Qu'est-ce que la série de nombres de Fibonacci ? Principes de la séquence de Fibonacci et du nombre d'or

Les nombres de Fibonacci... dans la nature et la vie

Leonardo Fibonacci est l'un des plus grands mathématiciens du Moyen Âge. Dans l'un de ses ouvrages, « Le Livre des calculs », Fibonacci décrit le système de calcul indo-arabe et les avantages de son utilisation par rapport au système romain.

Définition
Les nombres de Fibonacci ou séquence de Fibonacci sont une séquence de nombres qui possède un certain nombre de propriétés. Par exemple, la somme de deux nombres adjacents dans une séquence donne la valeur du suivant (par exemple, 1+1=2 ; 2+3=5, etc.), ce qui confirme l'existence des coefficients dits de Fibonacci. , c'est à dire. rapports constants.

La suite de Fibonacci commence ainsi : 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…

Définition complète des nombres de Fibonacci

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Propriétés de la séquence de Fibonacci

1. Le rapport de chaque numéro au suivant tend de plus en plus vers 0,618 à mesure que le numéro de série augmente. Le rapport de chaque nombre au précédent tend vers 1,618 (l’inverse de 0,618). Le nombre 0,618 s'appelle (FI).

2. En divisant chaque nombre par celui qui le suit, le nombre après un est 0,382 ; au contraire – respectivement 2,618.

3. En sélectionnant les ratios de cette manière, nous obtenons l'ensemble principal des ratios de Fibonacci : ... 4,235, 2,618, 1,618, 0,618, 0,382, 0,236.

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Le lien entre la séquence de Fibonacci et le « nombre d’or »

La séquence de Fibonacci tend asymptotiquement (s'approchant de plus en plus lentement) à une relation constante. Cependant, ce rapport est irrationnel, c'est-à-dire qu'il représente un nombre avec une séquence infinie et imprévisible de chiffres décimaux dans la partie fractionnaire. Il est impossible de l'exprimer avec précision.

Si un membre de la séquence de Fibonacci est divisé par son prédécesseur (par exemple 13:8), le résultat sera une valeur qui fluctue autour de la valeur irrationnelle 1,61803398875... et parfois la dépasse, parfois ne l'atteint pas. Mais même après avoir passé l’éternité là-dessus, il est impossible de connaître le rapport exactement, jusqu’au dernier chiffre décimal. Par souci de concision, nous le présenterons sous la forme 1.618. Des noms spéciaux ont commencé à être donnés à ce rapport avant même que Luca Pacioli (un mathématicien médiéval) ne l'appelle la proportion divine. Parmi ses noms modernes figurent le nombre d'or, la moyenne dorée et le rapport des carrés tournants. Kepler a qualifié cette relation de « trésor de la géométrie ». En algèbre, il est généralement admis qu'il est désigné par la lettre grecque phi

Imaginons le nombre d'or en utilisant l'exemple d'un segment.

Considérons un segment avec les extrémités A et B. Laissez le point C diviser le segment AB de telle sorte que,

AC/CB = CB/AB ou

AB/CB = CB/AC.

Vous pouvez l'imaginer comme ceci : A-–C--–B

Le nombre d'or est une division proportionnelle d'un segment en parties inégales, dans laquelle le segment entier est lié à la partie la plus grande telle qu'elle est. la plupart de fait référence au plus petit ; ou en d’autres termes, le plus petit segment est au plus grand comme le plus grand l’est au tout.

Les segments de la proportion d'or sont exprimés comme une fraction irrationnelle infinie 0,618..., si AB est pris comme un, AC = 0,382.. Comme nous le savons déjà, les nombres 0,618 et 0,382 sont les coefficients de la séquence de Fibonacci.

Proportions de Fibonacci et nombre d'or dans la nature et l'histoire

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Il est important de noter que Fibonacci semble rappeler à l’humanité sa séquence. Il était connu des anciens Grecs et Égyptiens. Et en effet, depuis lors, des modèles décrits par les rapports de Fibonacci ont été retrouvés dans la nature, l’architecture, les beaux-arts, les mathématiques, la physique, l’astronomie, la biologie et bien d’autres domaines. Il est étonnant de constater combien de constantes peuvent être calculées à l'aide de la séquence de Fibonacci et comment ses termes apparaissent dans un grand nombre de combinaisons. Cependant, il ne serait pas exagéré de dire qu'il ne s'agit pas seulement d'un jeu avec des chiffres, mais de l'expression mathématique la plus importante. phénomène naturel de tous jamais ouverts.

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Les exemples ci-dessous montrent quelques applications intéressantes de cette séquence mathématique.

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1. L’évier est tordu en spirale. Si vous le dépliez, vous obtenez une longueur légèrement plus courte que la longueur du serpent. La petite coquille de dix centimètres a une spirale de 35 cm de long. La forme de la coquille enroulée en spirale a attiré l'attention d'Archimède. Le fait est que le rapport des dimensions des boucles de la coque est constant et égal à 1,618. Archimède a étudié la spirale des coquilles et en a dérivé l'équation. La spirale dessinée selon cette équation porte son nom. L'augmentation de son pas est toujours uniforme. Actuellement, la spirale d'Archimède est largement utilisée en technologie.

2. Plantes et animaux. Goethe a également souligné la tendance de la nature à la spirale. La disposition hélicoïdale et spirale des feuilles sur les branches des arbres a été remarquée il y a longtemps. La spirale a été vue dans la disposition des graines de tournesol, des pommes de pin, des ananas, des cactus, etc. Les travaux conjoints de botanistes et de mathématiciens ont mis en lumière ces phénomènes étonnants nature. Il s'est avéré que dans la disposition des feuilles sur une branche de graines de tournesol et de pommes de pin, la série de Fibonacci se manifeste et, par conséquent, la loi du nombre d'or se manifeste. L'araignée tisse sa toile en forme de spirale. Un ouragan tourne comme une spirale. Troupeau effrayé renne s'éloigne en spirale. La molécule d'ADN est tordue en double hélice. Goethe appelait la spirale la « courbe de la vie ».

Parmi les herbes en bordure de route pousse une plante banale : la chicorée. Regardons-le de plus près. Une pousse s'est formée à partir de la tige principale. La première feuille se trouvait juste là. La pousse fait une forte éjection dans l'espace, s'arrête, libère une feuille, mais cette fois plus courte que la première, fait à nouveau une éjection dans l'espace, mais avec moins de force, libère une feuille encore plus petite et est à nouveau éjectée. . Si la première émission est considérée comme égale à 100 unités, alors la seconde est égale à 62 unités, la troisième à 38, la quatrième à 24, etc. La longueur des pétales dépend également de la proportion d’or. En grandissant et en conquérant l’espace, la plante a conservé certaines proportions. Les impulsions de sa croissance ont progressivement diminué proportionnellement au nombre d'or.

Le lézard est vivipare. À première vue, le lézard a des proportions agréables à nos yeux - la longueur de sa queue est liée à la longueur du reste du corps, comme 62 à 38.

Dans le monde végétal comme dans le monde animal, la tendance formatrice de la nature se manifeste de manière persistante : la symétrie dans la direction de la croissance et du mouvement. Ici, le nombre d'or apparaît dans les proportions des parties perpendiculaires à la direction de croissance. La nature a procédé à une division en parties symétriques et en proportions dorées. Les parties révèlent une répétition de la structure de l’ensemble.

Pierre Curie a formulé au début de ce siècle un certain nombre d'idées profondes sur la symétrie. Il a soutenu qu'on ne peut pas considérer la symétrie d'un corps sans prendre en compte la symétrie environnement. Les lois de la symétrie dorée se manifestent dans les transitions énergétiques des particules élémentaires, dans la structure de certains composés chimiques, dans les systèmes planétaires et cosmiques, dans les structures génétiques des organismes vivants. Ces modèles, comme indiqué ci-dessus, existent dans la structure des organes humains individuels et du corps dans son ensemble, et se manifestent également dans les biorythmes et le fonctionnement du cerveau et dans la perception visuelle.

3. Espace. De l'histoire de l'astronomie, on sait que I. Titius, un astronome allemand du XVIIIe siècle, à l'aide de cette série (Fibonacci), a trouvé un modèle et un ordre dans les distances entre les planètes. système solaire

Cependant, un cas semble contredire la loi : il n’y a pas de planète entre Mars et Jupiter. L'observation ciblée de cette partie du ciel a conduit à la découverte de la ceinture d'astéroïdes. Cela s'est produit après la mort de Titius au début du XIXe siècle.

La série de Fibonacci est largement utilisée : elle est utilisée pour représenter l'architecture des êtres vivants, les structures artificielles et la structure des galaxies. Ces faits témoignent de l'indépendance de la série de nombres par rapport aux conditions de sa manifestation, ce qui est l'un des signes de son universalité.

4. Pyramides. Beaucoup ont tenté de percer les secrets de la pyramide de Gizeh. Contrairement aux autres pyramides égyptiennes, il ne s’agit pas d’un tombeau, mais plutôt d’un puzzle insoluble de combinaisons de nombres. L'ingéniosité, l'habileté, le temps et le travail remarquables que les architectes de la pyramide ont employés pour construire le symbole éternel indiquent l'extrême importance du message qu'ils souhaitaient transmettre aux générations futures. Leur époque était pré-alphabétisée, préhiéroglyphique, et les symboles étaient le seul moyen d'enregistrer les découvertes. La clé du secret géométrique et mathématique de la pyramide de Gizeh, qui était depuis si longtemps un mystère pour l'humanité, fut en réalité donnée à Hérodote par les prêtres du temple, qui l'informèrent que la pyramide avait été construite de telle sorte que la superficie de Chacune de ses faces était égale au carré de sa hauteur.

