Όρια στα μαθηματικά για ανδρείκελα: εξήγηση, θεωρία, παραδείγματα λύσεων. Μυστηριώδη πλάσματα στο Χόπκινσβιλ

Τι είναι η σωματιδιακή φυσική;

Πολ Σόρενσον

φυσικός

«Πιέζουμε μικρά πράγματα το ένα εναντίον του άλλου για να τα σπάσουμε σε ακόμα μικρότερα πράγματα μέχρι να πάρουμε το μικρότερο δυνατό πράγμα. Έτσι ξέρουμε από τι αποτελείται όλη η ύλη».

Τι είναι το μποζόνιο Χιγκς;

φυσικός

«Τα πάντα γύρω μας είναι φτιαγμένα από τις πιο μικρές λεπτομέρειες, παρόμοια με τα Lego. Αλλά από μόνα τους, αυτά τα πράγματα φτιαγμένα από κύβους θα κινούνταν απίστευτα γρήγορα, σαν κεραυνός. Δεν θα μπορούσαμε να ζήσουμε σε έναν τέτοιο κόσμο - θα ήταν πλήρης τρέλα! Έτσι οι επιστήμονες συνειδητοποίησαν ότι πρέπει να υπάρχει κάτι που επιβραδύνει τα πάντα γύρω. Κάτι σαν κόλλα που εμποδίζει τα πράγματα να ξεπετάγονται γρηγορότερα από όσο μπορούμε να ανοιγοκλείσουμε ένα μάτι. Παρατηρήστε πόσο γρήγορα το φως ταξιδεύει σε όλο το δωμάτιο όταν ανάβουμε τη λάμπα. Αλλά τα περισσότερα άλλα πράγματα δεν μπορούν να κινηθούν τόσο γρήγορα. Και αυτή η κόλλα είναι πολύ δύσκολο να τη δεις. Για αυτό χρησιμοποιήθηκαν γιγαντιαίες μηχανές, μια τεράστια ποσότητα ενέργειας - μόνο τότε μπορέσαμε να τη δούμε και τώρα ξέρουμε σίγουρα ότι υπάρχει πραγματικά.

Τι είναι ο μηχανισμός Higgs;

Ντέιβιντ Μίλερ

φυσικός

«Φανταστείτε ένα κοκτέιλ πάρτι: οι πολιτικοί που συμμετέχουν σε αυτό είναι ομοιόμορφα κατανεμημένοι στην αίθουσα, όλοι μιλούν με τους πιο κοντινούς τους γείτονες. Στην αίθουσα μπαίνει η πρώην πρωθυπουργός, στην οποία σπεύδουν αμέσως οι πιο κοντινοί της συνάδελφοι, σχηματίζοντας πλήθος τριγύρω.<…>Λόγω του συνεχούς συνωστισμού ανθρώπων τριγύρω, αποκτά μεγαλύτερη μάζα από το συνηθισμένο, έχει δηλαδή μεγαλύτερη αδράνεια με την ίδια ταχύτητα κίνησης γύρω από το δωμάτιο. Μετά την έναρξη της κίνησης, θα είναι ήδη δύσκολο για αυτήν να σταματήσει, και όταν σταματήσει, θα είναι δύσκολο να αρχίσει ξανά να κινείται. Τρισδιάστατα και με όλες τις σχετικιστικές επιπλοκές, αυτός είναι ο μηχανισμός Higgs. Για να δώσουμε μάζα σε στοιχειώδη σωματίδια, εισάγουμε ένα πρόσθετο πεδίο φόντου, το οποίο παραμορφώνεται τοπικά όταν τα σωματίδια κινούνται μέσα από αυτό. Αυτή η παραμόρφωση - η ομαδοποίηση του πεδίου γύρω από το σωματίδιο - προκαλεί τη μάζα του.

Πώς λειτουργεί η ανοσία
και τι είναι οι λεκτίνες τύπου Γ

Ana Lobato

ανοσολόγος

«Το σώμα μας δεν αγαπά πολύ τους επισκέπτες, ειδικά εκείνους που δεν μοιάζουν με φίλους. Όταν κάποιος μπαίνει μέσα, τα κύτταρά μας τον «κοιτούν». ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙμάτι. Διαφορετικά «μάτια» βλέπουν διαφορετικά σχήματα και μορφές, ώστε να μπορούν να καταλάβουν τι είδους εξωγήινοι είναι και πώς να τους αντιμετωπίσουν. Δεν μοιάζουν με κανονικά μάτια, αλλά λειτουργούν σαν χεράκια που αγγίζουν αντικείμενα. Μελετώ μόνο έναν τύπο από αυτά τα «μάτια», τα οποία «βλέπουν» περίεργα πράγματα, όπως η μούχλα που αναπτύσσεται σε χαλασμένα τρόφιμα. Όμως αυτά τα «μάτια» δεν τα κάνουν όλα μόνα τους. Έχουν πολλούς βοηθούς φίλους, και όσο περισσότεροι, τόσο το καλύτερο. Όλοι μαζί επιτίθενται στον άγνωστο και τον τρώνε. Αφού φάνε, δείχνουν τα αποφάγια στους φίλους τους για να ξέρουν τι είδους κακούς να τσακωθούν. Έτσι μας προστατεύει το σώμα μας από ασθένειες».

Πόσο ισχυρός μπορεί να είναι ένας κβαντικός υπολογιστής;

Ουμές Ουαζιράνι

καθηγητής στο Πανεπιστήμιο της Καλιφόρνια

"Τρώω αρχαίος θρύλος. Κατά τη γνώμη μου, πρόκειται για τον Μπιρμπάλ, τον μεγάλο βεζίρη στην αυλή του αυτοκράτορα των Μογγάλων Άκμπαρ. Ο αυτοκράτορας ήταν τόσο ευχαριστημένος με την υπηρεσία του που ρώτησε με ποιο δώρο θα μπορούσε να τον ευχαριστήσει. Ο υπουργός σε απάντηση ευχήθηκε ρύζι. Ζήτησε το πρώτο κελί σκακιέραβάλε έναν κόκκο στον δεύτερο, δύο στον τρίτο, τέσσερα κλπ. Ο ταμίας άρχισε να μετράει τους κόκκους του ρυζιού και πριν φτάσουν στο τέλος της σκακιέρας, όλος ο αχυρώνας ήταν άδειος. Με τον ίδιο τρόπο, ο κβαντικός αλγόριθμος του λογισμού δείχνει αύξηση της ισχύος εκθετικά.

