វត្តមាននៃការវិវត្តនព្វន្ធនៅក្នុងសមីការភាពខុសគ្នា។ របៀបស្វែងរកភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនព្វន្ធ

ប្រធានបទ "ការវិវត្តនព្វន្ធ" ត្រូវបានសិក្សានៅក្នុងវគ្គសិក្សាទូទៅនៃពិជគណិតនៅក្នុងសាលារៀននៅថ្នាក់ទី 9 ។ ប្រធានបទនេះមានសារៈសំខាន់សម្រាប់ការសិក្សាស៊ីជម្រៅបន្ថែមទៀតអំពីគណិតវិទ្យានៃស៊េរីលេខ។ នៅក្នុងអត្ថបទនេះ យើងនឹងស្គាល់ពីវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ ភាពខុសគ្នារបស់វា ក៏ដូចជាការងារធម្មតាដែលសិស្សសាលាអាចប្រឈមមុខ។

គំនិតនៃការវិវត្តន៍ពិជគណិត

ការវិវត្តជាលេខគឺជាលំដាប់នៃលេខដែលធាតុបន្តបន្ទាប់នីមួយៗអាចទទួលបានពីលេខមុន ប្រសិនបើច្បាប់គណិតវិទ្យាមួយចំនួនត្រូវបានអនុវត្ត។ ពីរនាក់ត្រូវបានគេស្គាល់ ប្រភេទសាមញ្ញវឌ្ឍនភាព៖ ធរណីមាត្រ និងនព្វន្ធ ដែលត្រូវបានគេហៅថាពិជគណិតផងដែរ។ ចូរយើងរស់នៅលើវាឱ្យកាន់តែលម្អិត។

ស្រមៃមើលលេខសមហេតុផលមួយចំនួន បង្ហាញវាដោយនិមិត្តសញ្ញា a 1 ដែលសន្ទស្សន៍បង្ហាញពីលេខធម្មតារបស់វានៅក្នុងស៊េរីដែលកំពុងពិចារណា។ ចូរបន្ថែមលេខផ្សេងទៀតទៅលេខ 1 ចូរសម្គាល់វា d ។ បន្ទាប់មកធាតុទីពីរនៃស៊េរីអាចត្រូវបានឆ្លុះបញ្ចាំងដូចខាងក្រោម: a 2 = a 1 + d ។ ឥឡូវនេះបន្ថែម d ម្តងទៀតយើងទទួលបាន: a 3 = a 2 + d ។ ការបន្តប្រតិបត្តិការគណិតវិទ្យានេះ អ្នកអាចទទួលបានស៊េរីលេខទាំងមូល ដែលនឹងត្រូវបានគេហៅថាការវិវត្តនព្វន្ធ។

ដូចដែលអាចយល់បានពីខាងលើ ដើម្បីស្វែងរកធាតុ n-th នៃលំដាប់នេះ អ្នកត្រូវតែប្រើរូបមន្ត៖ a n = a 1 + (n-1) * d ។ ជាការពិត ការជំនួស n=1 ទៅក្នុងកន្សោម យើងទទួលបាន 1 = a 1 ប្រសិនបើ n = 2 នោះរូបមន្តបង្កប់ន័យ៖ a 2 = a 1 + 1*d ហើយដូច្នេះនៅលើ។

ឧទាហរណ៍ ប្រសិនបើភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនព្វន្ធគឺ 5 និង 1 \u003d 1 នោះមានន័យថាស៊េរីលេខនៃប្រភេទនៅក្នុងសំណួរមើលទៅដូចជា: 1, 6, 11, 16, 21, ... ដូចអ្នក អាចមើលឃើញ សមាជិកនីមួយៗរបស់វាគឺ 5 នាក់ច្រើនជាងសមាជិកមុនៗ។

រូបមន្តភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនព្វន្ធ

ពីនិយមន័យខាងលើនៃស៊េរីលេខដែលកំពុងពិចារណា វាដូចខាងក្រោមដើម្បីកំណត់វា អ្នកត្រូវដឹងពីលេខពីរ៖ a 1 និង d ។ ក្រោយមកទៀតត្រូវបានគេហៅថាភាពខុសគ្នានៃការវិវត្តនេះ។ វាកំណត់ដោយឡែកពីឥរិយាបថនៃស៊េរីទាំងមូល។ ជាការពិតណាស់ ប្រសិនបើ d វិជ្ជមាន នោះស៊េរីលេខនឹងកើនឡើងឥតឈប់ឈរ ផ្ទុយទៅវិញ ក្នុងករណីអវិជ្ជមាន ឃ លេខក្នុងស៊េរីនឹងកើនឡើងតែម៉ូឌុលប៉ុណ្ណោះ ខណៈពេលដែលតម្លៃដាច់ខាតរបស់វានឹងថយចុះជាមួយនឹងការកើនឡើងចំនួន n ។

តើអ្វីជាភាពខុសគ្នារវាងការវិវត្តនព្វន្ធ? ពិចារណារូបមន្តសំខាន់ពីរដែលត្រូវបានប្រើដើម្បីគណនាតម្លៃនេះ៖

1. d = a n + 1 -a n រូបមន្តនេះធ្វើតាមដោយផ្ទាល់ពីនិយមន័យនៃស៊េរីលេខដែលបានពិចារណា។
2. d \u003d (-a 1 + a n) / (n-1) កន្សោមនេះត្រូវបានទទួលដោយការបញ្ចេញមតិ d ពីរូបមន្តដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងកថាខណ្ឌមុននៃអត្ថបទ។ ចំណាំថាកន្សោមនេះក្លាយទៅជាមិនកំណត់ (0/0) ប្រសិនបើ n=1 ។ នេះគឺដោយសារតែការពិតដែលថាវាចាំបាច់ដើម្បីដឹងយ៉ាងហោចណាស់ 2 ធាតុនៃស៊េរីដើម្បីកំណត់ភាពខុសគ្នារបស់វា។

រូបមន្តមូលដ្ឋានទាំងពីរនេះត្រូវបានប្រើដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាណាមួយនៃការស្វែងរកភាពខុសគ្នានៃដំណើរការ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយមានរូបមន្តមួយទៀតដែលអ្នកក៏ត្រូវដឹងផងដែរ។

ផលបូកនៃធាតុដំបូង

រូបមន្តដែលអាចត្រូវបានប្រើដើម្បីកំណត់ផលបូកនៃចំនួនសមាជិកណាមួយនៃដំណើរការពិជគណិតមួយ នេះបើយោងតាមភស្តុតាងប្រវត្តិសាស្ត្រត្រូវបានទទួលជាលើកដំបូងដោយ "ព្រះអង្គម្ចាស់" នៃគណិតវិទ្យានៃសតវត្សទី 18 គឺ Carl Gauss ។ អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រអាឡឺម៉ង់ កាលនៅក្មេង បឋមសិក្សាសាលាភូមិបានកត់សម្គាល់ថាដើម្បីបន្ថែមលេខធម្មជាតិនៅក្នុងស៊េរីពី 1 ដល់ 100 ដំបូងអ្នកត្រូវតែបូកសរុបធាតុទីមួយនិងចុងក្រោយ (តម្លៃលទ្ធផលនឹងស្មើនឹងផលបូកនៃធាតុចុងក្រោយនិងទីពីរ Penultimate និងទីបី។ ហើយដូច្នេះនៅលើ) ហើយបន្ទាប់មកចំនួននេះគួរតែត្រូវបានគុណនឹងចំនួននៃចំនួនទាំងនេះពោលគឺដោយ 50 ។

រូបមន្តដែលឆ្លុះបញ្ចាំងពីលទ្ធផលដែលបានបញ្ជាក់នៅលើឧទាហរណ៍ជាក់លាក់មួយអាចត្រូវបានទូទៅទៅជាករណីតាមអំពើចិត្ត។ វានឹងមើលទៅដូចនេះ៖ S n = n/2*(a n + a 1) ។ ចំណាំថា ដើម្បីស្វែងរកតម្លៃដែលបានបញ្ជាក់ ចំណេះដឹងនៃភាពខុសគ្នា d មិនត្រូវបានទាមទារទេ ប្រសិនបើសមាជិកពីរនៃវឌ្ឍនភាព (a n និង a 1) ត្រូវបានគេស្គាល់។

ឧទាហរណ៍ #1 ។ កំណត់ភាពខុសគ្នាដោយដឹងពីលក្ខខណ្ឌពីរនៃស៊េរី a1 និង an

យើងនឹងបង្ហាញពីរបៀបអនុវត្តរូបមន្តដែលបានចង្អុលបង្ហាញខាងលើនៅក្នុងអត្ថបទ។ ចូរយើងផ្តល់ឧទាហរណ៍សាមញ្ញមួយ៖ ភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនព្វន្ធគឺមិនស្គាល់ទេ វាចាំបាច់ក្នុងការកំណត់ថាតើវានឹងស្មើនឹង 13 \u003d -5.6 និង 1 \u003d -12.1 ។

ដោយសារយើងដឹងពីតម្លៃនៃធាតុពីរនៃលំដាប់លេខ ហើយមួយក្នុងចំណោមពួកគេគឺជាលេខដំបូង យើងអាចប្រើរូបមន្តលេខ 2 ដើម្បីកំណត់ភាពខុសគ្នា d ។ យើងមាន៖ ឃ \u003d (-1 * (-12.1) + (-5.6)) / 12 \u003d 0.54167 ។ នៅក្នុងកន្សោម យើងបានប្រើតម្លៃ n=13 ចាប់តាំងពីសមាជិកដែលមានលេខលំដាប់នេះត្រូវបានគេស្គាល់។

ភាពខុសគ្នាជាលទ្ធផលបង្ហាញថាការវិវត្តកំពុងកើនឡើងទោះបីជាធាតុដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងស្ថានភាពនៃបញ្ហាមានក៏ដោយ។ អត្ថន័យអវិជ្ជមាន. វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញថា a 13 > a 1 ទោះបីជា |a 13 |<|a 1 |.

ឧទាហរណ៍ #2 ។ លក្ខខណ្ឌរីកចម្រើនជាវិជ្ជមានក្នុងឧទាហរណ៍ #1

ចូរប្រើលទ្ធផលដែលទទួលបានក្នុងឧទាហរណ៍មុន ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាថ្មី។ វា​ត្រូវ​បាន​បង្កើត​ឡើង​ដូច​ខាង​ក្រោម៖ តើ​ធាតុ​នៃ​ការ​រីក​ចម្រើន​ក្នុង​ឧទាហរណ៍​លេខ ១ ចាប់​ផ្តើម​យក​តម្លៃ​វិជ្ជមាន​ពី​លេខ​អ្វី?

ដូចដែលបានបង្ហាញ វឌ្ឍនភាពដែល 1 = -12.1 និង d = 0.54167 កំពុងកើនឡើង ដូច្នេះពីចំនួនជាក់លាក់ លេខនឹងយកតែតម្លៃវិជ្ជមានប៉ុណ្ណោះ។ ដើម្បីកំណត់លេខ n នេះ ចាំបាច់ត្រូវដោះស្រាយវិសមភាពសាមញ្ញ ដែលត្រូវបានសរសេរតាមគណិតវិទ្យាដូចខាងក្រោម៖ a n>0 ឬដោយប្រើរូបមន្តសមស្រប យើងសរសេរវិសមភាពឡើងវិញ៖ a 1 + (n-1)*d>0 ។ វាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរក n ដែលមិនស្គាល់សូមបង្ហាញវា: n> -1 * a 1 / d + 1. ឥឡូវនេះវានៅសល់ដើម្បីជំនួស តម្លៃដែលគេស្គាល់ភាពខុសគ្នានិងពាក្យដំបូងនៃលំដាប់។ យើងទទួលបាន៖ n>-1*(-12.1) /0.54167 + 1= 23.338 ឬ n>23.338។ ដោយសារ n អាចយកតែតម្លៃចំនួនគត់ វាធ្វើតាមវិសមភាពដែលទទួលបាន ដែលលក្ខខណ្ឌណាមួយនៃស៊េរីដែលមានលេខធំជាង 23 នឹងមានភាពវិជ្ជមាន។

សូមពិនិត្យមើលចម្លើយរបស់យើងដោយប្រើរូបមន្តខាងលើដើម្បីគណនាធាតុទី 23 និងទី 24 នៃដំណើរការនព្វន្ធនេះ។ យើងមាន៖ a 23 \u003d -12.1 + 22 * ​​0.54167 \u003d -0.18326 (លេខអវិជ្ជមាន); a 24 \u003d -12.1 + 23 * 0.54167 \u003d 0.3584 ( តម្លៃវិជ្ជមាន) ដូច្នេះ លទ្ធផលដែលទទួលបានគឺត្រឹមត្រូវ៖ ចាប់ផ្តើមពី n=24 សមាជិកទាំងអស់នៃស៊េរីលេខនឹងធំជាងសូន្យ។

ឧទាហរណ៍ #3 ។ តើកំណត់ហេតុប៉ុន្មាននឹងសម?

