Тригонометрични уравнения с повишена сложност с решения. Тригонометрични уравнения

Урок и презентация на тема: "Решаване на прости тригонометрични уравнения"

Допълнителни материали
Уважаеми потребители, не забравяйте да оставите вашите коментари, отзиви, пожелания! Всички материали са проверени с антивирусна програма.

Наръчници и симулатори в онлайн магазина Integral за 10 клас от 1C
Решаваме задачи по геометрия. Интерактивни задачи за изграждане в пространството
Софтуерна среда "1C: Математически конструктор 6.1"

Какво ще изучаваме:
1. Какво представляват тригонометричните уравнения?

3. Два основни метода за решаване на тригонометрични уравнения.
4. Хомогенни тригонометрични уравнения.
5. Примери.

Какво представляват тригонометричните уравнения?

Момчета, вече изучихме аркуссинус, аркосинус, арктангенс и арккотангенс. Сега нека разгледаме тригонометричните уравнения като цяло.

Тригонометрични уравнения– уравнение, в което променлива се съдържа под знака на тригонометрична функция.

Нека повторим формата за решаване на най-простите тригонометрични уравнения:

1) Ако |a|≤ 1, тогава уравнението cos(x) = a има решение:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Ако |a|≤ 1, тогава уравнение на греха(x) = a има решение:

3) Ако |a| > 1, тогава уравнението sin(x) = a и cos(x) = a няма решения 4) Уравнението tg(x)=a има решение: x=arctg(a)+ πk

5) Уравнението ctg(x)=a има решение: x=arcctg(a)+ πk

За всички формули k е цяло число

Най-простите тригонометрични уравнения имат формата: T(kx+m)=a, T е някаква тригонометрична функция.

Пример.

Решете уравненията: а) sin(3x)= √3/2

Решение:

А) Нека означим 3x=t, тогава ще пренапишем нашето уравнение във формата:

Решението на това уравнение ще бъде: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

От таблицата със стойности получаваме: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Нека се върнем към нашата променлива: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Тогава x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Отговор: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, където n е цяло число. (-1)^n – минус едно на степен n.

Още примери за тригонометрични уравнения.

Решете уравненията: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

Решение:

A) Този път нека веднага да преминем директно към изчисляването на корените на уравнението:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Тогава x/5= πk => x=5πk

Отговор: x=5πk, където k е цяло число.

B) Записваме го във формата: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Знаем, че: arctan(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Отговор: x=2π/9 + πk/3, където k е цяло число.

Решете уравненията: cos(4x)= √2/2. И намерете всички корени на сегмента.

Решение:

Ще решим в общ изгледнашето уравнение: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Сега нека видим какви корени падат върху нашия сегмент. При k При k=0, x= π/16, ние сме в дадения сегмент.
С k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, уцелваме отново.
За k=2, x= π/16+ π=17π/16, но тук не уцелихме, което означава, че за голямо k също очевидно няма да уцелим.

Отговор: x= π/16, x= 9π/16

Два основни метода за решение.

Разгледахме най-простите тригонометрични уравнения, но има и по-сложни. За решаването им се използват методът за въвеждане на нова променлива и методът на факторизиране. Нека да разгледаме примерите.

Нека решим уравнението:

Решение:
За да решим нашето уравнение, ще използваме метода за въвеждане на нова променлива, обозначаваща: t=tg(x).

В резултат на замяната получаваме: t 2 + 2t -1 = 0

Нека намерим корените на квадратното уравнение: t=-1 и t=1/3

Тогава tg(x)=-1 и tg(x)=1/3, получаваме най-простото тригонометрично уравнение, нека намерим неговите корени.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Отговор: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Пример за решаване на уравнение

Решете уравнения: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Решение:

Нека използваме идентичността: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Нашето уравнение ще приеме формата: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos (x) -2 = 0

Нека въведем замяната t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Решението на нашето квадратно уравнение е корените: t=2 и t=-1/2

Тогава cos(x)=2 и cos(x)=-1/2.

защото косинус не може да приема стойности, по-големи от едно, тогава cos(x)=2 няма корени.

За cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Отговор: x= ±2π/3 + 2πk

Хомогенни тригонометрични уравнения.

