donc $5d=6$, d'où on a :

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \fin(aligner)\]

Réponse : 20.4

C'est tout! Nous n'avons pas eu besoin de créer de systèmes d'équations ni de calculer le premier terme et la différence - tout a été résolu en quelques lignes seulement.

Examinons maintenant un autre type de problème : la recherche des termes négatifs et positifs d'une progression. Ce n'est un secret pour personne que si une progression augmente et que son premier terme est négatif, tôt ou tard des termes positifs y apparaîtront. Et vice versa : les termes d’une progression décroissante deviendront tôt ou tard négatifs.

En même temps, il n'est pas toujours possible de retrouver ce moment « de front » en parcourant successivement les éléments. Souvent, les problèmes sont rédigés de telle manière que sans connaître les formules, les calculs prendraient plusieurs feuilles de papier – nous nous endormirions simplement pendant que nous trouvions la réponse. Essayons donc de résoudre ces problèmes plus rapidement.

Tâche n°4. Combien y a-t-il de termes négatifs dans la progression arithmétique −38,5 ; −35,8 ; ...?

Solution. Donc, $((a)_(1))=-38,5$, $((a)_(2))=-35,8$, d'où on trouve immédiatement la différence :

Notez que la différence est positive, donc la progression augmente. Le premier terme est négatif, donc effectivement à un moment donné nous tomberons sur des nombres positifs. La seule question est de savoir quand cela se produira.

Essayons de savoir combien de temps (c'est-à-dire jusqu'à quel nombre naturel $n$) reste la négativité des termes :

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \right. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \fin(aligner)\]

La dernière ligne nécessite quelques explications. Nous savons donc que $n \lt 15\frac(7)(27)$. En revanche, on se contente uniquement de valeurs entières du nombre (d'ailleurs : $n\in \mathbb(N)$), donc le plus grand nombre autorisé est précisément $n=15$, et en aucun cas 16 .

Tâche n°5. En progression arithmétique $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Trouver le numéro du premier terme positif de cette progression.

Ce serait exactement le même problème que le précédent, mais nous ne connaissons pas $((a)_(1))$. Mais les termes voisins sont connus : $((a)_(5))$ et $((a)_(6))$, on peut donc facilement trouver la différence de progression :

De plus, essayons d'exprimer le cinquième terme à travers le premier et la différence en utilisant la formule standard :

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \fin(aligner)\]

Nous procédons maintenant par analogie avec la tâche précédente. Voyons à quel moment de notre séquence les nombres positifs apparaîtront :

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165 ; \\ & n \gt 55\Rightarrow ((n)_(\min ))=56. \\ \fin(aligner)\]

La solution entière minimale de cette inégalité est le nombre 56.

Attention : dans la dernière tâche, tout se résumait à une stricte inégalité, donc l'option $n=55$ ne nous conviendra pas.

Maintenant que nous avons appris à résoudre des problèmes simples, passons aux plus complexes. Mais d'abord, étudions une autre propriété très utile des progressions arithmétiques, qui nous fera gagner beaucoup de temps et des cellules inégales à l'avenir :)

Moyenne arithmétique et indentations égales

Considérons plusieurs termes consécutifs de la progression arithmétique croissante $\left(((a)_(n)) \right)$. Essayons de les marquer sur la droite numérique :

Termes d'une progression arithmétique sur la droite numérique

J'ai spécifiquement marqué des termes arbitraires $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, et non certains $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$, etc. Parce que la règle dont je vais vous parler maintenant fonctionne de la même manière pour tous les « segments ».

Et la règle est très simple. Rappelons la formule récurrente et notons-la pour tous les termes marqués :

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \fin(aligner)\]

Cependant, ces égalités peuvent être réécrites différemment :

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \fin(aligner)\]

Eh bien, et alors ? Et le fait que les termes $((a)_(n-1))$ et $((a)_(n+1))$ se trouvent à la même distance de $((a)_(n)) $ . Et cette distance est égale à $d$. La même chose peut être dite à propos des termes $((a)_(n-2))$ et $((a)_(n+2))$ - ils sont également supprimés de $((a)_(n) )$ à la même distance égale à $2d$. On peut continuer à l'infini, mais le sens est bien illustré par l'image

Les termes de la progression se situent à la même distance du centre

Qu'est ce que cela veut dire pour nous? Cela signifie que $((a)_(n))$ peut être trouvé si les nombres voisins sont connus :

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Nous en avons tiré une excellente affirmation : chaque terme d'une progression arithmétique est égal à la moyenne arithmétique de ses termes voisins ! De plus : nous pouvons reculer de notre $((a)_(n))$ vers la gauche et vers la droite non pas d'un pas, mais de $k$ pas - et la formule sera toujours correcte :

