විශේෂවල සහජීවනය සඳහා කොන්දේසි සකස් කිරීමට අපට ඉඩ සලසයි:

අන්තර්-ජනගහන අන්තර්ක්‍රියාවේ සංගුණකවල ගුණිතය ජනගහන අන්තර්ක්‍රියාව තුළ ඇති සංගුණකවල ගුණිතයට වඩා අඩුය.

ඇත්ත වශයෙන්ම, සලකා බලනු ලබන විශේෂ දෙකේ ස්වභාවික වර්ධන වේගයට ඉඩ දෙන්නඒ 1 ,ඒ 2 ඒවා ඒක සමානයි. එවිට ස්ථාවරත්වය සඳහා අවශ්ය කොන්දේසිය වනු ඇත

c 2 > බී 12 ,c 1 >ආ 21 .

මෙම අසමානතාවයන් පෙන්නුම් කරන්නේ එක් තරඟකරුවෙකුගේ ප්‍රමාණයේ වැඩි වීමක් තවත් තරඟකරුවෙකුගේ වර්ධනයට වඩා තමන්ගේම වර්ධනය යටපත් කරන බවයි. විවිධ සම්පත් මගින් විශේෂ දෙකෙහිම සංඛ්‍යාව අර්ධ වශයෙන් හෝ සම්පූර්ණයෙන් සීමා වී ඇත්නම්, ඉහත අසමානතා වලංගු වේ. විශේෂ දෙකටම හරියටම එකම අවශ්‍යතා තිබේ නම්, ඉන් එකක් වඩාත් ශක්‍ය වන අතර එහි තරඟකරු විස්ථාපනය කරනු ඇත.

පද්ධතියේ අදියර ගමන් මාර්ගවල හැසිරීම තරඟයේ විය හැකි ප්රතිඵල පිළිබඳ පැහැදිලි අදහසක් ලබා දෙයි. පද්ධතියේ (9.2) සමීකරණවල දකුණු පස ශුන්‍යයට සමාන කරමු:

x 1 (ඒ 1 -c 1 x 1 – බී 12 x 2) = 0 (dx 1 /dt = 0),

x 2 (ඒ 2 –බී 21 x 1 – c 2 x 2) = 0 (dx 2 /dt = 0),

මෙම අවස්ථාවේදී, අපි පද්ධතියේ ප්රධාන සමස්ථානික සඳහා සමීකරණ ලබා ගනිමු

x 2 = – ආ 21 x 1 / c 2 +ඒ 2/c 2, x 2 = 0

- සිරස් ස්පර්ශක සමස්ථානික සමීකරණ.

x 2 = – c 1 x 1 / ආ 12 + ඒ 1 /බී 12 , x 1 = 0

- සිරස් ස්පර්ශක සමස්ථානික සමීකරණ. සිරස් සහ තිරස් ස්පර්ශක පද්ධතිවල සමස්ථානික යුගල වශයෙන් ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යයන් සමීකරණ පද්ධතියේ ස්ථාවර විසඳුම් (9.2.) සහ ඒවායේ ඛණ්ඩාංක නියෝජනය කරයි. තරඟකාරී විශේෂවල ස්ථාවර සංඛ්‍යා වේ.

පද්ධතියේ (9.2) ප්රධාන සමස්ථානිකවල ඇති විය හැකි ස්ථානය 9.1 රූපයේ දැක්වේ. සහල්. 9.1ඒවිශේෂයේ පැවැත්මට අනුරූප වේx 1, fig. 9.1 බී- විශේෂයේ පැවැත්මx 2, fig. 9.1 වී- කොන්දේසිය (9.6) තෘප්තිමත් වූ විට විශේෂවල සහජීවනය. රූපය 9.1ජීප්‍රේරක පද්ධතිය විදහා දක්වයි. මෙහිදී තරඟයේ ප්රතිඵලය ආරම්භක කොන්දේසි මත රඳා පවතී. වර්ග දෙකම සඳහා ශුන්‍ය නොවන ස්ථාවර තත්ත්වය (9.5) අස්ථායී වේ. එක් එක් විශේෂයේ පැවැත්මේ ප්‍රදේශ වෙන් කරමින් Separtrix ගමන් කරන සෑදලය මෙයයි.

සහල්. 9.1විවිධ පරාමිති අනුපාත සහිත වර්ග දෙකක (9.2) තරඟකාරී වෝල්ටෙරා පද්ධතියේ අදියර ප්‍රතිමූර්තිය මත ප්‍රධාන අයිසොක්ලයින් පිහිටීම. පෙළෙහි පැහැදිලි කිරීම්.

විශේෂ තරඟකාරිත්වය අධ්‍යයනය කිරීම සඳහා, විවිධාකාර ජීවීන් මත අත්හදා බැලීම් සිදු කරන ලදී. සාමාන්‍යයෙන්, සමීපව සම්බන්ධ වන විශේෂ දෙකක් තෝරාගෙන දැඩි පාලිත තත්ත්ව යටතේ එකට සහ වෙන වෙනම වගා කෙරේ. නිශ්චිත කාල පරතරයන්හිදී, ජනගහනයේ සම්පූර්ණ හෝ තෝරාගත් සංගණනයක් සිදු කරනු ලැබේ. අනුරූ අත්හදා බැලීම් කිහිපයක දත්ත පටිගත කර විශ්ලේෂණය කරනු ලැබේ. ප්‍රොටෝසෝවා (විශේෂයෙන්, සිලියට්), ට්‍රයිබෝලියම් කුලයට අයත් කුරුමිණි විශේෂ, ඩ්‍රොසෝෆිලා සහ මිරිදිය කබොල (ඩැෆ්නියා) පිළිබඳ අධ්‍යයනයන් සිදු කරන ලදී. ක්ෂුද්‍රජීවී ගහනය මත බොහෝ අත්හදා බැලීම් සිදු කර ඇත (දේශනය 11 බලන්න). සැලසුම්කරුවන් (රෙනෝල්ඩ්ස්), කුහුඹුවන් විශේෂ දෙකක් (පොන්ටින්) ආදිය ඇතුළුව ස්වභාවධර්මයේ අත්හදා බැලීම් ද සිදු කරන ලදී. 9.2 එකම සම්පත භාවිතා කරමින් (එකම පාරිසරික නිකේතනයක් අල්ලාගෙන) ඩයටම් වල වර්ධන වක්‍ර නිරූපණය කරයි. ඒක සංස්කෘතියේ වගා කරන විට Asterionella Formosa ඝනත්වයේ නියත මට්ටමකට ළඟා වන අතර සම්පත (සිලිකේට්) සාන්ද්රණය නිරන්තරයෙන් අඩු මට්ටමක පවත්වා ගනී. B. ඒක වගාවේ වගා කරන විටසිනෙඩ්රැවිනා සමාන ආකාරයකින් හැසිරෙන අතර සිලිකේට් සාන්ද්රණය ඊටත් වඩා පහළ මට්ටමක පවත්වා ගනී. B. සම වගා කිරීමේදී (අනුපිටපත් වලින්) Synedrauina Asterionella formosa විස්ථාපනය කරයි. පෙනෙන විදිහට Synedra

සහල්. 9.2ඩයැටම් වල තරඟය. ඒ -ඒක සංස්කෘතියේ වගා කරන විට Asterionella Formosa ඝනත්වයේ නියත මට්ටමකට ළඟා වන අතර සම්පත (සිලිකේට්) සාන්ද්රණය නිරන්තරයෙන් අඩු මට්ටමක පවත්වා ගනී. බී -ඒක සංස්කෘතියේ වගා කරන විටසිනෙඩ්රැවිනා සමාන ආකාරයකින් හැසිරෙන අතර සිලිකේට් සාන්ද්රණය ඊටත් වඩා පහළ මට්ටමක පවත්වා ගනී. V -සම වගාව සමඟ (අනුපිටපත් වලින්) Synedruina Asterionella formosa විස්ථාපනය කරයි. පෙනෙන විදිහට Synedra උපස්ථරය වඩාත් සම්පූර්ණයෙන් භාවිතා කිරීමේ හැකියාව හේතුවෙන් තරඟය ජය ගනී (දේශනය 11 ද බලන්න).

G. Gause විසින් කරන ලද තරඟකාරිත්වය අධ්‍යයනය කිරීමේ අත්හදා බැලීම් පුළුල් ලෙස දන්නා අතර, තරඟ කරන එක් විශේෂයක පැවැත්ම පෙන්නුම් කරන අතර ඔහුට "තරඟකාරී බැහැර කිරීමේ නීතිය" සැකසීමට ඉඩ සලසයි. එක් පාරිසරික ස්ථානයක පැවතිය හැක්කේ එක් විශේෂයකට පමණක් බව නීතියේ සඳහන් වේ. රූපයේ. 9.3 Gause ගේ අත්හදා බැලීම්වල ප්‍රතිඵල ඉදිරිපත් කරනු ලබන්නේ Parametium විශේෂ දෙකක් සඳහා වන අතර, එකම පාරිසරික නිකේතනයක් (රූපය 9.3 a, b) සහ විවිධ පාරිසරික නිකේතනවල වාසය කරන විශේෂයන් (Fig. 9.3 c).

සහල්. 9.3 ඒ- විශේෂ දෙකක ජනගහන වර්ධන වක්‍රපරාමිතිය තනි විශේෂ භෝග වල. කළු කව -පී ඕරෙලියා, සුදු කව - පී. කෞඩටම්

බී- P Aurelia සහ P හි වර්ධන වක්‍ර. කෞඩටම් මිශ්ර සංස්කෘතියක.

ගෝස් විසිනි, 1934

තරඟ ආකෘතියට (9.2) අවාසි ඇත, විශේෂයෙන්, විශේෂ දෙකක සහජීවනය කළ හැක්කේ ඒවායේ සංඛ්‍යාව විවිධ සාධක මගින් සීමා වුවහොත් පමණක් බව අනුගමනය කරයි, නමුත් දිගුකාලීන සහජීවනය සහතික කිරීම සඳහා වෙනස්කම් කෙතරම් විශාල විය යුතුද යන්න ආකෘතියෙන් පෙන්නුම් නොකරයි. . ඒ අතරම, වෙනස්වන පරිසරයක දිගුකාලීන සහජීවනය සඳහා, යම් විශාලත්වයකට ළඟා වන වෙනසක් අවශ්ය බව දන්නා කරුණකි. ආකෘතියට ස්ටෝචස්ටික් මූලද්රව්ය හඳුන්වාදීම (උදාහරණයක් ලෙස, සම්පත් භාවිත කිරීමේ කාර්යයක් හඳුන්වා දීම) මෙම ගැටළු ප්රමාණාත්මකව විමර්ශනය කිරීමට අපට ඉඩ සලසයි.

PREDATOR+VICTIM පද්ධතිය

(9.7)

මෙන්න, (9.2) ට ප්රතිවිරුද්ධව, සංඥා බී 12 සහ බී 21 වෙනස් වේ. තරඟයේ දී මෙන්, සම්භවය

(9.8)

අස්ථායී නෝඩ් වර්ගයේ විශේෂ ලක්ෂ්යයකි. හැකි තවත් ස්ථාවර ප්‍රාන්ත තුනක්:

,(9.9)

(9.10)

(9.11)

මේ අනුව, ගොදුරට පමණක් (9.10), විලෝපිකයාට (9.9) (වෙනත් ආහාර ප්‍රභවයන් තිබේ නම්) සහ විශේෂ දෙකෙහිම සහජීවනය (9.11) පමණක් පැවතිය හැකිය. අපි දැනටමත් දේශනය 5 හි අවසාන විකල්පය සාකච්ඡා කර ඇත. විලෝපික-ගොදුරක් පද්ධතියක් සඳහා විය හැකි ආකාරයේ ෆේස් පෝට්රේට් රූපයේ දැක්වේ. 9.4

තිරස් ස්පර්ශක අයිසොක්ලින් සරල රේඛා වේ

x 2 = – බී 21 x 1 /c 2 + ඒ 1/c 2, x 2 = 0,

සහ සිරස් ස්පර්ශක සමස්ථානික- කෙලින්ම

x 2 = – c 1 x 1 /බී 12 + ඒ 2 /බී 12 , x 1 = 0.

නිශ්චල ලක්ෂ්‍ය සිරස් සහ තිරස් ස්පර්ශක සමස්ථානිකවල මංසන්ධියේ පිහිටා ඇත.

රූපයෙන්. 9.4 පහත දැක්වෙන්නේ දෘශ්යමාන වේ. විලෝපික-ගොදුර පද්ධතිය (9.7) ස්ථාවර සමතුලිත තත්වයක් තිබිය හැක, එහි දී o වින්දිතයින්ගේ රම් ජනගහනය සම්පූර්ණයෙන්ම මිය ගියේය ( ) විලෝපිකයන් පමණක් ඉතිරිව ඇත (කාලසීමාව 2 රූපයේ. 9.4 ඒ). නිසැකවම, එවැනි තත්වයක් සාක්ෂාත් කරගත හැක්කේ, අදාළ වින්දිතයන් වර්ගයට අමතරව, x 1 විලෝපිකයා x 2 - අතිරේක බලශක්ති ප්රභවයන් ඇත. මෙම කරුණ x2 සඳහා සමීකරණයේ දකුණු පැත්තේ ධනාත්මක පදය මඟින් ආකෘතියෙන් පිළිබිඹු වේ. විශේෂ කරුණු(1) සහ (3) (රූපය 9.4 ඒ) අස්ථායී වේ. දෙවන හැකියාව – විලෝපිකයන්ගේ ජනගහනය සම්පූර්ණයෙන්ම මිය ගොස් ගොදුර පමණක් ඉතිරිව ඇති ස්ථාවර ස්ථාවර තත්වයක් – ස්ථාවර ලක්ෂ්යය(3) (රූපය 9.4 6 ). මෙය විශේෂ කරුණකි (1) – අස්ථායී නෝඩයක් ද වේ.

අවසාන වශයෙන්, තුන්වන හැකියාව – විලෝපිකයන්ගේ සහ ගොදුරු ගහනයේ තිරසාර සහජීවනය (රූපය 9.4 වී), සූත්‍ර මගින් ප්‍රකාශ කෙරෙන නිශ්චල සංඛ්‍යා (9.11).

එක් ජනගහනයක් සම්බන්ධයෙන් මෙන් (දේශනය 3 බලන්න), ආකෘතිය සඳහා (9.7) ස්ටෝචස්ටික් ආකෘතියක් වර්ධනය කළ හැකි නමුත් එය පැහැදිලිව විසඳිය නොහැක. එබැවින්, අපි සාමාන්ය සලකා බැලීම් වලට සීමා වනු ඇත. උදාහරණයක් ලෙස, සමතුලිත ලක්ෂ්‍යය එක් එක් අක්ෂයෙන් යම් දුරකින් පිහිටා ඇති බව උපකල්පනය කරමු. එවිට අගයන් ඇති අදියර ගමන් පථ සඳහාx 1 , x 2 ප්‍රමාණවත් තරම් විශාලව පවතිනු ඇත, නියතිවාදී ආකෘතියක් තරමක් සතුටුදායක වනු ඇත. නමුත් අදියර ගමන් පථයේ යම් අවස්ථාවක දී කිසියම් විචල්‍යයක් ඉතා විශාල නොවේ නම්, අහඹු උච්චාවචනයන් සැලකිය යුතු විය හැකිය. ඒවා නියෝජනය කරන ලක්ෂ්‍යය එක් අක්ෂයකට ගමන් කරයි, එයින් අදහස් කරන්නේ අනුරූප විශේෂයේ වඳ වී යාමයි.

මේ අනුව, ස්ටෝචස්ටික් "ප්ලාවිතය" ඉක්මනින් හෝ පසුව එක් විශේෂයක් වඳ වී යාමට හේතු වන බැවින්, ස්ටෝචස්ටික් ආකෘතිය අස්ථායී වේ. මෙවැනි ආකෘතියක් තුළ, විලෝපිකයා අවසානයේදී වඳ වී යයි, එක්කෝ අහම්බෙන් හෝ එහි ගොදුරු ගහනය මුලින්ම තුරන් කිරීම නිසා. විලෝපික-ගොදුර පද්ධතියේ ස්ටෝචස්ටික් ආකෘතිය ගෝස්ගේ අත්හදා බැලීම් හොඳින් පැහැදිලි කරයි (ගෝස්, 1934), එහි ciliates පරාමට්ටම් කැන්ඩටම්වෙනත් ciliate සඳහා ගොදුරක් ලෙස සේවය කළේය ඩිඩිනියම් නසාටම් – විලෝපිකයා. නියතිවාදී සමීකරණ අනුව බලාපොරොත්තු වේ (9.7) මෙම පරීක්‍ෂණවල සමතුලිත සංඛ්‍යා දළ වශයෙන් එක් එක් විශේෂයේ පුද්ගලයන් පස් දෙනකු පමණක් වූ බැවින් නැවත නැවත කරන ලද සෑම පරීක්‍ෂණයකදීම විලෝපිකයන් හෝ ගොදුරු (සහ ඔවුන්ගෙන් පසුව විලෝපිකයන්) ඉතා ඉක්මනින් මිය යාම පුදුමයක් නොවේ රූපයේ. 9.5

සහල්. 9.5. උස Parametium caudatum සහ කොල්ලකාරී සිලියට් Dadinium nasutum. සිට : ගෝස් ජී.එෆ්. පැවැත්ම සඳහා අරගලය. බැල්ටිමෝර්, 1934

එබැවින්, විශේෂ අන්තර්ක්‍රියා පිළිබඳ වෝල්ටෙරා ආකෘති විශ්ලේෂණයෙන් පෙනී යන්නේ, එවැනි පද්ධතිවල විවිධාකාර හැසිරීම් වර්ග තිබියදීත්, තරඟකාරී විශේෂවල ආකෘතියේ සංඛ්‍යාවල නොකැඩූ උච්චාවචනයන් කිසිසේත් තිබිය නොහැකි බවයි. කෙසේ වෙතත්, එවැනි උච්චාවචනයන් ස්වභාව ධර්මයේ සහ අත්හදා බැලීමේ දී නිරීක්ෂණය කරනු ලැබේ. ඔවුන්ගේ න්‍යායික පැහැදිලි කිරීමේ අවශ්‍යතාවය ආදර්ශ විස්තර වඩාත් සාමාන්‍ය ආකාරයෙන් සකස් කිරීමට එක් හේතුවක් විය.

