Mathematische Abkürzungen von Zahlen in welche Richtung. Einige wichtige Regeln beim Runden von Zahlen

Viele Menschen interessieren sich für das Runden von Zahlen. Dieses Bedürfnis entsteht häufig bei Menschen, die ihr Leben mit Buchhaltung oder anderen Tätigkeiten verbinden, die Berechnungen erfordern. Das Runden kann auf ganze Zahlen, Zehntel usw. erfolgen. Und Sie müssen wissen, wie man es richtig macht, damit die Berechnungen mehr oder weniger genau sind.

Was ist überhaupt eine runde Zahl? Dies ist diejenige, die (größtenteils) mit 0 endet. Im Alltag erleichtert die Fähigkeit, Zahlen zu runden, den Einkauf erheblich. Wenn Sie an der Kasse stehen, können Sie die Gesamtkosten der Einkäufe grob abschätzen und vergleichen, wie viel ein Kilogramm des gleichen Produkts in unterschiedlich schweren Tüten kostet. Wenn Zahlen auf eine praktische Form reduziert werden, ist es einfacher, mentale Berechnungen durchzuführen, ohne auf einen Taschenrechner zurückgreifen zu müssen.

Warum werden Zahlen gerundet?

Menschen neigen dazu, Zahlen zu runden, wenn einfachere Operationen erforderlich sind. Eine Melone wiegt beispielsweise 3.150 Kilogramm. Wenn jemand seinen Freunden erzählt, wie viel Gramm die Südfrucht hat, kann er als nicht sehr interessanter Gesprächspartner angesehen werden. Sätze wie „Also habe ich mir eine drei Kilogramm schwere Melone gekauft“ klingen viel prägnanter, ohne sich auf allerlei unnötige Details einzulassen.

Interessanterweise besteht auch in der Wissenschaft nicht die Notwendigkeit, sich immer mit möglichst genauen Zahlen zu befassen. Aber wenn wir über periodische unendliche Brüche sprechen, die die Form 3,33333333...3 haben, dann wird dies unmöglich. Daher wäre es am logischsten, sie einfach zu runden. In der Regel ist das Ergebnis dann leicht verfälscht. Wie rundet man also Zahlen?

Einige wichtige Regeln beim Runden von Zahlen

Wenn Sie also eine Zahl runden möchten, ist es dann wichtig, die Grundprinzipien des Rundens zu verstehen? Dies ist eine Modifikationsoperation, die darauf abzielt, die Anzahl der Dezimalstellen zu reduzieren. Um diese Aktion auszuführen, müssen Sie einige wissen wichtige Regeln:

Liegt die Anzahl der benötigten Ziffern im Bereich von 5-9, wird nach oben gerundet.
Liegt die Zahl der benötigten Ziffer im Bereich 1-4, wird nach unten gerundet.

Wir haben zum Beispiel die Zahl 59. Wir müssen sie runden. Dazu müssen Sie die Zahl 9 nehmen und eins dazu addieren, um 60 zu erhalten. Dies ist die Antwort auf die Frage, wie man Zahlen rundet. Schauen wir uns nun Sonderfälle an. Tatsächlich haben wir anhand dieses Beispiels herausgefunden, wie man eine Zahl auf Zehner rundet. Jetzt bleibt nur noch, dieses Wissen in die Praxis umzusetzen.

So runden Sie eine Zahl auf ganze Zahlen

Es kommt häufig vor, dass beispielsweise die Zahl 5,9 gerundet werden muss. Dieses Verfahren ist nicht schwierig. Zuerst müssen wir das Komma weglassen, und wenn wir runden, erscheint vor unseren Augen die bereits bekannte Zahl 60. Jetzt setzen wir das Komma ein und erhalten 6,0. Und da bei Dezimalbrüchen in der Regel Nullen weggelassen werden, erhalten wir am Ende die Zahl 6.

Eine ähnliche Operation kann mit komplexeren Zahlen durchgeführt werden. Wie rundet man beispielsweise Zahlen wie 5,49 auf ganze Zahlen? Es hängt alles davon ab, welche Ziele Sie sich setzen. Im Allgemeinen ist 5,49 nach den Regeln der Mathematik immer noch nicht 5,5. Eine Aufrundung ist daher nicht möglich. Sie können den Wert jedoch auf 5,5 aufrunden. Danach ist das Aufrunden auf 6 zulässig. Dieser Trick funktioniert jedoch nicht immer, daher müssen Sie äußerst vorsichtig sein.

Im Prinzip wurde oben bereits ein Beispiel für das korrekte Runden einer Zahl auf Zehntel besprochen, daher ist es jetzt wichtig, nur das Hauptprinzip darzustellen. Im Grunde läuft alles ungefähr auf die gleiche Weise ab. Wenn die Ziffer an zweiter Stelle nach dem Komma im Bereich von 5 bis 9 liegt, wird sie vollständig entfernt und die Ziffer davor um eins erhöht. Wenn es weniger als 5 ist, wird diese Zahl entfernt und die vorherige bleibt an ihrer Stelle.

Beispielsweise verschwindet bei 4,59 bis 4,6 die Zahl „9“ und zur Fünf wird eins hinzugefügt. Beim Runden von 4,41 entfällt jedoch die Einheit und die Vier bleibt unverändert.

Wie nutzen Vermarkter die Unfähigkeit des Massenverbrauchers aus, Zahlen zu runden?

Es stellt sich heraus, Großer Teil Menschen auf der Welt haben nicht die Angewohnheit, die tatsächlichen Kosten eines Produkts einzuschätzen, was von Vermarktern aktiv ausgenutzt wird. Werbeslogans wie „Kauf für nur 9,99“ kennt jeder. Ja, wir verstehen bewusst, dass es sich hierbei im Wesentlichen um zehn Dollar handelt. Dennoch ist unser Gehirn so konzipiert, dass es nur die erste Ziffer wahrnimmt. Daher sollte der einfache Vorgang, eine Zahl in eine praktische Form zu bringen, zur Gewohnheit werden.

Sehr oft ermöglicht das Runden eine bessere Bewertung von Zwischenerfolgen in numerischer Form. Beispielsweise begann eine Person, 550 Dollar im Monat zu verdienen. Ein Optimist wird sagen, dass es fast 600 sind, ein Pessimist wird sagen, dass es etwas mehr als 500 sind. Es scheint, dass es einen Unterschied gibt, aber für das Gehirn ist es angenehmer zu „sehen“, dass das Objekt etwas mehr erreicht hat (oder umgekehrt).

Es gibt eine Vielzahl von Beispielen, bei denen sich die Fähigkeit zum Runden als unglaublich nützlich erweist. Es ist wichtig, kreativ zu sein und sich nach Möglichkeit nicht mit unnötigen Informationen zu überladen. Dann stellt sich der Erfolg sofort ein.

