សមីការត្រីកោណមាត្រមូលដ្ឋាន។ ការដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រ
សមីការត្រីកោណមាត្រសាមញ្ញបំផុតត្រូវបានដោះស្រាយជាក្បួនដោយប្រើរូបមន្ត។ ខ្ញុំសូមរំលឹកអ្នកថា សមីការត្រីកោណមាត្រសាមញ្ញបំផុតគឺ៖
sinx = ក
cosx = ក
tgx = ក
ctgx = ក
x គឺជាមុំដែលត្រូវរក
a គឺជាលេខណាមួយ។
ហើយនេះគឺជារូបមន្តដែលអ្នកអាចសរសេរភ្លាមៗនូវដំណោះស្រាយចំពោះសមីការសាមញ្ញបំផុតទាំងនេះ។
សម្រាប់ស៊ីនុស៖
សម្រាប់កូស៊ីនុស៖
x = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z
សម្រាប់តង់សង់៖
x = arctan a + π n, n ∈ Z
សម្រាប់កូតង់សង់៖
x = arcctg a + π n, n ∈ Z
តាមពិតនេះគឺជាអ្វីដែលវាគឺជា ផ្នែកទ្រឹស្តីដំណោះស្រាយសាមញ្ញបំផុត។ សមីការត្រីកោណមាត្រ. លើសពីនេះទៅទៀតអ្វីគ្រប់យ៉ាង!) គ្មានអ្វីទាំងអស់។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ចំនួននៃកំហុសលើប្រធានបទនេះគឺគ្រាន់តែចេញពីតារាង។ ជាពិសេសប្រសិនបើឧទាហរណ៍នេះបង្វែរបន្តិចពីគំរូ។ ហេតុអ្វី?
បាទ ពីព្រោះមនុស្សជាច្រើនសរសេរអក្សរទាំងនេះ។ ដោយមិនយល់ពីអត្ថន័យរបស់វា!គាត់សរសេរដោយប្រុងប្រយ័ត្ន ក្រែងមានរឿងកើតឡើង...) នេះចាំបាច់ត្រូវតម្រៀបចេញ។ ត្រីកោណមាត្រសម្រាប់មនុស្ស ឬមនុស្សសម្រាប់ត្រីកោណមាត្រ !?)
តោះគិតមើល?
មុំមួយនឹងស្មើនឹង Arccos មួយ ទីពីរ៖ - Arccos ក។
ហើយវានឹងដំណើរការតាមរបៀបនេះជានិច្ច។សម្រាប់ណាមួយ។ ក.
ប្រសិនបើអ្នកមិនជឿខ្ញុំ សូមដាក់កណ្ដុររបស់អ្នកលើរូបភាព ឬប៉ះរូបភាពនៅលើកុំព្យូទ័របន្ទះរបស់អ្នក។) ខ្ញុំបានប្តូរលេខ ក ទៅនឹងអ្វីមួយអវិជ្ជមាន។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ យើងទទួលបានជ្រុងមួយ។ Arccos មួយ ទីពីរ៖ - Arccos ក។
ដូច្នេះ ចម្លើយអាចតែងតែសរសេរជាពីរស៊េរីនៃឫស៖
x 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z
x 2 = − arccos a + 2π n, n ∈ Z
ចូររួមបញ្ចូលស៊េរីទាំងពីរនេះជាមួយ៖
x = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z
ហើយនោះជាអ្វីទាំងអស់។ យើងបានទទួលរូបមន្តទូទៅសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រសាមញ្ញបំផុតជាមួយកូស៊ីនុស។
ប្រសិនបើអ្នកយល់ថានេះមិនមែនជាប្រភេទនៃប្រាជ្ញាទំនើបមួយចំនួននោះទេប៉ុន្តែ គ្រាន់តែជាកំណែខ្លីនៃចម្លើយពីរស៊េរីប៉ុណ្ណោះអ្នកក៏នឹងអាចដោះស្រាយកិច្ចការ "C" ផងដែរ។ ជាមួយនឹងវិសមភាព ជាមួយនឹងការជ្រើសរើសឫសពីចន្លោះពេលដែលបានផ្តល់ឱ្យ... ចម្លើយដែលមានបូក/ដកមិនដំណើរការទេ។ ប៉ុន្តែប្រសិនបើអ្នកចាត់ទុកចម្លើយក្នុងលក្ខណៈអាជីវកម្ម ហើយបំបែកវាជាចម្លើយពីរដាច់ដោយឡែកពីគ្នា នោះអ្វីៗទាំងអស់នឹងត្រូវបានដោះស្រាយ។) តាមពិត នោះហើយជាមូលហេតុដែលយើងកំពុងពិនិត្យមើលវា។ អ្វី របៀប និងកន្លែងណា។
នៅក្នុងសមីការត្រីកោណមាត្រសាមញ្ញបំផុត។
sinx = ក
យើងក៏ទទួលបានឫសពីរស៊េរីផងដែរ។ ជានិច្ច។ ហើយស៊េរីទាំងពីរនេះក៏អាចថតបានដែរ។ ក្នុងបន្ទាត់មួយ។ មានតែបន្ទាត់នេះទេដែលនឹងកាន់តែពិបាក៖
x = (−1) n arcsin a + π n, n ∈ Z
ប៉ុន្តែខ្លឹមសារនៅតែដដែល។ គណិតវិទូគ្រាន់តែបង្កើតរូបមន្តមួយ ជំនួសឱ្យធាតុពីរសម្រាប់ស៊េរីឫស។ អស់ហើយ!
តោះទៅពិនិត្យគណិតវិទ្យា? ហើយអ្នកមិនដែលដឹងទេ ... )
នៅក្នុងមេរៀនមុន ដំណោះស្រាយ (ដោយគ្មានរូបមន្តណាមួយ) នៃសមីការត្រីកោណមាត្រជាមួយស៊ីនុស ត្រូវបានពិភាក្សាយ៉ាងលម្អិត៖
ចម្លើយបាននាំចេញជាពីរស៊េរីនៃឫស៖
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = 5π / 6 + 2π n, n ∈ Z
ប្រសិនបើយើងដោះស្រាយសមីការដូចគ្នាដោយប្រើរូបមន្ត យើងទទួលបានចម្លើយ៖
x = (−1) n arcsin 0.5 + π n, n ∈ Z
តាមពិត នេះជាចម្លើយដែលមិនទាន់ចប់ arcsin 0.5 = π / 6 ។ចម្លើយពេញលេញនឹងមានៈ
x = (−1) ន π / ៦+ π n, n ∈ Z
នៅទីនេះវាកើតឡើង ចំណាប់អារម្មណ៍ សួរ. ឆ្លើយតបតាមរយៈ x 1; x ២ (នេះគឺជាចម្លើយត្រឹមត្រូវ!) និងតាមរយៈភាពឯកកោ X (ហើយនេះគឺជាចម្លើយត្រឹមត្រូវ!) - តើពួកគេដូចគ្នាឬអត់? យើងនឹងដឹងឥឡូវនេះ។ )
យើងជំនួសចម្លើយជាមួយ x ១ តម្លៃ ន =0; 1; ២; ល។ យើងរាប់ យើងទទួលបានឫសជាបន្តបន្ទាប់៖
x 1 = π/6; 13π/6; ២៥π/៦ លល។
ជាមួយនឹងការជំនួសដូចគ្នានៅក្នុងការឆ្លើយតបជាមួយ x ២ , យើងទទួលបាន:
x 2 = 5π/6; ១៧π/៦; ២៩π/៦ លល។
ឥឡូវនេះសូមជំនួសតម្លៃ ន (0; 1; 2; 3; 4 ... ) ចូលទៅក្នុងរូបមន្តទូទៅសម្រាប់ការនៅលីវ X . នោះគឺយើងលើកដកមួយទៅសូន្យអំណាច បន្ទាប់មកទៅទីមួយ ទីពីរ។ល។ ជាការពិតណាស់ យើងជំនួសលេខ 0 ទៅក្នុងពាក្យទីពីរ។ 1; ២ ៣; ៤ ជាដើម។ ហើយយើងរាប់។ យើងទទួលបានស៊េរី៖
x = π/6; 5π/6; 13π/6; ១៧π/៦; ២៥π/៦ លល។
នោះហើយជាអ្វីដែលអ្នកអាចមើលឃើញ។) រូបមន្តទូទៅផ្តល់ឱ្យយើង ពិតជាលទ្ធផលដូចគ្នា។ដូចចម្លើយទាំងពីរដាច់ដោយឡែកពីគ្នា។ អ្វីគ្រប់យ៉ាងក្នុងពេលតែមួយតាមលំដាប់។ គណិតវិទូមិនត្រូវបានគេបោកបញ្ឆោតទេ។ )
រូបមន្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រជាមួយតង់សង់ និងកូតង់សង់ក៏អាចត្រូវបានពិនិត្យផងដែរ។ ប៉ុន្តែយើងនឹងមិនធ្វើទេ។) ពួកគេគឺសាមញ្ញរួចទៅហើយ។
