Η εφαπτομένη ισούται με 0 εξίσωση. Τριγωνομετρικές εξισώσεις
Οι απλούστερες τριγωνομετρικές εξισώσεις λύνονται, κατά κανόνα, χρησιμοποιώντας τύπους. Να σας υπενθυμίσω ότι οι απλούστερες τριγωνομετρικές εξισώσεις είναι:
sinx = α
cosx = α
tgx = α
ctgx = α
x είναι η γωνία που πρέπει να βρεθεί,
α είναι οποιοσδήποτε αριθμός.
Και εδώ είναι οι τύποι με τους οποίους μπορείτε να γράψετε αμέσως τις λύσεις σε αυτές τις απλούστερες εξισώσεις.
Για ημιτονοειδή:
Για το συνημίτονο:
x = ± τόξο a + 2π n, n ∈ Z
Για εφαπτομένη:
x = αρκτάνη a + π n, n ∈ Z
Για συμεφαπτομένη:
x = arcctg a + π n, n ∈ Z
Στην πραγματικότητα, αυτό είναι το θεωρητικό μέρος της επίλυσης των απλούστερων τριγωνομετρικών εξισώσεων. Επιπλέον, τα πάντα!) Τίποτα απολύτως. Ωστόσο, ο αριθμός των σφαλμάτων σε αυτό το θέμα είναι απλώς εκτός γραφημάτων. Ειδικά αν το παράδειγμα αποκλίνει ελαφρώς από το πρότυπο. Γιατί;
Ναι, επειδή πολλοί άνθρωποι γράφουν αυτά τα γράμματα, χωρίς να καταλαβαίνω καθόλου τη σημασία τους!Γράφει με προσοχή, μήπως συμβεί κάτι...) Αυτό πρέπει να διευθετηθεί. Τριγωνομετρία για τους ανθρώπους ή άνθρωποι για τριγωνομετρία τελικά!;)
Ας το καταλάβουμε;
Μια γωνία θα είναι ίση με τόξο α, δεύτερος: -arccos α.
Και πάντα έτσι θα βγαίνει.Για κάθε ΕΝΑ.
Αν δεν με πιστεύετε, τοποθετήστε το ποντίκι σας πάνω από την εικόνα ή αγγίξτε την εικόνα στο tablet σας.) Άλλαξα τον αριθμό ΕΝΑ σε κάτι αρνητικό. Τέλος πάντων, έχουμε μια γωνία τόξο α, δεύτερος: -arccos α.
Επομένως, η απάντηση μπορεί πάντα να γραφτεί ως δύο σειρές ριζών:
x 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z
x 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z
Ας συνδυάσουμε αυτές τις δύο σειρές σε μία:
x= ± τόξο a + 2π n, n ∈ Z
Και αυτό είναι όλο. Λάβαμε έναν γενικό τύπο για την επίλυση της απλούστερης τριγωνομετρικής εξίσωσης με συνημίτονο.
Αν καταλαβαίνετε ότι αυτό δεν είναι κάποιου είδους υπερεπιστημονική σοφία, αλλά απλώς μια συντομευμένη έκδοση δύο σειρών απαντήσεων,Θα μπορείτε επίσης να χειρίζεστε εργασίες "C". Με ανισώσεις, με επιλογή ριζών από ένα δεδομένο διάστημα... Εκεί η απάντηση με συν/πλην δεν λειτουργεί. Αλλά αν αντιμετωπίσετε την απάντηση με επιχειρηματικό τρόπο και τη χωρίσετε σε δύο ξεχωριστές απαντήσεις, όλα θα επιλυθούν.) Στην πραγματικότητα, γι' αυτό το εξετάζουμε. Τι, πώς και πού.