Определение: Уравнения от вида a sin(x)+b cos(x) се наричат хомогенни тригонометрични уравнения от първа степен.

Уравнения на формата

хомогенни тригонометрични уравнения от втора степен.

За да решите хомогенно тригонометрично уравнение от първа степен, разделете го на cos(x): Не можете да разделите на косинуса, ако е равен на нула, нека се уверим, че това не е така:
Нека cos(x)=0, тогава asin(x)+0=0 => sin(x)=0, но синус и косинус не са равни на нула едновременно, получаваме противоречие, така че можем безопасно да разделим с нула.

Решете уравнението:
Пример: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Решение:

Нека извадим общия множител: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

След това трябва да решим две уравнения:

Cos(x)=0 и cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 при x= π/2 + πk;

Разгледайте уравнението cos(x)+sin(x)=0 Разделете нашето уравнение на cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Отговор: x= π/2 + πk и x= -π/4+πk

Как се решават хомогенни тригонометрични уравнения от втора степен?
Момчета, винаги спазвайте тези правила!

1. Вижте на какво е равен коефициентът a, ако a=0, тогава нашето уравнение ще приеме формата cos(x)(bsin(x)+ccos(x)), пример за чието решение е на предишния слайд

2. Ако a≠0, тогава трябва да разделите двете страни на уравнението на косинуса на квадрат, получаваме:

Променяме променливата t=tg(x) и получаваме уравнението:

Решете пример No:3

Решете уравнението:
Решение:

Нека разделим двете страни на уравнението на косинус квадрат:

Променяме променливата t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Нека намерим корените на квадратното уравнение: t=-3 и t=1

Тогава: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Отговор: x=-arctg(3) + πk и x= π/4+ πk

Решете пример No:4

Решете уравнението:

Решение:
Нека трансформираме нашия израз:

Можем да решим такива уравнения: x= - π/4 + 2πk и x=5π/4 + 2πk

Отговор: x= - π/4 + 2πk и x=5π/4 + 2πk

Решете пример №:5

Решете уравнението:

Решение:
Нека трансформираме нашия израз:

Нека въведем замяната tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

Решението на нашето квадратно уравнение ще бъдат корените: t=-2 и t=1/2

Тогава получаваме: tg(2x)=-2 и tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Отговор: x=-arctg(2)/2 + πk/2 и x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Задачи за самостоятелно решаване.

1) Решете уравнението

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 d) ctg(0,5x) = -1,7

2) Решете уравненията: sin(3x)= √3/2. И намерете всички корени на отсечката [π/2; π].

3) Решете уравнението: cot 2 (x) + 2 cot (x) + 1 =0

4) Решете уравнението: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Решете уравнението: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Решете уравнението: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Тригонометричните уравнения не са лесна тема. Те са твърде разнообразни.) Например тези:

sin 2 x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = cot(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

и т.н...

Но тези (и всички други) тригонометрични чудовища имат две общи и задължителни характеристики. Първо - няма да повярвате - в уравненията има тригонометрични функции.) Второ: всички изрази с x са намерени в рамките на същите тези функции.И само там! Ако X се появи някъде навън,Например, sin2x + 3x = 3,това вече ще е уравнение от смесен тип. Такива уравнения изискват индивидуален подход. Няма да ги разглеждаме тук.

В този урок също няма да решаваме зли уравнения.) Тук ще се занимаваме с най-простите тригонометрични уравнения.Защо? Да, защото решението всякаквитригонометричните уравнения се състоят от два етапа. На първия етап злото уравнение се свежда до просто чрез различни трансформации. На втория се решава това най-просто уравнение. Няма друг начин.

Така че, ако имате проблеми на втория етап, първият етап няма много смисъл.)

Как изглеждат елементарните тригонометрични уравнения?

sinx = а

cosx = а

tgx = а

ctgx = a

Тук А означава произволно число. Всякакви.

Между другото, вътре в една функция може да няма чисто X, а някакъв вид израз, като:

cos(3x+π /3) = 1/2

и т.н. Това усложнява живота, но не засяга метода за решаване на тригонометрично уравнение.

Как се решават тригонометрични уравнения?