ខ្ញុំបានសរសេរការជំនួសទាំងអស់នេះ ហើយពិនិត្យជាពិសេស។ នៅទីនេះវាសំខាន់ណាស់ក្នុងការយល់ដឹងអំពីរឿងសាមញ្ញមួយ៖ មានរូបមន្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្របឋម។ គ្រាន់តែសង្ខេបខ្លីៗនៃចម្លើយ។សម្រាប់ភាពខ្លីនេះ យើងត្រូវបញ្ចូលបូក/ដកទៅក្នុងដំណោះស្រាយកូស៊ីនុស និង (-1) n ទៅក្នុងដំណោះស្រាយស៊ីនុស។
សិលាចារឹកទាំងនេះមិនជ្រៀតជ្រែកក្នុងមធ្យោបាយណាមួយនៅក្នុងកិច្ចការដែលអ្នកគ្រាន់តែត្រូវសរសេរចម្លើយចំពោះសមីការបឋម។ ប៉ុន្តែប្រសិនបើអ្នកត្រូវការដោះស្រាយវិសមភាព ឬបន្ទាប់មកអ្នកត្រូវធ្វើអ្វីមួយជាមួយនឹងចម្លើយ៖ ជ្រើសរើសឫសនៅលើចន្លោះពេល ពិនិត្យមើល ODZ ។ល។ សិលាចារឹកទាំងនេះអាចដោះស្រាយមនុស្សម្នាក់យ៉ាងងាយស្រួល។
ដូច្នេះតើខ្ញុំគួរធ្វើអ្វី? បាទ/ចាស សរសេរចម្លើយជាពីរស៊េរី ឬដោះស្រាយសមីការ/វិសមភាពដោយប្រើរង្វង់ត្រីកោណមាត្រ។ បន្ទាប់មកសិលាចារឹកទាំងនេះបាត់ ហើយជីវិតកាន់តែងាយស្រួល។ )
យើងអាចសង្ខេប។
ដើម្បីដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រដ៏សាមញ្ញបំផុត មានរូបមន្តចម្លើយដែលត្រៀមរួចជាស្រេច។ បួនបំណែក។ ពួកវាល្អសម្រាប់ការសរសេរភ្លាមៗនូវដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ។ ឧទាហរណ៍ អ្នកត្រូវដោះស្រាយសមីការ៖
sinx = 0.3
យ៉ាងងាយស្រួល: x = (−1) n arcsin 0.3 + π n, n ∈ Z
cosx = 0.2
គ្មានបញ្ហា: x = ± arccos 0.2 + 2π n, n ∈ Z
tgx = 1.2
យ៉ាងងាយស្រួល: x = arctan 1,2 + π n, n ∈ Z
ctgx = 3.7
សល់មួយ៖ x = arcctg3,7 + π n, n ∈ Z
cos x = 1.8
ប្រសិនបើអ្នកភ្លឺដោយចំណេះដឹង សរសេរចម្លើយភ្លាមៗ៖
x = ± arccos 1.8 + 2π n, n ∈ Z
បន្ទាប់មកអ្នកកំពុងភ្លឺហើយនេះគឺជា ... នោះ ... ពីភក់។ ) ចម្លើយត្រឹមត្រូវ: មិនមានដំណោះស្រាយទេ។ មិនយល់ហេតុអ្វី? អានអ្វីដែល arc cosine ។ លើសពីនេះទៀត ប្រសិនបើនៅជ្រុងខាងស្តាំនៃសមីការដើម មានតម្លៃតារាងនៃស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់ហ្សង់ កូតង់សង់ - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 លល។ - ចម្លើយតាមរយៈ arches នឹងមិនត្រូវបានបញ្ចប់។ Arches ត្រូវតែបំប្លែងទៅជារ៉ាដ្យង់។
ហើយប្រសិនបើអ្នកឆ្លងកាត់វិសមភាពដូចជា
បន្ទាប់មកចម្លើយគឺ៖
x π n, n ∈ Z
មានការសមហេតុសមផលដ៏កម្រ បាទ...) នៅទីនេះអ្នកត្រូវដោះស្រាយដោយប្រើរង្វង់ត្រីកោណមាត្រ។ អ្វីដែលយើងនឹងធ្វើនៅក្នុងប្រធានបទដែលត្រូវគ្នា។
សម្រាប់អ្នកដែលអានយ៉ាងខ្លាំងដល់បន្ទាត់ទាំងនេះ។ ខ្ញុំគ្រាន់តែមិនអាចជួយបាន ប៉ុន្តែសូមកោតសរសើរចំពោះការខិតខំប្រឹងប្រែងរបស់អ្នកទាំងអស់គ្នា។ ប្រាក់រង្វាន់សម្រាប់អ្នក។ )
ប្រាក់រង្វាន់៖
នៅពេលសរសេររូបមន្តក្នុងស្ថានភាពប្រយុទ្ធដ៏គួរឱ្យព្រួយបារម្ភ សូម្បីតែអ្នកប្រមឹកតាមរដូវកាល ជារឿយៗមានការភ័ន្តច្រឡំអំពីកន្លែងណា π n, និងជាកន្លែង 2π n. នេះជាល្បិចសាមញ្ញសម្រាប់អ្នក។ ក្នុង គ្រប់គ្នារូបមន្តមានតម្លៃ π ន. លើកលែងតែរូបមន្តតែមួយគត់ដែលមានអ័ក្សកូស៊ីនុស។ វាឈរនៅទីនោះ 2 π ន. ពីរប៉ែន ពាក្យគន្លឹះ - ពីរ។នៅក្នុងរូបមន្តដូចគ្នានេះមាន ពីរចុះហត្ថលេខានៅដើម។ បូកនិងដក។ ទីនេះនិងទីនោះ - ពីរ។
ដូច្នេះប្រសិនបើអ្នកសរសេរ ពីរចុះហត្ថលេខានៅមុខអ័ក្សកូស៊ីនុស វាកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការចងចាំអ្វីដែលនឹងកើតឡើងនៅចុងបញ្ចប់ ពីរប៉ែន ហើយវាក៏កើតឡើងតាមវិធីផ្សេងដែរ។ មនុស្សនឹងនឹកសញ្ញា ± ដល់ទីបញ្ចប់ សរសេរត្រឹមត្រូវ។ ពីរ Pien ហើយគាត់នឹងយល់ឃើញរបស់គាត់។ មានអ្វីមួយនៅខាងមុខ ពីរសញ្ញា! បុគ្គលនោះនឹងត្រឡប់ទៅដើមវិញ ហើយកែកំហុស! ដូចនេះ។ )
ប្រសិនបើអ្នកចូលចិត្តគេហទំព័រនេះ...
និយាយអីញ្ចឹង ខ្ញុំមានគេហទំព័រគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ពីរបីទៀតសម្រាប់អ្នក។ )
អ្នកអាចអនុវត្តការដោះស្រាយឧទាហរណ៍ និងស្វែងរកកម្រិតរបស់អ្នក។ ការធ្វើតេស្តជាមួយការផ្ទៀងផ្ទាត់ភ្លាមៗ។ តោះរៀនដោយចំណាប់អារម្មណ៍!)
អ្នកអាចស្គាល់មុខងារ និងនិស្សន្ទវត្ថុ។
ការដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រសាមញ្ញ។
ការដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រនៃកម្រិតនៃភាពស្មុគ្រស្មាញណាមួយ ទីបំផុតចុះមកដើម្បីដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រសាមញ្ញបំផុត។ ហើយនៅក្នុងនេះ។ ជំនួយដ៏ល្អបំផុតម្តងទៀត វាប្រែជារង្វង់ត្រីកោណមាត្រ។
ចូរយើងរំលឹកឡើងវិញនូវនិយមន័យនៃកូស៊ីនុស និងស៊ីនុស។
កូស៊ីនុសនៃមុំមួយគឺ abscissa (នោះគឺជាកូអរដោណេតាមអ័ក្ស) នៃចំណុចមួយនៅលើរង្វង់ឯកតាដែលត្រូវគ្នានឹងការបង្វិលតាមរយៈមុំដែលបានផ្តល់។
ស៊ីនុសនៃមុំមួយគឺជាការតម្រៀប (នោះគឺជាកូអរដោណេតាមអ័ក្ស) នៃចំណុចមួយនៅលើរង្វង់ឯកតាដែលត្រូវគ្នានឹងការបង្វិលតាមមុំដែលបានផ្តល់ឱ្យ។
ទិសដៅវិជ្ជមាននៃចលនានៅលើរង្វង់ត្រីកោណមាត្រគឺច្រាសទ្រនិចនាឡិកា។ ការបង្វិល 0 ដឺក្រេ (ឬ 0 រ៉ាដ្យង់) ត្រូវគ្នាទៅនឹងចំណុចដែលមានកូអរដោនេ (1;0)
យើងប្រើនិយមន័យទាំងនេះដើម្បីដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រសាមញ្ញ។
1. ដោះស្រាយសមីការ
សមីការនេះត្រូវបានពេញចិត្តដោយតម្លៃទាំងអស់នៃមុំបង្វិលដែលត្រូវគ្នានឹងចំណុចនៅលើរង្វង់ដែលតម្រៀបស្មើនឹង .