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Ceux. nous pouvons facilement trouver des $((a)_(150))$ si nous connaissons $((a)_(100))$ et $((a)_(200))$, car $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. À première vue, il peut sembler que ce fait ne nous apporte rien d’utile. Cependant, en pratique, de nombreux problèmes sont spécialement adaptés à l’utilisation de la moyenne arithmétique. Regarde:

Tâche n°6. Trouver toutes les valeurs de $x$ pour lesquelles les nombres $-6((x)^(2))$, $x+1$ et $14+4((x)^(2))$ sont des termes consécutifs de une progression arithmétique (dans l'ordre indiqué).

Solution. Puisque ces nombres sont membres d'une progression, la condition de moyenne arithmétique est satisfaite pour eux : l'élément central $x+1$ peut être exprimé en termes d'éléments voisins :

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \fin(aligner)\]

Le résultat est une équation quadratique classique. Ses racines : $x=2$ et $x=-3$ sont les réponses.

Réponse : −3 ; 2.

Tâche n°7. Trouvez les valeurs de $$ pour lesquelles les nombres $-1;4-3;(()^(2))+1$ forment une progression arithmétique (dans cet ordre).

Solution. Exprimons à nouveau le moyen terme par la moyenne arithmétique des termes voisins :

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \right.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \fin(aligner)\]

Encore une équation quadratique. Et encore une fois, il y a deux racines : $x=6$ et $x=1$.

Réponse 1; 6.

Si, en train de résoudre un problème, vous arrivez à des chiffres brutaux, ou si vous n'êtes pas entièrement sûr de l'exactitude des réponses trouvées, alors il existe une technique merveilleuse qui vous permet de vérifier : avons-nous résolu le problème correctement ?

Disons que dans le problème n°6 nous avons reçu les réponses −3 et 2. Comment pouvons-nous vérifier que ces réponses sont correctes ? Branchons-les simplement dans leur état d'origine et voyons ce qui se passe. Je vous rappelle que nous avons trois nombres ($-6(()^(2))$, $+1$ et $14+4(()^(2))$), qui doivent former une progression arithmétique. Remplaçons $x=-3$ :

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \fin(aligner)\]

Nous avons obtenu les nombres −54 ; -2 ; 50 qui diffèrent de 52 est sans aucun doute une progression arithmétique. La même chose se produit pour $x=2$ :

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \fin(aligner)\]

Encore une progression, mais avec une différence de 27. Ainsi, le problème a été résolu correctement. Ceux qui le souhaitent peuvent vérifier eux-mêmes le deuxième problème, mais je dirai tout de suite : là aussi, tout est correct.

En général, en résolvant les derniers problèmes, nous sommes tombés sur un autre fait intéressant, qu'il faut également rappeler :

Si trois nombres sont tels que le second est la moyenne arithmétique du premier et du dernier, alors ces nombres forment une progression arithmétique.

À l’avenir, comprendre cet énoncé nous permettra de « construire » littéralement les progressions nécessaires en fonction des conditions du problème. Mais avant de nous lancer dans une telle « construction », nous devons prêter attention à un autre fait, qui découle directement de ce qui a déjà été discuté.

Regrouper et additionner des éléments

Revenons à nouveau à l'axe des nombres. Notons là plusieurs membres de la progression, entre lesquels, peut-être. vaut beaucoup d'autres membres :

Il y a 6 éléments marqués sur la droite numérique

Essayons d'exprimer la « queue gauche » par $((a)_(n))$ et $d$, et la « queue droite » par $((a)_(k))$ et $d$. C'est très simple:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \fin(aligner)\]

Notez maintenant que les montants suivants sont égaux :

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S ; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \fin(aligner)\]

En termes simples, si nous considérons comme point de départ deux éléments de la progression, qui au total sont égaux à un certain nombre $S$, puis commençons à partir de ces éléments dans des directions opposées (l'un vers l'autre ou vice versa pour s'éloigner), alors les sommes des éléments sur lesquels nous tomberons seront également égales$S$. Cela peut être représenté graphiquement de la manière la plus claire :

Des indentations égales donnent des quantités égales

Compréhension ce fait nous permettra de résoudre les problèmes de manière fondamentalement plus haut niveau difficultés que celles que nous avons évoquées ci-dessus. Par exemple, ceux-ci :

Tâche n°8. Déterminer la différence d'une progression arithmétique dans laquelle le premier terme est 66 et le produit du deuxième et du douzième terme est le plus petit possible.