Verstehen Sie die Bedeutung von Zahlen in Dezimalzahlen. In jeder Zahl repräsentieren unterschiedliche Ziffern unterschiedliche Ziffern. Beispielsweise steht in der Zahl 1872 die Eins für Tausender, die Acht für Hunderter, die Sieben für Zehner und die Zwei für Einheiten. Wenn eine Zahl einen Dezimalpunkt enthält, werden die Zahlen rechts davon angezeigt Bruchteile einer ganzen Zahl.

Bestimmen Sie die Dezimalstelle, auf die Sie runden möchten. Der erste Schritt beim Runden von Dezimalzahlen ist Bestimmen der Stelle, auf die die Zahl gerundet werden muss. Wenn Sie tun Hausaufgaben, dann wird dies in der Regel durch die Arbeitsbedingungen bestimmt. Oft kann die Bedingung darauf hinweisen, dass die Antwort auf Zehntel, Hundertstel oder Tausendstel einer Dezimalstelle gerundet werden muss.

Wenn die Aufgabe beispielsweise darin besteht, die Zahl 12,9889 auf Tausendstel zu runden, sollten Sie zunächst die Position dieser Tausendstel ermitteln. Zählen Sie Dezimalstellen als Zehntel, Hundertstel, Tausendstel, gefolgt von Zehntausendsteln. Die zweiten acht sind genau das, was Sie brauchen (12,98). 8 9).
Manchmal kann die Bedingung eine bestimmte Stelle für die Rundung angeben (z. B. bedeutet „auf die dritte Dezimalstelle runden“ dasselbe wie „auf Tausendstel runden“).

Schauen Sie sich die Zahl rechts neben der Rundungsstelle an, die Sie benötigen. Jetzt müssen Sie die Zahl herausfinden, die rechts von der Stelle steht, auf die Sie runden. Abhängig von dieser Zahl runden Sie auf oder ab (auf- oder abwärts).

Im Beispiel oben muss die Zahl (12,9889) auf Tausendstel (12,98) gerundet werden 8 9), also sollten Sie sich nun die Zahl rechts vom Tausendstel ansehen, nämlich die letzten neun (12,988). 9 ).

Ist dieser Wert größer oder gleich fünf, wird aufgerundet. Wenn rechts vom Rundungspunkt eine Zahl 5, 6, 7, 8 oder 9 steht, wird der Übersichtlichkeit halber aufgerundet. Mit anderen Worten: Es ist notwendig, die Ziffer an der gerundeten Stelle um eins zu erhöhen und die restlichen Ziffern rechts davon zu verwerfen.

Im Beispiel (12,9889) ist die letzte Neun größer als fünf, daher runden wir die Tausendstel auf zur größeren Seite. Die gerundete Zahl wird als angezeigt 12,989 . Bitte beachten Sie, dass Zahlen nach dem Rundungspunkt verworfen werden.

Ist dieser Wert kleiner als fünf, wird abgerundet. Das heißt, wenn rechts vom Rundungspunkt eine Zahl 4, 3, 2, 1 oder 0 steht, wird abgerundet. Das bedeutet, die Rundungszahl unverändert zu lassen und die Zahlen rechts davon zu verwerfen.

Sie können 12,9889 nicht abrunden, da die letzten neun keine Vier oder eine niedrigere Ziffer darstellen. Wenn die betreffende Zahl jedoch 12.988 wäre 4 , dann könnte es auf gerundet werden 12,988 .
Kommt Ihnen das Verfahren bekannt vor? Dies liegt daran, dass ganze Zahlen auf die gleiche Weise gerundet werden und das Vorhandensein eines Kommas nichts ändert.

Verwenden Sie dieselbe Methode, um Dezimalzahlen auf ganze Zahlen zu runden. Oft ergibt sich aus der Aufgabenstellung die Notwendigkeit, die Antwort auf ganze Zahlen zu runden. In diesem Fall müssen Sie die oben beschriebene Methode verwenden.

Mit anderen Worten: Suchen Sie die Position der ganzzahligen Einheiten der Zahl, indem Sie sich die Zahl rechts ansehen. Ist sie größer oder gleich fünf, runden Sie die ganze Zahl auf. Wenn sie kleiner oder gleich vier ist, runden Sie die ganze Zahl ab. Das Vorhandensein eines Kommas zwischen dem ganzzahligen Teil einer Zahl und ihrem Dezimalbruch ändert nichts.
Wenn Sie beispielsweise die obige Zahl (12,9889) auf ganze Zahlen runden müssen, ermitteln Sie zunächst die Position der ganzen Einheiten der Zahl: 1 2 ,9889. Da die Neun rechts von dieser Stelle mehr als fünf ergibt, runden wir auf auf 13 ganz. Da die Antwort als Ganzzahl dargestellt wird, muss kein Komma mehr geschrieben werden.

Beachten Sie die Rundungshinweise. Die obigen Rundungsanweisungen werden allgemein akzeptiert. Es gibt jedoch Situationen, in denen besondere Rundungsanforderungen gelten. Lesen Sie diese unbedingt durch, bevor Sie sofort auf allgemein anerkannte Rundungsregeln zurückgreifen.

Wenn die Anforderungen beispielsweise vorschreiben, auf das nächste Zehntel abzurunden, dann würden Sie in der Zahl 4,59 eine Fünf belassen, obwohl die Neun rechts davon normalerweise zu einer Aufrundung führen würde. Dadurch erhalten Sie das Ergebnis 4,5 .
Das Gleiche gilt, wenn Sie aufgefordert werden, die Zahl 180,1 auf ganze Zahlen zu runden nach oben, dann wirst du Erfolg haben 181 .

Heute werden wir uns mit einem eher langweiligen Thema befassen, ohne dessen Verständnis es nicht möglich ist, weiterzumachen. Dieses Thema nennt sich „Zahlen runden“ oder mit anderen Worten „Annäherungswerte von Zahlen“.

Unterrichtsinhalte

Ungefähre Werte

Ungefähre (oder ungefähre) Werte werden verwendet, wenn genauer Wert es ist unmöglich, etwas zu finden, oder dieser Wert ist für das untersuchte Objekt nicht wichtig.

In Worten kann man zum Beispiel sagen, dass in einer Stadt eine halbe Million Menschen leben, aber diese Aussage wird nicht wahr sein, da sich die Zahl der Menschen in der Stadt ändert – Menschen kommen und gehen, werden geboren und sterben. Daher wäre es richtiger zu sagen, dass die Stadt lebt etwa eine halbe Million Menschen.

Ein anderes Beispiel. Der Unterricht beginnt um neun Uhr morgens. Wir verließen das Haus um 8:30 Uhr. Nach einiger Zeit trafen wir einen Freund, der uns fragte, wie spät es sei. Als wir das Haus verließen, war es 8:30 Uhr, wir verbrachten eine unbekannte Zeit auf der Straße. Wir wissen nicht, wie spät es ist, also antworten wir unserem Freund: „Jetzt etwa gegen neun Uhr.

In der Mathematik werden Näherungswerte mit angegeben besonderes Zeichen. Es sieht aus wie das:

Als „ungefähr gleich“ lesen.

Um den ungefähren Wert einer Sache anzugeben, greifen sie auf eine Operation wie das Runden von Zahlen zurück.