ចូរសម្គាល់ចំណុចមួយជាមួយ ordinate នៅលើអ័ក្ស ordinate៖
គូរបន្ទាត់ផ្តេកស្របទៅនឹងអ័ក្ស x រហូតដល់វាប្រសព្វជាមួយរង្វង់។ យើងទទួលបានពីរចំណុចដេកលើរង្វង់ ហើយមានការចាត់តាំងមួយ។ ចំណុចទាំងនេះត្រូវគ្នាទៅនឹងមុំបង្វិលក្នុង និងរ៉ាដ្យង់៖
ប្រសិនបើយើងទុកចំនុចដែលត្រូវនឹងមុំនៃការបង្វិលក្នុងមួយរ៉ាដ្យង់ ដើរជុំវិញរង្វង់ពេញ នោះយើងនឹងទៅដល់ចំណុចដែលត្រូវនឹងមុំនៃការបង្វិលក្នុងមួយរ៉ាដ្យង់ ហើយមានតម្រឹមដូចគ្នា។ នោះគឺមុំបង្វិលនេះក៏បំពេញសមីការរបស់យើងផងដែរ។ យើងអាចធ្វើបដិវត្តន៍ "ទំនេរ" ជាច្រើនតាមដែលយើងចូលចិត្ត ត្រឡប់ទៅចំណុចដដែល ហើយតម្លៃមុំទាំងអស់នេះនឹងបំពេញសមីការរបស់យើង។ ចំនួនបដិវត្តន៍ "ទំនេរ" នឹងត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយអក្សរ (ឬ)។ ដោយសារយើងអាចធ្វើបដិវត្តន៍ទាំងនេះក្នុងទិសដៅវិជ្ជមាន និងអវិជ្ជមាន (ឬ) អាចទទួលយកតម្លៃចំនួនគត់ណាមួយ។
នោះគឺស៊េរីដំបូងនៃដំណោះស្រាយចំពោះសមីការដើមមានទម្រង់៖
, , - សំណុំនៃចំនួនគត់ (1)
ស្រដៀងគ្នានេះដែរ ស៊េរីទីពីរនៃដំណោះស្រាយមានទម្រង់៖
, កន្លែងណា , ។ (2)
ដូចដែលអ្នកប្រហែលជាបានទាយ ស៊េរីនៃដំណោះស្រាយនេះគឺផ្អែកលើចំណុចនៅលើរង្វង់ដែលត្រូវគ្នានឹងមុំនៃការបង្វិលដោយ .
ដំណោះស្រាយពីរស៊េរីនេះអាចរួមបញ្ចូលគ្នាជាធាតុមួយបាន៖
ប្រសិនបើយើងយក (នោះគឺសូម្បីតែ) នៅក្នុងធាតុនេះ នោះយើងនឹងទទួលបានដំណោះស្រាយជាស៊េរីដំបូង។
ប្រសិនបើយើងយក (នោះគឺសេស) នៅក្នុងធាតុនេះ នោះយើងទទួលបានដំណោះស្រាយជាស៊េរីទីពីរ។
2. ឥឡូវនេះ ចូរយើងដោះស្រាយសមីការ
ដោយសារនេះជា abscissa នៃចំណុចនៅលើរង្វង់ឯកតាដែលទទួលបានដោយការបង្វិលតាមមុំមួយ យើងសម្គាល់ចំណុចដោយ abscissa នៅលើអ័ក្ស៖
គូរបន្ទាត់បញ្ឈរស្របទៅនឹងអ័ក្សរហូតដល់វាប្រសព្វជាមួយរង្វង់។ យើងនឹងទទួលបានពីរពិន្ទុដេកលើរង្វង់មូលហើយមាន abscissa ។ ចំណុចទាំងនេះត្រូវគ្នាទៅនឹងមុំបង្វិលក្នុង និងរ៉ាដ្យង់។ សូមចាំថា នៅពេលផ្លាស់ទីតាមទ្រនិចនាឡិកា យើងទទួលបានមុំបង្វិលអវិជ្ជមាន៖
ចូរយើងសរសេរនូវដំណោះស្រាយពីរស៊េរី៖
,
,
(យើងទៅដល់ចំណុចដែលចង់បានដោយចេញពីរង្វង់ពេញសំខាន់ នោះគឺ។
ចូររួមបញ្ចូលស៊េរីទាំងពីរនេះជាធាតុមួយ៖
3. ដោះស្រាយសមីការ
បន្ទាត់តង់សង់ឆ្លងកាត់ចំណុចដែលមានកូអរដោនេ (1,0) នៃរង្វង់ឯកតាស្របទៅនឹងអ័ក្ស OY
ចូរសម្គាល់ចំណុចមួយនៅលើវាដោយលំដាប់ស្មើនឹង 1 (យើងកំពុងស្វែងរកតង់សង់ដែលមុំស្មើនឹង 1)៖
ចូរភ្ជាប់ចំណុចនេះទៅនឹងប្រភពដើមនៃកូអរដោណេដោយបន្ទាត់ត្រង់ ហើយសម្គាល់ចំណុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ជាមួយរង្វង់ឯកតា។ ចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ត្រង់ និងរង្វង់ត្រូវគ្នាទៅនឹងមុំនៃការបង្វិលលើ និង៖
ដោយសារចំនុចដែលត្រូវគ្នានឹងមុំបង្វិលដែលបំពេញសមីការរបស់យើងស្ថិតនៅចម្ងាយរ៉ាដ្យង់ពីគ្នាទៅវិញទៅមកនោះ យើងអាចសរសេរដំណោះស្រាយតាមវិធីនេះ៖
4. ដោះស្រាយសមីការ
បន្ទាត់នៃកូតង់សង់ឆ្លងកាត់ចំណុចដែលមានកូអរដោនេនៃរង្វង់ឯកតាស្របទៅនឹងអ័ក្ស។
ចូរសម្គាល់ចំណុចមួយជាមួយ abscissa -1 នៅលើបន្ទាត់នៃកូតង់សង់៖
ចូរភ្ជាប់ចំណុចនេះទៅនឹងប្រភពដើមនៃបន្ទាត់ត្រង់ ហើយបន្តវារហូតដល់វាប្រសព្វជាមួយរង្វង់។ បន្ទាត់ត្រង់នេះនឹងកាត់រង្វង់នៅចំណុចដែលត្រូវគ្នាទៅនឹងមុំនៃការបង្វិលក្នុង និងរ៉ាដ្យង់៖
ចាប់តាំងពីចំនុចទាំងនេះត្រូវបានបំបែកពីគ្នាទៅវិញទៅមកដោយចម្ងាយស្មើនឹង , បន្ទាប់មក ការសម្រេចចិត្តទូទៅយើងអាចសរសេរសមីការដូចនេះ៖
នៅក្នុងឧទាហរណ៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យដែលបង្ហាញពីដំណោះស្រាយនៃសមីការត្រីកោណមាត្រដ៏សាមញ្ញបំផុត តម្លៃតារាងនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រត្រូវបានប្រើប្រាស់។
ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ប្រសិនបើផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការមានតម្លៃមិនមែនជាតារាង នោះយើងជំនួសតម្លៃទៅក្នុងដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការ៖
ដំណោះស្រាយពិសេស៖
ចូរយើងគូសចំណុចនៅលើរង្វង់ដែលតម្រៀបគឺ ០៖
ចូរយើងគូសចំណុចមួយនៅលើរង្វង់ដែលគេចាត់តាំងគឺ 1:
ចូរយើងគូសចំណុចមួយនៅលើរង្វង់ដែលការចាត់តាំងស្មើនឹង -1 ៖
ដោយសារវាជាទម្លាប់ក្នុងការចង្អុលបង្ហាញតម្លៃដែលនៅជិតបំផុតដល់សូន្យ យើងសរសេរដំណោះស្រាយដូចខាងក្រោម៖
ចូរយើងគូសចំនុចនៅលើរង្វង់ដែល abscissa ស្មើនឹង 0៖
5.
ចូរយើងគូសចំនុចមួយនៅលើរង្វង់ដែល abscissa ស្មើនឹង 1៖
ចូរយើងគូសចំនុចមួយនៅលើរង្វង់ដែល abscissa ស្មើនឹង -1:
និងឧទាហរណ៍ស្មុគស្មាញជាងនេះបន្តិច៖
1.
ស៊ីនុសស្មើនឹងមួយ ប្រសិនបើអាគុយម៉ង់ស្មើនឹង
អាគុយម៉ង់នៃស៊ីនុសរបស់យើងគឺស្មើគ្នា ដូច្នេះយើងទទួលបាន៖
ចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមភាពដោយ 3:
ចម្លើយ៖
2.
កូស៊ីនុសគឺសូន្យ ប្រសិនបើអាគុយម៉ង់នៃកូស៊ីនុសគឺ
អាគុយម៉ង់នៃកូស៊ីនុសរបស់យើងគឺស្មើនឹង ដូច្នេះយើងទទួលបាន៖
សូមបញ្ជាក់ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះដំបូង យើងផ្លាស់ទីទៅខាងស្តាំដែលមានសញ្ញាផ្ទុយ៖
ចូរយើងសម្រួលផ្នែកខាងស្តាំ៖
ចែកផ្នែកទាំងពីរដោយ -2៖
ចំណាំថាសញ្ញានៅពីមុខពាក្យមិនផ្លាស់ប្តូរទេ ព្រោះ k អាចយកតម្លៃចំនួនគត់ណាមួយ។
ចម្លើយ៖
ហើយចុងក្រោយសូមមើលមេរៀនវីដេអូ "ការជ្រើសរើសឫសក្នុងសមីការត្រីកោណមាត្រដោយប្រើរង្វង់ត្រីកោណមាត្រ"
នេះបញ្ចប់ការសន្ទនារបស់យើងអំពីការដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រសាមញ្ញ។ ពេលក្រោយយើងនឹងនិយាយអំពីរបៀបសម្រេចចិត្ត។
សមីការត្រីកោណមាត្រមិនមែនជាប្រធានបទងាយស្រួលនោះទេ។ ពួកវាចម្រុះពេក។) ឧទាហរណ៍ ទាំងនេះ៖
sin 2 x + cos3x = ctg5x
sin(5x+π/4) = cot(2x-π /3)
sinx + cos2x + tg3x = ctg4x
ល...