Solution. Écrivons tout ce que nous savons :

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \fin(aligner)\]

Nous ne connaissons donc pas la différence de progression $d$. En fait, toute la solution sera construite autour de la différence, puisque le produit $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ peut être réécrit comme suit :

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \fin(aligner)\]

Pour ceux qui sont dans le tank : j’ai pris le multiplicateur total de 11 sur la deuxième tranche. Ainsi, le produit recherché est une fonction quadratique par rapport à la variable $d$. Par conséquent, considérons la fonction $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - son graphique sera une parabole avec des branches vers le haut, car si on développe les parenthèses, on obtient :

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Comme vous pouvez le voir, le coefficient du terme le plus élevé est 11 - c'est un nombre positif, nous avons donc bien affaire à une parabole avec des branches ascendantes :

graphique d'une fonction quadratique - parabole
Attention : cette parabole prend sa valeur minimale en son sommet d'abscisse $((d)_(0))$. Bien sûr, on peut calculer cette abscisse en utilisant le schéma standard (il existe la formule $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), mais il serait bien plus raisonnable de noter que le sommet souhaité se trouve sur l'axe de symétrie de la parabole, donc le point $((d)_(0))$ est à égale distance des racines de l'équation $f\left(d \right)=0$ :

\[\begin(align) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \fin(aligner)\]

C'est pourquoi je n'étais pas particulièrement pressé d'ouvrir les supports : dans leur forme originale, les racines étaient très, très faciles à trouver. L'abscisse est donc égale à la moyenne arithmétique des nombres −66 et −6 :

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Que nous donne le numéro découvert ? Avec lui, le produit requis prend la plus petite valeur (d'ailleurs, nous n'avons jamais calculé $((y)_(\min ))$ - cela ne nous est pas demandé). En même temps, ce nombre est la différence de la progression initiale, c'est-à-dire nous avons trouvé la réponse :)

Réponse : −36

Tâche n°9. Entre les nombres $-\frac(1)(2)$ et $-\frac(1)(6)$ insérez trois nombres pour qu'avec ces nombres ils forment une progression arithmétique.

Solution. Essentiellement, nous devons créer une séquence de cinq nombres, le premier et le dernier nombre étant déjà connus. Notons les nombres manquants par les variables $x$, $y$ et $z$ :

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

Notez que le nombre $y$ est le « milieu » de notre séquence - il est à égale distance des nombres $x$ et $z$, et des nombres $-\frac(1)(2)$ et $-\frac (1)(6)$. Et si à partir des nombres $x$ et $z$ nous sommes dans ce moment on ne peut pas obtenir $y$, alors la situation est différente avec les fins de progression. Rappelons la moyenne arithmétique :

Maintenant, connaissant $y$, nous trouverons les nombres restants. Notez que $x$ se situe entre les nombres $-\frac(1)(2)$ et le $y=-\frac(1)(3)$ que nous venons de trouver. C'est pourquoi

En utilisant un raisonnement similaire, nous trouvons le nombre restant :

Prêt! Nous avons trouvé les trois numéros. Écrivons-les dans la réponse dans l'ordre dans lequel ils doivent être insérés entre les numéros d'origine.

Réponse : $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Tâche n°10. Entre les nombres 2 et 42, insérez plusieurs nombres qui, avec ces nombres, forment une progression arithmétique, si vous savez que la somme du premier, du deuxième et du dernier des nombres insérés est 56.

Solution. Un problème encore plus complexe, qui est cependant résolu selon le même schéma que les précédents - par la moyenne arithmétique. Le problème est que nous ne savons pas exactement combien de nombres doivent être insérés. Par conséquent, supposons avec certitude qu'après avoir tout inséré, il y aura exactement $n$ nombres, et le premier d'entre eux est 2 et le dernier est 42. Dans ce cas, la progression arithmétique requise peut être représentée sous la forme :

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left$ 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \right$\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Notez cependant que les nombres $((a)_(2))$ et $((a)_(n-1))$ sont obtenus à partir des nombres 2 et 42 aux bords d'un pas l'un vers l'autre, c'est à dire. . au centre de la séquence. Et cela signifie que

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Mais alors l’expression écrite ci-dessus peut être réécrite comme suit :

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \fin(aligner)\]

Connaissant $((a)_(3))$ et $((a)_(1))$, on peut facilement trouver la différence de progression :

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Rightarrow d=5. \\ \fin(aligner)\]

Il ne reste plus qu'à trouver les termes restants :

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \fin(aligner)\]

Ainsi, déjà à la 9ème étape, nous arriverons à l'extrémité gauche de la séquence - le nombre 42. Au total, seuls 7 nombres ont dû être insérés : 7 ; 12 ; 17 ; 22 ; 27 ; 32 ; 37.