នេះគឺជាបញ្ហាគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍មួយ៖ ក្នុងអំឡុងពេលកាប់ឈើ វាត្រូវបានគេសម្រេចចិត្តដាក់ឈើប្រណិតពីលើគ្នាដូចបង្ហាញក្នុងរូបភាពខាងក្រោម។ តើមានកំណត់ហេតុប៉ុន្មានដែលអាចដាក់ជង់តាមរបៀបនេះ ដោយដឹងថា 10 ជួរនឹងសមជាសរុប?

នៅក្នុងវិធីនៃការបត់កំណត់ហេតុនេះ រឿងគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍មួយអាចត្រូវបានគេកត់សម្គាល់ឃើញ៖ ជួរបន្តបន្ទាប់នីមួយៗនឹងមានកំណត់ហេតុតិចជាងមួយសន្លឹកមុន ពោលគឺមានការវិវឌ្ឍន៍ពិជគណិត ភាពខុសគ្នាគឺ d=1។ ដោយសន្មតថាចំនួនកំណត់ហេតុក្នុងជួរនីមួយៗគឺជាសមាជិកនៃដំណើរការនេះ ហើយថែមទាំងគិតគូរថា 1 = 1 (មានតែកំណត់ហេតុមួយនឹងសមនៅផ្នែកខាងលើបំផុត) យើងរកឃើញលេខ a 10 ។ យើងមាន៖ 10 \u003d 1 + 1 * (10-1) \u003d 10. នោះគឺនៅជួរទី 10 ដែលស្ថិតនៅលើដីនឹងមាន 10 កំណត់ហេតុ។

ចំនួនសរុបនៃការសាងសង់ "សាជីជ្រុង" នេះអាចទទួលបានដោយប្រើរូបមន្ត Gauss ។ យើងទទួលបាន៖ S 10 \u003d 10/2 * (10 + 1) \u003d 55 កំណត់ហេតុ។

នៅពេលសិក្សាពិជគណិតក្នុង សាលាអប់រំទូទៅ(ថ្នាក់ទី៩) ប្រធានបទសំខាន់មួយគឺការសិក្សាអំពីលំដាប់លេខ ដែលរួមមានវឌ្ឍនភាព - ធរណីមាត្រ និងនព្វន្ធ។ នៅក្នុងអត្ថបទនេះ យើងនឹងពិចារណាអំពីវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ និងឧទាហរណ៍ជាមួយនឹងដំណោះស្រាយ។

តើការវិវត្តនព្វន្ធជាអ្វី?

ដើម្បីយល់ពីរឿងនេះ ចាំបាច់ត្រូវផ្តល់និយមន័យនៃវឌ្ឍនភាពដែលកំពុងពិចារណា ក៏ដូចជាផ្តល់រូបមន្តមូលដ្ឋានដែលនឹងត្រូវបានប្រើបន្ថែមទៀតក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហា។

នព្វន្ធ ឬ​ជា​សំណុំ​នៃ​លេខ​សនិទានភាព​ដែល​បាន​តម្រៀប​គ្នា ដែល​សមាជិក​នីមួយៗ​ខុស​ពី​លេខ​មុន​ដោយ​តម្លៃ​ថេរ​មួយ​ចំនួន។ តម្លៃនេះត្រូវបានគេហៅថាភាពខុសគ្នា។ នោះគឺការដឹងពីសមាជិកណាមួយនៃស៊េរីលេខដែលបានបញ្ជាទិញ និងភាពខុសគ្នា អ្នកអាចស្ដារឡើងវិញនូវដំណើរការនព្វន្ធទាំងមូល។

សូមលើកឧទាហរណ៍មួយ។ លំដាប់បន្ទាប់នៃលេខនឹងជាដំណើរការនព្វន្ធៈ 4, 8, 12, 16, ... ចាប់តាំងពីភាពខុសគ្នាក្នុងករណីនេះគឺ 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12) ។ ប៉ុន្តែសំណុំនៃលេខ 3, 5, 8, 12, 17 មិនអាចត្រូវបានគេសន្មតថាជាប្រភេទនៃវឌ្ឍនភាពដែលបានពិចារណាទេព្រោះភាពខុសគ្នាសម្រាប់វាមិនមែនជាតម្លៃថេរ (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - ១២).

រូបមន្តសំខាន់ៗ

ឥឡូវ​នេះ យើង​ផ្តល់​រូបមន្ត​មូលដ្ឋាន​ដែល​នឹង​ត្រូវ​ការ​ដើម្បី​ដោះស្រាយ​បញ្ហា​ដោយ​ប្រើ​ដំណើរការ​នព្វន្ធ។ កំណត់ដោយនិមិត្តសញ្ញា a n សមាជិកទីលំដាប់ដែល n ជាចំនួនគត់។ ភាពខុសគ្នាត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរឡាតាំង ឃ។ បន្ទាប់មកកន្សោមខាងក្រោមគឺពិត៖

1. ដើម្បីកំណត់តម្លៃនៃពាក្យទី n រូបមន្តគឺសមរម្យ: a n \u003d (n-1) * d + a 1 ។
2. ដើម្បីកំណត់ផលបូកនៃពាក្យ n ទីមួយ៖ S n = (a n + a 1) * n/2 ។

ដើម្បីយល់ពីឧទាហរណ៍ណាមួយនៃដំណើរការនព្វន្ធជាមួយនឹងដំណោះស្រាយនៅថ្នាក់ទី 9 វាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការចងចាំរូបមន្តទាំងពីរនេះ ចាប់តាំងពីបញ្ហាណាមួយនៃប្រភេទដែលកំពុងពិចារណាត្រូវបានបង្កើតឡើងនៅលើការប្រើប្រាស់របស់វា។ ដូចគ្នានេះផងដែរកុំភ្លេចថាភាពខុសគ្នានៃដំណើរការត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត: d = a n - a n-1 ។

ឧទាហរណ៍ទី 1៖ ស្វែងរកសមាជិកដែលមិនស្គាល់

យើងផ្តល់ឧទាហរណ៍សាមញ្ញមួយនៃដំណើរការនព្វន្ធ និងរូបមន្តដែលត្រូវប្រើដើម្បីដោះស្រាយ។

សូមឱ្យលំដាប់លេខ 10, 8, 6, 4, ... ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ វាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកពាក្យប្រាំនៅក្នុងវា។

វាធ្វើតាមលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហាដែលពាក្យ 4 ដំបូងត្រូវបានគេស្គាល់។ ទីប្រាំអាចត្រូវបានកំណត់តាមពីរវិធី:

1. ចូរយើងគណនាភាពខុសគ្នាជាមុនសិន។ យើងមានៈ d = 8 − 10 = −2 ។ ស្រដៀងគ្នានេះដែរ មនុស្សម្នាក់អាចទទួលយកលក្ខខណ្ឌពីរផ្សេងទៀតដែលឈរក្បែរគ្នា។ ឧទាហរណ៍ d = 4 − 6 = −2 ។ ដោយសារវាត្រូវបានគេដឹងថា d \u003d a n - a n-1 បន្ទាប់មក d \u003d a 5 - a 4 ពីកន្លែងដែលយើងទទួលបាន: a 5 \u003d a 4 + d ។ យើងជំនួសតម្លៃដែលគេស្គាល់៖ a 5 = 4 + (-2) = 2 ។
2. វិធីសាស្រ្តទីពីរក៏តម្រូវឱ្យមានចំនេះដឹងនៃភាពខុសគ្នានៃការវិវត្តនៅក្នុងសំណួរដូច្នេះដំបូងអ្នកត្រូវកំណត់វាដូចបានបង្ហាញខាងលើ (d = -2) ។ ដោយដឹងថាពាក្យទីមួយ a 1 = 10 យើងប្រើរូបមន្តសម្រាប់លេខ n នៃលំដាប់។ យើងមាន៖ a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n ។ ការជំនួស n = 5 ចូលទៅក្នុងកន្សោមចុងក្រោយយើងទទួលបាន: a 5 = 12-2 * 5 = 2 ។

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញដំណោះស្រាយទាំងពីរនាំឱ្យមានលទ្ធផលដូចគ្នា។ ចំណាំថាក្នុងឧទាហរណ៍នេះ ភាពខុសគ្នា d នៃដំណើរការគឺអវិជ្ជមាន។ លំដាប់​បែប​នេះ​ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅ​ថា​ការ​ថយ​ចុះ ព្រោះ​ពាក្យ​បន្តបន្ទាប់​នីមួយៗ​មាន​ចំនួន​តិច​ជាង​ពាក្យ​មុន។

ឧទាហរណ៍ទី ២៖ ភាពខុសគ្នានៃដំណើរការ

ឥឡូវ​នេះ​សូម​ធ្វើ​ឱ្យ​កិច្ចការ​ស្មុគស្មាញ​បន្តិច សូម​ផ្តល់​ឧទាហរណ៍​មួយ​អំពី​របៀប​ស្វែង​រក​ភាព​ខុស​គ្នា​នៃ​ការ​រីក​ចម្រើន​នព្វន្ធ។

វាត្រូវបានគេដឹងថានៅក្នុងដំណើរការពិជគណិតមួយចំនួន វគ្គទី 1 ស្មើនឹង 6 ហើយពាក្យទី 7 ស្មើនឹង 18 ។ វាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកភាពខុសគ្នា និងស្ដារលំដាប់នេះទៅពាក្យទី 7 ។

ចូរប្រើរូបមន្តដើម្បីកំណត់ពាក្យដែលមិនស្គាល់៖ a n = (n − 1) * d + a 1 ។ យើងជំនួសទិន្នន័យដែលគេស្គាល់ពីលក្ខខណ្ឌទៅក្នុងវា នោះគឺលេខ a 1 និង a 7 យើងមាន: 18 \u003d 6 + 6 * ឃ។ ពីកន្សោមនេះអ្នកអាចគណនាភាពខុសគ្នាយ៉ាងងាយស្រួល: d = (18 - 6) / 6 = 2. ដូច្នេះផ្នែកដំបូងនៃបញ្ហាត្រូវបានឆ្លើយ។

ដើម្បីស្តារលំដាប់ទៅសមាជិកទី 7 អ្នកគួរតែប្រើនិយមន័យនៃដំណើរការពិជគណិត នោះគឺ a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d ហើយដូច្នេះនៅលើ។ ជាលទ្ធផលយើងស្តារលំដាប់ទាំងមូលឡើងវិញ៖ a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 និង 7 = 18 ។

ឧទាហរណ៍ទី 3: ធ្វើឱ្យមានការរីកចម្រើន

អនុញ្ញាតឱ្យយើងធ្វើឱ្យស្ថានភាពនៃបញ្ហាកាន់តែស្មុគស្មាញ។ ឥឡូវអ្នកត្រូវឆ្លើយសំណួរអំពីរបៀបស្វែងរកការវិវត្តនព្វន្ធ។ យើងអាចផ្តល់ឧទាហរណ៍ខាងក្រោម៖ លេខពីរត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ឧទាហរណ៍ 4 និង 5។ វាចាំបាច់ក្នុងការធ្វើឱ្យមានដំណើរការពិជគណិត ដើម្បីឱ្យពាក្យបីទៀតសមរវាងពាក្យទាំងនេះ។

មុនពេលចាប់ផ្តើមដោះស្រាយបញ្ហានេះ វាចាំបាច់ត្រូវយល់ពីកន្លែងដែលលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យនឹងកាន់កាប់នៅក្នុងការវិវត្តនាពេលអនាគត។ ដោយសារវានឹងមានពាក្យបីបន្ថែមទៀតរវាងពួកវា បន្ទាប់មក 1 \u003d -4 និង 5 \u003d 5។ ដោយបានបង្កើតវា យើងបន្តទៅកិច្ចការដែលស្រដៀងនឹងពាក្យមុននេះ។ ជាថ្មីម្តងទៀតសម្រាប់ពាក្យទី 9 យើងប្រើរូបមន្តយើងទទួលបាន: a 5 \u003d a 1 + 4 * ឃ។ ពី៖ ឃ \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2.25 ។ នៅទីនេះ ភាពខុសគ្នាមិនមែនជាតម្លៃចំនួនគត់ទេ ប៉ុន្តែវាជាលេខសមហេតុផល ដូច្នេះរូបមន្តសម្រាប់ដំណើរការពិជគណិតនៅតែដដែល។

