Наличието на аритметична прогресия в разностните уравнения. Как да намерим разликата на аритметична прогресия

Темата "аритметична прогресия" се изучава в курса по обща алгебра в училищата в 9. клас. Тази тема е важна за по-нататъшно задълбочено изучаване на математиката на числовите серии. В тази статия ще се запознаем с аритметичната прогресия, нейната разлика, както и типичните проблеми, които учениците могат да срещнат.

Понятието алгебрична прогресия

Числовата прогресия е поредица от числа, в която всеки следващ елемент може да бъде получен от предишния, ако приложим някакъв математически закон. Известни са две прости такивапрогресия: геометрична и аритметична, която се нарича още алгебрична. Нека го разгледаме по-подробно.

Нека си представим някакво рационално число, обозначаваме го със символа a 1, където индексът показва неговия пореден номер в разглежданата серия. Нека добавим друго число към 1 и да го наречем d. Тогава вторият елемент от редицата може да се отрази по следния начин: a 2 = a 1 + d. Сега добавете d отново, получаваме: a 3 = a 2 +d. Продължавайки тази математическа операция, можете да получите цяла поредица от числа, които ще се наричат аритметична прогресия.

Както може да се разбере от горното, за да намерите n-тия елемент от тази последователност, трябва да използвате формулата: a n = a 1 + (n-1)*d. Наистина, замествайки n=1 в израза, получаваме a 1 = a 1, ако n = 2, тогава формулата следва: a 2 = a 1 + 1*d и т.н.

Например, ако разликата на аритметичната прогресия е 5 и a 1 = 1, това означава, че числовата серия от въпросния тип има формата: 1, 6, 11, 16, 21, ... Както вие можете да видите, всеки от неговите членове е с 5 повече от предишния.

Формули за разлика в аритметична прогресия

От горната дефиниция на разглежданата поредица от числа следва, че за да я дефинирате, трябва да знаете две числа: a 1 и d. Последното се нарича разлика на тази прогресия. Той еднозначно определя поведението на цялата серия. Наистина, ако d е положителен, тогава редицата от числа непрекъснато ще нараства; напротив, ако d е отрицателна, числата в серията ще нарастват само по абсолютна стойност, докато тяхната абсолютна стойност ще намалява с увеличаване на числото n.

Каква е разликата в аритметичната прогресия? Нека разгледаме две основни формули, които се използват за изчисляване на тази стойност:

d = a n+1 -a n, тази формула следва директно от дефиницията на разглежданата редица от числа.
d = (-a 1 +a n)/(n-1), този израз се получава, ако изразим d от формулата, дадена в предходния параграф на статията. Обърнете внимание, че този израз става недефиниран (0/0), ако n=1. Това се дължи на факта, че е необходимо да се познават поне 2 елемента от серията, за да се определи нейната разлика.

Тези две основни формули се използват за решаване на всякакви проблеми, включващи намиране на разликата на прогресия. Има обаче и друга формула, която също трябва да знаете.

Сума от първите елементи

Формулата, с която можете да определите сумата от произволен брой членове на алгебрична прогресия, според исторически доказателства, е получена за първи път от „принца“ на математиката през 18 век Карл Гаус. Немският учен, още като момче в начално училищеселско училище, забеляза, че за да добавите естествени числа в поредицата от 1 до 100, първо трябва да сумирате първия елемент и последния (резултантната стойност ще бъде равна на сумата от предпоследния и втория, предпоследния и третия елемент, и така нататък), а след това това число трябва да се умножи по броя на тези суми, тоест по 50.

Формулата, която отразява посочения резултат в конкретен пример, може да се обобщи за произволен случай. Ще изглежда така: S n = n/2*(a n +a 1). Обърнете внимание, че за намиране на посочената стойност не е необходимо познаване на разликата d, ако са известни два члена на прогресията (a n и a 1).

Пример №1. Определете разликата, като знаете два члена от редицата a1 и an

Ще ви покажем как да прилагате формулите, споменати по-горе в статията. Нека дадем прост пример: разликата в аритметичната прогресия е неизвестна, необходимо е да се определи на какво ще бъде равна, ако a 13 = -5,6 и a 1 = -12,1.

Тъй като знаем стойностите на два елемента от числова последователност и единият от тях е първото число, можем да използваме формула № 2, за да определим разликата d. Имаме: d =(-1*(-12,1)+(-5,6))/12 = 0,54167. В израза използвахме стойността n=13, тъй като членът с този конкретен пореден номер е известен.

Получената разлика показва, че прогресията се увеличава, въпреки факта, че елементите, дадени в изложението на проблема, имат отрицателно значение. Може да се види, че a 13 >a 1, въпреки че |a 13 |<|a 1 |.

Пример №2. Положителни условия на прогресията в пример №1

Нека използваме резултата, получен в предишния пример, за да решим нова задача. Тя се формулира по следния начин: от кой пореден номер ще започнат да приемат положителни стойности елементите на прогресията в пример № 1?

Както беше показано, прогресията, в която a 1 = -12.1 и d = 0.54167, нараства, следователно от определено число числата ще започнат да приемат само положителни стойности. За да се определи това число n, е необходимо да се реши просто неравенство, което се записва математически, както следва: a n >0 или, използвайки подходящата формула, пренаписваме неравенството: a 1 + (n-1)*d>0. Необходимо е да се намери неизвестното n, нека го изразим: n>-1*a 1 /d + 1. Сега остава да заместим известни стойностиразликата и първия член на редицата. Получаваме: n>-1*(-12.1) /0.54167 + 1= 23.338 или n>23.338. Тъй като n може да приема само цели числа, от полученото неравенство следва, че всички членове в серията, които имат число, по-голямо от 23, ще бъдат положителни.