Réponse : 7 ; 12 ; 17 ; 22 ; 27 ; 32 ; 37

Problèmes de mots avec progressions

En conclusion, je voudrais examiner quelques problèmes relativement simples. Eh bien, c'est aussi simple que cela : pour la plupart des élèves qui étudient les mathématiques à l'école et qui n'ont pas lu ce qui est écrit ci-dessus, ces problèmes peuvent sembler difficiles. Néanmoins, ce sont les types de problèmes qui apparaissent dans l'OGE et l'examen d'État unifié en mathématiques, je vous recommande donc de vous familiariser avec eux.

Tâche n°11. L'équipe a produit 62 pièces en janvier, et chaque mois suivant, elle a produit 14 pièces de plus que le mois précédent. Combien de pièces l’équipe a-t-elle produites en novembre ?

Solution. Évidemment, le nombre de pièces répertoriées par mois représentera une progression arithmétique croissante. De plus:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

Novembre est le 11ème mois de l'année, nous devons donc trouver $((a)_(11))$ :

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Ainsi, 202 pièces seront produites en novembre.

Tâche n°12. L'atelier de reliure a relié 216 livres en janvier et chaque mois suivant, il a relié 4 livres de plus que le mois précédent. Combien de livres l’atelier a-t-il relié en décembre ?

Solution. Tous les mêmes:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$

Décembre est le dernier, 12ème mois de l'année, nous recherchons donc $((a)_(12))$ :

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Voilà la réponse : 260 livres seront reliés en décembre.

Eh bien, si vous avez lu jusqu'ici, je m'empresse de vous féliciter : vous avez réussi le « cours de jeune combattant » en progressions arithmétiques. Vous pouvez passer en toute sécurité à la leçon suivante, où nous étudierons la formule de la somme de la progression, ainsi que ses conséquences importantes et très utiles.

Beaucoup de gens ont entendu parler de la progression arithmétique, mais tout le monde n'a pas une bonne idée de ce que c'est. Dans cet article, nous donnerons la définition correspondante, examinerons également la question de savoir comment trouver la différence d'une progression arithmétique et donnerons un certain nombre d'exemples.

Définition mathématique

Donc, si nous parlons d'une progression arithmétique ou algébrique (ces concepts définissent la même chose), alors cela signifie qu'il existe une certaine série de nombres qui satisfait à la loi suivante : tous les deux nombres adjacents de la série diffèrent de la même valeur. Mathématiquement, cela s'écrit ainsi :

Ici, n signifie le numéro d'élément a n dans la séquence, et le nombre d est la différence de progression (son nom découle de la formule présentée).

Que signifie connaître la différence d ? À propos de la « distance » des nombres voisins les uns des autres. Cependant, la connaissance de d est une condition nécessaire mais pas suffisante pour déterminer (restaurer) l’ensemble de la progression. Il est nécessaire de connaître un nombre supplémentaire, qui peut être absolument n'importe quel élément de la série considérée, par exemple un 4, un a10, mais, en règle générale, ils utilisent le premier nombre, c'est-à-dire un 1.

Formules pour déterminer les éléments de progression

En général, les informations ci-dessus sont déjà suffisantes pour passer à la résolution de problèmes spécifiques. Néanmoins, avant de donner la progression arithmétique, et il sera nécessaire de trouver sa différence, nous présenterons quelques formules utiles, facilitant ainsi le processus ultérieur de résolution des problèmes.

Il est facile de montrer que tout élément de la séquence de numéro n peut être trouvé comme suit :

une n = une 1 + (n - 1) * ré

En effet, n'importe qui peut vérifier cette formule par simple recherche : si vous remplacez n = 1, vous obtenez le premier élément, si vous remplacez n = 2, alors l'expression donne la somme du premier nombre et de la différence, et ainsi de suite.

Les conditions de nombreux problèmes sont composées de telle manière que, étant donné une paire de nombres connue, dont les nombres sont également donnés dans la séquence, il est nécessaire de reconstruire la série entière de nombres (trouver la différence et le premier élément). Nous allons maintenant résoudre ce problème sous forme générale.

