संख्याओं की फाइबोनैचि श्रृंखला क्या है? फाइबोनैचि अनुक्रम और स्वर्णिम अनुपात सिद्धांत

फाइबोनैचि संख्याएँ...प्रकृति और जीवन में

लियोनार्डो फाइबोनैचि मध्य युग के महानतम गणितज्ञों में से एक हैं। अपने कार्यों में से एक, "द बुक ऑफ कैलकुलेशन" में फिबोनाची ने गणना की इंडो-अरबी प्रणाली और रोमन प्रणाली की तुलना में इसके उपयोग के फायदों का वर्णन किया है।

परिभाषा
फाइबोनैचि संख्या या फाइबोनैचि अनुक्रम एक संख्या अनुक्रम है जिसमें कई गुण होते हैं। उदाहरण के लिए, एक अनुक्रम में दो आसन्न संख्याओं का योग अगली संख्या का मान देता है (उदाहरण के लिए, 1+1=2; 2+3=5, आदि), जो तथाकथित फाइबोनैचि गुणांक के अस्तित्व की पुष्टि करता है , अर्थात। स्थिर अनुपात.

फाइबोनैचि अनुक्रम इस तरह शुरू होता है: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…

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फाइबोनैचि संख्याओं की पूर्ण परिभाषा

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फाइबोनैचि अनुक्रम के गुण

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1. जैसे-जैसे क्रम संख्या बढ़ती है, प्रत्येक संख्या का अगली संख्या से अनुपात 0.618 हो जाता है। प्रत्येक संख्या का पिछली संख्या से अनुपात 1.618 (0.618 के विपरीत) हो जाता है। संख्या 0.618 को (FI) कहा जाता है।

2. प्रत्येक संख्या को उसके बाद वाली संख्या से विभाजित करने पर, एक के बाद वाली संख्या 0.382 होती है; इसके विपरीत - क्रमशः 2.618.

3. इस प्रकार अनुपातों का चयन करने पर, हमें फाइबोनैचि अनुपातों का मुख्य सेट प्राप्त होता है: ... 4.235, 2.618, 1.618, 0.618, 0.382, 0.236।

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फाइबोनैचि अनुक्रम और "सुनहरा अनुपात" के बीच संबंध

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फाइबोनैचि अनुक्रम स्पर्शोन्मुख रूप से (धीमे और धीमे होते हुए) कुछ निरंतर संबंध की ओर प्रवृत्त होता है। हालाँकि, यह अनुपात अपरिमेय है, अर्थात, यह भिन्नात्मक भाग में दशमलव अंकों के अनंत, अप्रत्याशित अनुक्रम वाली एक संख्या का प्रतिनिधित्व करता है। इसे सटीक रूप से व्यक्त करना असंभव है.

यदि फाइबोनैचि अनुक्रम के किसी भी सदस्य को उसके पूर्ववर्ती (उदाहरण के लिए, 13:8) से विभाजित किया जाता है, तो परिणाम एक ऐसा मान होगा जो अपरिमेय मान 1.61803398875 के आसपास उतार-चढ़ाव करता है... और कभी-कभी इससे अधिक हो जाता है, कभी-कभी उस तक नहीं पहुंचता है। लेकिन इस पर अनंत काल खर्च करने के बाद भी, अंतिम दशमलव अंक तक अनुपात का सटीक पता लगाना असंभव है। संक्षिप्तता के लिए हम इसे 1.618 के रूप में प्रस्तुत करेंगे। लुका पैसिओली (एक मध्ययुगीन गणितज्ञ) द्वारा इसे दैवीय अनुपात कहने से पहले ही इस अनुपात को विशेष नाम दिए जाने लगे थे। इसके आधुनिक नामों में गोल्डन रेशियो, गोल्डन एवरेज और घूमने वाले वर्गों का अनुपात शामिल हैं। केप्लर ने इस रिश्ते को "ज्यामिति के खजाने" में से एक कहा। बीजगणित में, इसे आमतौर पर ग्रीक अक्षर फाई द्वारा दर्शाया जाना स्वीकार किया जाता है

आइए एक खंड के उदाहरण का उपयोग करके सुनहरे अनुपात की कल्पना करें।

A और B सिरों वाले एक खंड पर विचार करें। मान लीजिए कि बिंदु C खंड AB को इस प्रकार विभाजित करता है,

एसी/सीबी = सीबी/एबी या

एबी/सीबी = सीबी/एसी.

आप इसकी कल्पना कुछ इस तरह कर सकते हैं: ए--सी---बी

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स्वर्णिम अनुपात एक खंड का असमान भागों में आनुपातिक विभाजन है, जिसमें पूरा खंड बड़े हिस्से से संबंधित होता है। के सबसेछोटे को संदर्भित करता है; या दूसरे शब्दों में, छोटा खंड बड़े के लिए है और बड़ा संपूर्ण के लिए है।

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सुनहरे अनुपात के खंडों को एक अनंत अपरिमेय अंश 0.618... के रूप में व्यक्त किया जाता है, यदि एबी को एक के रूप में लिया जाता है, एसी = 0.382.. जैसा कि हम पहले से ही जानते हैं, संख्याएं 0.618 और 0.382 फाइबोनैचि अनुक्रम के गुणांक हैं।

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प्रकृति और इतिहास में फाइबोनैचि अनुपात और स्वर्णिम अनुपात

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यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि फाइबोनैचि मानवता को उसके अनुक्रम की याद दिलाता प्रतीत होता है। यह प्राचीन यूनानियों और मिस्रवासियों को ज्ञात था। और वास्तव में, तब से, फाइबोनैचि अनुपात द्वारा वर्णित पैटर्न प्रकृति, वास्तुकला, ललित कला, गणित, भौतिकी, खगोल विज्ञान, जीव विज्ञान और कई अन्य क्षेत्रों में पाए गए हैं। यह आश्चर्यजनक है कि फाइबोनैचि अनुक्रम का उपयोग करके कितने स्थिरांक की गणना की जा सकती है, और इसके पद बड़ी संख्या में संयोजनों में कैसे दिखाई देते हैं। हालाँकि, यह कहना अतिशयोक्ति नहीं होगी कि यह केवल संख्याओं का खेल नहीं है, बल्कि सबसे महत्वपूर्ण गणितीय अभिव्यक्ति है प्राकृतिक घटनाएंअब तक खोले गए सभी में से.

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नीचे दिए गए उदाहरण इस गणितीय अनुक्रम के कुछ दिलचस्प अनुप्रयोग दिखाते हैं।

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1. सिंक एक सर्पिल में मुड़ा हुआ है। यदि आप इसे खोलते हैं, तो आपको सांप की लंबाई से थोड़ी छोटी लंबाई मिलती है। छोटे दस-सेंटीमीटर खोल में 35 सेमी लंबा एक सर्पिल होता है। सर्पिल रूप से घुमावदार खोल के आकार ने आर्किमिडीज़ का ध्यान आकर्षित किया। तथ्य यह है कि शैल कर्ल के आयामों का अनुपात स्थिर है और 1.618 के बराबर है। आर्किमिडीज़ ने कोशों के सर्पिल का अध्ययन किया और सर्पिल का समीकरण निकाला। इस समीकरण के अनुसार खींचे गए सर्पिल को उनके नाम से पुकारा जाता है। उसके कदम में वृद्धि हमेशा एक समान होती है। वर्तमान में, आर्किमिडीज़ सर्पिल का व्यापक रूप से प्रौद्योगिकी में उपयोग किया जाता है।

2. पौधे और जानवर। गोएथे ने प्रकृति की सर्पिलता की प्रवृत्ति पर भी जोर दिया। पेड़ की शाखाओं पर पत्तियों की पेचदार और सर्पिल व्यवस्था बहुत पहले ही देखी गई थी। सर्पिल को सूरजमुखी के बीज, पाइन शंकु, अनानास, कैक्टि, आदि की व्यवस्था में देखा गया था। वनस्पतिशास्त्रियों और गणितज्ञों के संयुक्त कार्य ने इन पर प्रकाश डाला अद्भुत घटनाप्रकृति। यह पता चला कि सूरजमुखी के बीज और पाइन शंकु की एक शाखा पर पत्तियों की व्यवस्था में, फाइबोनैचि श्रृंखला स्वयं प्रकट होती है, और इसलिए, सुनहरे अनुपात का नियम स्वयं प्रकट होता है। मकड़ी अपना जाल सर्पिल पैटर्न में बुनती है। एक तूफान सर्पिल की तरह घूम रहा है। डरा हुआ झुण्ड हिरनसर्पिल दूर. डीएनए अणु एक दोहरे हेलिक्स में मुड़ा हुआ है। गोएथे ने सर्पिल को "जीवन का वक्र" कहा।

सड़क किनारे जड़ी-बूटियों के बीच एक अनोखा पौधा उगता है - चिकोरी। आइए इस पर करीब से नज़र डालें। मुख्य तने से एक अंकुर बन गया है। पहला पत्ता वहीं स्थित था। शूट अंतरिक्ष में एक मजबूत इजेक्शन करता है, रुकता है, एक पत्ती छोड़ता है, लेकिन इस बार यह पहले की तुलना में छोटा है, फिर से स्पेस में इजेक्शन करता है, लेकिन कम बल के साथ, इससे भी छोटे आकार की एक पत्ती छोड़ता है और फिर से बाहर निकल जाता है . यदि पहला उत्सर्जन 100 इकाइयों के रूप में लिया जाता है, तो दूसरा 62 इकाइयों के बराबर है, तीसरा - 38, चौथा - 24, आदि। पंखुड़ियों की लंबाई भी सुनहरे अनुपात के अधीन है। बढ़ते और अंतरिक्ष पर विजय प्राप्त करते समय, पौधे ने कुछ निश्चित अनुपात बनाए रखा। इसके विकास के आवेग सुनहरे अनुपात के अनुपात में धीरे-धीरे कम होते गए।

छिपकली जीवित बच्चा जनने वाली होती है। पहली नज़र में, छिपकली का अनुपात हमारी आंखों के लिए सुखद होता है - इसकी पूंछ की लंबाई शरीर के बाकी हिस्सों की लंबाई से संबंधित होती है, जैसे कि 62 से 38।

पौधे और पशु जगत दोनों में, प्रकृति की रचनात्मक प्रवृत्ति लगातार टूटती रहती है - विकास और गति की दिशा के संबंध में समरूपता। यहां सुनहरा अनुपात विकास की दिशा के लंबवत भागों के अनुपात में दिखाई देता है। प्रकृति ने विभाजन को सममित भागों और सुनहरे अनुपातों में किया है। भाग संपूर्ण संरचना की पुनरावृत्ति को प्रकट करते हैं।

इस सदी की शुरुआत में पियरे क्यूरी ने समरूपता के बारे में कई गहन विचार तैयार किए। उन्होंने तर्क दिया कि समरूपता को ध्यान में रखे बिना कोई भी किसी पिंड की समरूपता पर विचार नहीं कर सकता है पर्यावरण. स्वर्ण समरूपता के नियम प्राथमिक कणों के ऊर्जा संक्रमण में, कुछ रासायनिक यौगिकों की संरचना में, ग्रहों और ब्रह्मांडीय प्रणालियों में, जीवित जीवों की जीन संरचनाओं में प्रकट होते हैं। ये पैटर्न, जैसा कि ऊपर बताया गया है, व्यक्तिगत मानव अंगों और पूरे शरीर की संरचना में मौजूद हैं, और मस्तिष्क और दृश्य धारणा के बायोरिदम और कामकाज में भी खुद को प्रकट करते हैं।

3. अंतरिक्ष. खगोल विज्ञान के इतिहास से ज्ञात होता है कि 18वीं शताब्दी के जर्मन खगोलशास्त्री आई. टिटियस ने इस श्रृंखला (फाइबोनैचि) की सहायता से ग्रहों के बीच की दूरियों में एक पैटर्न और क्रम पाया था। सौर परिवार

हालाँकि, एक मामला जो कानून का खंडन करता प्रतीत हुआ: मंगल और बृहस्पति के बीच कोई ग्रह नहीं था। आकाश के इस हिस्से के केंद्रित अवलोकन से क्षुद्रग्रह बेल्ट की खोज हुई। यह 19वीं सदी की शुरुआत में टिटियस की मृत्यु के बाद हुआ।

फाइबोनैचि श्रृंखला का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है: इसका उपयोग जीवित प्राणियों की वास्तुकला, मानव निर्मित संरचनाओं और आकाशगंगाओं की संरचना का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है। ये तथ्य संख्या श्रृंखला की अभिव्यक्ति की स्थितियों से स्वतंत्रता के प्रमाण हैं, जो इसकी सार्वभौमिकता के संकेतों में से एक है।

4. पिरामिड. कई लोगों ने गीज़ा के पिरामिड के रहस्यों को जानने की कोशिश की है। मिस्र के अन्य पिरामिडों के विपरीत, यह कोई कब्र नहीं है, बल्कि संख्या संयोजनों की एक अबूझ पहेली है। पिरामिड के वास्तुकारों ने शाश्वत प्रतीक के निर्माण में जो उल्लेखनीय सरलता, कौशल, समय और श्रम लगाया, वह उस संदेश के अत्यधिक महत्व को दर्शाता है जो वे भविष्य की पीढ़ियों को बताना चाहते थे। उनका युग प्रीलिटरेट, प्रीहाइरोग्लिफ़िक था, और प्रतीक खोजों को रिकॉर्ड करने का एकमात्र साधन थे। गीज़ा के पिरामिड के ज्यामितीय-गणितीय रहस्य की कुंजी, जो इतने लंबे समय तक मानव जाति के लिए एक रहस्य थी, वास्तव में हेरोडोटस को मंदिर के पुजारियों द्वारा दी गई थी, जिन्होंने उसे सूचित किया था कि पिरामिड का निर्माण इस प्रकार किया गया था कि इसका क्षेत्रफल उसका प्रत्येक फलक उसकी ऊँचाई के वर्ग के बराबर था।

एक त्रिभुज का क्षेत्रफल

356 x 440/2 = 78320

चौकोर क्षेत्र

280 x 280 = 78400

गीज़ा में पिरामिड के आधार के किनारे की लंबाई 783.3 फीट (238.7 मीटर) है, पिरामिड की ऊंचाई 484.4 फीट (147.6 मीटर) है। आधार किनारे की लंबाई को ऊंचाई से विभाजित करने पर अनुपात Ф=1.618 प्राप्त होता है। 484.4 फीट की ऊंचाई 5813 इंच (5-8-13) से मेल खाती है - ये फाइबोनैचि अनुक्रम से संख्याएं हैं। ये दिलचस्प अवलोकन बताते हैं कि पिरामिड का डिज़ाइन अनुपात Ф=1.618 पर आधारित है। कुछ आधुनिक विद्वान यह व्याख्या करने में इच्छुक हैं कि प्राचीन मिस्रवासियों ने इसे ज्ञान प्रदान करने के एकमात्र उद्देश्य के लिए बनाया था जिसे वे भविष्य की पीढ़ियों के लिए संरक्षित करना चाहते थे। गीज़ा के पिरामिड के गहन अध्ययन से पता चला कि उस समय गणित और ज्योतिष का ज्ञान कितना व्यापक था। पिरामिड के सभी आंतरिक और बाहरी अनुपातों में, संख्या 1.618 एक केंद्रीय भूमिका निभाती है।

मेक्सिको में पिरामिड. न केवल मिस्र के पिरामिड सुनहरे अनुपात के सही अनुपात के अनुसार बनाए गए थे, वही घटना मैक्सिकन पिरामिड में भी पाई गई थी। यह विचार उठता है कि मिस्र और मैक्सिकन दोनों पिरामिड लगभग एक ही समय में सामान्य मूल के लोगों द्वारा बनाए गए थे।

फाइबोनैचि संख्या अनुक्रम. क्या आपने इसके बारे में पहली बार सुना है और यह भी नहीं जानते कि यह ज्ञान के किस क्षेत्र से है? यह पता चला है कि प्राकृतिक घटनाओं की नियमितता, हमारे ग्रह पर जीवित जीवों की संरचना और विविधता, वह सब कुछ जो हमें घेरता है, अपनी सद्भाव और व्यवस्था के साथ कल्पना को चकित करता है, ब्रह्मांड के नियम, मानव विचार की गति और उपलब्धियों विज्ञान - यह सब संक्षेपण द्वारा समझाया गया है फिबोनाची अनुक्रम.

