Τύπος μαθήματος:

Είδος μαθήματος:Διάλεξη, μάθημα επίλυσης προβλημάτων.

Διάρκεια: 2 ώρες.

Στόχοι: 1)Μάθετε τη γραφική μέθοδο.

2) Δείξτε τη χρήση του προγράμματος Maple στην επίλυση συστημάτων ανισώσεων χρησιμοποιώντας μια γραφική μέθοδο.

3) Αναπτύξτε αντίληψη και σκέψη για το θέμα.

Πλάνο μαθήματος:

Πρόοδος του μαθήματος.

Στάδιο 1: Η γραφική μέθοδος συνίσταται στην κατασκευή ενός συνόλου εφικτών λύσεων LLP και στην εύρεση ενός σημείου σε αυτό το σύνολο που αντιστοιχεί στο μέγιστο / λεπτό της αντικειμενικής συνάρτησης.

Σε σχέση με ανάπηροςοπτική γραφική αναπαράσταση, αυτή η μέθοδος χρησιμοποιείται μόνο για συστήματα γραμμικών ανισοτήτων με δύο άγνωστα και συστήματα που μπορούν να αναχθούν σε αυτή τη μορφή.

Για να δείξουμε οπτικά τη γραφική μέθοδο, θα λύσουμε το ακόλουθο πρόβλημα:

1. Στο πρώτο στάδιο, είναι απαραίτητο να κατασκευαστεί η περιοχή των εφικτών λύσεων. Για αυτό το παράδειγμα, είναι πιο βολικό να επιλέξετε X2 για την τετμημένη και X1 για την τεταγμένη και να γράψετε τις ανισότητες με την ακόλουθη μορφή:

Επειδή τόσο τα γραφήματα όσο και η περιοχή των αποδεκτών λύσεων βρίσκονται στο πρώτο τρίμηνο. Για να βρούμε τα οριακά σημεία, λύνουμε τις εξισώσεις (1)=(2), (1)=(3) και (2)=(3).

Όπως φαίνεται από την εικόνα, το πολύεδρο ABCDE σχηματίζει μια περιοχή εφικτών λύσεων.

Εάν το πεδίο των αποδεκτών λύσεων δεν είναι κλειστό, τότε είτε max(f)=+ ? είτε min(f)= -?.

2. Τώρα μπορούμε να προχωρήσουμε στην απευθείας εύρεση του μέγιστου της συνάρτησης f.

Αντικαθιστώντας εναλλακτικά τις συντεταγμένες των κορυφών του πολυέδρου στη συνάρτηση f και συγκρίνοντας τις τιμές, βρίσκουμε ότι f(C)=f(4;1)=19 είναι το μέγιστο της συνάρτησης.

Αυτή η προσέγγιση είναι αρκετά ωφέλιμη για μικρό αριθμό κορυφών. Αλλά αυτή η διαδικασία μπορεί να καθυστερήσει εάν υπάρχουν πολλές κορυφές.

Σε αυτή την περίπτωση, είναι πιο βολικό να εξετάσουμε μια γραμμή επιπέδου της μορφής f=a. Με μονότονη αύξηση του αριθμού α από -; σε +; ευθείες f=a μετατοπίζονται κατά μήκος του κανονικού διανύσματος Το κανονικό διάνυσμα έχει συντεταγμένες (С1;С2), όπου C1 και C2 είναι οι συντελεστές των αγνώστων στην αντικειμενική συνάρτηση f=C1?X1+C2?X2+C0. Αν X είναι το τελευταίο σημείο τομής της γραμμής στάθμης και του συνόλου ABCDE, τότε το f(X) είναι το μέγιστο στο σύνολο των εφικτών λύσεων. Αν για ένα>-; η ευθεία f=a τέμνει το σύνολο των αποδεκτών λύσεων, τότε min(f)= -?. Αν αυτό συμβαίνει όταν a>+?, τότε max(f)=+?.

Στο παράδειγμά μας, η ευθεία f=a διασχίζει την περιοχή ABCDE στο σημείο С(4;1). Εφόσον αυτό είναι το τελευταίο σημείο τομής, max(f)=f(C)=f(4;1)=19.

Να λύσετε γραφικά το σύστημα των ανισοτήτων. Βρείτε γωνιακές λύσεις.

x1>=0, x2>=0

>με(οικόπεδα);

>με(οικόπεδα)

> S1:=solve((f1x = X6, f2x = X6), );

Απάντηση: Όλα τα σημεία Si όπου i=1..10 για τα οποία τα x και y είναι θετικά.

Περιοχή που οριοθετείται από αυτά τα σημεία: (54/11.2/11) (5/7.60/7) (0.5) (10/3, 10/3)

Στάδιο 3. Σε κάθε μαθητή δίνεται μία από τις 20 επιλογές, στις οποίες ο μαθητής καλείται να λύσει ανεξάρτητα την ανισότητα χρησιμοποιώντας μια γραφική μέθοδο και τα υπόλοιπα παραδείγματα ως εργασία για το σπίτι.

Μάθημα №4 Γραφική επίλυση προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού

Τύπος μαθήματος:νέο υλικό μάθησης.

Είδος μαθήματος:Διάλεξη + μάθημα επίλυσης προβλημάτων.

Διάρκεια: 2 ώρες.

Στόχοι: 1) Μελετήστε τη γραφική λύση του προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού.

2) Μάθετε να χρησιμοποιείτε το πρόγραμμα Maple κατά την επίλυση ενός προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού.

2) Αναπτύξτε την αντίληψη, τη σκέψη.

Πλάνο μαθήματος:Στάδιο 1: εκμάθηση νέου υλικού.

Στάδιο 2: Ανάπτυξη νέου υλικού στο μαθηματικό πακέτο Maple.

Στάδιο 3: έλεγχος του υλικού που μελετήθηκε και της εργασίας.

Πρόοδος του μαθήματος.

Η γραφική μέθοδος είναι αρκετά απλή και ξεκάθαρη για την επίλυση προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού με δύο μεταβλητές. Βασίζεται σε γεωμετρικόςαναπαράσταση αποδεκτών λύσεων και ψηφιακό φίλτρο του προβλήματος.

Κάθε μία από τις ανισώσεις του προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού (1.2) ορίζει ένα ορισμένο ημιεπίπεδο στο επίπεδο συντεταγμένων (Εικ. 2.1) και το σύστημα ανισώσεων στο σύνολό του ορίζει την τομή των αντίστοιχων επιπέδων. Το σύνολο των σημείων τομής αυτών των ημιεπιπέδων ονομάζεται τομέα των εφικτών λύσεων(ODR). Η ODR είναι πάντα κυρτόςσχήμα, δηλ. που έχει την εξής ιδιότητα: αν δύο σημεία Α και Β ανήκουν σε αυτό το σχήμα, τότε ολόκληρο το τμήμα ΑΒ ανήκει σε αυτό. Το ODR μπορεί να αναπαρασταθεί γραφικά από ένα κυρτό πολύγωνο, μια απεριόριστη κυρτή πολυγωνική περιοχή, ένα τμήμα, μια ακτίνα, ένα μόνο σημείο. Εάν το σύστημα των περιορισμών του προβλήματος (1.2) είναι ασυνεπές, τότε το ODE είναι ένα κενό σύνολο.

Όλα τα παραπάνω ισχύουν και για την περίπτωση που το σύστημα περιορισμών (1.2) περιλαμβάνει ισότητες, αφού οποιαδήποτε ισότητα

μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένα σύστημα δύο ανισοτήτων (βλ. Εικ. 2.1)

Το ψηφιακό φίλτρο σε μια σταθερή τιμή ορίζει μια ευθεία γραμμή στο επίπεδο. Αλλάζοντας τις τιμές του L, λαμβάνουμε μια οικογένεια παράλληλων ευθειών που ονομάζονται γραμμές επιπέδου.

Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι μια αλλαγή στην τιμή του L θα αλλάξει μόνο το μήκος του τμήματος που αποκόπτεται από τη γραμμή στάθμης στον άξονα (αρχική τεταγμένη) και η κλίση της ευθείας θα παραμείνει σταθερή (βλ. Εικ. 2.1). Επομένως, για τη λύση, θα αρκεί η κατασκευή μιας από τις γραμμές επιπέδου, επιλέγοντας αυθαίρετα την τιμή του L.

Το διάνυσμα με συντεταγμένες από τους συντελεστές CF στο και είναι κάθετο σε κάθε μία από τις γραμμές επιπέδου (βλ. Εικ. 2.1). Η κατεύθυνση του διανύσματος είναι ίδια με την κατεύθυνση αυξανόμενηΚΙ, που είναι ένα σημαντικό σημείο για την επίλυση προβλημάτων. Κατεύθυνση φθίνωνΤο ψηφιακό φίλτρο είναι αντίθετο από την κατεύθυνση του διανύσματος.