වර්ග දෙකක අන්තර්ක්‍රියා වල සාමාන්‍ය ආකෘති

විශේෂවල අන්තර්ක්‍රියා විස්තර කිරීම සඳහා ආකෘති විශාල සංඛ්‍යාවක් යෝජනා කර ඇත, සමීකරණවල දකුණු පස අන්තර්ක්‍රියා කරන ජනගහන සංඛ්‍යාවේ ශ්‍රිත විය. ස්ථාවර උච්චාවචනයන් ඇතුළුව තාවකාලික ජනගහන ප්‍රමාණයේ හැසිරීම විස්තර කළ හැක්කේ කුමන ආකාරයේ ශ්‍රිතයන්ද යන්න තහවුරු කිරීම සඳහා සාමාන්‍ය නිර්ණායක සංවර්ධනය කිරීමේ ගැටළුව විසඳා ඇත. මෙම ආකෘතිවලින් වඩාත් ප්රසිද්ධ වන්නේ Kolmogorov (1935, සංශෝධිත ලිපිය - 1972) සහ Rosenzweig (1963) ය.

(9.12)

ආකෘතියට පහත උපකල්පන ඇතුළත් වේ:

1) විලෝපිකයන් එකිනෙකා සමඟ අන්තර් ක්රියා නොකරයි, i.e. විලෝපික ප්රතිනිෂ්පාදන අනුපාතය කේ 2 සහ වින්දිතයින් සංඛ්යාව එල්එක් විලෝපිකයෙකු විසින් ඒකක කාලයකට විනාශ කිරීම මත රඳා නොපවතී y.

2) විලෝපිකයන් සිටින විට ගොදුරු සංඛ්‍යාව වැඩිවීම විලෝපිකයන් නොමැතිකම වැඩිවීමට සමාන වේ, විලෝපිකයන් විසින් විනාශ කරන ලද ගොදුරු සංඛ්‍යාව අඩු වේ. කාර්යයන් කේ 1 (x), කේ 2 (x), එල්(x), ධනාත්මක අර්ධ අක්ෂය මත අඛණ්ඩව සහ අර්ථ දක්වා ඇත x, y³ 0.

3) dk 1 /dx< 0. මෙයින් අදහස් කරන්නේ විලෝපිකයෙකු නොමැති විට ගොදුරු ප්‍රජනන වේගය ගොදුරු සංඛ්‍යාව වැඩිවීමත් සමඟ ඒකාකාරී ලෙස අඩු වන අතර එමඟින් ආහාර සහ අනෙකුත් සම්පත් සීමිත ලෙස ලබා ගත හැකි බව පිළිබිඹු වේ.

4) dk 2 /dx> 0, කේ 2 (0) < 0 < k 2 (¥ ). ගොදුරේ සංඛ්‍යාව වැඩිවීමත් සමඟ, විලෝපිකයන්ගේ ප්‍රජනන සංගුණකය ගොදුරේ සංඛ්‍යාව වැඩිවීමත් සමඟ ඒකාකාරී ලෙස අඩු වේ. සෘණ අගයන්, (කන්න කිසිවක් නොමැති විට) ධනාත්මක වෙත.

5) කාල ඒකකයකට එක් විලෝපිකයෙකු විසින් විනාශ කරන ලද ගොදුරු සංඛ්යාව එල්(x)> 0 හිදී N> 0; එල්(0)=0.

පද්ධතියේ (9.12) විය හැකි ආකාරයේ ෆේස් පෝට්රේට් රූපයේ දැක්වේ. 9.6:

සහල්. 9.6කොල්මොගොරොව් පද්ධතියේ (9.12) අදියර ඡායාරූප, පරාමිතිවල විවිධ අනුපාතවල වර්ග දෙකක අන්තර්ක්‍රියා විස්තර කරයි. පෙළෙහි පැහැදිලි කිරීම්.

ස්ථාවර විසඳුම් (දෙකක් හෝ තුනක් ඇත) පහත ඛණ්ඩාංක ඇත:

(1). ` x=0;` y=0.

ඕනෑම පරාමිති අගයක් සඳහා ඛණ්ඩාංකවල මූලාරම්භය සෑදලයකි (රූපය 9.6 a-d).

(2). ` x=A,` y=0.(9.13)

ඒසමීකරණයෙන් තීරණය වේ:

කේ 1 (ඒ)=0.

ස්ථාවර විසඳුම (9.13) නම් සෑදලයකි බී< ඒ (රූපය 9.6 ඒ, බී, ජී), බී සමීකරණයෙන් තීරණය වේ

කේ 2 (බී)=0

ලක්ෂ්‍යය (9.13) නම් ධන හතරේ තබා ඇත B>A . මෙය ස්ථාවර නෝඩයකි .

විලෝපිකයාගේ මරණයට සහ ගොදුරේ පැවැත්මට අනුරූප වන අවසාන අවස්ථාව රූපයේ දැක්වේ. 9.6 වී.

(3). ` x=B,` y=C.(9.14)

C හි අගය සමීකරණ වලින් තීරණය වේ:

ලක්ෂ්යය (9.14) - අවධානය (Fig.9.6 ඒ) හෝ නෝඩය (Fig.9.6 ජී), එහි ස්ථායීතාවය ප්රමාණයේ සලකුණ මත රඳා පවතීs

s 2 = – කේ 1 (ආ) - කේ 1 (බී)B+L(බී)සී.

නම් s>0, ලක්ෂ්‍යයක් නම් ස්ථාවර වේs<0 ‑ точка неустойчива, и вокруг нее могут существовать предельные циклы (рис. 9.6 බී)

විදේශීය සාහිත්‍යයේ, Rosenzweig සහ MacArthur (1963) විසින් යෝජනා කරන ලද සමාන ආකෘතියක් බොහෝ විට සලකා බලනු ලැබේ:

(9.15)

කොහෙද f(x) - වින්දිතයින් සංඛ්යාව වෙනස් වීමේ අනුපාතය xවිලෝපිකයන් නොමැති විට, F( x,y) - කොල්ලකෑමේ තීව්‍රතාවය, කේ- ගොදුරු ජෛව ස්කන්ධය විලෝපික ජෛව ස්කන්ධයක් බවට සැකසීමේ කාර්යක්ෂමතාව සංගුණකය, ඊ- විලෝපික මරණ.

ආකෘතිය (9.15) පහත උපකල්පන යටතේ කොල්මොගොරොව් ආකෘතියේ (9.12) විශේෂ අවස්ථාවක් දක්වා අඩු කරයි:

1) විලෝපිකයන් සංඛ්යාව ගොදුරු සංඛ්යාවෙන් පමණක් සීමා වේ,

2) දී ඇති විලෝපිකයෙකු ගොදුරක් අනුභව කරන වේගය ගොදුරු ගහනයේ ඝනත්වය මත පමණක් රඳා පවතින අතර විලෝපික ජනගහනයේ ඝනත්වය මත රඳා නොපවතී.

එවිට සමීකරණ (9.15) ස්වරූපය ගනී.

සැබෑ විශේෂවල අන්තර්ක්‍රියා විස්තර කිරීමේදී, ජීව විද්‍යාත්මක යථාර්ථයන් පිළිබඳ අදහස්වලට අනුකූලව සමීකරණවල දකුණු පස දක්වා ඇත. මෙම වර්ගයේ වඩාත් ජනප්රිය මාදිලි වලින් එකක් සලකා බලමු.

කෘමීන් වර්ග දෙකක් අතර අන්තර්ක්‍රියා ආකෘතිය (මැක්ආතර්, 1971)

අපි පහත සලකා බලනු ලබන ආකෘතිය, එක් විශේෂයක පිරිමින් විෂබීජහරණය කිරීමෙන් හානිකර කෘමීන් පාලනය කිරීමේ ප්‍රායෝගික ගැටළුව විසඳීම සඳහා භාවිතා කරන ලදී. විශේෂ අන්තර්ක්‍රියා වල ජීව විද්‍යාත්මක ලක්ෂණ මත පදනම්ව, පහත ආකෘතිය ලියා ඇත

(9.16)

මෙතන x,y- කෘමීන් වර්ග දෙකක ජෛව ස්කන්ධය. මෙම ආකෘතියේ විස්තර කර ඇති විශේෂවල ට්රොෆික් අන්තර්ක්රියා ඉතා සංකීර්ණ වේ. මෙය සමීකරණවල දකුණු පස ඇති බහුපදවල ස්වරූපය තීරණය කරයි.

පළමු සමීකරණයේ දකුණු පැත්ත බලමු. කෘමි විශේෂ xවිශේෂයේ කීටයන් කන්න හිදී(සාමාජික +k 3 y),නමුත් විශේෂයේ වැඩිහිටියන් හිදීවිශේෂයේ කීටයන් කන්න xඉහළ විශේෂ බහුලත්වයට යටත් වේ xහෝ හිදීහෝ වර්ග දෙකම (සාමාජිකයින් -කේ 4 xy, – y 2). කුඩා දී xවිශේෂ මරණ xඑහි ස්වභාවික වැඩිවීමට වඩා වැඩි (1 -කේ 1 +k 2 x-x 2 < 0 කුඩා දී X).දෙවන සමීකරණයේ පදය කේ 5 විශේෂයේ ස්වභාවික වර්ධනය පිළිබිඹු කරයි y; -කේ 6 y -මෙම වර්ගයේ ස්වයං සංයමය,-කේ 7 x- විශේෂයේ කීටයන් ආහාරයට ගැනීම හිදීකෘමි විශේෂ x, k 8 xy – විශේෂ ජෛව ස්කන්ධය වැඩි වීම හිදීවිශේෂයේ වැඩිහිටි කෘමීන් විසින් පරිභෝජනය කිරීම හේතුවෙන් හිදීවිශේෂයේ කීටයන් X.

රූපයේ. 9.7 පද්ධතියේ ස්ථාවර ආවර්තිතා විසඳුමක ගමන් පථය වන සීමා චක්‍රයක් ඉදිරිපත් කෙරේ (9.16).

ජනගහනයක ජීව විද්‍යාත්මක පරිසරය සමඟ සහජීවනය සහතික කරන්නේ කෙසේද යන ප්‍රශ්නයට විසඳුම, ඇත්ත වශයෙන්ම, විශේෂිත ජීව විද්‍යාත්මක පද්ධතියක විශේෂතා සහ එහි සියලු අන්තර් සම්බන්ධතා විශ්ලේෂණය නොකර ලබා ගත නොහැක. ඒ අතරම, විධිමත් ගණිතමය ආකෘති අධ්‍යයනය කිරීමෙන් සාමාන්‍ය ප්‍රශ්න කිහිපයකට පිළිතුරු දීමට අපට ඉඩ සලසයි. (9.12) වැනි ආකෘතීන් සඳහා, ජනගහනයේ ගැළපුම හෝ නොගැලපීම ඔවුන්ගේ ආරම්භක ප්‍රමාණය මත රඳා නොපවතින නමුත් විශේෂවල අන්තර් ක්‍රියාකාරිත්වයේ ස්වභාවය අනුව පමණක් තීරණය වන බව තර්ක කළ හැකිය. මෙම ආකෘතිය ප්‍රශ්නයට පිළිතුරු දීමට උපකාරී වේ: හැකි ඉක්මනින් හානිකර විශේෂ ඉක්මනින් විනාශ කිරීම සඳහා biocenosis වලට බලපෑම් කරන්නේ කෙසේද සහ එය කළමනාකරණය කරන්නේ කෙසේද.

කළමනාකරණය කෙටි කාලීන, ජනගහන අගයන්හි හදිසි වෙනසක් දක්වා අඩු කළ හැකිය xසහ u.මෙම ක්‍රමය රසායනික ක්‍රම මගින් ජනගහන එකක් හෝ දෙකම එකවර විනාශ කිරීම වැනි පාලන ක්‍රමවලට අනුරූප වේ. ඉහත සූත්‍රගත කරන ලද ප්‍රකාශයෙන් පැහැදිලි වන්නේ කාලයත් සමඟ පද්ධතිය නැවත ස්ථාවර පාලන තන්ත්‍රයක් කරා ළඟා වන බැවින් අනුකූල ජනගහනය සඳහා මෙම පාලන ක්‍රමය අකාර්යක්ෂම වනු ඇති බවයි.

තවත් ක්‍රමයක් නම් දර්ශන අතර අන්තර්ක්‍රියා ශ්‍රිත වෙනස් කිරීමයි, උදාහරණයක් ලෙස, පද්ධති පරාමිතීන්ගේ අගයන් වෙනස් කිරීමේදී. ජීව විද්‍යාත්මක පාලන ක්‍රමවලට අනුරූප වන්නේ මෙම පරාමිතික ක්‍රමයයි. මේ අනුව, විෂබීජහරණය කළ පිරිමි හඳුන්වා දුන් විට, ස්වභාවික ජනගහන වර්ධන වේගය අඩු වේ. ඒ සමගම අපට වෙනත් ආකාරයේ ෆේස් පෝට්රේට් එකක් ලැබෙන්නේ නම්, ශුන්‍ය පළිබෝධ අංක සහිත ස්ථායී නිශ්චල තත්වයක් පමණක් තිබේ නම්, පාලනය අපේක්ෂිත ප්‍රතිඵලය කරා ගෙන යනු ඇත. – හානිකර විශේෂයක ජනගහනය විනාශ කිරීම. සමහර විට බලපෑම පළිබෝධකයන්ට නොව එහි සහකරුට යෙදීම සුදුසු බව සඳහන් කිරීම සිත්ගන්නා කරුණකි. පොදුවේ ගත් කල, වඩාත් ඵලදායී වන්නේ කුමන ක්රමයදැයි කිව නොහැකිය. මෙය පවතින පාලනයන් මත සහ ජනගහනයේ අන්තර්ක්‍රියා විස්තර කරන ශ්‍රිතවල පැහැදිලි ස්වරූපය මත රඳා පවතී.

A.D. Bazykin විසින් ආකෘතිය

විශේෂ අන්තර්ක්‍රියා වල ආකෘතීන් පිළිබඳ න්‍යායික විශ්ලේෂණය වඩාත් විස්තීර්ණ ලෙස සිදු කරන ලද්දේ A.D. Bazykin ගේ "අන්තර්ක්‍රියාකාරී ජනගහනයේ ජෛව භෞතික විද්‍යාව" (M., Nauka, 1985).

මෙම පොතේ අධ්‍යයනය කරන ලද විලෝපික-ගොදුරේ ආකෘතියක් සලකා බලමු.

(9.17)

පද්ධතිය (9.17) යනු විලෝපික සන්තෘප්තියේ බලපෑම සැලකිල්ලට ගනිමින් සරලම Volterra විලෝපික-ගොදුර ආකෘතියේ (5.17) සාමාන්‍යකරණයකි. ආදර්ශය (5.17) උපකල්පනය කරන්නේ ගොදුර තෘණ කිරීමෙහි තීව්‍රතාවය වැඩි වන ගොදුරේ ඝනත්වය සමඟ රේඛීයව වැඩි වන අතර එය ඉහළ ගොදුර ඝනත්වයේ දී යථාර්ථයට අනුරූප නොවේ. ගොදුරු ඝනත්වය මත විලෝපිකයෙකුගේ ආහාර වේලෙහි යැපීම විස්තර කිරීමට විවිධ කාර්යයන් තෝරාගත හැක. වර්ධනය සමඟ තෝරාගත් කාර්යය වඩාත් වැදගත් වේ xඅසමමිතිකව නියත අගයකට නැඹුරු විය. ආකෘතිය (9.6) ලොජිස්ටික් යැපීම භාවිතා කළේය. Bazykin ගේ ආකෘතියේ දී, හයිපර්බෝලා එවැනි කාර්යයක් ලෙස තෝරා ඇත x/(1+px) උපස්ථරයේ සාන්ද්‍රණය මත ක්ෂුද්‍ර ජීවීන්ගේ වර්ධන වේගය රඳා පැවතීම විස්තර කරන මොනෝඩ් සූත්‍රයේ ස්වරූපය මෙය බව අපි මතක තබා ගනිමු. මෙහිදී ගොදුර උපස්ථරයේ කාර්යභාරය ඉටු කරන අතර විලෝපිකයා ක්ෂුද්ර ජීවීන්ගේ භූමිකාව ඉටු කරයි. .

පද්ධතිය (9.17) පරාමිති හතක් මත රඳා පවතී. විචල්‍යයන් ප්‍රතිස්ථාපනය කිරීමෙන් පරාමිති ගණන අඩු කළ හැක:

x® (දැන්වීම)x; y ® (දැන්වීම)/y;

ටී® (1/A)ටී; g (9.18)

සහ පරාමිති හතරක් මත රඳා පවතී.

සම්පූර්ණ ගුණාත්මක අධ්‍යයනයක් සඳහා, විවිධ වර්ගයේ ගතික හැසිරීම් සහිත ප්‍රදේශවලට සිව්මාන පරාමිති අවකාශය බෙදීම අවශ්‍ය වේ, i.e. පද්ධතියේ පරාමිතික හෝ ව්‍යුහාත්මක ප්‍රතිමූර්තියක් ගොඩනැගීම.

එවිට පරාමිතික ප්‍රතිමූර්තියේ එක් එක් ප්‍රදේශ සඳහා අදියර ආලේඛ්‍ය නිර්මාණය කිරීම අවශ්‍ය වන අතර පරාමිතික ප්‍රතිමූර්තියේ විවිධ ප්‍රදේශවල මායිම්වල අවධි ඡායාරූප සමඟ සිදුවන බෙදීම් විස්තර කිරීම අවශ්‍ය වේ.

