Ένα γράφημα μιας γραμμικής ή τετραγωνικής ανισότητας χτίζεται με τον ίδιο τρόπο που χτίζεται μια γραφική παράσταση οποιασδήποτε συνάρτησης (εξίσωσης). Η διαφορά είναι ότι η ανισότητα συνεπάγεται πολλαπλές λύσεις, επομένως ένα γράφημα ανισότητας δεν είναι απλώς ένα σημείο σε μια αριθμητική ευθεία ή μια ευθεία σε ένα επίπεδο συντεταγμένων. Με τη βοήθεια των μαθηματικών πράξεων και του πρόσημου της ανισότητας, μπορείτε να προσδιορίσετε το σύνολο των λύσεων της ανισότητας.

Βήματα

Γραφική αναπαράσταση γραμμικής ανισότητας σε αριθμητική ευθεία

1. Λύστε την ανισότητα.Για να το κάνετε αυτό, απομονώστε τη μεταβλητή χρησιμοποιώντας τα ίδια αλγεβρικά κόλπα που χρησιμοποιείτε για να λύσετε οποιαδήποτε εξίσωση. Θυμηθείτε ότι όταν πολλαπλασιάζετε ή διαιρείτε μια ανισότητα με έναν αρνητικό αριθμό (ή όρο), αντιστρέψτε το πρόσημο της ανισότητας.

   • Για παράδειγμα, δεδομένης της ανισότητας 3y + 9 > 12 (\displaystyle 3y+9>12). Για να απομονώσετε τη μεταβλητή, αφαιρέστε το 9 και από τις δύο πλευρές της ανισότητας και, στη συνέχεια, διαιρέστε και τις δύο πλευρές με το 3:
     3y + 9 > 12 (\displaystyle 3y+9>12)
     3 y + 9 − 9 > 12 − 9 (\displaystyle 3y+9-9>12-9)
     3 y > 3 (\displaystyle 3y>3)
     3 y 3 > 3 3 (\displaystyle (\frac (3y)(3))>(\frac (3)(3)))
     y > 1 (\displaystyle y>1)
   • Μια ανισότητα πρέπει να έχει μόνο μία μεταβλητή. Εάν η ανισότητα έχει δύο μεταβλητές, είναι καλύτερο να σχεδιάσετε το γράφημα στο επίπεδο συντεταγμένων.

2. Σχεδιάστε μια αριθμητική γραμμή.Στην αριθμητική γραμμή, σημειώστε την τιμή που βρέθηκε (η μεταβλητή μπορεί να είναι μικρότερη, μεγαλύτερη ή ίση με αυτήν την τιμή). Σχεδιάστε μια αριθμητική γραμμή με το κατάλληλο μήκος (μακριά ή μικρή).

   • Για παράδειγμα, αν το υπολογίσατε y > 1 (\displaystyle y>1), σημειώστε την τιμή 1 στην αριθμητική γραμμή.

3. Σχεδιάστε έναν κύκλο για να αναπαραστήσετε την τιμή που βρέθηκε.Εάν η μεταβλητή είναι μικρότερη από ( < {\displaystyle <} ) ή περισσότερο ( > (\displaystyle >)) αυτής της τιμής, ο κύκλος δεν συμπληρώνεται επειδή το σύνολο λύσεων δεν περιλαμβάνει αυτήν την τιμή. Εάν η μεταβλητή είναι μικρότερη ή ίση με ( ≤ (\displaystyle \leq )) ή μεγαλύτερο ή ίσο με ( ≥ (\displaystyle\geq)) σε αυτήν την τιμή, ο κύκλος συμπληρώνεται επειδή το σύνολο λύσεων περιλαμβάνει αυτήν την τιμή.

   • y > 1 (\displaystyle y>1), στην αριθμητική γραμμή, σχεδιάστε έναν ανοιχτό κύκλο στο σημείο 1 επειδή το 1 δεν είναι στο σύνολο λύσεων.

4. Στην αριθμητική γραμμή, σκιάστε την περιοχή που ορίζει το σύνολο των λύσεων.Εάν η μεταβλητή είναι μεγαλύτερη από την τιμή που βρέθηκε, σκιάστε την περιοχή στα δεξιά της, επειδή το σύνολο λύσεων περιλαμβάνει όλες τις τιμές που είναι μεγαλύτερες από την τιμή που βρέθηκε. Εάν η μεταβλητή είναι μικρότερη από την τιμή που βρέθηκε, σκιάστε την περιοχή στα αριστερά της, επειδή το σύνολο λύσεων περιλαμβάνει όλες τις τιμές που είναι μικρότερες από την τιμή που βρέθηκε.

   • Για παράδειγμα, δεδομένης της ανισότητας y > 1 (\displaystyle y>1), στην αριθμητική γραμμή, σκιάστε την περιοχή στα δεξιά του 1 επειδή το σύνολο λύσεων περιλαμβάνει όλες τις τιμές μεγαλύτερες από 1.

   Γραφική αναπαράσταση γραμμικής ανισότητας στο επίπεδο συντεταγμένων

   1. Λύστε την ανίσωση (βρείτε την τιμή y (\displaystyle y)). Για να λάβετε μια γραμμική εξίσωση, απομονώστε τη μεταβλητή στην αριστερή πλευρά χρησιμοποιώντας γνωστές αλγεβρικές μεθόδους. Η μεταβλητή πρέπει να παραμείνει στη δεξιά πλευρά x (\displaystyle x)και πιθανώς κάποια σταθερά.

      • Για παράδειγμα, δεδομένης της ανισότητας 3y + 9 > 9x (\displaystyle 3y+9>9x). Για να απομονώσετε μια μεταβλητή y (\displaystyle y), αφαιρέστε το 9 και από τις δύο πλευρές της ανισότητας και μετά διαιρέστε και τις δύο πλευρές με το 3:
        3y + 9 > 9x (\displaystyle 3y+9>9x)
        3 y + 9 − 9 > 9 x − 9 (\displaystyle 3y+9-9>9x-9)
        3 y > 9 x − 9 (\displaystyle 3y>9x-9)
        3 y 3 > 9 x − 9 3 (\displaystyle (\frac (3y)(3))>(\frac (9x-9)(3)))
        y > 3 x − 3 (\displaystyle y>3x-3)

   2. Να σχεδιάσετε τη γραμμική εξίσωση στο επίπεδο συντεταγμένων.σχεδιάστε το γράφημα καθώς σχεδιάζετε οποιαδήποτε γραμμική εξίσωση. Σχεδιάστε το σημείο τομής με τον άξονα Υ και, στη συνέχεια, σχεδιάστε άλλα σημεία χρησιμοποιώντας την κλίση.

      • y > 3 x − 3 (\displaystyle y>3x-3)σχεδιάστε την εξίσωση y = 3 x − 3 (\displaystyle y=3x-3). Το σημείο τομής με τον άξονα Υ έχει συντεταγμένες και η κλίση είναι 3 (ή 3 1 (\displaystyle (\frac (3)(1)))). Έτσι πρώτα σχεδιάστε ένα σημείο με συντεταγμένες (0 , − 3) (\displaystyle (0,-3)); το σημείο πάνω από το σημείο τομής με τον άξονα y έχει συντεταγμένες (1 , 0) (\displaystyle (1,0)); το σημείο κάτω από το σημείο τομής με τον άξονα y έχει συντεταγμένες (− 1 , − 6) (\displaystyle (-1,-6))

   3. Σχεδιάστε μια ευθεία γραμμή.Εάν η ανισότητα είναι αυστηρή (περιλαμβάνει το πρόσημο < {\displaystyle <} ή > (\displaystyle >)), σχεδιάστε μια διακεκομμένη γραμμή, επειδή το σύνολο των λύσεων δεν περιλαμβάνει τιμές που βρίσκονται στη γραμμή. Εάν η ανισότητα δεν είναι αυστηρή (περιλαμβάνει το πρόσημο ≤ (\displaystyle \leq )ή ≥ (\displaystyle\geq)), σχεδιάστε μια σταθερή γραμμή, επειδή το σύνολο των λύσεων περιλαμβάνει τιμές που βρίσκονται στη γραμμή.

      • Για παράδειγμα, σε περίπτωση ανισότητας y > 3 x − 3 (\displaystyle y>3x-3)σχεδιάστε τη διακεκομμένη γραμμή, επειδή το σύνολο των λύσεων δεν περιλαμβάνει τιμές που βρίσκονται στη γραμμή.