Zahlen runden

Um einen Näherungswert zu ermitteln, kann eine Operation wie z Zahlen runden.

Das Wort „Rundung“ spricht für sich. Eine Zahl zu runden bedeutet, sie zu runden. Eine Zahl, die mit Null endet, heißt rund. Beispielsweise sind die folgenden Zahlen rund:

10, 20, 30, 100, 300, 700, 1000

Jede Zahl kann rund gemacht werden. Das Verfahren, mit dem eine Zahl gerundet wird, heißt die Zahl runden.

Mit dem „Runden“ von Zahlen haben wir uns bereits bei der Division großer Zahlen beschäftigt. Erinnern wir uns daran, dass wir hierfür die Ziffer, die die höchstwertige Ziffer bildet, unverändert gelassen und die restlichen Ziffern durch Nullen ersetzt haben. Aber das waren nur Skizzen, die wir gemacht haben, um die Einteilung zu erleichtern. Eine Art Life-Hack. Tatsächlich handelte es sich dabei nicht einmal um eine Rundung der Zahlen. Deshalb setzen wir am Anfang dieses Absatzes das Wort Rundung in Anführungszeichen.

Tatsächlich besteht das Wesentliche beim Runden darin, den Wert zu finden, der dem Original am nächsten kommt. Gleichzeitig kann die Zahl auf eine bestimmte Ziffer gerundet werden – auf die Zehnerstelle, die Hunderterstelle, die Tausenderstelle.

Schauen wir uns ein einfaches Beispiel für das Runden an. Gegeben ist die Zahl 17. Sie müssen sie auf die Zehnerstelle runden.

Versuchen wir zu verstehen, was „auf die Zehnerstelle runden“ bedeutet, ohne es zu übertreiben. Wenn man sagt, man soll die Zahl 17 runden, müssen wir die nächste runde Zahl für die Zahl 17 finden. Darüber hinaus können sich bei dieser Suche Änderungen auch auf die Zahl auswirken, die sich an der Zehnerstelle in der Zahl 17 befindet (d. h. Einsen). .

Stellen wir uns vor, dass alle Zahlen von 10 bis 20 auf einer Geraden liegen:

Die Abbildung zeigt, dass für die Zahl 17 die nächste runde Zahl 20 ist. Die Antwort auf das Problem lautet also wie folgt: 17 entspricht ungefähr 20

17 ≈ 20

Wir haben einen Näherungswert für 17 gefunden, das heißt, wir haben ihn auf die Zehnerstelle gerundet. Es ist zu erkennen, dass nach dem Runden an der Zehnerstelle eine neue Ziffer 2 erschien.

Versuchen wir, eine ungefähre Zahl für die Zahl 12 zu finden. Stellen Sie sich dazu noch einmal vor, dass alle Zahlen von 10 bis 20 auf einer Geraden liegen:

Die Abbildung zeigt, dass die nächste runde Zahl für 12 die Zahl 10 ist. Die Antwort auf das Problem lautet also wie folgt: 12 ist ungefähr gleich 10

12 ≈ 10

Wir haben einen Näherungswert für 12 gefunden, das heißt, wir haben ihn auf die Zehnerstelle gerundet. Diesmal war die Zahl 1, die in der Zahl 12 auf der Zehnerstelle stand, nicht von der Rundung betroffen. Wir werden uns später ansehen, warum dies geschah.

Versuchen wir, die nächstliegende Zahl für die Zahl 15 zu finden. Stellen wir uns noch einmal vor, dass alle Zahlen von 10 bis 20 auf einer Geraden liegen:

Die Abbildung zeigt, dass die Zahl 15 von den runden Zahlen 10 und 20 gleich weit entfernt ist. Es stellt sich die Frage: Welche dieser runden Zahlen wird der ungefähre Wert für die Zahl 15 sein? Für solche Fälle haben wir uns darauf geeinigt, die größere Zahl als Näherungswert zu verwenden. 20 ist größer als 10, daher ist der Näherungswert für 15 20

15 ≈ 20

Große Zahlen können auch gerundet werden. Natürlich ist es ihnen nicht möglich, eine gerade Linie zu ziehen und Zahlen darzustellen. Es gibt einen Weg für sie. Runden wir zum Beispiel die Zahl 1456 auf die Zehnerstelle.

Wir müssen 1456 auf die Zehnerstelle runden. Die Zehnerstelle beginnt um fünf:

Jetzt vergessen wir vorübergehend die Existenz der ersten Zahlen 1 und 4. Die verbleibende Zahl beträgt 56

Nun schauen wir uns an, welche runde Zahl näher an der Zahl 56 liegt. Offensichtlich ist die Zahl 60 die nächste runde Zahl für 56. Also ersetzen wir die Zahl 56 durch die Zahl 60

Wenn wir also die Zahl 1456 auf die Zehnerstelle runden, erhalten wir 1460

1456 ≈ 1460

Es ist ersichtlich, dass sich die Änderungen nach dem Runden der Zahl 1456 auf die Zehnerstelle auf die Zehnerstelle selbst auswirkten. Die neu erhaltene Zahl hat nun eine 6 an der Zehnerstelle, keine 5.

Sie können Zahlen nicht nur auf die Zehnerstelle runden. Sie können auch auf die Hunderter-, Tausender- oder Zehntausenderstelle runden.

Sobald klar wird, dass das Runden nichts anderes ist als die Suche nach der nächsten Zahl, können Sie vorgefertigte Regeln anwenden, die das Runden von Zahlen erheblich erleichtern.

Erste Rundungsregel

Aus den vorherigen Beispielen wurde deutlich, dass beim Runden einer Zahl auf eine bestimmte Ziffer die niederwertigen Ziffern durch Nullen ersetzt werden. Zahlen, die durch Nullen ersetzt werden, werden aufgerufen verworfene Ziffern.

Die erste Rundungsregel lautet wie folgt:

Wenn beim Runden von Zahlen die erste zu verwerfende Ziffer 0, 1, 2, 3 oder 4 ist, bleibt die beibehaltene Ziffer unverändert.

Runden wir zum Beispiel die Zahl 123 auf die Zehnerstelle.

Zunächst suchen wir die zu speichernde Ziffer. Dazu müssen Sie die Aufgabe selbst lesen. Die gespeicherte Ziffer befindet sich in der Ziffer, auf die in der Aufgabe Bezug genommen wird. Die Aufgabe lautet: Runden Sie die Zahl 123 auf Zehnerstelle.

Wir sehen, dass an der Zehnerstelle eine Zwei steht. Die gespeicherte Ziffer ist also 2

Jetzt finden wir die erste der verworfenen Ziffern. Die erste zu verwerfende Ziffer ist die Ziffer, die nach der zu speichernden Ziffer folgt. Wir sehen, dass die erste Ziffer nach den beiden die Zahl 3 ist. Das bedeutet, dass die Zahl 3 ist erste Ziffer, die verworfen werden soll.