Η ουσία της γραφικής μεθόδου είναι η εξής. Στην κατεύθυνση (έναντι της κατεύθυνσης) του διανύσματος στο ODR, πραγματοποιείται η αναζήτηση για το βέλτιστο σημείο. Το βέλτιστο σημείο είναι το σημείο από το οποίο διέρχεται η γραμμή επιπέδου, που αντιστοιχεί στη μεγαλύτερη (μικρότερη) τιμή της συνάρτησης. Η βέλτιστη λύση βρίσκεται πάντα στο όριο ODT, για παράδειγμα, στην τελευταία κορυφή του πολυγώνου ODT από το οποίο διέρχεται η γραμμή στόχος ή σε ολόκληρη την πλευρά του.

Κατά την αναζήτηση της βέλτιστης λύσης σε προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού, είναι δυνατές οι ακόλουθες καταστάσεις: υπάρχει μια μοναδική λύση στο πρόβλημα. υπάρχει άπειρος αριθμός λύσεων (εναλλακτικό optium). Η ΚΙ δεν περιορίζεται. η περιοχή των εφικτών λύσεων είναι ένα μόνο σημείο. το πρόβλημα δεν έχει λύσεις.

Εικόνα 2.1 Γεωμετρική ερμηνεία των περιορισμών και του CF του προβλήματος.

Μεθοδολογία επίλυσης προβλημάτων LP με γραφική μέθοδο

I. Στους περιορισμούς του προβλήματος (1.2), αντικαταστήστε τα πρόσημα των ανισώσεων με πρόσημα ακριβών ισοτήτων και κατασκευάστε τις αντίστοιχες ευθείες γραμμές.

II. Βρείτε και σκιάστε τα ημιεπίπεδα που επιτρέπονται από κάθε έναν από τους περιορισμούς ανισότητας του προβλήματος (1.2). Για να γίνει αυτό, πρέπει να αντικαταστήσετε τις συντεταγμένες ενός σημείου [για παράδειγμα, (0; 0)] σε μια συγκεκριμένη ανισότητα και να ελέγξετε την αλήθεια της προκύπτουσας ανισότητας.

Αναληθινή ανισότητα,

Οτιείναι απαραίτητο να σκιαστεί το ημιεπίπεδο που περιέχει το δεδομένο σημείο.

σε διαφορετική περίπτωση(η ανισότητα είναι ψευδής) είναι απαραίτητο να σκιάσεις το ημιεπίπεδο που δεν περιέχει το δεδομένο σημείο.

Εφόσον και πρέπει να είναι μη αρνητικές, οι έγκυρες τιμές τους θα είναι πάντα πάνω από τον άξονα και στα δεξιά του άξονα, δηλ. στο Ι τεταρτημόριο.

Οι περιορισμοί ισότητας επιτρέπουν μόνο εκείνα τα σημεία που βρίσκονται στην αντίστοιχη ευθεία. Επομένως, είναι απαραίτητο να επισημανθούν τέτοιες γραμμές στο γράφημα.

III. Ορίστε το ODR ως μέρος του επιπέδου που ανήκει ταυτόχρονα σε όλες τις επιτρεπόμενες περιοχές και επιλέξτε το. Ελλείψει ΣΔΕ, το πρόβλημα δεν έχει λύσεις.

IV. Εάν το ODS δεν είναι ένα κενό σύνολο, τότε είναι απαραίτητο να κατασκευαστεί η γραμμή στόχου, δηλ. οποιαδήποτε από τις γραμμές επιπέδου (όπου L είναι ένας αυθαίρετος αριθμός, για παράδειγμα, πολλαπλάσιο του και, δηλ. βολικό για υπολογισμούς). Η μέθοδος κατασκευής είναι παρόμοια με την κατασκευή άμεσων περιορισμών.

V. Κατασκευάστε ένα διάνυσμα που ξεκινά από το σημείο (0;0) και τελειώνει στο σημείο. Εάν η γραμμή στόχος και το διάνυσμα έχουν κατασκευαστεί σωστά, τότε θα γίνουν κάθετος.

VI. Κατά την αναζήτηση για το μέγιστο του ψηφιακού φίλτρου, είναι απαραίτητο να μετακινήσετε τη γραμμή στόχου στην κατεύθυνσηδιάνυσμα, κατά την αναζήτηση για το ελάχιστο του ψηφιακού φίλτρου - ενάντια στην κατεύθυνσηδιάνυσμα. Η τελευταία κορυφή του ODR προς την κατεύθυνση κίνησης θα είναι το μέγιστο ή το ελάχιστο σημείο του CF. Εάν δεν υπάρχουν τέτοια σημεία, τότε μπορούμε να συμπεράνουμε ότι απεριόριστο του ψηφιακού φίλτρου στο σύνολο των σχεδίωναπό πάνω (όταν αναζητάτε ένα μέγιστο) ή από κάτω (όταν αναζητάτε ένα ελάχιστο).

VII. Προσδιορίστε τις συντεταγμένες του σημείου max (min) του ψηφιακού φίλτρου και υπολογίστε την τιμή του ψηφιακού φίλτρου. Για τον υπολογισμό των συντεταγμένων του βέλτιστου σημείου, είναι απαραίτητο να λυθεί το σύστημα εξισώσεων των ευθειών στην τομή του οποίου βρίσκεται.

Επίλυση προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού

1. f(x)=2x1+x2 ->εξωτ

x1>=0, x2>=0

>οικόπεδα((a+b<=3,a+3*b<=5,5*a-b<=5,a+b>=0,a>=0,b>=0), a=-2..5, b=-2..5, εφικτές επιλογές=(χρώμα=κόκκινο),

optionopen=(χρώμα=μπλε, πάχος=2),

optionsclosed=(χρώμα=πράσινο, πάχος=3),

optionsexcluded=(color=yellow));

> with(simplex):

> C:=(x+y<=3, x+3*y <=5, 5*x-y <=5,x+y >=0};

> dp:=setup((x+y<=3, x+3*y <=5, 5*x-y <=5,x+y >=0});

>n:=βάση(dp);

W οθόνη (C,);

> L:=cterm(C);

W X:=dual(f,C,p);

W f_max:=subs(R,f);

W R1:=ελαχιστοποίηση(f,C ,ΜΗ ΑΡΝΗΤΙΚΟ);

f_min:=subs(R1,f);

ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Πότε Χ 1 =5/4 Χ 2 =5/4 f_max=15/4; Στο Χ 1 =0 Χ 2 =0 f_min=0;

Μάθημα #5

Τύπος μαθήματος:έλεγχος μαθήματος + νέο υλικό μάθησης. Είδος μαθήματος: Διάλεξη.

Διάρκεια: 2 ώρες.

Στόχοι: 1)Έλεγχος και εμπέδωση γνώσεων σχετικά με την προηγούμενη ύλη σε προηγούμενα μαθήματα.

2) Μάθετε μια νέα μέθοδο για την επίλυση παιχνιδιών μήτρας.

3) αναπτύξτε τη μνήμη, τη μαθηματική σκέψη και την προσοχή.

Στάδιο 1: ελέγξτε την εργασία με τη μορφή ανεξάρτητης εργασίας.

Στάδιο 2:δώστε μια σύντομη περιγραφή της μεθόδου ζιγκ-ζαγκ

Στάδιο 3:εμπεδώστε νέο υλικό και δώστε εργασίες για το σπίτι.

Πρόοδος του μαθήματος.

Μέθοδοι γραμμικού προγραμματισμού - αριθμητικές μέθοδοι για την επίλυση προβλημάτων βελτιστοποίησης που ανάγονται σε τυπικά μοντέλα γραμμικού προγραμματισμού.

Όπως είναι γνωστό, οποιοδήποτε πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού μπορεί να αναχθεί σε ένα κανονικό μοντέλο για την ελαχιστοποίηση μιας γραμμικής αντικειμενικής συνάρτησης με γραμμικούς περιορισμούς τύπου ισότητας. Δεδομένου ότι ο αριθμός των μεταβλητών σε ένα πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό των περιορισμών (n > m), μια λύση μπορεί να ληφθεί εξισώνοντας τις μεταβλητές (n - m) με το μηδέν, που ονομάζεται Ελεύθερος. Οι υπόλοιπες m μεταβλητές, καλούνται βασικός, μπορεί εύκολα να προσδιοριστεί από το σύστημα των περιορισμών ισότητας με τις συνήθεις μεθόδους της γραμμικής άλγεβρας. Εάν υπάρχει λύση, τότε καλείται βασικός. Εάν η βασική λύση είναι αποδεκτή, τότε καλείται βασικά παραδεκτά. Γεωμετρικά, οι βασικές εφικτές λύσεις αντιστοιχούν στις κορυφές (ακραία σημεία) ενός κυρτού πολυέδρου, γεγονός που περιορίζει το σύνολο των εφικτών λύσεων. Εάν ένα πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού έχει βέλτιστες λύσεις, τότε τουλάχιστον μία από αυτές είναι βασική.