Нека проверим отговора, който получихме, като използваме горната формула, за да изчислим 23-ия и 24-ия елемент от тази аритметична прогресия. Имаме: a 23 = -12,1 + 22*0,54167 = -0,18326 (отрицателно число); a 24 =-12,1 + 23*0,54167 =0,3584 ( положителна стойност). По този начин полученият резултат е правилен: започвайки от n=24, всички членове на числовата серия ще бъдат по-големи от нула.

Пример №3. Колко трупи ще се поберат?

Нека ви представим един интересен проблем: по време на дърводобив беше решено нарязаните трупи да се подреждат един върху друг, както е показано на фигурата по-долу. Колко трупи могат да бъдат подредени по този начин, като се знае, че ще се поберат общо 10 реда?

Едно интересно нещо може да се забележи при този метод на сгъване на трупи: всеки следващ ред ще съдържа един труп по-малко от предишния, тоест има алгебрична прогресия, чиято разлика е d = 1. Ако приемем, че броят на трупите във всеки ред е член на тази прогресия и също като вземем предвид, че a 1 = 1 (само един труп ще се побере в самия връх), намираме числото a 10. Имаме: a 10 = 1 + 1*(10-1) = 10. Тоест в 10-ия ред, който лежи на земята, ще има 10 трупи.

Общата сума на тази „пирамидална“ структура може да се получи чрез използване на формулата на Гаус. Получаваме: S 10 = 10/2*(10+1) = 55 трупи.

При изучаване на алгебра в средно училище(9 клас) една от важните теми е изучаването на числови редици, които включват прогресии - геометрична и аритметична. В тази статия ще разгледаме аритметична прогресия и примери с решения.

Какво е аритметична прогресия?

За да се разбере това, е необходимо да се дефинира въпросната прогресия, както и да се предоставят основните формули, които ще се използват по-късно при решаването на проблеми.

Аритметиката или е набор от подредени рационални числа, всеки член от които се различава от предишния с някаква постоянна стойност. Тази стойност се нарича разлика. Тоест, познавайки всеки член на подредена серия от числа и разликата, можете да възстановите цялата аритметична прогресия.

Да дадем пример. Следната последователност от числа ще бъде аритметична прогресия: 4, 8, 12, 16, ..., тъй като разликата в този случай е 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Но наборът от числа 3, 5, 8, 12, 17 вече не може да се припише на разглеждания тип прогресия, тъй като разликата за него не е постоянна стойност (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Важни формули

Нека сега представим основните формули, които ще са необходими за решаване на задачи с помощта на аритметична прогресия. Нека означим със символа a n n-ти членпоследователности, където n е цяло число. Разликата означаваме с латинската буква d. Тогава са валидни следните изрази:

За определяне на стойността на n-тия член е подходяща следната формула: a n = (n-1)*d+a 1 .
За да се определи сумата от първите n члена: S n = (a n +a 1)*n/2.

За да разберете всички примери за аритметична прогресия с решения в 9 клас, достатъчно е да запомните тези две формули, тъй като всички проблеми от разглеждания тип се основават на тяхното използване. Трябва също да запомните, че разликата в прогресията се определя по формулата: d = a n - a n-1.

Пример #1: намиране на неизвестен член

Нека дадем прост пример за аритметична прогресия и формулите, които трябва да се използват за нейното решаване.

Нека е дадена редицата 10, 8, 6, 4, ..., трябва да намерите пет члена в нея.

От условията на задачата вече следва, че първите 4 члена са известни. Петият може да се дефинира по два начина:

Нека първо изчислим разликата. Имаме: d = 8 - 10 = -2. По същия начин можете да вземете всеки двама други членове, стоящи един до друг. Например d = 4 - 6 = -2. Тъй като е известно, че d = a n - a n-1, тогава d = a 5 - a 4, от което получаваме: a 5 = a 4 + d. Заменяме известните стойности: a 5 = 4 + (-2) = 2.
Вторият метод също изисква познаване на разликата във въпросната прогресия, така че първо трябва да я определите, както е показано по-горе (d = -2). Знаейки, че първият член a 1 = 10, използваме формулата за числото n на редицата. Имаме: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2*n. Като заместим n = 5 в последния израз, получаваме: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Както можете да видите, и двете решения доведоха до един и същ резултат. Обърнете внимание, че в този пример прогресивната разлика d е отрицателна стойност. Такива последователности се наричат намаляващи, тъй като всеки следващ член е по-малък от предишния.

Пример #2: разлика в прогресията

Сега нека усложним малко проблема, дайте пример как да намерите разликата на аритметична прогресия.

Известно е, че в някаква алгебрична прогресия първият член е равен на 6, а 7-ият член е равен на 18. Необходимо е да се намери разликата и да се възстанови тази последователност до 7-ия член.

Нека използваме формулата, за да определим неизвестния член: a n = (n - 1) * d + a 1 . Нека заместим в него известните данни от условието, тоест числата a 1 и a 7, имаме: 18 = 6 + 6 * d. От този израз можете лесно да изчислите разликата: d = (18 - 6) /6 = 2. Така отговорихме на първата част от задачата.