Jetzt wenden wir die Rundungsregel an. Es besagt, dass, wenn beim Runden von Zahlen die erste zu verwerfende Ziffer 0, 1, 2, 3 oder 4 ist, die beibehaltene Ziffer unverändert bleibt.

Das ist was wir machen. Wir lassen die gespeicherte Ziffer unverändert und ersetzen alle Ziffern niedrigerer Ordnung durch Nullen. Mit anderen Worten, wir ersetzen alles, was auf die Zahl 2 folgt, durch Nullen (genauer gesagt Null):

123 ≈ 120

Das heißt, wenn wir die Zahl 123 auf die Zehnerstelle runden, erhalten wir ungefähr die Zahl 120.

Versuchen wir nun, die gleiche Zahl 123 zu runden, aber auf Hunderterplatz.

Wir müssen die Zahl 123 auf die Hunderterstelle runden. Wieder suchen wir nach der zu speichernden Nummer. Diesmal ist die gespeicherte Ziffer 1, da wir die Zahl auf die Hunderterstelle runden.

Jetzt finden wir die erste der verworfenen Ziffern. Die erste zu verwerfende Ziffer ist die Ziffer, die nach der zu speichernden Ziffer folgt. Wir sehen, dass die erste Ziffer nach eins die Zahl 2 ist. Das bedeutet, dass die Zahl 2 ist erste zu verwerfende Ziffer:

Wenden wir nun die Regel an. Es besagt, dass, wenn beim Runden von Zahlen die erste zu verwerfende Ziffer 0, 1, 2, 3 oder 4 ist, die beibehaltene Ziffer unverändert bleibt.

Das ist was wir machen. Wir lassen die gespeicherte Ziffer unverändert und ersetzen alle Ziffern niedrigerer Ordnung durch Nullen. Mit anderen Worten: Wir ersetzen alles, was auf die Zahl 1 folgt, durch Nullen:

123 ≈ 100

Das heißt, wenn wir die Zahl 123 auf die Hunderterstelle runden, erhalten wir die ungefähre Zahl 100.

Beispiel 3. Runde 1234 bis zur Zehnerstelle.

Hier ist die beibehaltene Ziffer 3. Und die erste verworfene Ziffer ist 4.

Das heißt, wir lassen die gespeicherte Zahl 3 unverändert und ersetzen alles, was danach steht, durch Null:

1234 ≈ 1230

Beispiel 4. Runden Sie 1234 auf die Hunderterstelle.

Hier ist die beibehaltene Ziffer 2. Und die erste verworfene Ziffer ist 3. Gemäß der Regel bleibt die beibehaltene Ziffer unverändert, wenn beim Runden von Zahlen die erste der verworfenen Ziffern 0, 1, 2, 3 oder 4 ist .

Das heißt, wir lassen die gespeicherte Zahl 2 unverändert und ersetzen alles, was danach steht, durch Nullen:

1234 ≈ 1200

Beispiel 3. Runden Sie 1234 auf die Tausenderstelle.

Hier ist die beibehaltene Ziffer 1. Und die erste verworfene Ziffer ist 2. Gemäß der Regel bleibt die beibehaltene Ziffer unverändert, wenn beim Runden von Zahlen die erste der verworfenen Ziffern 0, 1, 2, 3 oder 4 ist .

Das heißt, wir lassen die gespeicherte Ziffer 1 unverändert und ersetzen alles, was danach steht, durch Nullen:

1234 ≈ 1000

Zweite Rundungsregel

Die zweite Rundungsregel lautet wie folgt:

Wenn beim Runden von Zahlen die erste zu verwerfende Ziffer 5, 6, 7, 8 oder 9 ist, wird die beibehaltene Ziffer um eins erhöht.

Runden wir zum Beispiel die Zahl 675 auf die Zehnerstelle.

Wir sehen, dass an der Zehnerstelle eine Sieben steht. Die gespeicherte Ziffer ist also 7

Jetzt finden wir die erste der verworfenen Ziffern. Die erste zu verwerfende Ziffer ist die Ziffer, die nach der zu speichernden Ziffer folgt. Wir sehen, dass die erste Ziffer nach sieben die Zahl 5 ist. Das bedeutet, dass die Zahl 5 ist erste Ziffer, die verworfen werden soll.

Unsere erste verworfene Ziffer ist 5. Das bedeutet, dass wir die beibehaltene Ziffer 7 um eins erhöhen und alles danach durch Null ersetzen müssen:

675 ≈ 680

Das heißt, wenn wir die Zahl 675 auf die Zehnerstelle runden, erhalten wir die ungefähre Zahl 680.

Versuchen wir nun, die gleiche Zahl 675 zu runden, aber auf Hunderterplatz.

Wir müssen die Zahl 675 auf die Hunderterstelle runden. Wieder suchen wir nach der zu speichernden Nummer. Diesmal ist die gespeicherte Ziffer 6, da wir die Zahl auf die Hunderterstelle runden:

Jetzt finden wir die erste der verworfenen Ziffern. Die erste zu verwerfende Ziffer ist die Ziffer, die nach der zu speichernden Ziffer folgt. Wir sehen, dass die erste Ziffer nach sechs die Zahl 7 ist. Das bedeutet, dass die Zahl 7 ist erste zu verwerfende Ziffer:

Jetzt wenden wir die zweite Rundungsregel an. Darin heißt es: Wenn beim Runden von Zahlen die erste zu verwerfende Ziffer 5, 6, 7, 8 oder 9 ist, wird die beibehaltene Ziffer um eins erhöht.

Unsere erste verworfene Ziffer ist 7. Das bedeutet, dass wir die beibehaltene Ziffer 6 um eins erhöhen und alles danach durch Nullen ersetzen müssen:

675 ≈ 700

Das heißt, wenn wir die Zahl 675 auf die Hunderterstelle runden, erhalten wir die ungefähre Zahl 700.

Beispiel 3. Runden Sie die Zahl 9876 auf die Zehnerstelle.

Hier ist die beibehaltene Ziffer 7. Und die erste verworfene Ziffer ist 6.

Das heißt, wir erhöhen die gespeicherte Zahl 7 um eins und ersetzen alles, was danach steht, durch Null:

9876 ≈ 9880

Beispiel 4. Runden Sie 9876 auf die Hunderterstelle.

Hier ist die beibehaltene Ziffer 8. Und die erste verworfene Ziffer ist 7. Gemäß der Regel wird die beibehaltene Ziffer erhöht, wenn beim Runden von Zahlen die erste der verworfenen Ziffern 5, 6, 7, 8 oder 9 ist einzeln.

Das heißt, wir erhöhen die gespeicherte Zahl 8 um eins und ersetzen alles, was danach steht, durch Nullen:

9876 ≈ 9900

Beispiel 5. Runden Sie 9876 auf die Tausenderstelle.

Hier ist die beibehaltene Ziffer 9. Und die erste verworfene Ziffer ist 8. Gemäß der Regel wird die beibehaltene Ziffer erhöht, wenn beim Runden von Zahlen die erste der verworfenen Ziffern 5, 6, 7, 8 oder 9 ist einzeln.