   4. Σκιάστε την αντίστοιχη περιοχή.Αν η ανισότητα έχει τη μορφή y > m x + b (\displaystyle y>mx+b), συμπληρώστε την περιοχή πάνω από τη γραμμή. Αν η ανισότητα έχει τη μορφή y< m x + b {\displaystyle y, συμπληρώστε την περιοχή κάτω από τη γραμμή.

      • Για παράδειγμα, σε περίπτωση ανισότητας y > 3 x − 3 (\displaystyle y>3x-3)σκιάστε την περιοχή πάνω από τη γραμμή.

   Γραφική αναπαράσταση τετραγωνικής ανισότητας στο επίπεδο συντεταγμένων

   1. Προσδιορίστε ότι αυτή η ανισότητα είναι τετράγωνο.Η τετραγωνική ανισότητα έχει τη μορφή a x 2 + b x + c (\displaystyle ax^(2)+bx+c). Μερικές φορές η ανισότητα δεν περιέχει μεταβλητή πρώτης τάξης ( x (\displaystyle x)) και/ή ελεύθερος όρος (σταθερά), αλλά πρέπει να περιλαμβάνει μια μεταβλητή δεύτερης τάξης ( x 2 (\displaystyle x^(2))). Μεταβλητές x (\displaystyle x)Και y (\displaystyle y)πρέπει να απομονωθεί σε διαφορετικές πλευρές της ανισότητας.

      • Για παράδειγμα, πρέπει να σχεδιάσετε την ανισότητα y< x 2 − 10 x + 16 {\displaystyle y.

   2. Σχεδιάστε μια γραφική παράσταση στο επίπεδο συντεταγμένων.Για να το κάνετε αυτό, μετατρέψτε την ανισότητα σε εξίσωση και δημιουργήστε ένα γράφημα, όπως κατασκευάζετε ένα γράφημα οποιασδήποτε τετραγωνικής εξίσωσης. Θυμηθείτε ότι η γραφική παράσταση μιας τετραγωνικής εξίσωσης είναι παραβολή.

      • Για παράδειγμα, σε περίπτωση ανισότητας y< x 2 − 10 x + 16 {\displaystyle yοικόπεδο τετραγωνική εξίσωση y = x 2 − 10 x + 16 (\displaystyle y=x^(2)-10x+16). Η κορυφή της παραβολής βρίσκεται στο σημείο (5 , − 9) (\displaystyle (5,-9)), και η παραβολή τέμνει τον άξονα x σε σημεία (2 , 0) (\displaystyle (2,0))Και (8 , 0) (\displaystyle (8,0)).

Κατά τη διάρκεια του μαθήματος, θα μπορείτε να μελετήσετε ανεξάρτητα το θέμα "Γραφική λύση εξισώσεων, ανισώσεις". Ο δάσκαλος στο μάθημα θα αναλύσει τις γραφικές μεθόδους επίλυσης εξισώσεων και ανισώσεων. Θα σας διδάξει πώς να δημιουργείτε γραφήματα, να τα αναλύετε και να βρίσκετε λύσεις σε εξισώσεις και ανισότητες. Το μάθημα θα ασχοληθεί επίσης με συγκεκριμένα παραδείγματα για αυτό το θέμα.

Θέμα: Αριθμητικές συναρτήσεις

Μάθημα: Γραφική λύση εξισώσεων, ανισώσεων

1. Θέμα μαθήματος, εισαγωγή

Έχουμε εξετάσει γραφήματα στοιχειωδών συναρτήσεων, συμπεριλαμβανομένων γραφημάτων συναρτήσεων ισχύος με διαφορετικούς εκθέτες. Εξετάσαμε επίσης τους κανόνες για τη μετατόπιση και τον μετασχηματισμό γραφημάτων συναρτήσεων. Όλες αυτές οι δεξιότητες πρέπει να εφαρμόζονται όταν απαιτείται. γραφικόςλύσηεξισώσεις ή γραφικό λύσηανισότητες.

2. Γραφική επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων

Παράδειγμα 1. Λύστε γραφικά την εξίσωση:

Ας φτιάξουμε γραφήματα συναρτήσεων (Εικ. 1).

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι μια παραβολή που διέρχεται από τα σημεία

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι ευθεία γραμμή, θα την κατασκευάσουμε σύμφωνα με τον πίνακα.

Οι γραφικές παραστάσεις τέμνονται σε ένα σημείο Δεν υπάρχουν άλλα σημεία τομής, αφού η συνάρτηση είναι μονότονα αύξουσα, η συνάρτηση μονότονα φθίνουσα και, επομένως, το σημείο τομής τους είναι μοναδικό.

Παράδειγμα 2. Λύστε την ανίσωση

ένα. Για να ισχύει η ανισότητα, το γράφημα της συνάρτησης πρέπει να βρίσκεται πάνω από την ευθεία γραμμή (Εικ. 1). Αυτό γίνεται όταν

σι. Σε αυτή την περίπτωση, αντίθετα, η παραβολή θα πρέπει να βρίσκεται κάτω από τη γραμμή. Αυτό γίνεται όταν

Παράδειγμα 3. Λύστε την ανίσωση

Ας φτιάξουμε γραφήματα συναρτήσεων (Εικ. 2).

Να βρείτε τη ρίζα της εξίσωσης Όταν δεν υπάρχουν λύσεις. Υπάρχει μία λύση για.

Για να ισχύει η ανισότητα, η υπερβολή πρέπει να βρίσκεται πάνω από τη γραμμή .

Παράδειγμα 4. Λύστε γραφικά την ανίσωση:

Τομέα:

Ας φτιάξουμε γραφήματα συναρτήσεων για (Εικ. 3).

ένα. Το γράφημα της συνάρτησης πρέπει να βρίσκεται κάτω από το γράφημα· αυτό γίνεται όταν

σι. Το γράφημα της συνάρτησης βρίσκεται πάνω από το γράφημα στο Αλλά επειδή έχουμε ένα μη αυστηρό πρόσημο στη συνθήκη, είναι σημαντικό να μην χάσουμε την απομονωμένη ρίζα

3. Συμπέρασμα

Έχουμε εξετάσει μια γραφική μέθοδο για την επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων. θεωρήσαμε συγκεκριμένα παραδείγματα, στη λύση των οποίων χρησιμοποιήσαμε ιδιότητες συναρτήσεων όπως η μονοτονία και η ομαλότητα.

1. Mordkovich A. G. et al. Algebra 9η τάξη: Proc. Για γενική εκπαίδευση Ιδρύματα - 4η έκδ. - Μ.: Μνημοσύνη, 2002.-192 σελ.: εικ.

2. Mordkovich A. G. et al. Algebra 9η τάξη: Βιβλίο εργασιών για μαθητές εκπαιδευτικών ιδρυμάτων / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina et al. - 4η έκδ. — Μ.: Μνημοσύνη, 2002.-143 σελ.: ill.

3. Yu. N. Makarychev, Άλγεβρα. 9η τάξη: σχολικό βιβλίο. για μαθητές γενικής εκπαίδευσης. ιδρύματα / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. - 7η έκδ., Rev. και επιπλέον - M .: Mnemosyne, 2008.

4. Sh. A. Alimov, Yu. M. Kolyagin, and Yu. V. Sidorov, Algebra. Βαθμός 9 16η έκδ. - Μ., 2011. - 287 σελ.

5. Mordkovich A. G. Άλγεβρα. Βαθμός 9 Στις 2 μ.μ. Μέρος 1. Εγχειρίδιο για μαθητές εκπαιδευτικών ιδρυμάτων / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 12η έκδ., σβησμένο. — Μ.: 2010. — 224 σελ.: ill.

6. Άλγεβρα. Βαθμός 9 Σε 2 ώρες Μέρος 2. Βιβλίο εργασιών για μαθητές εκπαιδευτικών ιδρυμάτων / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina και άλλοι. Εκδ. A. G. Mordkovich. - 12η έκδ., Rev. — Μ.: 2010.-223 σελ.: ill.

1. Τμήμα Κολλεγίου. ru στα μαθηματικά.

2. Διαδικτυακό έργο «Εργασίες».

3. Εκπαιδευτική πύλη «SOLVE USE».

1. Mordkovich A. G. et al. Algebra 9η τάξη: Βιβλίο εργασιών για μαθητές εκπαιδευτικών ιδρυμάτων / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina et al. - 4η έκδ. - M .: Mnemosyne, 2002.-143 σελ.: ill. Νο. 355, 356, 364.