සම්පූර්ණ පරාමිතික ආලේඛ්‍ය චිත්‍රයක් තැනීම සිදු කරනු ලබන්නේ සමහර පරාමිතිවල ස්ථාවර අගයන් සහිත අඩු-මාන පරාමිතික ප්‍රතිමූර්තියක “පෙති” (ප්‍රක්ෂේපණ) කට්ටලයක ස්වරූපයෙන් ය.

ස්ථාවර සඳහා පද්ධතියේ පරාමිතික ප්‍රතිමූර්තිය (9.18). gහා කුඩා ඊරූපය 9.8 හි ඉදිරිපත් කර ඇත. ප්‍රතිමූර්තියෙහි අදියර ගමන් පථවල විවිධ ආකාරයේ හැසිරීම් සහිත ප්‍රදේශ 10ක් අඩංගු වේ.

සහල්. 9.8ස්ථාවර සඳහා පද්ධතියේ පරාමිතික ප්‍රතිමූර්තිය (9.18).g

හා කුඩා ඊ

පරාමිතිවල විවිධ අනුපාතවල පද්ධතියේ හැසිරීම සැලකිය යුතු ලෙස වෙනස් විය හැකිය (රූපය 9.9). පද්ධතිය ඉඩ දෙයි:

1) එක් ස්ථාවර සමතුලිතතාවයක් (කලාප 1 සහ 5);

2) එක් ස්ථාවර සීමාව චක්රයක් (කලාප 3 සහ 8);

3) ස්ථාවර සමතුලිතතා දෙකක් (කලාප 2)

4) ස්ථායී සීමාව චක්‍රය සහ එහි ඇතුළත අස්ථායී සමතුලිතතාවය (කලාප 6, 7, 9, 10)

5) ස්ථාවර සීමාව චක්‍රය සහ ඉන් පිටත ස්ථායී සමතුලිතතාවය (කලාප 4).

පරාමිතික කලාප 7, 9, 10 තුළ, සමතුලිතයේ ආකර්ෂණ කලාපය ස්ථාවර එකක් තුළ ඇති අස්ථායී සීමාව චක්‍රයකින් සීමා වේ. වඩාත් සිත්ගන්නාසුලු ව්‍යුහය වන්නේ පරාමිතික ප්‍රතිමූර්තියේ 6 වන ප්‍රදේශයට අනුරූප වන අදියර ප්‍රතිමූර්තියයි. එය රූපයේ විස්තරාත්මකව දක්වා ඇත. 9.10.

සමතුලිතතාවය B 2 (සෙවන ලද) ආකර්ශනීය ප්රදේශය අස්ථායී අවධානය B 1 සිට "ගොළුබෙල්ලෙකු" වේ. ආරම්භක මොහොතේ පද්ධතිය B 1 ආසන්නයේ බව දන්නේ නම්, අනුරූප ගමන් පථය සමතුලිතතාවය B 2 වෙත ළඟා වේ ද නැතහොත් සමතුලිත ලක්ෂ්‍ය තුන C (saddle) වටා ස්ථායී සීමාව චක්‍රයක් කරා ළඟා වේ ද යන්න විනිශ්චය කළ හැකිය. ), B 1 සහ B 2 සම්භාවිතා සලකා බැලීම් මත පදනම්ව.

Fig.9.10.පරාමිතික කලාපය සඳහා පද්ධතියේ 9.18 අදියර ඡායාරූපය 6. ආකර්ශනීය කලාපය B 2 සෙවන සහිතයි

පරාමිතික ප්‍රතිමූර්තියක(9.7) 22 ක් ඇත සෑදෙන විවිධ බෙදීම් මායිම් 7 විවිධ වර්ගවල බෙදීම්. ඔවුන්ගේ අධ්‍යයනය මඟින් එහි පරාමිතීන් වෙනස් වන විට හැකි පද්ධති හැසිරීම් වර්ග හඳුනා ගැනීමට අපට ඉඩ සලසයි. උදාහරණයක් ලෙස, ප්රදේශයෙන් ගමන් කරන විට 1 සිට ප්‍රදේශය 3 දක්වා කුඩා සීමාව චක්‍රයක උපත සිදු වේ, නැතහොත් තනි සමතුලිතයක් වටා ස්වයං දෝලනය වීමේ මෘදු උපත තුල.ස්වයං දෝලනයන්හි සමාන මෘදු උපතක්, නමුත් සමතුලිතතාවයෙන් එකක් වටා, එනම් බී 1 , කලාපවල මායිම් හරහා ගමන් කරන විට සිදු වේ 2 සහ 4. ප්රදේශයෙන් පිටවන විට 4 සිට 5 දක්වා ප්රදේශය ලක්ෂ්‍යයක් වටා ස්ථායී සීමාව චක්‍රයබී 1 වෙන්වීම් වල ලූපය මත "පිපිරී යයි" සහ එකම ආකර්ශනීය ලක්ෂ්‍යය සමතුලිතව පවතී බී 2 ආදිය

පරිචය සඳහා විශේෂ උනන්දුවක් වන්නේ, ඇත්ත වශයෙන්ම, බෙදීමේ මායිම් වලට පද්ධතියක සමීපත්වය සඳහා නිර්ණායක වර්ධනය කිරීමයි. ඇත්ත වශයෙන්ම, ජීව විද්‍යාඥයින් ස්වභාවික පාරිසරික පද්ධතිවල "බෆරින්" හෝ "නම්‍යශීලී" ගුණය ගැන හොඳින් දනී. මෙම නියමයන් සාමාන්යයෙන් බාහිර බලපෑම් අවශෝෂණය කිරීමට පද්ධතියට ඇති හැකියාව අදහස් කරයි. බාහිර බලපෑමේ තීව්‍රතාවය යම් තීරනාත්මක අගයක් නොඉක්මවන තාක් කල්, පද්ධතියේ හැසිරීම ගුණාත්මක වෙනස්කම් වලට භාජනය නොවේ. අදියර තලය මත, මෙය පද්ධතිය ස්ථායී සමතුලිත තත්ත්වයකට හෝ ස්ථාවර සීමා චක්‍රයකට නැවත පැමිණීමට අනුරූප වේ, එහි පරාමිතීන් මුල් එකට වඩා බොහෝ වෙනස් නොවේ. බලපෑමේ තීව්‍රතාවය අවසර ලත් මට්ටම ඉක්මවා ගිය විට, පද්ධතිය “බිඳී” යන අතර ගුණාත්මකව වෙනස් ගතික හැසිරීම් රටාවකට යයි, උදාහරණයක් ලෙස, එය සරලව මිය යයි. මෙම සංසිද්ධිය බෙදීමේ සංක්‍රාන්තියකට අනුරූප වේ.

සෑම වර්ගයකම බෙදීම් සංක්‍රාන්තියකටම ආවේණික වූ ලක්ෂණ ඇත, එමඟින් පරිසර පද්ධතිය සඳහා එවැනි සංක්‍රාන්තියක අන්තරාය විනිශ්චය කිරීමට හැකි වේ. භයානක මායිමක සමීපත්වය පෙන්නුම් කරන පොදු නිර්ණායක කිහිපයක් මෙන්න. එක් විශේෂයක දී මෙන්, එක් විශේෂයක සංඛ්‍යාව අඩු වූ විට, පද්ධතිය අස්ථායී සෑදල ලක්ෂ්‍යයක් අසල “හිරවී” ගියහොත්, එම සංඛ්‍යාව ආරම්භක අගයට ඉතා සෙමින් ප්‍රතිසාධනය කිරීමේදී ප්‍රකාශ වේ, එවිට පද්ධතිය තීරනාත්මක සීමාව ආසන්නයේ ඇත. අන්තරාය පිළිබඳ දර්ශකයක් ද විලෝපිකයාගේ සහ ගොදුරු සංඛ්යාවෙහි උච්චාවචනවල හැඩය වෙනස් වේ. හාර්මොනික් වලට ආසන්න දෝලනයන් ලිහිල් ඒවා බවට පත් වුවහොත් සහ දෝලනවල විස්තාරය වැඩි වුවහොත්, මෙය පද්ධතියේ ස්ථායීතාවය නැති වී එක් විශේෂයක් වඳ වී යාමට හේතු විය හැක.

විශේෂ අතර අන්තර්ක්‍රියා පිළිබඳ ගණිතමය න්‍යාය තවදුරටත් ගැඹුරු කිරීම ජනගහනයේ ව්‍යුහය විස්තර කිරීම සහ තාවකාලික හා අවකාශීය සාධක සැලකිල්ලට ගනිමින් රේඛා ඔස්සේ ගමන් කරයි.

සාහිත්යය.

Kolmogorov A.N. ජනගහන ගතිකයේ ගණිතමය ආකෘති පිළිබඳ ගුණාත්මක අධ්‍යයනය. // සයිබර්නෙටික් ගැටළු. එම්., 1972, නිකුතුව 5.

MacArtur R. පාරිසරික පද්ධති පිළිබඳ චිත්‍රක විශ්ලේෂණය // ජීව විද්‍යා වාර්තාවේ අංශය Perinceton විශ්වවිද්‍යාලය. 1971

A.D. Bazykin "අන්තර්ක්‍රියාකාරී ජනගහනයේ ජෛව භෞතික විද්‍යාව" එම්., Nauka, 1985.

V. Volterra: "පැවැත්ම සඳහා අරගලයේ ගණිතමය න්යාය." එම්.. විද්යාව, 1976

ගෝස් ජී.එෆ්. පැවැත්ම සඳහා අරගලය. බැල්ටිමෝර්, 1934.

පරිගණක මාදිලිය "PREDATOR-VICTIM"

Kazachkov Igor Alekseevich 1, Guseva Elena Nikolaevna 2
1 Magnitogorsk රාජ්ය තාක්ෂණික විශ්ව විද්යාලය නමින් නම් කර ඇත. ජී.අයි. Nosova, ඉදිකිරීම්, ගෘහ නිර්මාණ ශිල්පය සහ කලා ආයතනය, 5 වසර ශිෂ්ය
2 Magnitogorsk රාජ්ය තාක්ෂණික විශ්ව විද්යාලය විසින් නම් කරන ලදී. ජී.අයි. Nosova, බලශක්ති සහ ස්වයංක්‍රීය පද්ධති ආයතනය, අධ්‍යාපනික විද්‍යා අපේක්ෂකයා, ව්‍යාපාර තොරතුරු හා තොරතුරු තාක්ෂණ දෙපාර්තමේන්තුවේ සහකාර මහාචාර්ය

පරිගණක මාදිලිය "PREDATOR-VICTIM"

Kazatchkov Igor Alekseevich 1, Guseva Elena Nikolaevna 2
1 Nosov Magnitogorsk රාජ්ය තාක්ෂණික විශ්ව විද්යාලය, සිවිල් ඉංජිනේරු, ගෘහ නිර්මාණ ශිල්පය සහ කලා ආයතනය, 5 වන පාඨමාලාවේ ශිෂ්යයා
2 Nosov Magnitogorsk රාජ්‍ය තාක්ෂණික විශ්ව විද්‍යාලය, බලශක්ති ඉංජිනේරු සහ ස්වයංක්‍රීය පද්ධති ආයතනය, අධ්‍යාපනික විද්‍යාව පිළිබඳ ආචාර්ය උපාධිය, ව්‍යාපාර පරිගණක විද්‍යා සහ තොරතුරු තාක්ෂණ දෙපාර්තමේන්තුවේ සහකාර මහාචාර්ය

පාරිසරික ආකෘති නිර්මාණය අපගේ පරිසරය අධ්‍යයනය කිරීමට භාවිතා කරයි. ස්වභාවික පරිසරයක් නොමැති සහ ස්වභාවික වස්තූන් නොමැති අවස්ථාවන්හිදී ගණිතමය ආකෘති භාවිතා කරනු ලබන්නේ අධ්යයනයට ලක්වන වස්තුව මත විවිධ සාධකවල බලපෑම අනාවැකි කීමට උපකාරී වේ. මෙම ක්‍රමය මඟින් ලබාගත් ප්‍රතිඵල පරීක්ෂා කිරීම, ගොඩනැංවීම සහ අර්ථ නිරූපණය කිරීමේ කාර්යයන් භාර ගනී. එවැනි ආකෘති මත පදනම්ව, පාරිසරික ආකෘති නිර්මාණය අප අවට පරිසරයේ වෙනස්කම් තක්සේරු කිරීම සමඟ කටයුතු කරයි.

වර්තමානයේ, එවැනි ආකෘති අප අවට පරිසරය අධ්යයනය කිරීමට භාවිතා කරන අතර, එහි ඕනෑම ප්රදේශයක් අධ්යයනය කිරීමට අවශ්ය වූ විට, ගණිතමය ආකෘති නිර්මාණය භාවිතා වේ. මෙම ආකෘතිය මඟින් අධ්‍යයන වස්තුවට යම් යම් සාධකවල බලපෑම පුරෝකථනය කිරීමට හැකි වේ. එක් අවස්ථාවක, "විලෝපික-ගොදුර" වර්ගය එවැනි විද්යාඥයින් විසින් යෝජනා කරන ලදී: T. Malthus (Malthus 1798, Malthus 1905), Verhulst (Verhulst 1838), Pearl (පර්ල් 1927, 1930), මෙන්ම A. Lotka ( Lotka 1925, 1927 ) සහ V. Volterra (Volterra 1926) මෙම ආකෘති ස්වභාවධර්මයේ අන්තර් විශේෂිත අන්තර්ක්‍රියා හේතුවෙන් පැන නගින ආවර්තිතා දෝලන තන්ත්‍රය ප්‍රතිනිෂ්පාදනය කරයි.

සංජානනයේ ප්‍රධාන ක්‍රමයක් වන්නේ ආකෘති නිර්මාණයයි. එයට අමතරව සිදුවන වෙනස්කම් පුරෝකථනය කළ හැකිය පරිසරය, ගැටලුව විසඳීම සඳහා ප්රශස්ත මාර්ගය සොයා ගැනීමට ද උපකාරී වේ. ජනගහනයේ වර්ධනයේ රටා සහ ප්‍රවණතා ස්ථාපිත කිරීම සඳහා සහ නිරීක්ෂණවල සාරය ඉස්මතු කිරීමට උපකාරී වන පරිදි ගණිතමය ආකෘති දිගු කාලයක් පරිසර විද්‍යාවේ භාවිතා කර ඇත. පිරිසැලසුම නියැදියක් ලෙස සේවය කළ හැකිය හැසිරීම, වස්තුව.

ගණිතමය ජීව විද්‍යාවේ වස්තූන් ප්‍රතිනිර්මාණය කිරීමේදී, විවිධ පද්ධතිවල පුරෝකථනයන් භාවිතා කරනු ලැබේ, ජෛව පද්ධතිවල විශේෂ පුද්ගල ලක්ෂණ සපයනු ලැබේ: පුද්ගලයාගේ අභ්‍යන්තර ව්‍යුහය, ජීවිත ආධාරක තත්වයන්, පාරිසරික පද්ධතිවල ස්ථාවරත්වය, එයට ස්තූතිවන්ත වන පරිදි පද්ධතිවල වැදගත් ක්‍රියාකාරිත්වය ආරක්ෂා වේ. .
පරිගණක ආකෘති නිර්මාණයේ පැමිණීම පර්යේෂණ හැකියාවන්හි මායිම සැලකිය යුතු ලෙස දියුණු කර ඇත. විශ්ලේෂණාත්මක අධ්‍යයනයට ඉඩ නොදෙන දුෂ්කර ආකෘති බහුපාර්ශ්වික ක්‍රියාවට නැංවීමේ හැකියාව නව දිශාවන් මෙන්ම සමාකරණ ආකෘති නිර්මාණය ද මතු වී ඇත.

ආදර්ශ වස්තුවක් යනු කුමක්දැයි සලකා බලමු. “වස්තුව යනු ජීව විද්‍යාත්මක ජනගහන දෙකක් අතර අන්තර්ක්‍රියා සිදුවන සංවෘත වාසස්ථානයකි: විලෝපිකයන් සහ ගොදුරු. වර්ධනය, වඳ වී යාම සහ ප්‍රජනනය යන ක්‍රියාවලිය සිදු වේසෘජුවම වාසස්ථානයේ මතුපිට. ගොදුර පරිසරයේ පවතින සම්පත් වලින් පෝෂණය වන අතර විලෝපිකයන් ගොදුර පෝෂණය කරයි. මෙම අවස්ථාවේ දී, පෝෂණ සම්පත් පුනර්ජනනීය හෝ පුනර්ජනනීය නොවන විය හැකිය.

1931 දී Vito Volterra විලෝපික-ගොදුර සම්බන්ධය පිළිබඳ පහත නීති ව්‍යුත්පන්න කළේය.

ආවර්තිතා චක්‍රයේ නීතිය - විලෝපිකයෙකු විසින් ගොදුරු විනාශ කිරීමේ ක්‍රියාවලිය බොහෝ විට මාංශ භක්ෂක හා ශාකභක්ෂකයන්ගේ වර්ධන වේගය සහ ඔවුන්ගේ සංඛ්‍යාවේ ආරම්භක අනුපාතය මත පමණක් රඳා පවතින විශේෂ දෙකෙහිම ජනගහන ප්‍රමාණයේ ආවර්තිතා උච්චාවචනයන්ට තුඩු දෙයි.

සාමාන්‍ය සංරක්‍ෂණ නීතිය - ජනගහන වර්ධනයේ නිශ්චිත අනුපාත මෙන්ම කොල්ලකෑමේ කාර්යක්ෂමතාවය නියත නම්, ආරම්භක මට්ටම කුමක් වුවත්, එක් එක් විශේෂයේ සාමාන්‍ය බහුලත්වය නියත වේ.

සාමාන්‍ය අගයන් උල්ලංඝනය කිරීමේ නීතිය - විශේෂ දෙකම ඔවුන්ගේ සංඛ්‍යාවට සමානුපාතිකව අඩු වූ විට, ගොදුරේ සාමාන්‍ය ජනගහන ප්‍රමාණය වැඩි වන අතර විලෝපිකයන්ගේ ප්‍රමාණය අඩු වේ.

