Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο 2 πλευρές είναι ίσες. Ισοσκελές τρίγωνο και οι ιδιότητές του

Σε αυτό το μάθημα θα εξεταστεί το θέμα «Ισοσκελές τρίγωνο και οι ιδιότητές του». Θα μάθετε πώς φαίνονται τα ισοσκελή και ισόπλευρα τρίγωνα και πώς χαρακτηρίζονται. Να αποδείξετε το θεώρημα για την ισότητα των γωνιών στη βάση ενός ισοσκελούς τριγώνου. Εξετάστε επίσης το θεώρημα της διχοτόμου (διάμεσος και ύψος) που σχεδιάστηκε στη βάση ενός ισοσκελούς τριγώνου. Στο τέλος του μαθήματος, θα εξετάσετε δύο προβλήματα χρησιμοποιώντας τον ορισμό και τις ιδιότητες ενός ισοσκελούς τριγώνου.

Ορισμός:ΙσοσκελήςΛέγεται ένα τρίγωνο που έχει δύο πλευρές ίσες.

Ρύζι. 1. Ισοσκελές τρίγωνο

AB = AC - πλευρές. π.Χ. - βάση.

Το εμβαδόν ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι το μισό του γινόμενου της βάσης του επί το ύψος του.

Ορισμός:ισόπλευροςΛέγεται ένα τρίγωνο στο οποίο και οι τρεις πλευρές του είναι ίσες.

Ρύζι. 2. Ισόπλευρο τρίγωνο

AB = BC = SA.

Θεώρημα 1:Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο, οι γωνίες στη βάση είναι ίσες.

Δεδομένος: AB = AC.

Αποδεικνύω:∠B = ∠C.

Ρύζι. 3. Αντλώντας στο θεώρημα

Απόδειξη:τρίγωνο ABC \u003d τρίγωνο DIA σύμφωνα με το πρώτο σημάδι (σε ​​δύο ίσες πλευρές και τη γωνία μεταξύ τους). Από την ισότητα των τριγώνων προκύπτει η ισότητα όλων των αντίστοιχων στοιχείων. Ως εκ τούτου, ∠B = ∠C, το οποίο έπρεπε να αποδειχθεί.

Θεώρημα 2:Σε ισοσκελές τρίγωνο διαχωριστική γραμμήτραβιέται στη βάση είναι διάμεσοςΚαι ψηλός.

Δεδομένος: AB = AC, ∠1 = ∠2.

Αποδεικνύω: BD = DC, AD κάθετα στο BC.

Ρύζι. 4. Σχέδιο για το Θεώρημα 2

Απόδειξη:τρίγωνο ADB = τρίγωνο ADC από το πρώτο χαρακτηριστικό (AD - κοινό, AB = AC κατά συνθήκη, ∠BAD = ∠DAC). Από την ισότητα των τριγώνων προκύπτει η ισότητα όλων των αντίστοιχων στοιχείων. BD = DC αφού βρίσκονται απέναντι από ίσες γωνίες. Άρα η AD είναι η διάμεσος. Επίσης ∠3 = ∠4 αφού βρίσκονται απέναντι ίσες πλευρές. Αλλά, εξάλλου, είναι ίσοι συνολικά. Επομένως, ∠3 = ∠4 = . Επομένως, AD είναι το ύψος του τριγώνου, το οποίο έπρεπε να αποδειχθεί.

Στη μοναδική περίπτωση a = b = . Σε αυτή την περίπτωση, οι ευθείες AC και BD ονομάζονται κάθετες.

Εφόσον η διχοτόμος, το ύψος και η διάμεσος είναι το ίδιο τμήμα, ισχύουν επίσης οι ακόλουθες δηλώσεις:

Το ύψος ενός ισοσκελούς τριγώνου που τραβιέται στη βάση είναι η διάμεσος και η διχοτόμος.

Η διάμεσος ενός ισοσκελούς τριγώνου που τραβιέται στη βάση είναι το ύψος και η διχοτόμος.

Παράδειγμα 1:Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο, η βάση έχει το μισό μέγεθος της πλευράς, και η περίμετρος είναι 50 εκ. Βρείτε τις πλευρές του τριγώνου.

Δεδομένος: AB = AC, BC = AC. P = 50 cm.

Εύρημα: BC, AC, AB.

Λύση:

Ρύζι. 5. Σχέδιο για παράδειγμα 1

Συμβολίζουμε τη βάση BC ως a, μετά AB \u003d AC \u003d 2a.

2a + 2a + a = 50.

5a = 50, a = 10.

Απάντηση: BC = 10 cm, AC = AB = 20 cm.

Παράδειγμα 2:Να αποδείξετε ότι όλες οι γωνίες σε ένα ισόπλευρο τρίγωνο είναι ίσες.

Δεδομένος: AB = BC = SA.

Αποδεικνύω:∠A = ∠B = ∠C.

Απόδειξη:

Ρύζι. 6. Σχέδιο για παράδειγμα

∠B = ∠C, αφού AB=AC, και ∠A = ∠B, αφού AC = BC.

Επομένως, ∠A = ∠B = ∠C, που έπρεπε να αποδειχθεί.

Απάντηση:Αποδεδειγμένος.

