Практиката на миналогодишния Единен държавен изпит и Държавен изпит показва, че проблемите с геометрията създават трудности за много ученици. Можете лесно да се справите с тях, ако запомните всички необходими формули и практикувате решаването на задачи.

В тази статия ще видите формули за намиране на площта на трапец, както и примери за задачи с решения. Можете да срещнете същите в KIM по време на сертификационни изпити или на олимпиади. Затова се отнасяйте към тях внимателно.

Какво трябва да знаете за трапеца?

Като начало нека си припомним това трапецсе нарича четириъгълник, в който две противоположни страни, наричани още основи, са успоредни, а другите две не са.

В трапец височината (перпендикулярна на основата) също може да бъде намалена. Начертана е средната линия - това е права линия, която е успоредна на основите и равна на половината от техния сбор. Както и диагонали, които могат да се пресичат, образувайки остри и тъпи ъгли. Или, в някои случаи, под прав ъгъл. Освен това, ако трапецът е равнобедрен, в него може да се впише окръжност. И опишете кръг около него.

Формули за площ на трапец

Първо, нека разгледаме стандартните формули за намиране на площта на трапец. Ще разгледаме начините за изчисляване на площта на равнобедрени и криволинейни трапеци по-долу.

И така, представете си, че имате трапец с основи a и b, в който височината h е спусната до по-голямата основа. Изчисляването на площта на фигура в този случай е толкова лесно, колкото беленето на круши. Просто трябва да разделите сумата от дължините на основите на две и да умножите резултата по височината: S = 1/2(a + b)*h.

Нека вземем друг случай: да предположим, че в трапец, освен височината, има средна линия m. Знаем формулата за намиране на дължината на средната линия: m = 1/2(a + b). Следователно можем с право да опростим формулата за площта на трапец до следната форма: S = m*h. С други думи, за да намерите площта на трапец, трябва да умножите централната линия по височината.

Нека разгледаме друг вариант: трапецът съдържа диагонали d 1 и d 2, които не се пресичат под прав ъгъл α. За да изчислите площта на такъв трапец, трябва да разделите произведението на диагоналите на две и да умножите резултата по греха на ъгъла между тях: S= 1/2d 1 d 2 *sinα.

Сега разгледайте формулата за намиране на площта на трапец, ако нищо не се знае за него, освен дължините на всичките му страни: a, b, c и d. Това е тромава и сложна формула, но ще е полезно да я запомните за всеки случай: S = 1/2(a + b) * √c 2 – ((1/2(b – a)) * ((b – a) 2 + c 2 – d 2)) 2.

Между другото, горните примери са валидни и за случая, когато имате нужда от формулата за площта на правоъгълен трапец. Това е трапец, чиято страна граничи с основите под прав ъгъл.

Равнобедрен трапец

Трапец, чиито страни са равни, се нарича равнобедрен. Ще разгледаме няколко варианта за формулата за площта на равнобедрен трапец.

Първи вариант: за случая, когато окръжност с радиус r е вписана в равнобедрен трапец, а страната и по-голямата основа образуват остър ъгълα. В трапец може да се впише окръжност, при условие че сборът от дължините на неговите основи е равен на сбора от дължините на страните.

Площта на равнобедрен трапец се изчислява по следния начин: умножете квадрата на радиуса на вписания кръг по четири и го разделете на sinα: S = 4r 2 /sinα. Друга формула за площ е специален случай за опцията, когато ъгълът между голямата основа и страната е 30 0: S = 8r2.

Втори вариант: този път вземаме равнобедрен трапец, в който допълнително са начертани диагоналите d 1 и d 2, както и височината h. Ако диагоналите на трапец са взаимно перпендикулярни, височината е половината от сбора на основите: h = 1/2(a + b). Знаейки това, лесно е да трансформирате формулата за площта на вече познатия ви трапец в тази форма: S = h 2.

Формула за площта на извит трапец

Нека започнем, като разберем какво е извит трапец. Представете си координатна ос и графика на непрекъсната и неотрицателна функция f, която не променя знака в даден сегмент на оста x. Криволинеен трапец се образува от графиката на функцията y = f(x) - отгоре, оста x е отдолу (отсечка), а отстрани - прави линии, прекарани между точки a и b и графиката на функцията.