ឥឡូវនេះ ចូរយើងបន្ថែមភាពខុសគ្នាដែលបានរកឃើញទៅ 1 និងស្ដារសមាជិកដែលបាត់នៃដំណើរការ។ យើងទទួលបាន៖ a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75, a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5, a 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75, a 5 \u003d 2.75 + 2.25 \u,0 ដែលស្របគ្នានឹងស្ថានភាពនៃបញ្ហា។

ឧទាហរណ៍ទី ៤៖ សមាជិកដំបូងនៃការវិវត្ត

យើងបន្តផ្តល់ឧទាហរណ៍នៃដំណើរការនព្វន្ធជាមួយនឹងដំណោះស្រាយមួយ។ នៅក្នុងបញ្ហាមុនទាំងអស់ លេខដំបូងនៃដំណើរការពិជគណិតត្រូវបានគេដឹង។ ឥឡូវនេះពិចារណាបញ្ហានៃប្រភេទផ្សេងគ្នា: អនុញ្ញាតឱ្យលេខពីរត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដែល 15 = 50 និង 43 = 37 ។ វាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកពីលេខដែលលំដាប់នេះចាប់ផ្តើម។

រូបមន្ត​ដែល​ត្រូវ​បាន​ប្រើ​រហូត​មក​ដល់​ពេល​នេះ​សន្មត​ថា​មាន​ចំណេះ​ដឹង​អំពី 1 និង ឃ។ គ្មានអ្វីត្រូវបានគេដឹងអំពីលេខទាំងនេះនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហានោះទេ។ យ៉ាង​ណា​ក៏​ដោយ ចូរ​យើង​សរសេរ​កន្សោម​សម្រាប់​ពាក្យ​នីមួយៗ​ដែល​យើង​មាន​ព័ត៌មាន៖ a 15 = a 1 + 14 * d និង a 43 = a 1 + 42 * d ។ យើងទទួលបានសមីការពីរដែលក្នុងនោះមាន 2 មិនស្គាល់បរិមាណ (a 1 និង d) ។ នេះមានន័យថាបញ្ហាត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ។

ប្រព័ន្ធដែលបានបញ្ជាក់គឺងាយស្រួលបំផុតដើម្បីដោះស្រាយ ប្រសិនបើអ្នកបង្ហាញ 1 ក្នុងសមីការនីមួយៗ ហើយបន្ទាប់មកប្រៀបធៀបកន្សោមលទ្ធផល។ សមីការទីមួយ៖ a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; សមីការទីពីរ៖ a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * ឃ។ ស្មើនឹងកន្សោមទាំងនេះយើងទទួលបាន៖ 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, ភាពខុសគ្នា d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0.464 (មានតែ 3 ខ្ទង់ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ) ។

ដោយដឹងថា d អ្នកអាចប្រើកន្សោមណាមួយនៃ 2 ខាងលើសម្រាប់ 1 ។ ឧទាហរណ៍ដំបូង៖ a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0.464) \u003d 56.496 ។

ប្រសិនបើមានការសង្ស័យអំពីលទ្ធផលអ្នកអាចពិនិត្យមើលវាឧទាហរណ៍កំណត់សមាជិកទី 43 នៃការវិវត្តដែលបានបញ្ជាក់នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌ។ យើងទទួលបាន៖ a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56.496 + 42 * (- 0.464) \u003d 37.008 ។ កំហុសតូចមួយគឺដោយសារតែការពិតដែលថាការបង្គត់ទៅខ្ទង់ពាន់ត្រូវបានប្រើក្នុងការគណនា។

ឧទាហរណ៍ទី ៥៖ ផលបូក

ឥឡូវនេះ សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយចំនួនជាមួយនឹងដំណោះស្រាយសម្រាប់ផលបូកនៃដំណើរការនព្វន្ធមួយ។

សូម​ឱ្យ​ការ​វិវត្ត​ជា​លេខ​នៃ​ទម្រង់​ខាង​ក្រោម​ត្រូវ​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ៖ 1, 2, 3, 4, ... , ។ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីគណនាផលបូកនៃ 100 នៃលេខទាំងនេះ?

សូមអរគុណដល់ការអភិវឌ្ឍន៍ បច្ចេកវិទ្យា​កុំព្យូទ័រអ្នកអាចដោះស្រាយបញ្ហានេះបាន ពោលគឺបញ្ចូលលេខទាំងអស់ជាបន្តបន្ទាប់ ដែលកុំព្យូទ័រនឹងធ្វើភ្លាមៗនៅពេលដែលមនុស្សចុចគ្រាប់ចុចបញ្ចូល។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ បញ្ហាអាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយស្មារតី ប្រសិនបើអ្នកយកចិត្តទុកដាក់ថាស៊េរីលេខដែលបានបង្ហាញគឺជាការវិវត្តនៃពិជគណិត ហើយភាពខុសគ្នារបស់វាគឺ 1. ការអនុវត្តរូបមន្តសម្រាប់ផលបូក យើងទទួលបាន៖ S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050 ។

វាជាការចង់ដឹងចង់ឃើញដែលបញ្ហានេះត្រូវបានគេហៅថា "Gaussian" ចាប់តាំងពីដើមសតវត្សទី 18 ជនជាតិអាឡឺម៉ង់ដ៏ល្បីល្បាញដែលនៅអាយុត្រឹមតែ 10 ឆ្នាំអាចដោះស្រាយវាបាននៅក្នុងចិត្តរបស់គាត់ក្នុងរយៈពេលពីរបីវិនាទី។ ក្មេងប្រុសមិនបានដឹងពីរូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃដំណើរការពិជគណិតទេ ប៉ុន្តែគាត់បានកត់សម្គាល់ថាប្រសិនបើអ្នកបន្ថែមលេខគូដែលមានទីតាំងនៅគែមនៃលំដាប់ អ្នកតែងតែទទួលបានលទ្ធផលដូចគ្នា នោះគឺ 1 + 100 = 2 + 99 ។ = 3 + 98 = ... ហើយចាប់តាំងពីផលបូកទាំងនេះនឹងពិតជា 50 (100 / 2) បន្ទាប់មកដើម្បីទទួលបានចម្លើយត្រឹមត្រូវ វាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការគុណ 50 ដោយ 101 ។

ឧទាហរណ៍ទី ៦៖ ផលបូកនៃពាក្យពី n ដល់ m

ឧទាហរណ៍ធម្មតាមួយទៀតនៃផលបូកនៃដំណើរការនព្វន្ធគឺដូចខាងក្រោម៖ ដែលបានផ្ដល់ជាស៊េរីលេខ៖ 3, 7, 11, 15, ... អ្នកត្រូវស្វែងរកអ្វីដែលផលបូកនៃពាក្យរបស់វាពី 8 ដល់ 14 នឹងមាន។

បញ្ហាត្រូវបានដោះស្រាយតាមពីរវិធី។ ទីមួយនៃពួកគេពាក់ព័ន្ធនឹងការស្វែងរកពាក្យដែលមិនស្គាល់ពី 8 ទៅ 14 ហើយបន្ទាប់មកបូកសរុបវាតាមលំដាប់លំដោយ។ ដោយសារ​មាន​លក្ខខណ្ឌ​តិចតួច វិធីសាស្ត្រ​នេះ​មិន​ពិបាក​គ្រប់គ្រាន់​ទេ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយវាត្រូវបានស្នើឡើងដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហានេះដោយវិធីសាស្រ្តទីពីរដែលជាសកលជាង។

គំនិតនេះគឺដើម្បីទទួលបានរូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃដំណើរការពិជគណិតរវាងពាក្យ m និង n ដែល n > m ជាចំនួនគត់។ សម្រាប់ករណីទាំងពីរ យើងសរសេរកន្សោមពីរសម្រាប់ផលបូក៖

1. S m \u003d m * (a m + a 1) / 2 ។
2. S n \u003d n * (a n + a 1) / 2 ។

ចាប់តាំងពី n > m វាច្បាស់ណាស់ថាផលបូក 2 រួមបញ្ចូលលេខទីមួយ។ ការសន្និដ្ឋានចុងក្រោយមានន័យថាប្រសិនបើយើងយកភាពខុសគ្នារវាងផលបូកទាំងនេះហើយបន្ថែមពាក្យ a m ទៅវា (ក្នុងករណីយកភាពខុសគ្នាវាត្រូវបានដកចេញពីផលបូក S n) នោះយើងទទួលបានចម្លើយចាំបាច់ចំពោះបញ្ហា។ យើងមាន៖ S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2) ។ វាចាំបាច់ក្នុងការជំនួសរូបមន្តសម្រាប់ n និង m ទៅក្នុងកន្សោមនេះ។ បន្ទាប់មកយើងទទួលបាន៖ S mn = a 1 * (n − m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n − m + 1) + d * n * (n − 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2 ។

រូបមន្តលទ្ធផលគឺពិបាកបន្តិច ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ផលបូក S mn អាស្រ័យតែលើ n, m, a 1 និង d ប៉ុណ្ណោះ។ ក្នុងករណីរបស់យើង a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. ការជំនួសលេខទាំងនេះយើងទទួលបាន: S mn = 301 ។

ដូចដែលអាចមើលឃើញពីដំណោះស្រាយខាងលើ បញ្ហាទាំងអស់គឺផ្អែកលើចំណេះដឹងនៃការបញ្ចេញមតិសម្រាប់ពាក្យទី 1 និងរូបមន្តសម្រាប់ផលបូកនៃសំណុំនៃពាក្យទីមួយ។ មុនពេលអ្នកចាប់ផ្តើមដោះស្រាយបញ្ហាទាំងនេះ វាត្រូវបានណែនាំឱ្យអ្នកអានលក្ខខណ្ឌដោយប្រុងប្រយ័ត្ន យល់យ៉ាងច្បាស់អំពីអ្វីដែលអ្នកចង់ស្វែងរក ហើយមានតែបន្តដំណោះស្រាយប៉ុណ្ណោះ។

គន្លឹះមួយទៀតគឺត្រូវខិតខំឱ្យមានភាពសាមញ្ញ ពោលគឺប្រសិនបើអ្នកអាចឆ្លើយសំណួរដោយមិនប្រើការគណនាគណិតវិទ្យាស្មុគ្រស្មាញ នោះអ្នកត្រូវធ្វើដូច្នេះ ព្រោះក្នុងករណីនេះប្រូបាប៊ីលីតេនៃការធ្វើខុសគឺតិចជាង។ ឧទាហរណ៍ក្នុងឧទាហរណ៍នៃដំណើរការនព្វន្ធជាមួយនឹងដំណោះស្រាយលេខ 6 មួយអាចឈប់នៅរូបមន្ត S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m និង បំបែកភារកិច្ចទូទៅទៅជាកិច្ចការរងដាច់ដោយឡែក (ក្នុងករណីនេះដំបូងរកពាក្យ a n និង a m) ។

ប្រសិនបើមានការសង្ស័យអំពីលទ្ធផលដែលទទួលបាន វាត្រូវបានណែនាំឱ្យពិនិត្យមើលវា ដូចដែលបានធ្វើនៅក្នុងឧទាហរណ៍មួយចំនួនដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ របៀបស្វែងរកការវិវត្តនព្វន្ធ, បានរកឃើញ។ ពេល​យល់​ឃើញ​ហើយ វា​មិន​ពិបាក​នោះ​ទេ។

បាទ/ចាស៎៖ វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធមិនមែនជារបស់លេងសម្រាប់អ្នកទេ :)

ជាការប្រសើរណាស់, មិត្តភក្តិ, ប្រសិនបើអ្នកកំពុងអានអត្ថបទនេះ, បន្ទាប់មកភស្តុតាង cap ខាងក្នុងប្រាប់ខ្ញុំថាអ្នកនៅតែមិនដឹងថាតើការវិវត្តនព្វន្ធគឺជាអ្វី, ប៉ុន្តែអ្នកពិតជា (មិនដូចនេះ: SOOOOO!) ចង់ដឹង។ ដូច្នេះហើយ ខ្ញុំនឹងមិនធ្វើទារុណកម្មអ្នកដោយការណែនាំដ៏វែង ហើយនឹងចុះទៅអាជីវកម្មភ្លាមៗ។

ដើម្បីចាប់ផ្តើមឧទាហរណ៍ពីរបី។ ពិចារណាសំណុំលេខជាច្រើន៖

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\2\sqrt(2);\3\sqrt(2);...$

តើឈុតទាំងអស់នេះមានអ្វីដូចគ្នា? នៅ glance ដំបូង, គ្មានអ្វី។ ប៉ុន្តែតាមពិតមានអ្វីមួយ។ ពោលគឺ៖ ធាតុបន្ទាប់នីមួយៗខុសពីធាតុមុនដោយលេខដូចគ្នា។.