ប៉ុន្តែសត្វចម្លែកត្រីកោណមាត្រទាំងនេះ (និងទាំងអស់ផ្សេងទៀត) មានលក្ខណៈធម្មតា និងជាកាតព្វកិច្ចពីរ។ ទីមួយ - អ្នកនឹងមិនជឿទេ - មានអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រនៅក្នុងសមីការ។) ទីពីរ៖ កន្សោមទាំងអស់ដែលមាន x ត្រូវបានរកឃើញ។ នៅក្នុងមុខងារដូចគ្នាទាំងនេះ។ហើយមានតែនៅទីនោះ! ប្រសិនបើ X លេចឡើងនៅកន្លែងណាមួយ។ នៅខាងក្រៅ,ឧទាហរណ៍, sin2x + 3x = 3,នេះនឹងជាសមីការនៃប្រភេទចម្រុះរួចហើយ។ សមីការបែបនេះទាមទារវិធីសាស្រ្តបុគ្គល។ យើងនឹងមិនពិចារណាពួកគេនៅទីនេះទេ។
យើងនឹងមិនដោះស្រាយសមីការអាក្រក់នៅក្នុងមេរៀននេះទេ។) នៅទីនេះយើងនឹងដោះស្រាយជាមួយ សមីការត្រីកោណមាត្រសាមញ្ញបំផុត។ហេតុអ្វី? បាទព្រោះដំណោះស្រាយ ណាមួយ។សមីការត្រីកោណមាត្រមានពីរដំណាក់កាល។ នៅដំណាក់កាលដំបូង សមីការអាក្រក់ត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាសាមញ្ញមួយ តាមរយៈការបំប្លែងផ្សេងៗ។ ទីពីរ សមីការសាមញ្ញបំផុតនេះត្រូវបានដោះស្រាយ។ គ្មានវិធីផ្សេងទេ។
ដូច្នេះប្រសិនបើអ្នកមានបញ្ហានៅដំណាក់កាលទីពីរ នោះដំណាក់កាលទីមួយមិនមានន័យច្រើនទេ)។
តើសមីការត្រីកោណមាត្របឋមមើលទៅដូចអ្វី?
sinx = ក
cosx = ក
tgx = ក
ctgx = ក
នៅទីនេះ ក តំណាងឱ្យលេខណាមួយ។ ណាមួយ។
និយាយអីញ្ចឹង នៅខាងក្នុងមុខងារមួយប្រហែលជាមិនមាន X សុទ្ធទេ ប៉ុន្តែប្រភេទនៃការបញ្ចេញមតិមួយចំនួនដូចជា៖
cos(3x+π /3) = 1/2
ល។ នេះធ្វើឱ្យស្មុគស្មាញដល់ជីវិត ប៉ុន្តែមិនប៉ះពាល់ដល់វិធីសាស្រ្តនៃការដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រទេ។
តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រ?
សមីការត្រីកោណមាត្រអាចត្រូវបានដោះស្រាយតាមពីរវិធី។ វិធីទីមួយ៖ ដោយប្រើតក្កវិជ្ជា និងរង្វង់ត្រីកោណមាត្រ។ យើងនឹងមើលផ្លូវនេះនៅទីនេះ។ វិធីទីពីរ - ការប្រើការចងចាំ និងរូបមន្ត - នឹងត្រូវបានពិភាក្សានៅក្នុងមេរៀនបន្ទាប់។
មធ្យោបាយទីមួយគឺច្បាស់លាស់ គួរឱ្យទុកចិត្ត និងពិបាកបំភ្លេច។) វាល្អសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រ វិសមភាព និងប្រភេទនៃឧទាហរណ៍មិនស្តង់ដារដ៏លំបាកទាំងអស់។ តក្កវិជ្ជាខ្លាំងជាងការចងចាំ!)
ការដោះស្រាយសមីការដោយប្រើរង្វង់ត្រីកោណមាត្រ។
យើងរួមបញ្ចូលតក្កវិជ្ជាបឋម និងលទ្ធភាពប្រើប្រាស់រង្វង់ត្រីកោណមាត្រ។ មិនដឹងធ្វើម៉េច? ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ... អ្នកនឹងមានការលំបាកក្នុងត្រីកោណមាត្រ...) ប៉ុន្តែវាមិនមានបញ្ហាទេ។ សូមមើលមេរៀន "រង្វង់ត្រីកោណមាត្រ......តើវាជាអ្វី?" និង "វាស់មុំនៅលើរង្វង់ត្រីកោណមាត្រ។" អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺសាមញ្ញនៅទីនោះ។ ខុសពីសៀវភៅសិក្សា...)
អូដឹងទេ!? ហើយថែមទាំងស្ទាត់ជំនាញ "ការងារជាក់ស្តែងជាមួយរង្វង់ត្រីកោណមាត្រ"!? សូមអបអរសាទរ។ ប្រធានបទនេះនឹងមានភាពស្និទ្ធស្នាល និងអាចយល់បានសម្រាប់អ្នក។) អ្វីដែលជាការពេញចិត្តជាពិសេសនោះគឺថា រង្វង់ត្រីកោណមាត្រមិនខ្វល់ពីសមីការដែលអ្នកដោះស្រាយនោះទេ។ ស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់សង់ កូតង់សង់ - អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺដូចគ្នាសម្រាប់គាត់។ មានគោលការណ៍ដំណោះស្រាយតែមួយគត់។
ដូច្នេះយើងយកសមីការត្រីកោណមាត្របឋមណាមួយ។ យ៉ាងហោចណាស់នេះ៖
cosx = 0.5
យើងត្រូវស្វែងរក X ។ និយាយជាភាសាមនុស្ស អ្នកត្រូវការ រកមុំ (x) ដែលកូស៊ីនុសគឺ 0.5 ។
តើយើងប្រើរង្វង់ពីមុនដោយរបៀបណា? យើងគូរមុំនៅលើវា។ ជាដឺក្រេ ឬរ៉ាដ្យង់។ ហើយភ្លាមៗ ឃើញ អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រនៃមុំនេះ។ ឥឡូវនេះ ចូរយើងធ្វើផ្ទុយពីនេះ។ ចូរគូរកូស៊ីនុសនៅលើរង្វង់ស្មើ 0.5 ហើយភ្លាមៗ យើងនឹងឃើញ ជ្រុង។ នៅសល់គឺត្រូវសរសេរចម្លើយ។) បាទ បាទ!
គូររង្វង់មួយហើយសម្គាល់កូស៊ីនុសស្មើនឹង 0.5 ។ ជាការពិតណាស់នៅលើអ័ក្សកូស៊ីនុស។ ដូចនេះ៖
ឥឡូវនេះ ចូរយើងគូរមុំដែលកូស៊ីនុសនេះផ្តល់ឱ្យយើង។ ដាក់កណ្ដុររបស់អ្នកលើរូបភាព (ឬប៉ះរូបភាពនៅលើកុំព្យូទ័របន្ទះរបស់អ្នក) និង អ្នកនឹងឃើញជ្រុងនេះណាស់។ X.
កូស៊ីនុសនៃមុំមួយណាគឺ 0.5?
x = π / 3
cos 60°= cos( π / ៣) = 0,5
មនុស្សមួយចំនួននឹងសើចចំអកដោយសង្ស័យថា បាទ... ដូចជា តើវាសមនឹងបង្កើតរង្វង់ទេ នៅពេលដែលអ្វីៗបានច្បាស់រួចហើយ... អ្នកអាចនិយាយលេងបាន...) ប៉ុន្តែការពិតគឺថា នេះគឺជាចម្លើយខុស។ ឬផ្ទុយទៅវិញ មិនគ្រប់គ្រាន់។ អ្នកស្គាល់រង្វង់យល់ថាមានមុំទាំងមូលផ្សេងទៀតនៅទីនេះ ដែលផ្តល់កូស៊ីនុសនៃ 0.5 ផងដែរ។
ប្រសិនបើអ្នកបង្វែរផ្នែកផ្លាស់ទី OA វេនពេញចំណុច A នឹងត្រឡប់ទៅទីតាំងដើមវិញ។ ជាមួយនឹងកូស៊ីនុសដូចគ្នាស្មើនឹង 0.5 ។ ទាំងនោះ។ មុំនឹងផ្លាស់ប្តូរដោយ 360° ឬ 2π រ៉ាដ្យង់ និង កូស៊ីនុស - ទេ។មុំថ្មី 60° + 360° = 420° ក៏នឹងជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការរបស់យើងដែរ ពីព្រោះ
បែប បដិវត្តន៍ពេញលេញអ្នកអាចបង្វែរចំនួនគ្មានកំណត់... ហើយមុំថ្មីទាំងអស់នេះនឹងក្លាយជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការត្រីកោណមាត្ររបស់យើង។ ហើយពួកគេទាំងអស់ត្រូវសរសេរចុះក្នុងការឆ្លើយតប។ ទាំងអស់។បើមិនដូច្នេះទេ ការសម្រេចចិត្តមិនរាប់បញ្ចូលទេ បាទ...)
គណិតវិទ្យាអាចធ្វើបានយ៉ាងសាមញ្ញ និងឆើតឆាយ។ សរសេរក្នុងចម្លើយខ្លីមួយ។ សំណុំគ្មានកំណត់ការសម្រេចចិត្ត។ នេះជាអ្វីដែលវាមើលទៅសម្រាប់សមីការរបស់យើង៖
x = π /3 + 2π n, n ∈ Z
ខ្ញុំនឹងបកស្រាយវា។ នៅតែសរសេរ ប្រកបដោយអត្ថន័យវាសប្បាយជាងការសរសេរអក្សរអាថ៌កំបាំងដោយឆោតល្ងង់មែនទេ?)