За да възстановите последователността до 7-ия член, трябва да използвате дефиницията на алгебрична прогресия, тоест a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d и т.н. В резултат на това възстановяваме цялата последователност: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

Пример № 3: съставяне на прогресия

Нека усложним проблема още повече. Сега трябва да отговорим на въпроса как да намерим аритметична прогресия. Може да се даде следният пример: дадени са две числа, например - 4 и 5. Необходимо е да се създаде алгебрична прогресия, така че между тях да се поставят още три члена.

Преди да започнете да решавате този проблем, трябва да разберете какво място ще заемат дадените числа в бъдещата прогресия. Тъй като между тях ще има още три члена, тогава a 1 = -4 и a 5 = 5. След като установихме това, преминаваме към задачата, която е подобна на предишната. Отново, за n-тия член използваме формулата, получаваме: a 5 = a 1 + 4 * d. От: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Това, което имаме тук, не е цяло число на разликата, а е рационално число, така че формулите за алгебричната прогресия остават същите.

Сега нека добавим намерената разлика към 1 и да възстановим липсващите членове на прогресията. Получаваме: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, което съвпадна с условията на проблема.

Пример № 4: първи член на прогресията

Нека продължим да даваме примери за аритметична прогресия с решения. Във всички предишни задачи първото число от алгебричната прогресия беше известно. Сега нека разгледаме задача от различен тип: нека са дадени две числа, където 15 = 50 и 43 = 37. Необходимо е да се намери с кое число започва тази редица.

Използваните досега формули предполагат познаване на 1 и d. В изложението на проблема не се знае нищо за тези числа. Въпреки това ще запишем изрази за всеки термин, за който има налична информация: a 15 = a 1 + 14 * d и a 43 = a 1 + 42 * d. Получихме две уравнения, в които има 2 неизвестни величини (a 1 и d). Това означава, че задачата се свежда до решаване на система от линейни уравнения.

Най-лесният начин за решаване на тази система е да изразите 1 във всяко уравнение и след това да сравните получените изрази. Първо уравнение: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; второ уравнение: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Приравнявайки тези изрази, получаваме: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, откъдето разликата d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (посочени са само 3 знака след десетичната запетая).

Като знаете d, можете да използвате който и да е от двата израза по-горе за 1. Например, първо: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.

Ако имате съмнения относно получения резултат, можете да го проверите, например да определите 43-тия член на прогресията, който е посочен в условието. Получаваме: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Малката грешка се дължи на факта, че при изчисленията е използвано закръгляване до хилядни.

Пример № 5: сума

Сега нека да разгледаме няколко примера с решения за сумата на аритметична прогресия.

Нека е дадена числова прогресия от следния вид: 1, 2, 3, 4, ...,. Как да изчислим сбора на 100 от тези числа?

Благодарение на развитието компютърна технологияможете да разрешите този проблем, тоест да добавите всички числа последователно, което компютърът ще направи веднага щом човек натисне клавиша Enter. Задачата обаче може да бъде решена мислено, ако обърнете внимание, че представената редица от числа е алгебрична прогресия и нейната разлика е равна на 1. Прилагайки формулата за сумата, получаваме: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Интересно е да се отбележи, че тази задача се нарича „Гаусова“, защото в началото на 18 век известният германец, все още само на 10 години, успя да я реши наум за няколко секунди. Момчето не знаеше формулата за сбора на алгебрична прогресия, но забеляза, че ако събереш числата в краищата на редицата по двойки, винаги получаваш един и същ резултат, тоест 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., и тъй като тези суми ще бъдат точно 50 (100 / 2), тогава за да получите правилния отговор е достатъчно да умножите 50 по 101.

Пример № 6: сбор на членовете от n до m

Друг типичен пример за сумата на аритметична прогресия е следният: дадена е поредица от числа: 3, 7, 11, 15, ..., трябва да намерите на какво ще бъде равна сумата от нейните членове от 8 до 14 .

Проблемът се решава по два начина. Първият от тях включва намиране на неизвестни членове от 8 до 14 и след това тяхното последователно сумиране. Тъй като има малко термини, този метод не е много трудоемък. Въпреки това се предлага този проблем да се реши с помощта на втори метод, който е по-универсален.

Идеята е да се получи формула за сумата на алгебричната прогресия между членовете m и n, където n > m са цели числа. И в двата случая записваме два израза за сумата:

S m = m * (a m + a 1) / 2.
S n = n * (a n + a 1) / 2.

Тъй като n > m, очевидно е, че втората сума включва първата. Последният извод означава, че ако вземем разликата между тези суми и добавим члена a m към нея (в случай на вземане на разликата, тя се изважда от сумата S n), ще получим необходимия отговор на задачата. Имаме: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). Необходимо е да се заменят формули за n и m в този израз. Тогава получаваме: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d *(3 * m - m 2 - 2) / 2.

Получената формула е донякъде тромава, но сумата S mn зависи само от n, m, a 1 и d. В нашия случай a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Замествайки тези числа, получаваме: S mn = 301.

Както може да се види от горните решения, всички задачи се основават на познаване на израза за n-тия член и формулата за сумата на множеството от първите членове. Преди да започнете да решавате някой от тези проблеми, се препоръчва внимателно да прочетете условието, ясно да разберете какво трябва да намерите и едва след това да продължите с решението.

Друг съвет е да се стремите към простота, тоест ако можете да отговорите на въпрос, без да използвате сложни математически изчисления, тогава трябва да направите точно това, тъй като в този случай вероятността да направите грешка е по-малка. Например в примера за аритметична прогресия с решение № 6 може да се спре на формулата S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, и разделете общия проблем на отделни подзадачи (в този случай първо намерете термините a n и a m).