Οι παραπάνω σκέψεις σημαίνουν ότι κατά την αναζήτηση μιας βέλτιστης λύσης σε ένα πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού, αρκεί να περιοριστούμε στην απαρίθμηση των βασικών αποδεκτών λύσεων. Ο αριθμός των βασικών λύσεων είναι ίσος με τον αριθμό των συνδυασμών n μεταβλητών σε m:

C = m n! /nm! * (n - m)!

και μπορεί να είναι αρκετά μεγάλο για να τα απαριθμήσει με άμεση απαρίθμηση για πραγματικός χρόνος. Το γεγονός ότι δεν είναι όλες οι βασικές λύσεις αποδεκτές δεν αλλάζει την ουσία του προβλήματος, αφού για να αξιολογηθεί το παραδεκτό μιας βασικής λύσης, πρέπει να επιτευχθεί.

Το πρόβλημα της ορθολογικής απαρίθμησης βασικών λύσεων ενός προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού επιλύθηκε για πρώτη φορά από τον J. Dantzig. Η μέθοδος simplex που προτείνει είναι μακράν η πιο κοινή μέθοδος γενικού γραμμικού προγραμματισμού. Η μέθοδος simplex υλοποιεί μια κατευθυνόμενη απαρίθμηση εφικτών βασικών λύσεων κατά μήκος των αντίστοιχων ακραίων σημείων του κυρτού πολυέδρου των εφικτών λύσεων ως επαναληπτική διαδικασία, όπου οι τιμές της αντικειμενικής συνάρτησης μειώνονται αυστηρά σε κάθε βήμα. Η μετάβαση μεταξύ των ακραίων σημείων πραγματοποιείται κατά μήκος των άκρων του κυρτού πολυέδρου των εφικτών λύσεων σύμφωνα με απλούς γραμμικούς-αλγεβρικούς μετασχηματισμούς του συστήματος περιορισμών. Από τον αριθμό ακραία σημείαΦυσικά, και η αντικειμενική συνάρτηση είναι γραμμική, τότε ταξινομώντας τα ακραία σημεία προς την κατεύθυνση της μείωσης της αντικειμενικής συνάρτησης, η μέθοδος simplex συγκλίνει στο συνολικό ελάχιστο σε έναν πεπερασμένο αριθμό βημάτων.

Η πρακτική έχει δείξει ότι για τα περισσότερα εφαρμοσμένα προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού, η μέθοδος simplex επιτρέπει σε κάποιον να βρει βέλτιστη λύσησε σχετικά μικρό αριθμό βημάτων σε σύγκριση με τον συνολικό αριθμό των ακραίων σημείων ενός επιτρεπόμενου πολύεδρου. Ταυτόχρονα, είναι γνωστό ότι για ορισμένα προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού με μια ειδικά επιλεγμένη μορφή της αποδεκτής περιοχής, η χρήση της μεθόδου simplex οδηγεί σε πλήρη απαρίθμηση των ακραίων σημείων. Το γεγονός αυτό τόνωσε ως ένα βαθμό την αναζήτηση νέων αποτελεσματικές μεθόδουςεπίλυση προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού που βασίζονται σε ιδέες διαφορετικές από τη μέθοδο simplex, που επιτρέπουν την επίλυση οποιουδήποτε προβλήματος γραμμικού προγραμματισμού σε πεπερασμένο αριθμό βημάτων, σημαντικά μικρότερα από τον αριθμό των ακραίων σημείων.

Μεταξύ των μεθόδων πολυωνυμικού γραμμικού προγραμματισμού που είναι αμετάβλητες ως προς τη διαμόρφωση του εύρους των επιτρεπόμενων τιμών, η πιο κοινή είναι η μέθοδος του L.G. Khachiyan. Ωστόσο, παρόλο που αυτή η μέθοδος έχει μια εκτίμηση πολυωνυμικής πολυπλοκότητας ανάλογα με τη διάσταση του προβλήματος, εντούτοις αποδεικνύεται ότι δεν είναι ανταγωνιστική σε σύγκριση με τη μέθοδο simplex. Ο λόγος για αυτό είναι ότι η εξάρτηση του αριθμού των επαναλήψεων της μεθόδου simplex από τη διάσταση του προβλήματος εκφράζεται με ένα πολυώνυμο 3ης τάξης για τα περισσότερα πρακτικά προβλήματα, ενώ στη μέθοδο Khachiyan, αυτή η εξάρτηση έχει πάντα τάξη τουλάχιστον 4ης. Το γεγονός αυτό είναι αποφασιστικής σημασίας για την πρακτική, όπου τα σύνθετα εφαρμοσμένα προβλήματα για τη μέθοδο simplex είναι εξαιρετικά σπάνια.

Θα πρέπει επίσης να σημειωθεί ότι για εφαρμοσμένα προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού που είναι σημαντικά από πρακτική άποψη, έχουν αναπτυχθεί ειδικές μέθοδοι που λαμβάνουν υπόψη την ειδική φύση των περιορισμών του προβλήματος. Ειδικότερα, για ένα πρόβλημα ομοιογενούς μεταφοράς, χρησιμοποιούνται ειδικοί αλγόριθμοι για την επιλογή της αρχικής βάσης, οι πιο διάσημοι από τους οποίους είναι η μέθοδος βορειοδυτικής γωνίας και η κατά προσέγγιση μέθοδος Vogel και η αλγοριθμική υλοποίηση της ίδιας της μεθόδου simplex είναι κοντά στις ιδιαιτερότητες του προβλήματος. Για την επίλυση του προβλήματος γραμμικής ανάθεσης (πρόβλημα επιλογής), αντί της μεθόδου simplex, χρησιμοποιείται συνήθως είτε ο ουγγρικός αλγόριθμος, βασισμένος στην ερμηνεία του προβλήματος από την άποψη της θεωρίας γραφημάτων ως το πρόβλημα της εύρεσης της μέγιστης σταθμισμένης τέλειας αντιστοίχισης σε ένα διμερές γράφημα, είτε η μέθοδος Mack.

Λύστε ένα παιχνίδι μήτρας 3x3

f(x)=x 1 +x 2 +x 3

x1>=0, x2>=0, x3>=0

> with(simplex):

> C:=( 0*x+3*y+2*z<=1, 2*x+0*y+1*z <=1, 3*x+0*y+0*z <=1};

W οθόνη (C,);

> εφικτό (C, NONNEGATIVE , "NewC", "Transform");

> S:=dual(f,C,p);

W R:=maximize(f,C,ΜΗ ΑΡΝΗΤΙΚΟ);

W f_max:=subs(R,f);

W R1:=ελαχιστοποίηση(S ,ΜΗ ΑΡΝΗΤΙΚΟ);

>G:=p1+p2+p3;

> f_min:=subs(R1,G);

Βρείτε την τιμή του παιχνιδιού

> V:=1/f_max;

Εύρεση της βέλτιστης στρατηγικής για τον πρώτο παίκτη >X:=V*R1;

Εύρεση της βέλτιστης στρατηγικής για τον δεύτερο παίκτη

ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Όταν X=(3/7, 3/7,1/7) V=9/7; Με Υ=(3/7,1/7,3/7) V=9/7;

Σε κάθε μαθητή δίνεται μία από τις 20 επιλογές, στις οποίες ο μαθητής καλείται να λύσει ανεξάρτητα το παιχνίδι μήτρας 2x2 και τα υπόλοιπα παραδείγματα ως εργασία για το σπίτι.

Αφήνω f(x,y)Και g(x, y)- δύο εκφράσεις με μεταβλητές ΧΚαι στοκαι πεδίο ορισμού Χ. Στη συνέχεια ανισότητες της μορφής f(x, y) > g(x, y)ή f(x, y) < g(x, y)που ονομάζεται ανισότητα με δύο μεταβλητές .

Έννοια μεταβλητών x, yαπό πολλούς Χ, κάτω από την οποία η ανισότητα μετατρέπεται σε αληθινή αριθμητική ανισότητα, ονομάζεται της απόφαση και συμβολίζεται (x, y). Λύστε την ανισότητα είναι να βρείτε ένα σύνολο τέτοιων ζευγαριών.

Αν κάθε ζεύγος αριθμών (x, y)από το σύνολο των λύσεων στην ανισότητα, βάλτε σε αντιστοιχία ένα σημείο M(x, y), λαμβάνουμε το σύνολο των σημείων στο επίπεδο που δίνεται από αυτή την ανισότητα. Ονομάζεται γράφημα αυτής της ανισότητας . Ένα διάγραμμα ανισότητας είναι συνήθως μια περιοχή σε ένα επίπεδο.