मनुष्य की खुद को और अपने आसपास की दुनिया को समझने की शाश्वत इच्छा ने विज्ञान को आगे बढ़ाया है।

गणित में सबसे महत्वपूर्ण उपलब्धियों में से एक रोमन अंकों के बजाय अरबी अंकों की शुरूआत है। यह बारहवीं सदी के सबसे उल्लेखनीय वैज्ञानिकों में से एक फिबोनाची (1175) का है। उनके द्वारा की गई एक और खोज का नाम उनके नाम पर रखा गया - सारांश अनुक्रम: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,... ये तथाकथित हैं फाइबोनैचि संख्याएँ.

गणित में यह पैटर्न एक अन्य मध्यकालीन वैज्ञानिक, थॉमस एक्विनास के लिए रुचिकर था। "बीजगणित के साथ सामंजस्य को मापने" की इच्छा से प्रेरित होकर, वैज्ञानिक ने निष्कर्ष निकाला कि गणित और सौंदर्य के बीच सीधा संबंध है। थॉमस एक्विनास ने योगात्मक अनुक्रम के समान सिद्धांत द्वारा प्रकृति द्वारा अनुपात में निर्मित सामंजस्यपूर्ण वस्तुओं पर विचार करते समय उत्पन्न होने वाली सौंदर्य भावनाओं को समझाया।

यह सिद्धांत बताता है कि 1.1 से शुरू करके, अगली संख्या पिछली दो संख्याओं का योग होगी। यह पैटर्न है बडा महत्व.यह क्रम धीमा और धीमा है - स्पर्शोन्मुख रूप से - कुछ स्थिर अनुपात के करीब। हालाँकि, यह संबंध अतार्किक है, अर्थात इसमें भिन्नात्मक भाग में संख्याओं का एक अनंत और अप्रत्याशित क्रम है। इसकी सटीक अभिव्यक्ति असंभव है. फाइबोनैचि अनुक्रम के किसी भी पद को उसके पूर्ववर्ती पद से विभाजित करने पर, हमें एक मान मिलता है जो 1.61803398875... (तर्कहीन) के आसपास उतार-चढ़ाव करता है, जो या तो हर बार उस तक नहीं पहुंचेगा या उससे अधिक होगा। यहां तक ​​कि अनंत काल भी इस अनुपात को सटीक रूप से निर्धारित करने के लिए पर्याप्त नहीं है। संक्षिप्तता के लिए, हम इसे 1.618 के रूप में उपयोग करेंगे।

मध्यकालीन गणितज्ञ लुका पैसिओली ने इस अनुपात को दैवीय अनुपात कहा है। केपलर ने योग अनुक्रम को "ज्यामिति के खजानों में से एक" कहा। आधुनिक विज्ञान में, संक्षेपण फिबोनाची अनुक्रमइसके कई नाम हैं, जो कम काव्यात्मक नहीं हैं: घूमने वाले वर्गों का अनुपात, स्वर्णिम औसत, स्वर्णिम अनुपात। गणित में इसे ग्रीक अक्षर फाई (Ф=1.618) से दर्शाया जाता है।

अनुक्रम की स्पर्शोन्मुख प्रकृति, अपरिमेय फाइबोनैचि संख्या के आसपास इसके दोलन, जो फीके पड़ जाते हैं, स्पष्ट हो जाएंगे यदि हम इस अनुक्रम के पहले शब्दों के संबंधों पर विचार करें। नीचे दिए गए उदाहरण में, हम फाइबोनैचि संख्याओं को देखेंगे और दूसरे का पहले पद से, तीसरे से दूसरे का, इत्यादि का अनुपात देंगे:
1:1 = 1.0000, यह फाई से 0.6180 कम है
2:1 = 2.0000, यह फाई से 0.3820 अधिक है
3:2 = 1.5000, यह फाई से 0.1180 कम है
5:3 = 1.6667, यह फाई से 0.0486 अधिक है
8:5 = 1.6000, यह फाई से 0.0180 कम है
फाइबोनैचि अनुक्रम के साथ आगे बढ़ते हुए, प्रत्येक नया शब्द अगले को विभाजित करेगा, अप्राप्य संख्या एफ के करीब और करीब आएगा।

इसके बाद हम देखेंगे कि कुछ फाइबोनैचि संख्याएँ, इसके सारांश अनुक्रम को बनाते हुए, विभिन्न वस्तुओं की कीमतों की गतिशीलता में दिखाई देते हैं; विदेशी मुद्रा तकनीकी विश्लेषण विधियों का उपयोग किया जाता है फाइबोनैचि स्तर. 1.615 के करीब अनुपातों में एक या दूसरी राशि के उतार-चढ़ाव का पता लगाया जा सकता है, जिसमें वे प्रत्यावर्तन नियम में दिखाई देते हैं। अवचेतन रूप से, प्रत्येक व्यक्ति कुख्यात दैवीय अनुपात की तलाश करता है, जो आराम की इच्छा को पूरा करने के लिए आवश्यक है।

यदि हम फाइबोनैचि अनुक्रम के किसी भी पद को उसके बाद वाले पद से विभाजित करते हैं, तो हमें 1.618 का व्युत्क्रम प्राप्त होता है, अर्थात 1:1.618। यह भी काफी है असामान्य घटना, शायद उल्लेखनीय भी। मूल अनुपात एक अनंत अंश है, इसलिए यह अनुपात भी अनंत होना चाहिए।

एक अन्य महत्वपूर्ण तथ्य निम्नलिखित है. फाइबोनैचि अनुक्रम में किसी भी पद का वर्ग अनुक्रम में उसके पहले आने वाली संख्या को उसके बाद आने वाली संख्या से गुणा करके, प्लस या माइनस के बराबर होता है।
5 2 = (3 x 8) + 1
8 2 = (5 x 13) – 1
13 2 = (8 x 21) + 1
प्लस और माइनस हमेशा वैकल्पिक होते हैं, और यह इलियट वेव थ्योरी का हिस्सा है जिसे वैकल्पिक नियम कहा जाता है। यह नियम कहता है: सुधारात्मक प्रकृति की जटिल तरंगें सरल तरंगों के साथ वैकल्पिक होती हैं, आवेगपूर्ण प्रकृति की मजबूत तरंगें सुधारात्मक प्रकृति की कमजोर तरंगों के साथ वैकल्पिक होती हैं, इत्यादि।

प्रकृति में दैवीय अनुपात की अभिव्यक्ति

खोजा गया गणितीय अनुक्रम किसी को अनंत संख्या में स्थिरांक की गणना करने की अनुमति देता है। इस अनुक्रम के सदस्य हमेशा अनंत संख्या में संयोजनों में दिखाई देंगे।
एक स्थापित पैटर्न का उपयोग करके, प्राकृतिक घटनाओं की गणितीय व्याख्या दी जाती है। इस संबंध में, गणितीय अनुक्रम की खोज ऐतिहासिक ज्ञान में सबसे महत्वपूर्ण स्थानों में से एक है।
हम गणितीय अनुक्रम से प्राप्त कई दिलचस्प सिद्धांतों का उल्लेख कर सकते हैं।

गीज़ा का पिरामिड

पिरामिड का डिज़ाइन अनुपात Ф=1.618 पर आधारित है। इस पिरामिड के रहस्यों को जानने की कई कोशिशों के बाद यह खोज हुई। गणितीय अनुक्रम के नियमों के बारे में कुछ ज्ञान देने के लिए गीज़ा का पिरामिड अपने आप में वंशजों के लिए एक प्रकार का संदेश प्रतीत होता है। पिरामिड के निर्माण के समय, इसके निर्माताओं के पास ज्ञात कानूनों को व्यक्त करने के पर्याप्त अवसर नहीं थे। उस समय लेखन का अस्तित्व नहीं था और चित्रलिपि का प्रयोग नहीं होता था। हालाँकि, पिरामिड के निर्माता, अपनी रचना के ज्यामितीय अनुपात की मदद से, गणितीय पैटर्न के बारे में अपने ज्ञान को भविष्य की पीढ़ियों तक स्थानांतरित करने में कामयाब रहे।

मंदिर के पुजारियों ने हेरोडोटस को गीज़ा के पिरामिड का रहस्य बताया। इसे इस प्रकार बनाया गया है कि प्रत्येक फलक का क्षेत्रफल इस फलक की ऊंचाई के वर्ग के बराबर हो।
त्रिभुज का क्षेत्रफल: 356 x 440/2 = 78320
वर्ग क्षेत्रफल: 280 x 280 = 78400
गीज़ा पिरामिड का मुख 783.3 फीट (238.7 मीटर) लंबा है और इसकी ऊंचाई 484.4 फीट (147.6 मीटर) है। चेहरे की लंबाई को ऊंचाई से विभाजित करने पर, आप अनुपात Ф=1.618 पर पहुंचते हैं। 484.4 फीट की ऊंचाई 5813 इंच (5-8-13) से मेल खाती है, जो फाइबोनैचि अनुक्रम संख्याओं से अधिक कुछ नहीं है। ये सभी अवलोकन हमें इस निष्कर्ष पर पहुंचाते हैं कि पिरामिड का संपूर्ण डिज़ाइन अनुपात Ф = 1.618 पर आधारित है।
ये फाइबोनैचि अनुक्रम की संख्याएँ हैं। ये दिलचस्प अवलोकन बताते हैं कि पिरामिड का डिज़ाइन अनुपात Ф=1.618 पर आधारित है।
यह जानकारी यह मानने का कारण देती है कि उस समय गणित और ज्योतिष के क्षेत्र में ज्ञान अत्यधिक विकसित था। न केवल मानव हाथों की, बल्कि उसके दिमाग की भी यह सबसे बड़ी रचना संख्या 1.618 के अनुसार बनाई गई थी। गोल्डन सेक्शन के कानून के अनुसार सख्ती से देखे गए पिरामिड के बहुत आंतरिक और बाहरी अनुपात, हमारे वंशजों के लिए, सदियों के सबसे महान ज्ञान की गहराई से एक संदेश हैं।

मैक्सिकन पिरामिड

यह आश्चर्यजनक है कि मेक्सिको में पिरामिड इसी सिद्धांत पर बनाए गए थे। कोई भी मदद नहीं कर सकता लेकिन यह मान सकता है कि मैक्सिकन पिरामिड मिस्र के पिरामिडों के समान ही बनाए गए थे; इसके अलावा, बिल्डरों को स्वर्ण अनुपात के गणितीय कानून का ज्ञान था।
पिरामिड का एक क्रॉस सेक्शन एक सीढ़ी के आकार को प्रकट करता है। इसके पहले स्तर में 16 सीढ़ियाँ हैं, दूसरे में 42 सीढ़ियाँ हैं, तीसरे में 68 सीढ़ियाँ हैं। संख्याएँ फ़िब्नेसी अनुक्रम पर इस प्रकार आधारित हैं:
16 x 1.618 = 26
16 + 26 = 42
26 x 1.618 = 42
42 + 26 = 68
संख्या Ф = 1.618 मैक्सिकन पिरामिड के अनुपात को रेखांकित करती है। (

क्या आपने कभी सुना है कि गणित को "सभी विज्ञानों की रानी" कहा जाता है? क्या आप इस कथन से सहमत हैं? जब तक गणित आपके लिए पाठ्यपुस्तक में उबाऊ समस्याओं का एक सेट बना रहेगा, तब तक यह संभावना नहीं है कि आप इस विज्ञान की सुंदरता, बहुमुखी प्रतिभा और यहां तक ​​कि हास्य का अनुभव करेंगे।

लेकिन गणित में ऐसे विषय हैं जो हमारे लिए सामान्य चीजों और घटनाओं के बारे में दिलचस्प अवलोकन करने में मदद करते हैं। और यहां तक ​​कि हमारे ब्रह्मांड की रचना के रहस्य के पर्दे को भेदने का भी प्रयास करें। दुनिया में ऐसे दिलचस्प पैटर्न हैं जिनका वर्णन गणित का उपयोग करके किया जा सकता है।

फाइबोनैचि संख्याओं का परिचय

फाइबोनैचि संख्याएँकिसी संख्या अनुक्रम के तत्वों के नाम बताइए। इसमें किसी श्रृंखला की प्रत्येक अगली संख्या पिछली दो संख्याओं के योग से प्राप्त की जाती है।

उदाहरण अनुक्रम: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987...