Aire d'un triangle

356 x 440 / 2 = 78320

Surface carrée

280x280 = 78400

La longueur du bord de la base de la pyramide de Gizeh est de 783,3 pieds (238,7 m), la hauteur de la pyramide est de 484,4 pieds (147,6 m). La longueur du bord de base divisée par la hauteur donne le rapport Ф=1,618. La hauteur de 484,4 pieds correspond à 5813 pouces (5-8-13) - ce sont les nombres de la séquence de Fibonacci. Ces observations intéressantes suggèrent que la conception de la pyramide est basée sur la proportion Ф=1,618. Certains érudits modernes sont enclins à interpréter que les anciens Égyptiens l'ont construit dans le seul but de transmettre des connaissances qu'ils souhaitaient préserver pour les générations futures. Des études approfondies de la pyramide de Gizeh ont montré l'étendue des connaissances en mathématiques et en astrologie à cette époque. Dans toutes les proportions internes et externes de la pyramide, le nombre 1.618 joue un rôle central.

Pyramides au Mexique. Non seulement les pyramides égyptiennes ont été construites selon les proportions parfaites du nombre d’or, mais le même phénomène a été constaté dans les pyramides mexicaines. L’idée surgit que les pyramides égyptiennes et mexicaines ont été construites à peu près à la même époque par des personnes d’origine commune.

Suite de nombres de Fibonacci. Est-ce la première fois que vous entendez parler de cela et que vous ne savez même pas de quel domaine de connaissances il s’agit ? Il s'avère que la régularité des phénomènes naturels, la structure et la diversité des organismes vivants sur notre planète, tout ce qui nous entoure, frappant l'imagination par son harmonie et son ordre, les lois de l'univers, le mouvement de la pensée humaine et les réalisations de science - tout cela s'explique par la sommation Séquence de Fibonacci.

Le désir éternel de l’homme de se comprendre lui-même et de comprendre le monde qui l’entoure a fait progresser la science.

L’une des réalisations les plus importantes en mathématiques est l’introduction des chiffres arabes à la place des chiffres romains. Elle appartient à l'un des savants les plus remarquables du XIIe siècle, Fibonacci (1175). Une autre découverte qu'il a faite porte son nom - la séquence de sommation : 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,... Ce sont ce qu'on appelle Numéros de Fibonacci.

Ce modèle mathématique intéressait un autre scientifique médiéval, Thomas d’Aquin. Poussé par le désir de « mesurer l’harmonie avec l’algèbre », le scientifique a conclu qu’il existe un lien direct entre les mathématiques et la beauté. Thomas d'Aquin a expliqué les sentiments esthétiques qui surgissent lorsqu'on contemple des objets harmonieux créés proportionnellement par la nature par le même principe de séquence sommative.

Ce principe explique qu'à partir de 1.1, le nombre suivant sera la somme des deux nombres précédents. Ce modèle a grande importance.Cette séquence est de plus en plus lente - asymptotiquement - se rapprochant d'un rapport constant. Cependant, cette relation est irrationnelle, c’est-à-dire qu’elle comporte une séquence infinie et imprévisible de nombres dans la partie fractionnaire. Son expression exacte est impossible. En divisant n'importe quel terme de la séquence de Fibonacci par le terme qui le précède, on obtient une valeur qui fluctue autour de la valeur 1,61803398875... (irrationnelle), qui ne l'atteindra pas ou ne la dépassera pas à chaque fois. Même l’Éternité ne suffit pas à déterminer avec précision ce rapport. Par souci de concision, nous l'utiliserons comme 1,618.

Le mathématicien médiéval Luca Pacioli appelait ce rapport la Proportion Divine. Kepler a qualifié la séquence de sommation de « l’un des trésors de la géométrie ». Dans la science moderne, résumé Séquence de Fibonacci porte plusieurs noms, non moins poétiques : Rapport des carrés tournants, Moyenne dorée, Nombre d'or. En mathématiques, il est désigné par la lettre grecque phi (Ф=1,618).

Le caractère asymptotique de la séquence, ses oscillations autour du nombre irrationnel de Fibonacci, qui ont tendance à s'estomper, deviendront plus claires si l'on considère les relations des premiers termes de cette séquence. Dans l'exemple ci-dessous, nous examinerons les nombres de Fibonacci et donnerons le rapport du deuxième au premier terme, du troisième au deuxième, et ainsi de suite :
1:1 = 1,0000, c'est moins que phi de 0,6180
2:1 = 2,0000, soit 0,3820 de plus que phi
3:2 = 1,5000, c'est moins que phi de 0,1180
5:3 = 1,6667, soit 0,0486 de plus que phi
8:5 = 1,6000, c'est moins que phi de 0,0180
En progressant dans la séquence de Fibonacci, chaque nouveau terme divisera le suivant, se rapprochant de plus en plus du nombre inaccessible F.

Par la suite nous verrons que certains Numéros de Fibonacci, constituant sa séquence de sommation, sont visibles dans la dynamique des prix de divers biens ; parmi les méthodes d'analyse technique Forex sont utilisées Niveaux de Fibonacci. Des fluctuations de ratios proches de 1,615 d'un montant ou d'un autre peuvent être trouvées dans, dans lesquelles elles apparaissent dans la règle d'alternance. Inconsciemment, chaque personne recherche la fameuse proportion divine, nécessaire pour satisfaire le désir de confort.

Si nous divisons n'importe quel terme de la séquence de Fibonacci par le terme qui le suit, nous obtenons l'inverse de 1,618, soit 1 : 1,618. C'est assez aussi phénomène inhabituel, peut-être même remarquable. Le rapport initial est une fraction infinie, ce rapport doit donc également être infini.

Un autre fait important est le suivant. Le carré de tout terme de la séquence de Fibonacci est égal au nombre qui le précède dans la séquence multiplié par le nombre qui le suit, plus ou moins.
5 2 = (3 x 8) + 1
8 2 = (5 x 13) – 1
13 2 = (8 x 21) + 1
Le plus et le moins alternent toujours, et cela fait partie de la théorie des vagues d’Elliott appelée règle d’alternance. Cette règle dit : des vagues complexes de nature corrective alternent avec des vagues simples, des vagues fortes de nature impulsive alternent avec des vagues faibles de nature corrective, et ainsi de suite.

Manifestations de proportion divine dans la nature

La séquence mathématique découverte permet de calculer un nombre infini de constantes. Les membres de cette séquence apparaîtront toujours dans un nombre infini de combinaisons.
À l'aide d'un modèle établi, une interprétation mathématique des phénomènes naturels est donnée. À cet égard, la découverte d’une séquence mathématique occupe l’une des places les plus significatives de la connaissance historique.
Nous pouvons nous référer à un certain nombre de théories intéressantes dérivées de la séquence mathématique.

Pyramide de Gizeh

La conception de la pyramide est basée sur la proportion Ф=1,618. Cette découverte a été faite après de nombreuses tentatives pour percer les secrets de cette pyramide. La pyramide de Gizeh elle-même semble être une sorte de message adressé aux descendants afin de transmettre certaines connaissances sur les lois de la séquence mathématique. Au moment de la construction de la pyramide, ses constructeurs n'avaient pas suffisamment d'opportunités pour exprimer les lois qu'ils connaissaient. A cette époque, l’écriture n’existait pas et les hiéroglyphes n’étaient pas utilisés. Cependant, les créateurs de la pyramide ont réussi à transmettre leur connaissance des modèles mathématiques aux générations futures en utilisant les proportions géométriques de leur création.

Les prêtres du temple ont révélé à Hérodote le secret de la pyramide de Gizeh. Il est construit de telle manière que l'aire de chaque face soit égale au carré de la hauteur de cette face.
Aire du triangle : 356 x 440 / 2 = 78320
Superficie carrée : 280 x 280 = 78 400
La face de la pyramide de Gizeh mesure 783,3 pieds (238,7 m) de long et sa hauteur est de 484,4 pieds (147,6 m). En divisant la longueur du visage par la hauteur, on arrive au rapport Ф=1,618. La hauteur de 484,4 pieds correspond à 5813 pouces (5-8-13), ce qui n'est rien de plus que les numéros de séquence de Fibonacci. Toutes ces observations nous amènent à la conclusion que toute la conception de la pyramide est basée sur la proportion Ф = 1,618.
Ce sont des nombres de la séquence de Fibonacci. Ces observations intéressantes suggèrent que la conception de la pyramide est basée sur la proportion Ф=1,618.
Ces informations donnent à penser que les connaissances dans le domaine des mathématiques et de l'astrologie étaient très développées à cette époque. Cette plus grande création non seulement de mains humaines, mais aussi de son esprit, a été construite en stricte conformité avec le nombre 1.618. Les proportions très internes et externes de la pyramide, observées dans le strict respect de la loi du nombre d'or, sont un message pour nous, descendants, du plus profond des siècles de la plus grande connaissance.

Pyramides mexicaines

Il est étonnant que les pyramides du Mexique aient été construites sur le même principe. On ne peut s'empêcher de supposer que les pyramides mexicaines ont été construites en même temps que les pyramides égyptiennes et que les constructeurs connaissaient la loi mathématique du nombre d'or.
Une coupe transversale de la pyramide révèle la forme d'un escalier. Son premier niveau comporte 16 marches, le deuxième contient 42 marches et le troisième 68 marches. Les nombres sont basés sur la séquence de Fibnacci comme suit :
16 x 1,618 = 26
16 + 26 = 42
26 x 1,618 = 42
42 + 26 = 68
Le nombre Ф = 1,618 sous-tend les proportions de la pyramide mexicaine. (

Avez-vous déjà entendu dire que les mathématiques sont appelées la « reine de toutes les sciences » ? Êtes-vous d'accord avec ce constat? Tant que les mathématiques restent pour vous un ensemble de problèmes ennuyeux dans un manuel, vous pourrez difficilement découvrir la beauté, la polyvalence et même l'humour de cette science.

Mais il existe des sujets en mathématiques qui permettent de faire des observations intéressantes sur des choses et des phénomènes qui nous sont communs. Et même tenter de percer le voile de mystère de la création de notre Univers. Il existe dans le monde des modèles intéressants qui peuvent être décrits à l’aide des mathématiques.

Présentation des nombres de Fibonacci

Numéros de Fibonacci nommer les éléments d’une séquence de nombres. Dans celui-ci, chaque numéro suivant d'une série est obtenu en additionnant les deux nombres précédents.