Στην απλούστερη τριγωνομετρική εξίσωση
sinx = α
παίρνουμε επίσης δύο σειρές ριζών. Πάντα. Και αυτές οι δύο σειρές μπορούν επίσης να ηχογραφηθούν σε μια γραμμή. Μόνο αυτή η γραμμή θα είναι πιο δύσκολη:
x = (-1) n τόξο a + π n, n ∈ Z
Όμως η ουσία παραμένει η ίδια. Οι μαθηματικοί απλώς σχεδίασαν έναν τύπο για να κάνουν μία αντί για δύο καταχωρήσεις για σειρές ριζών. Αυτό είναι όλο!
Ας ελέγξουμε τους μαθηματικούς; Και ποτέ δεν ξέρεις...)
Στο προηγούμενο μάθημα, συζητήθηκε λεπτομερώς η λύση (χωρίς τύπους) μιας τριγωνομετρικής εξίσωσης με ημίτονο:
Η απάντηση είχε ως αποτέλεσμα δύο σειρές ριζών:
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Αν λύσουμε την ίδια εξίσωση χρησιμοποιώντας τον τύπο, παίρνουμε την απάντηση:
x = (-1) n τόξο 0,5 + π n, n ∈ Z
Στην πραγματικότητα, αυτή είναι μια ημιτελής απάντηση.) Ο μαθητής πρέπει να το γνωρίζει αυτό τόξο 0,5 = π /6.Η πλήρης απάντηση θα ήταν:
x = (-1) n π /6+ π n, n ∈ Z
Αυτό εγείρει ένα ενδιαφέρον ερώτημα. Απάντηση μέσω x 1; x 2 (αυτή είναι η σωστή απάντηση!) και μέσω της μοναξιάς Χ (και αυτή είναι η σωστή απάντηση!) - είναι το ίδιο πράγμα ή όχι; Θα μάθουμε τώρα.)
Αντικαθιστούμε στην απάντηση με x 1 αξίες n =0; 1; 2; κ.λπ., μετράμε, παίρνουμε μια σειρά από ρίζες:
x 1 = π/6; 13π/6; 25π/6 και ούτω καθεξής.
Με την ίδια αντικατάσταση σε απάντηση με x 2 , παίρνουμε:
x 2 = 5π/6; 17π/6; 29π/6 και ούτω καθεξής.
Τώρα ας αντικαταστήσουμε τις τιμές n (0; 1; 2; 3; 4...) στον γενικό τύπο για το single Χ . Δηλαδή ανεβάζουμε μείον ένα στη μηδενική ισχύ, μετά στην πρώτη, δεύτερη κ.λπ. Λοιπόν, φυσικά, αντικαθιστούμε το 0 στον δεύτερο όρο. 1; 2 3; 4, κλπ. Και μετράμε. Παίρνουμε τη σειρά:
x = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 και ούτω καθεξής.
Αυτό είναι το μόνο που μπορείτε να δείτε.) Ο γενικός τύπος μας δίνει ακριβώς τα ίδια αποτελέσματαόπως και οι δύο απαντήσεις χωριστά. Όλα ταυτόχρονα, με τη σειρά. Οι μαθηματικοί δεν ξεγελάστηκαν.)
Μπορούν επίσης να ελεγχθούν τύποι για την επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων με εφαπτομένη και συνεφαπτομένη. Αλλά δεν θα το κάνουμε.) Είναι ήδη απλά.
Έγραψα όλη αυτή την αντικατάσταση και επαλήθευση συγκεκριμένα. Εδώ είναι σημαντικό να κατανοήσουμε ένα απλό πράγμα: υπάρχουν τύποι για την επίλυση στοιχειωδών τριγωνομετρικών εξισώσεων, μόνο μια σύντομη περίληψη των απαντήσεων.Για αυτή τη συντομία, έπρεπε να εισαγάγουμε συν/πλην στο διάλυμα συνημιτόνου και (-1) n στο ημιτονικό διάλυμα.
Αυτά τα ένθετα δεν παρεμβαίνουν με κανέναν τρόπο σε εργασίες όπου χρειάζεται απλώς να γράψετε την απάντηση σε μια στοιχειώδη εξίσωση. Αλλά αν πρέπει να λύσετε μια ανισότητα ή τότε πρέπει να κάνετε κάτι με την απάντηση: επιλέξτε ρίζες σε ένα διάστημα, ελέγξτε για ODZ κ.λπ., αυτές οι εισαγωγές μπορούν εύκολα να αναστατώσουν ένα άτομο.