Να απεικονίσει το σύνολο των λύσεων της ανισότητας f(x, y) > g(x, y), προχωρήστε ως εξής. Πρώτα, αντικαταστήστε το πρόσημο της ανισότητας με ένα σύμβολο ίσου και βρείτε μια γραμμή που έχει την εξίσωση f(x,y) = g(x,y). Αυτή η γραμμή χωρίζει το αεροπλάνο σε πολλά μέρη. Μετά από αυτό, αρκεί να πάρουμε ένα σημείο σε κάθε μέρος και να ελέγξουμε αν η ανισότητα ισχύει σε αυτό το σημείο f(x, y) > g(x, y). Εάν εκτελεστεί σε αυτό το σημείο, τότε θα εκτελεστεί και σε ολόκληρο το τμήμα όπου βρίσκεται αυτό το σημείο. Συνδυάζοντας τέτοια μέρη, λαμβάνουμε ένα σύνολο λύσεων.

Εργο. y > Χ.

Λύση.Αρχικά, αντικαθιστούμε το πρόσημο της ανισότητας με ένα σύμβολο ίσου και κατασκευάζουμε μια γραμμή σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων που έχει την εξίσωση y = Χ.

Αυτή η γραμμή χωρίζει το επίπεδο σε δύο μέρη. Μετά από αυτό, παίρνουμε ένα σημείο σε κάθε μέρος και ελέγχουμε αν η ανισότητα ισχύει σε αυτό το σημείο y > Χ.

Εργο.Λύστε γραφικά την ανισότητα
Χ 2 + στο 2 25 £.

Ρύζι. 18.

Λύση.Αρχικά, αντικαταστήστε το σύμβολο της ανισότητας με ένα σύμβολο ίσου και σχεδιάστε μια γραμμή Χ 2 + στο 2 = 25. Αυτός είναι ένας κύκλος με κέντρο στην αρχή και ακτίνα 5. Ο κύκλος που προκύπτει χωρίζει το επίπεδο σε δύο μέρη. Έλεγχος της εγκυρότητας της ανισότητας Χ 2 + στο 2 £ 25 σε κάθε μέρος, παίρνουμε ότι η γραφική παράσταση είναι το σύνολο των σημείων του κύκλου και μέρος του επιπέδου μέσα στον κύκλο.

Ας δοθούν δύο ανισότητες φά 1(x, y) > σολ 1(x, y)Και φά 2(x, y) > σολ 2(x, y).

Συστήματα συνόλων ανισώσεων με δύο μεταβλητές

Σύστημα ανισοτήτων είναι ο ίδιος συνδυασμό αυτών των ανισοτήτων. Λύση συστήματος είναι οποιαδήποτε αξία (x, y), που μετατρέπει κάθε μία από τις ανισώσεις σε αληθινή αριθμητική ανισότητα. Πολλές λύσεις συστήματα ανισώσεις είναι η τομή των συνόλων λύσεων των ανισώσεων που σχηματίζουν το δεδομένο σύστημα.

Σύνολο ανισοτήτων είναι ο ίδιος διάσπαση αυτών ανισότητες. Ορισμός απόφασης είναι οποιαδήποτε αξία (x, y), η οποία μετατρέπεται σε αληθινή αριθμητική ανισότητα τουλάχιστον μία από τις ανισώσεις του συνόλου. Πολλές λύσεις αδρανή είναι η ένωση συνόλων λύσεων σε ανισότητες που σχηματίζουν ένα σύνολο.

Εργο.Να λύσετε γραφικά ένα σύστημα ανισοτήτων

Λύση. y = xΚαι Χ 2 + στο 2 = 25. Λύνουμε κάθε ανισότητα του συστήματος.

Η γραφική παράσταση του συστήματος θα είναι ένα σύνολο σημείων στο επίπεδο που είναι η τομή (διπλή εκκόλαψη) των συνόλων λύσεων της πρώτης και της δεύτερης ανισότητας.

Εργο.Να λύσετε γραφικά ένα σύνολο ανισώσεων

Λύση.Αρχικά, αντικαθιστούμε το πρόσημο της ανισότητας με ένα σύμβολο ίσου και σχεδιάζουμε γραμμές στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων y = x+ 4 και Χ 2 + στο 2 = 16. Λύστε κάθε ανισότητα πληθυσμού. Το συνολικό γράφημα θα είναι ένα σύνολο σημείων στο επίπεδο, τα οποία είναι η ένωση των συνόλων λύσεων της πρώτης και της δεύτερης ανισότητας.

Ασκήσεις για ανεξάρτητη εργασία

1. Λύστε γραφικά ανισώσεις: α) στο> 2Χ; σι) στο< 2Χ + 3;

V) Χ 2+y 2 > 9; ΣΟΛ) Χ 2+y 2 4 £.

2. Λύστε γραφικά συστήματα ανισώσεων:

μετα Χριστον)

Η γραφική μέθοδος συνίσταται στην κατασκευή ενός συνόλου εφικτών λύσεων LLP και στην εύρεση σε αυτό το σύνολο ενός σημείου που αντιστοιχεί στη συνάρτηση μέγιστου/λεπτού στόχου.

Λόγω των περιορισμένων δυνατοτήτων μιας οπτικής γραφικής αναπαράστασης, αυτή η μέθοδος χρησιμοποιείται μόνο για συστήματα γραμμικών ανισοτήτων με δύο άγνωστα και συστήματα που μπορούν να αναχθούν σε αυτή τη μορφή.

Για να δείξουμε οπτικά τη γραφική μέθοδο, θα λύσουμε το ακόλουθο πρόβλημα:

1. Στο πρώτο στάδιο, είναι απαραίτητο να κατασκευαστεί η περιοχή των εφικτών λύσεων. Για αυτό το παράδειγμα, είναι πιο βολικό να επιλέξετε X2 για την τετμημένη και X1 για την τεταγμένη και να γράψετε τις ανισότητες με την ακόλουθη μορφή:

Επειδή τόσο τα γραφήματα όσο και η περιοχή των αποδεκτών λύσεων βρίσκονται στο πρώτο τρίμηνο. Για να βρούμε τα οριακά σημεία, λύνουμε τις εξισώσεις (1)=(2), (1)=(3) και (2)=(3).

Όπως φαίνεται από την εικόνα, το πολύεδρο ABCDE σχηματίζει μια περιοχή εφικτών λύσεων.

Εάν το πεδίο των αποδεκτών λύσεων δεν είναι κλειστό, τότε είτε max(f)=+ ? είτε min(f)= -?.

2. Τώρα μπορούμε να προχωρήσουμε στην απευθείας εύρεση του μέγιστου της συνάρτησης f.

Αντικαθιστώντας εναλλακτικά τις συντεταγμένες των κορυφών του πολυέδρου στη συνάρτηση f και συγκρίνοντας τις τιμές, βρίσκουμε ότι f(C)=f (4; 1)=19 - το μέγιστο της συνάρτησης.

Αυτή η προσέγγιση είναι αρκετά ωφέλιμη για μικρό αριθμό κορυφών. Αλλά αυτή η διαδικασία μπορεί να καθυστερήσει εάν υπάρχουν πολλές κορυφές.

Σε αυτή την περίπτωση, είναι πιο βολικό να εξετάσουμε μια γραμμή επιπέδου της μορφής f=a. Με μονότονη αύξηση του αριθμού α από -; σε +; ευθείες f=a μετατοπίζονται κατά μήκος του κανονικού διανύσματος. Εάν, με μια τέτοια μετατόπιση της γραμμής στάθμης, υπάρχει κάποιο σημείο X - το πρώτο κοινό σημείο της περιοχής των εφικτών λύσεων (πολύεδρο ABCDE) και η γραμμή στάθμης, τότε το f(X) είναι το ελάχιστο f στο σύνολο ABCDE. Αν X είναι το τελευταίο σημείο τομής της γραμμής στάθμης και του συνόλου ABCDE, τότε το f(X) είναι το μέγιστο στο σύνολο των εφικτών λύσεων. Αν για ένα>-; η ευθεία f=a τέμνει το σύνολο των αποδεκτών λύσεων, τότε min(f)= -?. Αν αυτό συμβαίνει όταν a>+?, τότε max(f)=+?.

Πρώτο επίπεδο

Επίλυση εξισώσεων, ανισώσεων, συστημάτων με χρήση γραφημάτων συναρτήσεων. οπτικός οδηγός (2019)

Πολλές εργασίες που έχουμε συνηθίσει να υπολογίζουμε καθαρά αλγεβρικά μπορούν να επιλυθούν πολύ πιο εύκολα και πιο γρήγορα, η χρήση γραφημάτων συναρτήσεων θα μας βοηθήσει σε αυτό. Λες "πώς έτσι;" να ζωγραφίσω κάτι, και τι να ζωγραφίσω; Πιστέψτε με, μερικές φορές είναι πιο βολικό και πιο εύκολο. Να ξεκινήσουμε? Ας ξεκινήσουμε με τις εξισώσεις!