आप इसे इस तरह लिख सकते हैं:

एफ 0 = 0, एफ 1 = 1, एफ एन = एफ एन-1 + एफ एन-2, एन ≥ 2

आप फाइबोनैचि संख्याओं की एक श्रृंखला शुरू कर सकते हैं नकारात्मक मान एन. इसके अलावा, इस मामले में अनुक्रम दो-तरफा है (अर्थात, यह नकारात्मक और सकारात्मक संख्याओं को कवर करता है) और दोनों दिशाओं में अनंत की ओर जाता है।

ऐसे अनुक्रम का एक उदाहरण: -55, -34, -21, -13, -8, 5, 3, 2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 , 34, 55.

इस मामले में सूत्र इस तरह दिखता है:

एफ एन = एफ एन+1 - एफ एन+2या फिर आप यह कर सकते हैं: एफ -एन = (-1) एन+1 एफएन.

जिसे अब हम "फाइबोनैचि संख्या" के रूप में जानते हैं, वह यूरोप में उपयोग शुरू होने से बहुत पहले प्राचीन भारतीय गणितज्ञों को ज्ञात था। और यह नाम आम तौर पर एक सतत ऐतिहासिक किस्सा है। आइए इस तथ्य से शुरू करें कि फाइबोनैचि ने स्वयं को अपने जीवनकाल के दौरान कभी भी फाइबोनैचि नहीं कहा - यह नाम पीसा के लियोनार्डो पर उनकी मृत्यु के कई शताब्दियों बाद ही लागू किया जाने लगा। लेकिन आइए हर चीज़ के बारे में क्रम से बात करें।

पीसा के लियोनार्डो, उर्फ ​​फाइबोनैचि

एक व्यापारी का बेटा जो गणितज्ञ बन गया, और बाद में मध्य युग के दौरान यूरोप के पहले प्रमुख गणितज्ञ के रूप में भावी पीढ़ियों से मान्यता प्राप्त की। कम से कम फाइबोनैचि संख्याओं के लिए धन्यवाद (जिन्हें, हमें याद रखना चाहिए, अभी तक ऐसा नहीं कहा जाता था)। जिसका वर्णन उन्होंने 13वीं सदी की शुरुआत में अपने काम "लिबर अबासी" ("बुक ऑफ अबेकस", 1202) में किया था।

मैं अपने पिता के साथ पूर्व की यात्रा करता हूं, लियोनार्डो ने अरब शिक्षकों के साथ गणित का अध्ययन किया (और उन दिनों वे इस क्षेत्र में थे, और कई अन्य विज्ञानों में से एक थे) सर्वोत्तम विशेषज्ञ). पुरातनता के गणितज्ञों के कार्य और प्राचीन भारतउन्होंने अरबी अनुवाद पढ़ा।

उन्होंने जो कुछ भी पढ़ा था उसे पूरी तरह से समझने और अपने जिज्ञासु दिमाग का उपयोग करने के बाद, फिबोनाची ने गणित पर कई वैज्ञानिक ग्रंथ लिखे, जिनमें उपर्युक्त "अबेकस की पुस्तक" भी शामिल है। इसके अतिरिक्त मैंने बनाया:

• "प्रैक्टिका ज्योमेट्री" ("प्रैक्टिस ऑफ़ ज्योमेट्री", 1220);
• "फ्लोस" ("फूल", 1225 - घन समीकरणों पर एक अध्ययन);
• "लिबर क्वाड्रेटरम" ("वर्गों की पुस्तक", 1225 - अनिश्चित द्विघात समीकरणों पर समस्याएं)।

वह गणितीय प्रतियोगिताओं के बहुत बड़े प्रशंसक थे, इसलिए अपने ग्रंथों में उन्होंने विभिन्न गणितीय समस्याओं के विश्लेषण पर बहुत ध्यान दिया।

लियोनार्डो के जीवन के बारे में बहुत कम जीवनी संबंधी जानकारी बची है। जहाँ तक फाइबोनैचि नाम का सवाल है, जिसके तहत उन्होंने गणित के इतिहास में प्रवेश किया, यह उन्हें केवल 19वीं शताब्दी में सौंपा गया था।

फाइबोनैचि और उसकी समस्याएं

फाइबोनैचि के बाद रहता है बड़ी संख्याऐसी समस्याएँ जो बाद की शताब्दियों में गणितज्ञों के बीच बहुत लोकप्रिय थीं। हम खरगोश की समस्या को देखेंगे, जिसे फाइबोनैचि संख्याओं का उपयोग करके हल किया गया है।

खरगोश न केवल मूल्यवान फर हैं

फाइबोनैचि ने निम्नलिखित स्थितियाँ निर्धारित कीं: नवजात खरगोशों (नर और मादा) की एक जोड़ी ऐसी है दिलचस्प नस्लकि वे नियमित रूप से (दूसरे महीने से शुरू करके) संतान पैदा करें - हमेशा खरगोशों का एक नया जोड़ा। इसके अलावा, जैसा कि आप अनुमान लगा सकते हैं, एक नर और एक मादा।

इन सशर्त खरगोशों को एक सीमित स्थान में रखा जाता है और उत्साह के साथ प्रजनन किया जाता है। यह भी निर्धारित है कि एक भी खरगोश किसी रहस्यमय खरगोश रोग से नहीं मरेगा।

हमें यह गणना करने की आवश्यकता है कि हमें एक वर्ष में कितने खरगोश मिलेंगे।

• 1 महीने की शुरुआत में हमारे पास खरगोशों का 1 जोड़ा होता है। महीने के अंत में वे संभोग करते हैं।
• दूसरा महीना - हमारे पास पहले से ही 2 जोड़े खरगोश हैं (एक जोड़े के माता-पिता हैं + 1 जोड़ा उनकी संतान है)।
• तीसरा महीना: पहला जोड़ा एक नए जोड़े को जन्म देता है, दूसरा जोड़ा संभोग करता है। कुल - 3 जोड़े खरगोश।
• चौथा महीना: पहला जोड़ा एक नए जोड़े को जन्म देता है, दूसरा जोड़ा समय बर्बाद नहीं करता है और एक नए जोड़े को भी जन्म देता है, तीसरा जोड़ा अभी भी केवल संभोग कर रहा है। कुल - खरगोशों के 5 जोड़े।

खरगोशों की संख्या एनवां महीना = पिछले महीने के खरगोशों के जोड़े की संख्या + नवजात जोड़े की संख्या (खरगोशों के जोड़े की संख्या उतनी ही है जितनी अब से 2 महीने पहले खरगोशों के जोड़े थे)। और यह सब उस सूत्र द्वारा वर्णित है जो हम पहले ही ऊपर दे चुके हैं: एफएन = एफएन-1 + एफएन-2.

इस प्रकार, हम एक आवर्ती (स्पष्टीकरण के बारे में) प्राप्त करते हैं प्रत्यावर्तन- नीचे) संख्या क्रम। जिसमें प्रत्येक अगली संख्या पिछली दो के योग के बराबर है:

1. 1 + 1 = 2
2. 2 + 1 = 3
3. 3 + 2 = 5
4. 5 + 3 = 8
5. 8 + 5 = 13
6. 13 + 8 = 21
7. 21 + 13 = 34
8. 34 + 21 = 55
9. 55 + 34 = 89
10. 89 + 55 = 144
11. 144 + 89 = 233
12. 233+ 144 = 377 <…>

आप इस क्रम को लंबे समय तक जारी रख सकते हैं: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987<…>. लेकिन चूंकि हमने एक विशिष्ट अवधि निर्धारित की है - एक वर्ष, हम 12वीं "चाल" पर प्राप्त परिणाम में रुचि रखते हैं। वे। अनुक्रम का 13वां सदस्य: 377.

समस्या का उत्तर: यदि बताई गई सभी शर्तें पूरी होती हैं तो 377 खरगोश प्राप्त किए जाएंगे।

फाइबोनैचि संख्या अनुक्रम का एक गुण बहुत दिलचस्प है। यदि आप किसी श्रृंखला से लगातार दो जोड़े लेते हैं और बड़ी संख्या को छोटी संख्या से विभाजित करते हैं, तो परिणाम धीरे-धीरे सामने आएगा सुनहरा अनुपात(आप इसके बारे में लेख में बाद में अधिक पढ़ सकते हैं)।

गणितीय शब्दों में, "रिश्तों की सीमा ए एन+1को एकस्वर्णिम अनुपात के बराबर".

अधिक संख्या सिद्धांत समस्याएं

1. एक ऐसी संख्या खोजें जिसे 7 से विभाजित किया जा सके। साथ ही, यदि आप इसे 2, 3, 4, 5, 6 से विभाजित करते हैं, तो शेषफल एक होगा।
2. वर्ग संख्या ज्ञात कीजिये. इसके बारे में यह ज्ञात है कि यदि आप इसमें 5 जोड़ते हैं या 5 घटाते हैं, तो आपको फिर से एक वर्ग संख्या प्राप्त होती है।

हमारा सुझाव है कि आप इन समस्याओं के उत्तर स्वयं खोजें। आप इस लेख की टिप्पणियों में हमें अपने विकल्प छोड़ सकते हैं। और फिर हम आपको बताएंगे कि क्या आपकी गणना सही थी।

प्रत्यावर्तन की व्याख्या

प्रत्यावर्तन- किसी वस्तु या प्रक्रिया की परिभाषा, विवरण, छवि जिसमें यह वस्तु या प्रक्रिया स्वयं शामिल हो। अर्थात, संक्षेप में, कोई वस्तु या प्रक्रिया स्वयं का एक हिस्सा है।

गणित और कंप्यूटर विज्ञान और यहां तक ​​कि कला और लोकप्रिय संस्कृति में भी रिकर्सन का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

फाइबोनैचि संख्याएँ पुनरावृत्ति संबंध का उपयोग करके निर्धारित की जाती हैं। संख्या के लिए n>2 n-ई संख्या बराबर है (एन - 1) + (एन - 2).

स्वर्णिम अनुपात की व्याख्या

सुनहरा अनुपात- संपूर्ण (उदाहरण के लिए, एक खंड) को ऐसे भागों में विभाजित करना जो निम्नलिखित सिद्धांत के अनुसार संबंधित हैं: बड़ा भाग छोटे से उसी प्रकार संबंधित होता है जैसे संपूर्ण मान (उदाहरण के लिए, दो खंडों का योग) होता है बड़े हिस्से को.

स्वर्णिम अनुपात का पहला उल्लेख यूक्लिड के ग्रंथ "एलिमेंट्स" (लगभग 300 ईसा पूर्व) में मिलता है। एक नियमित आयत के निर्माण के संदर्भ में।

हमारे लिए परिचित यह शब्द 1835 में जर्मन गणितज्ञ मार्टिन ओम द्वारा प्रचलन में लाया गया था।

यदि हम स्वर्णिम अनुपात का लगभग वर्णन करें, तो यह दो असमान भागों में आनुपातिक विभाजन का प्रतिनिधित्व करता है: लगभग 62% और 38%। संख्यात्मक दृष्टि से स्वर्णिम अनुपात वह संख्या है 1,6180339887 .

सुनहरा अनुपात ललित कला (लियोनार्डो दा विंची और अन्य पुनर्जागरण चित्रकारों द्वारा पेंटिंग), वास्तुकला, सिनेमा (एस. एसेनस्टीन द्वारा "बैटलशिप पोटेमकिन") और अन्य क्षेत्रों में व्यावहारिक अनुप्रयोग पाता है। लंबे समय से यह माना जाता था कि स्वर्णिम अनुपात सबसे सौंदर्यपूर्ण अनुपात है। यह राय आज भी लोकप्रिय है. हालाँकि, शोध के परिणामों के अनुसार, दृष्टिगत रूप से अधिकांश लोग इस अनुपात को सबसे सफल विकल्प नहीं मानते हैं और इसे बहुत लम्बा (अनुपातहीन) मानते हैं।

• अनुभाग की लंबाई साथ = 1, ए = 0,618, बी = 0,382.
• नज़रिया साथको ए = 1, 618.
• नज़रिया साथको बी = 2,618

आइए अब फाइबोनैचि संख्याओं पर वापस आते हैं। आइए इसके क्रम से लगातार दो पद लें। बड़ी संख्या को छोटी संख्या से विभाजित करें और लगभग 1.618 प्राप्त करें। और अब हम उसी बड़ी संख्या और श्रृंखला के अगले सदस्य (यानी, उससे भी बड़ी संख्या) का उपयोग करते हैं - उनका अनुपात प्रारंभिक 0.618 है।

यहाँ एक उदाहरण है: 144, 233, 377।

233/144 = 1.618 और 233/377 = 0.618

वैसे, यदि आप अनुक्रम की शुरुआत से संख्याओं के साथ एक ही प्रयोग करने का प्रयास करते हैं (उदाहरण के लिए, 2, 3, 5), तो कुछ भी काम नहीं करेगा। लगभग। अनुक्रम की शुरुआत के लिए सुनहरे अनुपात नियम का शायद ही पालन किया जाता है। लेकिन जैसे-जैसे आप श्रृंखला में आगे बढ़ते हैं और संख्याएँ बढ़ती हैं, यह बढ़िया काम करता है।

और फाइबोनैचि संख्याओं की पूरी श्रृंखला की गणना करने के लिए, अनुक्रम के तीन शब्दों को एक के बाद एक जानना पर्याप्त है। आप इसे स्वयं देख सकते हैं!

स्वर्ण आयत और फाइबोनैचि सर्पिल

फाइबोनैचि संख्याओं और सुनहरे अनुपात के बीच एक और दिलचस्प समानता तथाकथित "सुनहरा आयत" है: इसकी भुजाएँ 1.618 से 1 के अनुपात में हैं। लेकिन हम पहले से ही जानते हैं कि संख्या 1.618 क्या है, है ना?