Exemple de séquence : 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987…

Vous pouvez l'écrire comme ceci :

F 0 = 0, F 1 = 1, F n = F n-1 + F n-2, n ≥ 2

Vous pouvez commencer une série de nombres de Fibonacci avec valeurs négatives n. De plus, la séquence dans ce cas est bidirectionnelle (c'est-à-dire qu'elle couvre les nombres négatifs et positifs) et tend vers l'infini dans les deux sens.

Un exemple d'une telle séquence : -55, -34, -21, -13, -8, 5, 3, 2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 , 34, 55.

La formule dans ce cas ressemble à ceci :

Fn = Fn+1 - Fn+2 sinon tu peux faire ceci : F -n = (-1) n+1 Fn.

Ce que nous appelons aujourd’hui les « nombres de Fibonacci » était connu des anciens mathématiciens indiens bien avant qu’ils ne commencent à être utilisés en Europe. Et ce nom est généralement une anecdote historique continue. Commençons par le fait que Fibonacci lui-même ne s'est jamais appelé Fibonacci de son vivant - ce nom n'a commencé à être appliqué à Léonard de Pise que plusieurs siècles après sa mort. Mais parlons de tout dans l'ordre.

Léonard de Pise, alias Fibonacci

Fils d'un marchand devenu mathématicien, puis reconnu par la postérité comme le premier grand mathématicien d'Europe au Moyen Âge. Notamment grâce aux nombres de Fibonacci (qui, rappelons-le, ne s'appelaient pas encore ainsi). Qu'il décrit au début du XIIIe siècle dans son ouvrage « Liber abaci » (« Livre du Boulier », 1202).

Je voyage avec mon père en Orient, Léonard a étudié les mathématiques avec des professeurs arabes (et à l'époque ils étaient dans ce domaine, et dans bien d'autres sciences, l'une des les meilleurs spécialistes). Travaux de mathématiciens de l'Antiquité et Inde ancienne il a lu des traductions arabes.

Après avoir parfaitement compris tout ce qu'il avait lu et utilisant son propre esprit curieux, Fibonacci a écrit plusieurs traités scientifiques sur les mathématiques, dont le « Livre du Boulier » mentionné ci-dessus. En plus de cela j'ai créé :

"Practica geometriae" ("Pratique de la géométrie", 1220) ;
"Flos" ("Fleur", 1225 - une étude sur les équations cubiques) ;
"Liber quadratorum" ("Livre des Carrés", 1225 - problèmes sur les équations quadratiques indéfinies).

Il était un grand fan des tournois mathématiques, c'est pourquoi dans ses traités, il accordait une grande attention à l'analyse de divers problèmes mathématiques.

Il reste très peu d’informations biographiques sur la vie de Léonard. Quant au nom de Fibonacci, sous lequel il entre dans l’histoire des mathématiques, il ne lui a été attribué qu’au XIXe siècle.

Fibonacci et ses problèmes

Après Fibonacci reste grand nombre problèmes qui furent très populaires parmi les mathématiciens au cours des siècles suivants. Nous examinerons le problème du lapin, qui est résolu à l’aide des nombres de Fibonacci.

Les lapins ne sont pas seulement une fourrure précieuse

Fibonacci pose les conditions suivantes : il existe un couple de lapins nouveau-nés (mâle et femelle) tels que race intéressante qu'ils produisent régulièrement (à partir du deuxième mois) une progéniture - toujours un nouveau couple de lapins. Aussi, comme vous pouvez le deviner, un mâle et une femelle.

Ces lapins conditionnels sont placés dans un espace confiné et se reproduisent avec enthousiasme. Il est également stipulé qu’aucun lapin ne meurt d’une mystérieuse maladie du lapin.

Nous devons calculer combien de lapins nous aurons par an.

Au début d'1 mois nous avons 1 couple de lapins. A la fin du mois, ils s'accouplent.
Le deuxième mois - nous avons déjà 2 couples de lapins (un couple a des parents + 1 couple est leur progéniture).
Troisième mois : Le premier couple donne naissance à un nouveau couple, le deuxième couple s'accouple. Total - 3 paires de lapins.
Quatrième mois : Le premier couple donne naissance à un nouveau couple, le deuxième couple ne perd pas de temps et donne également naissance à un nouveau couple, le troisième couple est encore en train de s'accoupler. Total - 5 paires de lapins.

Nombre de lapins dans nème mois = nombre de couples de lapins du mois précédent + nombre de couples nouveau-nés (il y a le même nombre de couples de lapins qu'il y avait de couples de lapins 2 mois auparavant). Et tout cela est décrit par la formule que nous avons déjà donnée ci-dessus : Fn = Fn-1 + Fn-2.

Ainsi, nous obtenons une récurrente (explication sur récursivité– ci-dessous) séquence de chiffres. Dans lequel chaque nombre suivant est égal à la somme des deux précédents :

1 + 1 = 2
2 + 1 = 3
3 + 2 = 5
5 + 3 = 8
8 + 5 = 13
13 + 8 = 21
21 + 13 = 34
34 + 21 = 55
55 + 34 = 89
89 + 55 = 144
144 + 89 = 233
233+ 144 = 377 <…>

Vous pouvez continuer la séquence longtemps : 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987.<…>. Mais comme nous avons fixé une période précise - un an, nous nous intéressons au résultat obtenu au 12ème « coup ». Ceux. 13ème membre de la séquence : 377.

La réponse au problème : 377 lapins seront obtenus si toutes les conditions énoncées sont remplies.

L’une des propriétés de la suite de nombres de Fibonacci est très intéressante. Si vous prenez deux paires consécutives d'une série et divisez le plus grand nombre par le plus petit nombre, le résultat se rapprochera progressivement de nombre d'or(vous pourrez en savoir plus plus loin dans l'article).

En termes mathématiques, "la limite des relations un n+1À unégal au nombre d'or".

Plus de problèmes de théorie des nombres

Trouvez un nombre qui peut être divisé par 7. De plus, si vous le divisez par 2, 3, 4, 5, 6, le reste sera un.
Trouvez le numéro du carré. On sait que si vous y ajoutez 5 ou soustrayez 5, vous obtenez à nouveau un nombre carré.

Nous vous suggérons de rechercher vous-même des réponses à ces problèmes. Vous pouvez nous laisser vos options dans les commentaires de cet article. Et puis nous vous dirons si vos calculs étaient corrects.

Explication de la récursion

Récursion– définition, description, image d'un objet ou d'un processus qui contient cet objet ou ce processus lui-même. Autrement dit, un objet ou un processus fait essentiellement partie de lui-même.

La récursivité est largement utilisée en mathématiques et en informatique, et même dans l’art et la culture populaire.

Les nombres de Fibonacci sont déterminés à l'aide d'une relation de récurrence. Pour le numéro n>2 n- le nombre est égal (n – 1) + (n – 2).

Explication du nombre d'or

nombre d'or- diviser un tout (par exemple un segment) en parties liées selon le principe suivant : la plus grande partie est liée à la plus petite de la même manière que la valeur entière (par exemple la somme de deux segments) est à la plus grande partie.

La première mention du nombre d'or se trouve chez Euclide dans son traité « Éléments » (environ 300 avant JC). Dans le cadre de la construction d'un rectangle régulier.

Le terme qui nous est familier a été mis en circulation en 1835 par le mathématicien allemand Martin Ohm.

Si l'on décrit le nombre d'or de manière approximative, il représente une division proportionnelle en deux parties inégales : environ 62 % et 38 %. En termes numériques, le nombre d'or est le nombre 1,6180339887 .

Le nombre d'or trouve une application pratique dans les beaux-arts (peintures de Léonard de Vinci et d'autres peintres de la Renaissance), l'architecture, le cinéma (« Cuirassé Potemkine » de S. Esenstein) et d'autres domaines. Pendant longtemps, on a cru que le nombre d’or était la proportion la plus esthétique. Cette opinion est toujours populaire aujourd'hui. Bien que, selon les résultats de la recherche, visuellement, la plupart des gens ne perçoivent pas cette proportion comme l'option la plus réussie et la considèrent comme trop allongée (disproportionnée).

Longueur du segment Avec = 1, UN = 0,618, b = 0,382.
Attitude AvecÀ UN = 1, 618.
Attitude AvecÀ b = 2,618

Revenons maintenant aux nombres de Fibonacci. Prenons deux termes consécutifs de sa séquence. Divisez le plus grand nombre par le plus petit nombre et obtenez environ 1,618. Et maintenant, nous utilisons le même nombre plus grand et le membre suivant de la série (c'est-à-dire un nombre encore plus grand) - leur rapport est au début de 0,618.

Voici un exemple : 144, 233, 377.

233/144 = 1,618 et 233/377 = 0,618

D’ailleurs, si vous essayez de faire la même expérience avec les nombres du début de la séquence (par exemple 2, 3, 5), rien ne fonctionnera. Presque. La règle du nombre d’or n’est guère respectée pour le début de la séquence. Mais à mesure que vous avancez dans la série et que les chiffres augmentent, cela fonctionne très bien.

Et pour calculer toute la série de nombres de Fibonacci, il suffit de connaître trois termes de la suite qui se succèdent. Vous pouvez le constater par vous-même !

Rectangle doré et spirale de Fibonacci

Un autre parallèle intéressant entre les nombres de Fibonacci et le nombre d'or est ce qu'on appelle le « rectangle d'or » : ses côtés sont dans une proportion de 1,618 pour 1. Mais nous savons déjà ce qu'est le nombre 1,618, n'est-ce pas ?

Par exemple, prenons deux termes consécutifs de la série de Fibonacci - 8 et 13 - et construisons un rectangle avec les paramètres suivants : largeur = 8, longueur = 13.

Et puis nous diviserons le grand rectangle en plus petits. Condition obligatoire : les longueurs des côtés des rectangles doivent correspondre aux nombres de Fibonacci. Ceux. La longueur des côtés du plus grand rectangle doit être égale à la somme des côtés des deux plus petits rectangles.

