In einem gleichschenkligen Dreieck sind zwei Seiten gleich. Gleichschenkligen Dreiecks

Ein Dreieck, bei dem zwei Seiten einander gleich sind, nennt man gleichschenklig. Diese Seiten werden lateral genannt und die dritte Seite wird Basis genannt. In diesem Artikel informieren wir Sie über die Eigenschaften eines gleichschenkligen Dreiecks.

Satz 1

Die Winkel nahe der Basis eines gleichschenkligen Dreiecks sind einander gleich

Beweis des Satzes.

Nehmen wir an, wir haben ein gleichschenkliges Dreieck ABC, dessen Basis AB ist. Schauen wir uns das Dreieck BAC an. Diese Dreiecke sind aufgrund des ersten Vorzeichens einander gleich. Dies ist wahr, denn BC = AC, AC = BC, Winkel ACB = Winkel ACB. Daraus folgt, dass Winkel BAC = Winkel ABC, weil dies die entsprechenden Winkel unserer gleichen Dreiecke sind. Hier ist die Eigenschaft der Winkel eines gleichschenkligen Dreiecks.

Satz 2

Der Median in einem gleichschenkligen Dreieck, das zu seiner Basis gezogen wird, ist auch die Höhe und Winkelhalbierende

Beweis des Satzes.

Nehmen wir an, wir haben ein gleichschenkliges Dreieck ABC, dessen Basis AB ist, und CD ist der Median, den wir zu seiner Basis gezogen haben. In den Dreiecken ACD und BCD ist der Winkel CAD = Winkel CBD, als entsprechende Winkel an der Basis eines gleichschenkligen Dreiecks (Satz 1). Und Seite AC = Seite BC (per Definition eines gleichschenkligen Dreiecks). Seite AD = Seite BD, da Punkt D das Segment AB in gleiche Teile teilt. Daraus folgt, dass Dreieck ACD = Dreieck BCD ist.

Aus der Gleichheit dieser Dreiecke ergibt sich die Gleichheit der entsprechenden Winkel. Das heißt, Winkel ACD = Winkel BCD und Winkel ADC = Winkel BDC. Aus Gleichung 1 folgt, dass CD eine Winkelhalbierende ist. Und Winkel ADC und Winkel BDC sind benachbarte Winkel, und aus Gleichung 2 folgt, dass sie beide rechte Winkel sind. Es stellt sich heraus, dass CD die Höhe des Dreiecks ist. Dies ist die Eigenschaft des Medians eines gleichschenkligen Dreiecks.

Und nun ein wenig zu den Vorzeichen eines gleichschenkligen Dreiecks.

Satz 3

Wenn zwei Winkel in einem Dreieck einander gleich sind, dann ist ein solches Dreieck gleichschenklig

Beweis des Satzes.

Nehmen wir an, wir haben ein Dreieck ABC, in dem der Winkel CAB = Winkel CBA ist. Dreieck ABC = Dreieck BAC gemäß dem zweiten Kriterium der Gleichheit zwischen Dreiecken. Dies ist wahr, denn AB = BA; Winkel CBA = Winkel CAB, Winkel CAB = Winkel CBA. Aus dieser Gleichheit der Dreiecke ergibt sich die Gleichheit der entsprechenden Seiten des Dreiecks – AC = BC. Dann stellt sich heraus, dass das Dreieck ABC gleichschenklig ist.

Satz 4

Wenn in einem Dreieck der Mittelwert auch seine Höhe ist, dann ist ein solches Dreieck gleichschenklig

Beweis des Satzes.

Im Dreieck ABC zeichnen wir den Median CD. Es wird auch die Höhe sein. Rechtwinkliges Dreieck ACD = rechtwinkliges Dreieck BCD, da ihnen das Bein CD gemeinsam ist und das Bein AD = Bein BD. Daraus folgt, dass ihre Hypotenusen einander gleich sind, wie entsprechende Teile gleicher Dreiecke. Das bedeutet, dass AB = BC.

Satz 5

Wenn drei Seiten eines Dreiecks gleich drei Seiten eines anderen Dreiecks sind, dann sind diese Dreiecke kongruent

Beweis des Satzes.

Angenommen, wir haben ein Dreieck ABC und ein Dreieck A1B1C1 mit den Seiten AB = A1B1, AC = A1C1, BC = B1C1. Betrachten wir den Beweis dieses Theorems durch Widerspruch.