Πώς να οραματιστείτε μια μαύρη τρύπα;

Ρόμπερτ Φροστ

ειδικός
σύμφωνα με τις εκπαιδευτικές οδηγίες

«Πάρτε ένα μεγάλο κομμάτι μεμβράνης, τεντώστε το στα χέρια σας και τοποθετήστε μια μικρή μπάλα στο κέντρο έτσι ώστε να σχηματίσει μια παραμόρφωση λόγω του βάρους της. Ρίξτε μερικές σταγόνες νερό στο φύλλο και παρακολουθήστε πώς κυλούν το φιλμ μέχρι την μπάλα. Αυτό θα δείξει πώς λειτουργεί η βαρύτητα. Αφαιρέστε τη μπάλα και αφήστε το παιδί να νιώσει το φιλμ με το δάχτυλό του και να καταλάβει - τόσο περισσότερο το τραβάτε (όσο πιο βαρύ είναι το αντικείμενο),τόσο ισχυρότερο είναι το χωνί. Στη συνέχεια, ζητήστε από το παιδί σας να κάνει μια τρύπα στη μέση της ταινίας, η οποία θα αναπαριστά ένα πολύ, πολύ βαρύ αντικείμενο. Σταγόνες νερού θα γλιστρήσουν μέσα από αυτήν την τρύπα. Τελικά φαίνεται πως μαύρη τρύπαείναι τόσο βαρύ αντικείμενο που λυγίζει το χώρο. Ό,τι μπαίνει σε αυτό (σαν σταγόνες)δεν επιστρέφει ποτέ».

Γιατί κατέρρευσε η τράπεζα
Lehman Brothers

(σημείο αφετηρίας της παγκόσμιας οικονομικής κρίσης του 2008);

Nathan Myers

οικονομολόγος

«Ένας τύπος αγόρασε 10 Snickers στο κατάστημα για 1 $ το καθένα και τα πούλησε για 1,5 $ την ημέρα στο σχολείο. Σκέφτηκε ότι αν ήταν τόσο εύκολο, θα μπορούσε να πουλήσει 100 σοκολάτες την επόμενη μέρα. Για να αγοράσει 100 Snickers, χρειάστηκε να δανειστεί 10 $ από φίλους, αλλά όταν ήρθε στο σχολείο την επόμενη μέρα, υπήρχε ήδη ένας αυτόματος πωλητής στο λόμπι που πουλούσε σοκολάτες για 75 σεντς. Φυσικά, κανείς δεν ήθελε να τα αγοράσει από αυτόν για 1,50 δολάρια, οπότε έπρεπε να μειώσει την τιμή στα 75 σεντς επίσης. Ως αποτέλεσμα, τα χρήματα που κατάφερε να βγάλει δεν έφταναν ούτε για να ξεπληρώσει τα χρέη στους φίλους του και τον ξυλοκόπησαν.

Πώς προέκυψαν ξαφνικά όλες οι σύγχρονες ομάδες ζώων;

Mark Sruhr

παλαιοντολόγος

«Πριν από 545 εκατομμύρια χρόνια, όλες οι σύγχρονες ομάδες ζώων εμφανίστηκαν ξαφνικά στον πλανήτη (εκτός από τα σφουγγάρια και τις μέδουσες, που εμφανίστηκαν νωρίτερα).Αυτό το φαινόμενο, που ονομάζεται έκρηξη της Κάμβριας, δεν είναι τόσο εύκολο να εξηγηθεί, καθώς συνδέεται με πολλούς παράγοντες.

Πρώτον, αξίζει να συγκρίνουμε τη γη των Κρυογενικών και των Εδιακάρων χρόνων. Στο πρώτο θύμιζε τεράστια χιονόμπαλα και στο δεύτερο άρχισε να ζεσταίνεται. ΣΕ ζεστό κλίματα ζώα έχουν γίνει πιο εύκολο να αναπτυχθούν. Λόγω του ότι τότε δεν υπήρχε ανταγωνισμός μεταξύ τους, άρχισαν να παίρνουν τις πιο περίεργες μορφές. Μερικά εξελικτικά πειράματα έχουν επιβιώσει σε εμάς μόνο με τη μορφή απολιθωμάτων. Άλλα ήταν πιο επιτυχημένα και αυτά τα ζώα μετέδωσαν πληροφορίες σε άλλους για το πώς να χτίσουν καλύτερα το σώμα τους.

Για λογους σαφηνειαςπάρτε πέντε πανομοιότυπα σχέδια
από μπλοκ Lego

Για λόγους σαφήνειας, πάρτε πέντε πανομοιότυπα σχέδια από κύβους Lego. Θα υποδείξουν εκείνα τα πλάσματα που βρίσκουμε στην αρχή της Κάμβριας περιόδου. Στη συνέχεια, προσθέστε λεπτομέρειες σε αυτά τυχαία. Κάθε μπλοκ που προστίθεται θα απεικονίζει ένα επιτυχημένο εξελικτικό πείραμα. Ακόμη και αφού προσθέσετε τρία μέρη σε καθεμία από τις δομές, θα δείτε πώς αρχίζουν να διαφέρουν οι τύποι τους και όσο περισσότεροι κύβοι προστίθενται, τόσο λιγότερο όμοιες θα είναι αυτές οι δομές μεταξύ τους.

Αυτή είναι μια διαισθητική εξήγηση αυτού που ονομάζουμε διοχέτευση της ανάπτυξης, χωρίς να βουτήξουμε στην επιστημονική ζούγκλα της αναπτυξιακής γενετικής και της μακροεξελικτικής δυναμικής. Το πείραμα Lego δείχνει πώς, χάρη σε ΦΥΣΙΚΗ ΕΠΙΛΟΓΗεπιτυχημένα χαρακτηριστικά ριζώνουν και η δομή των σωμάτων των ζώων αρχίζει να διαφέρει αμετάκλητα. Αυτό συνέβη κατά την έκρηξη της Κάμβριας, η οποία άνοιξε το δρόμο για τη σύγχρονη βιοποικιλότητα».