Тригонометричните уравнения могат да се решават по два начина. Първият начин: използване на логиката и тригонометричната окръжност. Ще разгледаме този път тук. Вторият начин - използване на памет и формули - ще бъде разгледан в следващия урок.

Първият начин е ясен, надежден и трудно се забравя.) Добър е за решаване на тригонометрични уравнения, неравенства и всякакви трудни нестандартни примери. Логиката е по-силна от паметта!)

Решаване на уравнения с помощта на тригонометрична окръжност.

Включваме елементарна логика и умение да използваме тригонометричния кръг. Не знаеш ли как? Въпреки това... Ще ви е трудно в тригонометрията...) Но това няма значение. Разгледайте уроците "Тригонометрична окръжност...... Какво е това?" и "Измерване на ъгли върху тригонометрична окръжност." Там всичко е просто. За разлика от учебниците...)

О, знаеш ли!? И дори усвои „Практическа работа с тригонометричния кръг“!? Честито. Тази тема ще ви бъде близка и разбираема.) Особено радващото е, че тригонометричната окръжност не се интересува какво уравнение решавате. Синус, косинус, тангенс, котангенс – всичко му е едно и също. Има само един принцип на решение.

Така че вземаме всяко елементарно тригонометрично уравнение. Поне това:

cosx = 0,5

Трябва да намерим X. Казано на човешки език, имате нужда намерете ъгъла (x), чийто косинус е 0,5.

Как използвахме кръга преди? Начертахме ъгъл върху него. В градуси или радиани. И то веднага трион тригонометрични функции на този ъгъл. Сега нека направим обратното. Нека начертаем косинус върху окръжността, равен на 0,5 и веднага ще видим ъгъл. Остава само да напиша отговора.) Да, да!

Начертайте кръг и маркирайте косинуса, равен на 0,5. По косинусовата ос, разбира се. Като този:

Сега нека начертаем ъгъла, който ни дава този косинус. Задръжте курсора на мишката върху снимката (или докоснете снимката на таблета) и ще видитеточно този ъгъл Х.

Косинусът на кой ъгъл е 0,5?

x = π /3

cos 60°= cos( π /3) = 0,5

Някои хора ще се засмят скептично, да... Например, струваше ли си да направим кръг, когато всичко вече е ясно... Можете, разбира се, да се смеете...) Но факт е, че това е грешен отговор. Или по-скоро недостатъчно. Познавачите на кръговете разбират, че тук има цял куп други ъгли, които също дават косинус от 0,5.

Ако завъртите подвижната страна OA пълен оборот, точка А ще се върне в първоначалната си позиция. Със същия косинус равен на 0,5. Тези. ъгълът ще се променис 360° или 2π радиана и косинус - не.Новият ъгъл 60° + 360° = 420° също ще бъде решение на нашето уравнение, т.к.

Такива пълни оборотиможете да навиете безкраен брой... И всички тези нови ъгли ще бъдат решения на нашето тригонометрично уравнение. И всички те трябва да бъдат записани по някакъв начин в отговор. Всичко.Иначе решението не се брои, да...)

Математиката може да направи това просто и елегантно. Запишете в един кратък отговор безкрайно множестворешения. Ето как изглежда нашето уравнение:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

Ще го дешифрирам. Все пак пиши смисленоПо-приятно е, отколкото глупаво да рисувате мистериозни букви, нали?)

π /3 - това е същият ъгъл, който ние трионвърху кръга и определенспоред косинусовата таблица.

2π е една пълна революция в радиани.

н - това е броят на пълните, т.е. цялооб/мин Ясно е, че н може да бъде равно на 0, ±1, ±2, ±3.... и така нататък. Както е посочено от кратък запис:

n ∈ Z

н принадлежи ( ∈ ) набор от цели числа ( З ). Между другото, вместо писмото н буквите могат да бъдат използвани к, м, т и т.н.

Тази нотация означава, че можете да вземете всяко цяло число н . Най-малко -3, поне 0, поне +55. Каквото поискаш. Ако замените това число в отговора, ще получите конкретен ъгъл, който определено ще бъде решението на нашето сурово уравнение.)