π / ៣ - នេះគឺជាជ្រុងដូចគ្នាដែលយើង ឃើញនៅលើរង្វង់និង កំណត់នេះបើយោងតាមតារាងកូស៊ីនុស។
2π គឺជាបដិវត្តពេញលេញមួយនៅក្នុងរ៉ាដ្យង់។
ន - នេះគឺជាចំនួនពេញលេញ, i.e. ទាំងមូល rpm វាច្បាស់ណាស់នោះ។ ន អាចស្មើនឹង 0, ±1, ±2, ±3.... ហើយដូច្នេះនៅលើ។ ដូចដែលបានបញ្ជាក់ដោយធាតុខ្លី៖
n ∈ Z
ន ជាកម្មសិទ្ធិ ( ∈ ) សំណុំនៃចំនួនគត់ ( Z ) ដោយវិធីនេះជំនួសឱ្យលិខិត ន អក្សរអាចប្រើបានល្អ k, m, t ល។
សញ្ញាណនេះមានន័យថាអ្នកអាចយកចំនួនគត់ណាមួយ។ ន . យ៉ាងហោចណាស់ -3 យ៉ាងហោចណាស់ 0 យ៉ាងហោចណាស់ +55 ។ មិនថាអី្វដែលអ្នកចង់បាន។ ប្រសិនបើអ្នកជំនួសលេខនេះទៅក្នុងចំលើយ អ្នកនឹងទទួលបានមុំជាក់លាក់មួយ ដែលពិតជាដំណោះស្រាយចំពោះសមីការដ៏អាក្រក់របស់យើង។)
ឬម្យ៉ាងទៀត x = π / 3 គឺជាឫសគល់តែមួយគត់នៃសំណុំគ្មានកំណត់។ ដើម្បីទទួលបានឫសផ្សេងទៀតទាំងអស់ វាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការបន្ថែមចំនួនបដិវត្តពេញលេញណាមួយទៅπ / 3 ( ន ) ជារ៉ាដ្យង់។ ទាំងនោះ។ 2 π ន រ៉ាដ្យង់។
ទាំងអស់? ទេ ខ្ញុំពន្យារភាពរីករាយដោយចេតនា។ ដើម្បីចងចាំកាន់តែប្រសើរ។) យើងបានទទួលតែផ្នែកនៃចម្លើយចំពោះសមីការរបស់យើង។ ខ្ញុំនឹងសរសេរផ្នែកដំបូងនៃដំណោះស្រាយដូចនេះ៖
x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z
x ១ - មិនមែនឫសតែមួយទេ ប៉ុន្តែជាស៊េរីនៃឫសទាំងមូល ដែលសរសេរក្នុងទម្រង់ខ្លី
ប៉ុន្តែក៏មានមុំដែលផ្តល់កូស៊ីនុស ០.៥ ផងដែរ!
ចូរយើងត្រលប់ទៅរូបភាពរបស់យើងដែលយើងបានសរសេរចម្លើយ។ នៅទីនេះនាង៖
ដាក់កណ្ដុររបស់អ្នកលើរូបភាព និង យើងឃើញមុំមួយទៀតនោះ។ ក៏ផ្តល់ឱ្យកូស៊ីនុសនៃ 0.5 ។តើអ្នកគិតថាវាស្មើនឹងអ្វី? ត្រីកោណក៏ដូចគ្នា… បាទ! វាស្មើនឹងមុំ X ពន្យារពេលតែក្នុងទិសដៅអវិជ្ជមាន។ នេះគឺជាជ្រុង -X. ប៉ុន្តែយើងបានគណនា x ។ π / 3 ឬ 60° ដូច្នេះយើងអាចសរសេរដោយសុវត្ថិភាព៖
x 2 = − π / 3
ជាការពិតណាស់ យើងបន្ថែមមុំទាំងអស់ដែលទទួលបានតាមរយៈបដិវត្តន៍ពេញលេញ៖
x 2 = − π /3 + 2π n, n ∈ Z
នោះហើយជាទាំងអស់ឥឡូវនេះ។) នៅលើរង្វង់ត្រីកោណមាត្រយើង ឃើញ(ពិតណាស់អ្នកណាយល់)) ទាំងអស់។មុំដែលផ្តល់កូស៊ីនុសនៃ 0.5 ។ ហើយយើងសរសេរមុំទាំងនេះក្នុងទម្រង់គណិតវិទ្យាខ្លី។ ចម្លើយនេះបានបណ្តាលឲ្យមានឫសគល់គ្មានកំណត់ចំនួនពីរ៖
x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = − π /3 + 2π n, n ∈ Z
នេះគឺជាចម្លើយត្រឹមត្រូវ។
ក្តីសង្ឃឹម គោលការណ៍ទូទៅសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រការប្រើរង្វង់គឺច្បាស់។ យើងសម្គាល់កូស៊ីនុស (ស៊ីនុស តង់សង់ កូតង់សង់) ពីសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅលើរង្វង់មួយ គូរមុំដែលត្រូវគ្នានឹងវា ហើយសរសេរចម្លើយ។ប្រាកដណាស់ យើងត្រូវស្វែងយល់ថាយើងនៅជ្រុងណាខ្លះ ឃើញនៅលើរង្វង់។ ពេលខ្លះវាមិនសូវច្បាស់ទេ។ ខ្ញុំបាននិយាយថាតក្កវិជ្ជាគឺចាំបាច់នៅទីនេះ។ )
ជាឧទាហរណ៍ សូមក្រឡេកមើលសមីការត្រីកោណមាត្រមួយទៀត៖
សូមពិចារណាថាលេខ 0.5 មិនមែនជាលេខដែលអាចធ្វើទៅបានក្នុងសមីការទេ!) វាងាយស្រួលជាងសម្រាប់ខ្ញុំក្នុងការសរសេរវាជាងឫស និងប្រភាគ។
យើងធ្វើការតាមគោលការណ៍ទូទៅ។ យើងគូសរង្វង់មួយសម្គាល់ (នៅលើអ័ក្សស៊ីនុស!) 0.5 ។ យើងគូរមុំទាំងអស់ដែលត្រូវនឹងស៊ីនុសនេះក្នុងពេលតែមួយ។ យើងទទួលបានរូបភាពនេះ៖
ចូរដោះស្រាយមុំជាមុនសិន X នៅក្នុងត្រីមាសទីមួយ។ យើងរំលឹកតារាងស៊ីនុស និងកំណត់តម្លៃនៃមុំនេះ។ វាជាបញ្ហាសាមញ្ញមួយ៖
x = π / ៦
យើងចងចាំអំពីបដិវត្តន៍ពេញលេញ និងជាមួយ មនសិការច្បាស់លាស់យើងសរសេរចម្លើយស៊េរីទីមួយ៖
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
ការងារពាក់កណ្តាលត្រូវបានធ្វើ។ ប៉ុន្តែឥឡូវនេះយើងត្រូវកំណត់ ជ្រុងទីពីរ...វាល្បិចជាងការប្រើកូស៊ីនុស បាទ... ប៉ុន្តែតក្កវិជ្ជានឹងជួយសង្រ្គោះយើង! របៀបកំណត់មុំទីពីរ តាមរយៈ x? បាទស្រួល! ត្រីកោណក្នុងរូបភាពគឺដូចគ្នា ហើយជ្រុងក្រហម X ស្មើនឹងមុំ X . មានតែវាត្រូវបានរាប់ពីមុំπក្នុងទិសដៅអវិជ្ជមាន។ នោះហើយជាមូលហេតុដែលវាមានពណ៌ក្រហម។) ហើយសម្រាប់ចម្លើយយើងត្រូវការមុំមួយ ដែលវាស់បានត្រឹមត្រូវពីអ័ក្សពាក់កណ្តាលវិជ្ជមាន OX ពោលគឺឧ។ ពីមុំ 0 ដឺក្រេ។
យើងដាក់ទស្សន៍ទ្រនិចលើគំនូរ ហើយមើលអ្វីៗគ្រប់យ៉ាង។ ខ្ញុំបានដកជ្រុងទីមួយចេញ ដើម្បីកុំឱ្យរូបភាពមានភាពស្មុគស្មាញ។ មុំដែលយើងចាប់អារម្មណ៍ (គូរជាពណ៌បៃតង) នឹងស្មើនឹង៖
π − x
X យើងដឹងរឿងនេះ π / ៦ . ដូច្នេះមុំទីពីរនឹងមានៈ
π − π / 6 = 5π / 6
ជាថ្មីម្តងទៀត យើងចងចាំអំពីការបន្ថែមបដិវត្តន៍ពេញលេញ ហើយសរសេរចម្លើយស៊េរីទីពីរ៖
x 2 = 5π / 6 + 2π n, n ∈ Z
អស់ហើយ។ ចម្លើយពេញលេញមានពីរស៊េរីនៃឫស៖
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = 5π / 6 + 2π n, n ∈ Z
សមីការតង់សង់ និងកូតង់សង់អាចត្រូវបានដោះស្រាយយ៉ាងងាយស្រួលដោយប្រើគោលការណ៍ទូទៅដូចគ្នាសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រ។ ប្រសិនបើអ្នកដឹងពីរបៀបគូរតង់សង់ និងកូតង់សង់នៅលើរង្វង់ត្រីកោណមាត្រ។
ក្នុងឧទាហរណ៍ខាងលើ ខ្ញុំបានប្រើតារាងតម្លៃនៃស៊ីនុស និងកូស៊ីនុស៖ ០.៥។ ទាំងនោះ។ អត្ថន័យមួយក្នុងចំណោមអត្ថន័យទាំងនោះដែលសិស្សដឹង ត្រូវតែ។ឥឡូវនេះសូមពង្រីកសមត្ថភាពរបស់យើងទៅ តម្លៃផ្សេងទៀតទាំងអស់។សម្រេចចិត្ត ដូច្នេះសម្រេចចិត្ត!)