Σύμφωνα με τους φυσικούς, οι επιπλέον χωρικές διαστάσεις, αν υπάρχουν πραγματικά, διπλώνονται. Επιστρέφοντας στο παράδειγμα του μυρμηγκιού, μπορούμε να στρίψουμε ένα φύλλο χαρτιού έτσι ώστε να σχηματίσει έναν κύλινδρο. Σε αυτή την περίπτωση, εάν το μυρμήγκι αρχίσει να σέρνεται προς μία κατεύθυνση, τελικά θα επιστρέψει στο σημείο από το οποίο ξεκίνησε την κίνησή του. Αυτό είναι ένα παράδειγμα συμπαγοποιημένης διάστασης. Αν ένα μυρμήγκι σέρνεται παράλληλα με το μήκος του κυλίνδρου, δεν θα επιστρέψει ποτέ στην αφετηρία του (ειδικά αν φανταστούμε ότι ο χάρτινος κύλινδρος είναι απείρως μακρύς). Αυτό είναι ένα παράδειγμα «επίπεδης» μέτρησης. Σύμφωνα με τη θεωρία χορδών, ζούμε σε έναν κόσμο όπου οι τρεις διαστάσεις του χώρου που γνωρίζουμε είναι «επίπεδες». αλλά υπάρχουν πρόσθετες διαστάσεις που είναι στριμμένες σε μια πολύ μικρή ακτίνα 10 cm στα -30πτυχίο ή και λιγότερο.

Εκδοτικός οίκος "Mann, Ivanov and Ferber"

Η απλούστερη γλώσσα για την εξήγηση σύνθετων φαινομένων, διαδικασιών, ιδεών είναι η οπτική. Οι εικόνες είναι ο δρόμος προς την καρδιά κάθε ανθρώπου. Ο Dan Roam δεν αποφοίτησε από τη σχολή τέχνης, αλλά έχει ήδη κυκλοφορήσει αρκετά μπεστ σέλερ για την οπτική σκέψη. ΣΕ τελευταίο βιβλίο«Draw to Win» μιλάει για το πώς να εκπαιδεύεις, να εξηγείς, να πείθεις και να πουλάς με απλές εικόνες.

1. Ξεκινήστε με την ερώτηση "Ποιος;"

Οι άνθρωποι είναι το πιο σημαντικό πράγμα σε κάθε επιχείρηση. Πότε θέλετε να αιχμαλωτίσετε τους ανθρώπους; η ιδέα σας;, το πρώτο πράγμα που πρέπει να κάνετε είναι να τους δείξετε ποιος εμπλέκεται. Όχι μόνο οι ένοχοι, τα θύματα ή οι νικητές, αλλά όλοι. Ξεκινήστε με τους ανθρώπους; - όχι μόνο ευγένεια. Από την άποψη της οπτικής σας συνείδησης, αυτός είναι ο νόμος. Οπτικός? μονοπάτι "Ποιος;" καθορίζει τους ανθρώπους; πρώτον, γιατί χωρίς παίκτες δεν υπάρχει παιχνίδι.

Ενδιαφέρομαι για άλλους ανθρώπους. Αυτή είναι η ουσία μου; δουλειά. Αναρωτιέμαι τι σημαίνει να είσαι εσύ - Μέριλ Στριπ, ηθοποιός.

Αν θέλετε να επηρεάσετε τη συνείδηση ​​των ακροατών σας;, δείξτε τους ανθρώπους;. Αν θέλετε να αγγίξετε τις καρδιές τους, δείξτε τους ποιοι είναι.

Δώσε; Αυτά είναι δικά σου; η ιδέα ενός ατόμου που ενεργοποιεί τους ανθρώπους; τη βάση της εξήγησής σας. Εδώ είναι πέντε απλούς τρόπουςσχεδιάστε ένα πρόσωπο ή ένα πρόσωπο:

2. Σχεδιάστε έναν στόχο

Για την ερώτηση "Ποιος;" ακολουθούμενη από την ερώτηση «Γιατί;». Οι άνθρωποι δεν θα σας ακούνε για πολύ αν δεν μπορούν να δουν τον σκοπό του μηνύματός σας. Για να σχεδιάσετε με επιτυχία έναν στόχο, πρέπει πρώτα να έχετε μια σαφή ιδέα για το πού πηγαίνετε. Επιπλέον, πρέπει να βρείτε οπτική; τρόπος να περιγράψεις έναν προορισμό. Γι' αυτό το επόμενο; Το σχέδιο πρέπει να αποκαλύπτει την πρόθεση.

Ακολουθούν μερικοί στόχοι γνωστών εταιρειών και η οπτική τους ενσάρκωση.

Ας πάρουμε πίσω το μερίδιο αγοράς μας (ο Steve Jobs επιστρέφει στην Apple).

Θα καταστρέψουμε τα εμπόδια της εκπαίδευσης (Khan Academy).

Θα κλείσουμε για 47 χρόνια, περιμένοντας την κατάλληλη στιγμή για να επιστρέψουμε (περιοδικό Vanity Fair).

Θα μείνουμε στα δικά μας; "χαζος?" ονειρεύεται μέχρι να δουν επιτέλους όλοι πόσο cool είναι (το παγωτό του Ben & Jerry).

3. Σχεδιάστε έναν χάρτη

Χρειάζεστε έναν χάρτη για να σας δείξει πώς να φτάσετε εκεί που πηγαίνετε. Εάν θέλετε οι άνθρωποι να καταλαβαίνουν κάθε βήμα, οραματιστείτε τους.