විලෝපික-ගොදුර ආකෘතිය යනු විලෝපිකයෙකු සහ එහි ගොදුර අතර ඇති විශේෂ සම්බන්ධතාවයක් වන අතර එහි ප්‍රතිඵලයක් ලෙස දෙදෙනාටම ප්‍රතිලාභ ලැබේ. පාරිසරික තත්ත්වයන්ට වඩාත්ම සෞඛ්‍ය සම්පන්න සහ වඩාත්ම අනුවර්තනය වූ පුද්ගලයින් නොනැසී පවතී, i.e. මේ සියල්ල ස්වභාවික වරණය නිසා සිදු වේ. ප්‍රජනනය සඳහා අවස්ථාවක් නොමැති පරිසරයක, විලෝපිකයා ඉක්මනින් හෝ පසුව ගොදුරේ ජනගහනය විනාශ කරනු ඇත, එහි ප්‍රතිඵලයක් ලෙස එය වඳ වී යනු ඇත.

පෘථිවියේ බොහෝ ජීවීන් සිටින අතර, වාසිදායක තත්වයන් යටතේ, ඔවුන්ගේ ඥාතීන්ගේ සංඛ්යාව අතිවිශාල අනුපාතයකින් වැඩි කරයි. මෙම හැකියාව හැඳින්වේ: විශේෂයක ජෛව විභවය, i.e. යම් කාල පරිච්ඡේදයක් තුළ විශේෂ සංඛ්යාව වැඩි වීම. සෑම විශේෂයකටම තමන්ගේම ජෛව විභවයක් ඇත, නිදසුනක් වශයෙන්, විශාල ජීවීන් විශේෂයකට වසරකට 1.1 ගුණයකින් පමණක් වැඩි විය හැකි අතර කුඩා විශේෂවල ජීවීන්, එනම් කබොල වැනි ය. ඔවුන්ගේ පෙනුම 1030 ගුණයක් දක්වා වැඩි කළ හැකි අතර බැක්ටීරියා ඊටත් වඩා විශාල සංඛ්යාවක්. මෙම ඕනෑම අවස්ථාවක, ජනගහනය ඝාතීය ලෙස වර්ධනය වනු ඇත.

ඝාතීය ජනගහන වර්ධනය යනු ජනගහන වර්ධනයේ ජ්‍යාමිතික ප්‍රගතියකි. බැක්ටීරියා සහ යීස්ට් වල රසායනාගාරයේ මෙම හැකියාව නිරීක්ෂණය කළ හැකිය. රසායනාගාර නොවන තත්වයන් තුළ, පළඟැටියන්ගේ හෝ වෙනත් වර්ගවල කෘමීන්ගේ උදාහරණයෙන් ඝාතීය වර්ධනයක් දැකිය හැකිය. ප්‍රායෝගිකව සතුරන් නොමැති එම ස්ථානවල විශේෂ සංඛ්‍යාවේ එවැනි වැඩිවීමක් නිරීක්ෂණය කළ හැකි අතර ප්‍රමාණවත් තරම් ආහාර තිබේ. අවසානයේදී විශේෂවල වැඩිවීමක්, කෙටි කාලයක් සඳහා සංඛ්යාව වැඩි වීමෙන් පසුව, ජනගහන වර්ධනය අඩු වීමට පටන් ගත්තේය.

උදාහරණයක් ලෙස Lotka-Volterra ආකෘතිය භාවිතා කරමින් ක්ෂීරපායී ප්රතිනිෂ්පාදනය පිළිබඳ පරිගණක ආකෘතියක් සලකා බලමු. ඉඩ යම් ප්රදේශයක සතුන් වර්ග දෙකක් ඇත: මුවන් සහ වෘකයන්. ජනගහනයේ ගණිතමය ආකෘතිය ආකෘතියේ වෙනස් වේතැටි-වෝල්ටෙරා:

ගොදුරු වූවන්ගේ ආරම්භක සංඛ්‍යාව xn වේ, විලෝපිකයන් සංඛ්‍යාව yn වේ.

ආකෘති පරාමිතීන්:

P1 - විලෝපිකයෙකු හමුවීමේ සම්භාවිතාව,

P2 - ගොදුරේ වියදමින් විලෝපිකයන්ගේ වර්ධනයේ සංගුණකය,

d - විලෝපික මරණ අනුපාතය,

a - වින්දිතයින්ගේ සංඛ්යාව වැඩිවීමේ සංගුණකය.

පුහුණු කාර්යයේදී, පහත අගයන් සකසා ඇත: මුවන් ගණන 500 ක්, වෘකයන් ගණන 10 ක්, මුවන්ගේ වර්ධන වේගය 0.02 ක්, වෘකයන්ගේ වර්ධන වේගය 0.1 ක්, විලෝපිකයෙකු හමුවීමේ සම්භාවිතාව 0.0026, ගොදුරේ වියදමින් විලෝපිකයන්ගේ වර්ධන වේගය 0 ,000056 විය. දත්ත වසර 203 ක් සඳහා ගණනය කෙරේ.

අපි බලපෑම ගවේෂණය කරන්නෙමු ජනගහන දෙකක සංවර්ධනය සඳහා ගොදුරු වූවන්ගේ වැඩිවීමේ සංගුණකය, ඉතිරි පරාමිතීන් නොවෙනස්ව පවතිනු ඇත.යෝජනා ක්රමය 1 හි, ගොදුරු සංඛ්යාව වැඩිවීම නිරීක්ෂණය කරනු ලබන අතර පසුව, යම් ප්රමාදයකින්, විලෝපිකයන්ගේ වැඩි වීමක් දක්නට ලැබේ. එවිට විලෝපිකයන් වින්දිතයින් තට්ටු කරයි, ගොදුරු වූවන් සංඛ්යාව තියුනු ලෙස පහත වැටෙන අතර, එය අනුගමනය කරමින්, විලෝපිකයන් සංඛ්යාව අඩු වේ (රූපය 1).

රූපය 1. වින්දිතයන් අතර අඩු උපත් අනුපාත සහිත ජනගහන ප්‍රමාණය

වින්දිතයාගේ උපත් අනුපාතය a=0.06 වැඩි කිරීමෙන් ආකෘතියේ වෙනස විශ්ලේෂණය කරමු. රූප සටහන 2 හි අපට පෙනෙන්නේ කාලයත් සමඟ ජනගහන දෙකේම සංඛ්‍යාව වැඩි වීමට තුඩු දෙන චක්‍රීය දෝලන ක්‍රියාවලියකි (රූපය 2).

රූපය 2. වින්දිතයින්ගේ සාමාන්‍ය උපත් අනුපාතය අනුව ජනගහන ප්‍රමාණය

වින්දිතයාගේ උපත් අනුපාතය a=1.13 හි ඉහළ අගයක් සමඟ ජනගහන ගතිකත්වය වෙනස් වන්නේ කෙසේදැයි සලකා බලමු. රූපයේ. 3 ජනගහන දෙකේම සංඛ්‍යාවේ තියුණු වැඩිවීමක් ඇති අතර, පසුව ගොදුරු සහ විලෝපිකයා යන දෙකම වඳ වී යයි. මෙය සිදු වන්නේ ගොදුරේ ගහනය කෙතරම් ඉහළ ගොස් ඇතිද යත් සම්පත් අවසන් වීමට පටන් ගෙන ගොදුර වඳ වී යාම හේතුවෙනි. විලෝපිකයන් වඳ වී යාම සිදුවන්නේ ගොදුරු සංඛ්‍යාව අඩුවීම සහ විලෝපිකයන්ට ජීවත් වීමට අවශ්‍ය සම්පත් හිඟවීම හේතුවෙනි.

රූපය 3. වින්දිතයන් අතර ඉහළ උපත් අනුපාත සහිත ජනගහන ප්රමාණය

පරිගණක පරීක්ෂණ දත්ත විශ්ලේෂණය මත පදනම්ව, පරිගණක ආකෘති නිර්මාණය මඟින් ජනගහන ප්‍රමාණය පුරෝකථනය කිරීමට සහ ජනගහන ගතිකත්වයට විවිධ සාධකවල බලපෑම අධ්‍යයනය කිරීමට ඉඩ ලබා දෙන බව අපට නිගමනය කළ හැකිය. ඉහත උදාහරණයේ දී, අපි විලෝපික-ගොදුරේ ආකෘතිය, මුවන් සහ වෘකයන් සංඛ්යාව මත ගොදුරු උපත් අනුපාතය බලපෑම පරීක්ෂා කළා. ගොදුරේ ජනගහනයේ සුළු වැඩිවීමක් ගොදුරේ කුඩා වැඩිවීමක් ඇති කරයි, එය යම් කාල පරිච්ඡේදයකට පසු විලෝපිකයන් විසින් විනාශ කරනු ලැබේ.ගොදුරු ගහනයේ මධ්‍යස්ථ වැඩිවීමක් ජනගහන දෙකේම විශාලත්වය වැඩි වීමට හේතු වේ. ගොදුරේ ජනගහනයේ ඉහළ වැඩිවීමක් පළමුව ගොදුරු ජනගහනයේ ශීඝ්ර වර්ධනයක් ඇති කරයි, මෙය විලෝපිකයන්ගේ වර්ධනය වැඩිවීමට බලපායි, නමුත් පසුව ගුණ කරන විලෝපිකයන් ඉක්මනින් මුවන් ගහනය විනාශ කරයි. එහි ප්‍රතිඵලයක් ලෙස විශේෂ දෙකම වඳ වී යයි.

විලෝපිකයන්ට ශාකභක්ෂකයන් මෙන්ම දුර්වල විලෝපිකයන් ද ආහාරයට ගත හැකිය. විලෝපිකයන්ට පුළුල් පරාසයක ආහාර ඇති අතර පහසුවෙන් එක් ගොදුරකින් තවත් ගොදුරකට මාරු වේ, වඩා ප්‍රවේශ විය හැකිය. විලෝපිකයන් බොහෝ විට දුර්වල ගොදුරට පහර දෙයි. ගොදුරු-විලෝපිකයන් අතර පාරිසරික සමතුලිතතාවය පවත්වා ගෙන යනු ලැබේ.[...]

සමතුලිතතාවය අස්ථායී නම් (සීමා චක්‍ර නොමැත) හෝ බාහිර චක්‍රය අස්ථායී නම්, ප්‍රබල උච්චාවචනයන් අත්විඳිමින් විශේෂ දෙකෙහිම සංඛ්‍යා සමතුලිතතා ආසන්නයෙන් ඉවත් වේ. එපමනක් නොව, විලෝපිකයාගේ අඩු අනුවර්තනය සමග වේගවත් පරිහානිය (පළමු තත්ත්වය තුළ) සිදු වේ, i.e. එහි ඉහළ මරණ අනුපාතය සමඟ (වින්දිතයාගේ ප්රතිනිෂ්පාදන අනුපාතය හා සසඳන විට). මෙයින් අදහස් කරන්නේ සෑම අතින්ම දුර්වල විලෝපිකයෙකු පද්ධතියේ ස්ථාවරත්වයට දායක නොවන අතර එයම මිය යන බවයි.[...]

විලෝපික-ගොදුර සහජීවනයේ දී, ශේෂය විලෝපිකයා දෙසට මාරු වන විට සහ ගොදුරේ පරාසය පටු වන විට විලෝපිකයන්ගේ පීඩනය විශේෂයෙන් ශක්තිමත් වේ. තරඟකාරී අරගලය ආහාර සම්පත් හිඟය සමඟ සමීපව සම්බන්ධ වේ, එය සම්පතක් ලෙස විලෝපිකයන්ගේ සෘජු අරගලයක් ද විය හැකිය, නමුත් බොහෝ විට එය ප්‍රමාණවත් තරම් ආහාර නොමැති විශේෂයක් විස්ථාපනය කිරීමයි. එම ප්‍රමාණයම ප්‍රමාණවත් තරම් ඇති විශේෂයක් විසින් ලබා දී ඇති භූමිය. මෙය දැනටමත් අන්තර් විශේෂිත තරඟයකි.[...]

අවසාන වශයෙන්, ආකෘතිය (2.7) මගින් විස්තර කරන ලද “විලෝපිත-ගොදුර” පද්ධතියේ, විසරණ අස්ථාවරත්වය (දේශීය සමතුලිතතා ස්ථායිතාව සමඟ) මතු විය හැක්කේ විලෝපිකයාගේ ස්වාභාවික මරණ අනුපාතය එහි ජනගහන වර්ධනයට වඩා වේගයෙන් වැඩි වන විට පමණි. රේඛීය ශ්‍රිතය සහ ට්‍රොෆික් ශ්‍රිතය Volterra ට වඩා වෙනස් වේ හෝ ගොදුරු ගහනය ඔලී වර්ගයේ ජනගහනයක් වූ විට[...]

න්‍යායාත්මකව, “එක් විලෝපිකයෙක් - ගොදුරක් දෙකක්” ආකෘතිවල, සමාන තණකොළ (එක් හෝ තවත් ගොදුරක් සඳහා මනාප නොමැතිකම) ගොදුරු විශේෂවල තරඟකාරී සහජීවනයට බලපෑ හැක්කේ විභව ස්ථායී සමතුලිතතාවයක් දැනටමත් පවතින ස්ථානවල පමණි. විවිධත්වය වැඩි විය හැක්කේ අඩු තරඟකාරී හැකියාවක් ඇති විශේෂ ප්‍රමුඛ විශේෂයන්ට වඩා වැඩි ජනගහන වර්ධන වේගයක් ඇති තත්වයන් යටතේ පමණි. වේගවත් ප්‍රජනනය සඳහා තෝරාගෙන ඇති විශේෂ විශාල සංඛ්‍යාවක් තරඟකාරිත්වය වැඩි කිරීම අරමුණු කරගත් විශේෂ සමඟ සමපාත වන ශාක විශේෂ විවිධත්වය වැඩි කිරීමට ඒකාකාර තෘණ කිරීම හේතු වන විට තත්වය තේරුම් ගැනීමට මෙය අපට ඉඩ සලසයි.

ඒ හා සමානව, ඝනත්වය මත රඳා පවතින ගොදුර තෝරාගැනීම පෙර සමතුලිතතාවයක් නොතිබූ තරඟකාරී ගොදුරු විශේෂ දෙකක න්‍යායික ආකෘතිවල ස්ථායී සමතුලිතතාවයට හේතු විය හැක. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, විලෝපිකයාට ගොදුරු ඝනත්වයේ වෙනස්වීම් වලට ක්රියාකාරී සහ සංඛ්යාත්මක ප්රතිචාර දැක්වීමේ හැකියාව තිබිය යුතුය; කෙසේ වෙතත්, මාරු කිරීම (වඩාත් බහුල ගොදුරට අසමාන ලෙස නිරන්තර ප්‍රහාර) වඩා වැදගත් වනු ඇත. ඇත්ත වශයෙන්ම, “එක් විලෝපිකයෙකු - n ගොදුරක්” පද්ධති තුළ මාරුවීම ස්ථායීකරණ බලපෑමක් ඇති කරන බව තහවුරු වී ඇති අතර ගොදුරු නිකේතන සම්පූර්ණයෙන්ම අතිච්ඡාදනය වන අවස්ථාවන්හිදී අන්තර්ක්‍රියා ස්ථායීකරණය කළ හැකි එකම යාන්ත්‍රණය නියෝජනය කරයි. විශේෂිත නොවන විලෝපිකයන් එවැනි කාර්යභාරයක් ඉටු කළ හැකිය. ප්‍රමුඛ තරඟකරුවෙකු සඳහා වඩාත් විශේෂිත විලෝපිකයන්ගේ මනාපය විලෝපිකයාගේ මාරුවීම හා සමානව ක්‍රියා කරන අතර, ගොදුරු විශේෂ අතර මීට පෙර සමතුලිතතාවයක් නොතිබූ ආකෘතිවල න්‍යායාත්මක අන්තර්ක්‍රියා ස්ථායීකරණය කළ හැකිය, ඔවුන්ගේ නිකේතන යම් දුරකට වෙන් කර තිබේ නම්.[...]

එසේම, විලෝපිකයෙකු "සෑම ආකාරයකින්ම ශක්තිමත්" ප්රජාව ස්ථාවර නොකරයි, i.e. දී ඇති ගොදුරට හොඳින් අනුගත වන අතර අඩු සාපේක්ෂ මරණ අනුපාතයක් ඇත. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, පද්ධතියට අස්ථායී සීමාව චක්රයක් ඇති අතර, සමතුලිත ස්ථානයේ ස්ථාවරත්වය තිබියදීත්, අහඹු පරිසරයක් තුළ පිරිහී යයි (විලෝපිකයා ගොදුර අනුභව කරන අතර එහි ප්රතිඵලයක් ලෙස මිය යයි). මෙම තත්වය මන්දගාමී පරිහානියට අනුරූප වේ.[...]

මේ අනුව, ස්ථායී සමතුලිතතාවයක් අසල විලෝපිකයෙකු හොඳින් අනුවර්තනය වීමත් සමඟ, අස්ථායී සහ ස්ථාවර චක්‍ර ඇති විය හැක, i.e. ආරම්භක තත්වයන් මත පදනම්ව, "විලෝපිත-ගොදුර" පද්ධතිය සමතුලිතතාවයට නැඹුරු වේ, නැතහොත්, දෝලනය වෙමින්, එයින් ඉවතට ගමන් කරයි, නැතහොත් සමතුලිතතාවයට ආසන්නව විශේෂ දෙකෙහිම සංඛ්‍යාවේ ස්ථායී උච්චාවචනයන් [...]

