Площ на обемни фигури. Как да изчислим и етикетираме площ

За да решавате геометрични задачи, трябва да знаете формули - като площта на триъгълник или площта на успоредник - както и прости техники, които ще разгледаме.

Първо, нека научим формулите за площите на фигурите. Специално сме ги събрали в удобна таблица. Отпечатайте, научете и прилагайте!

Разбира се, не всички геометрични формули са в нашата таблица. Например, за решаване на задачи по геометрия и стереометрия във втората част на профилния Единен държавен изпит по математика се използват други формули за площта на триъгълник. Определено ще ви разкажем за тях.

Но какво ще стане, ако трябва да намерите не площта на трапец или триъгълник, а площта на някаква сложна фигура? Има универсални начини! Ще ги покажем с помощта на примери от банката задачи на FIPI.

1. Как да намерите площта на нестандартна фигура? Например произволен четириъгълник? Проста техника - нека разделим тази фигура на тези, за които знаем всичко, и да намерим нейната площ - като сумата от площите на тези фигури.

Разделете този четириъгълник с хоризонтална линия на два триъгълника с обща основа, равна на . Височините на тези триъгълници са равни на и . Тогава площта на четириъгълника е равна на сумата от площите на двата триъгълника: .

Отговор: .

2. В някои случаи площта на фигура може да бъде представена като разлика на някои области.

Не е толкова лесно да се изчисли на какво са равни основата и височината на този триъгълник! Но можем да кажем, че неговата площ е равна на разликата между площите на квадрат със страна и три правоъгълни триъгълника. Виждате ли ги на снимката? Получаваме: .

Отговор: .

3. Понякога в задача трябва да намерите площта не на цялата фигура, а на част от нея. Обикновено говорим за площта на сектор - част от окръжност Намерете площта на сектор от окръжност с радиус, чиято дължина на дъгата е равна на .

На тази снимка виждаме част от кръг. Площта на целия кръг е равна на. Остава да разберете коя част от кръга е изобразена. Тъй като дължината на цялата окръжност е равна (тъй като ), а дължината на дъгата на даден сектор е равна на , следователно дължината на дъгата е няколко пъти по-малка от дължината на цялата окръжност. Ъгълът, под който се намира тази дъга, също е коефициент по-малък от пълен кръг (т.е. градуси). Това означава, че площта на сектора ще бъде няколко пъти по-малка от площта на целия кръг.

Квадрат геометрична фигура - числена характеристика на геометрична фигура, показваща размера на тази фигура (част от повърхността, ограничена от затворения контур на тази фигура). Размерът на площта се изразява чрез броя на квадратните единици, съдържащи се в нея.

Формули за площ на триъгълник

  1. Формула за площта на триъгълник по страна и височина
    Площ на триъгълникравно на половината от произведението на дължината на страна на триъгълник и дължината на надморската височина, начертана към тази страна
  2. Формула за площта на триъгълник, базирана на три страни и радиуса на описаната окръжност
  3. Формула за площта на триъгълник, базирана на трите страни и радиуса на вписаната окръжност
    Площ на триъгълнике равно на произведението от полупериметъра на триъгълника и радиуса на вписаната окръжност.
    4. където S е площта на триъгълника,
    - дължини на страните на триъгълника,
    - височина на триъгълника,
    - ъгълът между страните и,
    - радиус на вписаната окръжност,
    R - радиус на описаната окръжност,

Формули за квадратна площ

  1. Формула за площта на квадрат по дължината на страната
    Квадратна площравен на квадрата на дължината на неговата страна.
  2. Формула за площта на квадрат по дължината на диагонала
    Квадратна площравен на половината от квадрата на дължината на неговия диагонал.
    S=1 2
    2
    3. където S е площта на квадрата,
    - дължина на страната на квадрата,
    - дължина на диагонала на квадрата.

Формула за площ на правоъгълник

    Площ на правоъгълникравно на произведението на дължините на двете му съседни страни

    където S е площта на правоъгълника,
    - дължини на страните на правоъгълника.

Формули за площ на успоредник

  1. Формула за площта на успоредник въз основа на дължината на страната и височината
    Площ на успоредник
  2. Формула за площта на успоредник, базирана на две страни и ъгъл между тях
    Площ на успореднике равно на произведението от дължините на страните му, умножени по синуса на ъгъла между тях.

    a b sin α

    3. където S е площта на успоредника,
    - дължини на страните на успоредника,
    - дължина на височината на паралелограма,
    - ъгълът между страните на успоредника.