Αρχικά, σχεδιάστε το πρώτο βέλος για να δείξετε πού βρίσκεστε τώρα. Ονομάστε την. Η άκρα δεξιά εικόνα θα είναι ο στόχος σας. Τώρα συμπληρώστε το κενό μεταξύ τους. Μπορεί να υπάρχουν πολλά βήματα. αν έχεις πολύ κόσμο; και έργα, τότε πιθανότατα θα υπάρχουν πολλές παράλληλες γραμμές;. Ως αποτέλεσμα, θα πάρετε είτε κάτι παρόμοιο με την παρακάτω εικόνα είτε κάτι πιο περίπλοκο, με κλαδιά, διαφορετικά χρώματα και σχήματα.

Παράδειγμα χάρτη:

4. Πες μια ιστορία

Ωραία, τώρα έχετε καλές εικόνες που θα σας βοηθήσουν να ηγεθείτε, να πουλήσετε και να εφεύρετε, αλλά είναι πολύ νωρίς για να σκεφτείτε ότι έχετε μια καλή οπτική ιστορία. Έχετε μεμονωμένες λεπτομέρειες, αλλά αυτό δεν είναι ακόμα μια ιστορία. Θα γίνουν ιστορία; μόνο όταν τα βάλεις μαζί σε μια οπτική αφήγηση με αρχή, μέση και; και τον τελικό.

Μια καλή οπτική ιστορία είναι αυτή που δείχνει την όλη κατάσταση. Η ιστορία ξεκινά με ένα σύντομο σκηνές στις οποίες απεικονίζεται για ποιον/τιεσύ μιλάς. Η δεύτερη σκηνή ορίζει ποσοτικά χαρακτηριστικάαυτοί οι άνθρωποι? ή αντικείμενα. Περαιτέρω; περιγράφει ο Shay σχετικές θέσειςτους παίκτες και τα στοιχεία σας, το επόμενο ορίζει ακολουθίαστο οποίο? αλληλεπιδρούν; εικονογραφεί αιτίου και αποτελέσματοςστις σχέσεις που προκύπτουν μεταξύ τους, και το τελικό φέρνει το στρατηγό; σύνολο - αντανακλά κύρια ιδέα.

Εάν τα κάνετε όλα σωστά, η οπτική σας ιστορία θα παρέχει την πλήρη ιστορία; πλαίσιο ποιο; χρειάζεσαι το δικό σου; κοινό για να σας καταλάβει, και όλες οι ιδέες που εε; πρέπει να πραγματοποιηθούν.

Η ιδανική οπτική ιστορία αποτελείται από έξι όλο και πιο περίπλοκα σχέδια που αντικατοπτρίζουν τη διαδικασία της οπτικής αντίληψης. Έχετε περιγράψει κάποια ιδέα σαν αυτή - κάποια; πολυπλοκότητα, μπορείτε να το διευκρινίσετε χρησιμοποιώντας τις δυνατότητες του συστήματος οπτικής αντίληψης.

Τα όρια δίνουν σε όλους τους μαθητές των μαθηματικών πολλά προβλήματα. Για να λύσετε το όριο, μερικές φορές πρέπει να χρησιμοποιήσετε πολλά κόλπα και να επιλέξετε από μια ποικιλία λύσεων ακριβώς αυτή που είναι κατάλληλη για ένα συγκεκριμένο παράδειγμα.

Σε αυτό το άρθρο, δεν θα σας βοηθήσουμε να κατανοήσετε τα όρια των δυνατοτήτων σας ή να κατανοήσετε τα όρια του ελέγχου, αλλά θα προσπαθήσουμε να απαντήσουμε στην ερώτηση: πώς να κατανοήσετε τα όρια στα ανώτερα μαθηματικά; Η κατανόηση έρχεται με την εμπειρία, οπότε ταυτόχρονα θα δώσουμε μερικά αναλυτικά παραδείγματα επίλυσης ορίων με επεξηγήσεις.

Η έννοια του ορίου στα μαθηματικά

Το πρώτο ερώτημα είναι: ποιο είναι το όριο και το όριο τι; Μπορούμε να μιλήσουμε για τα όρια των αριθμητικών ακολουθιών και συναρτήσεων. Μας ενδιαφέρει η έννοια του ορίου μιας συνάρτησης, αφού με αυτά συναντούν συχνότερα οι μαθητές. Αλλά πρώτα, τα περισσότερα γενικός ορισμόςόριο:

Ας πούμε ότι υπάρχει κάποια μεταβλητή. Αν αυτή η τιμή στη διαδικασία της αλλαγής πλησιάζει επ' αόριστον έναν ορισμένο αριθμό ένα , Οτι ένα είναι το όριο αυτής της τιμής.

Για μια συνάρτηση που ορίζεται σε κάποιο διάστημα f(x)=y το όριο είναι ο αριθμός ΕΝΑ , στο οποίο τείνει η συνάρτηση όταν Χ τείνει σε ένα ορισμένο σημείο ΕΝΑ . Τελεία ΕΝΑ ανήκει στο διάστημα στο οποίο ορίζεται η συνάρτηση.

Ακούγεται δυσκίνητο, αλλά γράφεται πολύ απλά:

Λιμ- από τα Αγγλικά όριο- όριο.

Υπάρχει και γεωμετρική εξήγηση για τον ορισμό του ορίου, αλλά εδώ δεν θα μπούμε στη θεωρία, αφού μας ενδιαφέρει περισσότερο η πρακτική παρά η θεωρητική πλευρά του ζητήματος. Όταν το λέμε αυτό Χ τείνει σε κάποια τιμή, αυτό σημαίνει ότι η μεταβλητή δεν παίρνει την τιμή ενός αριθμού, αλλά τον πλησιάζει απείρως κοντά.

Ας πάρουμε ένα συγκεκριμένο παράδειγμα. Η πρόκληση είναι να βρεις το όριο.

Για να λύσουμε αυτό το παράδειγμα, αντικαθιστούμε την τιμή x=3 σε μια συνάρτηση. Παίρνουμε:

Παρεμπιπτόντως, αν σας ενδιαφέρει, διαβάστε ένα ξεχωριστό άρθρο για αυτό το θέμα.