Невъзможно е да се изчисли площта на такава нестандартна фигура, като се използват горните методи. Тук трябва да приложите математически анализ и да използвате интеграла. А именно: формулата на Нютон-Лайбниц - S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). В тази формула F е първоизводната на нашата функция върху избрания сегмент. И площта на криволинейния трапец съответства на нарастването на антипроизводната на даден сегмент.

Примерни проблеми

За да направите всички тези формули по-лесни за разбиране в главата си, ето няколко примера за задачи за намиране на площта на трапец. Най-добре ще е първо да се опитате да решите задачите сами и едва след това да сравните получения отговор с готовото решение.

Задача №1:Даден е трапец. По-голямата му основа е 11 см, по-малката е 4 см. Трапецът има диагонали, единият с дължина 12 cm, вторият 9 cm.

Решение: Построете трапец AMRS. Прекарайте права РХ през върха P така, че да е успоредна на диагонала MC и да пресича правата AC в точка X. Ще получите триъгълник APХ.

Ще разгледаме две фигури, получени в резултат на тези манипулации: триъгълник APX и паралелограм CMRX.

Благодарение на успоредника научаваме, че PX = MC = 12 cm и CX = MR = 4 cm. Откъде можем да изчислим страната AX на триъгълника ARX: AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 cm.

Можем също да докажем, че триъгълникът APX е правоъгълен (за да направите това, приложете Питагоровата теорема - AX 2 = AP 2 + PX 2). И изчислете неговата площ: S APX = 1/2(AP * PX) = 1/2(9 * 12) = 54 cm 2.

След това ще трябва да докажете, че триъгълниците AMP и PCX са равни по площ. Основата ще бъде равенството на страните MR и CX (вече доказано по-горе). А също и височините, които спускаш от тези страни - те са равни на височината на AMRS трапеца.

Всичко това ще ви позволи да кажете, че S AMPC = S APX = 54 cm 2.

Задача #2:Даден е трапецът KRMS. На страничните му страни има точки O и E, а OE и KS са успоредни. Известно е също, че площите на трапеца ORME и OKSE са в съотношение 1:5. RM = a и KS = b. Трябва да намерите OE.

Решение: Начертайте права, успоредна на RK, през точка M и означете нейната пресечна точка с OE като T. A е пресечната точка на права, прекарана през точка E, успоредна на RK, с основата KS.

Нека въведем още едно означение - OE = x. А също и височината h 1 за триъгълника TME и височината h 2 за триъгълника AEC (можете независимо да докажете сходството на тези триъгълници).

Ще приемем, че b > a. Площите на трапеца ORME и OKSE са в съотношение 1:5, което ни дава право да съставим следното уравнение: (x + a) * h 1 = 1/5(b + x) * h 2. Нека трансформираме и получаваме: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + x)/(x + a)).

Тъй като триъгълниците TME и AEC са подобни, имаме h 1 / h 2 = (x – a)/(b – x). Нека комбинираме двата записа и да получим: (x – a)/(b – x) = 1/5 * ((b + x)/(x + a)) ↔ 5(x – a)(x + a) = ( b + x)(b – x) ↔ 5(x 2 – a 2) = (b 2 – x 2) ↔ 6x 2 = b 2 + 5a 2 ↔ x = √(5a 2 + b 2)/6.

Така OE = x = √(5a 2 + b 2)/6.

Заключение

Геометрията не е от най-лесните науки, но със сигурност можете да се справите с изпитните въпроси. Достатъчно е да проявите малко постоянство в подготовката. И, разбира се, запомнете всички необходими формули.

Опитахме се да съберем всички формули за изчисляване на площта на трапец на едно място, за да можете да ги използвате, когато се подготвяте за изпити и повтаряте материала.

Не забравяйте да кажете на вашите съученици и приятели за тази статия. в социалните мрежи. Позволявам добри оценкище има още за Единния държавен изпит и Държавния изпитен тест!

уебсайт, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към източника.

Площ на трапец. Поздравления! В тази публикация ще разгледаме тази формула. Защо е точно такава и как да я разберем. Ако има разбиране, тогава не е нужно да го преподавате. Ако просто искате да разгледате тази формула и спешно, тогава можете веднага да превъртите страницата надолу))

Сега подробно и по ред.

Трапецът е четириъгълник, две страни на този четириъгълник са успоредни, а другите две не са. Тези, които не са успоредни, са основите на трапеца. Другите две се наричат ​​страни.

Ако страните са равни, тогава трапецът се нарича равнобедрен. Ако една от страните е перпендикулярна на основите, тогава такъв трапец се нарича правоъгълен.