ដូច្នេះ ឧបមាថា យើងត្រូវដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រនេះ៖
មិនមានតម្លៃកូស៊ីនុសបែបនេះនៅក្នុងតារាងខ្លីទេ។ យើងព្រងើយកន្តើយចំពោះការពិតដ៏អាក្រក់នេះ។ គូររង្វង់មួយ សម្គាល់ 2/3 នៅលើអ័ក្សកូស៊ីនុស ហើយគូរមុំដែលត្រូវគ្នា។ យើងទទួលបានរូបភាពនេះ។
សូមក្រឡេកមើលដំបូងនៅមុំក្នុងត្រីមាសទីមួយ។ បើយើងដឹងថា x ស្មើនឹងអ្វី យើងនឹងសរសេរចម្លើយភ្លាមៗ! យើងមិនដឹងទេ… បរាជ័យ!? ស្ងប់ស្ងាត់! គណិតវិទ្យាមិនទុកឲ្យប្រជាជនខ្លួនជួបបញ្ហា! នាងបានមកជាមួយ arc cosines សម្រាប់ករណីនេះ។ មិនដឹង? ឥតប្រយោជន៍។ ស្វែងយល់ វាងាយស្រួលជាងអ្នកគិតច្រើន។ មិនមានអក្ខរាវិរុទ្ធតែមួយអំពី "អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្របញ្ច្រាស" នៅលើតំណនេះទេ... នេះគឺលើសលុបនៅក្នុងប្រធានបទនេះ។
ប្រសិនបើអ្នកដឹង គ្រាន់តែនិយាយទៅកាន់ខ្លួនអ្នកថា "X គឺជាមុំដែលកូស៊ីនុសស្មើនឹង 2/3"។ ហើយភ្លាមៗដោយនិយមន័យនៃ arc cosine យើងអាចសរសេរបាន៖
យើងចងចាំអំពីបដិវត្តន៍បន្ថែម ហើយសរសេរដោយស្ងប់ស្ងាត់នូវស៊េរីដំបូងនៃសមីការត្រីកោណមាត្ររបស់យើង៖
x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z
ស៊េរីទីពីរនៃឫសសម្រាប់មុំទីពីរគឺស្ទើរតែសរសេរដោយស្វ័យប្រវត្តិ។ អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺដូចគ្នា មានតែ X (arccos 2/3) នឹងមានដក៖
x 2 = − arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z
ហើយនោះហើយជាវា! នេះគឺជាចម្លើយត្រឹមត្រូវ។ សូម្បីតែងាយស្រួលជាងតម្លៃតារាង។ មិនចាំបាច់ចាំអ្វីទាំងអស់) ដោយវិធីនេះ អ្នកយកចិត្តទុកដាក់បំផុតនឹងសម្គាល់ឃើញថារូបភាពនេះបង្ហាញពីដំណោះស្រាយតាមរយៈ arc cosine នៅក្នុងខ្លឹមសារមិនខុសពីរូបភាពសម្រាប់សមីការ cosx = 0.5 ទេ។
យ៉ាងពិតប្រាកដ! គោលការណ៍ទូទៅនោះហើយជាមូលហេតុដែលជារឿងធម្មតា! ខ្ញុំបានគូររូបពីរដែលស្ទើរតែដូចគ្នាដោយចេតនា។ រង្វង់បង្ហាញយើងពីមុំ X ដោយកូស៊ីនុសរបស់វា។ ថាតើវាជាកូស៊ីនុសតារាងឬអត់គឺមិនស្គាល់សម្រាប់មនុស្សគ្រប់គ្នា។ តើមុំប្រភេទនេះជាអ្វី π / 3 ឬអ្វីដែលជាអ័ក្សកូស៊ីនុស - នោះអាស្រ័យលើយើងក្នុងការសម្រេចចិត្ត។
បទចម្រៀងដូចគ្នាជាមួយស៊ីនុស។ ឧទាហរណ៍:
គូសរង្វង់ម្តងទៀត សម្គាល់ស៊ីនុសស្មើ 1/3 គូរមុំ។ នេះជារូបភាពដែលយើងទទួលបាន៖
ហើយម្តងទៀតរូបភាពគឺស្ទើរតែដូចគ្នាទៅនឹងសមីការ sinx = 0.5 ។ជាថ្មីម្តងទៀតយើងចាប់ផ្តើមពីជ្រុងនៅត្រីមាសទីមួយ។ តើ X ស្មើនឹងអ្វី ប្រសិនបើស៊ីនុសរបស់វាគឺ 1/3? គ្មានបញ្ហា!
ឥឡូវនេះកញ្ចប់ដំបូងនៃឫសគឺរួចរាល់:
x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z
ចូរយើងដោះស្រាយជាមួយមុំទីពីរ។ ក្នុងឧទាហរណ៍ដែលមានតម្លៃតារាង ០.៥ វាស្មើនឹង៖
π − x
នៅទីនេះក៏ដូចគ្នាដែរ! មានតែ x ប៉ុណ្ណោះដែលខុសគ្នា, arcsin 1/3 ។ អីចឹង!? អ្នកអាចសរសេរកញ្ចប់ទីពីរនៃឫសដោយសុវត្ថិភាព៖
x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z
នេះគឺជាចម្លើយត្រឹមត្រូវទាំងស្រុង។ ទោះបីជាវាមើលទៅមិនសូវស្គាល់ក៏ដោយ។ ប៉ុន្តែវាច្បាស់ណាស់ ខ្ញុំសង្ឃឹមថា។ )
នេះជារបៀបដែលសមីការត្រីកោណមាត្រត្រូវបានដោះស្រាយដោយប្រើរង្វង់។ ផ្លូវនេះគឺច្បាស់ហើយអាចយល់បាន។ វាគឺជាគាត់ដែលរក្សាទុកនៅក្នុងសមីការត្រីកោណមាត្រជាមួយនឹងការជ្រើសរើសឫសនៅលើចន្លោះពេលដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងវិសមភាពត្រីកោណមាត្រ - ជាទូទៅពួកគេត្រូវបានដោះស្រាយស្ទើរតែជារង្វង់។ សរុបមក ក្នុងកិច្ចការណាដែលពិបាកជាងការងារស្តង់ដារ។
តោះយកចំណេះដឹងទៅអនុវត្ត?)
ដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រ៖
ទីមួយ សាមញ្ញជាង ត្រង់ពីមេរៀននេះ។
ឥឡូវនេះវាកាន់តែស្មុគស្មាញ។
ព័ត៌មានជំនួយ៖ នៅទីនេះអ្នកនឹងត្រូវគិតអំពីរង្វង់។ ផ្ទាល់ខ្លួន។ )
ហើយឥឡូវនេះពួកគេមានលក្ខណៈសាមញ្ញខាងក្រៅ ... ពួកគេក៏ត្រូវបានគេហៅថាករណីពិសេសផងដែរ។
sinx = 0
sinx = 1
cosx = 0
cosx = -1
ព័ត៌មានជំនួយ៖ នៅទីនេះ អ្នកត្រូវស្វែងយល់ក្នុងរង្វង់មួយដែលមានចម្លើយពីរស៊េរី និងកន្លែងណាមានមួយ... និងរបៀបសរសេរលេខមួយជំនួសឱ្យចម្លើយពីរស៊េរី។ បាទ/ចាស ដើម្បីកុំឱ្យឫសតែមួយពីចំនួនគ្មានកំណត់ត្រូវបាត់បង់!)
ជាការប្រសើរណាស់, សាមញ្ញណាស់):
sinx = 0,3
cosx = π
tgx = 1,2
ctgx = 3,7
ព័ត៌មានជំនួយ៖ នៅទីនេះអ្នកត្រូវដឹងថាតើ arcsine និង arccosine ជាអ្វី? អ្វីទៅជា arctangent, arccotangent? និយមន័យសាមញ្ញបំផុត។ ប៉ុន្តែអ្នកមិនចាំបាច់ចងចាំតម្លៃតារាងណាមួយទេ!)
ចម្លើយគឺពិតជារញ៉េរញ៉ៃ)៖
x ១= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x ២= π - arcsin0.3 + 2
អ្វីៗមិនដំណើរការទេ? កើតឡើង។ អានមេរៀនម្តងទៀត។ តែប៉ុណ្ណោះ ដោយគិត(មានពាក្យហួសសម័យបែបនេះ...) ហើយធ្វើតាមតំណ។ តំណភ្ជាប់សំខាន់គឺអំពីរង្វង់។ បើគ្មានវាទេ ត្រីកោណមាត្រគឺដូចជាការឆ្លងកាត់ផ្លូវដែលបិទភ្នែក។ ពេលខ្លះវាដំណើរការ។ )
ប្រសិនបើអ្នកចូលចិត្តគេហទំព័រនេះ...
និយាយអីញ្ចឹង ខ្ញុំមានគេហទំព័រគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ពីរបីទៀតសម្រាប់អ្នក។ )
អ្នកអាចអនុវត្តការដោះស្រាយឧទាហរណ៍ និងស្វែងរកកម្រិតរបស់អ្នក។ ការធ្វើតេស្តជាមួយការផ្ទៀងផ្ទាត់ភ្លាមៗ។ តោះរៀនដោយចំណាប់អារម្មណ៍!)