Или, с други думи, x = π /3 е единственият корен на безкрайно множество. За да получите всички други корени, е достатъчно да добавите произволен брой пълни обороти към π /3 ( н ) в радиани. Тези. 2πn радиан.

Всичко? Не. Нарочно удължавам удоволствието. За да запомним по-добре.) Получихме само част от отговорите на нашето уравнение. Ще напиша тази първа част от решението така:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

х 1 - не само един корен, а цяла поредица от корени, записани в кратка форма.

Но има и ъгли, които също дават косинус от 0,5!

Да се върнем към нашата снимка, от която записахме отговора. Ето я:

Задръжте мишката върху изображението и виждамедруг ъгъл, който също дава косинус от 0,5.На какво мислите, че е равно? Триъгълниците са еднакви... Да! То е равно на ъгъла х , само забавено в отрицателна посока. Това е ъгълът -Х. Но ние вече изчислихме x. π /3 или 60°. Следователно можем спокойно да напишем:

x 2 = - π /3

Е, разбира се, добавяме всички ъгли, които се получават чрез пълни обороти:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Това е всичко сега.) На тригонометричната окръжност ние трион(който разбира, разбира се)) всичкоъгли, които дават косинус от 0,5. И ние записахме тези ъгли в кратка математическа форма. Отговорът доведе до две безкрайни серии от корени:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Това е правилният отговор.

надежда, общ принцип за решаване на тригонометрични уравненияизползването на кръг е ясно. Отбелязваме върху окръжност косинуса (синус, тангенс, котангенс) от даденото уравнение, начертаваме съответстващите му ъгли и записваме отговора.Разбира се, трябва да разберем какви ъгли сме трионвърху кръга. Понякога не е толкова очевидно. Е, казах, че тук е необходима логика.)

Например, нека разгледаме друго тригонометрично уравнение:

Моля, имайте предвид, че числото 0,5 не е единственото възможно число в уравненията!) Просто ми е по-удобно да го напиша, отколкото корени и дроби.

Ние работим според общия принцип. Начертаваме кръг, маркираме (на синусовата ос, разбира се!) 0,5. Начертаваме всички ъгли, съответстващи на този синус наведнъж. Получаваме тази снимка:

Нека първо се заемем с ъгъла х през първото тримесечие. Спомняме си таблицата на синусите и определяме стойността на този ъгъл. Това е проста работа:

x = π /6

Спомняме си за пълни обороти и, с чиста съвест, записваме първата поредица от отговори:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

Половината работа е свършена. Но сега трябва да определим втори ъгъл...По-сложно е от косинусите, да... Но логиката ще ни спаси! Как да определим втория ъгъл през х? Да Лесно! Триъгълниците на снимката са еднакви, както и червеният ъгъл х равен на ъгъл х . Само той се брои от ъгъла π в отрицателна посока. Затова е червен.) А за отговора ни трябва ъгъл, измерен правилно от положителната полуос OX, т.е. от ъгъл 0 градуса.

Задръжте курсора върху чертежа и виждаме всичко. Премахнах първия ъгъл, за да не усложнявам картината. Ъгълът, който ни интересува (начертан в зелено), ще бъде равен на:

π - х

X ние знаем това π /6 . Следователно вторият ъгъл ще бъде:

π - π /6 = 5π /6

Отново си спомняме за добавянето на пълни обороти и записваме втората серия от отговори:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Това е всичко. Пълният отговор се състои от две серии от корени:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Тангенсните и котангенсните уравнения могат лесно да бъдат решени, като се използва същият общ принцип за решаване на тригонометрични уравнения. Ако, разбира се, знаете как да начертаете тангенс и котангенс върху тригонометрична окръжност.

В примерите по-горе използвах табличната стойност на синус и косинус: 0,5. Тези. едно от онези значения, които ученикът знае трябва да.Сега нека разширим възможностите си до всички други стойности.Решете, така че решете!)

И така, да кажем, че трябва да решим това тригонометрично уравнение:

В кратките таблици няма такава косинусова стойност. Хладно игнорираме този ужасен факт. Начертайте окръжност, маркирайте 2/3 върху косинусната ос и начертайте съответните ъгли. Получаваме тази снимка.