Στα παραδείγματα Χ μπορεί να τείνει σε οποιαδήποτε τιμή. Μπορεί να είναι οποιοσδήποτε αριθμός ή άπειρο. Εδώ είναι ένα παράδειγμα όταν Χ τείνει στο άπειρο:

Είναι διαισθητικά σαφές ότι περισσότερος αριθμόςστον παρονομαστή, τόσο μικρότερη είναι η τιμή που θα πάρει η συνάρτηση. Έτσι, με απεριόριστη ανάπτυξη Χ έννοια 1/x θα μειωθεί και θα πλησιάσει το μηδέν.

Όπως μπορείτε να δείτε, για να λύσετε το όριο, πρέπει απλώς να αντικαταστήσετε την τιμή που θέλετε στη συνάρτηση Χ . Ωστόσο, αυτή είναι η απλούστερη περίπτωση. Συχνά η εύρεση του ορίου δεν είναι τόσο προφανής. Εντός των ορίων υπάρχουν αβεβαιότητες τύπου 0/0 ή άπειρο/άπειρο . Τι να κάνετε σε τέτοιες περιπτώσεις; Χρησιμοποιήστε κόλπα!

Αβεβαιότητες μέσα

Αβεβαιότητα της μορφής άπειρο/άπειρο

Ας υπάρχει ένα όριο:

Αν προσπαθήσουμε να αντικαταστήσουμε το άπειρο στη συνάρτηση, θα πάρουμε άπειρο και στον αριθμητή και στον παρονομαστή. Γενικά, αξίζει να πούμε ότι υπάρχει ένα ορισμένο στοιχείο της τέχνης στην επίλυση τέτοιων αβεβαιοτήτων: πρέπει να παρατηρήσει κανείς πώς μια συνάρτηση μπορεί να μετασχηματιστεί με τέτοιο τρόπο ώστε να εξαφανιστεί η αβεβαιότητα. Στην περίπτωσή μας, διαιρούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με Χ σε ανώτερο πτυχίο. Τι θα συμβεί?

Από το παράδειγμα που εξετάστηκε ήδη παραπάνω, γνωρίζουμε ότι οι όροι που περιέχουν x στον παρονομαστή θα τείνουν στο μηδέν. Τότε η λύση στο όριο είναι:

Για να αποκαλύψετε ασάφειες τύπου άπειρο/άπειροδιαιρέστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με Χστον υψηλότερο βαθμό.

Παρεμπιπτόντως! Για τους αναγνώστες μας υπάρχει τώρα έκπτωση 10%.

Ένας άλλος τύπος αβεβαιότητας: 0/0

Όπως πάντα, αντικατάσταση στη συνάρτηση τιμής x=-1 δίνει 0 στον αριθμητή και στον παρονομαστή. Κοιτάξτε λίγο πιο προσεκτικά και θα παρατηρήσετε ότι έχουμε μια τετραγωνική εξίσωση στον αριθμητή. Ας βρούμε τις ρίζες και ας γράψουμε:

Ας μειώσουμε και πάρουμε:

Έτσι, εάν συναντήσετε ασάφεια τύπου 0/0 - παραγοντοποιήστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή.

Για να διευκολύνετε την επίλυση παραδειγμάτων, ακολουθεί ένας πίνακας με τα όρια ορισμένων συναρτήσεων:

Ο κανόνας του L'Hopital εντός

Ένας άλλος ισχυρός τρόπος για την εξάλειψη και των δύο τύπων αβεβαιοτήτων. Ποια είναι η ουσία της μεθόδου;

Αν υπάρχει αβεβαιότητα στο όριο, παίρνουμε την παράγωγο του αριθμητή και του παρονομαστή μέχρι να εξαφανιστεί η αβεβαιότητα.

Οπτικά, ο κανόνας του L'Hopital μοιάζει με αυτό:

Σημαντικό σημείο : το όριο, στο οποίο αντί για αριθμητή και παρονομαστή βρίσκονται οι παράγωγοι αριθμητή και παρονομαστή, πρέπει να υπάρχει.

Και τώρα ένα πραγματικό παράδειγμα:

Υπάρχει μια τυπική αβεβαιότητα 0/0 . Πάρτε τις παραγώγους του αριθμητή και του παρονομαστή:

Voila, η αβεβαιότητα εξαλείφεται γρήγορα και κομψά.

Ελπίζουμε ότι θα μπορέσετε να χρησιμοποιήσετε αυτές τις πληροφορίες στην πράξη και να βρείτε την απάντηση στην ερώτηση "πώς να λύσετε όρια στα ανώτερα μαθηματικά". Εάν πρέπει να υπολογίσετε το όριο μιας ακολουθίας ή το όριο μιας συνάρτησης σε ένα σημείο και δεν υπάρχει χρόνος για αυτήν την εργασία από τη λέξη "απόλυτα", επικοινωνήστε με μια επαγγελματική υπηρεσία φοιτητών για μια γρήγορη και λεπτομερή λύση.

Ο χρόνος βασίζεται σε δευτερόλεπτα, λεπτά και ώρες.

Ενώ η βάση για αυτές τις μονάδες έχει αλλάξει κατά τη διάρκεια της ιστορίας, οι ρίζες τους μπορούν να εντοπιστούν από παλιά αρχαίο κράτοςΣούμερ.

Η σύγχρονη διεθνής μονάδα χρόνου καθορίζεται από την ηλεκτρονική μετάπτωση του ατόμου καισίου. Τι είναι όμως αυτό το φυσικό μέγεθος;

Ο χρόνος μετρά την εξέλιξη των γεγονότων

Ο χρόνος είναι μια μέτρηση της εξέλιξης των γεγονότων. Οι φυσικοί ορίζουν αυτή την ποσότητα ως την εξέλιξη των γεγονότων από το παρελθόν στο παρόν και στο μέλλον. Κατ 'αρχήν, εάν το σύστημα είναι αμετάβλητο, βρίσκεται εκτός αυτού του δείκτη. Ο χρόνος μπορεί να θεωρηθεί ως η τέταρτη διάσταση της πραγματικότητας, που χρησιμοποιείται για να περιγράψει γεγονότα στον τρισδιάστατο χώρο. Δεν είναι κάτι που μπορούμε να δούμε, να αισθανθούμε ή να γευτούμε, αλλά μπορούμε να μετρήσουμε το πέρασμά του.