Αρα τι πρέπει να κάνω? Ναι, είτε γράψτε την απάντηση σε δύο σειρές, είτε λύστε την εξίσωση/ανίσωση χρησιμοποιώντας τον τριγωνομετρικό κύκλο. Τότε αυτές οι παρεμβολές εξαφανίζονται και η ζωή γίνεται ευκολότερη.)
Μπορούμε να συνοψίσουμε.
Για την επίλυση των απλούστερων τριγωνομετρικών εξισώσεων, υπάρχουν έτοιμοι τύποι απαντήσεων. Τέσσερα κομμάτια. Είναι καλοί για να γράφουν αμέσως τη λύση μιας εξίσωσης. Για παράδειγμα, πρέπει να λύσετε τις εξισώσεις:
sinx = 0,3
Εύκολα: x = (-1) n τόξο 0,3 + π n, n ∈ Z
cosx = 0,2
Κανένα πρόβλημα: x = ± τόξο 0,2 + 2π n, n ∈ Z
tgx = 1,2
Εύκολα: x = αρκτάνη 1,2 + π n, n ∈ Z
ctgx = 3,7
Ένα έμεινε: x= arcctg3,7 + π n, n ∈ Z
cos x = 1,8
Αν λάμπεις από γνώση, γράψε αμέσως την απάντηση:
x= ± τόξο 1,8 + 2π n, n ∈ Z
τότε ήδη λάμπεις, αυτό... εκείνο... από μια λακκούβα.) Σωστή απάντηση: δεν υπάρχουν λύσεις. Δεν καταλαβαίνετε γιατί; Διαβάστε τι είναι το συνημίτονο τόξου. Επιπλέον, εάν στη δεξιά πλευρά της αρχικής εξίσωσης υπάρχουν πινακοποιημένες τιμές ημιτονοειδούς, συνημιτονοειδούς, εφαπτομένης, συνεφαπτομένης, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 και ούτω καθεξής. - η απάντηση μέσα από τις καμάρες θα είναι ημιτελής. Τα τόξα πρέπει να μετατραπούν σε ακτίνια.
Και αν συναντήσετε ανισότητα, κάντε like
τότε η απάντηση είναι:
x πn, n ∈ Z
υπάρχουν σπάνιες ανοησίες, ναι...) Εδώ πρέπει να λύσετε χρησιμοποιώντας τον τριγωνομετρικό κύκλο. Τι θα κάνουμε στο αντίστοιχο θέμα.
Για όσους διαβάζουν ηρωικά αυτές τις γραμμές. Δεν μπορώ παρά να εκτιμήσω τις τιτάνιες προσπάθειές σας. Μπόνους για εσάς.)
Δώρο:
Όταν γράφετε τύπους σε μια ανησυχητική κατάσταση μάχης, ακόμη και οι έμπειροι σπασίκλες συχνά μπερδεύονται σχετικά με το πού πn, Και που 2π n. Εδώ είναι ένα απλό κόλπο για εσάς. Σε Ολοιφόρμουλες αξίας πn. Εκτός από τη μοναδική φόρμουλα με συνημίτονο τόξου. Στέκεται εκεί 2πn. Δύοοξύ άκρο της σφύρας. Λέξη-κλειδί - δύο.Στην ίδια φόρμουλα υπάρχουν δύουπογράψει στην αρχή. Συν και πλην. Εδώ και εκεί - δύο.
Αν έγραψες λοιπόν δύουπογράψτε πριν από το συνημίτονο τόξου, είναι πιο εύκολο να θυμάστε τι θα συμβεί στο τέλος δύοοξύ άκρο της σφύρας. Και συμβαίνει και το αντίστροφο. Το άτομο θα χάσει το σημάδι ± , φτάνει στο τέλος, γράφει σωστά δύο Pien, και θα συνέλθει. Υπάρχει κάτι μπροστά δύοσημάδι! Το άτομο θα επιστρέψει στην αρχή και θα διορθώσει το λάθος! Σαν αυτό.)