उदाहरण के लिए, आइए फाइबोनैचि श्रृंखला के दो लगातार पद - 8 और 13 - लें और निम्नलिखित मापदंडों के साथ एक आयत बनाएं: चौड़ाई = 8, लंबाई = 13।

और फिर हम बड़े आयत को छोटे आयतों में विभाजित करेंगे। अनिवार्य शर्त: आयतों की भुजाओं की लंबाई फाइबोनैचि संख्याओं के अनुरूप होनी चाहिए। वे। बड़े आयत की भुजा की लंबाई दो छोटे आयतों की भुजाओं के योग के बराबर होनी चाहिए।

जिस तरह से यह इस चित्र में किया गया है (सुविधा के लिए, आंकड़े लैटिन अक्षरों में हस्ताक्षरित हैं)।

वैसे, आप आयतों को उल्टे क्रम में बना सकते हैं। वे। 1 भुजा वाले वर्गों के साथ निर्माण शुरू करें। ऊपर बताए गए सिद्धांत द्वारा निर्देशित, भुजाओं वाली आकृतियाँ पूरी की जाती हैं, समान संख्याफाइबोनैचि. सैद्धांतिक रूप से, इसे अनिश्चित काल तक जारी रखा जा सकता है - आखिरकार, फाइबोनैचि श्रृंखला औपचारिक रूप से अनंत है।

यदि हम चित्र में प्राप्त आयतों के कोनों को एक चिकनी रेखा से जोड़ते हैं, तो हमें एक लघुगणकीय सर्पिल प्राप्त होता है। या यों कहें, इसका विशेष मामला फाइबोनैचि सर्पिल है। इसकी विशेषता, विशेष रूप से, इस तथ्य से है कि इसकी कोई सीमा नहीं है और यह आकार नहीं बदलता है।

एक समान सर्पिल अक्सर प्रकृति में पाया जाता है। क्लैम शैल सबसे आकर्षक उदाहरणों में से एक हैं। इसके अलावा, कुछ आकाशगंगाएँ जिन्हें पृथ्वी से देखा जा सकता है उनका आकार सर्पिल है। यदि आप टीवी पर मौसम के पूर्वानुमानों पर ध्यान देते हैं, तो आपने देखा होगा कि उपग्रहों से ली गई तस्वीरों में चक्रवातों का आकार एक समान सर्पिल होता है।

यह उत्सुक है कि डीएनए हेलिक्स भी सुनहरे खंड के नियम का पालन करता है - इसके मोड़ के अंतराल में संबंधित पैटर्न देखा जा सकता है।

इस तरह के अद्भुत "संयोग" दिमाग को उत्तेजित नहीं कर सकते हैं और कुछ एकल एल्गोरिदम के बारे में बात करने का मौका देते हैं, जिसका ब्रह्मांड के जीवन में सभी घटनाएं पालन करती हैं। अब क्या आप समझ गए कि इस लेख को ऐसा क्यों कहा जाता है? और कौन से दरवाजे अद्भुत दुनियागणित आपके लिए चीज़ें खोल सकता है?

प्रकृति में फाइबोनैचि संख्याएँ

फाइबोनैचि संख्याओं और सुनहरे अनुपात के बीच संबंध दिलचस्प पैटर्न का सुझाव देता है। इतना उत्सुक कि इसे खोजने का प्रयास करना आकर्षक है संख्याओं के समानफाइबोनैचि अनुक्रम प्रकृति में और ऐतिहासिक घटनाओं के दौरान भी पाए जाते हैं। और प्रकृति वास्तव में ऐसी धारणाओं को जन्म देती है। लेकिन क्या हमारे जीवन की हर चीज़ को गणित का उपयोग करके समझाया और वर्णित किया जा सकता है?

जीवित चीजों के उदाहरण जिन्हें फाइबोनैचि अनुक्रम का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है:

• पौधों में पत्तियों (और शाखाओं) की व्यवस्था - उनके बीच की दूरियाँ फाइबोनैचि संख्या (फाइलोटैक्सिस) से संबंधित होती हैं;

• सूरजमुखी के बीजों की व्यवस्था (बीजों को घुमावदार सर्पिलों की दो पंक्तियों में व्यवस्थित किया जाता है अलग-अलग दिशाएँ: एक पंक्ति दक्षिणावर्त, दूसरी वामावर्त);

• पाइन शंकु तराजू की व्यवस्था;
• फूलों की पंखुड़ियों;
• अनानास कोशिकाएं;
• उंगलियों के फालेंजों की लंबाई का अनुपात मानव हाथ(लगभग) आदि।

कॉम्बिनेटरिक्स समस्याएं

कॉम्बिनेटरिक्स समस्याओं को हल करने में फाइबोनैचि संख्याओं का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

साहचर्यगणित की एक शाखा है जो निर्दिष्ट सेट, गणना आदि से तत्वों की एक निश्चित संख्या के चयन का अध्ययन करती है।

आइए स्तर के लिए डिज़ाइन की गई कॉम्बिनेटरिक्स समस्याओं के उदाहरण देखें हाई स्कूल(स्रोत - http://www.problems.ru/)।

कार्य 1:

लेशा 10 सीढ़ियाँ चढ़ती है। एक समय में वह या तो एक कदम या दो कदम ऊपर कूदता है। लेसा कितने तरीकों से सीढ़ियाँ चढ़ सकती है?

लेसा कितने तरीकों से सीढ़ियाँ चढ़ सकती है एनचरण, आइए निरूपित करें और n।यह इस प्रकार है कि एक 1 = 1, एक 2= 2 (आखिरकार, लेशा एक या दो कदम कूदती है)।

इस बात पर भी सहमति है कि लेशा सीढ़ियों से ऊपर कूदती है n> 2 कदम। मान लीजिए कि उसने पहली बार दो कदम छलांग लगाई। इसका मतलब है, समस्या की स्थितियों के अनुसार, उसे एक और छलांग लगाने की जरूरत है एन - 2कदम। फिर चढ़ाई पूरी करने के तरीकों की संख्या इस प्रकार बताई गई है एक एन-2. और अगर हम मान लें कि पहली बार लेशा ने केवल एक कदम छलांग लगाई, तो हम चढ़ाई पूरी करने के तरीकों की संख्या का वर्णन इस प्रकार करते हैं ए एन–1.

यहाँ से हमें निम्नलिखित समानता प्राप्त होती है: a n = a n–1 + a n–2(परिचित लगता है, है ना?)।

चूँकि हम जानते हैं एक 1और एक 2और याद रखें कि समस्या की स्थितियों के अनुसार 10 चरण हैं, क्रम से सभी की गणना करें और n: एक 3 = 3, एक 4 = 5, एक 5 = 8, एक 6 = 13, एक 7 = 21, एक 8 = 34, एक 9 = 55, एक 10 = 89.

उत्तर: 89 तरीके.

कार्य #2:

आपको 10 अक्षर लंबे शब्दों की संख्या ज्ञात करनी होगी जिसमें केवल "ए" और "बी" अक्षर शामिल हों और एक पंक्ति में दो अक्षर "बी" न हों।

आइए निरूपित करें एकशब्दों की लंबाई की संख्या एनवे अक्षर जिनमें केवल "ए" और "बी" अक्षर शामिल हैं और एक पंक्ति में दो अक्षर "बी" नहीं हैं। मतलब, एक 1= 2, एक 2= 3.

अनुक्रम में एक 1, एक 2, <…>, एकहम इसके प्रत्येक अगले सदस्य को पिछले सदस्यों के माध्यम से व्यक्त करेंगे। अत: लंबाई के शब्दों की संख्या है एनवे अक्षर जिनमें दोहरा अक्षर "बी" नहीं है और वे "ए" अक्षर से शुरू होते हैं ए एन–1. और यदि शब्द लम्बा है एनअक्षर "बी" अक्षर से शुरू होते हैं, यह तर्कसंगत है कि ऐसे शब्द में अगला अक्षर "ए" है (आखिरकार, समस्या की शर्तों के अनुसार दो "बी" नहीं हो सकते हैं)। अत: लंबाई के शब्दों की संख्या है एनइस मामले में हम अक्षरों को इस प्रकार निरूपित करते हैं एक एन-2. पहले और दूसरे दोनों मामलों में, कोई भी शब्द (लंबाई) एन - 1और एन - 2अक्षर क्रमशः) डबल "बी" के बिना।

हम इसका औचित्य सिद्ध करने में सक्षम थे a n = a n–1 + a n–2.

आइए अब गणना करें एक 3= एक 2+ एक 1= 3 + 2 = 5, एक 4= एक 3+ एक 2= 5 + 3 = 8, <…>, एक 10= एक 9+ एक 8= 144. और हमें परिचित फाइबोनैचि अनुक्रम मिलता है।

उत्तर: 144.

कार्य #3:

कल्पना कीजिए कि एक टेप कोशिकाओं में विभाजित है। यह दाईं ओर जाता है और अनिश्चित काल तक रहता है। टेप के पहले वर्ग पर एक टिड्डा रखें। वह टेप के किसी भी सेल पर हो, वह केवल दाईं ओर जा सकता है: या तो एक सेल, या दो। ऐसे कितने तरीके हैं जिनसे एक टिड्डा टेप की शुरुआत से छलांग लगा सकता है? एन-वें कोशिकाएं?

आइए हम बेल्ट के साथ टिड्डे को स्थानांतरित करने के तरीकों की संख्या बताएं एन-वें कोशिकाएं पसंद करती हैं एक. इस मामले में एक 1 = एक 2= 1. में भी एन+1टिड्डा -th कोशिका में से किसी एक में प्रवेश कर सकता है एन-वें सेल, या उसके ऊपर से कूदकर। यहाँ से ए एन + 1 = ए एन - 1 + एक. कहाँ एक = एफएन - 1.

उत्तर: एफएन - 1.

आप स्वयं ऐसी ही समस्याएँ बना सकते हैं और अपने सहपाठियों के साथ गणित के पाठों में उन्हें हल करने का प्रयास कर सकते हैं।

लोकप्रिय संस्कृति में फाइबोनैचि संख्याएँ

बेशक, फाइबोनैचि संख्या जैसी असामान्य घटना ध्यान आकर्षित करने के अलावा कुछ नहीं कर सकती। इस कड़ाई से सत्यापित पैटर्न में अभी भी कुछ आकर्षक और रहस्यमय भी है। यह आश्चर्य की बात नहीं है कि विभिन्न शैलियों की आधुनिक लोकप्रिय संस्कृति के कई कार्यों में फाइबोनैचि अनुक्रम किसी तरह "प्रज्ज्वलित" हुआ है।

हम आपको उनमें से कुछ के बारे में बताएंगे। और आप फिर से अपने आप को खोजने की कोशिश करते हैं। यदि आपको यह मिल जाए, तो इसे टिप्पणियों में हमारे साथ साझा करें - हम भी उत्सुक हैं!

• डैन ब्राउन के बेस्टसेलर द दा विंची कोड में फाइबोनैचि संख्याओं का उल्लेख किया गया है: फाइबोनैचि अनुक्रम पुस्तक के मुख्य पात्रों द्वारा तिजोरी खोलने के लिए उपयोग किए जाने वाले कोड के रूप में कार्य करता है।
• 2009 की अमेरिकी फिल्म मिस्टर नोबडी में, एक एपिसोड में एक घर का पता फाइबोनैचि अनुक्रम - 12358 का हिस्सा है। इसके अलावा, एक अन्य एपिसोड में मुख्य चरित्रएक फ़ोन नंबर पर कॉल करना होगा, जो मूलतः वही है, लेकिन थोड़ा विकृत है (5 के बाद अतिरिक्त अंक) क्रम: 123-581-1321।
• 2012 की श्रृंखला "कनेक्शन" में, मुख्य पात्र, ऑटिज्म से पीड़ित एक लड़का, दुनिया में होने वाली घटनाओं के पैटर्न को समझने में सक्षम है। फाइबोनैचि संख्याओं सहित। और इन घटनाओं को संख्याओं के माध्यम से भी प्रबंधित करें।
• मोबाइल फोन के लिए जावा गेम डूम आरपीजी के डेवलपर्स ने एक स्तर पर एक गुप्त दरवाजा रखा। इसे खोलने वाला कोड फाइबोनैचि अनुक्रम है।
• 2012 में, रूसी रॉक बैंड स्प्लिन ने कॉन्सेप्ट एल्बम "ऑप्टिकल डिसेप्शन" जारी किया। आठवें ट्रैक को "फाइबोनैचि" कहा जाता है। समूह के नेता अलेक्जेंडर वासिलिव के छंद फाइबोनैचि संख्याओं के अनुक्रम पर चलते हैं। लगातार नौ पदों में से प्रत्येक के लिए पंक्तियों की एक समान संख्या होती है (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21):

0 ट्रेन चल पड़ी

1 एक जोड़ टूट गया

1 एक आस्तीन कांपने लगी

2 बस, सामान ले लो

बस, सामान ले लो

3 उबलते पानी के लिए अनुरोध

ट्रेन नदी की ओर जाती है

ट्रेन टैगा से होकर गुजरती है<…>.

• लिमरिक ( छोटी कविताएक निश्चित रूप - आम तौर पर पाँच पंक्तियाँ, एक निश्चित छंद योजना के साथ, सामग्री में हास्यपूर्ण, जिसमें पहली और आखिरी पंक्तियाँ दोहराई जाती हैं या आंशिक रूप से एक दूसरे की नकल करती हैं) जेम्स लिंडन एक हास्य रूपक के रूप में फाइबोनैचि अनुक्रम के संदर्भ का भी उपयोग करते हैं:

फाइबोनैचि की पत्नियों का घना भोजन

ये सिर्फ उनके फायदे के लिए था, और कुछ नहीं.

अफवाह के अनुसार, पत्नियों ने वजन किया,

प्रत्येक पिछले दो की तरह है.

आइए इसे संक्षेप में बताएं

हमें उम्मीद है कि आज हम आपको बहुत सी रोचक और उपयोगी बातें बताने में सफल रहे। उदाहरण के लिए, अब आप अपने आस-पास की प्रकृति में फाइबोनैचि सर्पिल की तलाश कर सकते हैं। शायद आप ही वह व्यक्ति होंगे जो "जीवन, ब्रह्मांड और सामान्य रूप से रहस्य" को जानने में सक्षम होंगे।

कॉम्बिनेटरिक्स समस्याओं को हल करते समय फाइबोनैचि संख्याओं के सूत्र का उपयोग करें। आप इस आलेख में वर्णित उदाहरणों पर भरोसा कर सकते हैं।

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कार्य का पाठ छवियों और सूत्रों के बिना पोस्ट किया गया है।
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परिचय

गणित का सर्वोच्च उद्देश्य हमारे चारों ओर फैली अराजकता में छिपी हुई व्यवस्था को खोजना है।

विनर एन.