La manière dont cela est fait dans cette figure (pour plus de commodité, les figures sont signées en lettres latines).

À propos, vous pouvez construire des rectangles dans l'ordre inverse. Ceux. commencer à construire avec des carrés de côté 1. Pour lesquels, guidés par le principe énoncé ci-dessus, sont complétées des figures avec des côtés, nombres égaux Fibonacci. Théoriquement, cela peut se poursuivre indéfiniment – après tout, la série de Fibonacci est formellement infinie.

Si l'on relie les coins des rectangles obtenus sur la figure avec une ligne lisse, on obtient une spirale logarithmique. Ou plutôt, son cas particulier est la spirale de Fibonacci. Il se caractérise notamment par le fait qu’il n’a pas de frontières et ne change pas de forme.

Une spirale similaire se retrouve souvent dans la nature. Les coquilles de palourdes en sont l’un des exemples les plus frappants. De plus, certaines galaxies visibles depuis la Terre ont une forme en spirale. Si vous regardez les prévisions météorologiques à la télévision, vous avez peut-être remarqué que les cyclones ont une forme de spirale similaire lorsqu'ils sont photographiés depuis des satellites.

Il est curieux que l'hélice d'ADN obéisse également à la règle du nombre d'or - le motif correspondant peut être vu dans les intervalles de ses courbures.

De telles «coïncidences» étonnantes ne peuvent qu'exciter les esprits et faire parler d'un certain algorithme unique auquel obéissent tous les phénomènes de la vie de l'Univers. Comprenez-vous maintenant pourquoi cet article s’appelle ainsi ? Et quelles portes des mondes étonnants Que peuvent vous révéler les mathématiques ?

Nombres de Fibonacci dans la nature

Le lien entre les nombres de Fibonacci et le nombre d’or suggère des modèles intéressants. Tellement curieux qu'il est tentant d'essayer de trouver semblable aux chiffres Les séquences de Fibonacci se retrouvent dans la nature et même lors d'événements historiques. Et la nature donne réellement lieu à de telles hypothèses. Mais tout dans notre vie peut-il être expliqué et décrit à l’aide des mathématiques ?

Exemples d'êtres vivants pouvant être décrits à l'aide de la séquence de Fibonacci :

la disposition des feuilles (et des branches) dans les plantes - les distances entre elles sont corrélées aux nombres de Fibonacci (phyllotaxie) ;

disposition des graines de tournesol (les graines sont disposées en deux rangées de spirales torsadées en différentes directions: une rangée dans le sens des aiguilles d'une montre, l'autre dans le sens inverse des aiguilles d'une montre) ;

disposition des écailles de pommes de pin;
pétales de fleur;
cellules d'ananas;
rapport entre la longueur des phalanges des doigts et main humaine(environ) etc.

Problèmes combinatoires

Les nombres de Fibonacci sont largement utilisés pour résoudre des problèmes combinatoires.

Combinatoire est une branche des mathématiques qui étudie la sélection d'un certain nombre d'éléments dans un ensemble désigné, l'énumération, etc.

Regardons des exemples de problèmes combinatoires conçus pour le niveau lycée(source - http://www.problems.ru/).

Tache 1:

Lesha monte un escalier de 10 marches. À un moment donné, il saute soit d'une marche, soit de deux marches. De combien de manières Lesha peut-elle monter les escaliers ?

Le nombre de façons dont Lesha peut monter les escaliers depuis nétapes, notons et n. Il s'ensuit que un 1 = 1, un 2= 2 (après tout, Lesha saute d'un ou deux pas).

Il est également convenu que Lesha saute dans les escaliers depuis n> 2 pas. Disons qu'il a sauté deux pas la première fois. Cela signifie que, selon les conditions du problème, il doit sauter un autre n-2 pas. Ensuite, le nombre de façons de terminer l’ascension est décrit comme suit : un n–2. Et si nous supposons que la première fois, Lesha n'a sauté qu'une seule marche, alors nous décrivons le nombre de façons de terminer l'ascension comme un n–1.

De là, nous obtenons l’égalité suivante : une n = une n–1 + une n–2(ça me semble familier, n'est-ce pas ?).

Puisque nous savons un 1 Et un 2 et rappelez-vous que selon les conditions du problème, il y a 10 étapes, calculez toutes dans l'ordre un: un 3 = 3, un 4 = 5, un 5 = 8, un 6 = 13, un 7 = 21, un 8 = 34, un 9 = 55, un 10 = 89.

Réponse : 89 façons.

Tâche n°2 :

Vous devez trouver le nombre de mots de 10 lettres composés uniquement des lettres « a » et « b » et ne doivent pas contenir deux lettres « b » d’affilée.

Notons par un nombre de mots longueur n des lettres composées uniquement des lettres « a » et « b » et ne contenant pas deux lettres « b » consécutives. Moyens, un 1= 2, un 2= 3.

En séquence un 1, un 2, <…>, un nous exprimerons chacun de ses prochains membres à travers les précédents. Le nombre de mots de longueur est donc n les lettres qui ne contiennent pas non plus de double lettre « b » et commencent par la lettre « a » sont un n–1. Et si le mot est long n les lettres commencent par la lettre « b », il est logique que la lettre suivante dans un tel mot soit « a » (après tout, il ne peut pas y avoir deux « b » selon les conditions du problème). Le nombre de mots de longueur est donc n dans ce cas, nous désignons les lettres comme un n–2. Dans le premier comme dans le deuxième cas, tout mot (longueur de n – 1 Et n-2 lettres respectivement) sans double « b ».

Nous avons pu justifier pourquoi une n = une n–1 + une n–2.

Calculons maintenant un 3= un 2+ un 1= 3 + 2 = 5, un 4= un 3+ un 2= 5 + 3 = 8, <…>, un 10= un 9+ un 8= 144. Et nous obtenons la séquence familière de Fibonacci.

Réponse : 144.

Tâche n°3 :

Imaginez qu'il y ait une bande divisée en cellules. Il va vers la droite et dure indéfiniment. Placez une sauterelle sur le premier carré du ruban. Quelle que soit la cellule de la bande sur laquelle il se trouve, il ne peut se déplacer que vers la droite : soit une cellule, soit deux. De combien de façons existe-t-il pour une sauterelle de sauter du début de la bande à n-èmes cellules ?

Notons le nombre de façons de déplacer une sauterelle le long de la ceinture pour n-èmes cellules comme un. Dans ce cas un 1 = un 2= 1. Également dans n+1 La sauterelle peut entrer dans la -ème cellule soit depuis n-ème cellule, ou en sautant par-dessus. D'ici un n + 1 = un n – 1 + un. Où un = Fn-1.

Répondre: Fn-1.

Vous pouvez créer vous-même des problèmes similaires et essayer de les résoudre lors de cours de mathématiques avec vos camarades de classe.

Les nombres de Fibonacci dans la culture populaire

Bien entendu, un phénomène aussi inhabituel que les nombres de Fibonacci ne peut qu'attirer l'attention. Il y a encore quelque chose d’attrayant et même de mystérieux dans ce schéma strictement vérifié. Il n'est pas surprenant que la séquence de Fibonacci soit en quelque sorte « éclairée » dans de nombreuses œuvres de la culture populaire moderne de divers genres.

Nous vous parlerons de certains d'entre eux. Et vous essayez à nouveau de vous chercher. Si vous le trouvez, partagez-le avec nous dans les commentaires – nous aussi sommes curieux !

Les nombres de Fibonacci sont mentionnés dans le best-seller de Dan Brown, The Da Vinci Code : la séquence de Fibonacci sert de code utilisé par les personnages principaux du livre pour ouvrir un coffre-fort.
Dans le film américain de 2009 Mr. Nobody, dans un épisode, l'adresse d'une maison fait partie de la séquence de Fibonacci - 12358. De plus, dans un autre épisode personnage principal doit appeler un numéro de téléphone, qui est essentiellement le même, mais légèrement déformé (chiffre supplémentaire après le 5) : 123-581-1321.
Dans la série Connection de 2012, le personnage principal, un garçon atteint d'autisme, est capable de discerner des schémas dans les événements qui se produisent dans le monde. Y compris via les nombres de Fibonacci. Et gérez ces événements également à travers des chiffres.
Les développeurs du jeu java pour téléphones mobiles Doom RPG ont placé une porte secrète sur l'un des niveaux. Le code qui l'ouvre est la séquence de Fibonacci.
En 2012, le groupe de rock russe Splin a sorti l'album concept « Optical Deception ». La huitième piste s'appelle « Fibonacci ». Les vers du chef du groupe Alexandre Vassiliev jouent sur la séquence des nombres de Fibonacci. À chacun des neuf termes consécutifs correspond un nombre de lignes (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21) :

0 Le train est parti

1 Un joint cassé

1 Une manche tremblait

2 C'est tout, récupère les trucs

C'est tout, récupère les trucs

3 Demande d'eau bouillante

Le train va à la rivière

Le train traverse la taïga<…>.

Limerick ( court poème une certaine forme - généralement cinq lignes, avec un certain schéma de rimes, au contenu humoristique, dans lequel la première et la dernière ligne sont répétées ou se dupliquent partiellement) James Lyndon utilise également une référence à la séquence de Fibonacci comme motif humoristique :

La nourriture dense des femmes de Fibonacci

C'était uniquement pour leur bénéfice, rien d'autre.

Les épouses pesaient, selon la rumeur,

Chacun est comme les deux précédents.

Résumons-le

Nous espérons avoir pu vous dire beaucoup de choses intéressantes et utiles aujourd'hui. Par exemple, vous pouvez désormais rechercher la spirale de Fibonacci dans la nature qui vous entoure. Peut-être serez-vous celui qui saura percer « le secret de la vie, de l’Univers et en général ».

Utilisez la formule des nombres de Fibonacci pour résoudre des problèmes combinatoires. Vous pouvez vous appuyer sur les exemples décrits dans cet article.

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Introduction

LE BUT LE PLUS ÉLEVÉ DES MATHÉMATIQUES EST DE TROUVER L’ORDRE CACHÉ DANS LE CHAOS QUI NOUS ENTOURENT.