විලෝපිකයන් ලෙස වර්ගීකරණය කරන ලද ජීවීන් වෙනත් ජීවීන් පෝෂණය කරමින් ඔවුන්ගේ ගොදුර විනාශ කරයි. මේ අනුව, ජීවීන් අතර තවත් එක් වර්ගීකරණ පද්ධතියක් වෙන්කර හඳුනාගත යුතුය, එනම් "විලෝපිකයන්" සහ "ගොදුර". එවැනි ජීවීන් අතර සබඳතා අපගේ ග්රහලෝකයේ ජීවයේ පරිණාමය පුරාවටම වර්ධනය වී ඇත. කොල්ලකාරී ජීවීන් ගොදුරු ජීවීන් සංඛ්‍යාවේ ස්වාභාවික නියාමකයින් ලෙස ක්‍රියා කරයි. “විලෝපිකයන්” සංඛ්‍යාව වැඩිවීම “ගොදුර” සංඛ්‍යාව අඩුවීමට හේතු වේ, මෙය අනෙක් අතට, “විලෝපිකයන්” සඳහා ආහාර සැපයුම (“ගොදුර”) අඩු කරයි, එය සාමාන්‍යයෙන් සංඛ්‍යාවේ අඩුවීමක් නියම කරයි. "ගොදුර", ආදිය. මේ අනුව, biocenosis දී, විලෝපිකයන් සහ ගොදුරු සංඛ්යාවෙහි උච්චාවචනයන් නිරන්තරයෙන් සිදු වේ, නමුත් සාමාන්යයෙන්, තරමක් ස්ථාවර පාරිසරික තත්ත්වයන් තුළ යම් කාලයක් සඳහා යම් සමතුලිතතාවයක් ස්ථාපිත වේ.[... ]

මෙය අවසානයේ විලෝපිකයන් සහ ගොදුරු ගහනය අතර පාරිසරික සමතුලිතතාවයකට පැමිණේ.[...]

තුන්වන වර්ගයේ ට්‍රොෆික් ශ්‍රිතයක් සඳහා, N යනු ශ්‍රිතයේ විභේදන ලක්ෂ්‍යය නම් සමතුලිතතා තත්ත්වය ස්ථායී වේ (රූපය 2, c බලන්න). මෙය සිදු වන්නේ කාල පරාසය තුළ කුසලාන ශ්‍රිතය අවතල වන අතර, එබැවින් විලෝපිකයා විසින් ගොදුරු පරිභෝජනයේ සාපේක්ෂ කොටස වැඩි වේ.[...]

Гг = -Г කරමු, i.e. "විලෝපික-ගොදුර" ආකාරයේ ප්රජාවක් ඇත. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, ප්‍රකාශනයේ පළමු පදය (7.4) ශුන්‍යයට සමාන වන අතර, සමතුලිතතා තත්ත්වය N හි සම්භාවිතාව අනුව ස්ථායීතාවයේ තත්ත්වය තෘප්තිමත් කිරීම සඳහා, දෙවන පදය ද ධනාත්මක නොවීම අවශ්‍ය වේ.[... .]

මේ අනුව, සැලකෙන විලෝපික-ගොදුර ප්‍රජාව සඳහා, සමස්ත ධනාත්මක සමතුලිතතා තත්ත්වය අසමමිතික ලෙස ස්ථායී බව අපට නිගමනය කළ හැක, එනම්, ඕනෑම ආරම්භක දත්ත 1H(0)>0 සඳහා, පරිණාමය සිදු වන්නේ N(7) - ■ K N >0 [...]

මේ අනුව, ප්‍රජනනය සඳහා නවාතැන් නොමැති සමජාතීය පරිසරයක, විලෝපිකයා ඉක්මනින් හෝ පසුව ගොදුරේ ජනගහනය විනාශ කර පසුව මිය යයි. ජීවන තරංග” (විලෝපිකයාගේ සහ ගොදුරේ බහුලත්වයේ වෙනස්වීම්) නියත අවධි මාරුවකින් එකිනෙකා අනුගමනය කරන අතර සාමාන්‍යයෙන් විලෝපිකයාගේ සහ ගොදුරේ බහුලත්වය දළ වශයෙන් එකම මට්ටමක පවතී. කාලපරිච්ඡේදයේ කාලසීමාව විශේෂ දෙකෙහිම වර්ධන වේගය සහ ආරම්භක පරාමිතීන් මත රඳා පවතී. ගොදුරු ගහනය සඳහා, විලෝපිකයාගේ බලපෑම ධනාත්මක වේ, මන්ද එහි අධික ප්‍රජනනය එහි ජනගහනයේ බිඳවැටීමට තුඩු දෙනු ඇත. අනෙක් අතට, ගොදුර සම්පූර්ණයෙන් විනාශ කිරීම වළක්වන සියලුම යාන්ත්‍රණ විලෝපිකයාගේ ආහාර සැපයුම සංරක්ෂණයට දායක වේ.[...]

වෙනත් වෙනස් කිරීම් විලෝපිකයාගේ හැසිරීමේ ප්රතිවිපාකයක් විය හැකිය. විලෝපිකයෙකුට පරිභෝජනය කළ හැකි ගොදුරු පුද්ගලයින් සංඛ්‍යාව කාලය ලබා දී ඇත, එහි සීමාව ඇත. මෙම සීමාවට ළඟා වන විට විලෝපික සන්තෘප්තියේ බලපෑම වගුවේ දක්වා ඇත. 2-4, B. 5 සහ 6 සමීකරණ මගින් විස්තර කර ඇති අන්තර්ක්‍රියා වල ස්ථායී සමතුලිතතා ලකුණු හෝ චක්‍රීය උච්චාවචනයන් පෙන්විය හැක. කෙසේ වෙතත්, එවැනි චක්‍ර Lotka-Volterra සමීකරණ 1 සහ 2 හි පිළිබිඹු වන ඒවාට වඩා වෙනස් වේ. 5 සහ 6 සමීකරණ මගින් සම්ප්‍රේෂණය වන චක්‍රවලට මාධ්‍යය නියත වන තාක් නියත විස්තාරය සහ සාමාන්‍ය ඝනත්වය තිබිය හැක; කැළඹීමක් ඇති වූ පසු, ඔවුන්ගේ පෙර විස්තාරය සහ සාමාන්ය ඝනත්වය වෙත ආපසු යා හැක. කැළඹීම් වලින් යථා තත්ත්වයට පත්වන එවැනි චක්‍ර ස්ථායී සීමා චක්‍ර ලෙස හැඳින්වේ. හාවෙකු සහ ලින්ක්ස් අතර අන්තර්ක්‍රියා ස්ථායී සීමා චක්‍රයක් ලෙස සැලකිය හැකි නමුත් එය Lotka-Volterra චක්‍රයක් නොවේ.[...]

විලෝපික-ගොදුරේ පද්ධතියේ විසරණ අස්ථාවරත්වය ඇතිවීම ගැන අපි සලකා බලමු, නමුත් පළමුව අපි n = 2 සමඟ පද්ධතියේ (1.1) විසරණ අස්ථායීතාවය ඇතිවීම සහතික කරන කොන්දේසි ලියන්නෙමු. සමතුලිතතාවය (N, N) බව පැහැදිලිය. ) දේශීය වේ (එනම්.[ .. .]

විලෝපිකයාගේ සහ ගොදුරේ දිගුකාලීන සහජීවනය හා සම්බන්ධ සිද්ධීන් අර්ථ නිරූපණය කිරීමට අපි ඉදිරියට යමු. සීමා චක්‍ර නොමැති විට, ස්ථායී සමතුලිතතාවයක් අහඹු පරිසරයක ජනගහන උච්චාවචනයන්ට අනුරූප වන අතර, ඒවායේ විස්තාරය කැළඹීම් විසුරුවා හැරීමට සමානුපාතික වනු ඇති බව පැහැදිලිය. විලෝපිකයාට ඉහළ සාපේක්ෂ මරණ අනුපාතයක් සහ ඒ සමඟම දී ඇති ගොදුරට අනුවර්තනය වීමේ ඉහළ මට්ටමක් තිබේ නම් මෙම සංසිද්ධිය සිදුවනු ඇත.[...]

විලෝපිකයාගේ යෝග්‍යතාවය වැඩි වීමත් සමඟ පද්ධතියේ ගතිකත්වය වෙනස් වන ආකාරය අපි දැන් සලකා බලමු, i.e. b සමඟ 1 සිට 0 දක්වා අඩු වේ. යෝග්යතාව ප්රමාණවත් තරම් අඩු නම්, සීමාවන් චක්ර නොමැත, සහ සමතුලිතතාවය අස්ථායී වේ. මෙම සමතුලිතතාවය ආසන්නයේ යෝග්යතාවයේ වැඩි වීමක් සමඟ, ස්ථාවර චක්රයක් සහ පසුව බාහිර අස්ථායී එකක් පෙනෙන්නට පුළුවන. ආරම්භක කොන්දේසි මත (විලෝපිත සහ ගොදුරු ජෛව ස්කන්ධයේ අනුපාතය), පද්ධතියට ස්ථාවරත්වය අහිමි විය හැක, i.e. සමතුලිතතාවයට ආසන්නව තබන්න, නැතහොත් කාලයත් සමඟ ස්ථාවර දෝලනයන් එහි ස්ථාපිත වනු ඇත. යෝග්‍යතාවයේ තවදුරටත් වර්ධනය නිසා පද්ධතියේ හැසිරීමේ දෝලනය වීමේ ස්වභාවය කළ නොහැකි වේ. කෙසේ වෙතත්, විට b [...]

ඍණාත්මක (ස්ථායීකරන) ප්‍රතිපෝෂණයක උදාහරණයක් වන්නේ විලෝපිකයා සහ ගොදුර අතර සම්බන්ධය හෝ සාගර කාබනේට් පද්ධතියේ ක්‍රියාකාරිත්වය (ජලයේ CO2 ද්‍රාවණය: CO2 + H2O -> H2CO3). සාමාන්‍යයෙන් සාගර ජලයේ දියවන කාබන්ඩයොක්සයිඩ් ප්‍රමාණය වායුගෝලයේ කාබන්ඩයොක්සයිඩ් සාන්ද්‍රණය සමඟ අර්ධ සමතුලිතතාවයේ පවතී. ගිනිකඳු පිපිරීම් වලින් පසු වායුගෝලයේ කාබන් ඩයොක්සයිඩ් දේශීයව වැඩිවීම ප්‍රභාසංස්ලේෂණය තීව්‍ර කිරීමට සහ සාගර කාබනේට් පද්ධතිය මගින් අවශෝෂණය කර ගැනීමට හේතු වේ. වායුගෝලයේ කාබන් ඩයොක්සයිඩ් මට්ටම අඩු වන විට සාගර කාබනේට් පද්ධතිය CO2 වායුගෝලයට මුදා හරියි. එබැවින් වායුගෝලයේ කාබන් ඩයොක්සයිඩ් සාන්ද්‍රණය තරමක් ස්ථායී වේ.[...]

[ ...]

R. Ricklefs (1979) විසින් සටහන් කර ඇති පරිදි, "විලෝපිත-ගොදුර" පද්ධතියේ සබඳතා ස්ථාවර කිරීමට දායක වන සාධක තිබේ: විලෝපිකයාගේ අකාර්යක්ෂමතාව, විලෝපිකයා සඳහා විකල්ප ආහාර සම්පත් තිබීම, ප්රමාදය අඩු කිරීම. විලෝපිකයාගේ ප්‍රතික්‍රියාව මෙන්ම බාහිර පරිසරය විසින් එක් හෝ තවත් ජනගහනයක් මත පනවා ඇති පාරිසරික සීමාවන්. විලෝපිකයන් සහ ගොදුරු ගහනය අතර අන්තර්ක්‍රියා ඉතා විවිධ සහ සංකීර්ණ වේ. මේ අනුව, විලෝපිකයන් ප්‍රමාණවත් තරම් කාර්යක්ෂම නම්, ගොදුරේ ජන ඝණත්වය නියාමනය කළ හැකි අතර, එය පරිසරයේ ගෙන යා හැකි ධාරිතාවට වඩා අඩු මට්ටමක තබා ගත හැකිය. ගොදුරු ගහනය කෙරෙහි ඔවුන් දක්වන බලපෑම හරහා, විලෝපිකයන් ගොදුරේ විවිධ ලක්ෂණ පරිණාමයට බලපෑම් කරයි, එය අවසානයේ විලෝපිකයාගේ සහ ගොදුරේ ජනගහනය අතර පාරිසරික සමතුලිතතාවයට මග පාදයි.

කොන්දේසි වලින් එකක් සපුරා ඇත්නම්: 0 1/2. 6 > 1 නම් (kA [...]

ජෛව හා පරිසරයේ ස්ථායිතාව රඳා පවතින්නේ ශාකවල අන්තර් ක්‍රියාකාරිත්වය මත පමණි - ඔටෝට්‍රොෆ් සහ ශාකභක්‍ෂක විෂම ජීවීන්. ඕනෑම ප්‍රමාණයක විලෝපිකයන්ට ප්‍රජාවක පාරිසරික සමතුලිතතාවයට බාධා කිරීමට හැකියාවක් නැත, මන්ද ස්වාභාවික තත්වයන් යටතේ ඔවුන්ට නියත ගොදුරු සංඛ්‍යාවක් සමඟ ඔවුන්ගේ සංඛ්‍යාව වැඩි කළ නොහැකි බැවිනි. විලෝපිකයන් තමන්ම ජංගම විය යුතු පමණක් නොව, චලනය වන සතුන් මත පමණක් පෝෂණය කළ හැකිය.[...]

වෙනත් කිසිදු මාළුවෙක් පයික් තරම් පුළුල් ලෙස පැතිර නැත. නැගී සිටින හෝ ගලා යන ජලාශවල මසුන් ඇල්ලීමේ ප්‍රදේශ කිහිපයක, ගොදුර සහ විලෝපිකයා අතර සමතුලිතතාවය පවත්වා ගැනීමට පයික් වලින් කිසිදු පීඩනයක් නොමැත, අනෙකුත් මත්ස්‍යයන් බෝවීම හේතුවෙන් පයික් නුසුදුසු මසුන් වන නවීන කෘතිම ජලාශ පමණි. ඔවුන්ට. පයික් ලෝකය තුළ සුවිශේෂී ලෙස නියෝජනය වේ. ඔවුන් එක්සත් ජනපදයේ සහ කැනඩාවේ සිට උතුරු අර්ධගෝලය පුරා අල්ලා ගනු ලැබේ උතුරු ඇමෙරිකාව, යුරෝපය හරහා උතුරු ආසියාව දක්වා[...]

තිරසාර සහජීවනය පිළිබඳ තවත් සම්භාවිතාවක් සාපේක්ෂ වශයෙන් ඉහළ අනුගත වීමේ පටු පරාසයක් තුළ පැන නගී. ඉතා "හොඳ" විලෝපිකයෙකු සමඟ අස්ථායී පාලන තන්ත්රයකට සංක්රමණය වන විට, ස්ථායී බාහිර සීමාව චක්රයක් මතු විය හැකි අතර, ජෛව ස්කන්ධය විසුරුවා හැරීම පද්ධතියට ගලා ඒම (ගොදුරේ ඉහළ ඵලදායිතාව) මගින් සමතුලිත වේ. අහඹු දෝලනයන්හි විස්තාරයේ ලාක්ෂණික අගයන් දෙකක් වඩාත් සම්භාවිතාව වන විට කුතුහලයෙන් යුත් තත්වයක් පැන නගී. සමහරක් සමතුලිතතාවය ආසන්නයේ සිදු වේ, අනෙක් ඒවා - සීමා චක්‍රය ආසන්නයේ, සහ මෙම පාලන තන්ත්‍රයන් අතර නිතර නිතර සංක්‍රමණය විය හැකිය.[...]

රූපයේ ඇති වාහකයන්ට අනුව හැසිරෙන උපකල්පිත ජනගහනය. 10.11 A, රූපයේ දැක්වේ. 10.11,-B විලෝපිකයාගේ සහ ගොදුරු ගහනයේ අනුපාතයේ ගතිකත්වය පෙන්වන ප්‍රස්ථාරයක් භාවිතා කරමින් සහ රූපයේ. 10.11.5 කාලයත් සමඟ විලෝපිකයාගේ සහ ගොදුරේ බහුලත්වයේ ගතිකත්වයේ ප්‍රස්ථාරයක ස්වරූපයෙන්. ගොදුරු ජනගහනය තුළ, එය අඩු ඝනත්ව සමතුලිතතාවයක සිට ඉහළ ඝනත්ව සමතුලිතතාවයකට ගමන් කර ආපසු ආපසු පැමිණෙන විට, සංඛ්යා "පිපිරීමක්" සිදු වේ. තවද මෙම සංඛ්‍යා පිපිරීම පරිසරයේ සමානව ප්‍රකාශිත වෙනස් වීමක ප්‍රතිඵලයක් නොවේ. ඊට පටහැනිව, මෙම සංඛ්යා වෙනස්වීම බලපෑම විසින්ම ජනනය කරනු ලැබේ (පරිසරයේ "ශබ්ද" කුඩා මට්ටමකින්) සහ, විශේෂයෙන්ම, එය සමතුලිත තත්වයන් කිහිපයක පැවැත්ම පිළිබිඹු කරයි. ස්වභාවික ජනගහනවල ජනගහන ගතිකත්වයේ වඩාත් සංකීර්ණ අවස්ථා පැහැදිලි කිරීමට සමාන තර්ක භාවිතා කළ හැක.[...]

පරිසර පද්ධතියක වැදගත්ම ගුණාංගය වන්නේ එහි ස්ථායිතාව, හුවමාරු ශේෂය සහ එහි සිදුවන ක්‍රියාවලීන් ය. වෙනස්වන පාරිසරික තත්ත්වයන් තුළ ස්ථායී ගතික සමතුලිතතාවයක් පවත්වා ගැනීමට ජනගහනයට හෝ පරිසර පද්ධතිවලට ඇති හැකියාව homeostasis ලෙස හැඳින්වේ (homoios - සමාන, සමාන; stasis - state). හෝමියස්ටැසිස් ප්‍රතිපෝෂණ මූලධර්මය මත පදනම් වේ. ස්වභාවධර්මයේ සමතුලිතතාවය පවත්වා ගැනීම සඳහා බාහිර පාලනයක් අවශ්ය නොවේ. හෝමියස්ටැසිස් සඳහා උදාහරණයක් වන්නේ විලෝපිකයාගේ සහ ගොදුරේ ජන ඝනත්වය නියාමනය කරන "විලෝපික-ගොදුර" උප පද්ධතියයි.[...]