Πρώτο επίπεδο

Επίλυση εξισώσεων, ανισώσεων, συστημάτων με χρήση γραφημάτων συναρτήσεων. Visual Guide (2019)

Πολλές εργασίες που έχουμε συνηθίσει να υπολογίζουμε καθαρά αλγεβρικά μπορούν να επιλυθούν πολύ πιο εύκολα και πιο γρήγορα, η χρήση γραφημάτων συναρτήσεων θα μας βοηθήσει σε αυτό. Λες "πώς έτσι;" να ζωγραφίσω κάτι, και τι να ζωγραφίσω; Πιστέψτε με, μερικές φορές είναι πιο βολικό και πιο εύκολο. Να ξεκινήσουμε? Ας ξεκινήσουμε με τις εξισώσεις!

Γραφική λύση εξισώσεων

Γραφική λύση γραμμικών εξισώσεων

Όπως ήδη γνωρίζετε, το γράφημα μιας γραμμικής εξίσωσης είναι μια ευθεία γραμμή, εξ ου και το όνομα αυτού του τύπου. Οι γραμμικές εξισώσεις είναι αρκετά εύκολο να λυθούν αλγεβρικά - μεταφέρουμε όλους τους αγνώστους στη μία πλευρά της εξίσωσης, όλα όσα γνωρίζουμε - στην άλλη, και voila! Βρήκαμε τη ρίζα. Τώρα θα σας δείξω πώς να το κάνετε γραφικό τρόπο.

Άρα έχετε μια εξίσωση:

Πώς να το λύσετε;
Επιλογή 1, και το πιο συνηθισμένο είναι να μετακινούμε τα άγνωστα στη μία πλευρά και τα γνωστά στην άλλη, παίρνουμε:

Και τώρα χτίζουμε. Τι πήρες?

Ποια πιστεύετε ότι είναι η ρίζα της εξίσωσής μας; Σωστά, η συντεταγμένη του σημείου τομής των γραφημάτων:

Η απάντησή μας είναι

Αυτή είναι η όλη σοφία της γραφικής λύσης. Όπως μπορείτε εύκολα να ελέγξετε, η ρίζα της εξίσωσής μας είναι ένας αριθμός!

Όπως είπα παραπάνω, αυτή είναι η πιο κοινή επιλογή, κοντά στην αλγεβρική λύση, αλλά μπορείτε να τη λύσετε με άλλο τρόπο. Για να εξετάσουμε μια εναλλακτική λύση, ας επιστρέψουμε στην εξίσωσή μας:

Αυτή τη φορά δεν θα μετακινήσουμε τίποτα από πλευρά σε πλευρά, αλλά θα δημιουργήσουμε γραφήματα απευθείας, όπως είναι τώρα:

Χτισμένο? Κοίτα!

Ποια είναι η λύση αυτή τη φορά; Εντάξει. Ίδια είναι η συντεταγμένη του σημείου τομής των γραφημάτων:

Και, πάλι, η απάντησή μας είναι.

Όπως μπορείτε να δείτε, με τις γραμμικές εξισώσεις, όλα είναι εξαιρετικά απλά. Ήρθε η ώρα να σκεφτείς κάτι πιο περίπλοκο... Για παράδειγμα, γραφική λύση τετραγωνικών εξισώσεων.

Γραφική λύση τετραγωνικών εξισώσεων

Λοιπόν, τώρα ας αρχίσουμε να λύνουμε την εξίσωση του τετραγώνου. Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να βρείτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης:

Φυσικά, μπορείτε τώρα να αρχίσετε να μετράτε μέσω της διάκρισης ή σύμφωνα με το θεώρημα Vieta, αλλά πολλά νεύρα κάνουν λάθη κατά τον πολλαπλασιασμό ή τον τετραγωνισμό, ειδικά αν το παράδειγμα είναι με μεγάλους αριθμούς και, όπως γνωρίζετε, δεν θα έχετε αριθμομηχανή στις εξετάσεις ... Επομένως, ας προσπαθήσουμε να χαλαρώσουμε λίγο και να σχεδιάσουμε ενώ λύνουμε αυτήν την εξίσωση.

Γραφικά, λύσεις σε αυτή την εξίσωση μπορούν να βρεθούν με διάφορους τρόπους. Εξετάστε τις διάφορες επιλογές και εσείς οι ίδιοι θα επιλέξετε ποια σας αρέσει περισσότερο.

Μέθοδος 1. Απευθείας

Απλώς κατασκευάζουμε μια παραβολή σύμφωνα με αυτήν την εξίσωση:

Για να το κάνετε γρήγορα, θα σας δώσω μια μικρή υπόδειξη: είναι βολικό να ξεκινήσει η κατασκευή προσδιορίζοντας την κορυφή της παραβολής.Οι ακόλουθοι τύποι θα βοηθήσουν στον προσδιορισμό των συντεταγμένων της κορυφής της παραβολής:

Λες «Σταμάτα! Ο τύπος για είναι πολύ παρόμοιος με τον τύπο για την εύρεση του διαχωριστικού "ναι, είναι, και αυτό είναι ένα τεράστιο μειονέκτημα της" άμεσης κατασκευής μιας παραβολής για να βρει τις ρίζες της. Ωστόσο, ας μετρήσουμε μέχρι το τέλος, και μετά θα σας δείξω πώς να το κάνετε πολύ (πολύ!) πιο εύκολο!

μετρήσατε; Ποιες είναι οι συντεταγμένες της κορυφής της παραβολής; Ας το καταλάβουμε μαζί:

Ακριβώς η ίδια απάντηση; Μπράβο! Και τώρα γνωρίζουμε ήδη τις συντεταγμένες της κορυφής, και για να φτιάξουμε μια παραβολή, χρειαζόμαστε περισσότερα ... σημεία. Τι πιστεύετε, πόσους ελάχιστους βαθμούς χρειαζόμαστε; Σωστά, .

Γνωρίζετε ότι μια παραβολή είναι συμμετρική ως προς την κορυφή της, για παράδειγμα:

Κατά συνέπεια, χρειαζόμαστε δύο ακόμη σημεία κατά μήκος του αριστερού ή δεξιού κλάδου της παραβολής και στο μέλλον θα αντικατοπτρίζουμε συμμετρικά αυτά τα σημεία στην αντίθετη πλευρά:

Επιστρέφουμε στην παραβολή μας. Για την περίπτωσή μας, η ουσία. Χρειαζόμαστε άλλους δύο βαθμούς, αντίστοιχα, μπορούμε να πάρουμε θετικούς, αλλά μπορούμε να πάρουμε αρνητικούς; Ποια είναι τα καλύτερα σημεία για εσάς; Με βολεύει περισσότερο να δουλεύω με θετικά, οπότε θα υπολογίσω με και.

Τώρα έχουμε τρία σημεία και μπορούμε εύκολα να χτίσουμε την παραβολή μας αντανακλώντας τα δύο τελευταία σημεία στην κορυφή της:

Ποια πιστεύετε ότι είναι η λύση της εξίσωσης; Σωστά, τα σημεία στα οποία, δηλαδή, και. Επειδή.

Και αν το πούμε αυτό, τότε σημαίνει ότι πρέπει επίσης να είναι ίσο, ή.

Μόλις? Ολοκληρώσαμε την επίλυση της εξίσωσης μαζί σας με έναν σύνθετο γραφικό τρόπο, ή θα υπάρξουν περισσότερα!

Φυσικά, μπορείτε να ελέγξετε την απάντησή μας αλγεβρικά - μπορείτε να υπολογίσετε τις ρίζες μέσω του θεωρήματος Vieta ή του Discriminant. Τι πήρες? Το ίδιο? Εδώ βλέπετε! Ας δούμε τώρα μια πολύ απλή γραφική λύση, είμαι σίγουρη ότι θα σας αρέσει πολύ!

Μέθοδος 2. Διαχωρισμός σε πολλές συναρτήσεις

Ας πάρουμε τα πάντα, επίσης, την εξίσωσή μας: , αλλά τη γράφουμε με λίγο διαφορετικό τρόπο, δηλαδή:

Μπορούμε να το γράψουμε έτσι; Μπορούμε, αφού ο μετασχηματισμός είναι ισοδύναμος. Ας δούμε περαιτέρω.

Ας δημιουργήσουμε δύο συναρτήσεις ξεχωριστά:

1. - το γράφημα είναι μια απλή παραβολή, την οποία μπορείτε εύκολα να κατασκευάσετε ακόμη και χωρίς να ορίσετε την κορυφή χρησιμοποιώντας τύπους και κάνοντας έναν πίνακα για να προσδιορίσετε άλλα σημεία.
2. - το γράφημα είναι μια ευθεία γραμμή, την οποία μπορείτε εξίσου εύκολα να δημιουργήσετε υπολογίζοντας τις τιμές και στο κεφάλι σας χωρίς καν να καταφύγετε σε αριθμομηχανή.