Ако имате съмнения относно получения резултат, препоръчително е да го проверите, както беше направено в някои от дадените примери. Открихме как да намерим аритметична прогресия. Ако го разберете, не е толкова трудно.

Да, да: аритметичната прогресия не е играчка за вас :)

Е, приятели, ако четете този текст, тогава вътрешните кап-доказателства ми казват, че все още не знаете какво е аритметична прогресия, но наистина (не, така: ТАААААААА!) искате да знаете. Затова няма да ви измъчвам с дълги въведения и ще премина направо към същността.

Първо, няколко примера. Нека да разгледаме няколко набора от числа:

1; 2; 3; 4; ...
15; 20; 25; 30; ...
$\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Какво е общото между всички тези комплекти? На пръв поглед нищо. Но всъщност има нещо. а именно: всеки следващ елемент се различава от предходния със същия номер.

Преценете сами. Първият набор е просто последователни числа, всяко следващо е с едно повече от предишното. Във втория случай разликата между съседни числа вече е пет, но тази разлика все още е постоянна. В третия случай има напълно корени. Въпреки това, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$ и $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, т.е. и в този случай всеки следващ елемент просто се увеличава с $\sqrt(2)$ (и не се страхувайте, че това число е ирационално).

И така: всички такива последователности се наричат аритметични прогресии. Нека дадем строга дефиниция:

Определение. Поредица от числа, в която всяко следващо се различава от предходното с абсолютно еднаква стойност, се нарича аритметична прогресия. Самата стойност, с която се различават числата, се нарича прогресивна разлика и най-често се обозначава с буквата $d$.

Нотация: $\left(((a)_(n)) \right)$ е самата прогресия, $d$ е нейната разлика.

И само няколко важни бележки. Първо, разглежда се само прогресията поръчанпоследователност от числа: разрешено е да се четат стриктно в реда, в който са написани - и нищо друго. Числата не могат да се пренареждат или разменят.

Второ, самата последователност може да бъде крайна или безкрайна. Например множеството (1; 2; 3) очевидно е крайна аритметична прогресия. Но ако напишете нещо в духа (1; 2; 3; 4; ...) - това вече е безкрайна прогресия. Многоточието след четиримата изглежда подсказва, че предстоят още доста числа. Безкрайно много например. :)

Бих искал също да отбележа, че прогресиите могат да се увеличават или намаляват. Вече видяхме нарастващи - един и същи набор (1; 2; 3; 4; ...). Ето примери за намаляващи прогресии:

49; 41; 33; 25; 17; ...
17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
$\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Добре, добре: последният пример може да изглежда прекалено сложен. Но останалото, мисля, разбирате. Затова въвеждаме нови определения:

Определение. Аритметична прогресия се нарича:

нараства, ако всеки следващ елемент е по-голям от предходния;

намалява, ако, напротив, всеки следващ елемент е по-малък от предишния.

Освен това има така наречените „стационарни“ последователности - те се състоят от едно и също повтарящо се число. Например (3; 3; 3; ...).

Остава само един въпрос: как да различим нарастващата прогресия от намаляващата? За щастие тук всичко зависи само от знака на числото $d$, т.е. разлики в прогресията:

Ако $d \gt 0$, тогава прогресията се увеличава;
Ако $d \lt 0$, тогава прогресията очевидно намалява;
И накрая, има случай $d=0$ - в този случай цялата прогресия се свежда до стационарна последователност от еднакви числа: (1; 1; 1; 1; ...) и т.н.

Нека се опитаме да изчислим разликата $d$ за трите намаляващи прогресии, дадени по-горе. За да направите това, достатъчно е да вземете всеки два съседни елемента (например първия и втория) и да извадите числото отляво от числото отдясно. Ще изглежда така:

41−49=−8;
12−17,5=−5,5;
$\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Както виждаме, и в трите случая разликата всъщност се оказа отрицателна. И сега, когато повече или по-малко разбрахме дефинициите, е време да разберем как се описват прогресиите и какви свойства имат.

Условия за прогресиране и формула за повторение

Тъй като елементите на нашите последователности не могат да се разменят, те могат да бъдат номерирани:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left$ ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \десен$\]

Отделните елементи на това множество се наричат членове на прогресия. Те се обозначават с цифра: първи член, втори член и т.н.

Освен това, както вече знаем, съседните членове на прогресията са свързани с формулата:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Дясна стрелка ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Накратко, за да намерите $n$-тия член на една прогресия, трябва да знаете $n-1$-тия член и разликата $d$. Тази формула се нарича повтаряща се, защото с нейна помощ можете да намерите всяко число само като знаете предишното (и всъщност всички предишни). Това е много неудобно, така че има по-хитра формула, която намалява всички изчисления до първия член и разликата:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]

Вероятно вече сте срещали тази формула. Обичат да го дават във всякакви справочници и книги с решения. И във всеки разумен учебник по математика е един от първите.

Предлагам ви обаче да практикувате малко.

Задача No1. Запишете първите три члена на аритметичната прогресия $\left(((a)_(n)) \right)$ ако $((a)_(1))=8,d=-5$.

Решение. И така, знаем първия член $((a)_(1))=8$ и разликата на прогресията $d=-5$. Нека използваме току-що дадената формула и заместваме $n=1$, $n=2$ и $n=3$:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \край (подравняване)\]

Отговор: (8; 3; −2)

Това е всичко! Моля, обърнете внимание: нашата прогресия намалява.