Αν σας αρέσει αυτό το site...
Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)
Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Ας μάθουμε - με ενδιαφέρον!)
Μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.
Οι κύριες μέθοδοι για την επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων είναι: η αναγωγή των εξισώσεων στην απλούστερη (χρησιμοποιώντας τριγωνομετρικούς τύπους), η εισαγωγή νέων μεταβλητών και η παραγοντοποίηση. Ας δούμε τη χρήση τους με παραδείγματα. Προσοχή στη μορφή γραφής λύσεων τριγωνομετρικών εξισώσεων.
Απαραίτητη προϋπόθεση για την επιτυχή επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων είναι η γνώση τριγωνομετρικών τύπων (θέμα 13 της εργασίας 6).
Παραδείγματα.
1. Εξισώσεις ανάγονται στην απλούστερη.
1) Λύστε την εξίσωση
Λύση:
Απάντηση:
2) Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης
(sinx + cosx) 2 = 1 – sinxcosx, που ανήκει στο τμήμα.
Λύση:
Απάντηση:
2. Εξισώσεις που ανάγονται σε τετραγωνικό.
1) Λύστε την εξίσωση 2 sin 2 x – cosx –1 = 0.
Λύση:Χρησιμοποιώντας τον τύπο sin 2 x = 1 – cos 2 x, παίρνουμε
Απάντηση:
2) Λύστε την εξίσωση cos 2x = 1 + 4 cosx.
Λύση:Χρησιμοποιώντας τον τύπο cos 2x = 2 cos 2 x – 1, παίρνουμε
Απάντηση:
3) Λύστε την εξίσωση tgx – 2ctgx + 1 = 0
Λύση:
Απάντηση:
3. Ομογενείς εξισώσεις
1) Λύστε την εξίσωση 2sinx – 3cosx = 0
Λύση: Έστω cosx = 0, μετά 2sinx = 0 και sinx = 0 – αντίφαση με το γεγονός ότι sin 2 x + cos 2 x = 1. Αυτό σημαίνει cosx ≠ 0 και μπορούμε να διαιρέσουμε την εξίσωση με cosx. Παίρνουμε
Απάντηση:
2) Λύστε την εξίσωση 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x
Λύση:
Χρησιμοποιούμε τους τύπους 1 = sin 2 x + cos 2 x και sin 2x = 2 sinxcosx, παίρνουμε
sin 2 x + cos 2 x + 7cos 2 x = 6sinxcosx
sin 2 x – 6sinxcosx+ 8cos 2 x = 0
Έστω cosx = 0, τότε sin 2 x = 0 και sinx = 0 – αντίφαση με το γεγονός ότι sin 2 x + cos 2 x = 1.
Αυτό σημαίνει cosx ≠ 0 και μπορούμε να διαιρέσουμε την εξίσωση με cos 2 x .
Παίρνουμε
tg 2 x – 6 tgx + 8 = 0
Ας συμβολίσουμε tgx = y
y 2 – 6 y + 8 = 0
y 1 = 4; y2 = 2
α) tgx = 4, x= arctan4 + 2 κ, κ
β) tgx = 2, x= arctan2 + 2 κ, κ .
Απάντηση: arctg4 + 2 κ, arctan2 + 2 κ,κ
4. Εξισώσεις της φόρμας ένα sinx + σι cosx = s, s≠ 0.
1) Λύστε την εξίσωση.
Λύση:
Απάντηση:
5. Εξισώσεις που λύνονται με παραγοντοποίηση.
1) Λύστε την εξίσωση sin2x – sinx = 0.
Ρίζα της εξίσωσης φά (Χ) = φ ( Χ) μπορεί να χρησιμεύσει μόνο ως αριθμός 0. Ας ελέγξουμε αυτό:
cos 0 = 0 + 1 – η ισότητα είναι αληθής.