एक व्यक्ति जीवन भर ज्ञान के लिए प्रयास करता है, अपने आसपास की दुनिया का अध्ययन करने का प्रयास करता है। और अवलोकन की प्रक्रिया में, ऐसे प्रश्न उठते हैं जिनके उत्तर की आवश्यकता होती है। उत्तर तो मिल जाते हैं, लेकिन नये प्रश्न खड़े हो जाते हैं। पुरातात्विक खोजों में, सभ्यता के निशानों में, समय और स्थान में एक दूसरे से दूर, एक ही तत्व पाया जाता है - एक सर्पिल के रूप में एक पैटर्न। कुछ लोग इसे सूर्य का प्रतीक मानते हैं और इसे पौराणिक अटलांटिस से जोड़ते हैं, लेकिन इसका सही अर्थ अज्ञात है। आकाशगंगा का आकार क्या होता है और वायुमंडलीय चक्रवात, सूरजमुखी में तने पर पत्तियों और बीजों की व्यवस्था? ये पैटर्न तथाकथित "गोल्डन" सर्पिल में आते हैं, जो 13वीं शताब्दी के महान इतालवी गणितज्ञ द्वारा खोजा गया अद्भुत फाइबोनैचि अनुक्रम है।

फाइबोनैचि संख्याओं का इतिहास

फाइबोनैचि संख्याएँ क्या होती हैं, इसके बारे में मैंने पहली बार एक गणित शिक्षक से सुना। लेकिन, इसके अलावा, मुझे नहीं पता था कि इन संख्याओं का क्रम एक साथ कैसे आया। यह क्रम वास्तव में इसी लिए प्रसिद्ध है, यह किसी व्यक्ति को कैसे प्रभावित करता है, मैं आपको बताना चाहता हूं। लियोनार्डो फाइबोनैचि के बारे में बहुत कम जानकारी है। उनके जन्म की कोई सटीक तारीख भी नहीं है. ज्ञातव्य है कि उनका जन्म 1170 ई. में इटली के पीसा शहर में एक व्यापारी परिवार में हुआ था। फिबोनाची के पिता व्यापार मामलों पर अक्सर अल्जीरिया जाते थे और लियोनार्डो ने वहां अरब शिक्षकों के साथ गणित का अध्ययन किया। इसके बाद उन्होंने कई लेख लिखे गणितीय कार्य, जिनमें से सबसे प्रसिद्ध "अबेकस की पुस्तक" है, जिसमें उस समय की लगभग सभी अंकगणितीय और बीजगणितीय जानकारी शामिल है। 2

फाइबोनैचि संख्याएँ संख्याओं का एक क्रम है जिनमें कई गुण होते हैं। फाइबोनैचि ने इस संख्या अनुक्रम की खोज दुर्घटनावश की थी जब वह 1202 में खरगोशों के बारे में एक व्यावहारिक समस्या को हल करने की कोशिश कर रहा था। “किसी ने यह पता लगाने के लिए कि साल भर में खरगोशों के कितने जोड़े पैदा होंगे, यदि खरगोशों की प्रकृति ऐसी है कि एक महीने के बाद एक जोड़ा एक निश्चित स्थान पर, चारों तरफ से एक दीवार से घिरा हुआ, खरगोशों का एक जोड़ा रख दिया। खरगोश दूसरे जोड़े को जन्म देते हैं, और खरगोश आपके जन्म के बाद दूसरे महीने से बच्चे को जन्म देते हैं।" समस्या को हल करते समय, उन्होंने इस बात को ध्यान में रखा कि खरगोशों का प्रत्येक जोड़ा अपने पूरे जीवन में दो और जोड़ों को जन्म देता है, और फिर मर जाता है। इस प्रकार संख्याओं का क्रम प्रकट हुआ: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... इस क्रम में, प्रत्येक अगली संख्या दो पिछली संख्याओं के योग के बराबर है। इसे फाइबोनैचि अनुक्रम कहा गया। अनुक्रम के गणितीय गुण

मैं इस क्रम का पता लगाना चाहता था और मुझे इसके कुछ गुणों का पता चला। इस पैटर्न का बहुत महत्व है. अनुक्रम धीरे-धीरे लगभग 1.618 के एक निश्चित स्थिर अनुपात के करीब पहुंच रहा है, और किसी भी संख्या का अगली संख्या से अनुपात लगभग 0.618 है।

आप फाइबोनैचि संख्याओं के कई दिलचस्प गुणों को देख सकते हैं: दो पड़ोसी संख्याएँ अपेक्षाकृत अभाज्य हैं; प्रत्येक तीसरी संख्या सम है; प्रत्येक पंद्रहवाँ भाग शून्य पर समाप्त होता है; प्रत्येक चौथा तीन का गुणज है। यदि आप फाइबोनैचि अनुक्रम से कोई 10 आसन्न संख्याएँ चुनते हैं और उन्हें एक साथ जोड़ते हैं, तो आपको हमेशा एक संख्या मिलेगी जो 11 का गुणज है। लेकिन यह सब नहीं है। प्रत्येक योग दिए गए अनुक्रम के सातवें पद से गुणा की गई संख्या 11 के बराबर है। यहाँ एक और दिलचस्प विशेषता है. किसी भी n के लिए, अनुक्रम के पहले n पदों का योग हमेशा अनुक्रम के (n+ 2)वें और पहले पदों के बीच के अंतर के बराबर होगा। इस तथ्य को सूत्र द्वारा व्यक्त किया जा सकता है: 1+1+2+3+5+…+an=a n+2 - 1. अब हमारे पास निम्नलिखित युक्ति है: सभी पदों का योग ज्ञात करने के लिए

दो दिए गए पदों के बीच अनुक्रम, यह संगत (n+2)-x पदों का अंतर ज्ञात करने के लिए पर्याप्त है। उदाहरण के लिए, a 26 +…+a 40 = a 42 - a 27. आइए अब फाइबोनैचि, पाइथागोरस और "सुनहरा अनुपात" के बीच संबंध देखें। मानव जाति की गणितीय प्रतिभा का सबसे प्रसिद्ध प्रमाण पाइथागोरस प्रमेय है: किसी भी समकोण त्रिभुज में, कर्ण का वर्ग उसके पैरों के वर्गों के योग के बराबर होता है: c 2 =b 2 +a 2. ज्यामितीय दृष्टिकोण से, हम एक समकोण त्रिभुज की सभी भुजाओं को उन पर बने तीन वर्गों की भुजाओं के रूप में मान सकते हैं। पाइथागोरस प्रमेय बताता है कि एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं पर बने वर्गों का कुल क्षेत्रफल कर्ण पर बने वर्ग के क्षेत्रफल के बराबर होता है। यदि किसी समकोण त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई पूर्णांक हैं, तो वे तीन संख्याओं का एक समूह बनाते हैं जिन्हें पाइथागोरस त्रिक कहा जाता है। फाइबोनैचि अनुक्रम का उपयोग करके आप ऐसे त्रिक पा सकते हैं। आइए अनुक्रम से कोई चार लगातार संख्याएँ लें, उदाहरण के लिए, 2, 3, 5 और 8, और तीन और संख्याएँ इस प्रकार बनाएँ: 1) दो चरम संख्याओं का गुणनफल: 2*8=16; 2) दोहरा गुणनफल बीच की दो संख्याओं का: 2* (3*5)=30;3) दो औसत संख्याओं के वर्गों का योग: 3 2 +5 2 =34; 34 2 =30 2 +16 2. यह विधि किन्हीं चार लगातार फाइबोनैचि संख्याओं के लिए काम करती है। फाइबोनैचि श्रृंखला में कोई भी तीन लगातार संख्याएँ पूर्वानुमानित तरीके से व्यवहार करती हैं। यदि आप दो चरम संख्याओं को गुणा करते हैं और परिणाम की तुलना औसत संख्या के वर्ग से करते हैं, तो परिणाम हमेशा एक से भिन्न होगा। उदाहरण के लिए, संख्या 5, 8 और 13 के लिए हमें मिलता है: 5*13=8 2 +1। अगर आप इस संपत्ति को ज्यामितीय दृष्टिकोण से देखेंगे तो आपको कुछ अजीब नजर आएगा। वर्ग को विभाजित करें

8x8 आकार में (कुल 64 छोटे वर्ग) चार भागों में, भुजाओं की लंबाई फाइबोनैचि संख्याओं के बराबर। अब इन भागों से हम 5x13 माप का एक आयत बनाएंगे। इसका क्षेत्रफल 65 छोटे वर्ग है। अतिरिक्त वर्ग कहाँ से आता है? बात यह है कि एक आदर्श आयत नहीं बनता है, लेकिन छोटे-छोटे अंतराल रह जाते हैं, जो कुल मिलाकर क्षेत्रफल की यह अतिरिक्त इकाई देते हैं। पास्कल त्रिभुज का संबंध फाइबोनैचि अनुक्रम से भी है। आपको बस पास्कल के त्रिभुज की पंक्तियों को एक के नीचे एक लिखना है, और फिर तत्वों को तिरछे जोड़ना है। परिणाम फाइबोनैचि अनुक्रम है।

अब एक सुनहरे आयत पर विचार करें, जिसकी एक भुजा दूसरी से 1.618 गुना लंबी है। पहली नज़र में यह हमें एक साधारण आयत जैसा लग सकता है। हालाँकि, आइए दो साधारण बैंक कार्डों के साथ एक सरल प्रयोग करें। आइए उनमें से एक को क्षैतिज रूप से और दूसरे को लंबवत रखें ताकि उनकी निचली भुजाएँ एक ही रेखा पर हों। यदि हम क्षैतिज मानचित्र में एक विकर्ण रेखा खींचते हैं और उसे बढ़ाते हैं, तो हम देखेंगे कि वह ऊर्ध्वाधर मानचित्र के ठीक ऊपरी दाएं कोने से होकर गुजरेगी - एक सुखद आश्चर्य। शायद यह एक दुर्घटना है, या हो सकता है कि ये आयतें और अन्य ज्यामितीय आकृतियाँ जो "सुनहरा अनुपात" का उपयोग करती हैं, विशेष रूप से आंखों को भाती हैं। क्या लियोनार्डो दा विंची ने अपनी उत्कृष्ट कृति पर काम करते समय सुनहरे अनुपात के बारे में सोचा था? यह असंभावित लगता है. हालाँकि, यह तर्क दिया जा सकता है कि उन्होंने सौंदर्यशास्त्र और गणित के बीच संबंध को बहुत महत्व दिया।

प्रकृति में फाइबोनैचि संख्याएँ

सुनहरे अनुपात का सुंदरता से संबंध केवल मानवीय धारणा का विषय नहीं है। ऐसा लगता है कि प्रकृति ने स्वयं एफ को एक विशेष भूमिका आवंटित की है। यदि आप वर्गों को क्रमिक रूप से एक "सुनहरे" आयत में अंकित करते हैं, फिर प्रत्येक वर्ग में एक चाप खींचते हैं, तो आपको एक सुंदर वक्र मिलेगा जिसे लघुगणकीय सर्पिल कहा जाता है। यह बिल्कुल भी गणितीय जिज्ञासा नहीं है। 5

इसके विपरीत, यह उल्लेखनीय पंक्ति अक्सर पाई जाती है भौतिक दुनिया: नॉटिलस के खोल से लेकर आकाशगंगाओं की भुजाओं तक, और खिलते गुलाब की पंखुड़ियों के सुंदर सर्पिल में। सुनहरे अनुपात और फाइबोनैचि संख्याओं के बीच संबंध असंख्य और आश्चर्यजनक हैं। आइए एक ऐसे फूल पर विचार करें जो गुलाब से बहुत अलग दिखता है - बीज वाला सूरजमुखी। पहली चीज़ जो हम देखते हैं वह यह है कि बीज दो प्रकार के सर्पिलों में व्यवस्थित होते हैं: दक्षिणावर्त और वामावर्त। यदि हम दक्षिणावर्त सर्पिलों की गिनती करते हैं, तो हमें दो सामान्य संख्याएँ मिलती हैं: 21 और 34। यह एकमात्र उदाहरण नहीं है जहाँ फाइबोनैचि संख्याएँ पौधों की संरचना में पाई जा सकती हैं।

प्रकृति हमें फाइबोनैचि संख्याओं द्वारा वर्णित सजातीय वस्तुओं की व्यवस्था के कई उदाहरण देती है। छोटे पौधों के हिस्सों की विभिन्न सर्पिल व्यवस्था में, सर्पिल के दो परिवारों को आमतौर पर देखा जा सकता है। इनमें से एक परिवार में सर्पिल दक्षिणावर्त दिशा में मुड़ते हैं, जबकि दूसरे में वे वामावर्त दिशा में मुड़ते हैं। एक और दूसरे प्रकार के सर्पिलों की संख्याएँ अक्सर आसन्न फाइबोनैचि संख्याएँ बन जाती हैं। इसलिए, एक युवा पाइन टहनी लेते हुए, यह नोटिस करना आसान है कि सुइयां दो सर्पिल बनाती हैं, जो नीचे बाईं ओर से ऊपर दाईं ओर जाती हैं। कई शंकुओं पर, बीज तीन सर्पिलों में व्यवस्थित होते हैं, धीरे से शंकु के तने के चारों ओर घूमते हैं। वे पांच सर्पिलों में स्थित हैं, विपरीत दिशा में तेजी से घुमावदार हैं। बड़े शंकुओं में 5 और 8, और यहां तक ​​कि 8 और 13 सर्पिलों का निरीक्षण करना संभव है। अनानास पर फाइबोनैचि सर्पिल भी स्पष्ट रूप से दिखाई देते हैं: आमतौर पर उनमें से 8 और 13 होते हैं।

चिकोरी शूट अंतरिक्ष में एक मजबूत इजेक्शन बनाता है, रुकता है, एक पत्ती छोड़ता है, लेकिन यह समय पहले की तुलना में कम होता है, फिर से अंतरिक्ष में इजेक्शन करता है, लेकिन कम बल के साथ, और भी छोटे आकार की एक पत्ती छोड़ता है और फिर से बाहर निकल जाता है . इसके विकास के आवेग धीरे-धीरे "सुनहरे" खंड के अनुपात में कम हो जाते हैं। फाइबोनैचि संख्याओं की विशाल भूमिका की सराहना करने के लिए, आपको बस हमारे आस-पास की प्रकृति की सुंदरता को देखने की जरूरत है। फाइबोनैचि संख्याएँ मात्राओं में पाई जा सकती हैं