Das heißt, wir erhöhen die gespeicherte Zahl 9 um eins und ersetzen alles, was danach steht, durch Nullen:

9876 ≈ 10000

Beispiel 6. Runden Sie 2971 auf die nächsten Hundert.

Beim Runden dieser Zahl auf die nächsten Hunderter sollten Sie vorsichtig sein, da hier die Ziffer 9 beibehalten wird und die erste Ziffer, die verworfen wird, die 7 ist. Dies bedeutet, dass die Ziffer 9 um eins erhöht werden muss. Tatsache ist jedoch, dass nach der Erhöhung von neun um eins das Ergebnis 10 ist und diese Zahl nicht in die Hunderterstelle der neuen Zahl passt.

In diesem Fall müssen Sie an der Hunderterstelle der neuen Zahl eine 0 schreiben, die Einheit an die nächste Stelle verschieben und sie mit der dort vorhandenen Zahl hinzufügen. Als nächstes ersetzen Sie alle Ziffern nach der gespeicherten durch Nullen:

2971 ≈ 3000

Dezimalzahlen runden

Beim Runden von Dezimalbrüchen sollten Sie besonders vorsichtig sein, da ein Dezimalbruch aus einem ganzzahligen Teil und einem Bruchteil besteht. Und jeder dieser beiden Teile hat seine eigenen Kategorien:

Ganzzahlige Ziffern:

Einheitenziffer
Zehnerstelle
Hunderterplatz
Tausenderstelle

Nachkommastellen:

zehnter Platz
Hundertstelstelle
tausendster Platz

Betrachten Sie den Dezimalbruch 123,456 – einhundertdreiundzwanzig Komma vierhundertsechsundfünfzig Tausendstel. Hier ist der ganzzahlige Teil 123 und der Bruchteil 456. Darüber hinaus hat jeder dieser Teile seine eigenen Ziffern. Es ist sehr wichtig, sie nicht zu verwechseln:

Für den ganzzahligen Teil gelten die gleichen Rundungsregeln wie für reguläre Zahlen. Der Unterschied besteht darin, dass nach dem Runden des ganzzahligen Teils und dem Ersetzen aller Ziffern nach der gespeicherten Ziffer durch Nullen der Bruchteil vollständig verworfen wird.

Runden Sie beispielsweise den Bruch 123,456 auf Zehnerstelle. Genau bis Zehnerstelle, und nicht zehnter Platz. Es ist sehr wichtig, diese Kategorien nicht zu verwechseln. Entladung Dutzende befindet sich im ganzen Teil, und die Ziffer Zehntel im Bruchteil

Wir müssen 123,456 auf die Zehnerstelle runden. Die hier beibehaltene Ziffer ist 2 und die erste verworfene Ziffer ist 3

Laut Regel gilt: Wenn beim Runden von Zahlen die erste zu verwerfende Ziffer 0, 1, 2, 3 oder 4 ist, bleibt die beibehaltene Ziffer unverändert.

Das bedeutet, dass die gespeicherte Ziffer unverändert bleibt und alles andere durch Null ersetzt wird. Was tun mit dem Bruchteil? Es wird einfach verworfen (entfernt):

123,456 ≈ 120

Versuchen wir nun, denselben Bruch 123,456 auf zu runden Einheitenziffer. Die hier zu behaltende Ziffer ist 3 und die erste zu verwerfende Ziffer ist 4, die im Bruchteil steht:

Laut Regel gilt: Wenn beim Runden von Zahlen die erste zu verwerfende Ziffer 0, 1, 2, 3 oder 4 ist, bleibt die beibehaltene Ziffer unverändert.

Das bedeutet, dass die gespeicherte Ziffer unverändert bleibt und alles andere durch Null ersetzt wird. Der verbleibende Bruchteil wird verworfen:

123,456 ≈ 123,0

Die nach dem Komma verbleibende Null kann auch verworfen werden. Die endgültige Antwort wird also so aussehen:

123,456 ≈ 123,0 ≈ 123

Beginnen wir nun mit dem Runden von Bruchteilen. Für das Runden gebrochener Teile gelten die gleichen Regeln wie für das Runden ganzer Teile. Versuchen wir, den Bruch 123,456 auf zu runden zehnter Platz. Die Zahl 4 steht an der Zehntelstelle, was bedeutet, dass sie die beibehaltene Ziffer ist, und die erste zu verwerfende Ziffer ist 5, die an der Hundertstelstelle steht:

Gemäß der Regel wird beim Runden von Zahlen die beibehaltene Ziffer um eins erhöht, wenn die erste zu verwerfende Ziffer 5, 6, 7, 8 oder 9 ist.

Dies bedeutet, dass die gespeicherte Ziffer 4 um eins erhöht und der Rest durch Nullen ersetzt wird

123,456 ≈ 123,500

Versuchen wir, denselben Bruch 123,456 auf die Hundertstelstelle zu runden. Die hier beibehaltene Ziffer ist 5, und die erste verworfene Ziffer ist 6, also an der Tausendstelstelle:

Gemäß der Regel wird beim Runden von Zahlen die beibehaltene Ziffer um eins erhöht, wenn die erste zu verwerfende Ziffer 5, 6, 7, 8 oder 9 ist.

Dies bedeutet, dass die gespeicherte Ziffer 5 um eins erhöht und der Rest durch Nullen ersetzt wird

123,456 ≈ 123,460

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Es gibt mehrere Möglichkeiten, Zahlen in Excel zu runden. Verwenden des Zellenformats und Verwenden von Funktionen. Diese beiden Methoden sind wie folgt zu unterscheiden: Die erste dient nur der Anzeige von Werten oder dem Drucken, die zweite Methode dient auch der Berechnung und Berechnung.

Mithilfe der Funktionen ist es möglich, genau auf eine vom Benutzer angegebene Ziffer aufzurunden oder abzurunden. Und die durch Berechnungen gewonnenen Werte können in anderen Formeln und Funktionen verwendet werden. Das Runden mithilfe des Zellenformats führt jedoch nicht zum gewünschten Ergebnis und die Ergebnisse von Berechnungen mit solchen Werten sind fehlerhaft. Tatsächlich ändert das Format der Zellen den Wert nicht, sondern nur die Anzeigemethode. Um dies schnell und einfach zu verstehen und Fehler zu vermeiden, geben wir einige Beispiele.

So runden Sie eine Zahl im Zellenformat

Tragen wir in Zelle A1 den Wert 76,575 ein. Klicken Sie mit der rechten Maustaste, um das Menü „Zellen formatieren“ aufzurufen. Dasselbe können Sie mit dem „Zahlen“-Tool auf der Hauptseite des Buches tun. Oder drücken Sie die Tastenkombination STRG+1.

Wählen Sie das Zahlenformat und stellen Sie die Anzahl der Dezimalstellen auf 0 ein.

Rundungsergebnis:

Sie können die Anzahl der Dezimalstellen in den Formaten „Geld“, „Finanz“ und „Prozent“ zuweisen.