Viner N.

Toute sa vie, une personne aspire à la connaissance, essaie d'étudier le monde qui l'entoure. Et au cours du processus d'observation, des questions surgissent et nécessitent des réponses. Les réponses sont trouvées, mais de nouvelles questions surgissent. Dans les découvertes archéologiques, dans les traces de civilisation, éloignées les unes des autres dans le temps et dans l'espace, on retrouve un seul et même élément - un motif en forme de spirale. Certains le considèrent comme un symbole du soleil et l'associent à la légendaire Atlantide, mais sa véritable signification est inconnue. Qu'est-ce que les formes et les formes des galaxies cyclone atmosphérique, la disposition des feuilles sur la tige et des graines dans un tournesol ? Ces schémas se résument à la spirale dite « dorée », l’étonnante séquence de Fibonacci découverte par le grand mathématicien italien du XIIIe siècle.

Histoire des nombres de Fibonacci

Pour la première fois, j'ai entendu parler des nombres de Fibonacci par un professeur de mathématiques. Mais d’ailleurs, je ne savais pas comment s’assemblait la séquence de ces nombres. C’est pour cela que cette séquence est réellement célèbre, comment elle affecte une personne, je veux vous le dire. On sait peu de choses sur Leonardo Fibonacci. Il n'y a même pas de date exacte de sa naissance. On sait qu'il est né en 1170 dans une famille de marchands de la ville de Pise en Italie. Le père de Fibonacci se rendait souvent en Algérie pour des questions commerciales et Léonard y étudiait les mathématiques avec des professeurs arabes. Par la suite, il écrivit plusieurs travaux mathématiques, dont le plus célèbre est le « Livre du Boulier », qui contient presque toutes les informations arithmétiques et algébriques de cette époque. 2

Les nombres de Fibonacci sont une suite de nombres qui possèdent un certain nombre de propriétés. Fibonacci a découvert cette suite de nombres par accident alors qu'il essayait de résoudre un problème pratique concernant les lapins en 1202. "Quelqu'un a placé une paire de lapins dans un certain endroit, clôturé de tous côtés par un mur, afin de savoir combien de couples de lapins naîtraient au cours de l'année, si la nature des lapins est telle qu'au bout d'un mois un couple des lapins donnent naissance à un autre couple, et les lapins mettent bas à partir du deuxième mois après votre naissance. En résolvant le problème, il a pris en compte le fait que chaque paire de lapins donne naissance à deux autres paires tout au long de sa vie, puis meurt. C'est ainsi qu'est apparue la séquence de nombres : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... Dans cette séquence, chaque nombre suivant est égal à la somme des deux précédents. On l’appelait la séquence de Fibonacci. Propriétés mathématiques de la séquence

J'ai eu envie d'explorer cette séquence, et j'ai découvert certaines de ses propriétés. Ce modèle est d'une grande importance. La séquence se rapproche lentement d'un certain rapport constant d'environ 1,618, et le rapport d'un nombre au suivant est d'environ 0,618.

Vous pouvez remarquer un certain nombre de propriétés intéressantes des nombres de Fibonacci : deux nombres voisins sont relativement premiers ; un nombre sur trois est pair ; chaque quinzième se termine par zéro ; chaque quart est un multiple de trois. Si vous choisissez 10 nombres adjacents de la séquence de Fibonacci et que vous les additionnez, vous obtiendrez toujours un nombre multiple de 11. Mais ce n'est pas tout. Chaque somme est égale au nombre 11 multiplié par le septième terme de la suite donnée. Voici une autre fonctionnalité intéressante. Pour tout n, la somme des n premiers termes de la suite sera toujours égale à la différence entre le (n+ 2)ième et premier termes de la suite. Ce fait peut être exprimé par la formule : 1+1+2+3+5+…+an=a n+2 - 1. Nous disposons maintenant de l'astuce suivante : trouver la somme de tous les termes

séquence entre deux termes donnés, il suffit de trouver la différence des (n+2)-x termes correspondants. Par exemple, un 26 +…+un 40 = un 42 - un 27. Cherchons maintenant le lien entre Fibonacci, Pythagore et le « nombre d'or ». La preuve la plus célèbre du génie mathématique de l'humanité est le théorème de Pythagore : dans tout triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés de ses pattes : c 2 =b 2 +a 2. D'un point de vue géométrique, on peut considérer tous les côtés d'un triangle rectangle comme les côtés de trois carrés construits sur eux. Le théorème de Pythagore stipule que l'aire totale des carrés construits sur les côtés d'un triangle rectangle est égale à l'aire du carré construit sur l'hypoténuse. Si les longueurs des côtés d’un triangle rectangle sont des nombres entiers, alors ils forment un groupe de trois nombres appelés triplets de Pythagore. En utilisant la séquence de Fibonacci, vous pouvez trouver de tels triplets. Prenons quatre nombres consécutifs de la séquence, par exemple 2, 3, 5 et 8, et construisons trois autres nombres comme suit : 1) le produit des deux nombres extrêmes : 2*8=16 ; 2) le produit double ; des deux nombres du milieu : 2* (3*5)=30 ;3) la somme des carrés de deux nombres moyens : 3 2 +5 2 =34 ; 34 2 =30 2 +16 2. Cette méthode fonctionne pour quatre nombres de Fibonacci consécutifs. Trois nombres consécutifs de la série de Fibonacci se comportent de manière prévisible. Si vous multipliez les deux extrêmes et comparez le résultat avec le carré du nombre moyen, le résultat sera toujours différent de un. Par exemple, pour les nombres 5, 8 et 13 on obtient : 5*13=8 2 +1. Si vous regardez cette propriété d’un point de vue géométrique, vous remarquerez quelque chose d’étrange. Divisez le carré

De taille 8x8 (64 petits carrés au total) en quatre parties, les longueurs des côtés étant égales aux nombres de Fibonacci. Maintenant, à partir de ces pièces, nous allons construire un rectangle mesurant 5x13. Sa superficie est de 65 petits carrés. D'où vient le carré supplémentaire ? Le fait est qu'un rectangle idéal n'est pas formé, mais de minuscules espaces subsistent, qui donnent au total cette unité de surface supplémentaire. Le triangle de Pascal a également un lien avec la séquence de Fibonacci. Il suffit d'écrire les lignes du triangle de Pascal les unes sous les autres, puis d'ajouter les éléments en diagonale. Le résultat est la séquence de Fibonacci.

Considérons maintenant un rectangle doré dont un côté est 1,618 fois plus long que l’autre. À première vue, cela peut nous sembler un rectangle ordinaire. Faisons cependant une expérience simple avec deux cartes bancaires ordinaires. Plaçons l'un d'eux horizontalement et l'autre verticalement de manière à ce que leurs côtés inférieurs soient sur la même ligne. Si nous traçons une ligne diagonale sur une carte horizontale et la prolongeons, nous verrons qu'elle passera exactement par le coin supérieur droit de la carte verticale - une agréable surprise. Peut-être s'agit-il d'un accident, ou peut-être que ces rectangles et autres formes géométriques qui utilisent le « nombre d'or » sont particulièrement agréables à l'œil. Léonard de Vinci a-t-il pensé au nombre d'or en travaillant sur son chef-d'œuvre ? Cela semble peu probable. Cependant, on peut affirmer qu’il attachait une grande importance au lien entre l’esthétique et les mathématiques.

Nombres de Fibonacci dans la nature

Le lien entre le nombre d’or et la beauté n’est pas seulement une question de perception humaine. Il semble que la nature elle-même ait attribué un rôle particulier à F. Si vous inscrivez des carrés séquentiellement dans un rectangle « doré », puis dessinez un arc dans chaque carré, vous obtiendrez une courbe élégante appelée spirale logarithmique. Ce n'est pas du tout une curiosité mathématique. 5

Au contraire, cette ligne remarquable se retrouve souvent dans monde physique: de la coquille d'un nautile aux bras des galaxies, et dans l'élégante spirale de pétales d'une rose épanouie. Les liens entre le nombre d’or et les nombres de Fibonacci sont nombreux et surprenants. Considérons une fleur très différente d'une rose : un tournesol avec des graines. La première chose que nous voyons est que les graines sont disposées en deux types de spirales : dans le sens des aiguilles d’une montre et dans le sens inverse. Si nous comptons les spirales dans le sens des aiguilles d’une montre, nous obtenons deux nombres apparemment ordinaires : 21 et 34. Ce n’est pas le seul exemple où les nombres de Fibonacci peuvent être trouvés dans la structure des plantes.

La nature nous donne de nombreux exemples d'arrangement d'objets homogènes décrits par les nombres de Fibonacci. Dans les différentes dispositions en spirale des petites parties végétales, on distingue généralement deux familles de spirales. Dans l’une de ces familles, les spirales s’enroulent dans le sens des aiguilles d’une montre, tandis que dans l’autre, elles s’enroulent dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Les nombres de spirales d'un type ou d'un autre s'avèrent souvent être des nombres de Fibonacci adjacents. Ainsi, en prenant une jeune brindille de pin, il est facile de remarquer que les aiguilles forment deux spirales, allant du bas à gauche vers le haut à droite. Sur de nombreux cônes, les graines sont disposées en trois spirales, s’enroulant doucement autour de la tige du cône. Ils sont disposés en cinq spirales, s'enroulant fortement dans la direction opposée. Dans les grands cônes, il est possible d'observer 5 et 8, voire 8 et 13 spirales. Les spirales de Fibonacci sont également bien visibles sur un ananas : il y en a généralement 8 et 13.

La pousse de chicorée fait une forte éjection dans l'espace, s'arrête, libère une feuille, mais cette fois plus courte que la première, fait à nouveau une éjection dans l'espace, mais avec moins de force, libère une feuille de taille encore plus petite et est à nouveau éjectée. . Les impulsions de sa croissance diminuent progressivement proportionnellement à la section « dorée ». Pour apprécier le rôle énorme des nombres de Fibonacci, il suffit de regarder la beauté de la nature qui nous entoure. Les nombres de Fibonacci peuvent être trouvés en quantités

branches sur la tige de chaque plante en croissance et en nombre de pétales.