Разбира се, $n=1$ не може да бъде заменено - първият член вече ни е известен. Въпреки това, замествайки единица, ние се убедихме, че дори за първия член нашата формула работи. В други случаи всичко се свеждаше до банална аритметика.

Задача No2. Запишете първите три члена на аритметичната прогресия, ако седмият член е равен на −40, а седемнадесетият член е равен на −50.

Решение. Нека напишем условието на проблема с познати термини:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \право.\]

Слагам знака система, защото тези изисквания трябва да се изпълняват едновременно. Сега нека отбележим, че ако извадим първото от второто уравнение (имаме право да направим това, тъй като имаме система), получаваме това:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \край (подравняване)\]

Ето колко лесно е да намерите разликата в прогресията! Остава само да замените намереното число в някое от уравненията на системата. Например в първия:

\[\begin(matrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \край (матрица)\]

Сега, знаейки първия член и разликата, остава да намерим втория и третия член:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \край (подравняване)\]

Готов! Проблемът е решен.

Отговор: (−34; −35; −36)

Забележете интересното свойство на прогресията, което открихме: ако вземем $n$-тия и $m$-тия член и ги извадим един от друг, получаваме разликата на прогресията, умножена по $n-m$ числото:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

Просто, но много полезно свойство, което определено трябва да знаете - с негова помощ можете значително да ускорите решаването на много проблеми с прогресията. Ето ясен пример за това:

Задача No3. Петият член на аритметична прогресия е 8,4, а десетият член е 14,4. Намерете петнадесетия член на тази прогресия.

Решение. Тъй като $((a)_(5))=8,4$, $((a)_(10))=14,4$ и трябва да намерим $((a)_(15))$, отбелязваме следното:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \край (подравняване)\]

Но по условие $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, следователно $5d=6$, от което имаме:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \край (подравняване)\]

Отговор: 20.4

Това е всичко! Не беше необходимо да създаваме никакви системи от уравнения и да изчисляваме първия член и разликата - всичко беше решено само с няколко реда.

Сега нека разгледаме друг вид проблем - търсене на отрицателни и положителни членове на прогресия. Не е тайна, че ако една прогресия се увеличава и първият й член е отрицателен, тогава рано или късно в нея ще се появят положителни членове. И обратното: условията на намаляваща прогресия рано или късно ще станат отрицателни.

В същото време не винаги е възможно да се намери този момент „челно“ чрез последователно преминаване през елементите. Често задачите са написани по такъв начин, че без да знаем формулите, изчисленията биха отнели няколко листа хартия - просто щяхме да заспим, докато намерим отговора. Затова нека се опитаме да разрешим тези проблеми по-бързо.

Задача No4. Колко отрицателни членове има в аритметичната прогресия −38,5; −35,8; ...?

Решение. И така, $((a)_(1))=-38,5$, $((a)_(2))=-35,8$, откъдето веднага намираме разликата:

Имайте предвид, че разликата е положителна, така че прогресията се увеличава. Първият член е отрицателен, така че наистина в един момент ще се натъкнем на положителни числа. Въпросът е само кога ще стане това.

Нека се опитаме да разберем колко време (т.е. до какво естествено число $n$) остава отрицателността на членовете:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \вдясно. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Стрелка надясно ((n)_(\max ))=15. \\ \край (подравняване)\]

Последният ред изисква известно обяснение. Така че знаем, че $n \lt 15\frac(7)(27)$. От друга страна, ние се задоволяваме само с цели стойности на числото (още повече: $n\in \mathbb(N)$), така че най-голямото допустимо число е точно $n=15$ и в никакъв случай 16 .

Задача No5. В аритметична прогресия $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Намерете номера на първия положителен член от тази прогресия.

Това би бил точно същият проблем като предишния, но не знаем $((a)_(1))$. Но съседните членове са известни: $((a)_(5))$ и $((a)_(6))$, така че можем лесно да намерим разликата в прогресията:

В допълнение, нека се опитаме да изразим петия член чрез първия и разликата, използвайки стандартната формула:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \край (подравняване)\]

Сега продължаваме по аналогия с предишната задача. Нека разберем в кой момент от нашата последователност ще се появят положителни числа:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Дясна стрелка ((n)_(\min ))=56. \\ \край (подравняване)\]

Минималното цяло число решение на това неравенство е числото 56.

Моля, обърнете внимание: в последната задача всичко се сведе до строго неравенство, така че опцията $n=55$ няма да ни подхожда.

Сега, след като се научихме как да решаваме прости задачи, нека да преминем към по-сложни. Но първо, нека изучим друго много полезно свойство на аритметичните прогресии, което ще ни спести много време и неравни клетки в бъдеще. :)

Средно аритметично и равни отстъпи

Нека разгледаме няколко последователни члена на нарастващата аритметична прогресия $\left(((a)_(n)) \right)$. Нека се опитаме да ги отбележим на числовата ос:

Членове на аритметична прогресия на числовата ос

Специално маркирах произволни термини $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, а не някакви $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ и др. Тъй като правилото, за което ще ви разкажа сега, работи по същия начин за всички „сегменти“.