Wie Sie sehen, erfolgt das Runden nach mathematischen Gesetzen. Die letzte zu speichernde Ziffer wird um eins erhöht, wenn ihr eine Ziffer größer oder gleich „5“ folgt.

Die Besonderheit dieser Option: Je mehr Zahlen hinter dem Komma wir hinterlassen, desto genauer ist das Ergebnis.

So runden Sie eine Zahl in Excel richtig

Verwendung der Funktion ROUND() (rundet auf die vom Benutzer benötigte Anzahl an Dezimalstellen). Um den „Function Wizard“ aufzurufen, nutzen wir den fx-Button. Die von Ihnen benötigte Funktion befindet sich in der Kategorie „Mathematisch“.

Argumente:

„Nummer“ – ein Link zu einer Zelle mit den gewünschten Wert(A1).
„Anzahl der Ziffern“ – die Anzahl der Dezimalstellen, auf die die Zahl gerundet wird (0 – um auf eine ganze Zahl zu runden, 1 – eine Dezimalstelle bleibt übrig, 2 – zwei usw.).

Nun runden wir die ganze Zahl (keine Dezimalzahl). Verwenden wir die ROUND-Funktion:

das erste Argument der Funktion ist eine Zellreferenz;
Das zweite Argument ist mit dem „-“-Zeichen versehen (bis zur Zehnerstelle – „-1“, bis zur Hunderterstelle – „-2“, zum Runden der Zahl auf Tausender – „-3“ usw.).

Wie rundet man eine Zahl in Excel auf Tausender?

Ein Beispiel für das Runden einer Zahl auf Tausender:

Formel: =RUNDE(A3,-3).

Sie können nicht nur eine Zahl, sondern auch den Wert eines Ausdrucks runden.

Nehmen wir an, es liegen Daten zum Preis und zur Menge eines Produkts vor. Es ist notwendig, die Kosten auf den nächsten Rubel genau zu ermitteln (auf die nächste ganze Zahl gerundet).

Das erste Argument der Funktion ist ein numerischer Ausdruck zur Ermittlung der Kosten.

So runden Sie in Excel auf und ab

Zum Aufrunden verwenden Sie die Funktion „AUFRUNDEN“.

Das erste Argument füllen wir nach dem bereits bekannten Prinzip aus – einem Link zu einer Zelle mit Daten.

Zweites Argument: „0“ – rundet den Dezimalbruch auf den ganzen Teil, „1“ – die Funktion rundet und lässt eine Dezimalstelle übrig usw.

Formel: =AUFRUNDEN(A1;0).

Ergebnis:

Um in Excel abzurunden, verwenden Sie die Funktion ABRUNDEN.

Beispielformel: =ROUNDBOTTOM(A1,1).

Ergebnis:

Die Formeln „AUFRUNDEN“ und „ABRUNDEN“ werden zum Runden der Werte von Ausdrücken (Produkt, Summe, Differenz usw.) verwendet.

Wie rundet man in Excel auf eine ganze Zahl?

Um auf eine ganze Zahl aufzurunden, verwenden Sie die Funktion „AUFRUNDEN“. Um auf eine ganze Zahl abzurunden, verwenden Sie die Funktion „ABRUNDEN“. Mit der „ROUND“-Funktion und dem Zellenformat können Sie auch auf eine ganze Zahl runden, indem Sie die Stellenanzahl auf „0“ setzen (siehe oben).

Excel verwendet auch die RUN-Funktion, um auf eine ganze Zahl zu runden. Die Dezimalstellen werden einfach verworfen. Es erfolgt grundsätzlich keine Rundung. Die Formel schneidet die Zahlen bis zur angegebenen Ziffer ab.

Vergleichen:

Das zweite Argument ist „0“ – die Funktion schneidet auf eine ganze Zahl; „1“ – bis zu einem Zehntel; „2“ – bis zu einem Hundertstel usw.

Eine spezielle Excel-Funktion, die nur eine Ganzzahl zurückgibt, ist „INTEGER“. Es hat ein einziges Argument – „Zahl“. Sie können einen numerischen Wert oder einen Zellbezug angeben.

Der Nachteil der Verwendung der Funktion „INTEGER“ besteht darin, dass nur abgerundet wird.

Mit den Funktionen „OKRUP“ und „OKRVDOWN“ können Sie in Excel auf die nächste ganze Zahl runden. Es wird auf die nächste ganze Zahl auf- oder abgerundet.

Beispiel für die Verwendung von Funktionen:

Das zweite Argument gibt die Ziffer an, auf die gerundet werden soll (10 auf Zehner, 100 auf Hunderter usw.).

Das Runden auf die nächste gerade ganze Zahl wird von der Funktion „EVEN“ durchgeführt, das Runden auf die nächste ungerade ganze Zahl wird von der Funktion „ODD“ durchgeführt.

Ein Beispiel für ihre Verwendung:

Warum rundet Excel große Zahlen?

Wenn große Zahlen in Tabellenzellen eingegeben werden (z. B. 78568435923100756), rundet Excel diese standardmäßig automatisch wie folgt: 7,85684E+16 ist eine Funktion des Zellenformats „Allgemein“. Um eine solche Anzeige großer Zahlen zu vermeiden, müssen Sie das Format der Zelle mit den Daten ändern eine große Anzahl auf „Numerisch“ (am meisten schneller Weg drücken Sie die Tastenkombination STRG+UMSCHALT+1). Dann wird der Zellenwert wie folgt angezeigt: 78.568.435.923.100.756,00. Auf Wunsch kann die Anzahl der Ziffern reduziert werden: „Home“ – „Nummer“ – „Ziffern reduzieren“.

Methoden

Kann in verschiedenen Bereichen eingesetzt werden verschiedene Methoden Rundung. Bei all diesen Methoden werden „zusätzliche“ Zeichen zurückgesetzt (verworfen) und das ihnen vorangehende Zeichen wird gemäß einer Regel angepasst.