Comptons les pétales de certaines fleurs - iris avec ses 3 pétales, primevère avec 5 pétales, herbe à poux avec 13 pétales, bleuet avec 34 pétales, aster avec 55 pétales, etc. Est-ce une coïncidence ou est-ce une loi de la nature ? Regardez les tiges et les fleurs de l'achillée millefeuille. Ainsi, la séquence totale de Fibonacci peut facilement interpréter le modèle de manifestations des nombres « d’or » trouvés dans la nature. Ces lois fonctionnent indépendamment de notre conscience et de notre désir de les accepter ou non. Les modèles de symétrie « dorée » se manifestent dans les transitions énergétiques des particules élémentaires, dans la structure de certains composés chimiques, dans les systèmes planétaires et cosmiques, dans les structures génétiques des organismes vivants, dans la structure des organes humains individuels et du corps comme un tout, et se manifestent également dans les biorythmes et le fonctionnement du cerveau et la perception visuelle.

Les nombres de Fibonacci en architecture

Le « nombre d’or » est également évident dans de nombreuses créations architecturales remarquables tout au long de l’histoire de l’humanité. Il s’avère que les mathématiciens grecs et égyptiens antiques connaissaient ces coefficients bien avant Fibonacci et les appelaient le « nombre d’or ». Les Grecs ont utilisé le principe du « nombre d’or » dans la construction du Parthénon, et les Égyptiens ont utilisé la Grande Pyramide de Gizeh. Les progrès de la technologie de la construction et le développement de nouveaux matériaux ont ouvert de nouvelles opportunités aux architectes du XXe siècle. L'Américain Frank Lloyd Wright était l'un des principaux partisans de l'architecture organique. Peu de temps avant sa mort, il a conçu le musée Solomon Guggenheim de New York, qui est une spirale inversée et dont l'intérieur ressemble à une coquille de nautile. L'architecte polono-israélien Zvi Hecker a également utilisé des structures en spirale dans sa conception de l'école Heinz Galinski de Berlin, achevée en 1995. Hecker est parti de l'idée d'un tournesol avec un cercle central, à partir duquel

Tous les éléments architecturaux divergent. Le bâtiment est une combinaison

des spirales orthogonales et concentriques, symbolisant l'interaction d'une connaissance humaine limitée et du chaos contrôlé de la nature. Son architecture imite une plante qui suit le mouvement du Soleil, ce qui permet aux salles de classe d'être éclairées tout au long de la journée.

À Quincy Park, situé à Cambridge, Massachusetts (États-Unis), on retrouve souvent la spirale « dorée ». Le parc a été conçu en 1997 par l'artiste David Phillips et est situé à proximité du Clay Mathematical Institute. Cet établissement est un centre réputé recherche mathématique. À Quincy Park, vous pourrez flâner parmi des spirales « dorées » et des courbes métalliques, des reliefs de deux coquillages et un rocher avec un symbole de racine carrée. Le panneau contient des informations sur le nombre d'or. Même le stationnement des vélos utilise le symbole F.

Les nombres de Fibonacci en psychologie

En psychologie noté tournants, crises, révolutions qui marquent des transformations dans la structure et les fonctions de l’âme dans le chemin de vie d’une personne. Si une personne réussit à surmonter ces crises, elle devient alors capable de résoudre des problèmes d'une nouvelle classe auxquels elle n'avait même pas pensé auparavant.

La présence de changements fondamentaux donne des raisons de considérer la durée de la vie comme un facteur décisif dans le développement des qualités spirituelles. Après tout, la nature ne nous accorde pas généreusement le temps, « peu importe combien il sera, tant il sera », mais juste assez pour que le processus de développement se matérialise :

dans les structures corporelles ;

dans les sentiments, la pensée et les capacités psychomotrices - jusqu'à ce qu'ils acquièrent harmonie nécessaire à l’émergence et au lancement du mécanisme

la créativité;

dans la structure du potentiel énergétique humain.

Le développement du corps ne peut être arrêté : l’enfant devient un adulte. Avec le mécanisme de la créativité, tout n'est pas si simple. Son développement peut être stoppé et sa direction modifiée.

Y a-t-il une chance de rattraper le temps ? Indubitablement. Mais pour cela, vous devez faire beaucoup de travail sur vous-même. Ce qui se développe librement, bien sûr, ne nécessite pas d'efforts particuliers : l'enfant se développe librement et ne s'aperçoit pas de cet énorme travail, car le processus de développement libre se crée sans violence contre soi-même.

Comment le sens est-il compris ? Le chemin de la vie dans la conscience quotidienne ? L’homme moyen voit les choses ainsi : en bas, il y a la naissance, en haut, il y a la fleur de l’âge, et puis tout se dégrade.

Le sage dira : tout est bien plus compliqué. Il divise l'ascension en étapes : enfance, adolescence, jeunesse... Pourquoi en est-il ainsi ? Peu de gens sont en mesure de répondre, même si tout le monde est sûr qu'il s'agit d'étapes fermées et intégrantes de la vie.

Pour découvrir comment se développe le mécanisme de la créativité, V.V. Klimenko a utilisé les mathématiques, à savoir les lois des nombres de Fibonacci et la proportion du « nombre d'or » - les lois de la nature et de la vie humaine.

Les nombres de Fibonacci divisent notre vie en étapes selon le nombre d'années vécues : 0 - le début du compte à rebours - l'enfant est né. Il lui manque encore non seulement des capacités psychomotrices, de réflexion, de sentiments, d'imagination, mais aussi un potentiel énergétique opérationnel. Il est le début d'une nouvelle vie, d'une nouvelle harmonie ;

1 - l'enfant maîtrise la marche et maîtrise son environnement immédiat ;

2 - comprend la parole et agit en utilisant des instructions verbales ;

3 - agit par la parole, pose des questions ;

5 - « âge de grâce » - harmonie de la psychomotrice, de la mémoire, de l'imagination et des sentiments, qui permettent déjà à l'enfant d'embrasser le monde dans toute son intégrité ;

8 - les sentiments passent au premier plan. Ils sont servis par l'imagination, et la pensée, par sa criticité, vise à soutenir l'harmonie interne et externe de la vie ;

13 - le mécanisme du talent commence à fonctionner, visant à transformer le matériel acquis au cours du processus d'héritage, en développant son propre talent ;

21 - le mécanisme de la créativité s'est approché d'un état d'harmonie et des tentatives sont faites pour réaliser un travail talentueux ;

34 — harmonie de la pensée, des sentiments, de l'imagination et des capacités psychomotrices : naît la capacité de travailler ingénieusement ;

55 ans - à cet âge, à condition que l'harmonie de l'âme et du corps soit préservée, une personne est prête à devenir créatrice. Et ainsi de suite…

Que sont les empattements des nombres de Fibonacci ? Ils peuvent être comparés à des barrages sur le chemin de la vie. Ces barrages attendent chacun de nous. Tout d'abord, vous devez surmonter chacun d'eux, puis augmenter patiemment votre niveau de développement jusqu'à ce qu'un beau jour il s'effondre, ouvrant la voie au suivant pour une libre circulation.

Maintenant que nous comprenons la signification de ces points nodaux développement de l'âge, essayons de déchiffrer comment tout cela se produit.

Année B1 l'enfant maîtrise la marche. Avant cela, il expérimentait le monde avec le devant de sa tête. Il apprend désormais à connaître le monde avec ses mains – un privilège humain exceptionnel. L'animal se déplace dans l'espace, et lui, en apprenant, maîtrise l'espace et maîtrise le territoire dans lequel il vit.

2 ans- comprend le mot et agit conformément à celui-ci. Cela signifie que:

l'enfant apprend un nombre minimum de mots - significations et modes d'action ;

ne s'est pas encore séparé de l'environnement et est fusionné en intégrité avec l'environnement,

c'est pourquoi il agit selon les instructions de quelqu'un d'autre. A cet âge, il est le plus obéissant et le plus agréable envers ses parents. De personne sensuelle, un enfant se transforme en personne cognitive.

3 années- l'action avec sa propre parole. La séparation de cette personne de l'environnement s'est déjà produite - et elle apprend à être une personne agissant de manière indépendante. De là, il :

s'oppose consciemment à l'environnement et aux parents, aux éducateurs en Jardin d'enfants etc.;

réalise sa souveraineté et lutte pour l'indépendance ;

essaie de soumettre des personnes proches et connues à sa volonté.

Or pour un enfant, un mot est une action. C'est là que commence la personne active.

5 années- « âge de grâce ». Il est la personnification de l'harmonie. Jeux, danses, mouvements habiles - tout est saturé d'harmonie qu'une personne essaie de maîtriser par ses propres forces. Un comportement psychomoteur harmonieux contribue à créer un nouvel état. Par conséquent, l'enfant se concentre sur l'activité psychomotrice et s'efforce d'effectuer les actions les plus actives.

La matérialisation des produits des travaux de sensibilité s’effectue à travers :

la capacité d'afficher l'environnement et nous-mêmes comme faisant partie de ce monde (nous entendons, voyons, touchons, sentons, etc. - tous les sens travaillent pour ce processus) ;

capacité de conception monde extérieur, y compris vous-même

(création d'une seconde nature, hypothèses - faire ceci et cela demain, construire une nouvelle machine, résoudre un problème), par les forces de la pensée critique, des sentiments et de l'imagination ;

la capacité de créer une seconde nature artificielle, des produits d'activité (réalisation de plans, actions mentales ou psychomotrices spécifiques avec des objets et des processus spécifiques).

Au bout de 5 ans, le mécanisme de l'imagination se manifeste et commence à dominer les autres. L'enfant accomplit un travail énorme, crée des images fantastiques et vit dans le monde des contes de fées et des mythes. L'imagination hypertrophiée d'un enfant surprend les adultes, car l'imagination ne correspond pas à la réalité.