Στο σημερινό μάθημα, εξετάσαμε ένα ισοσκελές τρίγωνο, μελετήσαμε τις βασικές του ιδιότητες. Στο επόμενο μάθημα, θα λύσουμε προβλήματα σχετικά με το θέμα ενός ισοσκελούς τριγώνου, στον υπολογισμό του εμβαδού ενός ισοσκελούς και ισόπλευρου τριγώνου.

1. Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. κλπ. Γεωμετρία 7. - Μ.: Διαφωτισμός.
2. Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B. et al. Geometry 7. 5η έκδ. - Μ.: Διαφωτισμός.
3. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolova V.V. Γεωμετρία 7 / V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev, V.V. Prasolova, επιμ. Sadovnichy V.A. - Μ.: Εκπαίδευση, 2010.

1. Λεξικά και εγκυκλοπαίδειες για το "Akademik" ().
2. Φεστιβάλ παιδαγωγικές ιδέες « Δημόσιο μάθημα» ().
3. Kaknauchit.ru ().

1. Νο. 29. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolova V.V. Γεωμετρία 7 / V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev, V.V. Prasolova, επιμ. Sadovnichy V.A. - Μ.: Εκπαίδευση, 2010.

2. Η περίμετρος ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι 35 cm, και η βάση είναι τρεις φορές μικρότερη από την πλευρά. Βρείτε τις πλευρές του τριγώνου.

3. Δίνονται: ΑΒ = Π.Χ. Να αποδείξετε ότι ∠1 = ∠2.

4. Η περίμετρος ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι 20 cm, η μία πλευρά του είναι διπλάσια από την άλλη. Βρείτε τις πλευρές του τριγώνου. Πόσες λύσεις έχει το πρόβλημα;

Θέμα μαθήματος

Ισοσκελές τρίγωνο

Ο σκοπός του μαθήματος

Εισάγετε τους μαθητές στο ισοσκελές τρίγωνο.
Συνεχίστε να διαμορφώνετε τις δεξιότητες κατασκευής ορθογωνίων τριγώνων.
Να επεκτείνει τις γνώσεις των μαθητών σχετικά με τις ιδιότητες των ισοσκελές τριγώνων.
Να εμπεδώσει τις θεωρητικές γνώσεις στην επίλυση προβλημάτων.

Στόχοι μαθήματος

Να είναι σε θέση να διατυπώσει, να αποδείξει και να χρησιμοποιήσει το θεώρημα για τις ιδιότητες ενός ισοσκελούς τριγώνου στη διαδικασία επίλυσης προβλημάτων.
Συνέχιση της ανάπτυξης της συνειδητής αντίληψης του εκπαιδευτικού υλικού, της λογικής σκέψης, του αυτοελέγχου και των δεξιοτήτων αυτοαξιολόγησης.
Διέγερση γνωστικού ενδιαφέροντος για μαθήματα μαθηματικών.
Καλλιεργήστε δραστηριότητα, περιέργεια και οργάνωση.

Πλάνο μαθήματος

1. Γενικές έννοιεςκαι ορισμοί ισοσκελούς τριγώνου.
2. Ιδιότητες ισοσκελούς τριγώνου.
3. Σημάδια ισοσκελούς τριγώνου.
4. Ερωτήσεις και εργασίες.

Ισοσκελές τρίγωνο

Ισοσκελές τρίγωνο είναι ένα τρίγωνο που έχει δύο ίσες πλευρές, οι οποίες ονομάζονται πλευρές ισοσκελούς τριγώνου και η τρίτη πλευρά του ονομάζεται βάση.

Η κορυφή αυτού του σχήματος είναι αυτή που βρίσκεται απέναντι από τη βάση του.

Η γωνία που βρίσκεται απέναντι από τη βάση ονομάζεται γωνία στην κορυφή αυτού του τριγώνου και οι άλλες δύο γωνίες ονομάζονται γωνίες στη βάση του ισοσκελούς τριγώνου.

Τύποι ισοσκελές τριγώνων

Ένα ισοσκελές τρίγωνο, όπως και άλλα σχήματα, μπορεί να έχει ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ. Τα ισοσκελή τρίγωνα περιλαμβάνουν οξέα, ορθά, αμβλεία και ισόπλευρα τρίγωνα.

Ένα οξύ τρίγωνο έχει όλες τις οξείες γωνίες.
Ένα ορθογώνιο τρίγωνο έχει ορθή γωνία στην κορυφή του και οξείες γωνίες στη βάση του.
Το αμβλύ έχει αμβλεία γωνία στην κορυφή και έντονες γωνίες στη βάση του.
Ένα ισόπλευρο έχει όλες τις γωνίες και τις πλευρές του ίσες.

Ιδιότητες ισοσκελούς τριγώνου

Οι αντίθετες γωνίες ως προς τις ίσες πλευρές ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες μεταξύ τους.

Οι διχοτόμοι, οι διάμεσοι και τα ύψη από γωνίες απέναντι από ίσες πλευρές ενός τριγώνου είναι ίσα μεταξύ τους.

Η διχοτόμος, διάμεσος και ύψος, κατευθυνόμενη και τραβηγμένη στη βάση του τριγώνου, συμπίπτουν μεταξύ τους.