Το βέλος δείχνει ότι ο χρόνος μετακινείται από το παρελθόν στο μέλλον και όχι το αντίστροφο.

Το βέλος στο ρολόι δείχνει ότι ο χρόνος κινείται από το παρελθόν στο μέλλον και όχι προς την άλλη κατεύθυνση. Οι φυσικές εξισώσεις λειτουργούν εξίσου καλά είτε η ποσότητα πηγαίνει προς τα εμπρός στο μέλλον (θετικός χρόνος) είτε προς τα πίσω στο παρελθόν (αρνητικός χρόνος). Ωστόσο, στον φυσικό κόσμο, αυτή η αξία έχει μία κατεύθυνση. Το ερώτημα γιατί είναι μη αναστρέψιμο είναι ένα από τα μεγαλύτερα άλυτα ερωτήματα στην επιστήμη.

Μια εξήγηση είναι ότι ο φυσικός κόσμος ακολουθεί τους νόμους της θερμοδυναμικής. Ο δεύτερος νόμος της θερμοδυναμικής λέει ότι σε ένα κλειστό σύστημα, η εντροπία του παραμένει σταθερή ή αυξάνεται. Εάν το σύμπαν θεωρείται κλειστό σύστημα, η εντροπία του (βαθμός αταξίας) δεν μπορεί ποτέ να μειωθεί. Με άλλα λόγια, ο χρόνος δεν μπορεί να επιστρέψει στην ακριβή κατάσταση που βρισκόταν σε παλαιότερο σημείο. Αυτή η τιμή δεν μπορεί να μετακινηθεί προς τα πίσω.

Επιβράδυνση ή επιτάχυνση

Ο χρόνος μετριέται με ακρίβεια από ρολόγια που μπορούν να επισκευαστούν. Στην κλασική μηχανική, είναι το ίδιο παντού. Ωστόσο, από την ειδική και γενική θεωρία της σχετικότητας του Αϊνστάιν, γνωρίζουμε ότι το μέγεθος είναι μια σχετική έννοια. Ο εκθέτης εξαρτάται από το πλαίσιο αναφοράς του παρατηρητή. Αυτό μπορεί να οδηγήσει σε υποκειμενική επιβράδυνση, όπου ο χρόνος μεταξύ των γεγονότων μεγαλώνει (επεκτείνεται) όσο πιο κοντά είναι ένα από αυτά στην ταχύτητα του φωτός.

Τα κινούμενα ρολόγια τρέχουν πιο αργά από τα ακίνητα ρολόγια και το αποτέλεσμα γίνεται πιο έντονο καθώς ο κινούμενος μηχανισμός πλησιάζει την ταχύτητα του φωτός. Τα ρολόγια στην τροχιά της Γης καταγράφουν το χρόνο πιο αργά από ό,τι στην επιφάνειά της, τα σωματίδια μιονίων διασπώνται πιο αργά καθώς πέφτουν και το πείραμα Michelson-Morley επιβεβαίωσε τη συστολή μήκους και την επέκταση του μεγέθους.

Η παράλληλη πραγματικότητα συμβάλλει στην αποφυγή του χρονικού παραδόξου όταν ταξιδεύουμε στο χρόνο

Το χρονικό παράδοξο στο ταξίδι στο χρόνο μπορεί να αποφευχθεί ταξιδεύοντας σε μια παράλληλη πραγματικότητα. Ταξίδι σημαίνει κίνηση προς τα εμπρός ή προς τα πίσω σε διαφορετικά σημεία, όπως ακριβώς μπορείτε να μετακινηθείτε μεταξύ διαφορετικών σημείων στο διάστημα. Το άλμα προς τα εμπρός στο χρόνο συμβαίνει στη φύση. Αστροναύτες επάνω διαστημικός σταθμόςεπιταχύνονται καθώς επιστρέφουν στη Γη και επιβραδύνουν σε σχέση με το σταθμό.

Υπάρχοντα προβλήματα

Ωστόσο, το ταξίδι στο χρόνο δημιουργεί προβλήματα. Ένα από αυτά είναι η αιτιότητα ή αιτιότητα. Η κίνηση προς τα πίσω μπορεί να προκαλέσει ένα χρονικό παράδοξο.

Το «παράδοξο του παππού» είναι ένα κλασικό παράδειγμα στην επιστήμη. Σύμφωνα με τον ίδιο, αν γυρίσεις πίσω και σκοτώσεις τον παππού σου πριν γεννηθεί η μητέρα ή ο πατέρας σου, μπορείς να αποτρέψεις τη δική σου γέννα.

Πολλοί φυσικοί πιστεύουν ότι το ταξίδι στο χρόνο στο παρελθόν είναι αδύνατο, αλλά υπάρχουν λύσεις στο παράδοξο, όπως το ταξίδι μεταξύ παράλληλα σύμπανταή σημεία διακλάδωσης.

Αντίληψη μιας φυσικής ποσότητας

Η γήρανση επηρεάζει την αντίληψη του χρόνου, αν και οι επιστήμονες δεν συμφωνούν με αυτή τη διάταξη. ανθρώπινος εγκέφαλοςσε θέση να παρακολουθεί το χρόνο. Οι υπερχιασματικοί πυρήνες του εγκεφάλου είναι η περιοχή που είναι υπεύθυνη για τους καθημερινούς ή κιρκαδικούς φυσικούς ρυθμούς. Τα νευροδιεγερτικά και τα φάρμακα επηρεάζουν σημαντικά την αντίληψή του. ΧΗΜΙΚΕΣ ΟΥΣΙΕΣ, που διεγείρουν τους νευρώνες, τους κάνουν να λειτουργούν πιο γρήγορα, ενώ η μείωση της εργασίας των νευρώνων επιβραδύνει την αντίληψη του χρόνου.