8 années— les sentiments viennent au premier plan et nos propres normes de sentiments (cognitives, morales, esthétiques) apparaissent lorsque l'enfant:

évalue le connu et l'inconnu;

distingue le moral de l'immoral, le moral de l'immoral ;

la beauté de ce qui menace la vie, l'harmonie du chaos.

13 ans— le mécanisme de la créativité commence à fonctionner. Mais cela ne signifie pas qu’il fonctionne à pleine capacité. L'un des éléments du mécanisme apparaît, et tous les autres contribuent à son fonctionnement. Si, dans cette période de développement, l'harmonie est maintenue, qui reconstruit presque constamment sa structure, alors la jeunesse atteindra sans douleur le prochain barrage, sans s'en apercevoir, le surmontera et vivra à l'âge d'un révolutionnaire. A l'âge d'un révolutionnaire, la jeunesse doit faire un nouveau pas en avant : se séparer de la société la plus proche et y vivre vie harmonieuse et activités. Tout le monde ne peut pas résoudre ce problème qui se pose à chacun de nous.

21 ans. Si un révolutionnaire a réussi à surmonter le premier sommet harmonieux de la vie, alors son mécanisme de talent est capable d'accomplir des tâches talentueuses.

travail. Les sentiments (cognitifs, moraux ou esthétiques) éclipsent parfois la pensée, mais en général tous les éléments fonctionnent harmonieusement : les sentiments sont ouverts sur le monde, et la pensée logique est capable de nommer et de mesurer les choses à partir de ce sommet.

Le mécanisme de la créativité, se développant normalement, atteint un état qui lui permet de recevoir certains fruits. Il commence à travailler. A cet âge, le mécanisme des sentiments se manifeste. À mesure que l’imagination et ses produits sont évalués par les sens et l’esprit, un antagonisme surgit entre eux. Les sentiments gagnent. Cette capacité gagne progressivement en puissance et le garçon commence à l'utiliser.

34 ans- équilibre et harmonie, efficacité productive du talent. L'harmonie de la pensée, des sentiments et de l'imagination, les capacités psychomotrices, qui sont reconstituées avec un potentiel énergétique optimal, et le mécanisme dans son ensemble - la possibilité d'effectuer un travail brillant est née.

55 ans- une personne peut devenir créateur. Troisième sommet harmonieux de la vie : la pensée subjugue le pouvoir des sentiments.

Les nombres de Fibonacci font référence aux étapes du développement humain. Le fait qu'une personne suive ce chemin sans s'arrêter dépend des parents et des enseignants, du système éducatif, puis - de lui-même et de la façon dont une personne apprendra et se dépassera.

Sur le chemin de la vie, une personne découvre 7 objets relationnels :

De l'anniversaire à 2 ans - découverte du monde physique et objectif de l'environnement immédiat.

De 2 à 3 ans - découverte de soi : « Je suis Moi-même ».

De 3 à 5 ans - la parole, le monde actif des mots, l'harmonie et le système « Je - Tu ».

De 5 à 8 ans - découverte du monde des pensées, des sentiments et des images d'autrui - le système « Je - Nous ».

De 8 à 13 ans - découverte du monde des tâches et des problèmes résolus par les génies et talents de l'humanité - le système « Je - Spiritualité ».

De 13 à 21 ans - la découverte de la capacité de résoudre de manière indépendante des problèmes bien connus, lorsque les pensées, les sentiments et l'imagination commencent à travailler activement, le système « Je - Noosphère » apparaît.

De 21 à 34 ans - découverte de la capacité de créer nouveau monde ou ses fragments - conscience du concept de soi « Je suis le Créateur ».

Le chemin de vie a une structure spatio-temporelle. Il se compose d’âge et de phases individuelles, déterminés par de nombreux paramètres de vie. Une personne maîtrise, dans une certaine mesure, les circonstances de sa vie, devient le créateur de son histoire et le créateur de l'histoire de la société. Cependant, une attitude véritablement créative face à la vie n’apparaît pas immédiatement, ni même chez chaque personne. Il existe des liens génétiques entre les phases du chemin de vie, ce qui détermine son caractère naturel. Il s’ensuit qu’il est en principe possible de prédire l’évolution future sur la base de la connaissance de ses premières phases.

Les nombres de Fibonacci en astronomie

De l'histoire de l'astronomie, on sait que I. Titius, un astronome allemand du XVIIIe siècle, utilisant la série de Fibonacci, a trouvé un modèle et un ordre dans les distances entre les planètes du système solaire. Mais un cas semble contredire la loi : il n’y a pas de planète entre Mars et Jupiter. Mais après la mort de Titius au début du XIXe siècle. l'observation concentrée de cette partie du ciel a conduit à la découverte de la ceinture d'astéroïdes.

Conclusion

Au cours de mes recherches, j'ai découvert que les nombres de Fibonacci sont largement utilisés dans l'analyse technique des cours boursiers. L'une des façons les plus simples d'utiliser les nombres de Fibonacci dans la pratique consiste à déterminer les intervalles de temps après lesquels un événement particulier se produira, par exemple un changement de prix. L'analyste compte un certain nombre de jours ou de semaines Fibonacci (13,21,34,55, etc.) à partir de l'événement similaire précédent et fait une prévision. Mais c’est encore trop difficile à comprendre pour moi. Bien que Fibonacci soit le plus grand mathématicien du Moyen Âge, les seuls monuments à Fibonacci sont une statue devant la tour penchée de Pise et deux rues qui portent son nom : l'une à Pise et l'autre à Florence. Et pourtant, à propos de tout ce que j'ai vu et lu, des questions tout à fait naturelles se posent. D'où viennent ces chiffres ? Qui est cet architecte de l’univers qui a tenté de le rendre parfait ? Quelle sera la prochaine étape ? Après avoir trouvé la réponse à une question, vous obtiendrez la suivante. Si vous le résolvez, vous en obtiendrez deux nouveaux. Une fois que vous les aurez traités, trois autres apparaîtront. Après les avoir résolus également, vous en aurez cinq non résolus. Puis huit, treize, etc. N'oubliez pas que deux mains ont cinq doigts, dont deux sont constitués de deux phalanges et huit de trois.

Littérature:

Volochinov A.V. « Mathématiques et Art », M., Éducation, 1992.

Vorobyov N.N. «Nombres de Fibonacci», M., Nauka, 1984.

Stakhov A.P. «Le Da Vinci Code et la série Fibonacci», format Saint-Pétersbourg, 2006

F. Corvalan « Le nombre d'or. Langage mathématique de la beauté", M., De Agostini, 2014.

Maksimenko S.D. "Les périodes sensibles de la vie et leurs codes."

"Numéros de Fibonacci". Wikipédia

Il y a encore beaucoup de choses dans l'univers mystères non résolus, dont certains scientifiques ont déjà pu identifier et décrire. Les nombres de Fibonacci et le nombre d'or constituent la base pour démêler le monde qui nous entoure, construire sa forme et sa perception visuelle optimale par une personne, à l'aide de laquelle elle peut ressentir la beauté et l'harmonie.

nombre d'or

Le principe de détermination des dimensions du nombre d'or est à la base de la perfection du monde entier et de ses parties dans sa structure et ses fonctions, sa manifestation peut être vue dans la nature, l'art et la technologie. La doctrine de la proportion d’or a été fondée à la suite de recherches menées par d’anciens scientifiques sur la nature des nombres.

Il est basé sur la théorie des proportions et des rapports de divisions de segments, élaborée par l'ancien philosophe et mathématicien Pythagore. Il a prouvé qu'en divisant un segment en deux parties : X (le plus petit) et Y (le plus grand), le rapport du plus grand au plus petit sera égal au rapport de leur somme (le segment entier) :

Le résultat est une équation : x2 - x-1=0, qui est résolu comme x=(1±√5)/2.

Si l’on considère le rapport 1/x, alors il est égal à 1,618…

La preuve de l’utilisation du nombre d’or par les penseurs anciens est donnée dans le livre d’Euclide « Éléments », écrit au IIIe siècle. BC, qui a appliqué cette règle pour construire des pentagones réguliers. Chez les Pythagoriciens, cette figure est considérée comme sacrée car elle est à la fois symétrique et asymétrique. Le pentagramme symbolisait la vie et la santé.

Numéros de Fibonacci

Le célèbre livre Liber abaci du mathématicien italien Léonard de Pise, plus tard connu sous le nom de Fibonacci, a été publié en 1202. Dans ce document, le scientifique cite pour la première fois le modèle de nombres, dans une série dont chaque nombre est la somme de 2 chiffres précédents. La suite de nombres de Fibonacci est la suivante :

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, etc.

Le scientifique a également cité un certain nombre de modèles :

Tout nombre de la série divisé par le suivant sera égal à une valeur tendant vers 0,618. De plus, les premiers nombres de Fibonacci ne donnent pas un tel nombre, mais à mesure que l'on s'éloigne du début de la séquence, ce rapport deviendra de plus en plus précis.
Si vous divisez le nombre de la série par le précédent, le résultat atteindra 1,618.
Un nombre divisé par le suivant par un affichera une valeur tendant vers 0,382.

L'application de la connexion et des modèles du nombre d'or, le nombre de Fibonacci (0,618), se retrouve non seulement dans les mathématiques, mais aussi dans la nature, l'histoire, l'architecture et la construction, ainsi que dans de nombreuses autres sciences.

Spirale d'Archimède et rectangle doré

Les spirales, très courantes dans la nature, ont été étudiées par Archimède, qui en a même dérivé l'équation. La forme de la spirale est basée sur les lois du nombre d’or. En le déroulant, on obtient une longueur à laquelle les proportions et les nombres de Fibonacci peuvent être appliqués ; le pas augmente uniformément.

Le parallèle entre les nombres de Fibonacci et le nombre d’or peut être vu en construisant un « rectangle d’or » dont les côtés sont proportionnels à 1,618 : 1. Il est construit en passant d'un rectangle plus grand à des rectangles plus petits afin que les longueurs des côtés soient égales aux nombres de la série. Il peut également être construit dans l’ordre inverse, en commençant par la case « 1 ». Lorsque les coins de ce rectangle sont reliés par des lignes au centre de leur intersection, on obtient une spirale de Fibonacci ou logarithmique.