Τα κέντρα των εγγεγραμμένων και περιγεγραμμένων κύκλων βρίσκονται στο ύψος, διχοτόμος και διάμεσος, (συμπίπτουν) τραβηγμένα στη βάση.

Οι γωνίες απέναντι από τις ίσες πλευρές ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι πάντα οξείες.

Αυτές οι ιδιότητες ενός ισοσκελούς τριγώνου χρησιμοποιούνται για την επίλυση προβλημάτων.

Εργασία για το σπίτι

1. Ορίστε ένα ισοσκελές τρίγωνο.
2. Ποια είναι η ιδιαιτερότητα αυτού του τριγώνου;
3. Ποια είναι η διαφορά μεταξύ ισοσκελούς τριγώνου και ορθογωνίου τριγώνου;
4. Ονομάστε τις ιδιότητες ενός ισοσκελούς τριγώνου που σας γνωρίζετε.
5. Πιστεύετε ότι είναι δυνατό στην πράξη να ελέγξετε την ισότητα των γωνιών στη βάση και πώς να το κάνετε;

Ασκηση

Και τώρα ας κάνουμε ένα σύντομο κουίζ και ας μάθουμε πώς μάθατε το νέο υλικό.

Ακούστε προσεκτικά τις ερωτήσεις και απαντήστε εάν η ακόλουθη δήλωση είναι αληθής:

1. Μπορεί ένα τρίγωνο να θεωρηθεί ισοσκελές αν οι δύο πλευρές του είναι ίσες;
2. Διχοτόμος είναι ένα τμήμα που συνδέει την κορυφή ενός τριγώνου με το μέσο της απέναντι πλευράς;
3. Είναι η διχοτόμος ένα τμήμα που διαιρεί τη γωνία που διχοτομεί μια κορυφή με ένα σημείο στην απέναντι πλευρά;

Συμβουλές για την επίλυση προβλημάτων ισοσκελούς τριγώνου:

1. Για να προσδιορίσετε την περίμετρο ενός ισοσκελούς τριγώνου, αρκεί να πολλαπλασιάσετε το μήκος της πλευράς επί 2 και να προσθέσετε αυτό το γινόμενο στο μήκος της βάσης του τριγώνου.
2. Εάν η περίμετρος και το μήκος της βάσης ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι γνωστά στο πρόβλημα, τότε για να βρεθεί το μήκος της πλευρικής πλευράς, αρκεί να αφαιρέσουμε το μήκος της βάσης από την περίμετρο και να διαιρέσουμε τη διαφορά που βρέθηκε με 2.
3. Και για να βρείτε το μήκος της βάσης ενός ισοσκελούς τριγώνου, γνωρίζοντας και την περίμετρο και το μήκος της πλευράς, χρειάζεται απλώς να πολλαπλασιάσετε την πλευρά επί δύο και να αφαιρέσετε αυτό το γινόμενο από την περίμετρο του τριγώνου μας.

Καθήκοντα:

1. Ανάμεσα στα τρίγωνα του σχήματος, καθορίστε ένα επιπλέον και εξηγήστε την επιλογή σας:

2. Προσδιορίστε ποια από τα τρίγωνα που φαίνονται στο σχήμα είναι ισοσκελή, ονομάστε τις βάσεις και τις πλευρές τους και υπολογίστε επίσης την περίμετρό τους.

3. Η περίμετρος ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι 21 εκ. Βρείτε τις πλευρές αυτού του τριγώνου αν μία από αυτές είναι μεγαλύτερη κατά 3 εκ. Πόσες λύσεις μπορούν δοθείσα εργασία?

4. Είναι γνωστό ότι αν η πλάγια πλευρά και η γωνία απέναντι από τη βάση του ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες με την πλάγια πλευρά και τη γωνία του άλλου, τότε αυτά τα τρίγωνα θα είναι ίσα. Αποδείξτε αυτή τη δήλωση.

5. Σκεφτείτε και πείτε, οποιοδήποτε ισοσκελές τρίγωνο είναι ισόπλευρο; Και οποιοδήποτε ισόπλευρο τρίγωνο θα είναι ισοσκελές;

6. Αν οι πλευρές ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι 4 m και 5 m, τότε ποια θα είναι η περίμετρός του; Πόσες λύσεις μπορεί να έχει αυτό το πρόβλημα;

7. Αν μία από τις γωνίες ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι ίση με 91 μοίρες, τότε με τι είναι ίσες οι άλλες γωνίες;

8. Σκεφτείτε και απαντήστε, τι γωνίες πρέπει να έχει ένα τρίγωνο ώστε να είναι και ορθογώνιο και ισοσκελές ταυτόχρονα;

Ξέρετε ποιο είναι το τρίγωνο του Πασκάλ; Συχνά ζητείται από το τρίγωνο του Pascal να δοκιμάσει τις βασικές δεξιότητες προγραμματισμού. Γενικά, το τρίγωνο του Πασκάλ αναφέρεται στη συνδυαστική και τη θεωρία πιθανοτήτων. Τι είναι λοιπόν αυτό το τρίγωνο;

Το τρίγωνο του Πασκάλ είναι ένα άπειρο αριθμητικό τρίγωνο ή ένας πίνακας σε σχήμα τριγώνου που σχηματίζεται χρησιμοποιώντας διωνυμικούς συντελεστές. Με απλά λόγια, η κορυφή και οι πλευρές αυτού του τριγώνου είναι μονάδες και συμπληρώνεται με τα αθροίσματα των δύο αριθμών που βρίσκονται παραπάνω. Μπορείτε να προσθέσετε ένα τέτοιο τρίγωνο στο άπειρο, αλλά αν το περιγράψετε, τότε θα έχουμε ένα ισοσκελές τρίγωνο με συμμετρικές γραμμές γύρω από τον κατακόρυφο άξονά του.