В класическата си форма трапецът се изобразява по следния начин - по-голямата основа е отдолу, съответно по-малката е отгоре. Но никой не забранява да я изобразява и обратното. Ето и скиците:

Следващата важна концепция.

Средната линия на трапец е сегмент, който свързва средните точки на страните. Средната линия е успоредна на основите на трапеца и е равна на тяхната полусума.

Сега нека се задълбочим. защо е така

Помислете за трапец с основи а и би със средната линия ли изпълнете някои допълнителни конструкции: начертайте прави линии през основите и перпендикуляри през краищата на средната линия, докато се пресекат с основите:

*Буквените обозначения за върхове и други точки не са включени умишлено, за да се избегнат ненужни обозначения.

Вижте, триъгълници 1 и 2 са равни според втория знак за равенство на триъгълници, триъгълници 3 и 4 са еднакви. От равенството на триъгълниците следва равенството на елементите, а именно краката (те са обозначени съответно в синьо и червено).

Сега внимание! Ако мислено „отрежем“ синия и червения сегмент от долната основа, тогава ще остане сегмент (това е страната на правоъгълника), равен на средната линия. След това, ако „залепим“ изрязаните сини и червени сегменти към горната основа на трапеца, тогава ще получим и сегмент (това също е страната на правоъгълника), равен на средната линия на трапеца.

Схванах го? Оказва се, че сборът от основите ще бъде равен на двете средни линии на трапеца:

Вижте друго обяснение

Нека направим следното - построим права линия, минаваща през долната основа на трапеца и права, която ще минава през точки A и B:

Получаваме триъгълници 1 и 2, те са равни по страната и съседните ъгли (вторият знак за равенство на триъгълниците). Това означава, че полученият сегмент (на скицата е посочен в синьо) е равен на горната основа на трапеца.

Сега разгледайте триъгълника:

*Средната линия на този трапец и средната линия на триъгълника съвпадат.

Известно е, че триъгълникът е равен на половината от успоредната му основа, т.е.

Добре, разбрахме го. Сега за площта на трапеца.

Формула за площ на трапец:

Те казват: площта на трапец е равна на произведението на половината от сбора на неговите основи и височина.

Тоест, оказва се, че е равно на произведението на централната линия и височината:

Вероятно вече сте забелязали, че това е очевидно. Геометрично това може да се изрази по следния начин: ако мислено отрежем триъгълници 2 и 4 от трапеца и ги поставим съответно на триъгълници 1 и 3:

Тогава ще получим правоъгълник с площ, равна на площта на нашия трапец. Площта на този правоъгълник ще бъде равна на произведението на централната линия и височината, тоест можем да напишем:

Но въпросът тук не е в писането, разбира се, а в разбирането.

Изтеглете (разгледайте) материалите на статията във формат *pdf

Това е всичко. Късмет!

С уважение, Александър.

Трапецът е релефен четириъгълник, в който две противоположни страни са успоредни, а другите две са неуспоредни. Ако всички срещуположни страни на четириъгълник са успоредни по двойки, тогава той е успоредник.

Ще имаш нужда

• – всички страни на трапеца (AB, BC, CD, DA).

Инструкции

1. Непаралелен страни трапецовиднисе наричат ​​странични страни, а успоредните страни се наричат ​​основи. Линията между основите, перпендикулярна на тях - вис трапецовидни. Ако странично страни трапецовидниса равни, тогава се нарича равнобедрен. Първо, нека разгледаме решението за трапецовидни, което не е равнобедрен.

2. Начертайте отсечка BE от точка B до долната основа AD успоредно на страната трапецовидни CD. Тъй като BE и CD са успоредни и начертани между успоредни основи трапецовидни BC и DA, тогава BCDE е успоредник и противоположните му страни BE и CD са равни. BE=CD.

3. Погледнете триъгълника ABE. Изчислете страната AE. AE=AD-ED. Основания трапецовидни BC и AD са известни, а в успоредник BCDE са противоположни страни ED и BC са равни. ED=BC, така че AE=AD-BC.

4. Сега разберете площта на триъгълника ABE, като използвате формулата на Heron, като изчислите полупериметъра. S=корен (p*(p-AB)*(p-BE)*(p-AE)). В тази формула p е полупериметърът на триъгълник ABE. p=1/2*(AB+BE+AE). За да изчислите площта, знаете всички необходими данни: AB, BE=CD, AE=AD-BC.