А правилото е много просто. Нека си припомним рекурентната формула и я запишем за всички отбелязани членове:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \край (подравняване)\]

Тези равенства обаче могат да бъдат пренаписани по различен начин:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \край (подравняване)\]

Е, какво от това? И фактът, че термините $((a)_(n-1))$ и $((a)_(n+1))$ лежат на същото разстояние от $((a)_(n)) $ . И това разстояние е равно на $d$. Същото може да се каже и за термините $((a)_(n-2))$ и $((a)_(n+2))$ - те също са премахнати от $((a)_(n) )$ на същото разстояние, равно на $2d$. Можем да продължим безкрайно, но смисълът е добре илюстриран от снимката

Условията на прогресията са на същото разстояние от центъра

Какво означава това за нас? Това означава, че $((a)_(n))$ може да бъде намерено, ако съседните числа са известни:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Изведохме отлично твърдение: всеки член от аритметична прогресия е равен на средноаритметичното на съседните му членове! Нещо повече: можем да се отдръпнем от нашия $((a)_(n))$ наляво и надясно не с една стъпка, а с $k$ стъпки - и формулата пак ще бъде правилна:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Тези. можем лесно да намерим някои $((a)_(150))$, ако знаем $((a)_(100))$ и $((a)_(200))$, защото $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. На пръв поглед може да изглежда, че този факт не ни дава нищо полезно. На практика обаче много проблеми са специално пригодени да използват средноаритметичното. Погледни:

Задача No6. Намерете всички стойности на $x$, за които числата $-6((x)^(2))$, $x+1$ и $14+4((x)^(2))$ са последователни членове на аритметична прогресия (в посочения ред).

Решение. Тъй като тези числа са членове на прогресия, условието за средно аритметично за тях е изпълнено: централният елемент $x+1$ може да бъде изразен чрез съседни елементи:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \край (подравняване)\]

Резултатът е класическо квадратно уравнение. Неговите корени: $x=2$ и $x=-3$ са отговорите.

Отговор: −3; 2.

Задача No7. Намерете стойностите на $$, за които числата $-1;4-3;(()^(2))+1$ образуват аритметична прогресия (в този ред).

Решение. Нека отново изразим средния член чрез средноаритметичното на съседните членове:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \right.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \край (подравняване)\]

Отново квадратно уравнение. И отново има два корена: $x=6$ и $x=1$.

Отговор: 1; 6.

Ако в процеса на решаване на проблем излезете с някои брутални числа или не сте напълно сигурни в правилността на намерените отговори, тогава има чудесна техника, която ви позволява да проверите: дали сме решили проблема правилно?

Да кажем, че в задача № 6 получихме отговори −3 и 2. Как можем да проверим дали тези отговори са верни? Нека просто ги включим в първоначалното състояние и да видим какво ще се случи. Нека ви напомня, че имаме три числа ($-6(()^(2))$, $+1$ и $14+4(()^(2))$, които трябва да образуват аритметична прогресия. Нека заместим $x=-3$:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \край (подравняване)\]

Получихме числата −54; −2; 50, които се различават с 52, несъмнено е аритметична прогресия. Същото се случва и за $x=2$:

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \край (подравняване)\]

Отново прогресия, но с разлика от 27. Така задачата е решена правилно. Тези, които желаят, могат сами да проверят втория проблем, но веднага ще кажа: там също всичко е правилно.

Като цяло, докато решавахме последните проблеми, се натъкнахме на друг интересен факт, което също трябва да се помни:

Ако три числа са такива, че второто е средноаритметично на първото и последното, тогава тези числа образуват аритметична прогресия.

В бъдеще разбирането на това твърдение ще ни позволи буквално да „конструираме“ необходимите прогресии въз основа на условията на проблема. Но преди да се захванем с такова „строителство“, трябва да обърнем внимание на още един факт, който пряко следва от вече обсъденото.

Групиране и сумиране на елементи

Нека се върнем отново към числовата ос. Нека отбележим там няколко члена на прогресията, между които може би. струва много други членове:

На числовата ос са отбелязани 6 елемента

Нека се опитаме да изразим „лявата опашка“ чрез $((a)_(n))$ и $d$, а „дясната опашка“ чрез $((a)_(k))$ и $d$. Много е просто:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \край (подравняване)\]

Сега имайте предвид, че следните суми са равни:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= С; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= С. \край (подравняване)\]

Просто казано, ако разгледаме като начало два елемента от прогресията, които общо са равни на някакво число $S$, и след това започнем да стъпваме от тези елементи в противоположни посоки (един към друг или обратно, за да се отдалечим), тогава сумите на елементите, на които ще се натъкнем също ще бъдат равни$S$. Това може да се представи най-ясно графично:

Еднаквите вдлъбнатини дават равни количества

разбиране този фактще ни позволи да решим проблемите в фундаментално по-голяма степен високо нивотрудности от тези, които разгледахме по-горе. Например тези:

Задача No8. Определете разликата на аритметична прогресия, в която първият член е 66, а произведението на втория и дванадесетия член е възможно най-малкото.

Решение. Нека запишем всичко, което знаем:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \край (подравняване)\]

Така че не знаем разликата в прогресията $d$. Всъщност цялото решение ще бъде изградено около разликата, тъй като продуктът $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ може да бъде пренаписан както следва:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \край (подравняване)\]

За тези в резервоара: извадих общия множител от 11 от втората скоба. Така желаният продукт е квадратична функция по отношение на променливата $d$. Следователно, разгледайте функцията $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - нейната графика ще бъде парабола с разклонения нагоре, т.к. ако разширим скобите, получаваме:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Както можете да видите, коефициентът на най-високия член е 11 - това е положително число, така че наистина имаме работа с парабола с клонове нагоре:

графика на квадратна функция – парабола
Моля, обърнете внимание: тази парабола приема минималната си стойност в своя връх с абсцисата $((d)_(0))$. Разбира се, можем да изчислим тази абциса, използвайки стандартната схема (има формулата $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), но би било много по-разумно да отбележим че желаният връх лежи на осесиметрията на параболата, следователно точката $((d)_(0))$ е на равно разстояние от корените на уравнението $f\left(d \right)=0$:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \край (подравняване)\]