Runden Sie auf die nächste ganze Zahl(Englisch) Rundung) - die am häufigsten verwendete Rundung, bei der eine Zahl auf eine ganze Zahl gerundet wird, den Modul der Differenz, mit dem diese Zahl ein Minimum hat. Wenn eine Zahl im Dezimalsystem auf die N-te Dezimalstelle gerundet wird, kann die Regel im Allgemeinen wie folgt formuliert werden:
- Wenn N+1-Zeichen< 5 , dann bleibt das N-te Vorzeichen erhalten und N+1 und alle nachfolgenden Einsen werden auf Null zurückgesetzt;
- Wenn N+1 Zeichen ≥ 5, dann wird das N-te Vorzeichen um eins erhöht und N+1 und alle nachfolgenden Einsen werden auf Null zurückgesetzt;
Zum Beispiel: 11,9 → 12; −0,9 → −1; −1,1 → −1; 2,5 → 3.
Modulo abrunden(auf Null runden, Ganzzahl Englisch) fixieren, abschneiden, ganzzahlig) ist die „einfachste“ Rundung, da nach dem Nullen der „zusätzlichen“ Vorzeichen das vorherige Vorzeichen erhalten bleibt. Zum Beispiel 11,9 → 11; −0,9 → 0; −1,1 → −1).
Aufrunden(auf +∞ runden, aufrunden, dt. Decke) – Wenn die Nullzeichen ungleich Null sind, wird das vorherige Vorzeichen um eins erhöht, wenn die Zahl positiv ist, oder beibehalten, wenn die Zahl negativ ist. Im Wirtschaftsjargon - Rundung zugunsten des Verkäufers, Gläubigers(Person, die Geld erhält). Insbesondere 2,6 → 3, −2,6 → −2.
Abrunden(auf −∞ runden, abrunden, Englisch. Boden) - Wenn die Nullzeichen ungleich Null sind, wird das vorherige Vorzeichen beibehalten, wenn die Zahl positiv ist, oder um eins erhöht, wenn die Zahl negativ ist. Im Wirtschaftsjargon - Rundung zugunsten des Käufers, Schuldners(die Person, die das Geld gibt). Hier 2,6 → 2, −2,6 → −3.
Modulo aufrunden(Runden gegen Unendlich, Runden von Null weg) ist eine relativ selten verwendete Form der Rundung. Sind die Nullungszeichen ungleich Null, wird das Vorzeichen um eins erhöht.

Optionen zum Runden von 0,5 auf die nächste ganze Zahl

Rundungsregeln erfordern eine gesonderte Beschreibung für den Sonderfall wann (N+1)te Ziffer = 5 und nachfolgende Ziffern sind Null. Wenn in allen anderen Fällen das Runden auf die nächste ganze Zahl einen kleineren Rundungsfehler liefert, dann ist dieser spezielle Fall dadurch gekennzeichnet, dass es für eine einzelne Rundung formal gleichgültig ist, ob sie „auf“ oder „ab“ erfolgt – in beiden Fällen ein Es wird ein Fehler von genau der Hälfte der niedrigstwertigen Ziffer eingeführt. Für die Rundung auf die nächste ganze Zahl gibt es für diesen Fall folgende Möglichkeiten:

Mathematische Rundung- Es wird immer nach oben gerundet (die vorherige Ziffer wird immer um eins erhöht).
Bankrundung(Englisch) Bankrundung) – In diesem Fall wird auf die nächste gerade Zahl gerundet, d. h. 2,5 → 2, 3,5 → 4.
Zufällige Rundung- Das Auf- oder Abrunden erfolgt in zufälliger Reihenfolge, aber mit gleicher Wahrscheinlichkeit (kann in Statistiken verwendet werden).
Alternative Rundung- Die Rundung erfolgt abwechselnd nach unten oder oben.

In allen Fällen, wenn die (N+1)-te Ziffer ungleich 5 ist oder nachfolgende Ziffern ungleich Null sind, erfolgt die Rundung nach den üblichen Regeln: 2,49 → 2; 2,51 → 3.

Mathematische Rundung entspricht einfach formal allgemeine Regel Rundung (siehe oben). Der Nachteil besteht darin, dass es beim Runden einer großen Anzahl von Werten zu einer Akkumulation kommen kann. Rundungsfehler. Ein typisches Beispiel: Geldbeträge auf ganze Rubel runden. Wenn es also in einem Register mit 10.000 Zeilen 100 Zeilen mit Beträgen gibt, die den Wert 50 in Kopeken enthalten (und das ist eine sehr realistische Schätzung), dann ergibt sich beim „Aufrunden“ aller dieser Zeilen der „Gesamtbetrag“ für die Das gerundete Register kostet 50 Rubel mehr als das exakte.

Die anderen drei Möglichkeiten wurden genau deshalb erfunden, um den Gesamtfehler der Summe beim Runden zu reduzieren große Menge Werte. Das Runden „auf die nächste gerade Zahl“ basiert auf der Annahme, dass wann große Zahl Bei gerundeten Werten, deren Rest 0,5 beträgt, liegt im Durchschnitt die Hälfte links und die andere Hälfte rechts von der nächsten geraden Zahl, wodurch Rundungsfehler ausgeglichen werden. Streng genommen trifft diese Annahme nur dann zu, wenn die zu rundende Zahlenmenge die Eigenschaften einer Zufallsreihe hat, was normalerweise bei Buchhaltungsanwendungen zutrifft, bei denen es um Preise, Kontobeträge usw. geht. Wenn die Annahme verletzt wird, kann das Runden „auf gerade“ zu systematischen Fehlern führen. In solchen Fällen funktionieren die folgenden beiden Methoden besser.

Die letzten beiden Rundungsoptionen sorgen dafür, dass etwa die Hälfte der Sonderwerte in die eine und die Hälfte in die andere Richtung gerundet wird. Die Umsetzung solcher Methoden in die Praxis erfordert jedoch zusätzliche Anstrengungen zur Organisation des Rechenprozesses.

Anwendungen

Durch Rundung wird mit Zahlen innerhalb der Anzahl der Nachkommastellen gearbeitet, die der tatsächlichen Genauigkeit der Berechnungsparameter (sofern es sich bei diesen Werten um auf die eine oder andere Weise gemessene reale Größen handelt), der tatsächlich erreichbaren Genauigkeit der Berechnungen bzw gewünschte Genauigkeit des Ergebnisses. In der Vergangenheit war das Runden von Zwischenwerten und Ergebnissen von praktischer Bedeutung (da beim Rechnen auf Papier oder bei der Verwendung primitiver Geräte wie dem Abakus die Berücksichtigung zusätzlicher Dezimalstellen den Arbeitsaufwand erheblich erhöhen kann). Heute bleibt es ein Element der wissenschaftlichen und technischen Kultur. In Buchhaltungsanwendungen kann außerdem die Verwendung von Rundungen, einschließlich Zwischenrundungen, erforderlich sein, um Rechenfehler zu vermeiden, die mit der begrenzten Kapazität von Computergeräten verbunden sind.

Verwenden Sie das Runden, wenn Sie mit Zahlen mit begrenzter Genauigkeit arbeiten

Reale physikalische Größen werden immer mit einer gewissen endlichen Genauigkeit gemessen, die von den Instrumenten und Messmethoden abhängt und durch die maximale relative oder absolute Abweichung des unbekannten realen Werts vom gemessenen Wert abgeschätzt wird, der in der dezimalen Darstellung dem Wert entspricht entweder eine bestimmte Anzahl signifikanter Ziffern oder eine bestimmte Position in der Aufzeichnung der Zahl, wobei alle Zahlen danach (rechts davon) unbedeutend sind (innerhalb des Messfehlers liegen). Die gemessenen Parameter selbst werden mit so vielen Zeichen aufgezeichnet, dass alle Zahlen zuverlässig sind, vielleicht ist die letzte zweifelhaft. Der Fehler bei mathematischen Operationen mit Zahlen begrenzter Genauigkeit bleibt erhalten und ändert sich gemäß bekannten mathematischen Gesetzen. Wenn also in weiteren Berechnungen Zwischenwerte und Ergebnisse mit einer großen Anzahl von Ziffern auftreten, sind nur einige dieser Ziffern von Bedeutung. Die übrigen Zahlen sind zwar in den Werten enthalten, spiegeln jedoch nicht die physikalische Realität wider und nehmen nur Zeit für Berechnungen in Anspruch. Dadurch werden Zwischenwerte und Ergebnisse bei Berechnungen mit begrenzter Genauigkeit auf die Anzahl der Dezimalstellen gerundet, die die tatsächliche Genauigkeit der erhaltenen Werte widerspiegelt. In der Praxis empfiehlt es sich meist, für lange „Ketten“-Handberechnungen eine weitere Ziffer in Zwischenwerten zu speichern. Bei der Verwendung eines Computers verliert die Zwischenrundung in wissenschaftlichen und technischen Anwendungen meist ihre Bedeutung und nur das Ergebnis wird gerundet.