វិនិច្ឆ័យសម្រាប់ខ្លួនអ្នក។ ឈុតទីមួយគ្រាន់តែជាលេខជាប់គ្នា លេខនីមួយៗច្រើនជាងលេខមុន។ ក្នុងករណីទី 2 ភាពខុសគ្នារវាងលេខដែលនៅជាប់គ្នាគឺស្មើនឹងប្រាំរួចទៅហើយ ប៉ុន្តែភាពខុសគ្នានេះនៅតែថេរ។ ក្នុងករណីទីបីមានឫសជាទូទៅ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$ ខណៈពេលដែល $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, i.e. ក្នុងករណីដែលធាតុបន្ទាប់នីមួយៗគ្រាន់តែកើនឡើង $\sqrt(2)$ (ហើយកុំខ្លាចថាចំនួននេះគឺមិនសមហេតុផល)។

ដូច្នេះ៖ លំដាប់​ទាំង​អស់​នេះ​គ្រាន់​តែ​ហៅ​ថា​វឌ្ឍនភាព​នព្វន្ធ។ ចូរយើងផ្តល់និយមន័យដ៏តឹងរឹងមួយ៖

និយមន័យ។ លំដាប់នៃលេខដែលនីមួយៗបន្ទាប់ខុសគ្នាពីលេខមុនដោយចំនួនដូចគ្នាយ៉ាងពិតប្រាកដត្រូវបានគេហៅថា វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ។ ចំនួន​ដែល​លេខ​ខុស​គ្នា​ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅ​ថា ភាព​ខុស​គ្នា​នៃ​ការ​រីក​ចម្រើន ហើយ​ច្រើន​តែ​បង្ហាញ​ដោយ​អក្សរ $d$។

កំណត់សម្គាល់៖ $\left(((a)_(n)) \right)$ គឺជាការវិវត្តខ្លួនវា $d$ គឺជាភាពខុសគ្នារបស់វា។

ហើយគ្រាន់តែជាការកត់សម្គាល់សំខាន់ពីរបីប៉ុណ្ណោះ។ ទីមួយការវិវត្តត្រូវបានពិចារណាតែប៉ុណ្ណោះ សណ្តាប់ធ្នាប់លំដាប់លេខ៖ ពួកគេត្រូវបានអនុញ្ញាតឱ្យអានយ៉ាងតឹងរ៉ឹងតាមលំដាប់ដែលពួកគេត្រូវបានសរសេរ - ហើយគ្មានអ្វីផ្សេងទៀតទេ។ អ្នកមិនអាចរៀបចំឡើងវិញ ឬប្តូរលេខបានទេ។

ទីពីរ លំដាប់​ខ្លួន​វា​អាច​មាន​កំណត់ ឬ​គ្មាន​កំណត់។ ឧទាហរណ៍ សំណុំ (1; 2; 3) គឺច្បាស់ជាដំណើរការនព្វន្ធកំណត់។ ប៉ុន្តែប្រសិនបើអ្នកសរសេរអ្វីមួយដូចជា (1; 2; 3; 4; ... ) - នេះគឺជាវឌ្ឍនភាពគ្មានទីបញ្ចប់រួចទៅហើយ។ រាងពងក្រពើបន្ទាប់ពីទាំងបួនដូចដែលវាត្រូវបានគេណែនាំថាចំនួនច្រើនទៅមុខទៀត។ ច្រើនឥតកំណត់ ជាឧទាហរណ៍។ :)

ខ្ញុំ​ក៏​ចង់​កត់​សម្គាល់​ដែរ​ថា វឌ្ឍនភាព​កំពុង​កើនឡើង និង​ថយ​ចុះ។ យើងបានឃើញការកើនឡើងរួចទៅហើយ - សំណុំដូចគ្នា (1; 2; 3; 4; ... ) ។ នេះគឺជាឧទាហរណ៍នៃការថយចុះវឌ្ឍនភាព៖

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\sqrt(5)-1;\sqrt(5)-2;\sqrt(5)-3;...$

មិនអីទេ មិនអីទេ៖ ឧទាហរណ៍ចុងក្រោយអាចហាក់ដូចជាស្មុគស្មាញពេក។ ប៉ុន្តែនៅសល់ ខ្ញុំគិតថាអ្នកយល់។ ដូច្នេះ យើងណែនាំនិយមន័យថ្មី៖

និយមន័យ។ ការវិវត្តនព្វន្ធត្រូវបានគេហៅថា៖

1. ការកើនឡើងប្រសិនបើធាតុបន្ទាប់នីមួយៗធំជាងធាតុមុន;
2. ថយចុះ ប្រសិនបើផ្ទុយទៅវិញ ធាតុបន្តបន្ទាប់នីមួយៗគឺតិចជាងធាតុមុន។

លើសពីនេះទៀតមានអ្វីដែលគេហៅថា "ស្ថានី" លំដាប់ - ពួកគេមានលេខដដែលៗ។ ឧទាហរណ៍ (៣; ៣; ៣; ...)។

មានតែសំណួរមួយប៉ុណ្ណោះដែលនៅសេសសល់៖ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីសម្គាល់វឌ្ឍនភាពដែលកំពុងកើនឡើងពីការថយចុះមួយ? ជាសំណាងល្អ អ្វីគ្រប់យ៉ាងនៅទីនេះអាស្រ័យតែលើសញ្ញានៃលេខ $d$, i.e. ភាពខុសគ្នានៃដំណើរការ៖

1. ប្រសិនបើ $d \gt 0$ នោះការវិវត្តកំពុងកើនឡើង។
2. ប្រសិនបើ $d \lt 0$ នោះការវិវឌ្ឍន៍ជាក់ស្តែងនឹងថយចុះ។
3. ជាចុងក្រោយ មានករណី $d=0$ — ក្នុងករណីនេះ ដំណើរការទាំងមូលត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាលំដាប់លំដោយនៃលេខដូចគ្នា៖ (1; 1; 1; 1; ...) ។ល។

ចូរយើងព្យាយាមគណនាភាពខុសគ្នា $d$ សម្រាប់ការថយចុះចំនួនបីខាងលើ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះវាគ្រប់គ្រាន់ហើយក្នុងការយកធាតុពីរដែលនៅជាប់គ្នា (ឧទាហរណ៍ទីមួយនិងទីពីរ) ហើយដកពីលេខនៅខាងស្តាំលេខនៅខាងឆ្វេង។ វានឹងមើលទៅដូចនេះ៖

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$ ។

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញនៅក្នុងករណីទាំងបីភាពខុសគ្នាពិតជាប្រែទៅជាអវិជ្ជមាន។ ហើយឥឡូវនេះ យើងបានរកឃើញនិយមន័យច្រើន ឬតិច វាជាពេលវេលាដើម្បីរកឱ្យឃើញពីរបៀបដែលវឌ្ឍនភាពត្រូវបានពិពណ៌នា និងលក្ខណៈសម្បត្តិអ្វីដែលពួកគេមាន។

សមាជិក​នៃ​ការ​រីក​ចម្រើន និង​រូបមន្ត​ដែល​កើតឡើង​ដដែលៗ

ដោយសារ​ធាតុ​នៃ​លំដាប់​របស់​យើង​មិន​អាច​ផ្លាស់ប្តូរ​គ្នា​បាន ពួកវា​អាច​ត្រូវ​បាន​លេខ​រៀង៖

\[\left(((a)_(n)) \\right)=\left\(((a)_(1)),\((a)_(2)),((a)_(3) )) ... \ ស្តាំ\)\]

ធាតុបុគ្គលនៃសំណុំនេះត្រូវបានគេហៅថាសមាជិកនៃវឌ្ឍនភាព។ ពួកវាត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញតាមរបៀបនេះដោយមានជំនួយពីលេខមួយ: សមាជិកទីមួយ សមាជិកទីពីរ ជាដើម។

លើសពីនេះទៀត ដូចដែលយើងដឹងរួចមកហើយ សមាជិកជិតខាងនៃវឌ្ឍនភាពត្រូវបានទាក់ទងគ្នាដោយរូបមន្ត៖

\[(((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rightarrow ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

សរុបមក ដើម្បីស្វែងរកពាក្យ $n$th នៃវឌ្ឍនភាព អ្នកត្រូវដឹងពីពាក្យ $n-1$th និងភាពខុសគ្នា $d$។ រូបមន្តបែបនេះត្រូវបានគេហៅថាកើតឡើងដដែលៗ ពីព្រោះដោយមានជំនួយរបស់វា អ្នកអាចស្វែងរកលេខណាមួយ ដោយគ្រាន់តែដឹងពីលេខមុន (ហើយតាមពិត លេខមុនទាំងអស់)។ នេះគឺជាការរអាក់រអួលខ្លាំងណាស់ ដូច្នេះមានរូបមន្តដ៏ពិបាកជាងនេះ ដែលកាត់បន្ថយការគណនាណាមួយទៅពាក្យទីមួយ និងភាពខុសគ្នា៖

\[(((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1\right)d\]

អ្នកប្រហែលជាធ្លាប់ឆ្លងកាត់រូបមន្តនេះពីមុនមក។ ពួកគេចូលចិត្តផ្តល់ឱ្យវានៅក្នុងគ្រប់ប្រភេទនៃសៀវភៅយោងនិង reshebniks ។ ហើយ​ក្នុង​សៀវភៅ​សិក្សា​គណិតវិទ្យា​ដែល​សមហេតុផល​ណាមួយ វា​គឺ​ជា​សៀវភៅ​ដំបូង​គេ​មួយ​។

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ខ្ញុំស្នើឱ្យអ្នកអនុវត្តបន្តិច។

លេខកិច្ចការ 1 ។ សរសេរពាក្យបីដំបូងនៃដំណើរការនព្វន្ធ $\left(((a)_(n)) \right)$ if $((a)_(1))=8,d=-5$ ។

ដំណោះស្រាយ។ ដូច្នេះ យើងដឹងពីពាក្យដំបូង $((a)_(1))=8$ និងភាពខុសគ្នានៃវឌ្ឍនភាព $d=-5$។ ចូរប្រើរូបមន្តដែលទើបតែផ្តល់ឲ្យ ហើយជំនួស $n=1$, $n=2$ និង $n=3$៖

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1\right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1\right)d=((a)_(1))+d=8-5= ៣; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1\right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -២. \\ \end(តម្រឹម)\]

ចម្លើយ៖ (៨; ៣; -២)

អស់ហើយ! ចំណាំថាការវិវត្តរបស់យើងកំពុងថយចុះ។

ជា​ការ​ពិត​ណាស់ $n=1$ មិន​អាច​ត្រូវ​បាន​ជំនួស​បាន​ទេ - យើង​បាន​ដឹង​ហើយ​ពាក្យ​ដំបូង​។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ តាមរយៈការជំនួសឯកតា យើងបានធ្វើឱ្យប្រាកដថា សូម្បីតែសម្រាប់ពាក្យទីមួយ រូបមន្តរបស់យើងដំណើរការ។ ក្នុងករណីផ្សេងទៀត អ្វីគ្រប់យ៉ាងបានធ្លាក់មកលេខនព្វន្ធ banal ។

លេខកិច្ចការ 2 ។ សរសេរពាក្យបីដំបូងនៃដំណើរការនព្វន្ធ ប្រសិនបើពាក្យទីប្រាំពីររបស់វាគឺ −40 ហើយពាក្យទីដប់ប្រាំពីររបស់វាគឺ −50។

ដំណោះស្រាយ។ យើងសរសេរលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហាក្នុងលក្ខខណ្ឌធម្មតា៖

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(តម្រឹម) \\ ស្តាំ។

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \ ត្រូវ។\]