Ето защо не бързах особено да отварям скобите: в оригиналната си форма корените бяха много, много лесни за намиране. Следователно абсцисата е равна на средноаритметичното на числата −66 и −6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Какво ни дава откритото число? С него исканият продукт приема най-малката стойност (между другото, никога не сме изчислявали $((y)_(\min ))$ - това не се изисква от нас). В същото време това число е разликата на първоначалната прогресия, т.е. намерихме отговора. :)

Отговор: −36

Задача No9. Между числата $-\frac(1)(2)$ и $-\frac(1)(6)$ вмъкнете три числа, така че заедно с тези числа да образуват аритметична прогресия.

Решение. По същество трябва да направим поредица от пет числа, като първото и последното число вече са известни. Нека означим липсващите числа с променливите $x$, $y$ и $z$:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

Обърнете внимание, че числото $y$ е „средата“ на нашата последователност - то е на еднакво разстояние от числата $x$ и $z$ и от числата $-\frac(1)(2)$ и $-\frac (1)( 6)$. И ако от числата $x$ и $z$ сме в този моментне можем да получим $y$, тогава ситуацията е различна с краищата на прогресията. Нека си спомним средноаритметичното:

Сега, знаейки $y$, ще намерим останалите числа. Обърнете внимание, че $x$ се намира между числата $-\frac(1)(2)$ и $y=-\frac(1)(3)$, които току-що намерихме. Ето защо

Използвайки подобни разсъждения, намираме оставащото число:

Готов! Намерихме и трите числа. Нека ги запишем в отговора в реда, в който трябва да бъдат вмъкнати между оригиналните числа.

Отговор: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Задача No10. Между числата 2 и 42 поставете няколко числа, които заедно с тези числа образуват аритметична прогресия, ако знаете, че сборът на първото, второто и последното от въведените числа е 56.

Решение. Още по-сложна задача, която обаче се решава по същата схема като предходните - чрез средно аритметично. Проблемът е, че не знаем точно колко числа трябва да бъдат вмъкнати. Затова нека приемем за категоричност, че след вмъкването на всичко ще има точно $n$ числа, като първото от тях е 2, а последното е 42. В този случай търсената аритметична прогресия може да се представи във вида:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left$ 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \right$\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Имайте предвид обаче, че числата $((a)_(2))$ и $((a)_(n-1))$ се получават от числата 2 и 42 в краищата с една стъпка едно към друго, т.е. към центъра на последователността. И това означава, че

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Но тогава изразът, написан по-горе, може да бъде пренаписан, както следва:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \край (подравняване)\]

Познавайки $((a)_(3))$ и $((a)_(1))$, можем лесно да намерим разликата в прогресията:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Дясна стрелка d=5. \\ \край (подравняване)\]

Всичко, което остава, е да намерим останалите термини:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \край (подравняване)\]

Така вече на 9-та стъпка ще стигнем до левия край на редицата - числото 42. Общо трябваше да се вмъкнат само 7 числа: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Отговор: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Текстови задачи с прогресии

В заключение бих искал да разгледам няколко относително прости проблема. Е, толкова просто: за повечето ученици, които учат математика в училище и не са прочели написаното по-горе, тези задачи може да изглеждат трудни. Въпреки това, това са видовете проблеми, които се появяват в OGE и Единния държавен изпит по математика, така че ви препоръчвам да се запознаете с тях.

Задача No11. Екипът е произвел 62 части през януари, като през всеки следващ месец са произвели по 14 части повече от предходния. Колко части е произвел екипът през ноември?

Решение. Очевидно броят на частите, изброени по месеци, ще представлява нарастваща аритметична прогресия. Освен това:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

Ноември е 11-ият месец в годината, така че трябва да намерим $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Следователно през ноември ще бъдат произведени 202 части.

Задача No12. Книговезката работилница е подвързала през януари 216 книги, като през всеки следващ месец е подвързала с по 4 книги повече от предходния. Колко книги подвърза работилницата през декември?

Решение. Все същото:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$

Декември е последният, 12-ти месец на годината, така че търсим $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Това е отговорът – през декември ще бъдат подвързани 260 книги.

Е, ако сте прочели дотук, бързам да ви поздравя: завършихте успешно „курса за млад боец“ по аритметични прогресии. Можете спокойно да преминете към следващия урок, където ще изучаваме формулата за сумата на прогресията, както и важни и много полезни следствия от нея.

Много хора са чували за аритметичната прогресия, но не всеки има добра представа какво е това. В тази статия ще дадем съответното определение, а също така ще разгледаме въпроса как да намерим разликата на аритметичната прогресия и ще дадем редица примери.

Математическа дефиниция

Така че, ако говорим за аритметична или алгебрична прогресия (тези понятия дефинират едно и също нещо), това означава, че има определена редица от числа, която отговаря на следния закон: всеки две съседни числа в серията се различават с една и съща стойност. Математически се записва така:

Тук n означава номера на елемента a n в редицата, а числото d е разликата на прогресията (името му следва от представената формула).

Какво означава да знаеш разликата d? За това колко „далеч“ са съседните числа едно от друго. Но познаването на d е необходимо, но не достатъчно условие за определяне (възстановяване) на цялата прогресия. Необходимо е да знаете още едно число, което може да бъде абсолютно всеки елемент от разглежданата серия, например 4, a10, но като правило те използват първото число, тоест 1.