6. Изразете от тази формула височината на триъгълника, която е и височината трапецовидни. BH=2*S/AE. Изчислете го.

7. Ако трапецът е равнобедрен, решението може да се изпълни по различен начин. Погледнете триъгълника ABH. Тя е правоъгълна, защото един от ъглите, BHA, е прав.

8. Начертайте височината CF от върха C.

9. Проучете стойността на HBCF. HBCF правоъгълник, защото има два от него страниса височини, а другите две са основи трапецовидни, тоест ъглите са прави и противоположни странипаралелен. Това означава, че BC=HF.

10. Погледнете правоъгълните триъгълници ABH и FCD. Ъглите при височини BHA и CFD са прави, а ъглите при странични страни x BAH и CDF са равни, защото трапецът ABCD е равнобедрен, което означава, че триъгълниците са подобни. Тъй като височините BH и CF са равни или странични страниравнобедрен трапецовидни AB и CD са еднакви, тогава подобни триъгълници са еднакви. Така че те страни AH и FD също са равни.

11. Открийте AH. AH+FD=AD-HF. Защото от успоредник HF=BC и от триъгълници AH=FD, тогава AH=(AD-BC)*1/2.

Трапец – геометрична фигура, който е четириъгълник, в който две страни, наречени основи, са успоредни, а другите две не са успоредни. Те се наричат ​​страни трапецовидни. Сегментът, прекаран през средните точки на страничните страни, се нарича средна линия трапецовидни. Трапецът може да има различни дължини на страните или еднакви, в който случай се нарича равнобедрен. Ако една от страните е перпендикулярна на основата, тогава трапецът ще бъде правоъгълен. Но е много по-практично да знаете как да откриете квадрат трапецовидни .

Ще имаш нужда

• Линийка с милиметрови деления

Инструкции

1. Измерете всички страни трапецовидни: AB, BC, CD и DA. Запишете вашите измервания.

2. На сегмент AB маркирайте средата - точка K. На сегмент DA маркирайте точка L, която също се намира в средата на сегмент AD. Комбинирайте точки K и L, полученият сегмент KL ще бъде средната линия трапецовидни ABCD. Измерете сегмента KL.

3. От върха трапецовидни– хвърлете C, спуснете перпендикуляра към основата му AD върху отсечката CE. Ще бъде височината трапецовидни ABCD. Измерете сегмента CE.

4. Тогава нека наречем отсечката KL буквата m, а отсечката CE - буквата h квадратС трапецовидни ABCD се изчислява по формулата: S=m*h, където m е средната линия трапецовидни ABCD, h – височина трапецовидни ABCD.

5. Има друга формула, която ви позволява да изчислите квадрат трапецовидни ABCD. Долна основа трапецовидни– Да наречем AD буквата b, а горната основа BC буквата a. Площта се определя по формулата S=1/2*(a+b)*h, където a и b са основите трапецовидни, h – височина трапецовидни .

Видео по темата

Съвет 3: Как да намерите височината на трапец, ако площта е известна

Трапецът е четириъгълник, в който две от четирите му страни са успоредни една на друга. Успоредните страни са основите на това трапецовидни, другите две са страничните страни на това трапецовидни. Открийте височина трапецовидни, ако знаете площта му, ще бъде много лесно.

Инструкции

1. Трябва да разберем как да изчислим площта на инициала трапецовидни. За това има няколко формули в зависимост от изходните данни: S = ((a+b)*h)/2, където a и b са дължините на основите трапецовидни, а h е неговата височина (Височина трапецовидни– перпендикулярна, спусната от една основа трапецовидникъм друг);S = m*h, където m е средната линия трапецовидни(Средната линия е сегмент, успореден на основите трапецовиднии свързване на средните точки на страните му).

2. Сега, знаейки формулите за изчисляване на площ трапецовидни, е позволено да се извлекат нови от тях за намиране на височината трапецовидни:h = (2*S)/(a+b);h = S/m.