Χτισμένο? Συγκρίνετε με αυτό που πήρα:

Ποια πιστεύετε ότι είναι η ρίζα της εξίσωσης σε αυτή την περίπτωση; Σωστά! Συντεταγμένες κατά, οι οποίες λαμβάνονται με τη διασταύρωση δύο γραφημάτων και, δηλαδή:

Κατά συνέπεια, η λύση αυτής της εξίσωσης είναι:

Τι λες? Συμφωνώ, αυτή η μέθοδος λύσης είναι πολύ πιο εύκολη από την προηγούμενη και ακόμη πιο εύκολη από την αναζήτηση ριζών μέσω του διαχωριστή! Εάν ναι, δοκιμάστε αυτήν τη μέθοδο για να λύσετε την ακόλουθη εξίσωση:

Τι πήρες? Ας συγκρίνουμε τα γραφήματα μας:

Τα γραφήματα δείχνουν ότι οι απαντήσεις είναι:

Κατάφερες? Μπράβο! Τώρα ας δούμε τις εξισώσεις λίγο πιο περίπλοκες, δηλαδή τη λύση μικτών εξισώσεων, δηλαδή εξισώσεις που περιέχουν συναρτήσεις διαφορετικών τύπων.

Γραφική λύση μικτών εξισώσεων

Τώρα ας προσπαθήσουμε να λύσουμε τα εξής:

Φυσικά, μπορείτε να φέρετε τα πάντα σε έναν κοινό παρονομαστή, να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης που προκύπτει, χωρίς να ξεχνάτε να λάβετε υπόψη το ODZ, αλλά και πάλι, θα προσπαθήσουμε να το λύσουμε γραφικά, όπως κάναμε σε όλες τις προηγούμενες περιπτώσεις.

Αυτή τη φορά ας σχεδιάσουμε τα ακόλουθα 2 γραφήματα:

1. - το γράφημα είναι υπερβολή
2. - ένα γράφημα είναι μια ευθεία γραμμή που μπορείτε εύκολα να δημιουργήσετε υπολογίζοντας τις τιμές και στο κεφάλι σας χωρίς καν να καταφύγετε σε αριθμομηχανή.

Συνειδητοποίησα? Τώρα ξεκινήστε να χτίζετε.

Να τι μου συνέβη:

Βλέποντας αυτή την εικόνα, ποιες είναι οι ρίζες της εξίσωσής μας;

Αυτό είναι σωστό, και. Εδώ είναι η επιβεβαίωση:

Δοκιμάστε να συνδέσετε τις ρίζες μας στην εξίσωση. Συνέβη;

Εντάξει! Συμφωνώ, η γραφική επίλυση τέτοιων εξισώσεων είναι απόλαυση!

Προσπαθήστε να λύσετε μόνοι σας την εξίσωση γραφικά:

Σας δίνω μια υπόδειξη: μετακινήστε μέρος της εξίσωσης προς τα δεξιά, έτσι ώστε και οι δύο πλευρές να έχουν τις απλούστερες συναρτήσεις για κατασκευή. Καταλάβατε την υπόδειξη; Ανάλαβε δράση!

Τώρα ας δούμε τι έχετε:

Αντίστοιχα:

1. - κυβική παραβολή.
2. - μια συνηθισμένη ευθεία γραμμή.

Λοιπόν, χτίζουμε:

Όπως γράψατε εδώ και πολύ καιρό, η ρίζα αυτής της εξίσωσης είναι -.

Έχοντας λύσει έναν τόσο μεγάλο αριθμό παραδειγμάτων, είμαι σίγουρος ότι συνειδητοποιήσατε πώς μπορείτε εύκολα και γρήγορα να λύσετε εξισώσεις γραφικά. Είναι καιρός να καταλάβουμε πώς να λύσουμε συστήματα με αυτόν τον τρόπο.

Γραφική λύση συστημάτων

Η γραφική λύση των συστημάτων ουσιαστικά δεν διαφέρει από τη γραφική λύση των εξισώσεων. Θα φτιάξουμε επίσης δύο γραφήματα, και τα σημεία τομής τους θα είναι οι ρίζες αυτού του συστήματος. Ένα γράφημα είναι μια εξίσωση, το δεύτερο γράφημα είναι μια άλλη εξίσωση. Όλα είναι εξαιρετικά απλά!

Ας ξεκινήσουμε με τα απλούστερα - συστήματα επίλυσης γραμμικών εξισώσεων.

Επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων

Ας πούμε ότι έχουμε το ακόλουθο σύστημα:

Αρχικά, θα το μετατρέψουμε με τέτοιο τρόπο ώστε στα αριστερά να υπάρχει ό,τι συνδέεται και στα δεξιά - αυτό με το οποίο συνδέεται. Με άλλα λόγια, γράφουμε αυτές τις εξισώσεις ως συνάρτηση στη συνηθισμένη για εμάς μορφή:

Και τώρα απλώς χτίζουμε δύο ευθείες γραμμές. Ποια είναι η λύση στην περίπτωσή μας; Σωστά! Το σημείο της τομής τους! Και εδώ πρέπει να είστε πολύ, πολύ προσεκτικοί! Σκεφτείτε γιατί; Θα σας δώσω μια υπόδειξη: έχουμε να κάνουμε με ένα σύστημα: το σύστημα έχει και τα δύο, και... Καταλάβατε;

Εντάξει! Όταν λύνουμε το σύστημα, πρέπει να κοιτάμε και τις δύο συντεταγμένες, και όχι μόνο, όπως όταν λύνουμε εξισώσεις! Ένα άλλο σημαντικό σημείο είναι να τα γράψουμε σωστά και να μην μπερδεύουμε πού έχουμε την αξία και πού είναι η αξία! Εχει καταγραφεί? Τώρα ας τα συγκρίνουμε όλα με τη σειρά:

Και απαντά: i. Κάντε έναν έλεγχο - αντικαταστήστε τις ρίζες που βρέθηκαν στο σύστημα και βεβαιωθείτε ότι το λύσαμε σωστά με γραφικό τρόπο;

Επίλυση συστημάτων μη γραμμικών εξισώσεων

Τι γίνεται όμως αν αντί για μια ευθεία γραμμή, έχουμε μια εξίσωση του τετραγώνου; Είναι εντάξει! Απλώς φτιάχνεις μια παραβολή αντί για μια ευθεία γραμμή! Δεν πιστεύω? Προσπαθήστε να λύσετε το ακόλουθο σύστημα:

Ποιο είναι το επόμενο βήμα μας; Αυτό είναι σωστό, γράψτε το έτσι ώστε να είναι βολικό για εμάς να δημιουργήσουμε γραφήματα:

Και τώρα όλα έχουν να κάνουν με το μικρό πράγμα - το έφτιαξα γρήγορα και εδώ είναι η λύση για εσάς! Κτίριο:

Τα γραφικά είναι ίδια; Σημειώστε τώρα τις λύσεις του συστήματος στην εικόνα και σημειώστε σωστά τις απαντήσεις που αποκαλύφθηκαν!

Τα έχω κάνει όλα; Συγκρίνετε με τις σημειώσεις μου:

Εντάξει? Μπράβο! Κάνετε ήδη κλικ σε τέτοιες εργασίες όπως οι ξηροί καρποί! Και αν ναι, ας σας δώσουμε ένα πιο περίπλοκο σύστημα:

Τι κάνουμε? Σωστά! Γράφουμε το σύστημα έτσι ώστε να είναι βολικό να κατασκευαστεί:

Θα σας δώσω μια μικρή υπόδειξη, καθώς το σύστημα φαίνεται πολύ περίπλοκο! Όταν δημιουργείτε γραφήματα, δημιουργήστε τα "περισσότερα" και το πιο σημαντικό, μην εκπλαγείτε με τον αριθμό των σημείων τομής.

Λοιπόν πάμε! Εκπνέεται; Τώρα ξεκινήστε να χτίζετε!

Λοιπόν, πώς; Πανεμορφη? Πόσα σημεία τομής πήρατε; Εχω τρία! Ας συγκρίνουμε τα γραφήματα μας:

Επίσης? Τώρα σημειώστε προσεκτικά όλες τις λύσεις του συστήματός μας:

Τώρα κοιτάξτε ξανά το σύστημα:

Μπορείτε να φανταστείτε ότι το λύσατε σε μόλις 15 λεπτά; Συμφωνώ, τα μαθηματικά είναι ακόμα απλά, ειδικά όταν κοιτάς μια έκφραση, δεν φοβάσαι να κάνεις λάθος, αλλά το παίρνεις και αποφασίζεις! Είσαι μεγάλο παλικάρι!