प्रत्येक बढ़ते पौधे के तने पर और पंखुड़ियों की संख्या में शाखाएँ।

आइए कुछ फूलों की पंखुड़ियाँ गिनें - 3 पंखुड़ियों वाला आईरिस, 5 पंखुड़ियों वाला प्रिमरोज़, 13 पंखुड़ियों वाला रैगवीड, 34 पंखुड़ियों वाला कॉर्नफ्लावर, 55 पंखुड़ियों वाला एस्टर, आदि। क्या यह संयोग है, या प्रकृति का नियम है? यारो के तने और फूलों को देखें। इस प्रकार, कुल फाइबोनैचि अनुक्रम प्रकृति में पाए जाने वाले "गोल्डन" संख्याओं की अभिव्यक्ति के पैटर्न की आसानी से व्याख्या कर सकता है। ये कानून हमारी चेतना और उन्हें स्वीकार करने या न मानने की इच्छा की परवाह किए बिना काम करते हैं। "सुनहरे" समरूपता के पैटर्न प्राथमिक कणों के ऊर्जा संक्रमण में, कुछ रासायनिक यौगिकों की संरचना में, ग्रहों और ब्रह्मांडीय प्रणालियों में, जीवित जीवों की जीन संरचनाओं में, व्यक्तिगत मानव अंगों और शरीर की संरचना में प्रकट होते हैं। संपूर्ण, और स्वयं को मस्तिष्क की बायोरिदम और कार्यप्रणाली और दृश्य धारणा में भी प्रकट करते हैं।

वास्तुकला में फाइबोनैचि संख्याएँ

"गोल्डन रेशियो" पूरे मानव इतिहास में कई उल्लेखनीय वास्तुशिल्प कृतियों में भी स्पष्ट है। यह पता चलता है कि प्राचीन यूनानी और प्राचीन मिस्र के गणितज्ञ इन गुणांकों को फाइबोनैचि से बहुत पहले से जानते थे और उन्हें "सुनहरा अनुपात" कहते थे। यूनानियों ने पार्थेनन के निर्माण में "सुनहरा अनुपात" के सिद्धांत का उपयोग किया, और मिस्रवासियों ने गीज़ा के महान पिरामिड का उपयोग किया। निर्माण प्रौद्योगिकी में प्रगति और नई सामग्रियों के विकास ने बीसवीं सदी के वास्तुकारों के लिए नए अवसर खोले। अमेरिकी फ्रैंक लॉयड राइट जैविक वास्तुकला के मुख्य समर्थकों में से एक थे। अपनी मृत्यु से कुछ समय पहले, उन्होंने न्यूयॉर्क में सोलोमन गुगेनहेम संग्रहालय को डिजाइन किया, जो एक उलटा सर्पिल है, और संग्रहालय का आंतरिक भाग नॉटिलस शेल जैसा दिखता है। पोलिश-इज़राइली वास्तुकार ज़वी हेकर ने बर्लिन में हेंज गैलिंस्की स्कूल के लिए अपने डिजाइन में सर्पिल संरचनाओं का भी उपयोग किया, जो 1995 में पूरा हुआ। हेकर ने एक केंद्रीय वृत्त वाले सूरजमुखी के विचार से शुरुआत की, कहाँ से

सभी वास्तुशिल्प तत्व भिन्न हो रहे हैं। इमारत एक संयोजन है

ऑर्थोगोनल और संकेंद्रित सर्पिल, सीमित मानव ज्ञान और प्रकृति की नियंत्रित अराजकता की परस्पर क्रिया का प्रतीक हैं। इसकी वास्तुकला एक पौधे की नकल करती है जो सूर्य की गति का अनुसरण करता है, इसलिए कक्षाएं पूरे दिन रोशन रहती हैं।

कैम्ब्रिज, मैसाचुसेट्स (यूएसए) में स्थित क्विंसी पार्क में, "सुनहरा" सर्पिल अक्सर पाया जा सकता है। पार्क को 1997 में कलाकार डेविड फिलिप्स द्वारा डिजाइन किया गया था और यह क्ले गणितीय संस्थान के पास स्थित है। यह प्रतिष्ठान एक प्रसिद्ध केन्द्र है गणितीय अनुसंधान. क्विंसी पार्क में, आप "सुनहरे" सर्पिलों और धातु के वक्रों, दो सीपियों की राहत और वर्गमूल प्रतीक वाली एक चट्टान के बीच टहल सकते हैं। चिन्ह में "सुनहरा" अनुपात के बारे में जानकारी होती है। यहां तक ​​कि साइकिल पार्किंग में भी F चिन्ह का उपयोग किया जाता है।

मनोविज्ञान में फाइबोनैचि संख्याएँ

मनोविज्ञान में उल्लेख किया गया है नए मोड़, संकट, क्रांतियाँ जो किसी व्यक्ति के जीवन पथ में आत्मा की संरचना और कार्यों में परिवर्तन को चिह्नित करती हैं। यदि कोई व्यक्ति इन संकटों पर सफलतापूर्वक विजय प्राप्त कर लेता है तो वह एक नये वर्ग की समस्याओं का समाधान करने में सक्षम हो जाता है जिसके बारे में उसने पहले कभी सोचा भी नहीं था।

मूलभूत परिवर्तनों की उपस्थिति जीवन काल को आध्यात्मिक गुणों के विकास में एक निर्णायक कारक मानने का कारण देती है। आख़िरकार, प्रकृति हमारे लिए उदारतापूर्वक समय नहीं मापती है, "चाहे कितना भी हो, उतना ही होगा," लेकिन विकास प्रक्रिया को मूर्त रूप देने के लिए बस पर्याप्त है:

शारीरिक संरचनाओं में;

भावनाओं, सोच और साइकोमोटर कौशल में - जब तक वे हासिल नहीं कर लेते सद्भावतंत्र के उद्भव और प्रक्षेपण के लिए आवश्यक है

रचनात्मकता;

मानव ऊर्जा क्षमता की संरचना में।

शरीर के विकास को रोका नहीं जा सकता: बच्चा वयस्क हो जाता है। रचनात्मकता के तंत्र के साथ, सब कुछ इतना सरल नहीं है। इसके विकास को रोका जा सकता है और इसकी दिशा बदली जा सकती है.

क्या समय के साथ पकड़ने का कोई मौका है? निश्चित रूप से। लेकिन इसके लिए आपको खुद पर काफी काम करने की जरूरत है। जो स्वतंत्र रूप से विकसित होता है, स्वाभाविक रूप से, उसे विशेष प्रयासों की आवश्यकता नहीं होती है: बच्चा स्वतंत्र रूप से विकसित होता है और इस भारी काम पर ध्यान नहीं देता है, क्योंकि स्वतंत्र विकास की प्रक्रिया स्वयं के खिलाफ हिंसा के बिना बनाई जाती है।

अर्थ कैसे समझा जाता है? जीवन का रास्तारोजमर्रा की चेतना में? औसत व्यक्ति इसे इस तरह देखता है: सबसे नीचे जन्म होता है, सबसे ऊपर जीवन का चरम होता है, और फिर सब कुछ ढलान पर चला जाता है।

ऋषि कहेंगे: सब कुछ बहुत अधिक जटिल है। वह आरोहण को चरणों में विभाजित करता है: बचपन, किशोरावस्था, युवावस्था... ऐसा क्यों है? कुछ ही उत्तर देने में सक्षम हैं, हालाँकि सभी को यकीन है कि ये जीवन के बंद, अभिन्न चरण हैं।

यह जानने के लिए कि रचनात्मकता का तंत्र कैसे विकसित होता है, वी.वी. क्लिमेंको ने गणित का उपयोग किया, अर्थात् फाइबोनैचि संख्याओं के नियम और "स्वर्ण खंड" के अनुपात - प्रकृति और मानव जीवन के नियम।

फाइबोनैचि संख्याएँ हमारे जीवन को जीवित वर्षों की संख्या के अनुसार चरणों में विभाजित करती हैं: 0 - उलटी गिनती की शुरुआत - बच्चे का जन्म होता है। उसके पास अभी भी न केवल साइकोमोटर कौशल, सोच, भावनाओं, कल्पना, बल्कि परिचालन ऊर्जा क्षमता का भी अभाव है। वह एक नए जीवन, एक नए सामंजस्य की शुरुआत है;

1 - बच्चे को चलने में महारत हासिल है और वह अपने आस-पास के वातावरण में महारत हासिल कर रहा है;

2 - भाषण को समझता है और मौखिक निर्देशों का उपयोग करके कार्य करता है;

3 - शब्दों के माध्यम से कार्य करता है, प्रश्न पूछता है;

5 - "अनुग्रह का युग" - साइकोमोटर, स्मृति, कल्पना और भावनाओं का सामंजस्य, जो पहले से ही बच्चे को दुनिया को उसकी संपूर्ण अखंडता में अपनाने की अनुमति देता है;

8 - भावनाएँ सामने आती हैं। उन्हें कल्पना द्वारा परोसा जाता है, और सोच, अपनी आलोचनात्मकता के माध्यम से, जीवन की आंतरिक और बाहरी सद्भाव का समर्थन करना है;

13 - प्रतिभा का तंत्र काम करना शुरू कर देता है, जिसका उद्देश्य विरासत की प्रक्रिया में अर्जित सामग्री को बदलना, अपनी प्रतिभा को विकसित करना है;

21 - रचनात्मकता का तंत्र सद्भाव की स्थिति में पहुंच गया है और प्रतिभाशाली कार्य करने का प्रयास किया जा रहा है;

34—सोच, भावनाओं, कल्पना और साइकोमोटर कौशल का सामंजस्य: सरलता से काम करने की क्षमता पैदा होती है;

55 - इस उम्र में, आत्मा और शरीर का सामंजस्य बनाए रखने पर, एक व्यक्ति निर्माता बनने के लिए तैयार होता है। और इसी तरह…

फाइबोनैचि संख्या सेरिफ़ क्या हैं? इनकी तुलना जीवन पथ पर बने बाँधों से की जा सकती है। ये बांध हममें से प्रत्येक का इंतजार कर रहे हैं। सबसे पहले, आपको उनमें से प्रत्येक पर काबू पाने की जरूरत है, और फिर धैर्यपूर्वक अपने विकास के स्तर को तब तक बढ़ाएं जब तक कि एक दिन यह खत्म न हो जाए, जिससे मुक्त प्रवाह के लिए अगले दिन का रास्ता खुल जाए।

अब जब हम इन नोडल बिंदुओं का अर्थ समझते हैं आयु विकासआइए समझने की कोशिश करें कि यह सब कैसे होता है।

बी1 वर्षबच्चा चलने में निपुण हो जाता है। इससे पहले, उन्होंने दुनिया को अपने सिर के सामने से अनुभव किया। अब वह अपने हाथों से दुनिया को जान पाता है—एक असाधारण मानवीय विशेषाधिकार। जानवर अंतरिक्ष में घूमता है, और वह सीखकर, अंतरिक्ष पर कब्ज़ा कर लेता है और उस क्षेत्र पर कब्ज़ा कर लेता है जिसमें वह रहता है।

2 साल- शब्द को समझता है और उसके अनुसार कार्य करता है। यह मतलब है कि:

बच्चा न्यूनतम संख्या में शब्द सीखता है - अर्थ और क्रिया के तरीके;

अभी तक खुद को पर्यावरण से अलग नहीं किया है और पर्यावरण के साथ अखंडता में घुलमिल गया है,

इसलिए वह किसी और के निर्देशों के अनुसार कार्य करता है। इस उम्र में वह अपने माता-पिता के लिए सबसे आज्ञाकारी और सुखद होता है। एक बच्चा एक कामुक व्यक्ति से एक संज्ञानात्मक व्यक्ति में बदल जाता है।

3 वर्ष- अपने ही शब्द का उपयोग कर कार्रवाई। इस व्यक्ति का पर्यावरण से अलगाव पहले ही हो चुका है - और वह एक स्वतंत्र रूप से अभिनय करने वाला व्यक्ति बनना सीखता है। यहाँ से वह:

सचेत रूप से पर्यावरण और माता-पिता, शिक्षकों का विरोध करता है KINDERGARTENवगैरह।;

अपनी संप्रभुता का एहसास करता है और स्वतंत्रता के लिए लड़ता है;

करीबी और जाने-माने लोगों को अपनी इच्छा के अधीन करने की कोशिश करता है।

अब एक बच्चे के लिए शब्द ही क्रिया है। यहीं से सक्रिय व्यक्ति की शुरुआत होती है।

5 साल- "अनुग्रह का युग।" वह समरसता की प्रतिमूर्ति हैं। खेल, नृत्य, चतुर चाल - सब कुछ सद्भाव से संतृप्त है, जिसे एक व्यक्ति अपनी ताकत से हासिल करने की कोशिश करता है। सामंजस्यपूर्ण साइकोमोटर व्यवहार एक नई स्थिति लाने में मदद करता है। इसलिए, बच्चा साइकोमोटर गतिविधि पर केंद्रित है और सबसे सक्रिय कार्यों के लिए प्रयास करता है।

संवेदनशीलता कार्य के उत्पादों का भौतिकीकरण इसके माध्यम से किया जाता है:

पर्यावरण और खुद को इस दुनिया के हिस्से के रूप में प्रदर्शित करने की क्षमता (हम सुनते हैं, देखते हैं, स्पर्श करते हैं, सूंघते हैं, आदि - सभी इंद्रियां इस प्रक्रिया के लिए काम करती हैं);

डिजाइन क्षमता बाहर की दुनिया, जिसमें आप भी शामिल हैं

(दूसरी प्रकृति का निर्माण, परिकल्पना - कल यह करो और वह करो, एक नई मशीन बनाओ, एक समस्या हल करो), आलोचनात्मक सोच, भावनाओं और कल्पना की ताकतों द्वारा;

दूसरी, मानव निर्मित प्रकृति, गतिविधि के उत्पाद (योजनाओं की प्राप्ति, विशिष्ट वस्तुओं और प्रक्रियाओं के साथ विशिष्ट मानसिक या मनोदैहिक क्रियाएं) बनाने की क्षमता।

5 वर्षों के बाद, कल्पना तंत्र आगे आता है और दूसरों पर हावी होने लगता है। बच्चा जबरदस्त काम करता है, शानदार छवियां बनाता है और परियों की कहानियों और मिथकों की दुनिया में रहता है। एक बच्चे की हाइपरट्रोफाइड कल्पना वयस्कों में आश्चर्य का कारण बनती है, क्योंकि कल्पना वास्तविकता के अनुरूप नहीं होती है।

8 साल- भावनाएँ सामने आती हैं और भावनाओं के अपने मानक (संज्ञानात्मक, नैतिक, सौंदर्य) तब उत्पन्न होते हैं जब बच्चा स्पष्ट रूप से:

ज्ञात और अज्ञात का मूल्यांकन करता है;

नैतिक को अनैतिक से, नैतिक को अनैतिक से अलग करता है;