ខ្ញុំដាក់សញ្ញានៃប្រព័ន្ធព្រោះតម្រូវការទាំងនេះត្រូវតែបំពេញក្នុងពេលដំណាលគ្នា។ ហើយឥឡូវនេះយើងកត់សំគាល់ថាប្រសិនបើយើងដកសមីការទីមួយចេញពីសមីការទីពីរ (យើងមានសិទ្ធិធ្វើដូច្នេះព្រោះយើងមានប្រព័ន្ធ) យើងទទួលបាននេះ:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \\right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(តម្រឹម)\]

ដូច​នេះ យើង​បាន​រក​ឃើញ​ភាព​ខុស​គ្នា​នៃ​ការ​រីក​ចម្រើន! វានៅសល់ដើម្បីជំនួសលេខដែលបានរកឃើញនៅក្នុងសមីការណាមួយនៃប្រព័ន្ធ។ ឧទាហរណ៍នៅក្នុងទីមួយ៖

\\[\begin(ម៉ាទ្រីស) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \\ ចុះក្រោម \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((ក)_(១))=-៤០+៦=-៣៤។ \\ \ បញ្ចប់ (ម៉ាទ្រីស) \\]

ឥឡូវនេះ ដោយដឹងពីពាក្យទីមួយ និងភាពខុសគ្នា វានៅតែត្រូវស្វែងរកពាក្យទីពីរ និងទីបី៖

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((ក)_(៣))=((ក)_(១))+២d=-៣៤-២=-៣៦។ \\ \end(តម្រឹម)\]

រួចរាល់ហើយ! បញ្ហាត្រូវបានដោះស្រាយ។

ចម្លើយ៖ (-៣៤; -៣៥; -៣៦)

សូមកត់សម្គាល់នូវទ្រព្យសម្បត្តិគួរឱ្យចង់ដឹងអំពីវឌ្ឍនភាពដែលយើងបានរកឃើញ៖ ប្រសិនបើយើងយកពាក្យ $n$th និង $m$th ហើយដកវាចេញពីគ្នាទៅវិញទៅមក យើងទទួលបានភាពខុសគ្នានៃវឌ្ឍនភាពគុណនឹងចំនួន $n-m$៖

\[(((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m\right)\]

សាមញ្ញ ប៉ុន្តែខ្លាំងណាស់ ទ្រព្យសម្បត្តិមានប្រយោជន៍ដែលអ្នកប្រាកដជាត្រូវដឹង - ដោយមានជំនួយរបស់វា អ្នកអាចបង្កើនល្បឿនដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាជាច្រើនដែលកំពុងដំណើរការ។ នេះគឺជាឧទាហរណ៍សំខាន់នៃរឿងនេះ៖

លេខកិច្ចការ 3 ។ ពាក្យទីប្រាំនៃដំណើរការនព្វន្ធគឺ 8.4 ហើយពាក្យទីដប់របស់វាគឺ 14.4 ។ ស្វែងរកពាក្យទីដប់ប្រាំនៃវឌ្ឍនភាពនេះ។

ដំណោះស្រាយ។ ចាប់តាំងពី $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$ ហើយយើងត្រូវស្វែងរក $((a)_(15))$ យើងកត់សំគាល់ដូចខាងក្រោម៖

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((ក)_(១០))-((ក)_(៥))=៥ឃ។ \\ \end(តម្រឹម)\]

ប៉ុន្តែតាមលក្ខខណ្ឌ $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$ ដូច្នេះ $5d=6$ យើងមាន៖

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14.4=20.4។ \\ \end(តម្រឹម)\]

ចម្លើយ៖ ២០.៤

អស់ហើយ! យើងមិនចាំបាច់បង្កើតប្រព័ន្ធសមីការណាមួយ ហើយគណនាពាក្យទីមួយ និងភាពខុសគ្នានោះទេ - អ្វីគ្រប់យ៉ាងត្រូវបានសម្រេចត្រឹមតែពីរបីបន្ទាត់ប៉ុណ្ណោះ។

ឥឡូវនេះ ចូរយើងពិចារណាអំពីបញ្ហាមួយប្រភេទទៀត - ការស្វែងរកសមាជិកអវិជ្ជមាន និងវិជ្ជមាននៃវឌ្ឍនភាព។ វាមិនមែនជារឿងសម្ងាត់ទេដែលថា ប្រសិនបើការវិវឌ្ឍន៍កើនឡើង ខណៈពេលដែលពាក្យទីមួយរបស់វាគឺអវិជ្ជមាន នោះមិនយូរមិនឆាប់ពាក្យវិជ្ជមាននឹងលេចឡើងនៅក្នុងវា។ ហើយផ្ទុយមកវិញ៖ លក្ខខណ្ឌនៃការថយចុះនៃដំណើរការនឹងឆាប់ឬក្រោយមកក្លាយជាអវិជ្ជមាន។

ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះវានៅឆ្ងាយពីតែងតែអាចរកឃើញពេលនេះ "នៅលើថ្ងាស" ដោយតម្រៀបតាមលំដាប់នៃធាតុ។ ជារឿយៗ បញ្ហាត្រូវបានរៀបចំឡើងតាមរបៀបដែលដោយមិនដឹងពីរូបមន្ត ការគណនានឹងយកសន្លឹកជាច្រើនសន្លឹក យើងនឹងងងុយគេងរហូតដល់យើងរកឃើញចម្លើយ។ ដូច្នេះ​ហើយ យើង​នឹង​ព្យាយាម​ដោះស្រាយ​បញ្ហា​ទាំងនេះ​ឱ្យ​បាន​លឿន​ជាង​មុន ។

លេខកិច្ចការ 4 ។ តើមានពាក្យអវិជ្ជមានប៉ុន្មានក្នុងដំណើរការនព្វន្ធ -38.5; -៣៥.៨; …?

ដំណោះស្រាយ។ ដូច្នេះ $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$ ដែលយើងរកឃើញភាពខុសគ្នាភ្លាមៗ៖

ចំណាំថាភាពខុសគ្នាគឺវិជ្ជមាន ដូច្នេះការវិវត្តកំពុងកើនឡើង។ ពាក្យ​ទីមួយ​គឺ​អវិជ្ជមាន ដូច្នេះ​នៅ​ពេល​ណាមួយ​យើង​នឹង​ជំពប់​ដួល​លើ​លេខ​វិជ្ជមាន។ សំណួរតែមួយគត់គឺនៅពេលណាដែលរឿងនេះនឹងកើតឡើង។

ចូរយើងព្យាយាមស្វែងយល់៖ តើរយៈពេលប៉ុន្មាន (ឧ. រហូតដល់ចំនួនធម្មជាតិ $n$) ភាពអវិជ្ជមាននៃលក្ខខណ្ឌត្រូវបានរក្សាទុក៖

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \ ត្រឹមត្រូវ។ \\ & -385+27\cdot \left(n-1\right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max))=15. \\ \end(តម្រឹម)\]

បន្ទាត់ចុងក្រោយត្រូវការការបំភ្លឺ។ ដូច្នេះយើងដឹងថា $n \lt 15\frac(7)(27)$ ។ ម៉្យាងវិញទៀត មានតែតម្លៃចំនួនគត់នៃចំនួនគត់ដែលសាកសមនឹងយើង (លើសពីនេះទៅទៀត៖ $n\in \mathbb(N)$) ដូច្នេះចំនួនដែលអាចអនុញ្ញាតបានធំបំផុតគឺ $n=15$ ហើយគ្មានករណី 16 ទេ។

កិច្ចការទី 5 ។ នៅក្នុងដំណើរការនព្វន្ធ $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$ ។ ស្វែងរកចំនួននៃពាក្យវិជ្ជមានដំបូងនៃដំណើរការនេះ។

នេះពិតជាបញ្ហាដូចគ្នានឹងបញ្ហាមុនដែរ ប៉ុន្តែយើងមិនដឹង $((a)_(1))$ ទេ។ ប៉ុន្តែពាក្យដែលនៅជិតខាងត្រូវបានគេស្គាល់ថា $((a)_(5))$ និង $((a)_(6))$ ដូច្នេះយើងអាចរកឃើញភាពខុសគ្នានៃវឌ្ឍនភាពយ៉ាងងាយស្រួល៖

បន្ថែមពីលើនេះ ចូរយើងព្យាយាមបង្ហាញពាក្យទីប្រាំនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃទីមួយ និងភាពខុសគ្នាដោយប្រើរូបមន្តស្តង់ដារ៖

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162 ។ \\ \end(តម្រឹម)\]

ឥឡូវនេះយើងបន្តដោយការប្រៀបធៀបជាមួយបញ្ហាមុន។ យើងស្វែងយល់ថាតើចំណុចអ្វីខ្លះនៅក្នុងលេខវិជ្ជមានលំដាប់របស់យើងនឹងបង្ហាញឡើង៖

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \\ gt 165; \\ & n \gt 55\Rightarrow ((n)_(\min ))=56. \\ \end(តម្រឹម)\]

ដំណោះស្រាយចំនួនគត់អប្បបរមានៃវិសមភាពនេះគឺលេខ 56 ។

សូមចំណាំថានៅក្នុងកិច្ចការចុងក្រោយ អ្វីគ្រប់យ៉ាងត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាវិសមភាពដ៏តឹងរឹង ដូច្នេះជម្រើស $n=55$ នឹងមិនសមនឹងយើងទេ។

ឥឡូវ​នេះ​យើង​បាន​រៀន​ពី​របៀប​ដោះ​ស្រាយ​បញ្ហា​សាមញ្ញ​ហើយ សូម​បន្ត​ទៅ​កាន់​បញ្ហា​ស្មុគស្មាញ​បន្ថែម​ទៀត។ ប៉ុន្តែជាដំបូង ចូរយើងស្វែងយល់អំពីទ្រព្យសម្បត្តិដ៏មានប្រយោជន៍មួយទៀតនៃដំណើរការនព្វន្ធ ដែលនឹងជួយសន្សំសំចៃពេលវេលាច្រើន និងកោសិកាមិនស្មើគ្នានាពេលអនាគត។ :)

មធ្យមនព្វន្ធ និងការចូលបន្ទាត់ស្មើគ្នា

ពិចារណាលក្ខខណ្ឌជាប់ៗគ្នាជាច្រើននៃការកើនឡើងនព្វន្ធ $\left(((a)_(n)) \right)$ ។ តោះព្យាយាមសម្គាល់ពួកវានៅលើបន្ទាត់លេខ៖

សមាជិកវឌ្ឍនភាពនព្វន្ធនៅលើបន្ទាត់លេខ

ខ្ញុំបានកត់សម្គាល់ជាពិសេសអំពីសមាជិកបំពាន $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, និងមិនមែន $((a)_(1)) , \((a)_(2)),\((a)_(3))$ ។ល។ ដោយសារតែច្បាប់ដែលខ្ញុំនឹងប្រាប់អ្នកឥឡូវនេះ ដំណើរការដូចគ្នាសម្រាប់ "ផ្នែក" ណាមួយ។

ហើយច្បាប់គឺសាមញ្ញណាស់។ ចូរយើងចងចាំរូបមន្តដដែលៗ ហើយសរសេរវាចុះសម្រាប់សមាជិកដែលបានសម្គាល់ទាំងអស់៖

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(តម្រឹម)\]

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ សមភាពទាំងនេះអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញខុសគ្នា៖

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(តម្រឹម)\]

អញ្ចឹងតើអ្វីទៅ? ប៉ុន្តែការពិតដែលពាក្យ $((a)_(n-1))$ និង $((a)_(n+1))$ ស្ថិតនៅចម្ងាយដូចគ្នាពី $((a)_(n))$ . ហើយចម្ងាយនេះគឺស្មើនឹង $d$។ ដូចគ្នានេះដែរអាចត្រូវបាននិយាយអំពីពាក្យ $((a)_(n-2))$ និង $((a)_(n+2))$ - ពួកគេក៏ត្រូវបានដកចេញពី $((a)_(n) ផងដែរ។ )$ ដោយចម្ងាយដូចគ្នាស្មើនឹង $2d$ ។ អ្នកអាចបន្តដោយគ្មានកំណត់ ប៉ុន្តែរូបភាពបង្ហាញអត្ថន័យបានយ៉ាងល្អ