Γραφική λύση εξισώσεων

Γραφική λύση γραμμικών εξισώσεων

Όπως ήδη γνωρίζετε, το γράφημα μιας γραμμικής εξίσωσης είναι μια ευθεία γραμμή, εξ ου και το όνομα αυτού του τύπου. Οι γραμμικές εξισώσεις είναι αρκετά εύκολο να λυθούν αλγεβρικά - μεταφέρουμε όλους τους αγνώστους στη μία πλευρά της εξίσωσης, όλα όσα γνωρίζουμε - στην άλλη, και voila! Βρήκαμε τη ρίζα. Τώρα θα σας δείξω πώς να το κάνετε γραφικό τρόπο.

Άρα έχετε μια εξίσωση:

Πώς να το λύσετε;
Επιλογή 1, και το πιο συνηθισμένο είναι να μετακινούμε τα άγνωστα στη μία πλευρά και τα γνωστά στην άλλη, παίρνουμε:

Και τώρα χτίζουμε. Τι πήρες?

Ποια πιστεύετε ότι είναι η ρίζα της εξίσωσής μας; Σωστά, η συντεταγμένη του σημείου τομής των γραφημάτων:

Η απάντησή μας είναι

Αυτή είναι η όλη σοφία της γραφικής λύσης. Όπως μπορείτε εύκολα να ελέγξετε, η ρίζα της εξίσωσής μας είναι ένας αριθμός!

Όπως είπα παραπάνω, αυτή είναι η πιο κοινή επιλογή, κοντά στην αλγεβρική λύση, αλλά μπορείτε να τη λύσετε με άλλο τρόπο. Για να εξετάσουμε μια εναλλακτική λύση, ας επιστρέψουμε στην εξίσωσή μας:

Αυτή τη φορά δεν θα μετακινήσουμε τίποτα από πλευρά σε πλευρά, αλλά θα δημιουργήσουμε γραφήματα απευθείας, όπως είναι τώρα:

Χτισμένο? Κοίτα!

Ποια είναι η λύση αυτή τη φορά; Εντάξει. Ίδια είναι η συντεταγμένη του σημείου τομής των γραφημάτων:

Και, πάλι, η απάντησή μας είναι.

Όπως μπορείτε να δείτε, με τις γραμμικές εξισώσεις, όλα είναι εξαιρετικά απλά. Ήρθε η ώρα να σκεφτείς κάτι πιο περίπλοκο... Για παράδειγμα, γραφική λύση τετραγωνικών εξισώσεων.

Γραφική λύση τετραγωνικών εξισώσεων

Λοιπόν, τώρα ας αρχίσουμε να λύνουμε την εξίσωση του τετραγώνου. Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να βρείτε τις ρίζες αυτής της εξίσωσης:

Φυσικά, μπορείτε τώρα να αρχίσετε να μετράτε μέσω της διάκρισης ή σύμφωνα με το θεώρημα Vieta, αλλά πολλοί στα νεύρα κάνουν λάθη κατά τον πολλαπλασιασμό ή τον τετραγωνισμό, ειδικά αν το παράδειγμα είναι με μεγάλα νούμερα, και, όπως γνωρίζετε, δεν θα έχετε αριθμομηχανή στις εξετάσεις ... Επομένως, ας προσπαθήσουμε να χαλαρώσουμε λίγο και να σχεδιάσουμε ενώ λύνουμε αυτήν την εξίσωση.

Μπορείτε να βρείτε λύσεις σε αυτή την εξίσωση γραφικά. διαφορετικοί τρόποι. Εξετάστε τις διάφορες επιλογές και εσείς οι ίδιοι θα επιλέξετε ποια σας αρέσει περισσότερο.

Μέθοδος 1. Απευθείας

Απλώς κατασκευάζουμε μια παραβολή σύμφωνα με αυτήν την εξίσωση:

Για να το κάνετε γρήγορα, θα σας δώσω μια μικρή υπόδειξη: είναι βολικό να ξεκινήσει η κατασκευή προσδιορίζοντας την κορυφή της παραβολής.Οι ακόλουθοι τύποι θα βοηθήσουν στον προσδιορισμό των συντεταγμένων της κορυφής της παραβολής:

Λες «Σταμάτα! Ο τύπος για είναι πολύ παρόμοιος με τον τύπο για την εύρεση του διαχωριστικού "ναι, είναι, και αυτό είναι ένα τεράστιο μειονέκτημα της" άμεσης κατασκευής μιας παραβολής για να βρει τις ρίζες της. Ωστόσο, ας μετρήσουμε μέχρι το τέλος, και μετά θα σας δείξω πώς να το κάνετε πολύ (πολύ!) πιο εύκολο!

μετρήσατε; Ποιες είναι οι συντεταγμένες της κορυφής της παραβολής; Ας το καταλάβουμε μαζί:

Ακριβώς η ίδια απάντηση; Μπράβο! Και τώρα γνωρίζουμε ήδη τις συντεταγμένες της κορυφής, και για να φτιάξουμε μια παραβολή, χρειαζόμαστε περισσότερα ... σημεία. Τι πιστεύετε, πόσους ελάχιστους βαθμούς χρειαζόμαστε; Σωστά, .

Γνωρίζετε ότι μια παραβολή είναι συμμετρική ως προς την κορυφή της, για παράδειγμα:

Κατά συνέπεια, χρειαζόμαστε δύο ακόμη σημεία κατά μήκος του αριστερού ή δεξιού κλάδου της παραβολής και στο μέλλον θα αντικατοπτρίζουμε συμμετρικά αυτά τα σημεία στην αντίθετη πλευρά:

Επιστρέφουμε στην παραβολή μας. Για την περίπτωσή μας, η ουσία. Χρειαζόμαστε άλλους δύο βαθμούς, αντίστοιχα, μπορούμε να πάρουμε θετικούς, αλλά μπορούμε να πάρουμε αρνητικούς; Ποια είναι τα καλύτερα σημεία για εσάς; Με βολεύει περισσότερο να δουλεύω με θετικά, οπότε θα υπολογίσω με και.

Τώρα έχουμε τρία σημεία και μπορούμε εύκολα να χτίσουμε την παραβολή μας αντανακλώντας τα δύο τελευταία σημεία στην κορυφή της:

Ποια πιστεύετε ότι είναι η λύση της εξίσωσης; Σωστά, τα σημεία στα οποία, δηλαδή, και. Επειδή.

Και αν το πούμε αυτό, τότε σημαίνει ότι πρέπει επίσης να είναι ίσο, ή.

Μόλις? Ολοκληρώσαμε την επίλυση της εξίσωσης μαζί σας με έναν σύνθετο γραφικό τρόπο, ή θα υπάρξουν περισσότερα!

Φυσικά, μπορείτε να ελέγξετε την απάντησή μας αλγεβρικά - μπορείτε να υπολογίσετε τις ρίζες μέσω του θεωρήματος Vieta ή του Discriminant. Τι πήρες? Το ίδιο? Εδώ βλέπετε! Ας δούμε τώρα μια πολύ απλή γραφική λύση, είμαι σίγουρη ότι θα σας αρέσει πολύ!

Μέθοδος 2. Διαχωρισμός σε πολλές συναρτήσεις

Ας πάρουμε τα πάντα, επίσης, την εξίσωσή μας: , αλλά τη γράφουμε με λίγο διαφορετικό τρόπο, δηλαδή:

Μπορούμε να το γράψουμε έτσι; Μπορούμε, αφού ο μετασχηματισμός είναι ισοδύναμος. Ας δούμε περαιτέρω.

Ας δημιουργήσουμε δύο συναρτήσεις ξεχωριστά:

1. - το γράφημα είναι μια απλή παραβολή, την οποία μπορείτε εύκολα να κατασκευάσετε ακόμη και χωρίς να ορίσετε την κορυφή χρησιμοποιώντας τύπους και κάνοντας έναν πίνακα για να προσδιορίσετε άλλα σημεία.
2. - το γράφημα είναι μια ευθεία γραμμή, την οποία μπορείτε εξίσου εύκολα να δημιουργήσετε υπολογίζοντας τις τιμές και στο κεφάλι σας χωρίς καν να καταφύγετε σε αριθμομηχανή.

Χτισμένο? Συγκρίνετε με αυτό που πήρα:

Ποια πιστεύετε ότι είναι η ρίζα της εξίσωσης σε αυτή την περίπτωση; Σωστά! Συντεταγμένες κατά, οι οποίες λαμβάνονται με τη διασταύρωση δύο γραφημάτων και, δηλαδή:

Κατά συνέπεια, η λύση αυτής της εξίσωσης είναι:

Τι λες? Συμφωνώ, αυτή η μέθοδος λύσης είναι πολύ πιο εύκολη από την προηγούμενη και ακόμη πιο εύκολη από την αναζήτηση ριζών μέσω του διαχωριστή! Εάν ναι, δοκιμάστε αυτήν τη μέθοδο για να λύσετε την ακόλουθη εξίσωση:

Τι πήρες? Ας συγκρίνουμε τα γραφήματα μας:

Τα γραφήματα δείχνουν ότι οι απαντήσεις είναι:

Κατάφερες? Μπράβο! Τώρα ας δούμε τις εξισώσεις λίγο πιο περίπλοκες, δηλαδή τη λύση μικτών εξισώσεων, δηλαδή εξισώσεις που περιέχουν συναρτήσεις διαφορετικών τύπων.