Nehmen wir an, dass diese Dreiecke einander nicht gleich sind. Daraus ergibt sich, dass der Winkel BAC nicht gleich dem Winkel B1A1C1 ist, der Winkel ABC nicht gleich dem Winkel A1B1C1 ist und der Winkel ACB gleichzeitig nicht gleich dem Winkel A1C1B1 ist. Andernfalls wären diese Dreiecke nach den oben diskutierten Kriterien gleich.

Nehmen wir an, dass das Dreieck A1B1C2 = Dreieck ABC ist. In einem Dreieck liegt der Scheitelpunkt C2 mit dem Scheitelpunkt C1 relativ zur Geraden A1B1 in derselben Halbebene. Wir haben angenommen, dass die Eckpunkte C2 und C1 nicht zusammenfallen. Nehmen wir an, dass Punkt D die Mitte des Segments C1C2 ist. Wir haben also gleichschenklige Dreiecke B1C1C2 und A1C1C2, die eine gemeinsame Basis C1C2 haben. Es stellt sich heraus, dass ihre Mediane B1D und A1D auch ihre Höhen sind. Das bedeutet, dass die Geraden B1D und A1D senkrecht zur Geraden C1C2 stehen.

B1D und A1D haben unterschiedliche Punkte B1 und A1 und können dementsprechend nicht zusammenfallen. Aber durch Punkt D der Linie C1C2 können wir nur eine Linie senkrecht dazu zeichnen. Wir haben einen Widerspruch.

Jetzt wissen Sie, welche Eigenschaften ein gleichschenkliges Dreieck hat!

Untersuchung Hausaufgaben

№ 111.

Gegeben: CD = BD , 1 = 2

Beweisen Sie: A B C - gleichschenklig

№ 107.

Seite A C ist 2-mal kleiner als AB

P = 50 cm,

P = 50 cm

x + 2x + 2x = 50

x = 10

2 X

AC = 10 cm,

AB = BC = 20 cm

Welche Dreiecke sind gleichschenklig? Benennen Sie bei gleichschenkligen Dreiecken die Basis und die Seiten.

Gegeben: AD - Winkelhalbierende ∆ BAC, BAC = 74 0. Fundstück: BA D. (Abb. 1)

Gegeben: KL - Höhe ∆ KMN. Fundort: KLN. (Abb.2)

Gegeben: QS – Median ∆ PQR, PS = 5,3 cm. Finden Sie: PR. (Abb. 3)

Gegeben: ∆ ABC ist gleichschenklig mit der Basis AC, der Winkelhalbierenden BC, AC = 46 cm. Fundort: AK. (Abb.4)
Gegeben: ∆ ABC ist gleichschenklig mit der Basis AC, VC Höhe, ABC = 46 0. Finden Sie: AVK. (Abb.5)
Gegeben: ∆ C BD gleichschenklig mit Basis B C, DA Median, BDC = 120 0. Finden Sie: ADB. (Abb.6)

7. Klasse

Eigenschaften eines gleichschenkligen Dreiecks

Drei Wege führen zum Wissen:

Der Weg der Besinnung ist der edelste Weg,

Der Weg der Nachahmung ist der einfachste Weg,

Und der Weg der Erfahrung ist der bitterste Weg.

Konfuzius.

In einem gleichschenkligen Dreieck sind die Grundwinkel gleich.

Gegeben: ABC gleichschenklig

Beweisen:

Nachweisen:

1. Zeichnen wir die Winkelhalbierende BD des Winkels B.

2. Betrachten Sie ∆ AB D und ∆ CBD:

AB = BC (nach Bedingung),

In D – gemeinsame Seite,

∠ A BD = ∠ C BD

∆ АВD = ∆CBD (basierend auf 1 Gleichheitszeichen der Dreiecke)

3. In gleichen Dreiecken sind die entsprechenden Winkel ∠ A= ∠ C.

In einem gleichschenkligen Dreieck ist die zur Basis gezogene Winkelhalbierende der Mittelwert und die Höhe.

Gegeben: ABC-Gleichschenkel,

A D - Halbierende .

Beweisen: A D - Höhe,

A D - Median.

Nachweisen:

1) Bedenken Sie auch:

∆ BAD = ∆CAD (basierend auf 1 Kriterium für die Gleichheit von Dreiecken).

2) In gleichen Dreiecken sind die entsprechenden Seiten und Winkel gleich

1 = 2 = 90° (benachbarte Winkel).

Daher ist AD der Median und die Höhe ∆ ABC.

Probleme lösen.

Savrasova S.M., Yastrebinetsky G.A. „Planimetrieübungen an fertigen Zeichnungen“

110

Probleme lösen.

Gegeben: AB = B C, 1=130 0.

L. S. Atanasyan. „Geometrie 7-9“ Nr. 112.

Probleme lösen.

Fundort: AB D.

Dreieck

ABC - gleichschenklig

In D – Median

Das bedeutet, dass B D eine Winkelhalbierende ist

40 0

CM. Savrasova, G.A. Yastrebinetsky „Übungen zu vorgefertigten Zeichnungen“

Hausaufgaben:

Absatz 19 (S. 35 – 36), Nr. 109, 112, 118.

In dieser Lektion geht es um das Thema „Das gleichschenklige Dreieck und seine Eigenschaften“. Sie erfahren, wie gleichschenklige und gleichseitige Dreiecke aussehen und wie sie charakterisiert werden. Beweisen Sie den Satz über die Winkelgleichheit an der Basis eines gleichschenkligen Dreiecks. Betrachten Sie auch den Satz über die Winkelhalbierende (Mittelwert und Höhe), die zur Basis eines gleichschenkligen Dreiecks gezogen wird. Am Ende der Lektion lösen Sie zwei Probleme anhand der Definition und Eigenschaften eines gleichschenkligen Dreiecks.

Definition:Gleichschenklige heißt ein Dreieck, dessen beide Seiten gleich sind.

Reis. 1. Gleichschenkliges Dreieck

AB = AC – Seiten. BC - Gründung.

Die Fläche eines gleichschenkligen Dreiecks ist gleich der Hälfte des Produkts aus Grundfläche und Höhe.

Definition:Gleichseitig nennt man ein Dreieck, bei dem alle drei Seiten gleich sind.

Reis. 2. Gleichseitiges Dreieck

AB = BC = SA.

Satz 1: In einem gleichschenkligen Dreieck sind die Grundwinkel gleich.

Gegeben: AB = AC.

Beweisen:∠B =∠C.

Reis. 3. Zeichnen für den Satz

Nachweisen: Dreieck ABC = Dreieck ACB entsprechend dem ersten Vorzeichen (zwei gleiche Seiten und der Winkel zwischen ihnen). Aus der Gleichheit der Dreiecke folgt, dass alle entsprechenden Elemente gleich sind. Das bedeutet ∠B = ∠C, was bewiesen werden musste.

Satz 2: In einem gleichschenkligen Dreieck Halbierende zur Basis gezogen ist Median Und Höhe.

Gegeben: AB = AC, ∠1 = ∠2.

Beweisen:ÂD = DC, AD senkrecht zu BC.

Reis. 4. Zeichnung für Satz 2

Nachweisen: Dreieck ADB = Dreieck ADC gemäß dem ersten Vorzeichen (AD - allgemein, AB = AC nach Bedingung, ∠BAD = ∠DAC). Aus der Gleichheit der Dreiecke folgt, dass alle entsprechenden Elemente gleich sind. BD = DC, da ihnen gleiche Winkel gegenüberstehen. AD ist also der Median. Auch ∠3 = ∠4, da sie gegenüberliegenden gleichen Seiten liegen. Aber außerdem sind sie insgesamt gleich. Daher ist ∠3 = ∠4 = . Das bedeutet, dass AD die Höhe des Dreiecks ist, was wir beweisen mussten.

Im einzigen Fall a = b = . In diesem Fall heißen die Linien AC und BD senkrecht.

Da Winkelhalbierende, Höhe und Median das gleiche Segment sind, gelten auch folgende Aussagen:

Die Höhe eines zur Basis gezogenen gleichschenkligen Dreiecks ist der Mittelwert und die Winkelhalbierende.

Der Mittelwert eines zur Basis gezogenen gleichschenkligen Dreiecks ist die Höhe und die Winkelhalbierende.

Beispiel 1: Bei einem gleichschenkligen Dreieck ist die Basis halb so groß wie die Seite und der Umfang beträgt 50 cm. Finden Sie die Seiten des Dreiecks.

Gegeben: AB = AC, BC = AC. P = 50 cm.

Finden: BC, AC, AB.

Lösung:

Reis. 5. Zeichnen zum Beispiel 1

Bezeichnen wir die Basis BC als a, dann ist AB = AC = 2a.

2a + 2a + a = 50.

5a = 50, a = 10.

Antwort: BC = 10 cm, AC = AB = 20 cm.

Beispiel 2: Beweisen Sie, dass in einem gleichseitigen Dreieck alle Winkel gleich sind.

Gegeben: AB = BC = SA.

Beweisen:∠A = ∠B = ∠C.

Nachweisen:

Reis. 6. Zeichnen zum Beispiel

∠B = ∠C, da AB = AC, und ∠A = ∠B, da AC = BC.

Daher ist ∠A = ∠B = ∠C, was bewiesen werden musste.

Antwort: Bewährt.

In der heutigen Lektion haben wir uns ein gleichschenkliges Dreieck angesehen und seine grundlegenden Eigenschaften untersucht. In der nächsten Lektion lösen wir Aufgaben zum Thema gleichschenklige Dreiecke und berechnen die Fläche eines gleichschenkligen und gleichseitigen Dreiecks.

Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. und andere. Geometrie 7. - M.: Bildung.
Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B. und andere. Geometrie 7. 5. Aufl. - M.: Aufklärung.
Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolova V.V. Geometrie 7 / V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev, V.V. Prasolova, Hrsg. Sadovnichego V.A. - M.: Bildung, 2010.

Wörterbücher und Enzyklopädien zum Thema Akademiker ().
Festival pädagogische Idee « Öffentlicher Unterricht» ().
Kaknauchit.ru ().

1. Nr. 29. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolova V.V. Geometrie 7 / V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev, V.V. Prasolova, Hrsg. Sadovnichego V.A. - M.: Bildung, 2010.

2. Der Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks beträgt 35 cm und die Basis ist dreimal kleiner als die Seite. Finden Sie die Seiten des Dreiecks.

3. Gegeben: AB = BC. Beweisen Sie, dass ∠1 = ∠2.

4. Der Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks beträgt 20 cm, eine seiner Seiten ist doppelt so groß wie die andere. Finden Sie die Seiten des Dreiecks. Wie viele Lösungen hat das Problem?

Gleichschenkligen Dreiecks ist ein Dreieck, bei dem zwei Seiten gleich lang sind. Gleiche Seiten werden als lateral bezeichnet und die letzte wird als Basis bezeichnet. Per Definition ist ein regelmäßiges Dreieck auch gleichschenklig, aber das Gegenteil ist nicht der Fall.

Eigenschaften

Winkel gegenüber gleichen Seiten eines gleichschenkligen Dreiecks sind einander gleich. Die aus diesen Winkeln gezogenen Winkelhalbierenden, Mittelwerte und Höhen sind ebenfalls gleich.
Die Winkelhalbierende, der Median, die Höhe und die zur Basis gezogene Mittelsenkrechte fallen zusammen. Auf dieser Linie liegen die Mittelpunkte der ein- und umschriebenen Kreise.
Winkel gegenüber gleichen Seiten sind immer spitz (folgt aus ihrer Gleichheit).

Lassen A- die Länge zweier gleicher Seiten eines gleichschenkligen Dreiecks, B- Länge der dritten Seite, α Und β - entsprechende Winkel, R- Radius des umschriebenen Kreises, R- Radius der Beschriftung.

Die Seiten sind wie folgt zu finden:

Winkel können auf folgende Weise ausgedrückt werden:

Der Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks kann auf eine der folgenden Arten berechnet werden:

Die Fläche eines Dreiecks kann auf eine der folgenden Arten berechnet werden:

(Herons Formel).

Zeichen

Zwei Winkel eines Dreiecks sind gleich.
Die Höhe stimmt mit dem Median überein.
Die Höhe stimmt mit der Winkelhalbierenden überein.
Die Winkelhalbierende fällt mit dem Median zusammen.
Die beiden Höhen sind gleich.
Die beiden Mediane sind gleich.
Zwei Winkelhalbierende sind gleich (Satz von Steiner-Lemus).

siehe auch

Wikimedia-Stiftung. 2010.

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