3. За да стане по-ясно как се решават подобни задачи, можете да разгледате примери: Пример 1: Даден е трапец, чиято площ е 68 cm?, чиято средна линия е 8 cm, трябва да намерите височинададено трапецовидни. За да се реши тази задача, трябва да използвате изведената по-рано формула: h = 68/8 = 8,5 cm Отговор: височината на това трапецовидние 8,5 см. Пример 2: Нека y трапецовидниплощ е 120 cm?, дължината на основите е дадена трапецовидниса равни съответно на 8 cm и 12 cm, е необходимо за откриване височинатова трапецовидни. За да направите това, трябва да приложите една от получените формули: h = (2*120)/(8+12) = 240/20 = 12 cmОтговор: височина на дадената трапецовидниравно на 12 см

Видео по темата

Забележка!
Всеки трапец има редица свойства: - средната линия на трапеца е равна на половината от сбора на неговите основи; - отсечката, която свързва диагоналите на трапеца, е равна на половината от разликата на неговите основи; - ако права линия се прекарва през средните точки на основите, тогава той ще пресича пресечната точка на диагоналите на трапеца; - Можете да впишете окръжност в трапец, ако сборът от основите на даден трапец е равен на сбора от неговите страни Използвайте тези свойства, когато решавате задачи.

Съвет 4: Как да намерите височината на триъгълник по координатите на точките

Височината в триъгълник е правата отсечка, свързваща върха на фигурата с противоположната страна. Този сегмент трябва задължително да е перпендикулярен на страната, следователно от всеки връх е позволено да начертаете само един височина. Тъй като в тази фигура има три върха, има същия брой височини. Ако един триъгълник е даден с координатите на неговите върхове, дължината на всяка от височините може да се изчисли, да речем, като се използва формулата за намиране на площта и изчисляване на дължините на страните.

Инструкции

1. Продължете в изчисленията си от факта, че площта триъгълнике равна на половината от произведението на дължината на всяка от нейните страни по дължината на височината, спусната върху тази страна. От това определение следва, че за да намерите височината, трябва да знаете площта на фигурата и дължината на страната.

2. Започнете с изчисляване на дължините на страните триъгълник. Обозначете координатите на върховете на фигурата, както следва: A(X?,Y?,Z?), B(X?,Y?,Z?) и C(X?,Y?,Z?). След това можете да изчислите дължината на страната AB, като използвате формулата AB = ?((X?-X?)? + (Y?-Y?)? + (Z?-Z?)?). За другите 2 страни тези формули ще изглеждат така: BC = ?((X?-X?)? + (Y?-Y?)? + (Z?-Z?)?) и AC = ?(( X ?-X?)? + (Y?-Y?)? + (Z?-Z?)?). Да кажем за триъгълникс координати A(3,5,7), B(16,14,19) и C(1,2,13) ​​​​дължината на страната AB ще бъде?((3-16)? + (5-14 )? + (7 -19)?) = ?(-13? + (-9?) + (-12?)) = ?(169 + 81 + 144) = ?394 ? 19.85. Дължините на страните BC и AC, изчислени по същия метод, ще бъдат равни?(15? + 12? + 6?) =?405? 20,12 и?(2? + 3? + (-6?)) =?49 = 7.

3. Познаването на дължините на 3 страни, получени в предишната стъпка, е достатъчно, за да се изчисли площта триъгълник(S) според формулата на Heron: S = ? * ?((AB+BC+CA) * (BC+CA-AB) * (AB+CA-BC) * (AB+BC-CA)). Да речем, след заместване в тази формула на стойностите, получени от координатите триъгълник-пример от предишната стъпка, тази формула ще даде следната стойност: S = ?*?((19.85+20.12+7) * (20.12+7-19.85) * (19.85+7-20 .12) * (19.85+ 20.12-7)) = ?*?(46.97 * 7.27 * 6.73 * 32.97) ? ?*?75768,55 ? ?*275,26 = 68,815.

4. Въз основа на площта триъгълник, изчислени в предишната стъпка, и дължините на страните, получени във втората стъпка, изчислете височините за всяка от страните. Тъй като площта е равна на половината от произведението на височината и дължината на страната, към която е начертана, за да намерите височината, разделете удвоената площ на дължината на търсената страна: H = 2*S/a. За примера, използван по-горе, височината, спусната до страната AB, ще бъде 2*68,815/16,09? 8.55, височината към страната BC ще има дължина 2*68.815/20.12? 6.84, а за AC страната тази стойност ще бъде равна на 2*68.815/7? 19,66.

Трапецът е изпъкнал четириъгълник, в който две противоположни страни са успоредни, а другите две са неуспоредни. Ако всички срещуположни страни на четириъгълник са успоредни по двойки, тогава той е успоредник.

Ще имаш нужда

• - всички страни на трапеца (AB, BC, CD, DA).