सौंदर्य उस चीज़ से जो जीवन को खतरे में डालती है, सद्भाव को अराजकता से।

13 वर्ष- रचनात्मकता का तंत्र काम करना शुरू कर देता है। लेकिन इसका मतलब ये नहीं कि ये पूरी क्षमता से काम कर रहा है. तंत्र के तत्वों में से एक सामने आता है, और अन्य सभी इसके कार्य में योगदान करते हैं। यदि विकास के इस युग में सामंजस्य कायम रखा जाए, जो लगभग लगातार अपनी संरचना का पुनर्निर्माण करता है, तो युवा बिना दर्द के अगले बांध तक पहुंच जाएगा, खुद पर ध्यान दिए बिना उसे पार कर लेगा और एक क्रांतिकारी की उम्र में जीएगा। एक क्रांतिकारी की उम्र में, एक युवा को एक नया कदम आगे बढ़ाना चाहिए: निकटतम समाज से अलग होना और उसमें रहना सामंजस्यपूर्ण जीवनऔर गतिविधियाँ। हम सबके सामने आने वाली इस समस्या का समाधान हर कोई नहीं कर सकता।

21 साल की उम्र।यदि किसी क्रांतिकारी ने जीवन के पहले सामंजस्यपूर्ण शिखर को सफलतापूर्वक पार कर लिया है, तो उसकी प्रतिभा का तंत्र प्रतिभाशाली प्रदर्शन करने में सक्षम है

काम। भावनाएँ (संज्ञानात्मक, नैतिक या सौंदर्यवादी) कभी-कभी सोच पर हावी हो जाती हैं, लेकिन सामान्य तौर पर सभी तत्व सामंजस्यपूर्ण रूप से काम करते हैं: भावनाएँ दुनिया के लिए खुली होती हैं, और तार्किक सोच इस शिखर से चीजों का नाम बताने और उनके माप खोजने में सक्षम होती है।

रचनात्मकता का तंत्र, सामान्य रूप से विकसित होकर, एक ऐसी स्थिति तक पहुंचता है जो उसे कुछ फल प्राप्त करने की अनुमति देता है। वह काम करना शुरू कर देता है. इस उम्र में भावनाओं का तंत्र सामने आता है। जैसे ही कल्पना और उसके उत्पादों का मूल्यांकन इंद्रियों और मन द्वारा किया जाता है, उनके बीच विरोध पैदा होता है। भावनाएं जीतती हैं. यह क्षमता धीरे-धीरे शक्ति प्राप्त करती है और लड़का इसका उपयोग करना शुरू कर देता है।

34 वर्ष- संतुलन और सामंजस्य, प्रतिभा की उत्पादक प्रभावशीलता। सोच, भावनाओं और कल्पना, साइकोमोटर कौशल का सामंजस्य, जो इष्टतम ऊर्जा क्षमता से भर जाता है, और समग्र रूप से तंत्र - शानदार काम करने का अवसर पैदा होता है।

55 वर्ष- एक व्यक्ति निर्माता बन सकता है. जीवन का तीसरा सामंजस्यपूर्ण शिखर: सोच भावनाओं की शक्ति को अपने वश में कर लेती है।

फाइबोनैचि संख्याएँ मानव विकास के चरणों को दर्शाती हैं। कोई व्यक्ति बिना रुके इस रास्ते से गुजरेगा या नहीं यह माता-पिता और शिक्षकों, शैक्षिक प्रणाली और फिर खुद पर और एक व्यक्ति कैसे सीखेगा और खुद पर काबू पाएगा, इस पर निर्भर करता है।

जीवन के पथ पर, एक व्यक्ति रिश्ते की 7 वस्तुओं की खोज करता है:

जन्मदिन से 2 वर्ष तक - निकटतम वातावरण की भौतिक और वस्तुनिष्ठ दुनिया की खोज।

2 से 3 साल तक - आत्म-खोज: "मैं स्वयं हूं।"

3 से 5 साल तक - भाषण, शब्दों की सक्रिय दुनिया, सद्भाव और "मैं - आप" प्रणाली।

5 से 8 साल तक - अन्य लोगों के विचारों, भावनाओं और छवियों की दुनिया की खोज - "मैं - हम" प्रणाली।

8 से 13 वर्ष तक - मानवता की प्रतिभाओं और प्रतिभाओं द्वारा हल किए गए कार्यों और समस्याओं की दुनिया की खोज - "मैं - आध्यात्मिकता" प्रणाली।

13 से 21 वर्ष तक - प्रसिद्ध समस्याओं को स्वतंत्र रूप से हल करने की क्षमता की खोज, जब विचार, भावनाएँ और कल्पना सक्रिय रूप से काम करना शुरू करते हैं, तो "आई - नोस्फीयर" प्रणाली उत्पन्न होती है।

21 से 34 वर्ष की आयु तक - सृजन करने की क्षमता की खोज नया संसारया इसके टुकड़े - आत्म-अवधारणा के बारे में जागरूकता "मैं निर्माता हूं"।

जीवन पथ में एक स्थानिक-अस्थायी संरचना होती है। इसमें उम्र और व्यक्तिगत चरण शामिल हैं, जो कई जीवन मापदंडों द्वारा निर्धारित होते हैं। एक व्यक्ति कुछ हद तक अपने जीवन की परिस्थितियों पर नियंत्रण कर लेता है, अपने इतिहास का निर्माता और समाज के इतिहास का निर्माता बन जाता है। हालाँकि, जीवन के प्रति वास्तव में रचनात्मक दृष्टिकोण तुरंत प्रकट नहीं होता है, यहाँ तक कि हर व्यक्ति में भी नहीं। जीवन पथ के चरणों के बीच आनुवंशिक संबंध होते हैं, और यह इसके प्राकृतिक चरित्र को निर्धारित करता है। इससे यह पता चलता है कि, सिद्धांत रूप में, इसके प्रारंभिक चरणों के बारे में ज्ञान के आधार पर भविष्य के विकास की भविष्यवाणी करना संभव है।

खगोल विज्ञान में फाइबोनैचि संख्याएँ

खगोल विज्ञान के इतिहास से यह ज्ञात होता है कि 18वीं शताब्दी के जर्मन खगोलशास्त्री आई. टिटियस ने फाइबोनैचि श्रृंखला का उपयोग करके सौर मंडल के ग्रहों के बीच की दूरी में एक पैटर्न और क्रम पाया। लेकिन एक मामला कानून के विपरीत प्रतीत हुआ: मंगल और बृहस्पति के बीच कोई ग्रह नहीं था। लेकिन 19वीं सदी की शुरुआत में टिटियस की मृत्यु के बाद। आकाश के इस भाग के संकेंद्रित अवलोकन से क्षुद्रग्रह बेल्ट की खोज हुई।

निष्कर्ष

शोध के दौरान मुझे पता चला कि स्टॉक कीमतों के तकनीकी विश्लेषण में फाइबोनैचि संख्याओं का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। व्यवहार में फाइबोनैचि संख्याओं का उपयोग करने के सबसे सरल तरीकों में से एक समय अंतराल निर्धारित करना है जिसके बाद एक विशेष घटना घटित होगी, उदाहरण के लिए, मूल्य परिवर्तन। विश्लेषक पिछली समान घटना से एक निश्चित संख्या में फाइबोनैचि दिनों या हफ्तों (13,21,34,55, आदि) की गणना करता है और पूर्वानुमान लगाता है। लेकिन मेरे लिए इसका पता लगाना अभी भी बहुत कठिन है। हालाँकि फिबोनाची मध्य युग के सबसे महान गणितज्ञ थे, फिबोनाची का एकमात्र स्मारक पीसा की झुकी मीनार के सामने एक मूर्ति और दो सड़कें हैं जिन पर उनका नाम है: एक पीसा में और दूसरी फ्लोरेंस में। और फिर भी, मैंने जो कुछ भी देखा और पढ़ा है, उसके संबंध में काफी स्वाभाविक प्रश्न उठते हैं। ये संख्याएँ कहाँ से आईं? ब्रह्माण्ड का वह वास्तुकार कौन है जिसने इसे आदर्श बनाने का प्रयास किया? आगे क्या होगा? एक प्रश्न का उत्तर मिल जाने के बाद, आपको अगला भी मिल जाएगा। यदि आप इसे हल करते हैं, तो आपको दो नए मिलेंगे। एक बार जब आप उनसे निपट लेंगे, तो तीन और सामने आ जायेंगे। उन्हें भी हल करने के बाद, आपके पास पाँच अनसुलझे होंगे। फिर आठ, तेरह, इत्यादि। यह मत भूलो कि दो हाथों में पाँच उंगलियाँ होती हैं, जिनमें से दो में दो फालेंज होते हैं, और आठ में तीन उंगलियाँ होती हैं।

साहित्य:

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"फाइबोनैचि संख्याएँ"। विकिपीडिया

ब्रह्मांड में अभी भी बहुत कुछ है अनसुलझे रहस्य, जिनमें से कुछ को वैज्ञानिक पहले ही पहचानने और उनका वर्णन करने में सक्षम हैं। फाइबोनैचि संख्याएं और सुनहरा अनुपात हमारे आस-पास की दुनिया को जानने, उसके स्वरूप का निर्माण करने और किसी व्यक्ति द्वारा इष्टतम दृश्य धारणा का आधार बनता है, जिसकी मदद से वह सुंदरता और सद्भाव महसूस कर सकता है।

सुनहरा अनुपात

सुनहरे अनुपात के आयामों को निर्धारित करने का सिद्धांत पूरी दुनिया और उसके हिस्सों की संरचना और कार्यों में पूर्णता को रेखांकित करता है, इसकी अभिव्यक्ति प्रकृति, कला और प्रौद्योगिकी में देखी जा सकती है। स्वर्णिम अनुपात का सिद्धांत प्राचीन वैज्ञानिकों द्वारा संख्याओं की प्रकृति पर शोध के परिणामस्वरूप स्थापित किया गया था।

यह खंडों के विभाजनों के अनुपात और अनुपात के सिद्धांत पर आधारित है, जिसे प्राचीन दार्शनिक और गणितज्ञ पाइथागोरस ने बनाया था। उन्होंने साबित किया कि जब एक खंड को दो भागों में विभाजित किया जाता है: X (छोटा) और Y (बड़ा), तो बड़े से छोटे का अनुपात उनके योग (संपूर्ण खंड) के अनुपात के बराबर होगा:

परिणाम एक समीकरण है: एक्स 2 - एक्स - 1=0,जिसे इस प्रकार हल किया गया है x=(1±√5)/2.

यदि हम अनुपात 1/x पर विचार करें, तो यह बराबर है 1,618…

प्राचीन विचारकों द्वारा स्वर्णिम अनुपात के उपयोग का प्रमाण तीसरी शताब्दी में लिखी गई यूक्लिड की पुस्तक "एलिमेंट्स" में दिया गया है। बी.सी., जिन्होंने नियमित पंचकोणों के निर्माण के लिए इस नियम को लागू किया। पाइथागोरस के बीच, यह आकृति पवित्र मानी जाती है क्योंकि यह सममित और असममित दोनों है। पेंटाग्राम जीवन और स्वास्थ्य का प्रतीक है।

फाइबोनैचि संख्याएँ

पीसा के इतालवी गणितज्ञ लियोनार्डो, जिसे बाद में फाइबोनैचि के नाम से जाना गया, की प्रसिद्ध पुस्तक लिबर अबासी 1202 में प्रकाशित हुई थी। इसमें वैज्ञानिक पहली बार संख्याओं के पैटर्न का हवाला देते हैं, जिसकी श्रृंखला में प्रत्येक संख्या का योग होता है। 2 पिछले अंक. फाइबोनैचि संख्या अनुक्रम इस प्रकार है:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, आदि।

वैज्ञानिक ने कई पैटर्न भी उद्धृत किये:

• श्रृंखला की किसी भी संख्या को अगली संख्या से विभाजित करने पर वह मान 0.618 के बराबर होगा। इसके अलावा, पहली फाइबोनैचि संख्याएँ ऐसी कोई संख्या नहीं देती हैं, लेकिन जैसे-जैसे हम अनुक्रम की शुरुआत से आगे बढ़ेंगे, यह अनुपात अधिक से अधिक सटीक होता जाएगा।
• यदि आप श्रृंखला की संख्या को पिछली संख्या से विभाजित करते हैं, तो परिणाम 1.618 हो जाएगा।
• एक संख्या को अगली संख्या से एक से विभाजित करने पर मान 0.382 दिखेगा।

सुनहरे खंड, फाइबोनैचि संख्या (0.618) के कनेक्शन और पैटर्न का अनुप्रयोग न केवल गणित में, बल्कि प्रकृति, इतिहास, वास्तुकला और निर्माण और कई अन्य विज्ञानों में भी पाया जा सकता है।

आर्किमिडीज़ सर्पिल और सुनहरा आयत

प्रकृति में बहुत सामान्य सर्पिलों का अध्ययन आर्किमिडीज़ द्वारा किया गया था, जिन्होंने इसका समीकरण भी निकाला था। सर्पिल का आकार सुनहरे अनुपात के नियमों पर आधारित है। इसे खोलते समय, एक लंबाई प्राप्त होती है जिस पर अनुपात और फाइबोनैचि संख्याएं लागू की जा सकती हैं; चरण समान रूप से बढ़ता है।

फाइबोनैचि संख्याओं और सुनहरे अनुपात के बीच समानता को एक "सुनहरा आयत" बनाकर देखा जा सकता है जिसकी भुजाएँ 1.618:1 के समानुपाती होती हैं। इसे एक बड़े आयत से छोटे आयत की ओर ले जाकर बनाया गया है ताकि भुजाओं की लंबाई श्रृंखला की संख्याओं के बराबर हो। इसे वर्ग "1" से प्रारंभ करके उल्टे क्रम में भी बनाया जा सकता है। जब इस आयत के कोनों को उनके प्रतिच्छेदन के केंद्र पर रेखाओं द्वारा जोड़ा जाता है, तो एक फाइबोनैचि या लघुगणकीय सर्पिल प्राप्त होता है।