Histoire de l'utilisation des proportions dorées

De nombreux monuments architecturaux égyptiens antiques ont été construits dans des proportions dorées : pyramides célèbres Khéops et autres architectes La Grèce ancienne Ils étaient largement utilisés dans la construction d’objets architecturaux tels que des temples, des amphithéâtres et des stades. Par exemple, de telles proportions ont été utilisées dans la construction de l’ancien temple du Parthénon (Athènes) et d’autres objets qui sont devenus des chefs-d’œuvre de l’architecture ancienne, démontrant une harmonie basée sur des modèles mathématiques.

Au cours des siècles suivants, l'intérêt pour le nombre d'or s'est atténué et les motifs ont été oubliés, mais il a repris à la Renaissance avec le livre du moine franciscain L. Pacioli di Borgo « La Divine Proportion » (1509). Il contenait des illustrations de Léonard de Vinci, qui a créé le nouveau nom « nombre d'or ». 12 propriétés du nombre d'or ont également été scientifiquement prouvées, et l'auteur a expliqué comment il se manifeste dans la nature, dans l'art et l'a appelé « le principe de construction du monde et de la nature ».

L'Homme de Vitruve Léonard

Le dessin, que Léonard de Vinci a utilisé pour illustrer le livre de Vitruve en 1492, représente une figure humaine dans 2 positions, les bras écartés sur les côtés. La figure est inscrite dans un cercle et un carré. Ce dessin est considéré comme les proportions canoniques du corps humain (masculin), décrites par Léonard sur la base de leur étude dans les traités de l'architecte romain Vitruve.

Le centre du corps comme point équidistant de l'extrémité des bras et des jambes est le nombril, la longueur des bras est égale à la taille de la personne, la largeur maximale des épaules = 1/8 de la hauteur, la distance du haut de la poitrine aux cheveux = 1/7, du haut de la poitrine au sommet de la tête = 1/6 etc.

Depuis, le dessin est utilisé comme symbole montrant la symétrie interne du corps humain.

Léonard a utilisé le terme « nombre d’or » pour désigner les relations proportionnelles dans la figure humaine. Par exemple, la distance de la taille aux pieds est liée à la même distance du nombril au sommet de la tête de la même manière que la hauteur l'est à la première longueur (de la taille vers le bas). Ce calcul s'effectue de la même manière que le rapport des segments lors du calcul de la proportion d'or et tend vers 1,618.

Toutes ces proportions harmonieuses sont souvent utilisées par les artistes pour créer des œuvres magnifiques et impressionnantes.

Recherches sur le nombre d'or du XVIe au XIXe siècle

En utilisant le nombre d'or et les nombres de Fibonacci, travail de recherche les discussions sur la question des proportions durent depuis plus d’un siècle. Parallèlement à Léonard de Vinci, l'artiste allemand Albrecht Dürer a également travaillé à l'élaboration de la théorie des proportions correctes du corps humain. À cet effet, il a même créé une boussole spéciale.

Au 16ème siècle La question du lien entre le nombre de Fibonacci et le nombre d'or a été consacrée aux travaux de l'astronome I. Kepler, qui a été le premier à appliquer ces règles à la botanique.

Une nouvelle « découverte » attendait le nombre d’or au XIXe siècle. avec la publication de l'« Recherche esthétique » du scientifique allemand Professeur Zeisig. Il élève ces proportions à l'absolu et déclare qu'elles sont universelles pour tous les phénomènes naturels. Il a mené des études sur un grand nombre de personnes, ou plutôt sur leurs proportions corporelles (environ 2 000), sur la base desquelles des conclusions ont été tirées sur des modèles statistiquement confirmés dans les rapports des différentes parties du corps : la longueur des épaules, avant-bras, mains, doigts, etc.

Les objets d'art (vases, structures architecturales), les tonalités musicales et les tailles lors de l'écriture de poèmes ont également été étudiés - Zeisig a montré tout cela à travers la longueur des segments et des nombres, et il a également introduit le terme « esthétique mathématique ». Après avoir reçu les résultats, il s’est avéré que la série de Fibonacci avait été obtenue.

Nombre de Fibonacci et nombre d'or dans la nature

Dans le monde végétal et animal, il existe une tendance à la morphologie sous forme de symétrie, qui s'observe dans le sens de la croissance et du mouvement. Division en parties symétriques dans lesquelles des proportions dorées sont observées - ce motif est inhérent à de nombreuses plantes et animaux.

La nature qui nous entoure peut être décrite à l'aide des nombres de Fibonacci, par exemple :

la disposition des feuilles ou des branches de toute plante, ainsi que les distances, correspondent à une série de nombres donnés 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 et ainsi de suite ;
graines de tournesol (écailles sur cônes, cellules d'ananas), disposées en deux rangées le long de spirales torsadées dans des directions différentes ;
le rapport entre la longueur de la queue et l'ensemble du corps du lézard ;
la forme d'un œuf, si vous tracez une ligne à travers sa partie large ;
rapport de la taille des doigts sur la main d'une personne.

Et bien sûr, les formes les plus intéressantes incluent les coquilles d'escargot en spirale, les motifs sur les toiles d'araignées, le mouvement du vent à l'intérieur d'un ouragan, la double hélice de l'ADN et la structure des galaxies - qui impliquent tous la séquence de Fibonacci.

Utilisation du nombre d'or dans l'art

Les chercheurs à la recherche d'exemples d'utilisation du nombre d'or dans l'art étudient en détail divers objets architecturaux et œuvres d'art. Il existe des œuvres sculpturales célèbres dont les créateurs ont adhéré aux proportions dorées - les statues de Zeus Olympien, d'Apollon du Belvédère et

L'une des créations de Léonard de Vinci, "Portrait de la Joconde", fait l'objet de recherches scientifiques depuis de nombreuses années. Ils ont découvert que la composition de l’œuvre est entièrement constituée de « triangles d’or » réunis en une étoile-pentagone régulière. Toutes les œuvres de Léonard de Vinci témoignent de la profondeur de sa connaissance de la structure et des proportions du corps humain, grâce à laquelle il a pu capturer le sourire incroyablement mystérieux de Mona Lisa.

Le nombre d’or en architecture

A titre d'exemple, les scientifiques ont examiné des chefs-d'œuvre architecturaux créés selon les règles du « nombre d'or » : pyramides égyptiennes, Panthéon, Parthénon, cathédrale Notre-Dame de Paris, cathédrale Saint-Basile, etc.

Le Parthénon - l'un des plus beaux bâtiments de la Grèce antique (Ve siècle avant JC) - possède 8 colonnes et 17 sur des côtés différents, le rapport entre sa hauteur et la longueur des côtés est de 0,618. Les saillies de ses façades sont réalisées selon le « nombre d'or » (photo ci-dessous).

L'un des scientifiques qui ont imaginé et appliqué avec succès une amélioration du système modulaire de proportions pour les objets architecturaux (le soi-disant « modulor ») était l'architecte français Le Corbusier. Le modulateur est basé sur un système de mesure associé à la division conditionnelle en parties du corps humain.

L'architecte russe M. Kazakov, qui a construit plusieurs bâtiments résidentiels à Moscou, ainsi que le bâtiment du Sénat au Kremlin et l'hôpital Golitsyn (aujourd'hui la 1ère clinique du nom de N. I. Pirogov), était l'un des architectes qui ont utilisé les lois dans la conception et construction sur le nombre d’or.

Appliquer des proportions dans la conception

Dans la conception de vêtements, tous les créateurs de mode créent de nouvelles images et de nouveaux modèles en tenant compte des proportions du corps humain et des règles du nombre d'or, même si, par nature, tout le monde n'a pas des proportions idéales.

Lors de la planification de l'aménagement paysager et de la création de compositions de parc tridimensionnelles à l'aide de plantes (arbres et arbustes), de fontaines et de petits objets architecturaux, les lois des « proportions divines » peuvent également être appliquées. Après tout, la composition du parc doit viser à créer une impression sur le visiteur, qui pourra y naviguer librement et trouver le centre de composition.

Tous les éléments du parc sont dans des proportions telles qu'ils créent une impression d'harmonie et de perfection grâce à la structure géométrique, à la position relative, à l'éclairage et à la lumière.

Application du nombre d'or en cybernétique et technologie

Les lois du nombre d'or et des nombres de Fibonacci apparaissent également dans les transitions énergétiques, dans les processus se produisant avec les particules élémentaires qui composent les composés chimiques, dans les systèmes spatiaux et dans la structure génétique de l'ADN.

Des processus similaires se produisent dans le corps humain, se manifestant dans les biorythmes de sa vie, dans l'action d'organes, par exemple le cerveau ou la vision.

Les algorithmes et les modèles aux proportions dorées sont largement utilisés dans la cybernétique et l’informatique modernes. L'une des tâches simples que les programmeurs débutants doivent résoudre est d'écrire une formule et de déterminer la somme des nombres de Fibonacci jusqu'à un certain nombre à l'aide de langages de programmation.

Recherche moderne sur la théorie du nombre d'or

Depuis le milieu du XXe siècle, l'intérêt pour les problèmes et l'influence des lois des proportions d'or sur la vie humaine a fortement augmenté, et de la part de nombreux scientifiques de diverses professions : mathématiciens, chercheurs ethniques, biologistes, philosophes, médecins, économistes, musiciens, etc.

Aux États-Unis, le magazine The Fibonacci Quarterly a commencé à paraître dans les années 1970, où des travaux sur ce sujet ont été publiés. Des ouvrages paraissent dans la presse dans lesquels les règles généralisées du nombre d'or et de la série de Fibonacci sont utilisées dans divers domaines de la connaissance. Par exemple, pour le codage d'informations, la recherche chimique, la recherche biologique, etc.

Tout cela confirme les conclusions des scientifiques anciens et modernes selon lesquelles la proportion d'or est liée de manière multilatérale aux questions fondamentales de la science et se manifeste dans la symétrie de nombreuses créations et phénomènes du monde qui nous entoure.

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