Инструкции

• Неуспоредни страни трапецовиднисе наричат ​​странични, а успоредните се наричат ​​бази. Линията между основите, перпендикулярна на тях - вис трапецовидни. Ако страните трапецовидниса равни, тогава се нарича равнобедрен. Първо нека разгледаме решението за трапецовидни, което не е равнобедрен.
• Начертайте отсечка BE от точка B до долната основа AD успоредно на страната трапецовидни CD. Тъй като BE и CD са успоредни и начертани между успоредни основи трапецовидни BC и DA, тогава BCDE е успоредник и противоположните му страни BE и CD са равни. BE=CD.
• Да разгледаме триъгълника ABE. Изчислете страната AE. AE=AD-ED. Основания трапецовидни BC и AD са известни, а в успоредник BCDE срещуположните страни ED и BC са равни. ED=BC, така че AE=AD-BC.
• Сега разберете площта на триъгълника ABE, като използвате формулата на Heron, като изчислите полупериметъра. S=корен (p*(p-AB)*(p-BE)*(p-AE)). В тази формула p е полупериметърът на триъгълник ABE. p=1/2*(AB+BE+AE). За да изчислите площта, знаете всички необходими данни: AB, BE=CD, AE=AD-BC.
• След това запишете площта на триъгълника ABE по различен начин - тя е равна на половината от произведението на височината на триъгълник BH и страната AE, към която е начертана. S=1/2*BH*AE.
• Експресно от тази формула височинатриъгълник, което е и височината трапецовидни. BH=2*S/AE. Изчислете го.

Ако трапецът е равнобедрен, решението може да се направи по различен начин. Да разгледаме триъгълника ABH. Тя е правоъгълна, защото един от ъглите, BHA, е прав.

• Плъзнете от върха C височина CF.
• Проучете стойността на HBCF. HBCF е правоъгълник, защото две от страните му са височини, а другите две са основи трапецовидни, тоест ъглите са прави и срещуположните страни са успоредни. Това означава, че BC=HF.
• Погледнете правоъгълните триъгълници ABH и FCD. Ъглите при височините BHA и CFD са прави, а ъглите при страните BAH и CDF са равни, тъй като трапецът ABCD е равнобедрен, което означава, че триъгълниците са подобни. Тъй като височините BH и CF са равни или страничните страни на равнобедрен трапецовидни AB и CD са еднакви, тогава подобни триъгълници са еднакви. Това означава, че техните страни AH и FD също са равни.
• Намерете AH. AH+FD=AD-HF. Тъй като от успоредник HF=BC, а от триъгълници AH=FD, то AH=(AD-BC)*1/2.
• След това изчислете от правоъгълния триъгълник ABH, като използвате Питагоровата теорема височинаБ.Х. Квадратът на хипотенузата AB е равен на сумата от квадратите на катетите AH и BH. BH=корен (AB*AB-AH*AH).

Многостранният трапец... Той може да бъде произволен, равнобедрен или правоъгълен. И във всеки случай трябва да знаете как да намерите площта на трапец. Разбира се, най-лесният начин е да запомните основните формули. Но понякога е по-лесно да се използва такъв, който е получен, като се вземат предвид всички характеристики на определена геометрична фигура.

Няколко думи за трапеца и неговите елементи

Всеки четириъгълник, чиито две страни са успоредни, може да се нарече трапец. По принцип те не са равни и се наричат ​​бази. По-голямата е долната, а другата е горната.

Другите две страни се оказват странични. В произволен трапец те имат различна дължина. Ако те са равни, тогава фигурата става равнобедрена.

Ако внезапно ъгълът между която и да е страна и основата се окаже равен на 90 градуса, тогава трапецът е правоъгълен.

Всички тези функции могат да помогнат при решаването на проблема как да се намери площта на трапец.

Сред елементите на фигурата, които могат да бъдат незаменими при решаването на проблеми, можем да подчертаем следното:

• височина, тоест сегмент, перпендикулярен на двете основи;
• средната линия, която има в краищата си средните точки на страничните страни.

Каква формула може да се използва за изчисляване на площта, ако са известни основата и височината?

Този израз е даден като основен, тъй като най-често човек може да разпознае тези величини дори когато не са дадени изрично. Така че, за да разберете как да намерите площта на трапец, ще трябва да добавите двете основи и да ги разделите на две. След това умножете получената стойност по стойността на височината.