Wenn also beispielsweise eine Kraft von 5815 gf mit einer Genauigkeit von einem Gramm Kraft angegeben wird und die Armlänge 1,4 m mit einer Genauigkeit von einem Zentimeter beträgt, dann ist das Kraftmoment in kgf gemäß der Formel in dem Fall einer formalen Berechnung mit allen Vorzeichen ist gleich: 5,815 kgf 1,4 m = 8,141 kgf m. Wenn wir jedoch den Messfehler berücksichtigen, stellen wir fest, dass der maximale relative Fehler des ersten Werts beträgt 1/5815 ≈ 1,7 10 −4 , zweite - 1/140 ≈ 7,1 10 −3 , der relative Fehler des Ergebnisses gemäß der Fehlerregel der Multiplikationsoperation (bei der Multiplikation von Näherungswerten addieren sich die relativen Fehler). 7,3 10 −3 , was dem maximalen absoluten Fehler des Ergebnisses ±0,059 kgf m entspricht! Das heißt, in Wirklichkeit kann das Ergebnis unter Berücksichtigung des Fehlers zwischen 8,082 und 8,200 kgf m liegen, sodass beim berechneten Wert von 8,141 kgf m nur die erste Zahl völlig zuverlässig ist, selbst die zweite ist bereits zweifelhaft! Es wäre richtig, das Berechnungsergebnis auf die erste zweifelhafte Ziffer, also auf Zehntel, zu runden: 8,1 kgf m, oder, wenn es notwendig ist, den Umfang des Fehlers genauer anzugeben, in der auf eins oder gerundeten Form darzustellen zwei Dezimalstellen geben den Fehler an: 8,14 ± 0,06 kgf m.

Faustregeln zum Rechnen mit Rundung

In Fällen, in denen keine genaue Berücksichtigung von Rechenfehlern erforderlich ist, sondern nur die Anzahl der exakten Zahlen als Ergebnis der Berechnung anhand der Formel näherungsweise geschätzt werden muss, können Sie eine Reihe einfacher Regeln für gerundete Berechnungen verwenden:

Alle Originalwerte werden auf die tatsächliche Messgenauigkeit gerundet und mit der entsprechenden Anzahl signifikanter Ziffern geschrieben, sodass in der Dezimalschreibweise alle Ziffern zuverlässig sind (die letzte Ziffer darf zweifelhaft sein). Bei Bedarf werden Werte mit signifikanten Nullen auf der rechten Seite geschrieben, damit der Datensatz die tatsächliche Anzahl der zuverlässigen Zeichen angibt (wenn beispielsweise eine Länge von 1 m tatsächlich auf den nächsten Zentimeter genau gemessen wird, schreiben Sie „1,00 m“, um anzuzeigen dass zwei Nachkommastellen im Datensatz zuverlässig sind), oder die Genauigkeit wird explizit angegeben (z. B. 2500 ± 5 m – hier sind nur Zehner zuverlässig und sollten auf diese gerundet werden).
Zwischenwerte werden mit einer „Ersatz“-Ziffer gerundet.
Beim Addieren und Subtrahieren wird das Ergebnis auf die letzte Dezimalstelle des ungenauesten Parameters gerundet (bei der Berechnung des Wertes 1,00 m + 1,5 m + 0,075 m wird das Ergebnis beispielsweise auf den Zehntel Meter gerundet, d. h. bis 2,6 m). In diesem Fall wird empfohlen, die Berechnungen in einer solchen Reihenfolge durchzuführen, dass das Subtrahieren von Zahlen nahe beieinander liegt, und Operationen an Zahlen möglichst in aufsteigender Reihenfolge ihrer Module durchzuführen.
Beim Multiplizieren und Dividieren wird das Ergebnis auf die kleinste Anzahl signifikanter Stellen gerundet, die die Parameter haben (z. B. bei der Berechnung der Geschwindigkeit der gleichförmigen Bewegung eines Körpers in einer Entfernung von 2,5 · 10 2 m, in 600 s sollte das Ergebnis sein gerundet auf 4,2 m/s, da die Entfernung zwei Ziffern und die Zeit drei Ziffern hat, vorausgesetzt, dass alle Ziffern im Eintrag von Bedeutung sind).
Bei der Berechnung des Funktionswerts f(x) Es ist erforderlich, den Modul der Ableitung dieser Funktion in der Nähe des Berechnungspunkts abzuschätzen. Wenn (|f"(x)| ≤ 1), dann ist das Funktionsergebnis auf die gleiche Dezimalstelle genau wie das Argument. Andernfalls enthält das Ergebnis um den Betrag weniger exakte Nachkommastellen log 10 (|f"(x)|), aufgerundet auf die nächste ganze Zahl.

Trotz mangelnder Strenge funktionieren die oben genannten Regeln in der Praxis recht gut, insbesondere aufgrund der relativ hohen Wahrscheinlichkeit einer gegenseitigen Fehleraufhebung, die bei der genauen Fehlerabrechnung in der Regel nicht berücksichtigt wird.

Fehler

Der Missbrauch nicht runder Zahlen kommt häufig vor. Zum Beispiel:

Zahlen mit geringer Genauigkeit werden in ungerundeter Form geschrieben. In der Statistik: Wenn 4 von 17 Personen mit „Ja“ geantwortet haben, dann schreiben sie „23,5 %“ (wobei „24 %“ richtig ist).
Benutzer von Zeigerinstrumenten denken manchmal so: „Zwischen 5,5 und 6 blieb die Nadel stehen, näher bei 6, lass es 5,8 sein“ – auch das ist verboten (die Kalibrierung des Gerätes entspricht in der Regel seiner tatsächlichen Genauigkeit). In diesem Fall sollten Sie „5,5“ oder „6“ sagen.

siehe auch

Beobachtungen verarbeiten
Rundungsfehler

Anmerkungen

Literatur

Henry S. Warren, Jr. Kapitel 3. Runden auf Zweierpotenzen// Algorithmische Tricks für Programmierer = Hacker's Delight. - M.: Williams, 2007. - S. 288. - ISBN 0-201-91465-4

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