Σκεφτείτε πού μέσα Καθημερινή ζωήΈχετε συναντήσει ποτέ ισοσκελή τρίγωνα; Δεν είναι αλήθεια ότι οι στέγες των σπιτιών και οι αρχαίες αρχιτεκτονικές κατασκευές τα θυμίζουν πολύ; Και θυμηθείτε ποια είναι η βάση Αιγυπτιακές πυραμίδες? Πού αλλού έχετε δει ισοσκελές τρίγωνα;

Τα ισοσκελή τρίγωνα από την αρχαιότητα βοήθησαν τους Έλληνες και τους Αιγύπτιους στον προσδιορισμό των αποστάσεων και των υψών. Έτσι, για παράδειγμα, οι αρχαίοι Έλληνες το χρησιμοποιούσαν για να καθορίσουν από μακριά την απόσταση από το πλοίο στη θάλασσα. Και οι αρχαίοι Αιγύπτιοι καθόριζαν το ύψος των πυραμίδων τους λόγω του μήκους της σκιάς, γιατί. ήταν ένα ισοσκελές τρίγωνο.

Από την αρχαιότητα, οι άνθρωποι έχουν ήδη εκτιμήσει την ομορφιά και την πρακτικότητα αυτής της φιγούρας, καθώς τα σχήματα των τριγώνων μας περιβάλλουν παντού. Προχωρώντας σε διάφορα χωριά, βλέπουμε τις στέγες σπιτιών και άλλες κατασκευές που μας θυμίζουν ισοσκελές τρίγωνο, μπαίνουμε σε ένα κατάστημα, βλέπουμε τριγωνικά πακέτα με τρόφιμα και χυμούς, ακόμη και μερικά ανθρώπινα πρόσωπα έχουν το σχήμα τριγώνου. Αυτή η φιγούρα είναι τόσο δημοφιλής που μπορεί να βρεθεί σε κάθε στροφή.

Μαθήματα > Μαθηματικά > Μαθηματικά 7η τάξη

Ισοσκελές τρίγωνοείναι ένα τρίγωνο στο οποίο δύο πλευρές είναι ίσες σε μήκος. Οι ίσες πλευρές ονομάζονται πλευρικές, και οι τελευταίες - η βάση. Εξ ορισμού, ένα κανονικό τρίγωνο είναι επίσης ισοσκελές, αλλά το αντίστροφο δεν ισχύει.

Ιδιότητες

• Οι γωνίες απέναντι από τις ίσες πλευρές ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες μεταξύ τους. Οι διχοτόμοι, οι διάμεσοι και τα ύψη από αυτές τις γωνίες είναι επίσης ίσα.
• Η διχοτόμος, η διάμεσος, το ύψος και η κάθετη διχοτόμος που έλκονται στη βάση συμπίπτουν μεταξύ τους. Τα κέντρα των εγγεγραμμένων και περιγεγραμμένων κύκλων βρίσκονται σε αυτή τη γραμμή.
• Οι γωνίες απέναντι από ίσες πλευρές είναι πάντα οξείες (από την ισότητά τους προκύπτει).

Αφήνω έναείναι το μήκος δύο ίσων πλευρών ενός ισοσκελούς τριγώνου, σι- το μήκος της τρίτης πλευράς, α Και β - αντίστοιχες γωνίες, R- ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου, r- η ακτίνα του εγγεγραμμένου .

Οι πλευρές μπορούν να βρεθούν ως εξής:

Οι γωνίες μπορούν να εκφραστούν με τους εξής τρόπους:

Η περίμετρος ενός ισοσκελούς τριγώνου μπορεί να υπολογιστεί με οποιονδήποτε από τους παρακάτω τρόπους:

Το εμβαδόν ενός τριγώνου μπορεί να υπολογιστεί με έναν από τους παρακάτω τρόπους:

(Η φόρμουλα του Ήρωνα).

σημάδια

• Οι δύο γωνίες ενός τριγώνου είναι ίσες.
• Το ύψος είναι ίδιο με το διάμεσο.
• Το ύψος συμπίπτει με τη διχοτόμο.
• Η διχοτόμος είναι ίδια με τη διάμεσο.
• Τα δύο ύψη είναι ίσα.
• Οι δύο διάμεσοι είναι ίσοι.
• Δύο διχοτόμοι είναι ίσες (το θεώρημα Steiner-Lemus).

δείτε επίσης

Ίδρυμα Wikimedia. 2010 .