Ако обозначим основите като 1 и 2, а височината като n, тогава формулата за площта ще изглежда така:

S = ((a 1 + a 2)/2)*n.

Формулата, която изчислява площта, ако са дадени нейната височина и централна линия

Ако погледнете внимателно предишната формула, е лесно да забележите, че тя ясно съдържа стойността на средната линия. А именно сумата от основите, разделена на две. Нека средната линия е обозначена с буквата l, тогава формулата за площта става:

S = l * n.

Възможност за намиране на площ с помощта на диагонали

Този метод ще помогне, ако ъгълът, образуван от тях, е известен. Да предположим, че диагоналите са обозначени с буквите d 1 и d 2, а ъглите между тях са α и β. Тогава формулата за намиране на площта на трапец ще бъде написана, както следва:

S = ((d 1 * d 2)/2) * sin α.

Можете лесно да замените α с β в този израз. Резултатът няма да се промени.

Как да разберете площта, ако всички страни на фигурата са известни?

Има и ситуации, когато точно страните на тази фигура са известни. Тази формула е тромава и трудна за запомняне. Но вероятно. Нека страните имат обозначението: a 1 и a 2, основата a 1 е по-голяма от a 2. Тогава формулата за площ ще приеме следната форма:

S = ((a 1 + a 2) / 2) * √ (в 1 2 - [(a 1 - a 2) 2 + в 1 2 - в 2 2) / (2 * (a 1 - a 2)) ] 2 ).

Методи за изчисляване на площта на равнобедрен трапец

Първият се дължи на факта, че в него може да се впише кръг. И като знаете неговия радиус (обозначава се с буквата r), както и ъгъла при основата - γ, можете да използвате следната формула:

S = (4 * r 2) / sin γ.

Последната обща формула, която се основава на познаването на всички страни на фигурата, ще бъде значително опростена поради факта, че страните имат едно и също значение:

S = ((a 1 + a 2) / 2) * √ (в 2 - [(a 1 - a 2) 2 / (2 * (a 1 - a 2))] 2 ).

Методи за изчисляване на площта на правоъгълен трапец

Ясно е, че всяко от горните е подходящо за всяка фигура. Но понякога е полезно да знаете за една характеристика на такъв трапец. Той се състои в това, че разликата между квадратите на дължините на диагоналите е равна на разликата, съставена от квадратите на основите.

Често формулите за трапец се забравят, а изразите за площите на правоъгълник и триъгълник се помнят. След това можете да използвате прост метод. Разделете трапеца на две форми, ако е правоъгълен, или на три. Единият определено ще бъде правоъгълник, а вторият или останалите два ще бъдат триъгълници. След като изчислим площите на тези фигури, остава само да ги съберем.

Това е доста прост начин да намерите площта на правоъгълен трапец.

Ами ако координатите на върховете на трапеца са известни?

В този случай ще трябва да използвате израз, който ви позволява да определите разстоянието между точките. Може да се приложи три пъти: за да се открият двете основи и една височина. И след това просто приложете първата формула, която е описана малко по-горе.

За да илюстрираме този метод, може да се даде следният пример. Дадени са върхове с координати A(5; 7), B(8; 7), C(10; 1), D(1; 1). Трябва да разберете площта на фигурата.

Преди да намерите площта на трапеца, трябва да изчислите дължините на основите от координатите. Ще ви трябва следната формула:

дължина на отсечката = √((разлика на първите координати на точките) 2 + (разлика на вторите координати на точките) 2 ).

Горната основа е обозначена като AB, което означава, че нейната дължина ще бъде равна на √((8-5) 2 + (7-7) 2 ) = √9 = 3. Долната е CD = √ ((10-1) 2 + (1-1 ) 2 ) = √81 = 9.

Сега трябва да начертаете височината от върха до основата. Нека началото му е в точка A. Краят на отсечката ще бъде на долната основа в точката с координати (5; 1), нека това е точка H. Дължината на отсечката AN ще бъде равна на √((5 -5) 2 + (7-1) 2 ) = √36 = 6.

Всичко, което остава, е да замените получените стойности във формулата за площта на трапец:

S = ((3 + 9) / 2) * 6 = 36.

Проблемът беше решен без мерни единици, тъй като не беше посочен мащабът на координатната мрежа. Може да бъде милиметър или метър.