អ្នកអាចស្គាល់មុខងារ និងនិស្សន្ទវត្ថុ។
គំនិតនៃការដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រ។
- ដើម្បីដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រ បម្លែងវាទៅជាសមីការត្រីកោណមាត្រមូលដ្ឋានមួយ ឬច្រើន។ ការដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រទីបំផុតមកដល់ការដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រមូលដ្ឋានទាំងបួន។
ការដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រមូលដ្ឋាន។
- មានសមីការត្រីកោណមាត្រមូលដ្ឋានចំនួន ៤ ប្រភេទ៖
- sin x = a; cos x = ក
- tan x = a; ctg x = ក
- ការដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រជាមូលដ្ឋានពាក់ព័ន្ធនឹងការមើលទីតាំង x ផ្សេងគ្នានៅលើរង្វង់ឯកតា ក៏ដូចជាការប្រើតារាងបំប្លែង (ឬម៉ាស៊ីនគិតលេខ)។
- ឧទាហរណ៍ 1. sin x = 0.866 ។ ដោយប្រើតារាងបំប្លែង (ឬម៉ាស៊ីនគិតលេខ) អ្នកនឹងទទួលបានចម្លើយ៖ x = π/3 ។ រង្វង់ឯកតាផ្តល់ចម្លើយមួយទៀត៖ 2π/3 ។ ចងចាំ៖ អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រទាំងអស់គឺតាមកាលកំណត់ មានន័យថាតម្លៃរបស់វាកើតឡើងម្តងទៀត។ ឧទាហរណ៍ ចន្លោះពេលនៃ sin x និង cos x គឺ 2πn ហើយរយៈពេលនៃ tg x និង ctg x គឺ πn ។ ដូច្នេះចម្លើយត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោមៈ
- x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn ។
- ឧទាហរណ៍ 2. cos x = −1/2 ។ ដោយប្រើតារាងបំប្លែង (ឬម៉ាស៊ីនគិតលេខ) អ្នកនឹងទទួលបានចម្លើយ៖ x = 2π/3 ។ រង្វង់ឯកតាផ្តល់ចម្លើយមួយទៀត៖ -2π/3 ។
- x1 = 2π/3 + 2π; x2 = −2π/3 + 2π ។
- ឧទាហរណ៍ 3. tg (x − π/4) = 0 ។
- ចម្លើយ៖ x = π/4 + π n ។
- ឧទាហរណ៍ 4. ctg 2x = 1.732 ។
- ចម្លើយ៖ x = π/12 + πn ។
ការបំប្លែងដែលប្រើក្នុងការដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រ។
- ដើម្បីបំប្លែងសមីការត្រីកោណមាត្រ ការបំប្លែងពិជគណិត (កត្តាកត្តា ការកាត់បន្ថយពាក្យដូចគ្នា ។ល។) និងអត្តសញ្ញាណត្រីកោណមាត្រត្រូវបានប្រើប្រាស់។
- ឧទាហរណ៍ 5. ការប្រើអត្តសញ្ញាណត្រីកោណមាត្រ សមីការអំពើបាប x + sin 2x + sin 3x = 0 ត្រូវបានបំប្លែងទៅជាសមីការ 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0។ ដូច្នេះ សមីការត្រីកោណមាត្រមូលដ្ឋានខាងក្រោមចាំបាច់ត្រូវដោះស្រាយ៖ cos x = 0; sin(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0 ។
-
ការស្វែងរកមុំដោយ តម្លៃដែលគេស្គាល់មុខងារ។
- មុននឹងរៀនពីរបៀបដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រ អ្នកត្រូវរៀនពីរបៀបស្វែងរកមុំដោយប្រើតម្លៃមុខងារដែលគេស្គាល់។ នេះអាចត្រូវបានធ្វើដោយប្រើតារាងបំប្លែងឬម៉ាស៊ីនគិតលេខ។
- ឧទាហរណ៍៖ cos x = 0.732 ។ ម៉ាស៊ីនគិតលេខនឹងផ្តល់ចម្លើយ x = 42.95 ដឺក្រេ។ រង្វង់ឯកតានឹងផ្តល់មុំបន្ថែម ដែលកូស៊ីនុសគឺ 0.732 ផងដែរ។
-
ដាក់ដំណោះស្រាយមួយឡែកនៅលើរង្វង់ឯកតា។
- អ្នកអាចកំណត់ដំណោះស្រាយចំពោះសមីការត្រីកោណមាត្រនៅលើរង្វង់ឯកតា។ ដំណោះស្រាយចំពោះសមីការត្រីកោណមាត្រនៅលើរង្វង់ឯកតាគឺជាចំនុចកំពូលនៃពហុកោណធម្មតា។
- ឧទាហរណ៍៖ ដំណោះស្រាយ x = π/3 + πn/2 នៅលើរង្វង់ឯកតាតំណាងឱ្យចំនុចកំពូលនៃការ៉េ។
- ឧទាហរណ៍៖ ដំណោះស្រាយ x = π/4 + πn/3 នៅលើរង្វង់ឯកតាតំណាងឱ្យចំនុចកំពូលនៃឆកោនធម្មតា។
-
វិធីសាស្រ្តដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រ។
- ប្រសិនបើសមីការត្រីកោណមាត្រដែលបានផ្តល់ឱ្យមានអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រតែមួយ សូមដោះស្រាយសមីការនោះជាសមីការត្រីកោណមាត្រមូលដ្ឋាន។ ប្រសិនបើសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យរួមបញ្ចូលអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រពីរ ឬច្រើន នោះមានវិធី 2 សម្រាប់ដោះស្រាយសមីការបែបនេះ (អាស្រ័យលើលទ្ធភាពនៃការបំប្លែងរបស់វា)។
- វិធីសាស្រ្ត 1 ។
- បំប្លែងសមីការនេះទៅជាសមីការនៃទម្រង់៖ f(x)*g(x)*h(x) = 0, ដែល f(x), g(x), h(x) គឺជាសមីការត្រីកោណមាត្រមូលដ្ឋាន។
- ឧទាហរណ៍ 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
- ដំណោះស្រាយ។ ដោយប្រើរូបមន្តមុំទ្វេ sin 2x = 2 * sin x * cos x ជំនួស sin 2x ។
- 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. ឥឡូវដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រមូលដ្ឋានពីរ៖ cos x = 0 និង (sin x + 1) = 0 ។
- ឧទាហរណ៍ 7. cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
- ដំណោះស្រាយ៖ ដោយប្រើអត្តសញ្ញាណត្រីកោណមាត្រ បំប្លែងសមីការនេះទៅជាសមីការនៃទម្រង់៖ cos 2x(2cos x + 1) = 0 ។ ឥឡូវដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រមូលដ្ឋានពីរ៖ cos 2x = 0 និង (2cos x + 1) = 0 ។
- ឧទាហរណ៍ 8. sin x − sin 3x = cos 2x ។ (០< x < 2π)
- ដំណោះស្រាយ៖ ដោយប្រើអត្តសញ្ញាណត្រីកោណមាត្រ បំប្លែងសមីការនេះទៅជាសមីការនៃទម្រង់៖ -cos 2x*(2sin x + 1) = 0 ។ ឥឡូវដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រមូលដ្ឋានពីរ៖ cos 2x = 0 និង (2sin x + 1) = 0 .
- វិធីសាស្រ្ត 2 ។
- បំប្លែងសមីការត្រីកោណមាត្រដែលបានផ្តល់ឱ្យទៅជាសមីការដែលមានអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រតែមួយ។ បន្ទាប់មកជំនួសអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រនេះដោយមិនស្គាល់មួយចំនួន ឧទាហរណ៍ t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tan x = t; tg (x/2) = t ។ល។)។
- ឧទាហរណ៍ 9. 3sin^2 x − 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
- ដំណោះស្រាយ។ នៅក្នុងសមីការនេះ ជំនួស (cos^2 x) ជាមួយ (1 - sin^2 x) (យោងទៅតាមអត្តសញ្ញាណ)។ សមីការបំប្លែងគឺ៖
- 3sin^2 x − 2 + 2sin^2 x − 4sin x − 7 = 0. ជំនួស sin x ដោយ t ។ ឥឡូវនេះសមីការមើលទៅដូច៖ 5t^2 - 4t - 9 = 0 ។ នេះគឺជាសមីការការ៉េដែលមានឫសពីរ៖ t1 = -1 និង t2 = 9/5 ។ ឫសទីពីរ t2 មិនពេញចិត្តជួរមុខងារ (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
- ឧទាហរណ៍ 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
- ដំណោះស្រាយ។ ជំនួស tg x ជាមួយ t ។ សរសេរសមីការដើមឡើងវិញដូចខាងក្រោម៖ (2t + 1)(t^2 − 1) = 0. ឥឡូវរក t ហើយបន្ទាប់មករក x សម្រាប់ t = tan x ។
- ប្រសិនបើសមីការត្រីកោណមាត្រដែលបានផ្តល់ឱ្យមានអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រតែមួយ សូមដោះស្រាយសមីការនោះជាសមីការត្រីកោណមាត្រមូលដ្ឋាន។ ប្រសិនបើសមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យរួមបញ្ចូលអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រពីរ ឬច្រើន នោះមានវិធី 2 សម្រាប់ដោះស្រាយសមីការបែបនេះ (អាស្រ័យលើលទ្ធភាពនៃការបំប្លែងរបស់វា)។
នៅពេលដោះស្រាយច្រើន។ បញ្ហាគណិតវិទ្យាជាពិសេសអ្វីដែលកើតឡើងមុនថ្នាក់ទី 10 លំដាប់នៃសកម្មភាពដែលបានអនុវត្តដែលនឹងនាំទៅដល់គោលដៅត្រូវបានកំណត់យ៉ាងច្បាស់។ បញ្ហាបែបនេះរួមមានឧទាហរណ៍ សមីការលីនេអ៊ែរ និងចតុកោណ លីនេអ៊ែរ និង វិសមភាពបួនជ្រុង, សមីការប្រភាគ និងសមីការដែលកាត់បន្ថយទៅជាចតុកោណ។ គោលការណ៍នៃការដោះស្រាយបញ្ហានីមួយៗដែលបានរៀបរាប់ដោយជោគជ័យមានដូចខាងក្រោម៖ អ្នកត្រូវបង្កើតបញ្ហាប្រភេទណាដែលអ្នកកំពុងដោះស្រាយ ចងចាំនូវលំដាប់សកម្មភាពចាំបាច់ដែលនឹងនាំទៅរកលទ្ធផលដែលចង់បាន ពោលគឺឧ។ ឆ្លើយ ហើយធ្វើតាមជំហានទាំងនេះ។