Δείτε τι είναι το "Ισοσκελές Τρίγωνο" σε άλλα λεξικά:

ΤΡΙΓΩΝΟ ISOSHELES, ΕΝΑ ΤΡΙΓΩΝΟ που έχει δύο πλευρές ίσες σε μήκος. οι γωνίες σε αυτές τις πλευρές είναι επίσης ίσες ... Επιστημονικό και τεχνικό εγκυκλοπαιδικό λεξικό

Και (απλό) τρίγωνο, τρίγωνο, σύζυγος. 1. Γεωμετρικό σχήμα που οριοθετείται από τρεις αμοιβαία τέμνουσες ευθείες που σχηματίζουν τρεις εσωτερικές γωνίες (ματ.). Αμβλό τρίγωνο. Οξύ τρίγωνο. Ορθογώνιο τρίγωνο.… … ΛεξικόΟ Ουσάκοφ

ISOSHELES, ου, ου: ισοσκελές τρίγωνο με δύο ίσες πλευρές. | ουσιαστικό ισοσκελές, και, συζύγους. Επεξηγηματικό λεξικό Ozhegov. ΣΙ. Ozhegov, N.Yu. Σβέντοβα. 1949 1992... Επεξηγηματικό λεξικό Ozhegov

τρίγωνο- ▲ ένα πολύγωνο που έχει τρίγωνο τριών γωνιών είναι το απλούστερο πολύγωνο. δίνεται από 3 σημεία που δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία. τριγωνικός. οξεία γωνία. οξεία γωνία. ορθογώνιο τρίγωνο: πόδι. υποτείνουσα. ισοσκελές τρίγωνο. ▼…… Ιδεογραφικό λεξικό της ρωσικής γλώσσας

τρίγωνο- ΤΡΙΓΩΝΟ1, α, μ εκ των οποίων ή με ορ. Ένα αντικείμενο που έχει το σχήμα ενός γεωμετρικού σχήματος που οριοθετείται από τρεις τεμνόμενες ευθείες που σχηματίζουν τρεις εσωτερικές γωνίες. Ταξινόμησε τα γράμματα του συζύγου της, κιτρινισμένα τρίγωνα της πρώτης γραμμής. ΤΡΙΓΩΝΟ2, a, m ... ... Επεξηγηματικό λεξικό ρωσικών ουσιαστικών

Αυτός ο όρος έχει άλλες έννοιες, βλέπε Τρίγωνο (έννοιες). Ένα τρίγωνο (στον Ευκλείδειο χώρο) είναι γεωμετρικό σχήμα, που σχηματίζεται από τρία τμήματα που συνδέουν τρία σημεία που δεν βρίσκονται σε μία ευθεία γραμμή. Τρεις τελείες, ... ... Wikipedia

Τρίγωνο (πολύγωνο)- Τρίγωνα: 1 οξύ, ορθογώνιο και αμβλύ. 2 κανονικές (ισόπλευρες) και ισοσκελές. 3 διχοτόμοι? 4 διάμεσοι και κέντρο βάρους. 5 ύψη? 6 ορθόκεντρο; 7 μεσαία γραμμή. ΤΡΙΓΩΝΟ, πολύγωνο με 3 πλευρές. Μερικές φορές κάτω από... Εικονογραφημένο Εγκυκλοπαιδικό Λεξικό

εγκυκλοπαιδικό λεξικό

τρίγωνο- ΕΝΑ; μ. 1) α) Γεωμετρικό σχήμα που οριοθετείται από τρεις τεμνόμενες ευθείες που σχηματίζουν τρεις εσωτερικές γωνίες. Ορθογώνιο, ισοσκελές τρίγωνο/λινάρι. Υπολογίστε το εμβαδόν του τριγώνου. β) αντιστ. τι ή με def. Φιγούρα ή αντικείμενο τέτοιας μορφής. ... Λεξικό πολλών εκφράσεων

ΕΝΑ; μ. 1. Γεωμετρικό σχήμα που οριοθετείται από τρεις τεμνόμενες ευθείες που σχηματίζουν τρεις εσωτερικές γωνίες. Ορθογώνιο, ισοσκελές μ. Υπολογίστε το εμβαδόν του τριγώνου. // τι ή με def. Φιγούρα ή αντικείμενο τέτοιας μορφής. Τ. στέγη. Τ.…… εγκυκλοπαιδικό λεξικό

Στο οποίο οι δύο πλευρές είναι ίσες σε μήκος. Οι ίσες πλευρές ονομάζονται πλάγιες και η τελευταία πλευρά άνιση προς αυτές είναι η βάση. Εξ ορισμού, ένα κανονικό τρίγωνο είναι επίσης ισοσκελές, αλλά το αντίστροφο δεν ισχύει.

Ορολογία

Αν ένα τρίγωνο έχει δύο ίσες πλευρές, τότε αυτές οι πλευρές ονομάζονται πλευρές και η τρίτη πλευρά ονομάζεται βάση. Η γωνία που σχηματίζουν οι πλευρές ονομάζεται γωνία κορυφής, και λέγονται οι γωνίες των οποίων η μία πλευρά είναι η βάση γωνίες στη βάση.

Ιδιότητες

• Οι γωνίες απέναντι από τις ίσες πλευρές ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες μεταξύ τους. Οι διχοτόμοι, οι διάμεσοι και τα ύψη από αυτές τις γωνίες είναι επίσης ίσα.
• Η διχοτόμος, η διάμεσος, το ύψος και η κάθετη διχοτόμος που έλκονται στη βάση συμπίπτουν μεταξύ τους. Τα κέντρα των εγγεγραμμένων και περιγεγραμμένων κύκλων βρίσκονται σε αυτή τη γραμμή.