Нека да разгледаме първо ъгъла в първата четвърт. Само ако знаехме на какво е равно x, веднага щяхме да запишем отговора! Не знаем... Провал!? Спокоен! Математиката не оставя своя народ в беда! Тя измисли дъгови косинуси за този случай. Не знам? Напразно. Разберете, това е много по-лесно, отколкото си мислите. На този линк няма нито едно сложно заклинание за "обратни тригонометрични функции"... Това е излишно в тази тема.

Ако сте наясно, просто си кажете: "X е ъгъл, чийто косинус е равен на 2/3." И веднага, чисто по дефиницията на аркосинус, можем да напишем:

Спомняме си за допълнителните обороти и спокойно записваме първата серия от корени на нашето тригонометрично уравнение:

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Втората поредица от корени за втория ъгъл се записва почти автоматично. Всичко е същото, само X (arccos 2/3) ще бъде с минус:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

И това е! Това е правилният отговор. Дори по-лесно, отколкото с таблични стойности. Няма нужда да помните нищо.) Между другото, най-внимателните ще забележат, че тази снимка показва решението през аркосинус по същество не се различава от картината за уравнението cosx = 0,5.

Точно! Общ принципЕто защо е често срещано! Нарочно нарисувах две почти еднакви картини. Кръгът ни показва ъгъла х по своя косинус. Дали е табличен косинус или не, не е известно на всички. Какъв вид ъгъл е това, π /3, или какво е арккосинус - това зависи от нас да решим.

Същата песен със синуса. Например:

Начертайте отново кръг, маркирайте синуса, равен на 1/3, начертайте ъглите. Това е картината, която получаваме:

И отново картината е почти същата като при уравнението sinx = 0,5.Отново започваме от корнер през първата четвърт. На какво е равно X, ако неговият синус е 1/3? Няма проблем!

Сега първият пакет корени е готов:

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Нека се заемем с втория ъгъл. В примера с таблична стойност от 0,5 тя е равна на:

π - х

И тук ще бъде абсолютно същото! Само х е различно, arcsin 1/3. И какво от това!? Можете спокойно да запишете втория пакет корени:

x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Това е напълно правилен отговор. Въпреки че не изглежда много познато. Но е ясно, надявам се.)

Ето как тригонометричните уравнения се решават с помощта на кръг. Този път е ясен и разбираем. Той е този, който спестява в тригонометрични уравнения с избор на корени на даден интервал, в тригонометрични неравенства - те обикновено се решават почти винаги в кръг. Накратко, във всякакви задачи, които са малко по-трудни от стандартните.

Да приложим знанията на практика?)

Решете тригонометрични уравнения:

Първо, по-просто, направо от този урок.

Сега е по-сложно.

Съвет: тук ще трябва да помислите за кръга. Лично.)

И сега те са външно прости... Наричат ги още специални случаи.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Подсказка: тук трябва да разберете в кръг къде има две серии от отговори и къде има една... И как да напишете една вместо две серии от отговори. Да, за да не се загуби нито един корен от безкраен брой!)

Е, много просто):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Съвет: тук трябва да знаете какво са арксинус и аркосинус? Какво е арктангенс, арккотангенс? Най-простите определения. Но не е необходимо да помните стойности на таблица!)

Отговорите, разбира се, са бъркотия):

х 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
х 2= π - arcsin0,3 + 2

Не всичко се получава? Случва се. Прочетете урока отново. само замислено(има такава остаряла дума...) И следвайте връзките. Основните връзки са за кръга. Без нея тригонометрията е като пресичане на пътя със завързани очи. Понякога работи.)

Ако харесвате този сайт...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Да учим - с интерес!)

Можете да се запознаете с функции и производни.

Изисква познаване на основните формули на тригонометрията - сбор от квадратите на синус и косинус, изразяване на тангенс през синус и косинус и др. За тези, които са ги забравили или не ги знаят, препоръчваме да прочетете статията "".
И така, знаем основните тригонометрични формули, време е да ги използваме на практика. Решаване на тригонометрични уравненияс правилен подход - съвсем вълнуваща дейност, като например решаването на кубче на Рубик.