Γραφική λύση μικτών εξισώσεων

Τώρα ας προσπαθήσουμε να λύσουμε τα εξής:

Φυσικά, μπορείτε να φέρετε τα πάντα σε έναν κοινό παρονομαστή, να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης που προκύπτει, χωρίς να ξεχνάτε να λάβετε υπόψη το ODZ, αλλά και πάλι, θα προσπαθήσουμε να το λύσουμε γραφικά, όπως κάναμε σε όλες τις προηγούμενες περιπτώσεις.

Αυτή τη φορά ας σχεδιάσουμε τα ακόλουθα 2 γραφήματα:

1. - το γράφημα είναι υπερβολή
2. - ένα γράφημα είναι μια ευθεία γραμμή που μπορείτε εύκολα να δημιουργήσετε υπολογίζοντας τις τιμές και στο κεφάλι σας χωρίς καν να καταφύγετε σε αριθμομηχανή.

Συνειδητοποίησα? Τώρα ξεκινήστε να χτίζετε.

Να τι μου συνέβη:

Βλέποντας αυτή την εικόνα, ποιες είναι οι ρίζες της εξίσωσής μας;

Αυτό είναι σωστό, και. Εδώ είναι η επιβεβαίωση:

Δοκιμάστε να συνδέσετε τις ρίζες μας στην εξίσωση. Συνέβη;

Εντάξει! Συμφωνώ, η γραφική επίλυση τέτοιων εξισώσεων είναι απόλαυση!

Προσπαθήστε να λύσετε μόνοι σας την εξίσωση γραφικά:

Σας δίνω μια υπόδειξη: μετακινήστε μέρος της εξίσωσης στο σωστη πλευραέτσι ώστε και οι δύο πλευρές να έχουν τις απλούστερες λειτουργίες για κατασκευή. Καταλάβατε την υπόδειξη; Ανάλαβε δράση!

Τώρα ας δούμε τι έχετε:

Αντίστοιχα:

1. - κυβική παραβολή.
2. - μια συνηθισμένη ευθεία γραμμή.

Λοιπόν, χτίζουμε:

Όπως γράψατε εδώ και πολύ καιρό, η ρίζα αυτής της εξίσωσης είναι -.

Έχοντας λύσει αυτό ένας μεγάλος αριθμός απόπαραδείγματα, είμαι σίγουρος ότι συνειδητοποιήσατε πώς μπορείτε εύκολα και γρήγορα να λύσετε εξισώσεις γραφικά. Είναι καιρός να καταλάβουμε πώς να λύσουμε συστήματα με αυτόν τον τρόπο.

Γραφική λύση συστημάτων

Η γραφική λύση των συστημάτων ουσιαστικά δεν διαφέρει από τη γραφική λύση των εξισώσεων. Θα φτιάξουμε επίσης δύο γραφήματα, και τα σημεία τομής τους θα είναι οι ρίζες αυτού του συστήματος. Ένα γράφημα είναι μια εξίσωση, το δεύτερο γράφημα είναι μια άλλη εξίσωση. Όλα είναι εξαιρετικά απλά!

Ας ξεκινήσουμε με τα απλούστερα - συστήματα επίλυσης γραμμικών εξισώσεων.

Επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων

Ας πούμε ότι έχουμε το ακόλουθο σύστημα:

Αρχικά, θα το μετατρέψουμε με τέτοιο τρόπο ώστε στα αριστερά να υπάρχει ό,τι συνδέεται και στα δεξιά - αυτό με το οποίο συνδέεται. Με άλλα λόγια, γράφουμε αυτές τις εξισώσεις ως συνάρτηση στη συνηθισμένη για εμάς μορφή:

Και τώρα απλώς χτίζουμε δύο ευθείες γραμμές. Ποια είναι η λύση στην περίπτωσή μας; Σωστά! Το σημείο της τομής τους! Και εδώ πρέπει να είστε πολύ, πολύ προσεκτικοί! Σκεφτείτε γιατί; Θα σας δώσω μια υπόδειξη: έχουμε να κάνουμε με ένα σύστημα: το σύστημα έχει και τα δύο, και... Καταλάβατε;

Εντάξει! Όταν λύνουμε το σύστημα, πρέπει να κοιτάμε και τις δύο συντεταγμένες, και όχι μόνο, όπως όταν λύνουμε εξισώσεις! Ένα άλλο σημαντικό σημείο είναι να τα γράψουμε σωστά και να μην μπερδεύουμε πού έχουμε την αξία και πού είναι η αξία! Εχει καταγραφεί? Τώρα ας τα συγκρίνουμε όλα με τη σειρά:

Και απαντά: i. Κάντε έναν έλεγχο - αντικαταστήστε τις ρίζες που βρέθηκαν στο σύστημα και βεβαιωθείτε ότι το λύσαμε σωστά με γραφικό τρόπο;

Επίλυση συστημάτων μη γραμμικών εξισώσεων

Τι γίνεται όμως αν αντί για μια ευθεία γραμμή, έχουμε μια εξίσωση του τετραγώνου; Είναι εντάξει! Απλώς φτιάχνεις μια παραβολή αντί για μια ευθεία γραμμή! Δεν πιστεύω? Προσπαθήστε να λύσετε το ακόλουθο σύστημα:

Ποιο είναι το επόμενο βήμα μας; Αυτό είναι σωστό, γράψτε το έτσι ώστε να είναι βολικό για εμάς να δημιουργήσουμε γραφήματα:

Και τώρα όλα έχουν να κάνουν με το μικρό πράγμα - το έφτιαξα γρήγορα και εδώ είναι η λύση για εσάς! Κτίριο:

Τα γραφικά είναι ίδια; Σημειώστε τώρα τις λύσεις του συστήματος στην εικόνα και σημειώστε σωστά τις απαντήσεις που αποκαλύφθηκαν!

Τα έχω κάνει όλα; Συγκρίνετε με τις σημειώσεις μου:

Εντάξει? Μπράβο! Κάνετε ήδη κλικ σε τέτοιες εργασίες όπως οι ξηροί καρποί! Και αν ναι, ας σας δώσουμε ένα πιο περίπλοκο σύστημα:

Τι κάνουμε? Σωστά! Γράφουμε το σύστημα έτσι ώστε να είναι βολικό να κατασκευαστεί:

Θα σας δώσω μια μικρή υπόδειξη, καθώς το σύστημα φαίνεται πολύ περίπλοκο! Όταν δημιουργείτε γραφήματα, δημιουργήστε τα "περισσότερα" και το πιο σημαντικό, μην εκπλαγείτε με τον αριθμό των σημείων τομής.

Λοιπόν πάμε! Εκπνέεται; Τώρα ξεκινήστε να χτίζετε!

Λοιπόν, πώς; Πανεμορφη? Πόσα σημεία τομής πήρατε; Εχω τρία! Ας συγκρίνουμε τα γραφήματα μας:

Επίσης? Τώρα σημειώστε προσεκτικά όλες τις λύσεις του συστήματός μας:

Τώρα κοιτάξτε ξανά το σύστημα:

Μπορείτε να φανταστείτε ότι το λύσατε σε μόλις 15 λεπτά; Συμφωνώ, τα μαθηματικά είναι ακόμα απλά, ειδικά όταν κοιτάς μια έκφραση, δεν φοβάσαι να κάνεις λάθος, αλλά το παίρνεις και αποφασίζεις! Είσαι μεγάλο παλικάρι!

Γραφική λύση ανισώσεων

Γραφική επίλυση γραμμικών ανισώσεων

Μετά το τελευταίο παράδειγμα, είστε έτοιμοι! Τώρα εκπνεύστε - σε σύγκριση με τις προηγούμενες ενότητες, αυτό θα είναι πολύ, πολύ εύκολο!

Θα ξεκινήσουμε, ως συνήθως, με μια γραφική λύση γραμμική ανισότητα. Για παράδειγμα, αυτό:

Αρχικά, θα πραγματοποιήσουμε τους απλούστερους μετασχηματισμούς - θα ανοίξουμε τις αγκύλες των τέλειων τετραγώνων και θα δώσουμε παρόμοιους όρους:

Η ανισότητα δεν είναι αυστηρή, επομένως - δεν περιλαμβάνεται στο διάστημα και η λύση θα είναι όλα τα σημεία που βρίσκονται στα δεξιά, αφού περισσότερα, περισσότερα κ.λπ.:

Απάντηση:

Αυτό είναι όλο! Εύκολα? Ας λύσουμε μια απλή ανισότητα με δύο μεταβλητές:

Ας σχεδιάσουμε μια συνάρτηση στο σύστημα συντεταγμένων.