Alors, donnons deux éléments avec les nombres n et m. En utilisant la formule obtenue ci-dessus, vous pouvez créer un système de deux équations :

un n = un 1 + (n - 1) * ré;
une m = une 1 + (m - 1) * ré

Pour trouver des quantités inconnues, nous utiliserons une technique simple et bien connue pour résoudre un tel système : soustraire les côtés gauche et droit deux à deux, l'égalité restera valable. Nous avons:

un n = un 1 + (n - 1) * ré;
a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)

Ainsi, nous avons exclu une inconnue (a 1). Nous pouvons maintenant écrire l’expression finale pour déterminer d :

d = (a n - a m) / (n - m), où n > m

Nous avons reçu une formule très simple : pour calculer la différence d en fonction des conditions du problème, il suffit de prendre le rapport des différences entre les éléments eux-mêmes et leurs numéros de série. Il faut prêter attention à un point important : les différences sont prises entre les membres « senior » et « junior », c'est-à-dire n > m (« senior » signifie se tenir plus loin du début de la séquence, sa valeur absolue peut être soit élément plus ou moins « junior »).

L'expression de la différence d progression doit être substituée dans l'une des équations au début de la résolution du problème pour obtenir la valeur du premier terme.

À notre époque de développement de la technologie informatique, de nombreux écoliers essaient de trouver des solutions à leurs devoirs sur Internet, c'est pourquoi des questions de ce type se posent souvent : trouver la différence d'une progression arithmétique en ligne. Pour une telle requête, le moteur de recherche renverra un certain nombre de pages web, en vous rendant sur lesquelles vous devrez saisir les données connues de la condition (cela peut être soit deux termes de la progression, soit la somme d'un certain nombre d'entre eux). ) et recevez instantanément une réponse. Cependant, cette approche pour résoudre le problème est improductive en termes de développement de l’étudiant et de compréhension de l’essence de la tâche qui lui est assignée.

Solution sans utiliser de formules

Résolvons le premier problème sans utiliser aucune des formules données. Soit les éléments de la série : a6 = 3, a9 = 18. Trouvez la différence de la progression arithmétique.

Les éléments connus sont alignés les uns à côté des autres. Combien de fois faut-il ajouter la différence d à la plus petite pour obtenir la plus grande ? Trois fois (la première fois en ajoutant d, nous obtenons le 7ème élément, la deuxième fois - le huitième, enfin la troisième fois - le neuvième). Quel nombre faut-il ajouter à trois trois fois pour obtenir 18 ? C'est le numéro cinq. Vraiment:

Ainsi, la différence inconnue d = 5.

Bien entendu, la solution aurait pu être réalisée à l’aide de la formule appropriée, mais cela n’a pas été fait intentionnellement. Explication détaillée résoudre le problème devrait devenir un exemple clair et vivant de ce qu'est une progression arithmétique.

Une tâche similaire à la précédente

Résolvons maintenant un problème similaire, mais modifions les données d'entrée. Donc, vous devriez trouver si a3 = 2, a9 = 19.

Bien entendu, vous pouvez à nouveau recourir à la méthode de résolution « frontale ». Mais comme les éléments de la série sont donnés relativement éloignés les uns des autres, cette méthode ne sera pas tout à fait pratique. Mais l’utilisation de la formule résultante nous mènera rapidement à la réponse :

d = (a 9 - a 3) / (9 - 3) = (19 - 2) / (6) = 17 / 6 ≈ 2,83

Ici, nous avons arrondi le nombre final. La mesure dans laquelle cet arrondi a conduit à une erreur peut être jugée en vérifiant le résultat :

un 9 = un 3 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 = 18,98

Ce résultat ne diffère que de 0,1 % de la valeur donnée dans la condition. Par conséquent, l’arrondi utilisé au centième le plus proche peut être considéré comme un choix judicieux.

Problèmes liés à l'application de la formule pour le terme

Considérons un exemple classique de problème pour déterminer l'inconnue d : trouver la différence d'une progression arithmétique si a1 = 12, a5 = 40.

Lorsque deux nombres d'une séquence algébrique inconnue sont donnés et que l'un d'eux est l'élément a 1, alors vous n'avez pas besoin de réfléchir longtemps, mais devez immédiatement appliquer la formule du terme a n. Dans ce cas nous avons :

a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

Nous avons reçu le nombre exact lors de la division, il ne sert donc à rien de vérifier l'exactitude du résultat calculé, comme cela a été fait dans le paragraphe précédent.

Résolvons un autre problème similaire : nous devons trouver la différence d'une progression arithmétique si a1 = 16, a8 = 37.

Nous utilisons une approche similaire à la précédente et obtenons :

a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

Que devez-vous savoir d’autre sur la progression arithmétique ?

En plus des problèmes de recherche d'une différence inconnue ou d'éléments individuels, il est souvent nécessaire de résoudre des problèmes de somme des premiers termes d'une suite. L'examen de ces problèmes dépasse le cadre de l'article, cependant, par souci d'exhaustivité, nous présentons une formule générale pour la somme de n nombres dans une série :

∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2

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