सुनहरे अनुपात के उपयोग का इतिहास

कई प्राचीन मिस्र के स्थापत्य स्मारक सुनहरे अनुपात का उपयोग करके बनाए गए थे: प्रसिद्ध पिरामिडचेप्स और अन्य आर्किटेक्ट प्राचीन ग्रीसइनका व्यापक रूप से मंदिरों, एम्फीथिएटर और स्टेडियम जैसी वास्तुशिल्प वस्तुओं के निर्माण में उपयोग किया गया था। उदाहरण के लिए, ऐसे अनुपात का उपयोग पार्थेनन के प्राचीन मंदिर, (एथेंस) और अन्य वस्तुओं के निर्माण में किया गया था जो गणितीय पैटर्न के आधार पर सद्भाव का प्रदर्शन करते हुए प्राचीन वास्तुकला की उत्कृष्ट कृतियाँ बन गईं।

बाद की शताब्दियों में, सुनहरे अनुपात में रुचि कम हो गई और पैटर्न को भुला दिया गया, लेकिन फ्रांसिस्कन भिक्षु एल. पैसिओली डी बोर्गो की पुस्तक "द डिवाइन प्रोपोर्शन" (1509) के साथ यह पुनर्जागरण में फिर से शुरू हुआ। इसमें लियोनार्डो दा विंची के चित्र शामिल थे, जिन्होंने नया नाम "गोल्डन रेशियो" स्थापित किया था। सुनहरे अनुपात के 12 गुण वैज्ञानिक रूप से भी सिद्ध हो चुके हैं, और लेखक ने इस बारे में बात की है कि यह प्रकृति, कला में कैसे प्रकट होता है और इसे "दुनिया और प्रकृति के निर्माण का सिद्धांत" कहा जाता है।

विट्रुवियन मैन लियोनार्डो

चित्र, जिसे लियोनार्डो दा विंची ने 1492 में विट्रुवियस की पुस्तक को चित्रित करने के लिए उपयोग किया था, में 2 स्थितियों में एक मानव आकृति को दर्शाया गया है, जिसमें भुजाएँ फैली हुई हैं। आकृति एक वृत्त और एक वर्ग में अंकित है। इस चित्र को मानव शरीर (पुरुष) का विहित अनुपात माना जाता है, जिसका वर्णन लियोनार्डो ने रोमन वास्तुकार विट्रुवियस के ग्रंथों में उनके अध्ययन के आधार पर किया है।

हाथों और पैरों के अंत से समान दूरी पर शरीर का केंद्र नाभि है, हाथों की लंबाई व्यक्ति की ऊंचाई के बराबर है, कंधों की अधिकतम चौड़ाई = ऊंचाई का 1/8, छाती के शीर्ष से बालों तक की दूरी = 1/7, छाती के शीर्ष से सिर के शीर्ष तक की दूरी = 1/6 आदि।

तब से, चित्र का उपयोग मानव शरीर की आंतरिक समरूपता को दर्शाने वाले प्रतीक के रूप में किया जाता रहा है।

लियोनार्डो ने मानव आकृति में आनुपातिक संबंधों को निर्दिष्ट करने के लिए "गोल्डन रेशियो" शब्द का उपयोग किया। उदाहरण के लिए, कमर से पैरों तक की दूरी नाभि से सिर के ऊपर तक उसी दूरी से संबंधित होती है, जिस प्रकार ऊंचाई पहली लंबाई (कमर से नीचे) तक होती है। यह गणना सुनहरे अनुपात की गणना करते समय खंडों के अनुपात के समान ही की जाती है और 1.618 तक जाती है।

इन सभी सामंजस्यपूर्ण अनुपातों का उपयोग अक्सर कलाकारों द्वारा सुंदर और प्रभावशाली रचनाएँ बनाने के लिए किया जाता है।

16वीं से 19वीं शताब्दी में स्वर्णिम अनुपात पर शोध

सुनहरे अनुपात और फाइबोनैचि संख्याओं का उपयोग करते हुए, अनुसंधान कार्यअनुपात के मुद्दे पर चर्चा एक सदी से भी अधिक समय से चल रही है। लियोनार्डो दा विंची के समानांतर, जर्मन कलाकार अल्ब्रेक्ट ड्यूरर ने भी मानव शरीर के सही अनुपात के सिद्धांत को विकसित करने पर काम किया। इस उद्देश्य के लिए, उन्होंने एक विशेष कम्पास भी बनाया।

16वीं सदी में फाइबोनैचि संख्या और सुनहरे अनुपात के बीच संबंध का प्रश्न खगोलशास्त्री आई. केप्लर के काम के लिए समर्पित था, जिन्होंने सबसे पहले इन नियमों को वनस्पति विज्ञान में लागू किया था।

19वीं शताब्दी में एक नई "खोज" सुनहरे अनुपात की प्रतीक्षा कर रही थी। जर्मन वैज्ञानिक प्रोफ़ेसर ज़ीसिग के "एस्थेटिक इन्वेस्टिगेशन" के प्रकाशन के साथ। उन्होंने इन अनुपातों को निरपेक्षता तक बढ़ाया और घोषित किया कि वे सभी प्राकृतिक घटनाओं के लिए सार्वभौमिक हैं। उन्होंने बड़ी संख्या में लोगों, या बल्कि उनके शारीरिक अनुपात (लगभग 2 हजार) का अध्ययन किया, जिसके परिणामों के आधार पर शरीर के विभिन्न हिस्सों के अनुपात में सांख्यिकीय रूप से पुष्टि किए गए पैटर्न के बारे में निष्कर्ष निकाले गए: कंधों की लंबाई, अग्रबाहु, हाथ, उंगलियाँ, आदि।

कविताएँ लिखते समय कला की वस्तुओं (फूलदान, वास्तुशिल्प संरचनाएँ), संगीतमय स्वर और आकार का भी अध्ययन किया गया - ज़ीसिग ने खंडों और संख्याओं की लंबाई के माध्यम से यह सब प्रदर्शित किया, और उन्होंने "गणितीय सौंदर्यशास्त्र" शब्द भी पेश किया। परिणाम प्राप्त करने के बाद, यह पता चला कि फाइबोनैचि श्रृंखला प्राप्त की गई थी।

प्रकृति में फाइबोनैचि संख्या और स्वर्णिम अनुपात

वनस्पति एवं प्राणी जगत में समरूपता के रूप में आकृति विज्ञान की प्रवृत्ति होती है, जो विकास एवं गति की दिशा में देखी जाती है। सममित भागों में विभाजन जिसमें सुनहरे अनुपात देखे जाते हैं - यह पैटर्न कई पौधों और जानवरों में निहित है।

उदाहरण के लिए, फाइबोनैचि संख्याओं का उपयोग करके हमारे आस-पास की प्रकृति का वर्णन किया जा सकता है:

• किसी भी पौधे की पत्तियों या शाखाओं की व्यवस्था, साथ ही दूरियाँ, दी गई संख्याओं 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 इत्यादि की श्रृंखला के अनुरूप होती हैं;
• सूरजमुखी के बीज (शंकु, अनानास कोशिकाओं पर तराजू), अलग-अलग दिशाओं में मुड़े हुए सर्पिल के साथ दो पंक्तियों में व्यवस्थित;
• पूंछ की लंबाई और छिपकली के पूरे शरीर का अनुपात;
• एक अंडे का आकार, यदि आप उसके चौड़े हिस्से के माध्यम से एक रेखा खींचते हैं;
• किसी व्यक्ति के हाथ की उंगलियों के आकार का अनुपात।

और, निस्संदेह, सबसे दिलचस्प आकृतियों में सर्पिल घोंघे के गोले, मकड़ी के जाले पर पैटर्न, तूफान के अंदर हवा की गति, डीएनए में डबल हेलिक्स और आकाशगंगाओं की संरचना शामिल हैं - जिनमें से सभी में फाइबोनैचि अनुक्रम शामिल है।

कला में स्वर्णिम अनुपात का उपयोग

शोधकर्ता कला में सुनहरे अनुपात के उपयोग के उदाहरणों की खोज करते हुए विभिन्न वास्तुशिल्प वस्तुओं और चित्रकला के कार्यों का विस्तार से अध्ययन कर रहे हैं। प्रसिद्ध मूर्तिकला कृतियाँ हैं, जिनके निर्माता सुनहरे अनुपात का पालन करते हैं - ओलंपियन ज़ीउस, अपोलो बेल्वेडियर और की मूर्तियाँ

लियोनार्डो दा विंची की रचनाओं में से एक, "पोर्ट्रेट ऑफ़ द मोना लिसा", कई वर्षों से वैज्ञानिकों द्वारा शोध का विषय रही है। उन्होंने पाया कि कार्य की संरचना पूरी तरह से "सुनहरे त्रिकोण" से बनी है जो एक नियमित पंचकोण-तारे में एक साथ एकजुट हैं। दा विंची के सभी कार्य इस बात के प्रमाण हैं कि मानव शरीर की संरचना और अनुपात में उनका ज्ञान कितना गहरा था, जिसकी बदौलत वह मोना लिसा की अविश्वसनीय रहस्यमय मुस्कान को पकड़ने में सक्षम थे।

वास्तुकला में स्वर्णिम अनुपात

एक उदाहरण के रूप में, वैज्ञानिकों ने "गोल्डन रेशियो" के नियमों के अनुसार बनाई गई वास्तुशिल्प उत्कृष्ट कृतियों की जांच की: मिस्र के पिरामिड, पेंथियन, पार्थेनन, नोट्रे डेम डे पेरिस कैथेड्रल, सेंट बेसिल कैथेड्रल, आदि।

पार्थेनन - प्राचीन ग्रीस (5वीं शताब्दी ईसा पूर्व) की सबसे खूबसूरत इमारतों में से एक - में 8 स्तंभ हैं और अलग-अलग तरफ 17 ​​हैं, इसकी ऊंचाई और किनारों की लंबाई का अनुपात 0.618 है। इसके अग्रभागों पर उभार "सुनहरा अनुपात" (नीचे फोटो) के अनुसार बनाए गए हैं।

उन वैज्ञानिकों में से एक, जिन्होंने वास्तुशिल्प वस्तुओं (तथाकथित "मॉड्यूलर") के लिए अनुपात की मॉड्यूलर प्रणाली में सुधार किया और सफलतापूर्वक लागू किया, वह फ्रांसीसी वास्तुकार ले कोर्बुसीयर थे। मॉड्यूलेटर मानव शरीर के भागों में सशर्त विभाजन से जुड़ी एक माप प्रणाली पर आधारित है।

रूसी वास्तुकार एम. कज़ाकोव, जिन्होंने मॉस्को में कई आवासीय भवनों के साथ-साथ क्रेमलिन में सीनेट भवन और गोलित्सिन अस्पताल (अब एन.आई. पिरोगोव के नाम पर पहला क्लिनिक) का निर्माण किया, उन वास्तुकारों में से एक थे जिन्होंने डिजाइन में कानूनों का इस्तेमाल किया और सुनहरे अनुपात के बारे में निर्माण.

डिज़ाइन में अनुपात लागू करना

कपड़ों के डिजाइन में, सभी फैशन डिजाइनर मानव शरीर के अनुपात और सुनहरे अनुपात के नियमों को ध्यान में रखते हुए नई छवियां और मॉडल बनाते हैं, हालांकि स्वभाव से सभी लोगों के पास आदर्श अनुपात नहीं होता है।

लैंडस्केप डिज़ाइन की योजना बनाते समय और पौधों (पेड़ों और झाड़ियों), फव्वारों और छोटी वास्तुशिल्प वस्तुओं की मदद से त्रि-आयामी पार्क रचनाएँ बनाते समय, "दिव्य अनुपात" के नियमों को भी लागू किया जा सकता है। आखिरकार, पार्क की संरचना का ध्यान आगंतुक पर प्रभाव डालने पर केंद्रित होना चाहिए, जो इसे स्वतंत्र रूप से नेविगेट करने और संरचना केंद्र ढूंढने में सक्षम होगा।

पार्क के सभी तत्व ऐसे अनुपात में हैं कि ज्यामितीय संरचना, सापेक्ष स्थिति, रोशनी और रोशनी की मदद से सद्भाव और पूर्णता की छाप पैदा हो सके।

साइबरनेटिक्स और प्रौद्योगिकी में स्वर्णिम अनुपात का अनुप्रयोग

स्वर्ण खंड और फाइबोनैचि संख्याओं के नियम ऊर्जा संक्रमणों में, रासायनिक यौगिकों को बनाने वाले प्राथमिक कणों के साथ होने वाली प्रक्रियाओं में, अंतरिक्ष प्रणालियों में और डीएनए की आनुवंशिक संरचना में भी दिखाई देते हैं।

इसी तरह की प्रक्रियाएं मानव शरीर में होती हैं, जो उसके जीवन के बायोरिदम में, अंगों की क्रिया में प्रकट होती हैं, उदाहरण के लिए, मस्तिष्क या दृष्टि।

आधुनिक साइबरनेटिक्स और कंप्यूटर विज्ञान में सुनहरे अनुपात के एल्गोरिदम और पैटर्न का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। नौसिखिया प्रोग्रामर को हल करने के लिए जो सरल कार्य दिए जाते हैं उनमें से एक है एक सूत्र लिखना और प्रोग्रामिंग भाषाओं का उपयोग करके एक निश्चित संख्या तक फाइबोनैचि संख्याओं का योग निर्धारित करना।

स्वर्णिम अनुपात के सिद्धांत पर आधुनिक शोध

20वीं सदी के मध्य से, मानव जीवन पर स्वर्णिम अनुपात के नियमों की समस्याओं और प्रभाव में रुचि तेजी से बढ़ी है, और विभिन्न व्यवसायों के कई वैज्ञानिकों में: गणितज्ञ, जातीय शोधकर्ता, जीवविज्ञानी, दार्शनिक, चिकित्सा कार्यकर्ता, अर्थशास्त्री, संगीतकार, वगैरह।

संयुक्त राज्य अमेरिका में, द फाइबोनैचि क्वार्टरली पत्रिका का प्रकाशन 1970 के दशक में शुरू हुआ, जहाँ इस विषय पर रचनाएँ प्रकाशित हुईं। प्रेस में ऐसे कार्य छपते हैं जिनमें ज्ञान के विभिन्न क्षेत्रों में सुनहरे अनुपात और फाइबोनैचि श्रृंखला के सामान्यीकृत नियमों का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, सूचना कोडिंग, रासायनिक अनुसंधान, जैविक अनुसंधान आदि के लिए।

यह सब प्राचीन और आधुनिक वैज्ञानिकों के निष्कर्षों की पुष्टि करता है कि सुनहरा अनुपात बहुपक्षीय रूप से विज्ञान के मूलभूत मुद्दों से संबंधित है और हमारे आसपास की दुनिया की कई रचनाओं और घटनाओं की समरूपता में प्रकट होता है।