Έχετε τέτοιο γράφημα; Και τώρα κοιτάμε προσεκτικά τι έχουμε στην ανισότητα; Πιο λιγο? Έτσι, ζωγραφίζουμε πάνω ό,τι βρίσκεται στα αριστερά της ευθείας μας. Κι αν υπήρχαν περισσότερα; Έτσι είναι, τότε θα ζωγράφιζαν ό,τι βρίσκεται στα δεξιά της ευθείας μας. Όλα είναι απλά.

Όλες οι λύσεις σε αυτήν την ανισότητα είναι σκιασμένες με πορτοκαλί χρώμα. Αυτό είναι όλο, λύνεται η ανισότητα των δύο μεταβλητών. Αυτό σημαίνει ότι οι συντεταγμένες και οποιοδήποτε σημείο από τη σκιασμένη περιοχή είναι οι λύσεις.

Γραφική επίλυση τετραγωνικών ανισώσεων

Τώρα θα ασχοληθούμε με το πώς να λύσουμε γραφικά τις τετραγωνικές ανισώσεις.

Αλλά πριν φτάσουμε κατευθείαν στο θέμα, ας ανακεφαλαιώσουμε μερικά πράγματα σχετικά με τη συνάρτηση τετραγώνου.

Σε τι ευθύνεται ο διάκριτος; Αυτό είναι σωστό, για τη θέση του γραφήματος σε σχέση με τον άξονα (αν δεν το θυμάστε αυτό, τότε διαβάστε οπωσδήποτε τη θεωρία για τις τετραγωνικές συναρτήσεις).

Σε κάθε περίπτωση, εδώ είναι μια μικρή υπενθύμιση για εσάς:

Τώρα που έχουμε ανανεώσει όλο το υλικό στη μνήμη μας, ας ασχοληθούμε - θα λύσουμε γραφικά την ανισότητα.

Θα σας πω αμέσως ότι υπάρχουν δύο επιλογές για την επίλυσή του.

Επιλογή 1

Γράφουμε την παραβολή μας ως συνάρτηση:

Χρησιμοποιώντας τους τύπους, προσδιορίζουμε τις συντεταγμένες της κορυφής της παραβολής (με τον ίδιο τρόπο όπως όταν λύνουμε τετραγωνικές εξισώσεις):

μετρήσατε; Τι πήρες?

Τώρα ας πάρουμε δύο ακόμη διαφορετικά σημεία και ας υπολογίσουμε για αυτούς:

Αρχίζουμε να χτίζουμε έναν κλάδο της παραβολής:

Αντικατοπτρίζουμε συμμετρικά τα σημεία μας σε έναν άλλο κλάδο της παραβολής:

Τώρα πίσω στην ανισότητα μας.

Χρειαζόμαστε να είναι μικρότερο από το μηδέν, αντίστοιχα:

Δεδομένου ότι στην ανισότητά μας υπάρχει ένα σημάδι αυστηρά μικρότερο, αποκλείουμε τα τελικά σημεία - "ξεσηκώνουμε".

Απάντηση:

Μακριά, σωστά; Τώρα θα σας δείξω μια απλούστερη έκδοση της γραφικής λύσης χρησιμοποιώντας την ίδια ανισότητα ως παράδειγμα:

Επιλογή 2

Επιστρέφουμε στην ανισότητα μας και σημειώνουμε τα διαστήματα που χρειαζόμαστε:

Συμφωνώ, είναι πολύ πιο γρήγορο.

Ας γράψουμε τώρα την απάντηση:

Ας εξετάσουμε μια άλλη μέθοδο λύσης που απλοποιεί το αλγεβρικό μέρος, αλλά το κύριο πράγμα είναι να μην μπερδευτούμε.

Πολλαπλασιάστε την αριστερή και τη δεξιά πλευρά με:

Προσπαθήστε να λύσετε μόνοι σας την παρακάτω τετραγωνική ανισότητα με όποιον τρόπο θέλετε: .

Κατάφερες?

Δείτε πώς έγινε το διάγραμμα μου:

Απάντηση: .

Γραφική επίλυση μικτών ανισώσεων

Τώρα ας περάσουμε σε πιο σύνθετες ανισότητες!

Πώς σας αρέσει αυτό:

Φρικτό, σωστά; Ειλικρινά, δεν έχω ιδέα πώς να το λύσω αλγεβρικά ... Αλλά, δεν είναι απαραίτητο. Γραφικά, δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο σε αυτό! Τα μάτια φοβούνται, αλλά τα χέρια κάνουν!

Το πρώτο πράγμα με το οποίο ξεκινάμε είναι δημιουργώντας δύο γραφήματα:

Δεν θα γράψω έναν πίνακα για όλους - είμαι σίγουρος ότι μπορείτε να το κάνετε τέλεια μόνοι σας (φυσικά, υπάρχουν τόσα πολλά παραδείγματα προς επίλυση!).

Βαμμένο; Τώρα δημιουργήστε δύο γραφήματα.

Ας συγκρίνουμε τα σχέδιά μας;

Έχετε το ίδιο; Εξαιρετική! Τώρα ας τοποθετήσουμε τα σημεία τομής και ας προσδιορίσουμε με ένα χρώμα ποιο γράφημα πρέπει να έχουμε, θεωρητικά, να είναι μεγαλύτερο, δηλαδή. Δείτε τι έγινε στο τέλος:

Και τώρα απλά κοιτάμε πού είναι το επιλεγμένο διάγραμμα υψηλότερο από το γράφημα; Μη διστάσετε να πάρετε ένα μολύβι και να ζωγραφίσετε αυτή την περιοχή! Θα είναι η λύση στην περίπλοκη ανισότητα μας!

Σε ποια διαστήματα κατά μήκος του άξονα βρισκόμαστε ψηλότερα; Σωστά, . Αυτή είναι η απάντηση!

Λοιπόν, τώρα μπορείτε να χειριστείτε οποιαδήποτε εξίσωση, και οποιοδήποτε σύστημα, και ακόμη περισσότερο οποιαδήποτε ανισότητα!

ΣΥΝΟΠΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΟ ΚΥΡΙΟ

Αλγόριθμος για την επίλυση εξισώσεων με χρήση γραφημάτων συναρτήσεων:

1. Εκφράστε μέσω
2. Καθορίστε τον τύπο συνάρτησης
3. Ας δημιουργήσουμε γραφήματα των συναρτήσεων που προκύπτουν
4. Βρείτε τα σημεία τομής των γραφημάτων
5. Σημειώστε σωστά την απάντηση (λαμβάνοντας υπόψη τα πρόσημα ODZ και ανισότητας)
6. Ελέγξτε την απάντηση (αντικαταστήστε τις ρίζες στην εξίσωση ή το σύστημα)

Για περισσότερες πληροφορίες σχετικά με τη σχεδίαση γραφημάτων συναρτήσεων, ανατρέξτε στο θέμα "".

Ένα γράφημα μιας γραμμικής ή τετραγωνικής ανισότητας χτίζεται με τον ίδιο τρόπο που χτίζεται μια γραφική παράσταση οποιασδήποτε συνάρτησης (εξίσωσης). Η διαφορά είναι ότι η ανισότητα συνεπάγεται πολλαπλές λύσεις, επομένως ένα γράφημα ανισότητας δεν είναι απλώς ένα σημείο σε μια αριθμητική ευθεία ή μια ευθεία σε ένα επίπεδο συντεταγμένων. Με τη βοήθεια των μαθηματικών πράξεων και του πρόσημου της ανισότητας, μπορείτε να προσδιορίσετε το σύνολο των λύσεων της ανισότητας.

Βήματα

Γραφική αναπαράσταση γραμμικής ανισότητας σε αριθμητική ευθεία

1. Λύστε την ανισότητα.Για να το κάνετε αυτό, απομονώστε τη μεταβλητή χρησιμοποιώντας τα ίδια αλγεβρικά κόλπα που χρησιμοποιείτε για να λύσετε οποιαδήποτε εξίσωση. Θυμηθείτε ότι όταν πολλαπλασιάζετε ή διαιρείτε μια ανισότητα με έναν αρνητικό αριθμό (ή όρο), αντιστρέψτε το πρόσημο της ανισότητας.

   • Για παράδειγμα, δεδομένης της ανισότητας 3y + 9 > 12 (\displaystyle 3y+9>12). Για να απομονώσετε τη μεταβλητή, αφαιρέστε το 9 και από τις δύο πλευρές της ανισότητας και, στη συνέχεια, διαιρέστε και τις δύο πλευρές με το 3:
     3y + 9 > 12 (\displaystyle 3y+9>12)
     3 y + 9 − 9 > 12 − 9 (\displaystyle 3y+9-9>12-9)
     3 y > 3 (\displaystyle 3y>3)
     3 y 3 > 3 3 (\displaystyle (\frac (3y)(3))>(\frac (3)(3)))
     y > 1 (\displaystyle y>1)
   • Μια ανισότητα πρέπει να έχει μόνο μία μεταβλητή. Εάν η ανισότητα έχει δύο μεταβλητές, είναι καλύτερο να σχεδιάσετε το γράφημα στο επίπεδο συντεταγμένων.