Ο αριθμός 0 είναι η μόνη ρίζα αυτής της εξίσωσης.
Απάντηση: 0.
Οι απλούστερες τριγωνομετρικές εξισώσεις είναι οι εξισώσεις
Cos (x) = a, sin (x) = a, tg (x) = a, ctg (x) =a
Εξίσωση cos(x) = a
Εξήγηση και αιτιολογία
- Οι ρίζες της εξίσωσης cosx = α. Πότε | α | > 1 η εξίσωση δεν έχει ρίζες, αφού | cosx |< 1 для любого x (прямая y = а при а >1 ή σε ένα< -1 не пересекает график функцииy = cosx).
Αφήστε | α |< 1. Тогда прямая у = а пересекает график функции
y = cos x. Στο διάστημα, η συνάρτηση y = cos x μειώνεται από 1 σε -1. Αλλά μια φθίνουσα συνάρτηση παίρνει κάθε τιμή της μόνο σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, επομένως η εξίσωση cos x = a έχει μόνο μία ρίζα σε αυτό το διάστημα, η οποία, εξ ορισμού της αρκοσίνης, ισούται με: x 1 = arccos a (και για αυτή τη ρίζα cos x = A).
Το συνημίτονο είναι άρτια συνάρτηση, άρα στο διάστημα [-n; 0] η εξίσωση cos x = και έχει επίσης μόνο μία ρίζα - τον αριθμό απέναντι από το x 1, δηλαδή
x 2 = -arccos α.
Έτσι, στο διάστημα [-n; p] (μήκος 2p) εξίσωση cos x = a με | α |< 1 имеет только корни x = ±arccos а.
Η συνάρτηση y = cos x είναι περιοδική με περίοδο 2n, επομένως όλες οι άλλες ρίζες διαφέρουν από αυτές που βρίσκονται κατά 2n (n € Z). Λαμβάνουμε τον ακόλουθο τύπο για τις ρίζες της εξίσωσης cos x = a όταν
x = ±arccos a + 2pp, n £ Z.
- Ειδικές περιπτώσεις επίλυσης της εξίσωσης cosx = α.
Είναι χρήσιμο να θυμάστε ειδικούς συμβολισμούς για τις ρίζες της εξίσωσης cos x = a όταν
a = 0, a = -1, a = 1, τα οποία μπορούν εύκολα να ληφθούν χρησιμοποιώντας τον κύκλο μονάδας ως αναφορά.
Εφόσον το συνημίτονο είναι ίσο με την τετμημένη του αντίστοιχου σημείου του μοναδιαίου κύκλου, λαμβάνουμε ότι cos x = 0 εάν και μόνο αν το αντίστοιχο σημείο του μοναδιαίου κύκλου είναι το σημείο Α ή το σημείο Β.
Ομοίως, cos x = 1 αν και μόνο αν το αντίστοιχο σημείο του μοναδιαίου κύκλου είναι το σημείο C, επομένως,
x = 2ππ, k € Z.
Επίσης cos x = -1 αν και μόνο αν το αντίστοιχο σημείο του μοναδιαίου κύκλου είναι το σημείο D, επομένως x = n + 2n,
Εξίσωση sin(x) = α
Εξήγηση και αιτιολογία
- Οι ρίζες της εξίσωσης sinx = α. Πότε | α | > 1 η εξίσωση δεν έχει ρίζες, αφού | sinx |< 1 для любого x (прямая y = а на рисунке при а >1 ή σε ένα< -1 не пересекает график функции y = sinx).
Η διατήρηση του απορρήτου σας είναι σημαντική για εμάς. Για το λόγο αυτό, έχουμε αναπτύξει μια Πολιτική Απορρήτου που περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο χρησιμοποιούμε και αποθηκεύουμε τις πληροφορίες σας. Διαβάστε τις πρακτικές απορρήτου μας και ενημερώστε μας εάν έχετε ερωτήσεις.