Γραφική λύση ανισώσεων

Γραφική επίλυση γραμμικών ανισώσεων

Μετά το τελευταίο παράδειγμα, είστε έτοιμοι! Τώρα εκπνεύστε - σε σύγκριση με τις προηγούμενες ενότητες, αυτό θα είναι πολύ, πολύ εύκολο!

Ξεκινάμε, ως συνήθως, με μια γραφική λύση μιας γραμμικής ανισότητας. Για παράδειγμα, αυτό:

Αρχικά, θα πραγματοποιήσουμε τους απλούστερους μετασχηματισμούς - θα ανοίξουμε τις αγκύλες των τέλειων τετραγώνων και θα δώσουμε παρόμοιους όρους:

Η ανισότητα δεν είναι αυστηρή, επομένως - δεν περιλαμβάνεται στο διάστημα και η λύση θα είναι όλα τα σημεία που βρίσκονται στα δεξιά, αφού περισσότερα, περισσότερα κ.λπ.:

Απάντηση:

Αυτό είναι όλο! Εύκολα? Ας λύσουμε μια απλή ανισότητα με δύο μεταβλητές:

Ας σχεδιάσουμε μια συνάρτηση στο σύστημα συντεταγμένων.

Έχετε τέτοιο γράφημα; Και τώρα κοιτάμε προσεκτικά τι έχουμε στην ανισότητα; Πιο λιγο? Έτσι, ζωγραφίζουμε πάνω ό,τι βρίσκεται στα αριστερά της ευθείας μας. Κι αν υπήρχαν περισσότερα; Έτσι είναι, τότε θα ζωγράφιζαν ό,τι βρίσκεται στα δεξιά της ευθείας μας. Όλα είναι απλά.

Όλες οι λύσεις σε αυτήν την ανισότητα είναι σκιασμένες με πορτοκαλί χρώμα. Αυτό είναι όλο, λύνεται η ανισότητα των δύο μεταβλητών. Αυτό σημαίνει ότι οι συντεταγμένες και οποιοδήποτε σημείο από τη σκιασμένη περιοχή είναι οι λύσεις.

Γραφική επίλυση τετραγωνικών ανισώσεων

Τώρα θα ασχοληθούμε με το πώς να λύσουμε γραφικά τις τετραγωνικές ανισώσεις.

Αλλά πριν φτάσουμε κατευθείαν στο θέμα, ας ανακεφαλαιώσουμε μερικά πράγματα σχετικά με τη συνάρτηση τετραγώνου.

Σε τι ευθύνεται ο διάκριτος; Αυτό είναι σωστό, για τη θέση του γραφήματος σε σχέση με τον άξονα (αν δεν το θυμάστε αυτό, τότε διαβάστε οπωσδήποτε τη θεωρία για τις τετραγωνικές συναρτήσεις).

Σε κάθε περίπτωση, εδώ είναι μια μικρή υπενθύμιση για εσάς:

Τώρα που έχουμε ανανεώσει όλο το υλικό στη μνήμη μας, ας ασχοληθούμε - θα λύσουμε γραφικά την ανισότητα.

Θα σας πω αμέσως ότι υπάρχουν δύο επιλογές για την επίλυσή του.

Επιλογή 1

Γράφουμε την παραβολή μας ως συνάρτηση:

Χρησιμοποιώντας τους τύπους, προσδιορίζουμε τις συντεταγμένες της κορυφής της παραβολής (με τον ίδιο τρόπο όπως όταν λύνουμε τετραγωνικές εξισώσεις):

μετρήσατε; Τι πήρες?

Τώρα ας πάρουμε δύο ακόμη διαφορετικά σημεία και ας υπολογίσουμε για αυτούς:

Αρχίζουμε να χτίζουμε έναν κλάδο της παραβολής:

Αντικατοπτρίζουμε συμμετρικά τα σημεία μας σε έναν άλλο κλάδο της παραβολής:

Τώρα πίσω στην ανισότητά μας.

Χρειαζόμαστε να είναι μικρότερο από το μηδέν, αντίστοιχα:

Δεδομένου ότι στην ανισότητά μας υπάρχει ένα σημάδι αυστηρά μικρότερο, αποκλείουμε τα τελικά σημεία - "ξεσηκώνουμε".

Απάντηση:

Μακριά, σωστά; Τώρα θα σας δείξω μια απλούστερη έκδοση της γραφικής λύσης χρησιμοποιώντας την ίδια ανισότητα ως παράδειγμα:

Επιλογή 2

Επιστρέφουμε στην ανισότητα μας και σημειώνουμε τα διαστήματα που χρειαζόμαστε:

Συμφωνώ, είναι πολύ πιο γρήγορο.

Ας γράψουμε τώρα την απάντηση:

Ας εξετάσουμε μια άλλη μέθοδο λύσης που απλοποιεί το αλγεβρικό μέρος, αλλά το κύριο πράγμα είναι να μην μπερδευτούμε.

Πολλαπλασιάστε την αριστερή και τη δεξιά πλευρά με:

Προσπαθήστε να λύσετε τα παρακάτω τετραγωνική ανισότηταμε όποιον τρόπο σου αρέσει.

Κατάφερες?

Δείτε πώς έγινε το διάγραμμα μου:

Απάντηση: .

Γραφική επίλυση μικτών ανισώσεων

Τώρα ας περάσουμε σε πιο σύνθετες ανισότητες!

Πώς σας αρέσει αυτό:

Φρικτό, σωστά; Ειλικρινά, δεν έχω ιδέα πώς να το λύσω αλγεβρικά ... Αλλά, δεν είναι απαραίτητο. Γραφικά, δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο σε αυτό! Τα μάτια φοβούνται, αλλά τα χέρια κάνουν!

Το πρώτο πράγμα με το οποίο ξεκινάμε είναι δημιουργώντας δύο γραφήματα:

Δεν θα γράψω έναν πίνακα για όλους - είμαι σίγουρος ότι μπορείτε να το κάνετε τέλεια μόνοι σας (φυσικά, υπάρχουν τόσα πολλά παραδείγματα προς επίλυση!).

Βαμμένο; Τώρα δημιουργήστε δύο γραφήματα.

Ας συγκρίνουμε τα σχέδιά μας;

Έχετε το ίδιο; Εξαιρετική! Τώρα ας τοποθετήσουμε τα σημεία τομής και ας προσδιορίσουμε με ένα χρώμα ποιο γράφημα πρέπει να έχουμε, θεωρητικά, να είναι μεγαλύτερο, δηλαδή. Δείτε τι έγινε στο τέλος:

Και τώρα απλά κοιτάμε πού είναι το επιλεγμένο διάγραμμα υψηλότερο από το γράφημα; Μη διστάσετε να πάρετε ένα μολύβι και να ζωγραφίσετε αυτή την περιοχή! Θα είναι η λύση στην περίπλοκη ανισότητα μας!

Σε ποια διαστήματα κατά μήκος του άξονα βρισκόμαστε ψηλότερα; Σωστά, . Αυτή είναι η απάντηση!

Λοιπόν, τώρα μπορείτε να χειριστείτε οποιαδήποτε εξίσωση, και οποιοδήποτε σύστημα, και ακόμη περισσότερο οποιαδήποτε ανισότητα!

ΣΥΝΟΠΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΟ ΚΥΡΙΟ

Αλγόριθμος για την επίλυση εξισώσεων με χρήση γραφημάτων συναρτήσεων:

1. Εκφράστε μέσω
2. Καθορίστε τον τύπο συνάρτησης
3. Ας δημιουργήσουμε γραφήματα των συναρτήσεων που προκύπτουν
4. Βρείτε τα σημεία τομής των γραφημάτων
5. Σημειώστε σωστά την απάντηση (λαμβάνοντας υπόψη τα πρόσημα ODZ και ανισότητας)
6. Ελέγξτε την απάντηση (αντικαταστήστε τις ρίζες στην εξίσωση ή το σύστημα)

Για περισσότερες πληροφορίες σχετικά με τη σχεδίαση γραφημάτων συναρτήσεων, ανατρέξτε στο θέμα "".

Η γραφική μέθοδος είναι μια από τις κύριες μεθόδους επίλυσης τετραγωνικών ανισώσεων. Στο άρθρο, θα παρουσιάσουμε έναν αλγόριθμο για την εφαρμογή της γραφικής μεθόδου και στη συνέχεια θα εξετάσουμε ειδικές περιπτώσεις χρησιμοποιώντας παραδείγματα.