ස්වාභාවික පරිසර පද්ධතියක් (biogeocenosis) එහි මූලද්‍රව්‍යවල නිරන්තර අන්තර්ක්‍රියා, ද්‍රව්‍ය සංසරණය, රසායනික, ශක්තිය, ජාන සහ වෙනත් බලශක්ති සහ තොරතුරු දාම-නාලිකා හරහා මාරු කිරීම සමඟ ස්ථාවරව ක්‍රියා කරයි. සමතුලිතතාවයේ මූලධර්මය අනුව, බලශක්ති ප්රවාහයක් සහ තොරතුරු හරහා ගමන් කරන ඕනෑම ස්වභාවික පද්ධතියක් ස්ථාවර තත්වයක් වර්ධනය කිරීමට නැඹුරු වේ. ඒ අතරම, ප්‍රතිපෝෂණ යාන්ත්‍රණයක් හරහා පරිසර පද්ධතිවල තිරසාර බව ස්වයංක්‍රීයව සහතික කෙරේ. ප්‍රතිපෝෂණය සමන්විත වන්නේ කළමනාකරණ සංරචක මගින් ක්‍රියාවලියට ගැලපීම් සිදු කිරීම සඳහා පරිසර පද්ධතිවල කළමනාකරණය කරන ලද සංරචක වලින් ලැබෙන දත්ත භාවිතා කිරීමෙනි. මෙම සන්දර්භය තුළ ඉහත සාකච්ඡා කරන ලද "විලෝපිකයා" - "ගොදුර" සම්බන්ධය තරමක් විස්තරාත්මකව විස්තර කළ හැකිය; ඔව්, ජලජ පරිසර පද්ධතියක කොල්ලකාරී මාළු(පොකුණක පයික්) වෙනත් ගොදුරු මාළු (crucian carp) කන්න; crucian කාප් සංඛ්යාව වැඩි නම්, මෙය ධනාත්මක ප්රතිපෝෂණ සඳහා උදාහරණයකි; පයික්, crucian කාප් මත පෝෂණය, එහි සංඛ්යා අඩු කරයි - මෙය ඍණාත්මක ප්රතිපෝෂණ සඳහා උදාහරණයකි; විලෝපිකයන් සංඛ්‍යාව වැඩි වන විට, ගොදුරු වූවන්ගේ සංඛ්‍යාව අඩු වන අතර, විලෝපිකයා, ආහාර හිඟයක් අත්විඳිමින්, එහි ජනගහනයේ වර්ධනය ද අඩු කරයි; අවසානයේදී, අදාළ පොකුණෙහි, පයික් සහ කුරුස කාප් යන දෙකෙහිම සංඛ්‍යාවෙහි ගතික සමතුලිතතාවයක් ස්ථාපිත වේ. සමතුලිතතාවයක් නිරන්තරයෙන් පවත්වා ගෙන යනු ලබන අතර, එය කුසලාන දාමයේ කිසියම් සම්බන්ධකයක් අතුරුදහන් වීම බැහැර කරයි (රූපය 64).[...]

අපි වඩාත් වැදගත් සාමාන්‍යකරණය වෙත යමු, එනම් පරිසර පද්ධතිය ප්‍රමාණවත් තරම් ස්ථායී නම් සහ එහි අවකාශීය ව්‍යුහය ජනගහනයේ අන්‍යෝන්‍ය අනුවර්තනයට ඉඩ දෙන්නේ නම්, කාලයත් සමඟ negative ණාත්මක අන්තර්ක්‍රියා අඩුවෙන් දැකිය හැකිය. වැනි ආකෘති පද්ධති තුළ විලෝපික-ගොදුර, Lotka-Volterra සමීකරණය මගින් විස්තර කර ඇති අතර, අතිරේක නියමයන් සමීකරණයට හඳුන්වා නොදුන්නේ නම්, සංඛ්‍යා ස්වයං-සීමා කිරීමේ සාධකවල ක්‍රියාකාරිත්වය ගුනාංගීකරනය කරයි නම්, දෝලනයන් අඛණ්ඩව සිදු වන අතර මිය නොයනු ඇත (Lewontin, 1969 බලන්න). Pimentel (1968; Pimentel සහ Stone, 1968 ද බලන්න) පර්යේෂණාත්මකව පෙන්නුම් කළේ එවැනි අතිරේක යෙදුම් අන්‍යෝන්‍ය අනුවර්තනයන් හෝ ජානමය වශයෙන් පිළිබිඹු විය හැකි බවයි. ප්රතිපෝෂණ. ඔවුන්ගේ සංඛ්‍යාව සැලකිය යුතු උච්චාවචනයන්ට ලක් වූ සංස්කෘතියක මීට පෙර වසර දෙකක් සහජීවනයෙන් සිටි පුද්ගලයින්ගෙන් නව සංස්කෘතීන් නිර්මාණය වූ විට, ඔවුන් පාරිසරික හෝමියස්ටැසිස් වර්ධනය කළ අතර, එමඟින් එක් එක් ජනගහනය අනෙකා විසින් “මර්දනය” කරන ලදී. ඔවුන්ගේ සහජීවනය වඩාත් ස්ථායී සමතුලිතතාවයකින් පැවතිය හැකි ප්‍රමාණයකි.

විලෝපික-ගොදුර තත්ව ආකෘතිය

Volter-Lotka ආකෘතිය ලෙස හඳුන්වන "විලෝපිකයන්-ගොදුර" වර්ගයට (වෘකයන් සහ හාවුන්, පයික් සහ කුරුස කාප්, ආදිය) අනුව එකිනෙකා සමඟ අන්තර් ක්‍රියා කරන ජීව විද්‍යාත්මක විශේෂ දෙකක (ජනගහන) සහජීවනයේ ගතිකත්වයේ ගණිතමය ආකෘතියක් සලකා බලමු. . එය මුලින්ම A. Lotka (1925) විසින් ලබා ගන්නා ලද අතර, මඳ වේලාවකට පසුව සහ Lotka වෙතින් ස්වාධීනව, සමාන හා වඩාත් සංකීර්ණ ආකෘති ඉතාලි ගණිතඥ V. Volterra (1926) විසින් සංවර්ධනය කරන ලද අතර, ඔහුගේ කාර්යය ඇත්ත වශයෙන්ම ඊනියා පදනම දැමීය. ගණිතමය පරිසර විද්යාව.

හුදකලා පරිසරයක එකට ජීවත් වන ජීව විද්‍යාත්මක විශේෂ දෙකක් වේවා. මෙය උපකල්පනය කරයි:

• 1. වින්දිතයාට ජීවත් වීමට ප්රමාණවත් ආහාර සොයාගත හැකිය;
• 2. ගොදුරක් විලෝපිකයෙකු මුණගැසෙන සෑම අවස්ථාවකම, දෙවැන්නා වින්දිතයා මරා දමයි.

නිශ්චිතභාවය සඳහා, අපි ඔවුන් crucian කාප් සහ පයික් ලෙස හඳුන්වනු ඇත. ඉඩ

පද්ධතියේ තත්වය තීරණය වන්නේ ප්‍රමාණයෙනි x(t)සහ y(t)- වරකට කුරුස කාප් සහ පයික් ගණන ජී.ජනගහනයක ගතිකත්වය (කාලය සමඟ වෙනස් වීම) ආසන්න වශයෙන් විස්තර කරන ගණිතමය සමීකරණ ලබා ගැනීම සඳහා, අපි පහත පරිදි ඉදිරියට යන්නෙමු.

පෙර ජනගහන වර්ධන ආකෘතියේ මෙන් (1.1 කොටස බලන්න), වින්දිතයින් සඳහා අපට සමීකරණය ඇත

කොහෙද ඒ> 0 (උපත් අනුපාතය මරණ අනුපාතය ඉක්මවයි)

සංගුණකය ඒගොදුරු වැඩිවීම විලෝපිකයන් සංඛ්යාව මත රඳා පවතී (ඔවුන්ගේ වැඩිවීමත් සමග අඩු වේ). සරලම අවස්ථාවක a- a - fjy (a>0, p>0).එවිට ගොදුරු ජනගහනයේ විශාලත්වය සඳහා අපට අවකල සමීකරණය ඇත

විලෝපිකයන්ගේ ජනගහනය සඳහා අපට සමීකරණය ඇත

කොහෙද බී>0 (මරණ අනුපාතය උපත් අනුපාතය ඉක්මවයි).

සංගුණකය බීආහාර සඳහා ගොදුරක් ඇත්නම් විලෝපිකයන්ගේ පරිහානිය අඩු වේ. සරලම අවස්ථාවක අපට ගත හැකිය b - y -Sx (y > 0, එස්> 0). එවිට විලෝපික ජනගහනයේ විශාලත්වය සඳහා අපි අවකල සමීකරණය ලබා ගනිමු

මේ අනුව, සමීකරණ (1.5) සහ (1.6) සලකා බලනු ලබන ජනගහන අන්තර්ක්‍රියාකාරිත්වයේ ගැටලුවේ ගණිතමය ආකෘතියක් නියෝජනය කරයි. මෙම ආකෘතියේ විචල්යයන් x,yපද්ධතියේ තත්වය වන අතර, සංගුණක එහි ව්යුහය ගුනාංගීකරනය කරයි. රේඛීය නොවන පද්ධතිය (1.5), (1.6) යනු Voltaire-Lotka ආකෘතියයි.

සමීකරණ (1.5) සහ (1.6) ආරම්භක කොන්දේසි සමඟ අතිරේක කළ යුතුය - ආරම්භක ජනගහනයේ අගයන් ලබා දී ඇත.

අපි දැන් ගොඩනඟන ලද ගණිතමය ආකෘතිය විශ්ලේෂණය කරමු.

අපි පද්ධතියේ (1.5), (1.6) (ගැටළුවේ අර්ථයෙන්) අදියර ආලේඛ්‍ය නිර්මාණය කරමු. x> 0, v >0). සමීකරණය (1.5) සමීකරණය (1.6) මගින් බෙදීම, අපි වෙන් කළ හැකි විචල්යයන් සමඟ සමීකරණයක් ලබා ගනිමු.

මෙම සමීකරණය භාවිතා කරමින්, අපට තිබේ

සම්බන්ධතාවය (1.7) ව්‍යංග ආකාරයෙන් අවධි ගමන් පථවල සමීකරණය ලබා දෙයි. පද්ධතිය (1.5), (1.6) සිට තීරණය කරන ලද ස්ථාවර තත්වයක් ඇත

සමීකරණ වලින් (1.8) අපි ලබා ගනිමු (l* සිට එෆ් 0, y* එෆ් 0)

සමානාත්මතා (1.9) සමතුලිත තත්ත්වය තීරණය කරයි (ලක්ෂ්යය ගැන)(රූපය 1.6).

එවැනි සලකා බැලීම් වලින් අදියර ගමන් පථය දිගේ චලනය වන දිශාව තීරණය කළ හැකිය. කුරුසියන් ස්වල්පයක් වේවා. g.e. x ~ 0, පසුව සමීකරණයෙන් (1.6) y

සියලුම අදියර ගමන් පථ (ලක්ෂ්‍යය හැර 0) සංවෘත වක්‍ර සමතුලිත තත්ත්වය ආවරණය කරයි. සමතුලිතතාවයේ තත්වය crucian carp සහ pike හි නියත සංඛ්යාව x" සහ y" වලට අනුරූප වේ. Crucian කාප් ගුණ කිරීම, පයික් ඔවුන් කන්න, මිය යනවා, නමුත් ඔවුන් සහ අනෙකුත් සංඛ්යාව වෙනස් නොවේ. "සංවෘත අවධි ගමන් පථයන් කුරුස කාප් සහ පයික් සංඛ්‍යාවේ ආවර්තිතා වෙනසකට අනුරූප වේ. එපමණක් නොව, අදියර ලක්ෂ්‍යය චලනය වන ගමන් පථය ආරම්භක කොන්දේසි මත රඳා පවතී. අදියර ගමන් පථය දිගේ තත්වය වෙනස් වන ආකාරය අපි සලකා බලමු. ලක්ෂ්‍යය එසේ වේවා තනතුරේ ඒ(රූපය 1.6). මෙහි කුරුස කාප් ස්වල්පයක් ඇත, බොහෝ පයික්; පයික් වලට කෑමට කිසිවක් නැති අතර ඒවා ක්‍රමයෙන් නැති වී පාහේ මිය යයි

සම්පූර්ණයෙන්ම අතුරුදහන්. නමුත් crucian කාප් සංඛ්යාව ද පාහේ ශුන්ය හා අඩු වේ

පසුව පමණක්, වඩා අඩු පයික් ඇති විට හිදී, crucian කාප් සංඛ්යාව වැඩි කිරීමට පටන් ගනියි; ඔවුන්ගේ වර්ධන වේගය වැඩි වන අතර ඔවුන්ගේ සංඛ්යාව වැඩි වේ - මෙය සිදු වන තුරු තුල.නමුත් කුරුස කාප් සංඛ්‍යාව වැඩිවීම ෂුක් වඳවී යාමේ ක්‍රියාවලිය මන්දගාමී වීමට හේතු වන අතර ඒවායේ සංඛ්‍යාව වර්ධනය වීමට පටන් ගනී (තවත් ආහාර තිබේ) - කුමන්ත්‍රණය හිරු.ඊළඟට පයික් ගොඩක් තිබේ, ඔවුන් කුරුස කාප් අනුභව කරන අතර ඒවා සියල්ලම පාහේ අනුභව කරති (කොටස CD).මෙයින් පසු, පයික් නැවත මිය යාමට පටන් ගන්නා අතර ක්‍රියාවලිය ආසන්න වශයෙන් වසර 5-7 ක කාලයක් සමඟ පුනරාවර්තනය වේ. රූපයේ. 1.7 කාලය මත පදනම්ව crucian කාප් සහ පයික් සංඛ්යාවෙහි වෙනස්කම්වල ගුණාත්මකව ගොඩනඟන ලද වක්ර. වක්‍රවල උපරිමය විකල්ප වන අතර උපරිම පයික් සංඛ්‍යාව crucian carp වල උපරිමයට වඩා පසුගාමී වේ.

මෙම හැසිරීම විවිධ විලෝපික-ගොදුර පද්ධති සඳහා සාමාන්ය වේ. අපි දැන් ලබාගත් ප්‍රතිඵල විග්‍රහ කරමු.

සලකා බැලූ ආකෘතිය සරලම වන අතර යථාර්ථයේ දී සෑම දෙයක්ම වඩාත් සංකීර්ණ ලෙස සිදු වුවද, ස්වභාව ධර්මයේ පවතින සමහර අද්භූත දේවල් පැහැදිලි කිරීමට එය හැකි විය. "පයික් තමන් අතට පනින" කාල පරිච්ඡේදයන් පිළිබඳ ධීවරයින්ගේ කථා, නිදන්ගත රෝග ආදියෙහි සංඛ්යාතය පැහැදිලි කර ඇත.

අපි තව එකක් සටහන් කරමු සිත්ගන්නා නිගමනය, රූපයෙන් සෑදිය හැක. 1.6 ලක්ෂ්යයේ නම් ආර්පයික් වේගයෙන් අල්ලා ගැනීමක් ඇත (වෙනත් පාරිභාෂිතය තුළ - වෘකයන්ට වෙඩි තැබීම), එවිට පද්ධතිය ලක්ෂ්‍යයට “පනියි” Q,සහ තවදුරටත් චලනය කුඩා ප්‍රමාණයේ සංවෘත ගමන් පථයක් ඔස්සේ සිදු වේ, එය බුද්ධිමය වශයෙන් අපේක්ෂා කෙරේ. අපි ලක්ෂයක පයික් ගණන අඩු කළහොත් ආර්,එවිට පද්ධතිය කාරණයට යයි එස්,තවද ගමන් පථය ඔස්සේ තවදුරටත් චලනය සිදුවනු ඇත විශාල ප්රමාණය. දෝලනය වීමේ විස්තාරය වැඩි වනු ඇත. මෙය ප්‍රතිවිරෝධී ය, නමුත් එය හරියටම මෙම සංසිද්ධිය පැහැදිලි කරයි: වෘකයන්ට වෙඩි තැබීමේ ප්‍රති result ලයක් ලෙස, කාලයත් සමඟ ඔවුන්ගේ සංඛ්‍යාව වැඩි වේ. මේ අනුව, වෙඩි තැබීමේ මොහොත තෝරාගැනීම මෙම නඩුවේ වැදගත් වේ.

කෘමීන් ගහණ දෙකක් (උදාහරණයක් ලෙස, කුඩිත්තන් සහ ලේඩි බග්, කුඩිත්තන් අනුභව කරන) ස්වභාවික සමතුලිතතාවයේ ඇතැයි සිතමු. x-x*,y = y*(තිත් ගැනරූපයේ. 1.6). මරා දමන කෘමිනාශකයක් එක් වරක් යෙදීමේ බලපෑම සලකා බලන්න x>වින්දිතයින්ගෙන් 0 සහ y > 0 විලෝපිකයන් සම්පූර්ණයෙන්ම විනාශ නොකර. ජනගහන දෙකේම සංඛ්‍යාව අඩුවීම, ස්ථානයෙන් නියෝජනය වන ලක්ෂ්‍යය යන කාරනයට හේතු වේ ගැනඛණ්ඩාංකවල මූලාරම්භයට සමීපව "පනිනු ඇත", එහිදී x > 0, y 0 (රූපය 1.6) එයින් කියවෙන්නේ වින්දිතයන් (කුඩිත්තන්) විනාශ කිරීම සඳහා නිර්මාණය කරන ලද කෘමිනාශකයක ක්‍රියාකාරිත්වයේ ප්‍රතිඵලයක් ලෙස ගොදුරු වූවන් (කුඩිත්තන්) සංඛ්‍යාව වැඩි වන අතර විලෝපිකයන් සංඛ්‍යාව ( ලේඩි බග්ස්) අඩු වේ. විලෝපිකයන් සංඛ්‍යාව ඉතා කුඩා විය හැකි අතර වෙනත් හේතූන් මත (නියඟය, රෝග ආදිය) සම්පූර්ණයෙන්ම වඳ වී යාමට ඔවුන්ට සිදුවනු ඇත. මේ අනුව, කෘමිනාශක භාවිතය (හානිකර කෘමීන් සම්පූර්ණයෙන්ම පාහේ විනාශ නොකරන්නේ නම්) අවසානයේ වෙනත් කෘමි විලෝපිකයන් විසින් පාලනය කරන ලද කෘමීන්ගේ ජනගහනය වැඩි වීමට හේතු වේ. එවැනි අවස්ථා ජීව විද්යාව පිළිබඳ පොත්වල විස්තර කර ඇත.