Формули за определяне на елементите на прогресия

Като цяло информацията по-горе вече е достатъчна, за да преминете към решаване на конкретни проблеми. Въпреки това, преди да бъде дадена аритметичната прогресия и ще е необходимо да се намери нейната разлика, ще представим няколко полезни формули, като по този начин улесним последващия процес на решаване на проблеми.

Лесно е да се покаже, че всеки елемент от редицата с номер n може да бъде намерен, както следва:

a n = a 1 + (n - 1) * d

Всъщност всеки може да провери тази формула чрез просто търсене: ако замените n = 1, получавате първия елемент, ако замените n = 2, тогава изразът дава сумата от първото число и разликата и т.н.

Условията на много задачи са съставени по такъв начин, че при известна двойка числа, чиито числа също са дадени в последователността, е необходимо да се реконструира цялата редица от числа (намерете разликата и първия елемент). Сега ще решим този проблем в обща форма.

И така, нека са дадени два елемента с номера n и m. Използвайки формулата, получена по-горе, можете да създадете система от две уравнения:

a n = a 1 + (n - 1) * d;
a m = a 1 + (m - 1) * d

За да намерим неизвестни количества, ще използваме добре позната проста техника за решаване на такава система: извадете лявата и дясната страна по двойки, равенството ще остане валидно. Ние имаме:

a n = a 1 + (n - 1) * d;
a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)

Така изключихме едно неизвестно (a 1). Сега можем да напишем крайния израз за определяне на d:

d = (a n - a m) / (n - m), където n > m

Получихме много проста формула: за да изчислим разликата d в съответствие с условията на проблема, е необходимо само да вземем съотношението на разликите между самите елементи и техните серийни номера. Трябва да се обърне внимание на един важен момент: разликите се вземат между „старшите“ и „младшите“ членове, т.е. n > m („старши“ означава стоящ по-далеч от началото на последователността, неговата абсолютна стойност може да бъде или по-голям или по-малко по-"младши" елемент).

Изразът за прогресията на разликата d трябва да бъде заменен в някое от уравненията в началото на решаването на задачата, за да се получи стойността на първия член.

В нашата епоха на развитие на компютърните технологии много ученици се опитват да намерят решения за своите задачи в Интернет, така че често възникват въпроси от този тип: намерете разликата на аритметична прогресия онлайн. За такава заявка търсачката ще върне няколко уеб страници, като отидете на които ще трябва да въведете данните, известни от условието (това могат да бъдат два члена на прогресията или сбор от определен брой от тях ) и веднага ще получите отговор. Този подход към решаването на проблема обаче е непродуктивен по отношение на развитието на ученика и разбирането на същността на възложената му задача.

Решение без използване на формули

Нека решим първата задача, без да използваме някоя от дадените формули. Нека са дадени елементите на редицата: a6 = 3, a9 = 18. Намерете разликата на аритметичната прогресия.

Известни елементи стоят близо един до друг в редица. Колко пъти трябва да се добави разликата d към най-малкото, за да се получи най-голямото? Три пъти (първият път, добавяйки d, получаваме 7-ия елемент, втория път - осмия, накрая, третия път - деветия). Кое число трябва да се добави към три три пъти, за да се получи 18? Това е числото пет. Наистина ли:

Така неизвестната разлика d = 5.

Разбира се, решението можеше да се извърши с помощта на подходящата формула, но това не беше направено умишлено. Подробно обяснениерешаването на проблема трябва да стане ясен и ярък пример за това какво е аритметична прогресия.

Задача, подобна на предишната

Сега нека решим подобен проблем, но да променим входните данни. Така че трябва да намерите дали a3 = 2, a9 = 19.

Разбира се, можете отново да прибягвате до метода на решение „челно“. Но тъй като са дадени елементи от серията, които са сравнително далеч един от друг, този метод няма да бъде напълно удобен. Но използването на получената формула бързо ще ни доведе до отговора:

d = (a 9 - a 3) / (9 - 3) = (19 - 2) / (6) = 17 / 6 ≈ 2,83

Тук сме закръглили крайното число. Степента, в която това закръгляване е довело до грешка, може да се прецени чрез проверка на резултата:

a 9 = a 3 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 = 18,98

Този резултат се различава само с 0,1% от стойността, дадена в условието. Следователно закръгляването, използвано до най-близките стотни, може да се счита за успешен избор.

Проблеми, свързани с прилагането на формулата за член

Нека разгледаме класически пример за задача за определяне на неизвестното d: намерете разликата на аритметична прогресия, ако a1 = 12, a5 = 40.

Когато са дадени две числа от неизвестна алгебрична редица и едното от тях е елементът a 1, тогава не е нужно да мислите дълго, а трябва веднага да приложите формулата за член a n. В този случай имаме:

a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

Получихме точното число при разделяне, така че няма смисъл да проверяваме точността на изчисления резултат, както беше направено в предишния параграф.

Нека решим друга подобна задача: трябва да намерим разликата на аритметична прогресия, ако a1 = 16, a8 = 37.

Използваме подход, подобен на предишния, и получаваме:

a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

Какво още трябва да знаете за аритметичната прогресия?

В допълнение към проблемите за намиране на неизвестна разлика или отделни елементи, често е необходимо да се решават задачи за сумата от първите членове на редица. Разглеждането на тези проблеми е извън обхвата на статията, но за пълнота на информацията представяме обща формула за сумата от n числа в серия:

∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2

$моб_инфо$