Η ουσία της γραφικής μεθόδου

Η μέθοδος είναι εφαρμόσιμη για την επίλυση τυχόν ανισοτήτων, όχι μόνο τετραγωνικών. Η ουσία του είναι η εξής: το δεξί και το αριστερό μέρος της ανισότητας θεωρούνται ως δύο ξεχωριστές συναρτήσεις y \u003d f (x) και y \u003d g (x), τα γραφήματα τους είναι χτισμένα σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων και εξετάζουν ποια από τα γραφήματα βρίσκονται πάνω από το άλλο και σε ποια διαστήματα. Τα διαστήματα αξιολογούνται ως εξής:

Ορισμός 1

• Οι λύσεις της ανίσωσης f(x) > g(x) είναι τα διαστήματα όπου η γραφική παράσταση της συνάρτησης f είναι μεγαλύτερη από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g.
• Οι λύσεις της ανίσωσης f (x) ≥ g (x) είναι τα διαστήματα όπου η γραφική παράσταση της συνάρτησης f δεν είναι μικρότερη από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g.
• λύσεις της ανίσωσης f (x)< g (x) являются интервалы, где график функции f ниже графика функции g ;
• Οι λύσεις της ανίσωσης f (x) ≤ g (x) είναι τα διαστήματα όπου η γραφική παράσταση της συνάρτησης f δεν είναι μεγαλύτερη από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g.
• τα τετμημένα των σημείων τομής των γραφημάτων των συναρτήσεων f και g είναι λύσεις της εξίσωσης f(x) = g(x) .

Εξετάστε τον παραπάνω αλγόριθμο με ένα παράδειγμα. Για να γίνει αυτό, πάρτε την τετραγωνική ανισότητα a x 2 + b x + c< 0 (≤ , >, ≥) και να αντλήσουμε δύο συναρτήσεις από αυτό. Αριστερή πλευράη ανισότητα θα αντιστοιχεί στο y = a x 2 + b x + c (στην περίπτωση αυτή f (x) = a x 2 + b x + c), και το δικαίωμα y = 0 (στην περίπτωση αυτή g (x) = 0) .

Η γραφική παράσταση της πρώτης συνάρτησης είναι μια παραβολή, η δεύτερη είναι μια ευθεία γραμμή που συμπίπτει με τον άξονα x. Ας αναλύσουμε τη θέση της παραβολής ως προς τον άξονα x. Για να γίνει αυτό, θα εκτελέσουμε ένα σχηματικό σχέδιο.

Οι κλάδοι της παραβολής κατευθύνονται προς τα πάνω. Τέμνει τον άξονα x σε σημεία x 1Και x2. Ο συντελεστής α σε αυτή την περίπτωση είναι θετικός, αφού είναι αυτός που είναι υπεύθυνος για την κατεύθυνση των κλάδων της παραβολής. Η διάκριση είναι θετική, υποδεικνύοντας ότι το τετράγωνο τριώνυμο έχει δύο ρίζες. a x 2 + b x + c. Σημειώνουμε τις ρίζες του τριωνύμου ως x 1Και x2, και έγινε αποδεκτό ότι x 1< x 2 , αφού στον άξονα Ο x απεικόνιζαν σημείο με τετμημένη x 1στα αριστερά του σημείου με την τετμημένη x2.

Τα μέρη της παραβολής που βρίσκονται πάνω από τον άξονα O x συμβολίζονται με κόκκινο, κάτω - με μπλε. Αυτό θα μας επιτρέψει να κάνουμε το σχέδιο πιο οπτικό.

Ας επιλέξουμε τα κενά που αντιστοιχούν σε αυτά τα μέρη και ας τα σημειώσουμε στο σχήμα με πεδία συγκεκριμένου χρώματος.

Σημειώσαμε με κόκκινο τα διαστήματα (− ∞, x 1) και (x 2, + ∞), σε αυτά η παραβολή βρίσκεται πάνω από τον άξονα O x. Είναι a x 2 + b x + c > 0 . Με μπλε, σημειώσαμε το διάστημα (x 1 , x 2) , που είναι η λύση της ανισότητας a x 2 + b x + c< 0 . Числа x 1 и x 2 будут отвечать равенству a · x 2 + b · x + c = 0 .

Ας κάνουμε μια σύντομη σημείωση για τη λύση. Για a > 0 και D = b 2 − 4 a c > 0 (ή D " = D 4 > 0 για ζυγό συντελεστή b) παίρνουμε:

• η λύση της τετραγωνικής ανισότητας a x 2 + b x + c > 0 είναι (− ∞ , x 1) ∪ (x 2 , + ∞) ή με άλλο τρόπο x< x 1 , x >x2;
• η λύση της δευτεροβάθμιας ανισότητας a · x 2 + b · x + c ≥ 0 είναι (− ∞ , x 1 ] ∪ [ x 2 , + ∞) ή με άλλη συμβολή x ≤ x 1 , x ≥ x 2 ;
• λύση της τετραγωνικής ανίσωσης a x 2 + b x + c< 0 является (x 1 , x 2) или в другой записи x 1 < x < x 2 ;
• η λύση της δευτεροβάθμιας ανισότητας a x 2 + b x + c ≤ 0 είναι [ x 1 , x 2 ] ή με άλλο συμβολισμό x 1 ≤ x ≤ x 2 ,

όπου x 1 και x 2 είναι οι ρίζες του τετραγωνικού τριωνύμου a x 2 + b x + c, και x 1< x 2 .

Σε αυτό το σχήμα, η παραβολή αγγίζει τον άξονα O x σε ένα μόνο σημείο, το οποίο υποδεικνύεται ως x0 α > 0. D=0, επομένως, το τετράγωνο τριώνυμο έχει μία ρίζα x0.

Η παραβολή βρίσκεται εντελώς πάνω από τον άξονα O x, εκτός από το σημείο επαφής του άξονα συντεταγμένων. Χρωματίστε τα κενά (− ∞ , x 0) , (x 0 , ∞) .

Ας γράψουμε τα αποτελέσματα. Στο α > 0Και D=0:

• λύση της τετραγωνικής ανισότητας a x 2 + b x + c > 0είναι (− ∞ , x 0) ∪ (x 0 , + ∞) ή με άλλο συμβολισμό x ≠ x0;
• λύση της τετραγωνικής ανισότητας a x 2 + b x + c ≥ 0είναι (− ∞ , + ∞) ή σε άλλη σημειογραφία x ∈ R ;
• τετραγωνική ανισότητα a x 2 + b x + c< 0 δεν έχει λύσεις (δεν υπάρχουν διαστήματα στα οποία η παραβολή βρίσκεται κάτω από τον άξονα O x);
• τετραγωνική ανισότητα a x 2 + b x + c ≤ 0έχει τη μόνη λύση x = x0(δίνεται από το σημείο επαφής),

Οπου x0- η ρίζα ενός τετραγωνικού τριωνύμου a x 2 + b x + c.

Εξετάστε την τρίτη περίπτωση, όταν οι κλάδοι της παραβολής κατευθύνονται προς τα πάνω και δεν αγγίζουν τον άξονα O x. Οι κλάδοι της παραβολής δείχνουν προς τα πάνω, που σημαίνει ότι α > 0. Το τετράγωνο τριώνυμο δεν έχει πραγματικές ρίζες γιατί ρε< 0 .

Δεν υπάρχουν διαστήματα στο γράφημα στα οποία η παραβολή θα ήταν κάτω από τον άξονα x. Αυτό θα το λάβουμε υπόψη όταν επιλέγουμε ένα χρώμα για το σχέδιό μας.

Αποδεικνύεται ότι όταν α > 0Και ρε< 0 επίλυση τετραγωνικών ανισώσεων a x 2 + b x + c > 0Και a x 2 + b x + c ≥ 0είναι το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών και των ανισώσεων a x 2 + b x + c< 0 Και a x 2 + b x + c ≤ 0δεν έχουν λύσεις.

Μένει να εξετάσουμε τρεις επιλογές όταν οι κλάδοι της παραβολής κατευθύνονται προς τα κάτω. Δεν χρειάζεται να σταθούμε σε αυτές τις τρεις επιλογές, αφού πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέρη της ανίσωσης με − 1, προκύπτει μια ισοδύναμη ανισότητα με θετικό συντελεστή x 2.

Η εξέταση της προηγούμενης ενότητας του άρθρου μας προετοίμασε για την αντίληψη του αλγορίθμου για την επίλυση ανισώσεων χρησιμοποιώντας μια γραφική μέθοδο. Για να κάνουμε υπολογισμούς, θα πρέπει να χρησιμοποιούμε κάθε φορά ένα σχέδιο, το οποίο θα δείχνει την ευθεία συντεταγμένων O x και μια παραβολή που αντιστοιχεί σε μια τετραγωνική συνάρτηση y = a x 2 + b x + c. Στις περισσότερες περιπτώσεις, δεν θα απεικονίσουμε τον άξονα O y, καθώς δεν χρειάζεται για υπολογισμούς και θα υπερφορτώσει μόνο το σχέδιο.