От самото име става ясно, че тригонометричното уравнение е уравнение, в което неизвестното е под знака на тригонометричната функция.
Има така наречените най-прости тригонометрични уравнения. Ето как изглеждат: sinx = a, cos x = a, tan x = a. Нека помислим как се решават такива тригонометрични уравнения, за яснота ще използваме вече познатата тригонометрична окръжност.

sinx = а

cos x = a

тен х = а

детско легло x = a

Всяко тригонометрично уравнение се решава на два етапа: свеждаме уравнението до най-простата му форма и след това го решаваме като просто тригонометрично уравнение.
Има 7 основни метода, чрез които се решават тригонометрични уравнения.

Заместване на променливи и метод на заместване

Решете уравнението 2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0

Използвайки формулите за намаляване, получаваме:

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

Заменете cos(x + /6) с y, за да опростите и да получите обичайното квадратно уравнение:

2y 2 – 3y + 1 + 0

Корените на което са y 1 = 1, y 2 = 1/2

Сега да вървим в обратен ред

Заменяме намерените стойности на y и получаваме две опции за отговор:

Решаване на тригонометрични уравнения чрез факторизация

Как да решим уравнението sin x + cos x = 1?

Нека преместим всичко наляво, така че 0 да остане отдясно:

sin x + cos x – 1 = 0

Нека използваме идентичностите, обсъдени по-горе, за да опростим уравнението:

sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

Нека разложим на множители:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

Получаваме две уравнения

Свеждане до хомогенно уравнение

Едно уравнение е хомогенно по отношение на синус и косинус, ако всички негови членове са относителни към синус и косинус на една и съща степен на същия ъгъл. За да решите хомогенно уравнение, продължете както следва:

а) прехвърлете всичките си членове от лявата страна;

б) извадете всички общи множители извън скоби;

в) приравнете всички множители и скоби на 0;

г) в скоби се получава хомогенно уравнение от по-ниска степен, което от своя страна се разделя на синус или косинус от по-висока степен;

д) решете полученото уравнение за tg.

Решете уравнението 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

Нека използваме формулата sin 2 x + cos 2 x = 1 и да се отървем от отворените две отдясно:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

Разделете на cos x:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Заменете tan x с y и получете квадратно уравнение:

y 2 + 4y +3 = 0, чиито корени са y 1 =1, y 2 = 3

От тук намираме две решения на първоначалното уравнение:

x 2 = арктан 3 + k

Решаване на уравнения чрез преход към половин ъгъл

Решете уравнението 3sin x – 5cos x = 7

Да преминем към x/2:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Нека преместим всичко наляво:

2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

Разделете на cos(x/2):

tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

Въвеждане на спомагателен ъгъл

За разглеждане нека вземем уравнение от вида: a sin x + b cos x = c,

където a, b, c са произволни коефициенти, а x е неизвестно.

Нека разделим двете страни на уравнението на:

Сега коефициентите на уравнението, според тригонометричните формули, имат свойствата sin и cos, а именно: техният модул е не повече от 1 и сумата на квадратите = 1. Нека ги обозначим съответно като cos и sin, където - това е така нареченият спомагателен ъгъл. Тогава уравнението ще приеме формата:

cos * sin x + sin * cos x = C

или sin(x + ) = C

Решението на това най-просто тригонометрично уравнение е

x = (-1) k * arcsin C - + k, където

Трябва да се отбележи, че обозначенията cos и sin са взаимозаменяеми.

Решете уравнението sin 3x – cos 3x = 1

Коефициентите в това уравнение са:

a = , b = -1, така че разделете двете страни на = 2

Концепция за решаване на тригонометрични уравнения.

За да решите тригонометрично уравнение, преобразувайте го в едно или повече основни тригонометрични уравнения. Решаването на тригонометрично уравнение в крайна сметка се свежда до решаването на четирите основни тригонометрични уравнения.

Решаване на основни тригонометрични уравнения.