Формули за площта на ромба

  1. Формула за площта на ромб въз основа на дължината и височината на страната
    Площ на ромбравно на произведението на дължината на неговата страна и дължината на височината, спусната до тази страна.
  2. Формула за площта на ромб въз основа на дължината на страната и ъгъла
    Площ на ромбе равно на произведението на квадрата на дължината на неговата страна и синуса на ъгъла между страните на ромба.
  3. Формула за площта на ромб въз основа на дължините на неговите диагонали
    Площ на ромбравен на половината от произведението на дължините на неговите диагонали.
    4. където S е площта на ромба,
    - дължина на страната на ромба,
    - дължина на височината на ромба,
    - ъгълът между страните на ромба,
    1, 2 - дължини на диагонали.

Формули за площ на трапец

  1. Формула на Херон за трапец

    Където S е площта на трапеца,
    - дължини на основите на трапеца,
    - дължини на страните на трапеца,

В интернет можете да намерите над 10 формули за изчисляване на площта на триъгълник.Много от тях се използват в задачи с известни страни и ъгли на триъгълник. Има обаче редица сложни примери, при които според условията на заданието са известни само една страна и ъгли на триъгълник или радиус на описана или вписана окръжност и още една характеристика. В такива случаи не може да се приложи проста формула.

Формулите, дадени по-долу, ще ви позволят да решите 95 процента от задачите, в които трябва да намерите площта на триъгълник.
Нека да преминем към разглеждане на формулите за обща площ.
Помислете за триъгълника, показан на фигурата по-долу

На фигурата и по-долу във формулите са въведени класическите обозначения на всички негови характеристики.
a,b,c – страни на триъгълника,
R – радиус на описаната окръжност,
r – радиус на вписаната окръжност,
h[b],h[a],h[c] – височини, начертани в съответствие със страни a,b,c.
алфа, бета, хама – ъгли в близост до върховете.

Основни формули за площта на триъгълник

1. Площта е равна на половината от произведението на страната на триъгълника и височината, спусната до тази страна. На езика на формулите това определение може да се напише по следния начин

Така, ако страната и височината са известни, тогава всеки ученик ще намери площта.
Между другото, от тази формула може да се извлече една полезна връзка между височините

2. Ако вземем предвид, че височината на триъгълник през съседната страна се изразява чрез зависимостта

След това първата формула за площ е последвана от вторите от същия тип



Погледнете внимателно формулите - те са лесни за запомняне, тъй като работата включва две страни и ъгъла между тях. Ако правилно обозначим страните и ъглите на триъгълника (както на фигурата по-горе), ще получим две страни a,b а ъгълът е свързан с третияС (хамма).

3. За ъглите на триъгълник връзката е вярна

Зависимостта ви позволява да използвате следните формули за площта на триъгълник в изчисленията:



Примерите за тази зависимост са изключително редки, но трябва да запомните, че има такава формула.

4. Ако страната и двата съседни ъгъла са известни, тогава площта се намира по формулата

5. Формулата за площ по отношение на страна и котангенс на съседни ъгли е следната

Чрез пренареждане на индексите можете да получите зависимости за други страни.

6. Формулата за площ по-долу се използва в задачи, когато върховете на триъгълник са посочени в равнината с координати. В този случай площта е равна на половината от детерминантата, взета по модул.



7. Формула на Херонизползвани в примери с известни страни на триъгълник.
Първо намерете полупериметъра на триъгълника

И след това определете площта с помощта на формулата

или

Доста често се използва в кода на калкулаторните програми.

8. Ако всички височини на триъгълника са известни, то площта се определя по формулата

Трудно е да се изчисли с калкулатор, но в пакетите MathCad, Mathematica, Maple площта е "време две".

9. Следните формули използват известните радиуси на вписани и описани окръжности.

По-специално, ако радиусът и страните на триъгълника или неговият периметър са известни, тогава площта се изчислява по формулата

10. В примери, където са дадени страните и радиусът или диаметърът на описаната окръжност, площта се намира по формулата

11. Следната формула определя площта на триъгълник по отношение на страната и ъглите на триъгълника.

И накрая - специални случаи:
Площ на правоъгълен триъгълникс катети a и b, равни на половината от техния продукт

Формула за площта на равностранен (правилен) триъгълник=

= една четвърт от произведението на квадрата на страната и корен от три.

Ако планирате сами да направите ремонт, тогава ще трябва да изготвите оценка за строителство и довършителни материали. За да направите това, ще трябва да изчислите площта на стаята, в която планирате да извършите ремонтни работи. Основният помощник в това е специално разработената формула. Площта на стаята, а именно нейното изчисление, ще ви позволи да спестите много пари строителни материалии насочване на освободените финансови средства в по-подходяща посока.