Για να κατασκευάσουμε μια παραβολή, θα πρέπει να γνωρίζουμε δύο πράγματα:

Ορισμός 2

• την κατεύθυνση των κλάδων, η οποία καθορίζεται από την τιμή του συντελεστή a ;
• η παρουσία σημείων τομής της παραβολής και του άξονα της τετμημένης, τα οποία καθορίζονται από την τιμή της διάκρισης του τετραγωνικού τριωνύμου a · x 2 + b · x + c.

Θα προσδιορίσουμε τα σημεία τομής και εφαπτομένης με τον συνήθη τρόπο κατά την επίλυση μη αυστηρών ανισοτήτων και κενά κατά την επίλυση αυστηρών ανισοτήτων.

Έχοντας ένα ολοκληρωμένο σχέδιο, μπορείτε να προχωρήσετε στο επόμενο βήμα της λύσης. Περιλαμβάνει τον προσδιορισμό των διαστημάτων στα οποία η παραβολή βρίσκεται πάνω ή κάτω από τον άξονα O x. Τα κενά και τα σημεία τομής είναι η λύση στην τετραγωνική ανισότητα. Εάν δεν υπάρχουν σημεία τομής ή εφαπτομένης και δεν υπάρχουν διαστήματα, τότε θεωρείται ότι η ανισότητα που καθορίζεται στις συνθήκες του προβλήματος δεν έχει λύσεις.

Τώρα ας λύσουμε μερικές τετραγωνικές ανισώσεις χρησιμοποιώντας τον παραπάνω αλγόριθμο.

Παράδειγμα 1

Είναι απαραίτητο να λυθεί γραφικά η ανισότητα 2 · x 2 + 5 1 3 · x - 2.

Λύση

Ας σχεδιάσουμε μια γραφική παράσταση της τετραγωνικής συνάρτησης y = 2 · x 2 + 5 1 3 · x - 2 . Συντελεστής στο x2θετικό γιατί 2 . Αυτό σημαίνει ότι οι κλάδοι της παραβολής θα κατευθύνονται προς τα πάνω.

Υπολογίζουμε τη διάκριση του τετραγώνου τριωνύμου 2 · x 2 + 5 1 3 · x - 2 για να βρούμε αν η παραβολή έχει κοινά σημεία με τον άξονα x. Παίρνουμε:

D \u003d 5 1 3 2 - 4 2 (- 2) \u003d 400 9

Όπως μπορείτε να δείτε, το D είναι μεγαλύτερο από το μηδέν, επομένως, έχουμε δύο σημεία τομής: x 1 \u003d - 5 1 3 - 400 9 2 2 και x 2 \u003d - 5 1 3 + 400 9 2 2, δηλαδή, x 1 = − 3Και x 2 = 1 3.

Επιλύουμε μια μη αυστηρή ανισότητα, επομένως βάζουμε συνηθισμένα σημεία στο γράφημα. Σχεδιάζουμε μια παραβολή. Όπως μπορείτε να δείτε, το σχέδιο έχει την ίδια εμφάνιση όπως στο πρώτο πρότυπο που εξετάσαμε.

Η ανισότητα μας έχει πρόσημο ≤ . Επομένως, πρέπει να επιλέξουμε τα κενά στο γράφημα όπου η παραβολή βρίσκεται κάτω από τον άξονα O x και να προσθέσουμε σημεία τομής σε αυτά.

Το διάστημα που χρειαζόμαστε είναι − 3 , 1 3 . Του προσθέτουμε σημεία τομής και παίρνουμε ένα αριθμητικό τμήμα − 3 , 1 3 . Αυτή είναι η λύση στο πρόβλημά μας. Η απάντηση μπορεί να γραφτεί ως διπλή ανισότητα: − 3 ≤ x ≤ 1 3 .

Απάντηση:− 3 , 1 3 ή − 3 ≤ x ≤ 1 3 .

Παράδειγμα 2

− x 2 + 16 x − 63< 0 γραφική μέθοδος.

Λύση

Το τετράγωνο της μεταβλητής έχει αρνητικό αριθμητικό συντελεστή, άρα οι κλάδοι της παραβολής θα δείχνουν προς τα κάτω. Υπολογίστε το τέταρτο μέρος της διάκρισης D" = 8 2 − (− 1) (− 63) = 64 − 63 = 1. Αυτό το αποτέλεσμα μας λέει ότι θα υπάρχουν δύο σημεία τομής.

Ας υπολογίσουμε τις ρίζες του τετραγωνικού τριωνύμου: x 1 \u003d - 8 + 1 - 1 και x 2 \u003d - 8 - 1 - 1, x 1 \u003d 7 και x2 = 9.

Αποδεικνύεται ότι η παραβολή τέμνει τον άξονα x σε σημεία 7 Και 9 . Σημειώνουμε αυτά τα σημεία στο γράφημα ως άδεια, αφού εργαζόμαστε με αυστηρή ανισότητα. Μετά από αυτό, σχεδιάζουμε μια παραβολή που τέμνει τον άξονα O x στα σημειωμένα σημεία.

Θα μας ενδιαφέρουν τα διαστήματα στα οποία η παραβολή βρίσκεται κάτω από τον άξονα Ο x. Σημειώστε αυτά τα διαστήματα με μπλε χρώμα.

Παίρνουμε την απάντηση: η λύση της ανίσωσης είναι τα διαστήματα (− ∞ , 7) , (9 , + ∞) .

Απάντηση:(− ∞ , 7) ∪ (9 , + ∞) ή με άλλο συμβολισμό x< 7 , x > 9 .

Σε περιπτώσεις όπου η διάκριση ενός τετραγωνικού τριωνύμου είναι μηδέν, πρέπει να ληφθεί μέριμνα για να εξεταστεί εάν θα συμπεριληφθεί η τετμημένη του εφαπτομενικού σημείου στην απάντηση. Για να ληφθεί η σωστή απόφαση, είναι απαραίτητο να ληφθεί υπόψη το πρόσημο της ανισότητας. Στις αυστηρές ανισότητες, το σημείο επαφής του άξονα της τετμημένης δεν είναι λύση της ανισότητας, στις μη αυστηρές είναι.

Παράδειγμα 3

Λύστε την τετραγωνική ανίσωση 10 x 2 − 14 x + 4, 9 ≤ 0γραφική μέθοδος.

Λύση

Οι κλάδοι της παραβολής σε αυτή την περίπτωση θα κατευθύνονται προς τα πάνω. Θα αγγίξει τον άξονα O x στο σημείο 0, 7, αφού

Ας σχεδιάσουμε τη συνάρτηση y = 10 x 2 − 14 x + 4, 9. Οι κλάδοι του κατευθύνονται προς τα πάνω, αφού ο συντελεστής στο x2θετικό, και αγγίζει τον άξονα x στο σημείο με τον άξονα x 0 , 7 , επειδή D" = (− 7) 2 − 10 4, 9 = 0, από όπου x 0 = 7 10 ή 0 , 7 .

Βάλτε ένα σημείο και σχεδιάστε μια παραβολή.

Λύνουμε μια μη αυστηρή ανισότητα με το πρόσημο ≤ . Ως εκ τούτου. Θα μας ενδιαφέρουν τα διαστήματα στα οποία βρίσκεται η παραβολή κάτω από τον άξονα x και το σημείο επαφής. Δεν υπάρχουν διαστήματα στο σχήμα που θα ικανοποιούσαν τις προϋποθέσεις μας. Υπάρχει μόνο ένα σημείο επαφής 0, 7. Αυτή είναι η επιθυμητή λύση.

Απάντηση:Η ανισότητα έχει μόνο μία λύση 0 , 7 .

Παράδειγμα 4

Λύστε την τετραγωνική ανίσωση – x 2 + 8 x − 16< 0 .

Λύση

Οι κλάδοι της παραβολής δείχνουν προς τα κάτω. Η διάκριση είναι μηδέν. Σημείο τομής x0 = 4.

Σημειώνουμε το σημείο επαφής στον άξονα x και σχεδιάζουμε παραβολή.

Έχουμε να κάνουμε με μια αυστηρή ανισότητα. Επομένως, μας ενδιαφέρουν τα διαστήματα στα οποία βρίσκεται η παραβολή κάτω από τον άξονα Ο x. Ας τα σημειώσουμε με μπλε χρώμα.