វាច្បាស់ណាស់ថាជោគជ័យ ឬបរាជ័យក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាជាក់លាក់មួយអាស្រ័យជាចម្បងទៅលើរបៀបដែលប្រភេទនៃសមីការដែលត្រូវបានដោះស្រាយត្រូវបានកំណត់ឱ្យបានត្រឹមត្រូវ របៀបដែលលំដាប់នៃគ្រប់ដំណាក់កាលនៃដំណោះស្រាយរបស់វាត្រូវបានបង្កើតឡើងវិញ។ ជាការពិតណាស់ ក្នុងករណីនេះ ចាំបាច់ត្រូវមានជំនាញដើម្បីធ្វើការផ្លាស់ប្តូរ និងការគណនាដូចគ្នាបេះបិទ។
ស្ថានភាពគឺខុសគ្នាជាមួយ សមីការត្រីកោណមាត្រ។វាមិនពិបាកទាល់តែសោះក្នុងការបង្កើតការពិតដែលថាសមីការគឺត្រីកោណមាត្រ។ ការលំបាកកើតឡើងនៅពេលកំណត់លំដាប់នៃសកម្មភាពដែលនឹងនាំទៅរកចម្លើយត្រឹមត្រូវ។
ដោយ រូបរាងសមីការ ជួនកាលវាពិបាកក្នុងការកំណត់ប្រភេទរបស់វា។ ហើយដោយមិនដឹងពីប្រភេទនៃសមីការ វាស្ទើរតែមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការជ្រើសរើសត្រឹមត្រូវពីរូបមន្តត្រីកោណមាត្ររាប់សិប។
ដើម្បីដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រ អ្នកត្រូវព្យាយាម៖
1. នាំយកមុខងារទាំងអស់ដែលបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងសមីការទៅជា "មុំដូចគ្នា";
2. នាំយកសមីការទៅជា "មុខងារដូចគ្នាបេះបិទ";
3. លាតត្រដាង ខាងឆ្វេងសមីការកត្តា។ល។
ចូរយើងពិចារណា វិធីសាស្រ្តជាមូលដ្ឋានសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រ។
I. ការកាត់បន្ថយដល់សមីការត្រីកោណមាត្រសាមញ្ញបំផុត។
ដ្យាក្រាមដំណោះស្រាយ
ជំហានទី 1 ។បង្ហាញអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃសមាសធាតុដែលគេស្គាល់។
ជំហានទី 2ស្វែងរកអាគុយម៉ង់អនុគមន៍ដោយប្រើរូបមន្ត៖
cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ ។
sin x = a; x = (−1) n arcsin a + πn, n Є Z ។
tan x = a; x = arctan a + πn, n Є Z ។
ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z ។
ជំហានទី 3ស្វែងរកអថេរដែលមិនស្គាល់។
ឧទាហរណ៍។
2 cos(3x − π/4) = -√2 ។
ដំណោះស្រាយ។
1) cos(3x − π/4) = -√2/2 ។
2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;
3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z ។
3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;
x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;
x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z ។
ចម្លើយ៖ ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z ។
II. ការជំនួសអថេរ
ដ្យាក្រាមដំណោះស្រាយ
ជំហានទី 1 ។កាត់បន្ថយសមីការទៅជាទម្រង់ពិជគណិតដោយគោរពតាមអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រមួយ។
ជំហានទី 2សម្គាល់មុខងារលទ្ធផលដោយអថេរ t (បើចាំបាច់ ណែនាំការរឹតបន្តឹងលើ t) ។
ជំហានទី 3សរសេរ និងដោះស្រាយសមីការពិជគណិតលទ្ធផល។
ជំហានទី 4 ។ធ្វើការជំនួសបញ្ច្រាស។
ជំហានទី 5ដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រសាមញ្ញបំផុត។
ឧទាហរណ៍។
2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0 ។
ដំណោះស្រាយ។
1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;
2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0 ។
2) ឲ្យ sin (x/2) = t, where |t| ≤ ១.
3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;
t = 1 ឬ e = -3/2, មិនបំពេញលក្ខខណ្ឌ |t| ≤ ១.
4) sin(x/2) = 1.
5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;
x = π + 4πn, n Є Z ។
ចម្លើយ៖ x = π + 4πn, n Є Z ។
III. វិធីសាស្រ្តកាត់បន្ថយលំដាប់សមីការ
ដ្យាក្រាមដំណោះស្រាយ
ជំហានទី 1 ។ជំនួសសមីការនេះជាមួយលីនេអ៊ែរ ដោយប្រើរូបមន្តសម្រាប់កាត់បន្ថយកម្រិត៖
sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);
cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);
tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x) ។
ជំហានទី 2ដោះស្រាយសមីការលទ្ធផលដោយប្រើវិធីសាស្រ្ត I និង II ។
ឧទាហរណ៍។
cos 2x + cos 2 x = 5/4 ។
ដំណោះស្រាយ។
1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4 ។
2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;
3/2 cos 2x = 3/4;
2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;
x = ±π/6 + πn, n Є Z ។
ចម្លើយ៖ x = ±π/6 + πn, n Є Z ។
IV. សមីការដូចគ្នា
ដ្យាក្រាមដំណោះស្រាយ
ជំហានទី 1 ។កាត់បន្ថយសមីការនេះទៅជាទម្រង់
a) sin x + b cos x = 0 (សមីការដូចគ្នានៃដឺក្រេទីមួយ)
ឬទិដ្ឋភាព
b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (សមីការដូចគ្នានៃដឺក្រេទីពីរ) ។
ជំហានទី 2ចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយ
ក) cos x ≠ 0;
ខ) cos 2 x ≠ 0;
ហើយទទួលបានសមីការសម្រាប់ tan x៖
ក) a tan x + b = 0;
b) a tan 2 x + b arctan x + c = 0 ។
ជំហានទី 3ដោះស្រាយសមីការដោយប្រើវិធីសាស្ត្រដែលគេស្គាល់។
ឧទាហរណ៍។
5sin 2 x + 3sin x cos x − 4 = 0 ។
ដំណោះស្រាយ។
1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x − 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;
5sin 2 x + 3sin x · cos x − 4sin² x − 4cos 2 x = 0;
sin 2 x + 3sin x · cos x − 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0 ។
2) tg 2 x + 3tg x − 4 = 0 ។
3) អនុញ្ញាតឱ្យ tg x = t បន្ទាប់មក
t 2 + 3t − 4 = 0;
t = 1 ឬ t = -4 ដែលមានន័យថា
tg x = 1 ឬ tg x = −4 ។
ពីសមីការទីមួយ x = π/4 + πn, n Є Z; ពីសមីការទីពីរ x = -arctg 4 + πk, k Є Z ។
ចម្លើយ៖ x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z ។
V. វិធីសាស្រ្តបំប្លែងសមីការដោយប្រើរូបមន្តត្រីកោណមាត្រ
ដ្យាក្រាមដំណោះស្រាយ
ជំហានទី 1 ។ដោយប្រើរូបមន្តត្រីកោណមាត្រដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់ កាត់បន្ថយសមីការនេះទៅជាសមីការដែលដោះស្រាយដោយវិធីសាស្រ្ត I, II, III, IV ។
ជំហានទី 2ដោះស្រាយសមីការលទ្ធផលដោយប្រើវិធីសាស្ត្រដែលគេស្គាល់។
ឧទាហរណ៍។
sin x + sin 2x + sin 3x = 0 ។
ដំណោះស្រាយ។
1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;
2sin 2x cos x + sin 2x = 0 ។
2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;
sin 2x = 0 ឬ 2cos x + 1 = 0;
ពីសមីការទីមួយ 2x = π/2 + πn, n Є Z; ពីសមីការទីពីរ cos x = -1/2 ។
យើងមាន x = π/4 + πn/2, n Є Z; ពីសមីការទីពីរ x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z ។
ជាលទ្ធផល x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z ។
ចម្លើយ៖ x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z ។
សមត្ថភាព និងជំនាញក្នុងការដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រគឺខ្លាំងណាស់ សំខាន់ ការអភិវឌ្ឍន៍របស់ពួកគេទាមទារការខិតខំប្រឹងប្រែងយ៉ាងសំខាន់ ទាំងផ្នែកសិស្ស និងផ្នែកគ្រូ។
បញ្ហាជាច្រើននៃស្តេរ៉េអូមេទ្រី រូបវិទ្យា ជាដើម ត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងដំណោះស្រាយនៃសមីការត្រីកោណមាត្រ ដំណើរការនៃការដោះស្រាយបញ្ហាបែបនេះបង្កប់នូវចំណេះដឹង និងជំនាញជាច្រើនដែលទទួលបានដោយការសិក្សាធាតុនៃត្រីកោណមាត្រ។
សមីការត្រីកោណមាត្រយក កន្លែងសំខាន់នៅក្នុងដំណើរការនៃការបង្រៀនគណិតវិទ្យា និងការអភិវឌ្ឍន៍បុគ្គលិកលក្ខណៈទូទៅ។
នៅតែមានសំណួរ? មិនដឹងពីរបៀបដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រមែនទេ?
ដើម្បីទទួលបានជំនួយពីគ្រូ - ។
មេរៀនដំបូងគឺឥតគិតថ្លៃ!
blog.site នៅពេលចម្លងសម្ភារៈទាំងស្រុង ឬមួយផ្នែក តំណភ្ជាប់ទៅកាន់ប្រភពដើមគឺត្រូវបានទាមទារ។
![mob_info](https://ahaus-tex.ru/wp-content/themes/kuzov/pic/mob_info.png)