សមាជិកនៃវឌ្ឍនភាពស្ថិតនៅចម្ងាយដូចគ្នាពីមជ្ឈមណ្ឌល

តើនេះមានន័យយ៉ាងណាចំពោះយើង? នេះមានន័យថាអ្នកអាចស្វែងរក $((a)_(n))$ ប្រសិនបើលេខដែលនៅជិតខាងត្រូវបានគេស្គាល់៖

\[(((a)_(n))=\frac((((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

យើងបានកាត់ចេញនូវសេចក្តីថ្លែងការណ៍ដ៏អស្ចារ្យមួយ៖ សមាជិកនីមួយៗនៃដំណើរការនព្វន្ធគឺស្មើនឹងមធ្យមនព្វន្ធរបស់សមាជិកជិតខាង! លើសពីនេះទៅទៀត យើងអាចបង្វែរពី $((a)_(n))$ របស់យើងទៅខាងឆ្វេង និងទៅខាងស្តាំ មិនមែនមួយជំហានទេ ប៉ុន្តែដោយជំហាន $k$ — ហើយនៅតែរូបមន្តនឹងត្រឹមត្រូវ៖

\[(((a)_(n))=\frac((((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

ទាំងនោះ។ យើងអាចស្វែងរកបានយ៉ាងងាយស្រួល $((a)_(150))$ ប្រសិនបើយើងដឹង $((a)_(100))$ និង $((a)_(200))$ ព្រោះ $((a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$។ នៅ glance ដំបូង, វាអាចហាក់ដូចជាថាការពិតនេះមិនបានផ្តល់ឱ្យយើងនូវអ្វីដែលមានប្រយោជន៍។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ នៅក្នុងការអនុវត្ត កិច្ចការជាច្រើនត្រូវបាន "ធ្វើឱ្យច្បាស់" ពិសេសសម្រាប់ការប្រើប្រាស់មធ្យមនព្វន្ធ។ សូមក្រឡេកមើល៖

លេខកិច្ចការ 6 ។ ស្វែងរកតម្លៃទាំងអស់នៃ $x$ ដូចជាលេខ $-6((x)^(2))$, $x+1$ និង $14+4((x)^(2))$ គឺជាសមាជិកជាប់គ្នានៃ វឌ្ឍនភាពនព្វន្ធ (តាមលំដាប់ជាក់លាក់) ។

ដំណោះស្រាយ។ ដោយសារលេខទាំងនេះគឺជាសមាជិកនៃវឌ្ឍនភាពមួយ លក្ខខណ្ឌមធ្យមនព្វន្ធគឺពេញចិត្តសម្រាប់ពួកគេ៖ ធាតុកណ្តាល $x+1$ អាចត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃធាតុជិតខាង៖

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(២))+x-៦=០។ \\ \end(តម្រឹម)\]

លទ្ធផល​គឺ​សមីការ​ការ៉េ​បុរាណ។ ឫសរបស់វា៖ $x=2$ និង $x=-3$ គឺជាចម្លើយ។

ចម្លើយ៖ -៣; ២.

លេខកិច្ចការ 7 ។ ស្វែងរកតម្លៃនៃ $$ ដែលលេខ $-1;4-3;(()^(2))+1$ បង្កើតជាដំណើរការនព្វន្ធ (តាមលំដាប់នោះ)។

ដំណោះស្រាយ។ ជាថ្មីម្តងទៀត យើងបង្ហាញពាក្យកណ្តាលក្នុងន័យនព្វន្ធនៃន័យជិតខាង៖

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \\ cdot 2 \\ ស្តាំ។ \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(២))-៧x+៦=០។ \\ \end(តម្រឹម)\]

សមីការ​ការ៉េ​មួយ​ទៀត។ ហើយម្តងទៀតឫសពីរ៖ $x=6$ និង $x=1$ ។

ចម្លើយ៖ ១; ៦.

ប្រសិនបើនៅក្នុងដំណើរការនៃការដោះស្រាយបញ្ហា អ្នកទទួលបានលេខដ៏ឃោរឃៅមួយចំនួន ឬអ្នកមិនប្រាកដទាំងស្រុងអំពីភាពត្រឹមត្រូវនៃចម្លើយដែលបានរកឃើញនោះ មានល្បិចដ៏អស្ចារ្យមួយដែលអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកពិនិត្យមើល៖ តើយើងបានដោះស្រាយបញ្ហាត្រឹមត្រូវទេ?

ចូរនិយាយថានៅក្នុងបញ្ហាទី 6 យើងទទួលបានចម្លើយ -3 និង 2 ។ តើយើងអាចពិនិត្យមើលដោយរបៀបណាថាចម្លើយទាំងនេះត្រឹមត្រូវ? ចូរយើងគ្រាន់តែដោតពួកវាទៅក្នុងស្ថានភាពដើម ហើយមើលថាមានអ្វីកើតឡើង។ ខ្ញុំសូមរំលឹកអ្នកថា យើងមានលេខបី ($-6()^(2))$, $+1$ និង $14+4(()^(2))$) ដែលគួរតែបង្កើតជាដំណើរការនព្វន្ធ។ ជំនួស $x=-3$:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & ១៤+៤((x)^(២))=៥០។ \end(តម្រឹម)\]

យើងទទួលបានលេខ -54; −២; 50 ដែលខុសគ្នាដោយ 52 គឺពិតជាការវិវត្តនព្វន្ធ។ រឿងដដែលនេះកើតឡើងសម្រាប់ $x=2$:

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & ១៤+៤((x)^(២))=៣០។ \end(តម្រឹម)\]

ការវិវត្តម្តងទៀត ប៉ុន្តែជាមួយនឹងភាពខុសគ្នានៃ 27 ។ ដូច្នេះបញ្ហាត្រូវបានដោះស្រាយយ៉ាងត្រឹមត្រូវ។ អ្នក​ដែល​ប្រាថ្នា​អាច​ពិនិត្យ​កិច្ចការ​ទី​ពីរ​បាន​ដោយ​ខ្លួន​ឯង ប៉ុន្តែ​ខ្ញុំ​នឹង​និយាយ​ភ្លាម​ថា​៖ អ្វីៗ​ក៏​ត្រឹមត្រូវ​ដែរ​។

ជាទូទៅ ពេលដោះស្រាយកិច្ចការចុងក្រោយ យើងបានជំពប់ដួលលើកិច្ចការមួយទៀត ការពិតគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ដែលត្រូវចងចាំផងដែរ៖

ប្រសិនបើលេខបីគឺដូចជាលេខ ទីពីរគឺជាមធ្យមនៃទីមួយ និងចុងក្រោយ នោះលេខទាំងនេះបង្កើតជាដំណើរការនព្វន្ធ។

នៅពេលអនាគត ការយល់ដឹងអំពីសេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះនឹងអនុញ្ញាតឱ្យយើង "សាងសង់" តាមព្យញ្ជនៈនូវការវិវត្តចាំបាច់ដោយផ្អែកលើស្ថានភាពនៃបញ្ហា។ ប៉ុន្តែមុនពេលយើងចូលរួមក្នុង "ការសាងសង់" បែបនេះយើងគួរតែយកចិត្តទុកដាក់លើការពិតមួយទៀតដែលធ្វើតាមដោយផ្ទាល់ពីអ្វីដែលបានពិចារណារួចហើយ។

ការដាក់ជាក្រុម និងផលបូកនៃធាតុ

ចូរយើងត្រលប់ទៅបន្ទាត់លេខម្តងទៀត។ យើងកត់សំគាល់ថាមានសមាជិកមួយចំនួននៃវឌ្ឍនភាព រវាងនោះ ប្រហែលជា។ មានតម្លៃសមាជិកផ្សេងទៀតជាច្រើន៖

ធាតុ 6 ត្រូវបានសម្គាល់នៅលើបន្ទាត់លេខ

តោះព្យាយាមបង្ហាញ "កន្ទុយឆ្វេង" ក្នុងន័យ $((a)_(n))$ និង $d$ និង "កន្ទុយស្តាំ" ក្នុងន័យ $((a)_(k))$ និង $ d$។ វាសាមញ្ញណាស់៖

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(តម្រឹម)\]

ឥឡូវចំណាំថាផលបូកខាងក្រោមគឺស្មើគ្នា៖

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= ស; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= ស. \end(តម្រឹម)\]

និយាយឱ្យសាមញ្ញ ប្រសិនបើយើងពិចារណាថាជាធាតុចាប់ផ្តើមពីរនៃវឌ្ឍនភាព ដែលសរុបស្មើនឹងចំនួនមួយចំនួន $S$ ហើយបន្ទាប់មកយើងចាប់ផ្តើមបោះជំហានពីធាតុទាំងនេះក្នុងទិសដៅផ្ទុយគ្នា (ឆ្ពោះទៅរកគ្នាទៅវិញទៅមក ឬផ្ទុយមកវិញដើម្បីផ្លាស់ទីទៅឆ្ងាយ) បន្ទាប់មក ផលបូកនៃធាតុដែលយើងនឹងជំពប់ដួលក៏នឹងស្មើគ្នាដែរ។$S$។ នេះអាចត្រូវបានតំណាងយ៉ាងល្អបំផុតតាមក្រាហ្វិក៖

ការចូលបន្ទាត់ដូចគ្នាផ្តល់ផលបូកស្មើគ្នា

ការយល់ដឹង ការពិតនេះ។នឹងអនុញ្ញាតឱ្យយើងដោះស្រាយបញ្ហាជាមូលដ្ឋានបន្ថែមទៀត កម្រិតខ្ពស់ភាពស្មុគស្មាញជាងអ្វីដែលបានពិភាក្សាខាងលើ។ ឧទាហរណ៍ទាំងនេះ៖

លេខកិច្ចការ 8 ។ កំណត់ភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនព្វន្ធដែលពាក្យទីមួយគឺ 66 ហើយផលគុណនៃពាក្យទីពីរ និងដប់ពីរគឺតូចបំផុតដែលអាចធ្វើទៅបាន។

ដំណោះស្រាយ។ តោះសរសេរអ្វីទាំងអស់ដែលយើងដឹង៖

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min ។ \end(តម្រឹម)\]

ដូច្នេះ យើងមិនដឹងពីភាពខុសគ្នានៃវឌ្ឍនភាព $d$ ទេ។ តាមពិតដំណោះស្រាយទាំងមូលនឹងត្រូវបានបង្កើតឡើងជុំវិញភាពខុសគ្នា ចាប់តាំងពីផលិតផល $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ អាចសរសេរឡើងវិញដូចខាងក្រោម៖

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2)) \\cdot ((a)_(12))=\left(66+d\right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ &=11 \\ cdot ឆ្វេង (d + ៦៦ \\ ស្តាំ) \\ cdot \\ ឆ្វេង (d + ៦ \\ ស្តាំ) ។ \end(តម្រឹម)\]

សម្រាប់អ្នកនៅក្នុងធុង: ខ្ញុំបានយកកត្តាទូទៅ 11 ចេញពីតង្កៀបទីពីរ។ ដូច្នេះផលិតផលដែលចង់បានគឺជាមុខងារបួនជ្រុងដែលទាក់ទងនឹងអថេរ $d$ ។ ដូច្នេះ សូមពិចារណាមុខងារ $f\left(d\right)=11\left(d+66\right)\left(d+6\right)$ - ក្រាហ្វរបស់វានឹងក្លាយជាប៉ារ៉ាបូឡាដែលមានមែកធាងឡើង ពីព្រោះ ប្រសិនបើយើងបើកតង្កៀបយើងទទួលបាន៖

\[\begin(align) & f\left(d\right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញ មេគុណដែលមានពាក្យខ្ពស់បំផុតគឺ 11 - នេះគឺជាចំនួនវិជ្ជមាន ដូច្នេះយើងពិតជាកំពុងដោះស្រាយជាមួយប៉ារ៉ាបូឡាដែលមានសាខាឡើងលើ៖

ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍បួនជ្រុង - ប៉ារ៉ាបូឡា

សូមចំណាំ៖ ប៉ារ៉ាបូឡានេះយកតម្លៃអប្បបរមារបស់វានៅចំនុចកំពូលរបស់វាជាមួយនឹង abscissa $((d)_(0))$ ។ ជាការពិតណាស់ យើងអាចគណនា abscissa នេះតាមគ្រោងការណ៍ស្តង់ដារ (មានរូបមន្ត $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$) ប៉ុន្តែវានឹងសមហេតុផលជាងនេះទៅទៀត។ ចំណាំថាចំនុចកំពូលដែលចង់បានស្ថិតនៅលើអ័ក្សស៊ីមេទ្រីនៃប៉ារ៉ាបូឡា ដូច្នេះចំនុច $((d)_(0))$ គឺស្មើគ្នាពីឫសនៃសមីការ $f\left(d\right)=0$:

\[\begin(align) & f\left(d\right)=0; \\ & 11 \\ cdot \\ ឆ្វេង (d + ៦៦ \\ ស្តាំ) \\ cdot \\ ឆ្វេង (d + ៦ \\ ស្តាំ) = ០; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(តម្រឹម)\]