සාමාන්යයෙන්, වින්දිතයින්ගේ සංඛ්යාවේ වර්ධන වේගය ඒ"L" සහ y යන දෙකම මත රඳා පවතී: ඒ= a(x, y) (විලෝපිකයන් සිටීම සහ ආහාර සීමා කිරීම් හේතුවෙන්).

ආකෘතියේ (1.5), (1.6) කුඩා වෙනසක් සමඟ, සමීකරණවල දකුණු පැත්තට කුඩා නියමයන් එකතු කරනු ලැබේ (උදාහරණයක් ලෙස, ආහාර සඳහා crucian කාප් තරඟය සහ crucian carp සඳහා පයික් තරඟය සැලකිල්ලට ගනිමින්)

මෙහි 0 f.i « 1.

මෙම අවස්ථාවෙහිදී, ආකෘතිය (1.5), (1.6) සඳහා වලංගු වන ක්රියාවලියේ ආවර්තිතා (පද්ධතිය එහි මුල් තත්වයට නැවත පැමිණීම) පිළිබඳ නිගමනය එහි වලංගු භාවය නැති වේ. කුඩා සංශෝධන වර්ගය මත පදනම්ව/ සහ gරූපයේ දැක්වෙන තත්වයන් හැකි ය. 1.8

නඩුව (1) සමතුලිතතා තත්ත්වය ගැනතිරසාර. වෙනත් ඕනෑම ආරම්භක කොන්දේසි සඳහා, ප්රමාණවත් තරම් පසු ලොකු කාලයක්ස්ථාපනය කර ඇත්තේ මෙයයි.

නඩුව (2), පද්ධතිය "අවුල් වේ." නිශ්චල තත්ත්වය අස්ථායි. එවැනි පද්ධතියක් අවසානයේ එවැනි අගයන් පරාසයකට වැටේ xසහ y ආකෘතිය අදාළ වීම නතර කරයි.

අස්ථායී ස්ථාවර තත්වයක් සහිත පද්ධතියක (3) අවස්ථාවක ගැනකාලයත් සමඟ ආවර්තිතා පාලන තන්ත්‍රයක් ස්ථාපිත වේ. මුල් ආකෘතිය (1.5), (1.6) මෙන් නොව, මෙම ආකෘතියේ ස්ථාවර ආවර්තිතා පාලන තන්ත්රය ආරම්භක කොන්දේසි මත රඳා නොපවතී. ස්ථාවර තත්ත්වයෙන් මුලදී කුඩා අපගමනය ගැනඅවට කුඩා උච්චාවචනයන් ඇති නොකරයි ගැන, Volterra-Lotka ආකෘතියේ මෙන්, නමුත් හොඳින් නිර්වචනය කරන ලද (සහ අපගමනයෙහි කුඩා බවෙන් ස්වාධීන) විස්තාරයක දෝලනය වේ.

IN සහ. ආර්නෝල්ඩ් Volterra-Lotka මාදිලිය දැඩි ලෙස හඳුන්වයි එහි කුඩා වෙනසක් ඉහත දක්වා ඇති ඒවාට වඩා වෙනස් නිගමනවලට තුඩු දිය හැකිය. රූපයේ දැක්වෙන කුමන තත්වයන් විනිශ්චය කිරීමට. 1.8, මෙම පද්ධතිය තුළ ක්රියාත්මක කිරීම, අතිශයින්ම අවශ්ය වේ අමතර තොරතුරුපද්ධතිය ගැන (කුඩා සංශෝධන වර්ගය ගැන/ සහ g).

මෙහිදී, (3.2.1) ට ප්‍රතිවිරුද්ධව, (-012) සහ (+a2i) යන ​​සංඥා වෙනස් වේ. තරඟයේ දී මෙන් (සමීකරණ පද්ධතිය (2.2.1)), මෙම පද්ධතිය සඳහා ඛණ්ඩාංක (1) සම්භවය "අස්ථායී නෝඩ්" වර්ගයේ විශේෂ ලක්ෂ්යයකි. හැකි තවත් ස්ථාවර ප්‍රාන්ත තුනක්:

ජීව විද්යාත්මක අර්ථය ධනාත්මක ප්රමාණ අවශ්ය වේ X y x 2. ප්රකාශනය සඳහා (3.3.4) මෙයින් අදහස් වන්නේ එයයි

විලෝපිකයන්ගේ අන්තර් විශේෂිත තරඟයේ සංගුණකය නම් ඒ,22 = 0, කොන්දේසිය (3.3.5) ai2 කොන්දේසියට යොමු කරයි

සමීකරණ පද්ධතිය (3.3.1) සඳහා විය හැකි ආකාරයේ ෆේස් පෝට්රේට් රූපයේ දැක්වේ. 3.2 a-c. තිරස් ස්පර්ශක අයිසොක්ලින් සරල රේඛා වේ

සහ සිරස් ස්පර්ශක සමස්ථානික සෘජු වේ

රූපයෙන්. 3.2 පහත දැක්වේ. විලෝපික-ගොදුර පද්ධතියට (3.3.1) ගොදුරු ගහනය සම්පූර්ණයෙන්ම වඳ වී යන ස්ථාවර සමතුලිත තත්වයක් තිබිය හැක. (x = 0) සහ විලෝපිකයින් පමණක් ඉතිරි විය (රූපය 3.26 හි ලක්ෂ්‍යය 2). නිසැකවම, එවැනි තත්වයක් සාක්ෂාත් කරගත හැක්කේ, අදාළ වින්දිතයන් වර්ගයට අමතරව, xවිලෝපිකයා x2 අතිරේක බලශක්ති ප්රභවයන් ඇත. මෙම කරුණ xs සඳහා සමීකරණයේ දකුණු පැත්තේ ධනාත්මක පදයකින් ආකෘතියෙන් පිළිබිඹු වේ. ඒකීය ලකුණු (1) සහ (3) (රූපය 3.26) අස්ථායී වේ. දෙවන හැකියාව වන්නේ විලෝපිකයන්ගේ ගහනය සම්පූර්ණයෙන්ම මිය ගොස් ගොදුර පමණක් ඉතිරිව ඇති ස්ථාවර ස්ථාවර තත්වයකි - ස්ථාවර ලක්ෂ්‍යය (3) (රූපය 3.2a). මෙහි ඒකීය ලක්ෂ්‍යය (1) ද අස්ථායී නෝඩයකි.

අවසාන වශයෙන්, තුන්වන හැකියාව වන්නේ විලෝපිකයාගේ සහ ගොදුරේ ජනගහනයේ ස්ථායී සහජීවනයයි (රූපය 3.2 c), එහි නිශ්චල සංඛ්‍යා සූත්‍ර මගින් ප්‍රකාශ වේ (3.3.4). මෙම නඩුව වඩාත් විස්තරාත්මකව සලකා බලමු.

අන්තර් විශේෂිත තරඟයේ සංගුණක ශුන්‍යයට සමාන යැයි උපකල්පනය කරමු (අයි= 0, i = 1, 2). විලෝපිකයන් පෝෂණය කරන්නේ විශේෂයේ ගොදුරු පමණක් යැයි අපි උපකල්පනය කරමු xසහ ඔවුන් නොමැති විට ඔවුන් C2 (in (3.3.5) C2 අනුපාතයකින් මිය යයි

සාහිත්යයේ වඩාත් පුළුල් ලෙස පිළිගත් අංකනය භාවිතා කරමින් මෙම ආකෘතිය පිළිබඳ සවිස්තරාත්මක අධ්යයනයක් සිදු කරමු. අළුත්වැඩියා කිරීම

සහල්. 3.2 විවිධ පරාමිති අනුපාත සඳහා Volterra පද්ධතියේ විලෝපික-ගොදුරේ අදියර ප්‍රතිමූර්තිය මත ප්‍රධාන අයිසොක්ලයින් පිහිටීම: ඒ- ගැන -

සමගමම C2 C2

1, 3 - අස්ථායී, 2 - ස්ථාවර ඒකීය ලක්ෂ්යය; V -

1, 2, 3 - අස්ථායී, 4 - ස්ථායී ඒකීය ලක්ෂ්යය සැලකිය යුතු ය

මෙම අංකනයන්හි විලෝපික-ගොදුර පද්ධතියට ස්වරූපය ඇත:

අදියර තලය මත පද්ධතියේ (3.3.6) විසඳුම්වල ගුණාංග අපි අධ්යයනය කරමු එන්1 මත2 පද්ධතියට ස්ථාවර විසඳුම් දෙකක් ඇත. පද්ධතියේ දකුණු පස ශුන්‍යයට සමාන කිරීමෙන් ඒවා පහසුවෙන් තීරණය කළ හැකිය. අපට ලැබෙන්නේ:

එබැවින් ස්ථාවර විසඳුම්:

දෙවන විසඳුම දෙස සමීපව බලමු. අපි පද්ධතියේ පළමු අනුකලනය සොයා ගනිමු (3.3.6), අඩංගු නොවේ ටී.පළමු සමීකරණය -72 න් ද, දෙවැන්න -71 න් ද ගුණ කර ප්‍රතිඵල එකතු කරමු. අපට ලැබෙන්නේ:

දැන් අපි පළමු සමීකරණය බෙදමු එන්සහ ගුණ කරන්න € 2, සහ දෙවැන්න JV 2 න් බෙදන්න සහ ගුණ කරන්න ඊ.අපි නැවත ප්රතිඵල එකතු කරමු:

(3.3.7) සහ (3.3.8) සංසන්දනය කිරීමේදී අපට ඇත්තේ:

ඒකාබද්ධ කිරීම, අපට ලැබෙන්නේ:

මෙය අපේක්ෂිත පළමු අනුකලනයයි. මේ අනුව, පද්ධතිය (3.3.6) ගතානුගතික වන්නේ එයට චලිතයේ පළමු අනුකලනයක් ඇති නිසා, පද්ධති විචල්‍යවල ශ්‍රිතයක් වන ප්‍රමාණයකි. එන්සහ එන්2 සහ කාලයෙන් ස්වාධීන. මෙම ගුණාංගය Volterra පද්ධති සඳහා සංඛ්‍යාන යාන්ත්‍ර විද්‍යාවට සමාන සංකල්ප පද්ධතියක් ගොඩනැගීමට අපට ඉඩ සලසයි (5 වන පරිච්ඡේදය බලන්න), එහිදී පද්ධතියේ ශක්ති අගය, කාලානුරූපව නියත වන අතර, සැලකිය යුතු කාර්යභාරයක් ඉටු කරයි.

සෑම ස්ථාවර සඳහා > සිට 0 (ඇතැම් ආරම්භක දත්ත වලට අනුරූප වේ), අනුකලනය ගුවන් යානයේ නිශ්චිත ගමන් පථයකට අනුරූප වේ එන්1 මත2 , පද්ධතියේ ගමන් පථය ලෙස සේවය කිරීම (3.3.6).

අපි සලකා බලමු ග්රැෆික් ක්රමයවෝල්ටෙරා විසින්ම යෝජනා කරන ලද ගමන් පථ ඉදිකිරීම. දැනුම් දෙන්න, ඒක දකුණු කොටසසූත්‍රය (3.3.9) රඳා පවතින්නේ D g 2 මත පමණක් වන අතර වම් එක පමණක් රඳා පවතී එන්.අපි සටහන් කරමු

(3.3.9) සිට එය අතර බව පහත දැක්වේ xසහ වයිසමානුපාතික සම්බන්ධතාවයක් ඇත

රූපයේ. 3.3 ඛණ්ඩාංක පද්ධති හතරක පළමු හතරැස් පෙන්වයි XOY, NOY, එන්2 OXසහ D G 1 0N2 ඒ නිසා ඔවුන් සියල්ලන්ටම පොදු සම්භවයක් ඇත.

ඉහළ වම් කෙළවරේ (චතුරස්‍රය නැහැ)ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරයක් (3.3.8) පහළ දකුණේ (චතුරස්‍රය) සැලසුම් කර ඇත එන්2 OX)- කාර්යය ප්රස්ථාරය වයි.පළමු කාර්යයට min at ඇත නි =සහ දෙවන - max at එන්2 = ?-

අවසාන වශයෙන්, චතුරස්රයේ XOYසමහර ස්ථාවර සඳහා සරල රේඛාවක් (3.3.12) ගොඩනඟමු සමග.

අපි කාරණය සලකුණු කරමු එන්අක්ෂය මත මත. මෙම ලක්ෂ්යය නිශ්චිත අගයකට අනුරූප වේ Y(එන් 1), ලම්බක ඇඳීමෙන් පහසුවෙන් සොයා ගත හැක

සහල්. 3.3

ඔස්සේ එන්එය වක්රය (3.3.10) සමඟ ඡේදනය වන තුරු (රූපය 3.3 බලන්න). අනෙක් අතට, K(D^) අගය රේඛාවේ M නිශ්චිත ලක්ෂ්‍යයකට අනුරූප වේ වයි = cXඒ නිසා යම් වටිනාකමක් X(N) = Y(N)/c,ලම්බක ඇඳීමෙන් සොයා ගත හැක ඒ.එම්.සහ එම්.ඩී.සොයාගත් අගය (මෙම ලක්ෂ්යය අක්ෂරය සමඟ රූපයේ සලකුණු කර ඇත D)කරුණු දෙකක් අනුරූප වේ ආර්සහ ජීවක්රය මත (3.3.11). මෙම ලකුණු භාවිතා කරමින්, ලම්බක ඇඳීම, අපි එකවර ලකුණු දෙකක් සොයා ගනිමු ඊ"සහ ඊ", වක්‍රය මත වැතිර සිටී (3.3.9). ඔවුන්ගේ ඛණ්ඩාංක:

ලම්බක ඇඳීම ඒ.එම්., අපි තවත් එක් ස්ථානයක දී වක්‍රය (3.3.10) තරණය කළෙමු තුල.මෙම ලක්ෂ්යය සමාන වේ ආර්සහ ප්‍රශ්නයවක්රය මත (3.3.11) සහ එකම එන්සහ SCH.සම්බන්ධීකරණය කරන්න එන්සිට ලම්බක පහත වැටීමෙන් මෙම ලක්ෂ්යය සොයාගත හැකිය තුලඅක්ෂය අනුව මත.ඉතින් අපිට ලකුණු ලැබෙනවා එෆ්"සහ F", ද වක්‍රය මත වැතිර සිටී (3.3.9).

වෙනස්ම තැනකින් එනවා එන්,එලෙසම අපි වක්‍රය මත නව ලකුණු හතරක් ලබා ගනිමු (3.3.9). ව්යතිරේකය කාරණය වනු ඇත නි= ?2/72- එය මත පදනම්ව, අපට ලැබෙන්නේ ලකුණු දෙකක් පමණි: දක්වාසහ එල්.මේවා වක්‍රයේ පහළ සහ ඉහළ ස්ථාන (3.3.9) වනු ඇත.

අගයන් වලින් පටන් ගන්න බෑ එන්, සහ අගයන් වලින් එන්2 . සිට ගමන් කරයි එන්2 වක්‍රය වෙත (3.3.11), පසුව Y = cX සරල රේඛාවට නැඟී, එතැන් සිට වක්‍රය (3.3.10) තරණය කිරීමෙන්, අපට වක්‍රයේ ස්ථාන හතරක් (3.3.9) ද හමු වේ. ව්යතිරේකය කාරණය වනු ඇත No=?1/71- එය මත පදනම්ව, අපට ලැබෙන්නේ ලකුණු දෙකක් පමණි: ජීසහ දක්වා.මේවා වක්‍රයේ වම්පස සහ දකුණු පස ඇති ලක්ෂ්‍ය වනු ඇත (3.3.9). වෙනස් ලෙස ඇසීමෙන් එන්සහ එන්2 සහ ලකුණු විශාල ප්‍රමාණයක් ලැබුණු පසු, ඒවා සම්බන්ධ කරමින්, අපි ආසන්න වශයෙන් වක්‍රය (3.3.9) ගොඩනඟමු.

මෙය නිශ්චිත ආරම්භක දත්ත වලින් ආරම්භ වන 12 = (?2/721?1/71)” ලක්ෂ්‍යය අඩංගු සංවෘත වක්‍රයක් බව ඉදිකිරීම් වලින් පැහැදිලි වේ එන්යූ සහ එන්20. C හි තවත් අගයක් ගැනීම, i.e. වෙනත් ආරම්භක දත්ත, අපි පළමු ඡේදනය නොවන තවත් සංවෘත වක්‍රයක් ලබා ගනිමු සහ එහිම ඇතුළත ලක්ෂ්‍යය (?2/721 ?1/71)1 ද අඩංගු වේ. මේ අනුව, ට්‍රැක්ටරි පවුල (3.3.9) යනු 12 ලක්ෂය වටා ඇති සංවෘත රේඛා පවුලකි (රූපය 3.3 බලන්න). අපි Lyapunov ක්රමය භාවිතා කරමින් මෙම ඒකීය ලක්ෂ්යයේ ස්ථායීතාවයේ වර්ගය අධ්යයනය කරමු.