Συλλογή και χρήση προσωπικών πληροφοριών
Οι προσωπικές πληροφορίες αναφέρονται σε δεδομένα που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την αναγνώριση ή επικοινωνία με ένα συγκεκριμένο άτομο.
Ενδέχεται να σας ζητηθεί να δώσετε τα προσωπικά σας στοιχεία ανά πάσα στιγμή όταν επικοινωνήσετε μαζί μας.
Ακολουθούν ορισμένα παραδείγματα των τύπων προσωπικών πληροφοριών που ενδέχεται να συλλέγουμε και πώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτές τις πληροφορίες.
Ποιες προσωπικές πληροφορίες συλλέγουμε:
- Όταν υποβάλλετε μια αίτηση στον ιστότοπο, ενδέχεται να συλλέξουμε διάφορες πληροφορίες, όπως το όνομά σας, τον αριθμό τηλεφώνου, τη διεύθυνση email σας κ.λπ.
Πώς χρησιμοποιούμε τα προσωπικά σας στοιχεία:
- Οι προσωπικές πληροφορίες που συλλέγουμε μας επιτρέπουν να επικοινωνήσουμε μαζί σας με μοναδικές προσφορές, προσφορές και άλλες εκδηλώσεις και επερχόμενες εκδηλώσεις.
- Από καιρό σε καιρό, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τα προσωπικά σας στοιχεία για να στείλουμε σημαντικές ειδοποιήσεις και επικοινωνίες.
- Ενδέχεται επίσης να χρησιμοποιήσουμε προσωπικές πληροφορίες για εσωτερικούς σκοπούς, όπως διεξαγωγή ελέγχων, ανάλυση δεδομένων και διάφορες έρευνες, προκειμένου να βελτιώσουμε τις υπηρεσίες που παρέχουμε και να σας παρέχουμε συστάσεις σχετικά με τις υπηρεσίες μας.
- Εάν συμμετέχετε σε κλήρωση, διαγωνισμό ή παρόμοια προσφορά, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τις πληροφορίες που παρέχετε για τη διαχείριση τέτοιων προγραμμάτων.
Αποκάλυψη πληροφοριών σε τρίτους
Δεν αποκαλύπτουμε τις πληροφορίες που λαμβάνουμε από εσάς σε τρίτους.
Εξαιρέσεις:
- Εάν είναι απαραίτητο - σύμφωνα με το νόμο, τη δικαστική διαδικασία, σε νομικές διαδικασίες και/ή βάσει δημόσιων αιτημάτων ή αιτημάτων από κυβερνητικές αρχές στην επικράτεια της Ρωσικής Ομοσπονδίας - να αποκαλύψετε τα προσωπικά σας στοιχεία. Ενδέχεται επίσης να αποκαλύψουμε πληροφορίες σχετικά με εσάς εάν κρίνουμε ότι αυτή η αποκάλυψη είναι απαραίτητη ή κατάλληλη για λόγους ασφάλειας, επιβολής του νόμου ή άλλους σκοπούς δημόσιας σημασίας.
- Σε περίπτωση αναδιοργάνωσης, συγχώνευσης ή πώλησης, ενδέχεται να μεταφέρουμε τις προσωπικές πληροφορίες που συλλέγουμε στον αντίστοιχο τρίτο διάδοχο.
Προστασία προσωπικών πληροφοριών
Λαμβάνουμε προφυλάξεις - συμπεριλαμβανομένων διοικητικών, τεχνικών και φυσικών - για την προστασία των προσωπικών σας δεδομένων από απώλεια, κλοπή και κακή χρήση, καθώς και από μη εξουσιοδοτημένη πρόσβαση, αποκάλυψη, τροποποίηση και καταστροφή.
Σεβασμός του απορρήτου σας σε εταιρικό επίπεδο
Για να διασφαλίσουμε ότι τα προσωπικά σας στοιχεία είναι ασφαλή, κοινοποιούμε τα πρότυπα απορρήτου και ασφάλειας στους υπαλλήλους μας και εφαρμόζουμε αυστηρά τις πρακτικές απορρήτου.