Геометрична форма на стаята

Формулата за изчисляване на площта на стаята директно зависи от нейната форма. Най-типични за жилищните сгради са правоъгълните и квадратните стаи. Въпреки това, по време на преустройството стандартната форма може да бъде изкривена. Стаите са:

  • Правоъгълна.
  • Квадрат.
  • Сложна конфигурация (например кръгла).
  • С ниши и издатини.

Всеки от тях има свои собствени характеристики на изчисление, но като правило се използва една и съща формула. Площта на стая с всякаква форма и размер, по един или друг начин, може да бъде изчислена.

Правоъгълна или квадратна стая

За да изчислите площта на правоъгълна или квадратна стая, просто си спомнете уроците по геометрия в училище. Следователно не трябва да ви е трудно да определите площта на стаята. Формулата за изчисление изглежда така:

S стаи=A*B, където

А е дължината на стаята.

B е ширината на стаята.

За да измерите тези стойности, ще ви трябва обикновена рулетка. За да получите най-точните изчисления, струва си да измерите стената от двете страни. Ако стойностите не съвпадат, вземете средната стойност на получените данни като основа. Но не забравяйте, че всички изчисления имат свои собствени грешки, така че материалът трябва да бъде закупен с резерв.

Помещение със сложна конфигурация

Ако вашата стая не отговаря на определението „типична“, т.е. има формата на кръг, триъгълник, многоъгълник, тогава може да се нуждаете от различна формула за изчисления. Можете да опитате грубо да разделите площта на стая с тази характеристика на правоъгълни елементи и да направите изчисления по стандартния метод. Ако нямате тази възможност, използвайте следните методи:

  • Формула за намиране на площта на кръг:

S room=π*R 2, където

R е радиусът на помещението.

  • Формула за намиране на площта на триъгълник:

S стая = √ (P(P - A) x (P - B) x (P - C)), където

P е полупериметърът на триъгълника.

A, B, C са дължините на страните му.

Следователно P=A+B+C/2

Ако имате някакви затруднения по време на процеса на изчисление, тогава е по-добре да не се измъчвате и да се обърнете към професионалисти.

Площ на стаята с издатини и ниши

Често стените са украсени с декоративни елементи под формата на различни ниши или издатини. Освен това тяхното присъствие може да се дължи на необходимостта да скриете някои неестетични елементи от стаята си. Наличието на первази или ниши на вашата стена означава, че изчислението трябва да се извършва на етапи. Тези. Първо се намира площта на плоска част от стената и след това към нея се добавя площта на нишата или издатината.

Площта на стената се намира по формулата:

S стени = P x C, където

P - периметър

C - височина

Също така трябва да вземете предвид наличието на прозорци и врати. Тяхната площ трябва да се извади от получената стойност.

Стая с таван на няколко нива

Многостепенният таван не усложнява изчисленията толкова, колкото изглежда на пръв поглед. Ако има прост дизайн, тогава изчисленията могат да бъдат направени въз основа на принципа за намиране на площта на стените, усложнена от ниши и издатини.

Въпреки това, ако дизайнът на вашия таван има дъгообразни и вълнообразни елементи, тогава е по-подходящо да определите площта му с помощта на площта на пода. За да направите това ви трябва:

  1. Намерете размерите на всички прави участъци от стени.
  2. Намерете площта на пода.
  3. Умножете дължината и височината на вертикалните секции.
  4. Сумирайте получената стойност с площта на пода.

Инструкции стъпка по стъпка за определяне на общ

площ на помещението

  1. Освободете стаята от ненужни неща. По време на процеса на измерване ще ви трябва Свободен достъпдо всички части на стаята ви, така че трябва да се отървете от всичко, което може да пречи на това.
  2. Визуално разделете стаята на зони с правилна и неправилна форма. Ако стаята ви има строго квадратна или правоъгълна форма, тогава можете да пропуснете тази стъпка.
  3. Направете произволно оформление на стаята. Този чертеж е необходим, така че всички данни да са винаги под ръка. Освен това няма да ви даде възможност да се объркате в многобройни измервания.
  4. Измерванията трябва да се правят няколко пъти. Това важно правилоза отстраняване на грешки в изчисленията. Освен това, ако го използвате, уверете се, че лъчът лежи равномерно върху повърхността на стената.
  5. Намерете общата площ на стаята. Формулата за общата площ на стаята е да се намери сумата от всички площи на отделните секции на стаята. Тези. S общо = S стени+S под+S таван
моб_инфо