සියලු පරාමිතීන් සිට ඊ 1, ?2, 71,72 ධන, කාල සීමාව වේ (N[ අවධි තලයේ ධන චතුරස්‍රයේ පිහිටා ඇත. මෙම ලක්ෂ්‍යය ආසන්නයේ පද්ධතිය රේඛීයකරණය කිරීමෙන් ලැබෙන්නේ:

මෙතන n(t)සහ 7i2(N1, එන්2 :

පද්ධතියේ ලාක්ෂණික සමීකරණය (3.3.13):

මෙම සමීකරණයේ මූලයන් තනිකරම මනඃකල්පිත ය:

මේ අනුව, පද්ධතිය පිළිබඳ අධ්‍යයනයකින් පෙන්නුම් කරන්නේ ඒකීය ලක්ෂ්‍යය අසල ගමන් පථ සංකේන්ද්‍රීය ඉලිප්සාවන් මගින් නිරූපණය වන අතර ඒකීය ලක්ෂ්‍යය ම කේන්ද්‍රය වන බවයි (රූපය 3.4). සලකා බලනු ලබන වෝල්ටෙරා ආකෘතියට ඒකීය ලක්ෂ්‍යයට වඩා දුරින් සංවෘත ගමන් පථ ඇත, නමුත් මෙම ගමන් පථවල හැඩය දැනටමත් ඉලිප්සොයිඩ් වලට වඩා වෙනස් ය. විචල්ය හැසිරීම නි, එන්2 කාලයත් සමඟ රූපයේ දැක්වේ. 3.5

සහල්. 3.4

සහල්. 3.5 ගොදුරු සංඛ්යා මත යැපීම එන්මම සහ විලෝපිකයා එන්2 කාලයේ සිට

මධ්‍ය ආකාරයේ ඒකීය ලක්ෂ්‍යයක් ස්ථායී නමුත් අසමමිතිකව නොවේ. අපි මේ උදාහරණයෙන් පෙන්වන්නම් මේ මොකක්ද කියලා. දෙගිඩියාවට ඉඩ දෙන්න Ni(t)සහ LGgM සිදු වන්නේ නිරූපිත ලක්ෂ්‍යය 1 පථය ඔස්සේ අදියර තලය දිගේ චලනය වන ආකාරයටය (රූපය 3.4 බලන්න). ලක්ෂ්‍යය M ස්ථානයේ ඇති මොහොතේදී, පිටතින් නිශ්චිත පුද්ගලයින් සංඛ්‍යාවක් පද්ධතියට එකතු කරනු ලැබේ එන් 2, නියෝජනය කරන ලක්ෂ්‍යය ලක්ෂ්‍යයෙන් පනිනවා එම් A/" ලක්ෂ්‍ය කිරීමට. මෙයින් පසු, පද්ධතිය නැවතත් තමාටම ඉතිරි වුවහොත්, දෝලනය වේ නිසහ එන්2 පෙරට වඩා විශාල විස්තාර සහිතව දැනටමත් සිදුවනු ඇති අතර, නිරූපණ ලක්ෂ්‍යය ගමන් පථය 2 ඔස්සේ ගමන් කරයි. මෙයින් අදහස් කරන්නේ පද්ධතියේ දෝලනය අස්ථායී බවයි: ඒවා සදාකාලිකවම ඒවායේ ලක්ෂණ වෙනස් කරන විට බාහිර බලපෑම. අනාගතයේදී, අපි ස්ථායී දෝලන පාලන තන්ත්‍රයන් විස්තර කරන ආකෘති සලකා බලනු ඇති අතර, අදියර තලයේ එවැනි අසමමිතික ස්ථායී ආවර්තිතා චලිතයන් සීමා චක්‍ර භාවිතයෙන් නිරූපණය කර ඇති බව පෙන්වමු.

රූපයේ. රූප සටහන 3.6 පර්යේෂණාත්මක වක්‍ර පෙන්වයි - කැනඩාවේ ලොම් සහිත සතුන් සංඛ්‍යාවේ උච්චාවචනයන් (හඩ්සන් බේ සමාගමට අනුව). මෙම වක්‍ර ඉදිකර ඇත්තේ අස්වනු නෙළන ලද හම් ප්‍රමාණය පිළිබඳ දත්ත පදනම් කරගෙන ය. හාවුන් (ගොදුර) සහ ලින්ක්ස් (විලෝපිකයන්) සංඛ්‍යාවේ උච්චාවචන කාල සීමාවන් ආසන්න වශයෙන් සමාන වන අතර එය අවුරුදු 9-10 පමණ වේ. මෙම අවස්ථාවේ දී, උපරිම හාවුන් සංඛ්‍යාව, රීතියක් ලෙස, උපරිම ලින්ක්ස් සංඛ්‍යාවට වඩා වසරකින් ඉදිරියෙන් සිටී.

මෙම පර්යේෂණාත්මක වක්‍රවල හැඩය න්‍යායාත්මක ඒවාට වඩා බොහෝ අඩු නිත්‍ය වේ. කෙසේ වෙතත්, මෙම අවස්ථාවෙහිදී, න්‍යායාත්මක හා පර්යේෂණාත්මක වක්‍රවල වඩාත්ම වැදගත් ලක්ෂණවල අහඹු සිදුවීම සහතික කිරීම ප්‍රමාණවත් වේ, i.e. විස්තාරය අගයන් සහ විලෝපිකයන්ගේ සහ ගොදුරේ සංඛ්‍යාවේ උච්චාවචනයන් අතර අදියර මාරුවීම්. Volterra ආකෘතියේ වඩාත් බරපතල පසුබෑමක් වන්නේ සමීකරණ පද්ධතියට විසඳුම්වල අස්ථාවරත්වයයි. ඇත්ත වශයෙන්ම, ඉහත සඳහන් කළ පරිදි, එක් හෝ තවත් විශේෂයක බහුලත්වයේ ඕනෑම අහඹු වෙනසක්, ආකෘතිය අනුගමනය කරමින්, විශේෂ දෙකෙහිම දෝලනය වීමේ විස්තාරය වෙනස් කිරීමට හේතු විය යුතුය. ස්වභාවිකවම, තුළ ස්වභාවික තත්වයන්සතුන් ගණන් කළ නොහැකි තරම් අහඹු බලපෑම්වලට ලක් වේ. පර්යේෂණාත්මක වක්‍ර වලින් දැකිය හැකි පරිදි, විශේෂ සංඛ්‍යාවේ උච්චාවචනයන්ගේ විස්තාරය වසරින් වසර සුළු වශයෙන් වෙනස් වේ.

Volterra ආකෘතිය යනු ගණිතමය පරිසර විද්‍යාව සඳහා යොමු (මූලික) වන අතර එය සම්භාව්‍ය හා හාර්මොනික් දෝලක ආකෘතිය මූලික වේ. ක්වොන්ටම් යාන්ත්‍ර විද්‍යාව. මෙම ආකෘතිය භාවිතා කිරීම, පද්ධතියේ හැසිරීම විස්තර කරන රටා වල ස්වභාවය පිළිබඳ ඉතා සරල අදහස් මත පදනම්ව, තනිකරම ගණිතමය

3 වන පරිච්ඡේදය

සහල්. 3.6 හඩ්සන් බේ ලොම් සමාගමේ (සෙටන්-තොම්සන්, 1987) දත්ත වලට අනුව ලොම් දරණ සතුන් සංඛ්‍යාවේ චාලක වක්‍ර එවැනි පද්ධතියක හැසිරීමේ ගුණාත්මක ස්වභාවය පිළිබඳව නිගමනයකට එළඹුණි - එහි පැවැත්ම පිළිබඳව එවැනි පද්ධතියක ජනගහන උච්චාවචනයන්. ගණිතමය ආකෘතියක් ගොඩනඟා එය භාවිතා නොකර එවැනි නිගමනයකට එළඹිය නොහැක.

අපි ඉහත සාකච්ඡා කළ දේ තුළ සරල ස්වරූපයෙන් Volterra පද්ධතියට මූලික සහ අන්තර් සම්බන්ධිත අවාසි දෙකක් ඇත. ඔවුන්ගේ "තුරන් කිරීම" සඳහා පුළුල් පාරිසරික හා ගණිතමය සාහිත්‍යයක් කැප කර ඇත. පළමුව, ඕනෑම අතිරේක සාධක ඇතුළත් කිරීම, කෙසේ වෙතත්, ආකෘතිය තුළ, පද්ධතියේ හැසිරීම ගුණාත්මකව වෙනස් වේ. ආකෘතියේ දෙවන "ජීව විද්‍යාත්මක" අවාසිය නම්, විලෝපික-ගොදුර මූලධර්මය අනුව අන්තර්ක්‍රියා කරන ජනගහන යුගලයකට ආවේණික වූ මූලික ගුණාංග එයට ඇතුළත් නොවීමයි: විලෝපිකයාගේ සංතෘප්තියේ බලපෑම, විලෝපිකයාගේ සීමිත සම්පත් සහ ගොදුර පවා. ගොදුරේ අතිරික්තයක් සමඟ, විලෝපිකයා සඳහා අවම ගොදුරක් ලබා ගැනීමේ හැකියාව යනාදිය.

මෙම අඩුපාඩු ඉවත් කිරීම සඳහා, Volterra පද්ධතියේ විවිධ වෙනස් කිරීම් විවිධ කතුවරුන් විසින් යෝජනා කර ඇත. ඔවුන්ගෙන් වඩාත් රසවත් ඒවා 3.5 කොටසෙහි සාකච්ඡා කෙරේ. මෙහිදී අපි අවධානය යොමු කරන්නේ ජනගහන දෙකේම වර්ධනයේ ස්වයං-සීමාවන් සැලකිල්ලට ගන්නා ආකෘතියක් ගැන පමණි. මෙම ආකෘතියේ උදාහරණය පැහැදිලිව පෙන්නුම් කරන්නේ පද්ධති පරාමිතීන් වෙනස් වන විට තීරණ වල ස්වභාවය වෙනස් විය හැකි ආකාරයයි.

එබැවින්, අපි පද්ධතිය සලකා බලමු

පද්ධතිය (3.3.15) කලින් සලකා බැලූ පද්ධතියට (3.3.6) වඩා වෙනස් වන්නේ සමීකරණවල දකුණු පස -7 ආකෘතියේ නියමයන් තිබීමෙනි. uNf,

සීමිත ආහාර සම්පත් සහ සීමිත වාසස්ථාන හේතුවෙන් විලෝපිකයන් නොමැති විට පවා ගොදුරු ගහනය දින නියමයක් නොමැතිව වර්ධනය විය නොහැකි බව මෙම නියමයන් පිළිබිඹු කරයි. විලෝපිකයන්ගේ ජනගහනය මත එම "ස්වයං-සීමාවන්" පනවනු ලැබේ.

iVi සහ විශේෂවල ස්ථාවර සංඛ්‍යා සොයා ගැනීමට එන්2 පද්ධතියේ (3.3.15) සමීකරණවල දකුණු පස ශුන්‍යයට සමාන කරමු. විලෝපිකයන් හෝ ගොදුරු ශුන්‍ය සංඛ්‍යා සහිත විසඳුම් දැන් අපට උනන්දුවක් නොදක්වයි. එබැවින් වීජීය පද්ධතිය සලකා බලන්න

සමීකරණ ඇගේ තීරණය

ඒකීය ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක අපට ලබා දෙයි. මෙහි ඇති පද්ධති පරාමිතීන් ස්ථාවර සංඛ්‍යා ධනාත්මක වන කොන්දේසියට යටත් විය යුතුය: එන්> 0 සහ එන්2 > 0. ඒකීය ලක්ෂ්‍යයේ (3.3.16) අසල්වැසි රේඛීයකරණය වූ පද්ධතියේ ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූලයන්:

ලාක්ෂණික සංඛ්‍යා සඳහා ප්‍රකාශනයෙන් පැහැදිලි වන්නේ කොන්දේසිය සපුරා ඇත්නම් බව ය

එවිට විලෝපිකයන් සහ ගොදුරු සංඛ්‍යාව කාලයත් සමඟ තෙතමනය දෝලනය වේ, පද්ධතියට ශුන්‍ය නොවන ඒකීය ලක්ෂ්‍යයක් සහ ස්ථායී අවධානයක් ඇත. එවැනි පද්ධතියක අදියර ඡායාරූපය රූපයේ දැක්වේ. 3.7 අ.

අසමානතාවයේ (3.3.17) පරාමිති ඔවුන්ගේ අගයන් තත්ත්වය (3.3.17) සමානාත්මතාවය බවට පත් වන ආකාරයෙන් වෙනස් කරන බව උපකල්පනය කරමු. එවිට පද්ධතියේ ලාක්ෂණික සංඛ්‍යා (3.3.15) සමාන වන අතර එහි ඒකීය ලක්ෂ්‍යය ස්ථායී නාභීය සහ නෝඩ් කලාප අතර මායිම මත පිහිටා ඇත. අසමානතාවයේ ලකුණ (3.3.17) ආපසු හැරවූ විට, ඒකීය ලක්ෂ්යය ස්ථාවර නෝඩයක් බවට පත්වේ. මෙම නඩුව සඳහා පද්ධතියේ අදියර ඡායාරූපය රූපයේ දැක්වේ. 3.76.

තනි ජනගහණයේ දී මෙන්, ආකෘතිය (3.3.6) සඳහා ස්ටෝචස්ටික් ආකෘතියක් වර්ධනය කළ හැකි නමුත්, ඒ සඳහා පැහැදිලි විසඳුමක් ලබා ගත නොහැක. එබැවින්, අපි සාමාන්ය සලකා බැලීම් වලට සීමා වනු ඇත. උදාහරණයක් ලෙස, සමතුලිත ලක්ෂ්‍යය එක් එක් අක්ෂයෙන් යම් දුරකින් පිහිටා ඇති බව උපකල්පනය කරමු. ඉන්පසු JVj අගයන් ඇති අදියර ගමන් පථ සඳහා, එන්2 ප්‍රමාණවත් තරම් විශාලව පවතිනු ඇත, නියතිවාදී ආකෘතියක් තරමක් සතුටුදායක වනු ඇත. නමුත් යම් අවස්ථාවක දී නම්

සහල්. 3.7 පද්ධතියේ අදියර ඡායාරූපය (3.3.15): ඒ -පරාමිතීන් අතර සම්බන්ධතාවය (3.3.17) තෘප්තිමත් වන විට; බී- පරාමිතීන් අතර ප්රතිලෝම සම්බන්ධතාවයක් සිදු කරන විට

අදියර ගමන් පථය, ඕනෑම විචල්යයක් ඉතා විශාල නොවේ, එවිට අහඹු උච්චාවචනයන් සැලකිය යුතු විය හැක. ඒවා නියෝජනය කරන ලක්ෂ්‍යය එක් අක්ෂයකට ගමන් කරයි, එයින් අදහස් කරන්නේ අනුරූප විශේෂයේ වඳ වී යාමයි. මේ අනුව, ස්ටෝචස්ටික් "ප්ලාවිතය" ඉක්මනින් හෝ පසුව එක් විශේෂයක් වඳ වී යාමට හේතු වන බැවින්, ස්ටෝචස්ටික් ආකෘතිය අස්ථායී වේ. මෙවැනි ආකෘතියක් තුළ, විලෝපිකයා අවසානයේදී වඳ වී යයි, එක්කෝ අහම්බෙන් හෝ එහි ගොදුරු ගහනය මුලින්ම තුරන් කිරීම නිසා. විලෝපික-ගොදුර පද්ධතියේ ස්ටෝචස්ටික් ආකෘතිය, සිලියට් කරන ගෝස්ගේ (Gause, 1934; 2000) අත්හදා බැලීම් හොඳින් පැහැදිලි කරයි. පරාමට්ටම් කැන්ඩටම්වෙනත් ciliate සඳහා ගොදුරක් ලෙස සේවය කළේය ඩිඩිනියම් නසාටම්- විලෝපිකයා. මෙම පරීක්‍ෂණවල නියතිවාදී සමීකරණ (3.3.6) අනුව බලාපොරොත්තු වූ සමතුලිතතා සංඛ්‍යා දළ වශයෙන් එක් එක් විශේෂයේ පුද්ගලයන් පස් දෙනකු පමණක් විය, එබැවින් නැවත නැවත කරන ලද සෑම පරීක්‍ෂණයකදීම විලෝපිකයන් හෝ ගොදුරු (පසුව විලෝපිකයන්) ඉතා ඉක්මනින් මිය යාම පුදුමයක් නොවේ. .

එබැවින්, විශේෂ අන්තර්ක්‍රියා පිළිබඳ වෝල්ටෙරා ආකෘති විශ්ලේෂණයෙන් පෙනී යන්නේ, එවැනි පද්ධතිවල විවිධාකාර හැසිරීම් වර්ග තිබියදීත්, තරඟකාරී විශේෂවල ආකෘතියේ සංඛ්‍යාවල නොකැඩූ උච්චාවචනයන් කිසිසේත් තිබිය නොහැකි බවයි. විලෝපික-ගොදුරේ ආකෘතියේ, නොකැඩූ දෝලනය තේරීමේ ප්රතිඵලයක් ලෙස පෙනේ විශේෂ ආකෘතියආකෘති සමීකරණ (3.3.6). මෙම අවස්ථාවෙහිදී, ආකෘතිය රළු නොවන අතර, එහි තත්වය ආරක්ෂා කර ගැනීමට උත්සාහ කරන එවැනි යාන්ත්‍රණ පද්ධතියක නොමැති බව පෙන්නුම් කරයි. කෙසේ වෙතත්, එවැනි උච්චාවචනයන් ස්වභාවය සහ අත්හදා බැලීම් නිරීක්ෂණය කරනු ලැබේ. ඔවුන්ගේ න්‍යායික පැහැදිලි කිරීමේ අවශ්‍යතාවය ආදර්ශ විස්තර වැඩි වශයෙන් සකස් කිරීමට එක් හේතුවක් විය සාමාන්ය දැක්ම. 3.5 වගන්තිය එවැනි සාමාන්‍යකරණය වූ ආකෘති සලකා බැලීම සඳහා කැප කෙරේ.