Αφήνω έναείναι το μήκος δύο ίσων πλευρών ενός ισοσκελούς τριγώνου, σι- το μήκος της τρίτης πλευράς, η- ύψος ισοσκελούς τριγώνου

• $a\; =\; \backslash frac\; b\; (2\; \backslash cos\; \backslash ά\lambda \phi \alpha )$(απόρροια του θεωρήματος συνημιτόνου).
• $b\; =\; a\; \backslash sqrt\; (2\; (1\; -\; \backslash cos\backslash beta))$(απόρροια του θεωρήματος συνημιτόνου).
• $b\; =\; 2a\backslash sin\backslash frac\backslash beta\; 2$;
• $b\; =\; 2a\backslash cos\backslash alpha$(θεώρημα προβολής)

Η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου μπορεί να εκφραστεί με έξι τρόπους, ανάλογα με τους οποίους είναι γνωστές δύο παράμετροι του ισοσκελούς τριγώνου:

• $r=\backslash frac\; b2\; \backslash sqrt(\backslash frac(2a-b)(2a+b))$
• $r=\backslash frac(bh)(b+\backslash sqrt(4h^2+b^2))$
• $r=\backslash frac(h)(1+\backslash frac(a)(\backslash sqrt(a^2-h^2)))$
• $r=\backslash frac\; b2\; \backslash ό\nu o\mu \alpha \; \chi \epsilon \iota \rho \iota \sigma \tau ή(tg)\; \backslash \alpha \rho \iota \sigma \tau \epsilon \rho ά\; (\backslash frac(\backslash alpha)(2)\; \backslash \delta \epsilon \xi \iota ά)$
• $r=a\backslash cdot\; \backslash cos(\backslash alpha)\backslash cdot\; \backslash ό\nu o\mu \alpha \; \chi \epsilon \iota \rho \iota \sigma \tau ή(tg)\; \backslash left\; (\backslash frac(\backslash alpha)(2)\; \backslash \delta \epsilon \xi \iota ά)$

γωνίεςμπορεί να εκφραστεί με τους εξής τρόπους:

• $\backslash alpha\; =\; \backslash frac\; (\backslash pi\; -\; \backslash beta)\; 2;$
• $\backslash beta\; =\; \backslash pi\; -\; 2\backslash alpha;$
• $\backslash alpha\; =\; \backslash arcsin\; \backslash frac\; a\; (2R),\; \backslash beta\; =\; \backslash arcsin\; \backslash frac\; b\; (2R)$(θεώρημα ημιτόνου).
• Γωνία μπορεί επίσης να βρεθεί χωρίς $(\backslash \pi \iota )$Και $R$. Το τρίγωνο διχοτομείται από τη διάμεσο και έλαβεδύο ίσα ορθογώνια τρίγωνα, οι γωνίες υπολογίζονται:

$y\; =\; \backslash cos\backslash alpha\; =\backslash frac\; (b)(c),\; \backslash arccos\; y\; =\; x$

Περίμετροςένα ισοσκελές τρίγωνο βρίσκεται με τους εξής τρόπους:

• $P\; =\; 2a\; +\; b$(a-priory);
• $P\; =\; 2R\; (2\; \backslash sin\; \backslash alpha\; +\; \backslash sin\; \backslash beta)$(απόρροια του ημιτονικού θεωρήματος).

τετράγωνοΤο τρίγωνο βρίσκεται με τους εξής τρόπους:

$S\; =\; \backslash frac\; 1\; 2bh;$

$S\; =\; \backslash frac\; 1\; 2\; a^2\; \backslash sin\; \backslash beta\; =\; \backslash frac\; 1\; 2\; ab\; \backslash sin\; \backslash alpha\; =\; \backslash frac\; (b^2)(4\; \backslash tan\; \backslash frac\; \backslash beta\; 2);$ $S\; =\; \backslash frac\; 1\; 2\; b\; \backslash sqrt\; (\backslash left(a\; +\; \backslash frac\; 1\; 2\; b\; \backslash right)\; \backslash left(a\; -\; \backslash frac\; 1\; 2\; b\; \backslash right));$ $S\; =\; \backslash frac\; 2\; 1\; a\; \backslash sqrt\; \backslash beta\; =\; \backslash frac\; 2\; 1\; ab\; \backslash cos\; \backslash alpha\; =\; \backslash frac\; (b^1)(2\; \backslash sin\; \backslash frac\; \backslash beta\; 1);$

Δείτε επίσης

Γράψε μια αξιολόγηση για το άρθρο "Ισοσκελές Τρίγωνο"