Има 4 вида основни тригонометрични уравнения:
sin x = a; cos x = a
тен х = а; ctg x = a
Решаването на основни тригонометрични уравнения включва разглеждане на различни позиции x върху единичната окръжност, както и използване на таблица за преобразуване (или калкулатор).
Пример 1. sin x = 0,866. С помощта на таблица за преобразуване (или калкулатор) ще получите отговора: x = π/3. Единичната окръжност дава друг отговор: 2π/3. Запомнете: всички тригонометрични функции са периодични, което означава, че техните стойности се повтарят. Например, периодичността на sin x и cos x е 2πn, а периодичността на tg x и ctg x е πn. Следователно отговорът е написан по следния начин:
x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
Пример 2. cos x = -1/2. С помощта на таблица за преобразуване (или калкулатор) ще получите отговора: x = 2π/3. Единичната окръжност дава друг отговор: -2π/3.
x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
Пример 3. tg (x - π/4) = 0.
Отговор: x = π/4 + πn.
Пример 4. ctg 2x = 1,732.
Отговор: x = π/12 + πn.

Трансформации, използвани при решаване на тригонометрични уравнения.

За преобразуване на тригонометрични уравнения се използват алгебрични трансформации (факторизация, редукция на хомогенни членове и др.) и тригонометрични тъждества.
Пример 5: Използвайки тригонометрични идентичности, уравнението sin x + sin 2x + sin 3x = 0 се преобразува в уравнението 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. По този начин следните основни тригонометрични уравнения трябва да се реши: cos x = 0; sin(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.
Намиране на ъгли по известни стойностифункции.
- Преди да научите как да решавате тригонометрични уравнения, трябва да научите как да намирате ъгли, като използвате известни стойности на функцията. Това може да стане с помощта на таблица за преобразуване или калкулатор.
- Пример: cos x = 0,732. Калкулаторът ще даде отговора x = 42,95 градуса. Единичната окръжност ще даде допълнителни ъгли, чийто косинус също е 0,732.
Отделете разтвора върху единичната окръжност.
- Можете да начертаете решения на тригонометрично уравнение върху единичната окръжност. Решения на тригонометрично уравнение върху единичната окръжност са върховете на правилен многоъгълник.
- Пример: Решенията x = π/3 + πn/2 върху единичната окръжност представляват върховете на квадрата.
- Пример: Решенията x = π/4 + πn/3 върху единичната окръжност представляват върховете на правилен шестоъгълник.
Методи за решаване на тригонометрични уравнения.
- Ако дадено тригонометрично уравнение съдържа само една тригонометрична функция, решете това уравнение като основно тригонометрично уравнение. Ако дадено уравнение включва две или повече тригонометрични функции, тогава има 2 метода за решаване на такова уравнение (в зависимост от възможността за неговото преобразуване).
  - Метод 1.
- Преобразувайте това уравнение в уравнение от вида: f(x)*g(x)*h(x) = 0, където f(x), g(x), h(x) са основните тригонометрични уравнения.
- Пример 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
- Решение. Като използвате формулата за двоен ъгъл sin 2x = 2*sin x*cos x, заменете sin 2x.
- 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Сега решете двете основни тригонометрични уравнения: cos x = 0 и (sin x + 1) = 0.
- Пример 7. cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
- Решение: Използвайки тригонометрични идентичности, преобразувайте това уравнение в уравнение от вида: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Сега решете двете основни тригонометрични уравнения: cos 2x = 0 и (2cos x + 1) = 0.
- Пример 8. sin x - sin 3x = cos 2x. (0< x < 2π)
- Решение: Използвайки тригонометрични идентичности, преобразувайте това уравнение в уравнение от вида: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Сега решете двете основни тригонометрични уравнения: cos 2x = 0 и (2sin x + 1) = 0 .
  - Метод 2.
- Преобразувайте даденото тригонометрично уравнение в уравнение, съдържащо само една тригонометрична функция. След това заменете тази тригонометрична функция с някаква неизвестна, например t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tan x = t; tg (x/2) = t и т.н.).
- Пример 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
- Решение. В това уравнение заменете (cos^2 x) с (1 - sin^2 x) (според тъждеството). Трансформираното уравнение е:
- 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Заменете sin x с t. Сега уравнението изглежда така: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Това е квадратно уравнение, което има два корена: t1 = -1 и t2 = 9/5. Вторият корен t2 не отговаря на обхвата на функцията (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
- Пример 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
- Решение. Заменете tg x с t. Пренапишете оригиналното уравнение, както следва: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Сега намерете t и след това намерете x за t = tan x.