Βασικά, όταν όλα γύρω σας φαίνονται να επιταχύνονται, ο εγκέφαλος παράγει περισσότερα γεγονότα μέσα σε ένα συγκεκριμένο διάστημα. Από αυτή την άποψη, ο χρόνος πραγματικά φαίνεται να πετά όταν διασκεδάζετε. Αλλά φαίνεται να επιβραδύνει με τον καιρό έκτακτης ανάγκηςή κίνδυνος.

Οι επιστήμονες στο Baylor College of Medicine στο Χιούστον λένε ότι ο εγκέφαλος στην πραγματικότητα δεν επιταχύνει, αλλά μια περιοχή όπως η αμυγδαλή γίνεται πιο ενεργή. Η αμυγδαλή είναι το τμήμα του εγκεφάλου που είναι υπεύθυνο για τη δημιουργία αναμνήσεων. Όπως σχηματίζεται περισσότερες αναμνήσειςο χρόνος φαίνεται να έχει τεντωθεί.

Το ίδιο φαινόμενο εξηγεί γιατί οι ηλικιωμένοι φαίνεται να αντιλαμβάνονται τον χρόνο με ταχύτερο ρυθμό από ό,τι όταν ήταν νεότεροι. Οι ψυχολόγοι πιστεύουν ότι ο εγκέφαλος σχηματίζει περισσότερες αναμνήσεις από νέες εμπειρίες παρά από γνωστές. Δεδομένου ότι υπάρχουν όλο και λιγότερες νέες αναμνήσεις στην τελευταία περίοδο της ζωής, ο χρόνος φαίνεται να περνάει πιο γρήγορα στην αντίληψη ενός ηλικιωμένου ατόμου.

Αρχή και τέλος χρόνου

Όλο και περισσότεροι επιστήμονες τείνουν να πιστεύουν ότι το Σύμπαν μας γεννήθηκε ως αποτέλεσμα μιας ισχυρής έκρηξης ενός συγκεκριμένου σημείου υπό όρους, στο οποίο δεν σημειώθηκαν δείκτες όπως η μάζα, ο χρόνος και ο χώρος.

Ο αστρονόμος Stephen Hawking και ο συνάδελφός του στο Cambridge Neil Turok προτείνουν ότι αρχικά υπήρχε μια ιδέα από την οποία γεννήθηκε η λέξη. Αυτές οι δύο έννοιες ήταν που περιλάμβαναν χρόνο και χώρο.

Δεν είναι γνωστό αν ο χρόνος έχει αρχή ή τέλος. Όσον αφορά το σύμπαν, ο χρόνος έχει ξεκινήσει σε αυτό. Το σημείο εκκίνησης ήταν πριν από 13.799 δισεκατομμύρια χρόνια όταν συνέβη το Big Bang. Απόδειξη αυτής της διαδικασίας είναι η ερειπωμένη ακτινοβολία στο διάστημα και η θέση των γαλαξιών που υποχωρούν. Αυτή τη στιγμή, αρχίζουν να γίνονται μεταβάσεις από το ένα επίπεδο φυσικής οργάνωσης στο άλλο - από τον πυρήνα στο άτομο και στη συνέχεια στο μόριο, από το οποίο εμφανίστηκε η ζωντανή ύλη.

Μπορούμε να μετρήσουμε την κοσμική ακτινοβολία υποβάθρου ως μικροκύματα από τη Μεγάλη Έκρηξη, αλλά δεν έχει σημειωθεί ακτινοβολία με προγενέστερη προέλευση.

Ένα επιχείρημα σχετικά με την προέλευση του χρόνου είναι ότι εάν επρόκειτο να επεκταθεί επ' αόριστον, τότε ο νυχτερινός ουρανός θα γέμιζε με το φως των παλαιών αστεριών.

Θα υπάρξει ώρα λήξης;

Η απάντηση σε αυτό το ερώτημα είναι άγνωστη. Εάν το σύμπαν διαστέλλεται για πάντα, ο χρόνος θα συνεχιστεί. Εάν συμβεί ένα νέο Big Bang, το χρονοδιάγραμμά μας θα τελειώσει και θα ξεκινήσει μια νέα αντίστροφη μέτρηση. Σε πειράματα σωματιδιακής φυσικής, τυχαία σωματίδια αναδύονται από το κενό, έτσι το σύμπαν δεν φαίνεται να γίνεται στατικό ή διαχρονικό. Ο χρόνος θα δείξει…

Ας υποθέσουμε ότι: - εγώ, εσύ και ο Chronoscopist - πετάξαμε με ένα αεροπλάνο Ειρηνικός ωκεανός. Στο δρόμο ήπιαμε και οι τρεις μας αψέντι, ήπιαμε, κόψαμε την πόρτα από την τουαλέτα και για αυτό μας πέταξαν στη θάλασσα από έξοδο κινδύνου. Ευτυχώς, ένα μικρό, ανώνυμο πολυνησιακό νησί ανακαλύφθηκε κοντά στο σημείο της συντριβής μας. Έχοντας βγει στην ακτή, συμβουλευτήκαμε και αποφασίσαμε να το θεωρήσουμε μια νέα πολιτεία που ονομάζεται Ηνωμένες Πολιτείες του Αψέντι (ΗΠΑ).

Όταν μας πέταξαν έξω από το αεροπλάνο, οι αποσκευές μας, φυσικά, δεν μας έδωσαν.

Επομένως, όλα τα υλικά και άυλα περιουσιακά στοιχεία που έχουμε είναι μόνο η πόρτα της τουαλέτας, την οποία πήρατε μαζί σας. Και γενικά, παρά το αψέντι, αποδείχτηκες ότι ήσουν ο πιο φειδωλός μαζί μας: στο πορτοφόλι σου, εντελώς τυχαία, βρέθηκε ένα χαρτονόμισμα των εκατό δολαρίων. Έτσι, στις Ηνωμένες Πολιτείες μας υπάρχουν μη χρηματοοικονομικά περιουσιακά στοιχεία - η πόρτα - και χρηματοοικονομικά περιουσιακά στοιχεία, είναι επίσης η προσφορά χρήματος - εκατό δολάρια. Αυτές είναι όλες οι οικονομίες μας. Δεδομένου ότι δεν έχουμε τίποτα άλλο, μπορούμε να πούμε το εξής: έχουμε ένα απτό περιουσιακό στοιχείο - μια πόρτα, που υποστηρίζεται από εκατό δολάρια σε προσφορά χρήματος. Θέλω να πω, η πόρτα μας κοστίζει εκατό δολάρια.