Το σημείο με την τετμημένη 4 δεν είναι λύση, αφού η παραβολή δεν βρίσκεται κάτω από τον άξονα Ο x σε αυτήν. Επομένως, παίρνουμε δύο διαστήματα (− ∞ , 4) , (4 , + ∞) .

Απάντηση: (− ∞ , 4) ∪ (4 , + ∞) ή με άλλο συμβολισμό x ≠ 4 .

Όχι πάντα με αρνητική τιμήη διακριτική ανισότητα δεν θα έχει λύσεις. Υπάρχουν περιπτώσεις που η λύση θα είναι το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών.

Παράδειγμα 5

Λύστε την τετραγωνική ανίσωση 3 · x 2 + 1 > 0 γραφικά.

Λύση

Ο συντελεστής α είναι θετικός. Η διάκριση είναι αρνητική. Οι κλάδοι της παραβολής θα κατευθύνονται προς τα πάνω. Δεν υπάρχουν σημεία τομής της παραβολής με τον άξονα Ο x. Ας στραφούμε στο σχέδιο.

Δουλεύουμε με αυστηρή ανισότητα, η οποία έχει πρόσημο >. Αυτό σημαίνει ότι μας ενδιαφέρουν τα διαστήματα στα οποία η παραβολή βρίσκεται πάνω από τον άξονα x. Αυτό ακριβώς συμβαίνει όταν η απάντηση είναι το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών.

Απάντηση:(− ∞ , + ∞) ή έτσι x ∈ R .

Παράδειγμα 6

Είναι απαραίτητο να βρεθεί μια λύση στην ανισότητα − 2 x 2 − 7 x − 12 ≥ 0γραφικό τρόπο.

Λύση

Οι κλάδοι της παραβολής δείχνουν προς τα κάτω. Η διάκριση είναι αρνητική, επομένως, δεν υπάρχουν κοινά σημεία της παραβολής και του άξονα x. Ας στραφούμε στο σχέδιο.

Εργαζόμαστε με μια μη αυστηρή ανισότητα με το πρόσημο ≥ , επομένως, μας ενδιαφέρουν τα διαστήματα στα οποία βρίσκεται η παραβολή πάνω από τον άξονα x. Αν κρίνουμε από το χρονοδιάγραμμα, δεν υπάρχουν τέτοια κενά. Αυτό σημαίνει ότι η ανισότητα που δίνεται στη συνθήκη του προβλήματος δεν έχει λύσεις.

Απάντηση:Δεν υπάρχουν λύσεις.

Εάν παρατηρήσετε κάποιο λάθος στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

Αφήνω f(x,y)Και g(x, y)- δύο εκφράσεις με μεταβλητές ΧΚαι στοκαι πεδίο ορισμού Χ. Στη συνέχεια ανισότητες της μορφής f(x, y) > g(x, y)ή f(x, y) < g(x, y)που ονομάζεται ανισότητα με δύο μεταβλητές .

Έννοια μεταβλητών x, yαπό πολλούς Χ, κάτω από την οποία η ανισότητα μετατρέπεται σε αληθινή αριθμητική ανισότητα, ονομάζεται της απόφαση και συμβολίζεται (x, y). Λύστε την ανισότητα είναι να βρείτε ένα σύνολο τέτοιων ζευγαριών.

Αν κάθε ζεύγος αριθμών (x, y)από το σύνολο των λύσεων στην ανισότητα, βάλτε σε αντιστοιχία ένα σημείο M(x, y), λαμβάνουμε το σύνολο των σημείων στο επίπεδο που δίνεται από αυτή την ανισότητα. Ονομάζεται γράφημα αυτής της ανισότητας . Ένα διάγραμμα ανισότητας είναι συνήθως μια περιοχή σε ένα επίπεδο.

Να απεικονίσει το σύνολο των λύσεων της ανισότητας f(x, y) > g(x, y), προχωρήστε ως εξής. Πρώτα, αντικαταστήστε το πρόσημο της ανισότητας με ένα σύμβολο ίσου και βρείτε μια γραμμή που έχει την εξίσωση f(x,y) = g(x,y). Αυτή η γραμμή χωρίζει το αεροπλάνο σε πολλά μέρη. Μετά από αυτό, αρκεί να πάρουμε ένα σημείο σε κάθε μέρος και να ελέγξουμε αν η ανισότητα ισχύει σε αυτό το σημείο f(x, y) > g(x, y). Εάν εκτελεστεί σε αυτό το σημείο, τότε θα εκτελεστεί και σε ολόκληρο το τμήμα όπου βρίσκεται αυτό το σημείο. Συνδυάζοντας τέτοια μέρη, λαμβάνουμε ένα σύνολο λύσεων.

Εργο. y > Χ.

Λύση.Αρχικά, αντικαθιστούμε το πρόσημο της ανισότητας με ένα σύμβολο ίσου και κατασκευάζουμε μια γραμμή σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων που έχει την εξίσωση y = Χ.

Αυτή η γραμμή χωρίζει το επίπεδο σε δύο μέρη. Μετά από αυτό, παίρνουμε ένα σημείο σε κάθε μέρος και ελέγχουμε αν η ανισότητα ισχύει σε αυτό το σημείο y > Χ.

Εργο.Λύστε γραφικά την ανισότητα
Χ 2 + στο 2 25 £.

Ρύζι. 18.

Λύση.Αρχικά, αντικαταστήστε το σύμβολο της ανισότητας με ένα σύμβολο ίσου και σχεδιάστε μια γραμμή Χ 2 + στο 2 = 25. Αυτός είναι ένας κύκλος με κέντρο στην αρχή και ακτίνα 5. Ο κύκλος που προκύπτει χωρίζει το επίπεδο σε δύο μέρη. Έλεγχος της εγκυρότητας της ανισότητας Χ 2 + στο 2 £ 25 σε κάθε μέρος, παίρνουμε ότι η γραφική παράσταση είναι το σύνολο των σημείων του κύκλου και μέρος του επιπέδου μέσα στον κύκλο.

Ας δοθούν δύο ανισότητες φά 1(x, y) > σολ 1(x, y)Και φά 2(x, y) > σολ 2(x, y).

Συστήματα συνόλων ανισώσεων με δύο μεταβλητές

Σύστημα ανισοτήτων είναι ο ίδιος συνδυασμό αυτών των ανισοτήτων. Λύση συστήματος είναι οποιαδήποτε αξία (x, y), που μετατρέπει κάθε μία από τις ανισώσεις σε αληθινή αριθμητική ανισότητα. Πολλές λύσεις συστήματα ανισώσεις είναι η τομή των συνόλων λύσεων των ανισώσεων που σχηματίζουν το δεδομένο σύστημα.

Σύνολο ανισοτήτων είναι ο ίδιος διάσπαση αυτών ανισότητες. Ορισμός απόφασης είναι οποιαδήποτε αξία (x, y), η οποία μετατρέπεται σε αληθινή αριθμητική ανισότητα τουλάχιστον μία από τις ανισώσεις του συνόλου. Πολλές λύσεις αδρανή είναι η ένωση συνόλων λύσεων σε ανισότητες που σχηματίζουν ένα σύνολο.

Εργο.Να λύσετε γραφικά ένα σύστημα ανισοτήτων

Λύση. y = xΚαι Χ 2 + στο 2 = 25. Λύνουμε κάθε ανισότητα του συστήματος.

Η γραφική παράσταση του συστήματος θα είναι ένα σύνολο σημείων στο επίπεδο που είναι η τομή (διπλή εκκόλαψη) των συνόλων λύσεων της πρώτης και της δεύτερης ανισότητας.

Εργο.Λύστε γραφικά ένα σύνολο ανισώσεων

Λύση.Αρχικά, αντικαθιστούμε το πρόσημο της ανισότητας με ένα σύμβολο ίσου και σχεδιάζουμε γραμμές στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων y = x+ 4 και Χ 2 + στο 2 = 16. Λύστε κάθε ανισότητα πληθυσμού. Το συνολικό γράφημα θα είναι ένα σύνολο σημείων στο επίπεδο, τα οποία είναι η ένωση των συνόλων λύσεων της πρώτης και της δεύτερης ανισότητας.

Ασκήσεις για ανεξάρτητη εργασία

1. Λύστε γραφικά ανισώσεις: α) στο> 2Χ; σι) στο< 2Χ + 3;

V) Χ 2+y 2 > 9; ΣΟΛ) Χ 2+y 2 4 £.

2. Λύστε γραφικά συστήματα ανισώσεων:

μετα Χριστον)