Решаване на прости тригонометрични уравнения.

Решаването на тригонометрични уравнения с всякакво ниво на сложност в крайна сметка се свежда до решаването на най-простите тригонометрични уравнения. И в това най-добър помощникотново се оказва тригонометрична окръжност.

Нека си припомним дефинициите на косинус и синус.

Косинусът на ъгъл е абсцисата (т.е. координатата по оста) на точка от единичната окръжност, съответстваща на завъртане през даден ъгъл.

Синусът на ъгъл е ординатата (т.е. координатата по оста) на точка от единичната окръжност, съответстваща на завъртане през даден ъгъл.

Положителната посока на движение върху тригонометричния кръг е обратно на часовниковата стрелка. Завъртане от 0 градуса (или 0 радиана) съответства на точка с координати (1;0)

Използваме тези определения за решаване на прости тригонометрични уравнения.

1. Решете уравнението

Това уравнение се удовлетворява от всички стойности на ъгъла на завъртане, които съответстват на точки от окръжността, чиято ордината е равна на .

Нека отбележим точка с ордината върху ординатната ос:

Начертайте хоризонтална линия, успоредна на оста x, докато се пресече с кръга. Получаваме две точки, лежащи на окръжността и имащи ордината. Тези точки съответстват на ъгли на въртене в и радиани:

Ако, излизайки от точката, съответстваща на ъгъла на въртене на радиан, обиколим цял кръг, тогава ще стигнем до точка, съответстваща на ъгъла на въртене на радиан и имаща същата ордината. Тоест, този ъгъл на завъртане също удовлетворява нашето уравнение. Можем да направим толкова „неактивни“ обороти, колкото желаем, връщайки се към същата точка и всички тези ъглови стойности ще задоволят нашето уравнение. Броят на оборотите на празен ход ще бъде обозначен с буквата (или). Тъй като можем да направим тези революции както в положителна, така и в отрицателна посока, (или) можем да приемем всякакви цели числа.

Тоест, първата серия от решения на оригиналното уравнение има формата:

, , - набор от цели числа (1)

По същия начин втората серия от решения има формата:

, Където , . (2)

Както може би се досещате, тази поредица от решения се основава на точката от окръжността, съответстваща на ъгъла на въртене от .

Тези две серии от решения могат да бъдат комбинирани в един запис:

Ако вземем (т.е. дори) в този запис, тогава ще получим първата поредица от решения.

Ако вземем (т.е. нечетно) в този запис, тогава получаваме втората серия от решения.

2. Сега нека решим уравнението

Тъй като това е абсцисата на точка от единичната окръжност, получена чрез завъртане на ъгъл, отбелязваме точката с абсцисата на оста:

Начертайте вертикална линия, успоредна на оста, докато се пресече с кръга. Ще получим две точки, лежащи на окръжността и имащи абциса. Тези точки съответстват на ъгли на въртене в и радиани. Спомнете си, че при движение по посока на часовниковата стрелка получаваме отрицателен ъгъл на въртене:

Нека запишем две серии от решения:

(Стигаме до желаната точка, като тръгнем от основния пълен кръг, т.е.

Нека комбинираме тези две серии в един запис:

3. Решете уравнението

Допирателната минава през точката с координати (1,0) на единичната окръжност, успоредна на оста OY

Нека отбележим точка върху него с ордината равна на 1 (търсим тангенса на кои ъгли е равна на 1):

Нека свържем тази точка с началото на координатите с права линия и да отбележим пресечните точки на правата с единичната окръжност. Пресечните точки на правата и окръжността съответстват на ъглите на завъртане на и :

Тъй като точките, съответстващи на ъглите на завъртане, които удовлетворяват нашето уравнение, лежат на разстояние радиани една от друга, можем да запишем решението по следния начин:

4. Решете уравнението

Правата на котангенсите минава през точката с координати на единичната окръжност, успоредна на оста.

Нека отбележим точка с абсцисата -1 на правата на котангенсите:

Нека свържем тази точка с началото на правата линия и я продължим, докато се пресече с окръжността. Тази права линия ще пресича окръжността в точки, съответстващи на ъглите на въртене в и радиани: