Ποιο παραλληλεπίπεδο λέγεται ευθύ; Παραλληλεπίπεδο και κύβος

Σε αυτό το μάθημα, όλοι θα μπορούν να μελετήσουν το θέμα «Ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο». Στην αρχή του μαθήματος, θα επαναλάβουμε τι είναι τα αυθαίρετα και ευθύγραμμα παραλληλεπίπεδα, θυμηθείτε τις ιδιότητες των απέναντι όψεών τους και τις διαγώνιες του παραλληλεπίπεδου. Στη συνέχεια θα δούμε τι είναι ένα κυβοειδές και θα συζητήσουμε τις βασικές του ιδιότητες.

Θέμα: Καθετότητα ευθειών και επιπέδων

Μάθημα: Κυβοειδές

Μια επιφάνεια που αποτελείται από δύο ίσα παραλληλόγραμμα ABCD και A 1 B 1 C 1 D 1 και τέσσερα παραλληλόγραμμα ABV 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 ονομάζεται παραλληλεπίπεδο(Εικ. 1).

Ρύζι. 1 Παραλληλεπίπεδο

Δηλαδή: έχουμε δύο ίσα παραλληλόγραμμα ABCD και A 1 B 1 C 1 D 1 (βάσεις), βρίσκονται σε παράλληλα επίπεδα έτσι ώστε οι πλευρικές ακμές AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 να είναι παράλληλες. Έτσι, μια επιφάνεια που αποτελείται από παραλληλόγραμμα ονομάζεται παραλληλεπίπεδο.

Έτσι, η επιφάνεια ενός παραλληλεπίπεδου είναι το άθροισμα όλων των παραλληλόγραμμων που αποτελούν το παραλληλεπίπεδο.

1. Οι απέναντι όψεις ενός παραλληλεπίπεδου είναι παράλληλες και ίσες.

(τα σχήματα είναι ίσα, δηλαδή μπορούν να συνδυαστούν με επικάλυψη)

Για παράδειγμα:

ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 (ίσα παραλληλόγραμμα εξ ορισμού),

AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (καθώς τα AA 1 B 1 B και DD 1 C 1 C είναι αντίθετες όψεις του παραλληλεπιπέδου),

AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (καθώς τα AA 1 D 1 D και BB 1 C 1 C είναι αντίθετες όψεις του παραλληλεπίπεδου).

2. Οι διαγώνιοι ενός παραλληλεπίπεδου τέμνονται σε ένα σημείο και διχοτομούνται από αυτό το σημείο.

Οι διαγώνιοι του παραλληλεπίπεδου AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B τέμνονται σε ένα σημείο O, και κάθε διαγώνιος διαιρείται στο μισό με αυτό το σημείο (Εικ. 2).

Ρύζι. 2 Οι διαγώνιοι ενός παραλληλεπιπέδου τέμνονται και διαιρούνται στο μισό με το σημείο τομής.

3. Υπάρχουν τρία τετράπλευρα ίσων και παράλληλων άκρων ενός παραλληλεπίπεδου: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, СС 1, DD 1.

Ορισμός. Ένα παραλληλεπίπεδο ονομάζεται ευθύγραμμο αν οι πλευρικές ακμές του είναι κάθετες στις βάσεις.

Αφήστε το πλευρικό άκρο AA 1 να είναι κάθετο στη βάση (Εικ. 3). Αυτό σημαίνει ότι η ευθεία ΑΑ 1 είναι κάθετη στις ευθείες ΑΔ και ΑΒ, που βρίσκονται στο επίπεδο της βάσης. Αυτό σημαίνει ότι οι πλευρικές όψεις περιέχουν ορθογώνια. Και οι βάσεις περιέχουν αυθαίρετα παραλληλόγραμμα. Ας συμβολίσουμε ∠BAD = φ, η γωνία φ μπορεί να είναι οποιαδήποτε.

Ρύζι. 3 Δεξί παραλληλεπίπεδο

Άρα, ορθό παραλληλεπίπεδο είναι ένα παραλληλεπίπεδο στο οποίο οι πλευρικές ακμές είναι κάθετες στις βάσεις του παραλληλεπίπεδου.

Ορισμός. Το παραλληλεπίπεδο ονομάζεται ορθογώνιο,αν οι πλευρικές ακμές του είναι κάθετες στη βάση. Οι βάσεις είναι ορθογώνιες.

Το παραλληλεπίπεδο ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 είναι ορθογώνιο (Εικ. 4), εάν:

1. AA 1 ⊥ ABCD (πλάγιο άκρο κάθετο στο επίπεδο της βάσης, δηλαδή ευθύγραμμο παραλληλεπίπεδο).

2. ∠BAD = 90°, δηλαδή η βάση είναι ορθογώνιο.

Ρύζι. 4 Ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο

Ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο έχει όλες τις ιδιότητες ενός αυθαίρετου παραλληλεπίπεδου.Υπάρχουν όμως πρόσθετες ιδιότητες που προέρχονται από τον ορισμό ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο.

Ετσι, κυβοειδέςείναι ένα παραλληλεπίπεδο του οποίου οι πλευρικές ακμές είναι κάθετες στη βάση. Η βάση ενός κυβοειδούς είναι ένα ορθογώνιο.

1. Σε ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο, και οι έξι όψεις είναι ορθογώνια.

Το ABCD και το A 1 B 1 C 1 D 1 είναι ορθογώνια εξ ορισμού.

2. Οι πλευρικές νευρώσεις είναι κάθετες στη βάση. Αυτό σημαίνει ότι όλες οι πλευρικές όψεις ενός ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου είναι ορθογώνια.

3. Όλες οι δίεδρες γωνίες ενός ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου είναι ορθές.

Ας εξετάσουμε, για παράδειγμα, τη διεδρική γωνία ενός ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου με ακμή ΑΒ, δηλαδή τη διεδρική γωνία μεταξύ των επιπέδων ABC 1 και ABC.

Το AB είναι μια ακμή, το σημείο A 1 βρίσκεται σε ένα επίπεδο - στο επίπεδο ABB 1, και το σημείο D στο άλλο - στο επίπεδο A 1 B 1 C 1 D 1. Τότε η υπό εξέταση διεδρική γωνία μπορεί επίσης να συμβολιστεί ως εξής: ∠A 1 ABD.

Ας πάρουμε το σημείο Α στην άκρη ΑΒ. Το AA 1 είναι κάθετο στην ακμή AB στο επίπεδο АВВ-1, το AD είναι κάθετο στην ακμή AB στο επίπεδο ABC. Αυτό σημαίνει ότι ∠A 1 AD είναι η γραμμική γωνία μιας δεδομένης διεδρικής γωνίας. ∠A 1 AD = 90°, που σημαίνει ότι η διεδρική γωνία στο άκρο ΑΒ είναι 90°.

∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.

Ομοίως, αποδεικνύεται ότι οποιεσδήποτε δίεδρες γωνίες ενός ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου είναι ορθές.

Το τετράγωνο της διαγωνίου ενός ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των τριών διαστάσεων του.

Σημείωση. Τα μήκη των τριών άκρων που προέρχονται από μια κορυφή ενός κυβοειδούς είναι οι μετρήσεις του κυβοειδούς. Μερικές φορές ονομάζονται μήκος, πλάτος, ύψος.

Δίνεται: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο (Εικ. 5).

Απόδειξη: .

Ρύζι. 5 Ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο

Απόδειξη:

Η ευθεία CC 1 είναι κάθετη στο επίπεδο ABC και επομένως στην ευθεία AC. Αυτό σημαίνει ότι το τρίγωνο CC 1 A είναι ορθογώνιο. Σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα:

Θεωρήστε το ορθογώνιο τρίγωνο ABC. Σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα:

Αλλά π.Χ. και μ.Χ. είναι οι αντίθετες πλευρές του ορθογωνίου. Άρα π.Χ. = μ.Χ. Επειτα:

Επειδή , ΕΝΑ , Οτι. Εφόσον CC 1 = AA 1, αυτό έπρεπε να αποδειχθεί.

Οι διαγώνιοι ενός ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου είναι ίσες.

Ας υποδηλώσουμε τις διαστάσεις του παραλληλεπίπεδου ABC ως a, b, c (βλ. Εικ. 6), μετά AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =

Σε μετάφραση από τα ελληνικά, παραλληλόγραμμο σημαίνει επίπεδο. Ένα παραλληλεπίπεδο είναι ένα πρίσμα με ένα παραλληλόγραμμο στη βάση του. Υπάρχουν πέντε τύποι παραλληλογραμμών: πλάγιο, ευθύ και κυβοειδές. Ο κύβος και το ρομβοέδρο ανήκουν επίσης στο παραλληλεπίπεδο και αποτελούν την ποικιλία του.

Πριν προχωρήσουμε στις βασικές έννοιες, ας δώσουμε ορισμένους ορισμούς:

Η διαγώνιος ενός παραλληλεπίπεδου είναι ένα τμήμα που ενώνει τις κορυφές του παραλληλεπίπεδου που είναι απέναντι.
Αν δύο όψεις έχουν κοινή ακμή, τότε μπορούμε να τις ονομάσουμε γειτονικές ακμές. Εάν δεν υπάρχει κοινή άκρη, τότε οι όψεις ονομάζονται απέναντι.
Δύο κορυφές που δεν βρίσκονται στο ίδιο πρόσωπο ονομάζονται αντίθετες.

Τι ιδιότητες έχει ένα παραλληλεπίπεδο;

Οι όψεις ενός παραλληλεπίπεδου που βρίσκεται σε αντίθετες πλευρές είναι παράλληλες μεταξύ τους και ίσες μεταξύ τους.
Εάν σχεδιάσετε διαγώνιες από τη μια κορυφή στην άλλη, τότε το σημείο τομής αυτών των διαγωνίων θα τις χωρίσει στο μισό.
Οι πλευρές του παραλληλεπίπεδου που βρίσκονται στην ίδια γωνία με τη βάση θα είναι ίσες. Με άλλα λόγια, οι γωνίες των συν-κατευθυνόμενων πλευρών θα είναι ίσες μεταξύ τους.

Τι είδη παραλληλεπίπεδων υπάρχουν;

Τώρα ας καταλάβουμε τι είδους παραλληλεπίπεδα υπάρχουν. Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, υπάρχουν διάφοροι τύποι αυτού του σχήματος: ίσιο, ορθογώνιο, κεκλιμένο παραλληλεπίπεδο, καθώς και κύβος και ρομβοέδρο. Σε τι διαφέρουν μεταξύ τους; Είναι όλα σχετικά με τα επίπεδα που τα σχηματίζουν και τις γωνίες που σχηματίζουν.

Ας δούμε λεπτομερέστερα κάθε έναν από τους αναφερόμενους τύπους παραλληλεπίπεδων.

Όπως είναι ήδη σαφές από το όνομα, ένα κεκλιμένο παραλληλεπίπεδο έχει κεκλιμένες όψεις, δηλαδή εκείνες τις όψεις που δεν βρίσκονται σε γωνία 90 μοιρών σε σχέση με τη βάση.
Αλλά για ένα ορθό παραλληλεπίπεδο, η γωνία μεταξύ της βάσης και της άκρης είναι ακριβώς ενενήντα μοίρες. Αυτός είναι ο λόγος που αυτός ο τύπος παραλληλεπίπεδου έχει ένα τέτοιο όνομα.
Εάν όλες οι όψεις του παραλληλεπίπεδου είναι πανομοιότυπα τετράγωνα, τότε αυτό το σχήμα μπορεί να θεωρηθεί κύβος.
Ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο έλαβε αυτό το όνομα λόγω των επιπέδων που το σχηματίζουν. Εάν είναι όλα ορθογώνια (συμπεριλαμβανομένης της βάσης), τότε αυτό είναι ένα κυβοειδές. Αυτός ο τύπος παραλληλεπίπεδου δεν συναντάται πολύ συχνά. Μεταφρασμένο από τα ελληνικά, ρομβοέδρο σημαίνει πρόσωπο ή βάση. Αυτό είναι το όνομα που δόθηκε σε μια τρισδιάστατη φιγούρα της οποίας τα πρόσωπα είναι ρόμβοι.

Βασικοί τύποι για παραλληλεπίπεδο

Ο όγκος ενός παραλληλεπίπεδου είναι ίσος με το γινόμενο του εμβαδού της βάσης και του ύψους του κάθετου στη βάση.

Το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας θα είναι ίσο με το γινόμενο της περιμέτρου της βάσης και του ύψους.
Γνωρίζοντας τους βασικούς ορισμούς και τύπους, μπορείτε να υπολογίσετε την περιοχή βάσης και τον όγκο. Η βάση μπορεί να επιλεγεί κατά την κρίση σας. Ωστόσο, κατά κανόνα, ένα ορθογώνιο χρησιμοποιείται ως βάση.

Θέμα: Καθετότητα ευθειών και επιπέδων

Μάθημα: Κυβοειδές

Ρύζι. 1 Παραλληλεπίπεδο

1. Οι απέναντι όψεις ενός παραλληλεπίπεδου είναι παράλληλες και ίσες.

(τα σχήματα είναι ίσα, δηλαδή μπορούν να συνδυαστούν με επικάλυψη)

Για παράδειγμα:

ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 (ίσα παραλληλόγραμμα εξ ορισμού),

AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (καθώς τα AA 1 B 1 B και DD 1 C 1 C είναι αντίθετες όψεις του παραλληλεπιπέδου),

AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (καθώς τα AA 1 D 1 D και BB 1 C 1 C είναι αντίθετες όψεις του παραλληλεπίπεδου).

2. Οι διαγώνιοι ενός παραλληλεπίπεδου τέμνονται σε ένα σημείο και διχοτομούνται από αυτό το σημείο.

Ρύζι. 2 Οι διαγώνιοι ενός παραλληλεπιπέδου τέμνονται και διαιρούνται στο μισό με το σημείο τομής.

Ορισμός. Ένα παραλληλεπίπεδο ονομάζεται ευθύγραμμο αν οι πλευρικές ακμές του είναι κάθετες στις βάσεις.

Ρύζι. 3 Δεξί παραλληλεπίπεδο

Το παραλληλεπίπεδο ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 είναι ορθογώνιο (Εικ. 4), εάν:

1. AA 1 ⊥ ABCD (πλάγιο άκρο κάθετο στο επίπεδο της βάσης, δηλαδή ευθύγραμμο παραλληλεπίπεδο).

2. ∠BAD = 90°, δηλαδή η βάση είναι ορθογώνιο.

Ρύζι. 4 Ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο

Ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο έχει όλες τις ιδιότητες ενός αυθαίρετου παραλληλεπίπεδου.Υπάρχουν όμως πρόσθετες ιδιότητες που προέρχονται από τον ορισμό του κυβοειδούς.

1. Σε ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο, και οι έξι όψεις είναι ορθογώνια.

Το ABCD και το A 1 B 1 C 1 D 1 είναι ορθογώνια εξ ορισμού.

3. Όλες οι δίεδρες γωνίες ενός ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου είναι ορθές.

∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.

Ομοίως, αποδεικνύεται ότι οποιεσδήποτε δίεδρες γωνίες ενός ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου είναι ορθές.

Δίνεται: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο (Εικ. 5).

Απόδειξη: .

Ρύζι. 5 Ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο

Απόδειξη:

Θεωρήστε το ορθογώνιο τρίγωνο ABC. Σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα:

Αλλά π.Χ. και μ.Χ. είναι οι αντίθετες πλευρές του ορθογωνίου. Άρα π.Χ. = μ.Χ. Επειτα:

Επειδή , ΕΝΑ , Οτι. Εφόσον CC 1 = AA 1, αυτό έπρεπε να αποδειχθεί.

Οι διαγώνιοι ενός ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου είναι ίσες.

Ας υποδηλώσουμε τις διαστάσεις του παραλληλεπίπεδου ABC ως a, b, c (βλ. Εικ. 6), μετά AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =

Στη γεωμετρία βασικές έννοιεςείναι επίπεδο, σημείο, ευθεία και γωνία. Χρησιμοποιώντας αυτούς τους όρους, μπορείτε να περιγράψετε οποιοδήποτε γεωμετρικό σχήμα. Τα πολύεδρα περιγράφονται συνήθως με όρους απλούστερων μορφών που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο, όπως κύκλος, τρίγωνο, τετράγωνο, ορθογώνιο κ.λπ. Σε αυτό το άρθρο θα δούμε τι είναι ένα παραλληλεπίπεδο, θα περιγράψουμε τους τύπους των παραλληλεπίπεδων, τις ιδιότητές του, από ποια στοιχεία αποτελείται και θα δώσουμε επίσης τους βασικούς τύπους για τον υπολογισμό του εμβαδού και του όγκου για κάθε τύπο παραλληλεπίπεδου.

Ορισμός

Ένα παραλληλεπίπεδο σε τρισδιάστατο χώρο είναι ένα πρίσμα, του οποίου όλες οι πλευρές είναι παραλληλόγραμμα. Κατά συνέπεια, μπορεί να έχει μόνο τρία ζεύγη παραλληλόγραμμων ή έξι όψεις.

Για να οπτικοποιήσετε ένα παραλληλεπίπεδο, φανταστείτε ένα συνηθισμένο τυπικό τούβλο. Ένα τούβλο είναι ένα καλό παράδειγμα ενός ορθογώνιου παραλληλεπίπεδου που μπορεί να φανταστεί ακόμη και ένα παιδί. Άλλα παραδείγματα περιλαμβάνουν πολυώροφα σπίτια πάνελ, ντουλάπια, δοχεία αποθήκευσης τρόφιμακατάλληλη μορφή κ.λπ.

Ποικιλίες φιγούρων

Υπάρχουν μόνο δύο τύποι παραλληλεπίπεδων:

Ορθογώνιο, του οποίου όλες οι πλευρικές όψεις βρίσκονται υπό γωνία 90° ως προς τη βάση και είναι ορθογώνιες.
Κεκλιμένα, τα πλευρικά άκρα του οποίου βρίσκονται σε μια ορισμένη γωνία ως προς τη βάση.

Σε ποια στοιχεία μπορεί να χωριστεί αυτό το σχήμα;

Όπως και κάθε άλλο γεωμετρικό σχήμα, σε ένα παραλληλεπίπεδο, όσες όψεις έχουν κοινή ακμή λέγονται γειτονικές και όσες δεν το έχουν παράλληλες (με βάση την ιδιότητα ενός παραλληλογράμμου, που έχει ζεύγη παράλληλων απέναντι πλευρών).
Οι κορυφές ενός παραλληλεπίπεδου που δεν βρίσκονται στην ίδια όψη ονομάζονται αντίθετες.
Το τμήμα που συνδέει τέτοιες κορυφές είναι διαγώνιο.
Τα μήκη των τριών άκρων ενός κυβοειδούς που συναντώνται σε μία κορυφή είναι οι διαστάσεις του (δηλαδή το μήκος, το πλάτος και το ύψος του).

Ιδιότητες σχήματος

Χτίζεται πάντα συμμετρικά ως προς το μέσο της διαγώνιου.
Το σημείο τομής όλων των διαγωνίων χωρίζει κάθε διαγώνιο σε δύο ίσα τμήματα.
Οι αντίθετες όψεις είναι ίσες σε μήκος και βρίσκονται σε παράλληλες γραμμές.
Εάν προσθέσετε τα τετράγωνα όλων των διαστάσεων ενός παραλληλεπίπεδου, η τιμή που προκύπτει θα είναι ίση με το τετράγωνο του μήκους της διαγώνιου.

Τύποι υπολογισμού

Οι τύποι για κάθε συγκεκριμένη περίπτωση παραλληλεπίπεδου θα είναι διαφορετικοί.

Για ένα αυθαίρετο παραλληλεπίπεδο, είναι αλήθεια ότι ο όγκος του είναι ίσος με την απόλυτη τιμή του τριπλού βαθμωτού γινόμενου των διανυσμάτων των τριών πλευρών που προέρχονται από μια κορυφή. Ωστόσο, δεν υπάρχει τύπος για τον υπολογισμό του όγκου ενός αυθαίρετου παραλληλεπίπεδου.

Για ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο ισχύουν οι ακόλουθοι τύποι:

V=a*b*c;
Sb=2*c*(a+b);
Sp=2*(a*b+b*c+a*c).

V - όγκος του σχήματος.
Sb - πλευρική επιφάνεια.
Sp - συνολική επιφάνεια.
α - μήκος?
β - πλάτος;
γ - ύψος.

Μια άλλη ειδική περίπτωση παραλληλεπίπεδου στο οποίο όλες οι πλευρές είναι τετράγωνες είναι ένας κύβος. Εάν οποιαδήποτε από τις πλευρές του τετραγώνου ορίζεται με το γράμμα a, τότε μπορούν να χρησιμοποιηθούν οι ακόλουθοι τύποι για την επιφάνεια και τον όγκο αυτού του σχήματος:

S=6*a*2;
V=3*a.

ΜΙΚΡΟ- περιοχή του σχήματος,
V είναι ο όγκος του σχήματος,
a είναι το μήκος του προσώπου της φιγούρας.

Ο τελευταίος τύπος παραλληλεπίπεδου που εξετάζουμε είναι ένα ευθύ παραλληλεπίπεδο. Ποια είναι η διαφορά μεταξύ ορθού παραλληλεπίπεδου και κυβοειδούς, ρωτάτε. Το γεγονός είναι ότι η βάση ενός ορθογώνιου παραλληλεπίπεδου μπορεί να είναι οποιοδήποτε παραλληλόγραμμο, αλλά η βάση ενός ευθύγραμμου παραλληλεπίπεδου μπορεί να είναι μόνο ένα ορθογώνιο. Αν συμβολίσουμε την περίμετρο της βάσης, ίση με το άθροισμα των μηκών όλων των πλευρών, ως Po, και το ύψος με το γράμμα h, έχουμε το δικαίωμα να χρησιμοποιήσουμε τους παρακάτω τύπους για να υπολογίσουμε τον όγκο και τα εμβαδά του συνόλου και πλευρικές επιφάνειες.

$mob_info$