Примерни проблеми

№ 1. Състояние.Ъгълът между диагоналите на произволен трапец е известен, той е равен на 30 градуса. По-малкият диагонал е със стойност 3 dm, а вторият е 2 пъти по-голям. Необходимо е да се изчисли площта на трапеца.

Решение.Първо трябва да разберете дължината на втория диагонал, защото без това няма да е възможно да се изчисли отговорът. Не е трудно да се изчисли, 3 * 2 = 6 (dm).

Сега трябва да използвате подходящата формула за площ:

S = ((3 * 6) / 2) * sin 30º = 18/2 * ½ = 4,5 (dm 2). Проблемът е решен.

Отговор:Площта на трапеца е 4,5 dm2.

№ 2. Състояние.В трапеца ABCD основите са отсечките AD и BC. Точка Е е средата на страната на SD. От него се изчертава перпендикуляр на права линия AB, краят на този сегмент е обозначен с буквата H. Известно е, че дължините AB и EH са равни съответно на 5 и 4 см. Необходимо е да се изчисли площта на трапецът.

Решение.Първо трябва да направите чертеж. Тъй като стойността на перпендикуляра е по-малка от страната, към която е изтеглен, трапецът ще бъде леко удължен нагоре. Така че EH ще бъде вътре във фигурата.

За да видите ясно напредъка в решаването на проблема, ще трябва да извършите допълнителна конструкция. А именно, начертайте права линия, която ще бъде успоредна на страната AB. Пресечните точки на тази права с AD са P, а с продължението на BC са X. Получената фигура VHRA е успоредник. Освен това неговата площ е равна на необходимата. Това се дължи на факта, че триъгълниците, получени по време на допълнителната конструкция, са равни. Това следва от равенството на страната и два ъгъла, съседни на нея, единият вертикален, а другият лежащ на кръст.

Можете да намерите площта на успоредник, като използвате формула, която съдържа произведението на страната и височината, спусната върху нея.

Така площта на трапеца е 5 * 4 = 20 cm 2.

Отговор: S = 20 cm 2.

№ 3. Състояние.Елементите на равнобедрен трапец имат следните стойности: долна основа - 14 cm, горна - 4 cm, остър ъгъл - 45º. Трябва да изчислите площта му.

Решение.Нека по-малката основа е обозначена с BC. Височината, изтеглена от точка B, ще се нарича VH. Тъй като ъгълът е 45º, триъгълникът ABH ще бъде правоъгълен и равнобедрен. Така че AN=VN. Освен това AN се намира много лесно. Тя е равна на половината от разликата в основите. Това е (14 - 4) / 2 = 10 / 2 = 5 (cm).

Основите са известни, височините са изчислени. Можете да използвате първата формула, която беше обсъдена тук за произволен трапец.

S = ((14 + 4) / 2) * 5 = 18/2 * 5 = 9 * 5 = 45 (cm 2).

Отговор:Необходимата площ е 45 cm 2.

№ 4. Състояние.Има произволен трапец ABCD. От страничните му страни са взети точки O и E, така че OE да е успоредна на основата на AD. Площта на трапеца AOED е пет пъти по-голяма от тази на OVSE. Изчислете стойността на OE, ако дължините на основите са известни.

Решение.Ще трябва да начертаете две успоредни прави AB: първата през точка C, нейната пресечна точка с OE - точка T; вторият през E и точката на пресичане с AD ще бъде M.

Нека неизвестното OE=x. Височината на по-малкия трапец OVSE е n 1, по-големият AOED е n 2.

Тъй като площите на тези два трапеца се отнасят като 1 към 5, можем да запишем следното равенство:

(x + a 2) * n 1 = 1/5 (x + a 1) * n 2

n 1 / n 2 = (x + a 1) / (5 (x + a 2)).

Височините и страните на триъгълниците са пропорционални по конструкция. Следователно можем да напишем още едно равенство:

n 1 / n 2 = (x - a 2) / (a ​​​​1 - x).

В последните два записа от лявата страна има равни стойности, което означава, че можем да запишем, че (x + a 1) / (5(x + a 2)) е равно на (x - a 2) / (a ​​​​1 - x).

Тук са необходими редица трансформации. Първо умножете на кръст. Ще се появят скоби, за да посочат разликата на квадратите, след като приложите тази формула, ще получите кратко уравнение.

В него трябва да отворите скобите и да преместите всички членове с неизвестното „x“ наляво и след това да извлечете квадратния корен.

Отговор: x = √ ((a 1 2 + 5 a 2 2) / 6).