នោះហើយជាមូលហេតុដែលខ្ញុំមិនប្រញាប់ដើម្បីបើកតង្កៀប: នៅក្នុងទម្រង់ដើមឫសគឺងាយស្រួលរកណាស់។ ដូច្នេះ abscissa គឺស្មើនឹងមធ្យមនព្វន្ធនៃលេខ −66 និង −6:

\[(((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

តើអ្វីផ្តល់ឱ្យយើងនូវលេខដែលបានរកឃើញ? ជាមួយវា ផលិតផលដែលត្រូវការយកតម្លៃតូចបំផុត (ដោយវិធីនេះ យើងមិនបានគណនា $((y)_(\min ))$ - វាមិនត្រូវបានទាមទារពីយើងទេ)។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះចំនួននេះគឺជាភាពខុសគ្នានៃការវិវត្តដំបូង, i.e. យើងបានរកឃើញចម្លើយ។ :)

ចម្លើយ៖ -៣៦

លេខកិច្ចការ 9 ។ បញ្ចូលលេខបីរវាងលេខ $-\frac(1)(2)$ និង $-\frac(1)(6)$ ដូច្នេះ រួមជាមួយនឹងលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យពួកគេបង្កើតជាដំណើរការនព្វន្ធ។

ដំណោះស្រាយ។ តាមពិតយើងត្រូវធ្វើលំដាប់លេខប្រាំ ដោយលេខទីមួយ និងលេខចុងក្រោយគេដឹងរួចហើយ។ សម្គាល់លេខដែលបាត់ដោយអថេរ $x$, $y$ និង $z$៖

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\(-\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6)\right\ )\]

ចំណាំថាលេខ $y$ គឺជា "កណ្តាល" នៃលំដាប់របស់យើង - វាស្មើគ្នាពីលេខ $x$ និង $z$ និងពីលេខ $-\frac(1)(2)$ និង $-\frac (1)(6)$។ ហើយប្រសិនបើពីលេខ $x$ និង $z$ យើងចូល ពេលនេះយើងមិនអាចទទួលបាន $y$ ទេ បន្ទាប់មកស្ថានភាពគឺខុសគ្នាជាមួយនឹងការបញ្ចប់នៃដំណើរការ។ ចងចាំអត្ថន័យនព្វន្ធ៖

ឥឡូវនេះ ដោយដឹងថា $y$ យើងនឹងរកឃើញលេខដែលនៅសល់។ ចំណាំថា $x$ ស្ថិតនៅចន្លោះ $-\frac(1)(2)$ និង $y=-\frac(1)(3)$ ទើបរកឃើញ។ នោះ​ហើយ​ជា​មូល​ហេតុ​ដែល

ប្រកែកស្រដៀងគ្នានេះ យើងរកឃើញចំនួនដែលនៅសល់៖

រួចរាល់ហើយ! យើងបានរកឃើញលេខទាំងបី។ ចូរសរសេរពួកវាចុះក្នុងចំលើយតាមលំដាប់លំដោយ ដែលគួរបញ្ចូលរវាងលេខដើម។

ចម្លើយ៖ $-\frac(5)(12);\-\frac(1)(3);\-\frac(1)(4)$

លេខកិច្ចការ 10 ។ នៅចន្លោះលេខ 2 និង 42 បញ្ចូលលេខជាច្រើនដែលរួមជាមួយនឹងលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យបង្កើតជាដំណើរការនព្វន្ធ ប្រសិនបើគេដឹងថាផលបូកនៃលេខទីមួយ ទីពីរ និងចុងក្រោយនៃលេខដែលបានបញ្ចូលគឺ 56។

ដំណោះស្រាយ។ កិច្ចការដែលពិបាកជាងនេះទៅទៀត ដែលទោះជាយ៉ាងណា វាត្រូវបានដោះស្រាយតាមរបៀបដូចគ្នានឹងកិច្ចការមុនៗដែរ - តាមរយៈមធ្យមនព្វន្ធ។ បញ្ហាគឺយើងមិនដឹងថាត្រូវបញ្ចូលលេខប៉ុន្មានទេ។ ដូច្នេះសម្រាប់ភាពច្បាស់លាស់ យើងសន្មត់ថាបន្ទាប់ពីការបញ្ចូលវានឹងមានចំនួន $n$ យ៉ាងពិតប្រាកដ ហើយលេខទីមួយគឺ 2 ហើយចុងក្រោយគឺ 42។ ក្នុងករណីនេះ ការវិវត្តនព្វន្ធដែលចង់បានអាចត្រូវបានតំណាងដូចជា៖

\\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\(2;((a)_(2));((a)_(3));...;((( a)_(n-1));42 \right\)\]

\[(((a)_(2))+((a)_(3))+(a)_(n-1))=56\]

ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ សូមចំណាំថា លេខ $((a)_(2))$ និង $((a)_(n-1))$ ត្រូវបានទទួលពីលេខ 2 និង 42 ដែលឈរនៅគែមដោយមួយជំហានឆ្ពោះទៅរកគ្នាទៅវិញទៅមក។ , ឧ.. ទៅកណ្តាលនៃលំដាប់។ ហើយនេះមានន័យថា

\[(((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

ប៉ុន្តែបន្ទាប់មកកន្សោមខាងលើអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញដូចនេះ:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \\right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((ក)_(៣))=៥៦-៤៤=១២។ \\ \end(តម្រឹម)\]

ដោយដឹងថា $((a)_(3))$ និង $((a)_(1))$ យើងអាចស្វែងរកភាពខុសគ្នានៃដំណើរការបានយ៉ាងងាយស្រួល៖

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1\right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10 ព្រួញស្ដាំ d=5 ។ \\ \end(តម្រឹម)\]

វានៅសល់តែដើម្បីស្វែងរកសមាជិកដែលនៅសល់៖

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(តម្រឹម)\]

ដូច្នេះហើយនៅជំហានទី 9 យើងនឹងមកដល់ចុងខាងឆ្វេងនៃលំដាប់ - លេខ 42 ។ សរុបមកមានតែ 7 លេខប៉ុណ្ណោះដែលត្រូវបញ្ចូល: 7; ១២; ១៧; ២២; ២៧; ៣២; ៣៧.

ចម្លើយ៖ ៧; ១២; ១៧; ២២; ២៧; ៣២; ៣៧

អត្ថបទកិច្ចការជាមួយវឌ្ឍនភាព

សរុបសេចក្តីមក ខ្ញុំចង់ពិចារណាពីបញ្ហាសាមញ្ញមួយចំនួន។ ជាការប្រសើរណាស់ ដូចជារឿងសាមញ្ញៗ៖ សម្រាប់សិស្សភាគច្រើនដែលសិក្សាគណិតវិទ្យានៅសាលា ហើយមិនបានអានអ្វីដែលបានសរសេរខាងលើ កិច្ចការទាំងនេះអាចហាក់ដូចជាកាយវិការមួយ។ យ៉ាង​ណា​ក៏​ដោយ វា​គឺ​ជា​កិច្ចការ​ដែល​កើត​ឡើង​ក្នុង​ OGE និង USE ក្នុង​គណិតវិទ្យា ដូច្នេះ​ខ្ញុំ​សូម​ណែនាំ​ឱ្យ​អ្នក​ស្គាល់​ខ្លួន​អ្នក​ជាមួយ​ពួកគេ។

លេខកិច្ចការ 11 ។ ក្រុមនេះផលិតបាន 62 ផ្នែកក្នុងខែមករា ហើយក្នុងខែបន្តបន្ទាប់គ្នា ពួកគេផលិតបាន 14 ផ្នែកច្រើនជាងកាលពីមុន ។ តើកងពលតូចផលិតបានប៉ុន្មានផ្នែកក្នុងខែវិច្ឆិកា?

ដំណោះស្រាយ។ ជាក់ស្តែង ចំនួននៃផ្នែកដែលត្រូវបានលាបពណ៌តាមខែ នឹងក្លាយជាការរីកចំរើនផ្នែកនព្វន្ធ។ និង៖

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1\right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

ខែវិច្ឆិកា គឺជាខែទី 11 នៃឆ្នាំ ដូច្នេះយើងត្រូវស្វែងរក $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

ដូច្នេះ 202 ផ្នែកនឹងត្រូវបានផលិតនៅក្នុងខែវិច្ឆិកា។

លេខកិច្ចការ 12 ។ សិក្ខាសាលាចងសៀវភៅបានចងសៀវភៅចំនួន 216 ក្បាលក្នុងខែមករា ហើយក្នុងខែបន្ទាប់ វាបានចងសៀវភៅចំនួន 4 ក្បាលច្រើនជាងសៀវភៅមុន។ តើសិក្ខាសាលាបានចងសៀវភៅប៉ុន្មានក្បាលក្នុងខែធ្នូ?

ដំណោះស្រាយ។ ដូចគ្នា​ទាំងអស់:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1\right)\cdot 4. \\ \end(align)$

ខែធ្នូគឺជាខែចុងក្រោយនៃឆ្នាំទី 12 ដូច្នេះយើងកំពុងស្វែងរក $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

នេះគឺជាចម្លើយ - សៀវភៅចំនួន 260 ក្បាលនឹងត្រូវបានចងនៅខែធ្នូ។

ជាការប្រសើរណាស់, ប្រសិនបើអ្នកបានអានឆ្ងាយនេះ, ខ្ញុំប្រញាប់ដើម្បីអបអរសាទរអ្នក: អ្នកបានបញ្ចប់ដោយជោគជ័យ "វគ្គសិក្សាអ្នកប្រយុទ្ធវ័យក្មេង" នៅក្នុងការរីកចម្រើននព្វន្ធ។ យើងអាចបន្តទៅមេរៀនបន្ទាប់ដោយសុវត្ថិភាព ដែលយើងនឹងសិក្សារូបមន្តផលបូកនៃវឌ្ឍនភាព ក៏ដូចជាផលវិបាកសំខាន់ៗ និងមានប្រយោជន៍បំផុតពីវា។

មនុស្សជាច្រើនបានលឺអំពីដំណើរការនព្វន្ធ ប៉ុន្តែមិនមែនគ្រប់គ្នាសុទ្ធតែដឹងច្បាស់ថាវាជាអ្វីនោះទេ។ នៅក្នុងអត្ថបទនេះ យើងនឹងផ្តល់និយមន័យដែលត្រូវគ្នា ហើយក៏ពិចារណាលើសំណួរអំពីរបៀបស្វែងរកភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនព្វន្ធ និងផ្តល់ឧទាហរណ៍មួយចំនួន។

និយមន័យគណិតវិទ្យា

ដូច្នេះ ប្រសិនបើយើងកំពុងនិយាយអំពីការវិវត្តនព្វន្ធ ឬពិជគណិត (គោលគំនិតទាំងនេះកំណត់រឿងដូចគ្នា) នោះមានន័យថាមានស៊េរីលេខមួយចំនួនដែលបំពេញច្បាប់ខាងក្រោម៖ រាល់លេខដែលនៅជាប់គ្នាពីរក្នុងស៊េរីខុសគ្នាដោយតម្លៃដូចគ្នា។ តាមគណិតវិទ្យា វាត្រូវបានសរសេរដូចនេះ៖

នៅទីនេះ n មានន័យថាចំនួននៃធាតុ a n ក្នុងលំដាប់ ហើយលេខ d គឺជាភាពខុសគ្នានៃដំណើរការ (ឈ្មោះរបស់វាធ្វើតាមរូបមន្តដែលបានបង្ហាញ)។

តើការដឹងពីភាពខុសគ្នាមានន័យដូចម្តេច? អំពី​ចំនួន​ដែល​នៅ​ជាប់​គ្នា​ឆ្ងាយ​ពី​គ្នា។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ចំនេះដឹងនៃ d គឺជាលក្ខខណ្ឌចាំបាច់ ប៉ុន្តែមិនគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់កំណត់ (ស្តារ) ការវិវត្តន៍ទាំងមូលនោះទេ។ អ្នកត្រូវស្គាល់លេខមួយបន្ថែមទៀត ដែលអាចជាធាតុណាមួយនៃស៊េរីដែលកំពុងពិចារណា ឧទាហរណ៍ a 4, a10 ប៉ុន្តែតាមក្បួនលេខទីមួយត្រូវបានប្រើ នោះគឺ a 1 ។