Έχοντας ξεθυμάνει λίγο, αποφασίζουμε ότι πρέπει κάπως να ηρεμήσουμε. Ο Χρονοσκόπος ήταν ο πιο γρήγορος από εμάς. Ανήγγειλε αμέσως ότι δημιουργούσε μια τράπεζα και ήταν έτοιμος να λάβει στην ανάπτυξη τις εξοικονομήσεις χρημάτων του πληθυσμού με 3 τοις εκατό ετησίως - καλά, ένα άτομο δεν μπορεί να μείνει αδρανής. Του δίνεις εκατό δολάρια και εκείνος τα σημειώνει σε ένα σημειωματάριο στο άρθρο «Υπευθυνότητα - καταθέσεις». Αλλά επίσης δεν έβγαλα παπούτσια - μάταια, ίσως, ξοδεύω τόσο πολύ χρόνο ερευνώντας την οικονομική απάτη - ξέρω πώς να αρπάξω και την πόρτα και εκατό δολάρια από εσάς. Σας προτείνω να παίρνετε τα εκατό δολάρια σας σε ανάπτυξη με 5 τοις εκατό ετησίως. Σκίζω ένα κομμάτι χαρτί από το σημειωματάριό μου και γράφω πάνω του: «Ομόλογο 100$ με 5% ετησίως». Νιώθεις ότι έχεις πλημμυρίσει. Παίρνεις χρήματα από την κατάθεση ενός απογοητευμένου Χρονοσκοπητή και μου τα δίνεις ως αντάλλαγμα για το δεσμό μου.

Παίρνω τα εκατό δολάρια σας και τα καταθέτω πίσω στην τράπεζα του ευχαριστημένου Χρονοσκοπιστή.

Με την καλή έννοια, θα ήταν δυνατό να ηρεμήσετε σε αυτό και να πάτε όλοι για δουλειές - να κουνήσετε έναν φοίνικα ή να βουτήξετε για μαλάκια - για να κερδίσετε το καθημερινό τους ψωμί, ας πούμε έτσι. Αλλά ξέρετε - είμαι μια ακαταμάχητη οικονομική ιδιοφυΐα, τέτοια μικροπράγματα όπως οι καρύδες και τα στρείδια δεν με ενδιαφέρουν. Σπρώχνοντας γύρω από το νησί μας - πενήντα βήματα από Νότια ακτήπρος τα βόρεια και τριάντα -από τα δυτικά προς τα ανατολικά- σκέφτομαι έναν έξυπνο συνδυασμό. Έρχομαι κοντά σας και σας προσφέρω να κερδίσετε άλλο ένα τοις εκατό ετησίως από την αρχή. Πάρε ένα δάνειο από την τράπεζα Chronoscopist με 4 τοις εκατό και αγοράσε άλλο ομόλογο από εμένα με 5 τοις εκατό.

Γράφω αμέσως το δεύτερο ομόλογο για εκατό δολάρια σε ένα σημειωματάριο και το κουνώ μπροστά στη μύτη σου. Χωρίς να το σκεφτείς δύο φορές, τρέχεις στην τράπεζα και παίρνεις δάνειο εκατό δολαρίων με εξασφάλιση από το πρώτο μου ομόλογο εκατό δολαρίων. Είναι εκεί - τα έβαλα εκεί σε κατάθεση. Μου δανείζεις εκατό δολάρια και βάζεις το δεύτερο ομόλογο στο πορτοφόλι σου - τώρα έχεις τα ομόλογά μου διακοσίων δολαρίων.

Και έβαλα εκατό δολάρια στην τράπεζα - τώρα έχω διακόσια δολάρια σε κατάθεση εκεί. Ο χρονοσκόπος χοροπηδά ήδη από τη χαρά του: η πιστωτική επιχείρηση έχει σκάσει.

Νομίζεις ότι θα σταματήσω εκεί; Ναι, τώρα - σας έχω ήδη εκδώσει το τρίτο ομόλογο. Τρέξιμο στην τράπεζα για δάνειο που εξασφαλίζεται με δεύτερο ομόλογο. Προς το βράδυ, αφού τρέξαμε στο νησί με αυτά τα εκατό δολάρια και σκίσατε όλα τα φύλλα από το σημειωματάριο για ομόλογα, έχουμε την παρακάτω εικόνα. Έχετε πέντε χιλιάδες δολάρια από τα ομόλογά μου και εγώ έχω πέντε χιλιάδες δολάρια καταθέσεις στην τράπεζα. Τώρα νιώθω ότι ήρθε η ώρα να βάλετε τα χέρια σας στην πόρτα σας. Προσφέρομαι να το αγοράσω από εσάς για εκατό δολάρια. Αλλά είσαι άτακτος -υπάρχει μόνο μια πόρτα- και σπας την τιμή των χιλίων δολαρίων. Λοιπόν, χίλια δολάρια είναι χίλια δολάρια - τελικά, έχω ολόκληρα πέντε χιλιάδες δολάρια σε κατάθεση. Στο τελευταίο σημειωματάριο, στέλνω μια εντολή πληρωμής στον Χρονοσκοπιστή να μεταφέρει χίλια δολάρια από την κατάθεσή μου στη δική σας και να πάρει την πόρτα σας.

Εάν δώσουμε τη λογιστική μας σε έναν Αμερικανό οικονομολόγο με πτυχίο Χάρβαρντ, θα μας πει ότι οι Ηνωμένες Πολιτείες μας έχουν χίλια δολάρια ενσώματων περιουσιακών στοιχείων σε μορφή πόρτας και δέκα χιλιάδες δολάρια χρηματοοικονομικά περιουσιακά στοιχεία με τη μορφή ομολόγων και καταθέσεων. . Δηλαδή ότι η αξία της συνολικής μας περιουσίας αυξήθηκε 110 φορές μέσα σε μια μέρα.