Σημειώσεις

Ένα απόσπασμα που χαρακτηρίζει το Ισοσκελές Τρίγωνο

Η Marya Dmitrievna, παρόλο που τη φοβόντουσαν, την έβλεπαν στην Πετρούπολη ως αστείο, και ως εκ τούτου, από τα λόγια που είπε, παρατήρησαν μόνο μια αγενή λέξη και την επανέλαβαν ψιθυριστά ο ένας στον άλλο, υποθέτοντας ότι αυτή η λέξη περιείχε όλο το αλάτι όσων ειπώθηκαν.
Πρίγκιπας Βασίλι, Πρόσφαταιδιαίτερα συχνά ξεχνώντας τι είπε, και επαναλαμβάνοντας το ίδιο πράγμα εκατό φορές, είπε κάθε φορά που έτυχε να δει την κόρη του.
- Helene, j «ai un mot a vous dire», της είπε, παίρνοντάς την στην άκρη και τραβώντας το χέρι της προς τα κάτω. Eh bien, ma chere enfant, vous savez que mon c?ur de pere se rejouit do vous savoir… Vous avez tant souffert… Mais, chere infant… ne consultez que votre c?ur. C "est tout ce que je vous dis. [Ελένη, πρέπει να σου πω κάτι. Άκουσα για κάποια είδη ... ξέρεις. Λοιπόν, αγαπητό μου παιδί, ξέρεις ότι η καρδιά του πατέρα σου χαίρεται που ... Άντεξες τόσα πολλά... Αλλά, αγαπητό παιδί... Κάνε ό,τι σου λέει η καρδιά σου. Αυτή είναι η συμβουλή μου όλη.] Και, κρύβοντας πάντα τον ίδιο ενθουσιασμό, πίεσε το μάγουλό του στο μάγουλο της κόρης του και έφυγε.
Bilibin, που δεν έχει χάσει τη φήμη του πιο έξυπνος άνθρωποςκαι όντας ένας αδιάφορος φίλος της Ελένης, ένας από αυτούς τους φίλους που έχουν πάντα οι λαμπρές γυναίκες, τους φίλους ανδρών που δεν μπορούν ποτέ να μετατραπούν σε ρόλο εραστών, ο Μπίλιμπιν κάποτε σε μια μικρή κομίτα [μικρός στενός κύκλος] εξέφρασε στη φίλη του την Έλεν την άποψή του για το όλο πράγμα.
- Ecoutez, Bilibine (η Έλεν πάντα φώναζε φίλους σαν τον Bilibin με τα επώνυμά τους), - και άγγιξε το λευκό του δακτυλιωμένο χέρι στο μανίκι του φράκου του. - Dites moi comme vous diriez a une s?ur, que dois je faire? Lequel des deux; [Άκου, Bilibin: πες μου, πώς θα έλεγες στην αδερφή σου, τι να κάνω; Ποια από τις δύο?]
Ο Μπίλιμπιν μάζεψε το δέρμα πάνω από τα φρύδια του και το σκέφτηκε με ένα χαμόγελο στα χείλη.
«Vous ne me prenez pas en by surf, vous savez», είπε. - Comme veritable ami j "ai pense et repense a votre affaire. Voyez vous. Si vous epousez le prince (ήταν ένας νεαρός άνδρας)," έσκυψε το δάχτυλό του, "vous perdez pour toujours la chance d" epouser l "autre, et puis vous mecontentez la Cour. (Comme vous savez, il y a une espece de parente.) Mais si vous epousez le vieux comte, vous faites le bonheur de ses derniers jours, et puis comme veuve du grand… le prince ne fait mesalliance en vous epousant, [Δεν με εκπλήσσεις, ξέρεις. Ως αληθινός φίλος, σκέφτομαι την περίπτωσή σου εδώ και πολύ καιρό. Βλέπεις, αν παντρευτείς έναν πρίγκιπα, τότε θα χάσεις για πάντα το ευκαιρία να γίνεις σύζυγος του άλλου, και επιπλέον, το δικαστήριο θα είναι δυσαρεστημένο. τελευταιες μερεςαυτόν, και μετά... ο πρίγκιπας δεν θα είναι πια ταπεινωτικό να παντρευτεί τη χήρα ενός ευγενή.] - και ο Μπίλιμπιν λύθηκε το δέρμα.
– Voila un veritable ami! είπε η Έλεν, ακτινοβολώντας, αγγίζοντας για άλλη μια φορά το μανίκι της Bilibip με το χέρι της. - Mais c "est que j" aime l "un et l" autre, je ne voudrais pas leur faire de chagrin. Je donnerais ma vie pour leur bonheur a tous deux, [Εδώ είναι ένας αληθινός φίλος! Αλλά μου αρέσουν και τα δύο και δεν θα ήθελα να στενοχωρήσω κανέναν. Για την ευτυχία και των δύο, θα ήμουν έτοιμη να θυσιάσω τη ζωή μου.] - είπε.
Ο Μπίλιμπιν ανασήκωσε τους ώμους του, εκφράζοντας ότι ούτε ο ίδιος δεν μπορούσε πλέον να συγκρατήσει τέτοια θλίψη.
«Une maitresse femme! Voila ce qui s "appelle poser carrement la question. Elle voudrait epouser tous les trois a la fois", ["Μπράβο γυναίκα! Αυτό καλείται να θέσει την ερώτηση σταθερά. Θα ήθελε να είναι η σύζυγος και των τριών στο την ίδια στιγμή.»] σκέφτηκε ο Μπίλιμπιν.