រូបមន្តសម្រាប់កំណត់ធាតុនៃវឌ្ឍនភាព

ជាទូទៅ ព័ត៌មានខាងលើគឺគ្រប់គ្រាន់រួចហើយ ដើម្បីបន្តទៅដោះស្រាយបញ្ហាជាក់លាក់។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ មុនពេលដំណើរការនព្វន្ធត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ហើយវានឹងចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកភាពខុសគ្នារបស់វា យើងបង្ហាញរូបមន្តមានប្រយោជន៍មួយចំនួន ដោយហេតុនេះជួយសម្រួលដល់ដំណើរការជាបន្តបន្ទាប់នៃការដោះស្រាយបញ្ហា។

វាងាយស្រួលក្នុងការបង្ហាញថាធាតុណាមួយនៃលំដាប់ដែលមានលេខ n អាចត្រូវបានរកឃើញដូចខាងក្រោម:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * ឃ

ជាការពិតណាស់ មនុស្សគ្រប់គ្នាអាចពិនិត្យមើលរូបមន្តនេះដោយការរាប់លេខសាមញ្ញ៖ ប្រសិនបើយើងជំនួស n=1 នោះយើងទទួលបានធាតុទីមួយ ប្រសិនបើយើងជំនួស n=2 នោះកន្សោមផ្តល់ផលបូកនៃលេខទីមួយ និងភាពខុសគ្នា ហើយដូច្នេះនៅលើ។

ល័ក្ខខ័ណ្ឌនៃបញ្ហាជាច្រើនត្រូវបានចងក្រងតាមរបៀបដែលសម្រាប់គូដែលស្គាល់លេខដែលត្រូវបានផ្តល់ឱ្យក្នុងលំដាប់ផងដែរវាចាំបាច់ក្នុងការស្ដារស៊េរីលេខទាំងមូល (ស្វែងរកភាពខុសគ្នានិងធាតុទីមួយ) ។ ឥឡូវនេះយើងនឹងដោះស្រាយបញ្ហានេះតាមរបៀបទូទៅ។

ដូច្នេះ ចូរនិយាយថាយើងត្រូវបានផ្តល់ធាតុពីរដែលមានលេខ n និង m ។ ដោយប្រើរូបមន្តដែលទទួលបានខាងលើ យើងអាចបង្កើតប្រព័ន្ធនៃសមីការពីរ៖

a n \u003d a 1 + (n - 1) * ឃ;

a m = a 1 + (m − 1) * ឃ

ដើម្បីស្វែងរកបរិមាណដែលមិនស្គាល់ យើងប្រើវិធីសាស្ត្រសាមញ្ញដែលគេស្គាល់សម្រាប់ការដោះស្រាយប្រព័ន្ធបែបនេះ៖ យើងដកផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំជាគូ ខណៈពេលដែលសមភាពនៅតែមានសុពលភាព។ យើង​មាន:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * ឃ;

a n - a m = (n − 1) * d - (m − 1) * d = d * (n - m)

ដូច្នេះ យើង​បាន​លុប​បំបាត់​មួយ​ដែល​មិន​ស្គាល់ (a 1)។ ឥឡូវនេះយើងអាចសរសេរកន្សោមចុងក្រោយសម្រាប់កំណត់ d:

d = (a n - a m) / (n - m), ដែល n > m

យើងទទួលបានរូបមន្តសាមញ្ញបំផុត៖ ដើម្បីគណនាភាពខុសគ្នា ឃ ស្របតាមលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា វាគ្រាន់តែជាការចាំបាច់ដើម្បីយកសមាមាត្រនៃភាពខុសគ្នារវាងធាតុខ្លួនឯង និងលេខសៀរៀលរបស់វា។ ការយកចិត្តទុកដាក់គួរត្រូវបានបង់ទៅចំណុចសំខាន់មួយ៖ ភាពខុសគ្នាត្រូវបានយករវាងសមាជិក "ជាន់ខ្ពស់" និង "តូច" ពោលគឺ n\u003e m ("ជាន់ខ្ពស់" - មានន័យថាឈរនៅឆ្ងាយពីការចាប់ផ្តើមនៃលំដាប់ តម្លៃដាច់ខាតរបស់វាអាច ធាតុ "ក្មេង" តិចឬច្រើន) ។

កន្សោមសម្រាប់ភាពខុសគ្នា d នៃវឌ្ឍនភាពគួរតែត្រូវបានជំនួសទៅក្នុងសមីការណាមួយនៅដើមដំបូងនៃដំណោះស្រាយនៃបញ្ហា ដើម្បីទទួលបានតម្លៃនៃពាក្យទីមួយ។

នៅក្នុងយុគសម័យនៃការអភិវឌ្ឍន៍បច្ចេកវិទ្យាកុំព្យូទ័ររបស់យើង សិស្សសាលាជាច្រើនព្យាយាមស្វែងរកដំណោះស្រាយសម្រាប់កិច្ចការរបស់ពួកគេនៅលើអ៊ីនធឺណិត ដូច្នេះសំណួរនៃប្រភេទនេះតែងតែកើតឡើង៖ ស្វែងរកភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនព្វន្ធតាមអ៊ីនធឺណិត។ តាមការស្នើសុំបែបនេះ ម៉ាស៊ីនស្វែងរកនឹងបង្ហាញទំព័របណ្ដាញមួយចំនួន ដោយចូលទៅកាន់នោះ អ្នកនឹងត្រូវបញ្ចូលទិន្នន័យដែលគេស្គាល់ពីលក្ខខណ្ឌ (វាអាចជាសមាជិកពីរនាក់នៃវឌ្ឍនភាព ឬផលបូកនៃពួកវាមួយចំនួន។ ) ហើយទទួលបានចម្លើយភ្លាមៗ។ យ៉ាង​ណា​ក៏​ដោយ វិធី​សាស្រ្ដ​ក្នុង​ការ​ដោះ​ស្រាយ​បញ្ហា​បែប​នេះ​គឺ​មិន​មាន​ផល​ផ្លែ​ទេ​ចំពោះ​ការ​អភិវឌ្ឍ​សិស្ស និង​ការ​យល់​ដឹង​ពី​ខ្លឹមសារ​នៃ​កិច្ចការ​ដែល​បាន​ប្រគល់​ឱ្យ​គាត់។

ដំណោះស្រាយដោយមិនប្រើរូបមន្ត

ចូរដោះស្រាយបញ្ហាទីមួយខណៈពេលដែលយើងនឹងមិនប្រើរូបមន្តខាងលើណាមួយឡើយ។ សូមឱ្យធាតុនៃស៊េរីត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ: a6 = 3, a9 = 18. ស្វែងរកភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនព្វន្ធ។

ធាតុដែលគេស្គាល់គឺនៅជិតគ្នាជាប់ៗគ្នា។ តើត្រូវបន្ថែមភាពខុសគ្នាប៉ុន្មានដងទៅលេខតូចបំផុត ដើម្បីទទួលបានធំបំផុត? បីដង (លើកទីមួយបន្ថែម d យើងទទួលបានធាតុទី 7 លើកទីពីរ - ទីប្រាំបី ចុងក្រោយ លើកទីបី - ទីប្រាំបួន) ។ តើលេខអ្វីត្រូវបន្ថែមបីដង ដើម្បីទទួលបាន 18? នេះគឺជាលេខប្រាំ។ ពិតជា៖

ដូច្នេះភាពខុសគ្នាដែលមិនស្គាល់គឺ d = 5 ។

ជាការពិតណាស់ ដំណោះស្រាយអាចត្រូវបានធ្វើឡើងដោយប្រើរូបមន្តសមស្រប ប៉ុន្តែនេះមិនត្រូវបានធ្វើឡើងដោយចេតនានោះទេ។ ការពន្យល់លម្អិតការដោះស្រាយបញ្ហាគួរតែក្លាយជាឧទាហរណ៍ច្បាស់លាស់ និងរស់រវើកនៃអ្វីដែលការវិវត្តនព្វន្ធគឺ។

ភារកិច្ចស្រដៀងនឹងកិច្ចការមុន។

ឥឡូវនេះសូមដោះស្រាយបញ្ហាស្រដៀងគ្នានេះ ប៉ុន្តែផ្លាស់ប្តូរទិន្នន័យបញ្ចូល។ ដូចនេះ អ្នកគួរតែរកប្រសិនបើ a3=2, a9=19។

ជាការពិតណាស់អ្នកអាចងាកទៅរកវិធីសាស្រ្តនៃការដោះស្រាយ "នៅលើថ្ងាស" ម្តងទៀត។ ប៉ុន្តែចាប់តាំងពីធាតុនៃស៊េរីត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដែលមានចម្ងាយឆ្ងាយពីគ្នាវិធីសាស្ត្របែបនេះមិនងាយស្រួលទេ។ ប៉ុន្តែការប្រើរូបមន្តលទ្ធផលនឹងនាំយើងទៅរកចម្លើយយ៉ាងរហ័ស៖

d \u003d (a 9 - a 3) / (9 - 3) \u003d (19 - 2) / (6) \u003d 17 / 6 ≈ 2.83

នៅទីនេះយើងបានបង្គត់លេខចុងក្រោយ។ តើការបង្គត់នេះនាំឱ្យមានកំហុសប៉ុន្មានអាចត្រូវបានវិនិច្ឆ័យដោយពិនិត្យមើលលទ្ធផល៖

a 9 \u003d a 3 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 \u003d 18.98

លទ្ធផលនេះខុសគ្នាត្រឹមតែ 0.1% ពីតម្លៃដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងលក្ខខណ្ឌ។ ដូច្នេះ​ការ​បង្គត់​ទៅ​ខ្ទង់​រយ​ដែល​បាន​ប្រើ​អាច​ត្រូវ​បាន​ចាត់​ទុក​ថា​ជា​ជម្រើស​ដ៏ល្អ។

ភារកិច្ចសម្រាប់អនុវត្តរូបមន្តសម្រាប់សមាជិក

ចូរយើងពិចារណាឧទាហរណ៍បុរាណនៃបញ្ហានៃការកំណត់ d ដែលមិនស្គាល់៖ ស្វែងរកភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនព្វន្ធ ប្រសិនបើ a1 = 12, a5 = 40 ។

នៅពេលដែលលេខពីរនៃលំដាប់ពិជគណិតដែលមិនស្គាល់ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ហើយមួយក្នុងចំណោមពួកគេគឺជាធាតុ a 1 នោះអ្នកមិនចាំបាច់គិតយូរទេ ប៉ុន្តែអ្នកគួរតែអនុវត្តរូបមន្តសម្រាប់សមាជិក n ភ្លាមៗ។ ក្នុងករណីនេះយើងមាន៖

a 5 = a 1 + d * (5 − 1) => d = (a 5 − a 1) / 4 = (40 − 12) / 4 = 7

យើងទទួលបានចំនួនពិតប្រាកដនៅពេលបែងចែក ដូច្នេះមិនមានចំណុចណាមួយក្នុងការត្រួតពិនិត្យភាពត្រឹមត្រូវនៃលទ្ធផលដែលបានគណនាដូចដែលបានធ្វើនៅក្នុងកថាខណ្ឌមុននោះទេ។

ចូរដោះស្រាយបញ្ហាស្រដៀងគ្នាមួយទៀត៖ យើងគួរតែស្វែងរកភាពខុសគ្នានៃដំណើរការនព្វន្ធប្រសិនបើ a1 = 16, a8 = 37 ។

យើងប្រើវិធីសាស្រ្តស្រដៀងគ្នាទៅនឹងវិធីមុន ហើយទទួលបាន៖

a 8 = a 1 + d * (8 − 1) => d = (a 8 − a 1) / 7 = (37 − 16) / 7 = 3

តើមានអ្វីទៀតដែលអ្នកគួរដឹងអំពីការវិវត្តនព្វន្ធ

បន្ថែមពីលើបញ្ហានៃការស្វែងរកភាពខុសគ្នាដែលមិនស្គាល់ ឬធាតុបុគ្គល ជារឿយៗវាចាំបាច់ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហានៃផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌដំបូងនៃលំដាប់មួយ។ ការពិចារណាលើបញ្ហាទាំងនេះគឺហួសពីវិសាលភាពនៃប្រធានបទនៃអត្ថបទ ប៉ុន្តែសម្រាប់ភាពពេញលេញនៃព័ត៌មាន យើងបង្ហាញរូបមន្តទូទៅសម្រាប់ផលបូកនៃលេខ n នៃស៊េរី៖

∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2