2. Σχεδιάστε μια αριθμητική γραμμή.Στην αριθμητική γραμμή, σημειώστε την τιμή που βρέθηκε (η μεταβλητή μπορεί να είναι μικρότερη, μεγαλύτερη ή ίση με αυτήν την τιμή). Σχεδιάστε μια αριθμητική γραμμή με το κατάλληλο μήκος (μακριά ή μικρή).

   • Για παράδειγμα, αν το υπολογίσατε y > 1 (\displaystyle y>1), σημειώστε την τιμή 1 στην αριθμητική γραμμή.

3. Σχεδιάστε έναν κύκλο για να αναπαραστήσετε την τιμή που βρέθηκε.Εάν η μεταβλητή είναι μικρότερη από ( < {\displaystyle <} ) ή περισσότερο ( > (\displaystyle >)) αυτής της τιμής, ο κύκλος δεν συμπληρώνεται επειδή το σύνολο λύσεων δεν περιλαμβάνει αυτήν την τιμή. Εάν η μεταβλητή είναι μικρότερη ή ίση με ( ≤ (\displaystyle \leq )) ή μεγαλύτερο ή ίσο με ( ≥ (\displaystyle\geq)) σε αυτήν την τιμή, ο κύκλος συμπληρώνεται επειδή το σύνολο λύσεων περιλαμβάνει αυτήν την τιμή.

   • y > 1 (\displaystyle y>1), στην αριθμητική γραμμή, σχεδιάστε έναν ανοιχτό κύκλο στο σημείο 1 επειδή το 1 δεν είναι στο σύνολο λύσεων.

4. Στην αριθμητική γραμμή, σκιάστε την περιοχή που ορίζει το σύνολο των λύσεων.Εάν η μεταβλητή είναι μεγαλύτερη από την τιμή που βρέθηκε, σκιάστε την περιοχή στα δεξιά της, επειδή το σύνολο λύσεων περιλαμβάνει όλες τις τιμές που είναι μεγαλύτερες από την τιμή που βρέθηκε. Εάν η μεταβλητή είναι μικρότερη από την τιμή που βρέθηκε, σκιάστε την περιοχή στα αριστερά της, επειδή το σύνολο λύσεων περιλαμβάνει όλες τις τιμές που είναι μικρότερες από την τιμή που βρέθηκε.

   • Για παράδειγμα, δεδομένης της ανισότητας y > 1 (\displaystyle y>1), στην αριθμητική γραμμή, σκιάστε την περιοχή στα δεξιά του 1 επειδή το σύνολο λύσεων περιλαμβάνει όλες τις τιμές μεγαλύτερες από 1.

   Γραφική αναπαράσταση γραμμικής ανισότητας στο επίπεδο συντεταγμένων

   1. Λύστε την ανίσωση (βρείτε την τιμή y (\displaystyle y)). Για να λάβετε μια γραμμική εξίσωση, απομονώστε τη μεταβλητή στην αριστερή πλευρά χρησιμοποιώντας γνωστές αλγεβρικές μεθόδους. Η μεταβλητή πρέπει να παραμείνει στη δεξιά πλευρά x (\displaystyle x)και πιθανώς κάποια σταθερά.

      • Για παράδειγμα, δεδομένης της ανισότητας 3y + 9 > 9x (\displaystyle 3y+9>9x). Για να απομονώσετε μια μεταβλητή y (\displaystyle y), αφαιρέστε το 9 και από τις δύο πλευρές της ανισότητας και μετά διαιρέστε και τις δύο πλευρές με το 3:
        3y + 9 > 9x (\displaystyle 3y+9>9x)
        3 y + 9 − 9 > 9 x − 9 (\displaystyle 3y+9-9>9x-9)
        3 y > 9 x − 9 (\displaystyle 3y>9x-9)
        3 y 3 > 9 x − 9 3 (\displaystyle (\frac (3y)(3))>(\frac (9x-9)(3)))
        y > 3 x − 3 (\displaystyle y>3x-3)

   2. Να σχεδιάσετε τη γραμμική εξίσωση στο επίπεδο συντεταγμένων.σχεδιάστε το γράφημα καθώς σχεδιάζετε οποιαδήποτε γραμμική εξίσωση. Σχεδιάστε το σημείο τομής με τον άξονα Υ και, στη συνέχεια, σχεδιάστε άλλα σημεία χρησιμοποιώντας την κλίση.

      • y > 3 x − 3 (\displaystyle y>3x-3)σχεδιάστε την εξίσωση y = 3 x − 3 (\displaystyle y=3x-3). Το σημείο τομής με τον άξονα Υ έχει συντεταγμένες και η κλίση είναι 3 (ή 3 1 (\displaystyle (\frac (3)(1)))). Έτσι πρώτα σχεδιάστε ένα σημείο με συντεταγμένες (0 , − 3) (\displaystyle (0,-3)); το σημείο πάνω από το σημείο τομής με τον άξονα y έχει συντεταγμένες (1 , 0) (\displaystyle (1,0)); το σημείο κάτω από το σημείο τομής με τον άξονα y έχει συντεταγμένες (− 1 , − 6) (\displaystyle (-1,-6))

   3. Σχεδιάστε μια ευθεία γραμμή.Εάν η ανισότητα είναι αυστηρή (περιλαμβάνει το πρόσημο < {\displaystyle <} ή > (\displaystyle >)), σχεδιάστε μια διακεκομμένη γραμμή, επειδή το σύνολο των λύσεων δεν περιλαμβάνει τιμές που βρίσκονται στη γραμμή. Εάν η ανισότητα δεν είναι αυστηρή (περιλαμβάνει το πρόσημο ≤ (\displaystyle \leq )ή ≥ (\displaystyle\geq)), σχεδιάστε μια σταθερή γραμμή, επειδή το σύνολο των λύσεων περιλαμβάνει τιμές που βρίσκονται στη γραμμή.

      • Για παράδειγμα, σε περίπτωση ανισότητας y > 3 x − 3 (\displaystyle y>3x-3)σχεδιάστε τη διακεκομμένη γραμμή, επειδή το σύνολο των λύσεων δεν περιλαμβάνει τιμές που βρίσκονται στη γραμμή.

   4. Σκιάστε την αντίστοιχη περιοχή.Αν η ανισότητα έχει τη μορφή y > m x + b (\displaystyle y>mx+b), συμπληρώστε την περιοχή πάνω από τη γραμμή. Αν η ανισότητα έχει τη μορφή y< m x + b {\displaystyle y, συμπληρώστε την περιοχή κάτω από τη γραμμή.

      • Για παράδειγμα, σε περίπτωση ανισότητας y > 3 x − 3 (\displaystyle y>3x-3)σκιάστε την περιοχή πάνω από τη γραμμή.

   Γραφική αναπαράσταση τετραγωνικής ανισότητας στο επίπεδο συντεταγμένων

   1. Προσδιορίστε ότι αυτή η ανισότητα είναι τετράγωνο.Η τετραγωνική ανισότητα έχει τη μορφή a x 2 + b x + c (\displaystyle ax^(2)+bx+c). Μερικές φορές η ανισότητα δεν περιέχει μεταβλητή πρώτης τάξης ( x (\displaystyle x)) και/ή ελεύθερος όρος (σταθερά), αλλά πρέπει να περιλαμβάνει μια μεταβλητή δεύτερης τάξης ( x 2 (\displaystyle x^(2))). Μεταβλητές x (\displaystyle x)Και y (\displaystyle y)πρέπει να απομονωθεί σε διαφορετικές πλευρές της ανισότητας.

      • Για παράδειγμα, πρέπει να σχεδιάσετε την ανισότητα y< x 2 − 10 x + 16 {\displaystyle y.

   2. Σχεδιάστε μια γραφική παράσταση στο επίπεδο συντεταγμένων.Για να το κάνετε αυτό, μετατρέψτε την ανισότητα σε εξίσωση και δημιουργήστε ένα γράφημα, όπως κατασκευάζετε ένα γράφημα οποιασδήποτε τετραγωνικής εξίσωσης. Θυμηθείτε ότι η γραφική παράσταση μιας τετραγωνικής εξίσωσης είναι παραβολή.

      • Για παράδειγμα, σε περίπτωση ανισότητας y< x 2 − 10 x + 16 {\displaystyle yοικόπεδο τετραγωνική εξίσωση y = x 2 − 10 x + 16 (\displaystyle y=x^(2)-10x+16). Η κορυφή της παραβολής βρίσκεται στο σημείο (5 , − 9) (\displaystyle (5,-9)), και η παραβολή τέμνει τον άξονα x σε σημεία (2 , 0) (\displaystyle (2,0))Και (8 , 0) (\displaystyle (8,0)).