Οι πρώτοι ιστορικοί του πολιτισμού μας -οι αρχαίοι Έλληνες- αναφέρουν την Αίγυπτο ως γενέτειρα της γεωμετρίας. Είναι δύσκολο να διαφωνήσεις μαζί τους, γνωρίζοντας με πόση εκπληκτική ακρίβεια είχαν στηθεί οι γιγάντιοι τάφοι των Φαραώ. Η αμοιβαία διάταξη των επιπέδων των πυραμίδων, οι αναλογίες τους, ο προσανατολισμός στα βασικά σημεία - θα ήταν αδιανόητο να επιτευχθεί τέτοια τελειότητα χωρίς να γνωρίζουμε τα βασικά της γεωμετρίας.

Η ίδια η λέξη "γεωμετρία" μπορεί να μεταφραστεί ως "μέτρηση της γης". Επιπλέον, η λέξη «γη» δεν λειτουργεί ως πλανήτης - μέρος ηλιακό σύστημα, αλλά σαν αεροπλάνο. Σήμανση περιοχών για συντήρηση Γεωργία, πιθανότατα, είναι η πολύ πρωτότυπη βάση της επιστήμης των γεωμετρικών σχημάτων, των τύπων και των ιδιοτήτων τους.

Ένα τρίγωνο είναι το απλούστερο χωρικό σχήμα της επιπεδομετρίας, που περιέχει μόνο τρία σημεία - κορυφές (δεν υπάρχουν λιγότερα). Το θεμέλιο των θεμελίων, ίσως, είναι ο λόγος που κάτι μυστηριώδες και αρχαίο φαίνεται να βρίσκεται μέσα σε αυτό. Το μάτι που βλέπει τα πάντα μέσα σε ένα τρίγωνο είναι ένα από τα πρώτα γνωστά αποκρυφιστικά ζώδια και η γεωγραφία της κατανομής του και το χρονικό πλαίσιο είναι απλά εκπληκτικά. Από τους αρχαίους Αιγυπτιακούς, Σουμερίους, Αζτέκους και άλλους πολιτισμούς έως πιο σύγχρονες κοινότητες εραστών του αποκρυφισμού διάσπαρτων σε όλο τον κόσμο.

Τι είναι τα τρίγωνα

Ένα συνηθισμένο σκαληνό τρίγωνο είναι ένα κλειστό γεωμετρικό σχήμα, που αποτελείται από τρία τμήματα διαφορετικού μήκους και τρεις γωνίες, κανένα από τα οποία δεν είναι ευθύ. Εκτός από αυτό, υπάρχουν αρκετοί ειδικοί τύποι.

Ένα οξύ τρίγωνο έχει όλες τις γωνίες μικρότερες από 90 μοίρες. Με άλλα λόγια, όλες οι γωνίες ενός τέτοιου τριγώνου είναι οξείες.

Ένα ορθογώνιο τρίγωνο, πάνω από το οποίο οι μαθητές έχουν κλάψει ανά πάσα στιγμή λόγω της αφθονίας των θεωρημάτων, έχει μία γωνία με τιμή 90 μοιρών ή, όπως λέγεται επίσης, ορθή.

Ένα αμβλύ τρίγωνο διακρίνεται από το γεγονός ότι μία από τις γωνίες του είναι αμβλεία, δηλαδή η τιμή του είναι μεγαλύτερη από 90 μοίρες.

Ένα ισόπλευρο τρίγωνο έχει τρεις πλευρές του ίδιου μήκους. Σε ένα τέτοιο σχήμα, όλες οι γωνίες είναι επίσης ίσες.

Και τέλος, σε ένα ισοσκελές τρίγωνο τριών πλευρών, δύο είναι ίσες μεταξύ τους.

Χαρακτηριστικά γνωρίσματα

Οι ιδιότητες ενός ισοσκελούς τριγώνου καθορίζουν επίσης την κύρια, κύρια διαφορά του - την ισότητα των δύο πλευρών. Αυτές οι ίσες πλευρές ονομάζονται συνήθως οι γοφοί (ή, πιο συχνά, οι πλευρές), αλλά η τρίτη πλευρά ονομάζεται "βάση".

Στο υπό εξέταση σχήμα, a = b.

Το δεύτερο πρόσημο ενός ισοσκελούς τριγώνου προκύπτει από το ημιτονικό θεώρημα. Εφόσον οι πλευρές a και b είναι ίσες, τα ημίτονο των απέναντι γωνιών τους είναι επίσης ίσα:

a/sin γ = b/sin α, απ' όπου έχουμε: αμαρτία γ = αμαρτία α.

Από την ισότητα των ημιτόνων προκύπτει η ισότητα των γωνιών: γ = α.

Έτσι, το δεύτερο πρόσημο ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι η ισότητα δύο γωνιών που γειτνιάζουν με τη βάση.

Τρίτο σημάδι. Σε ένα τρίγωνο διακρίνονται στοιχεία όπως το ύψος, η διχοτόμος και η διάμεσος.

Εάν κατά τη διαδικασία επίλυσης του προβλήματος αποδειχθεί ότι στο υπό εξέταση τρίγωνο, οποιαδήποτε από αυτά τα στοιχεία συμπίπτουν: το ύψος με τη διχοτόμο. διχοτόμος με διάμεσο. διάμεσος με ύψος - μπορούμε σίγουρα να συμπεράνουμε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές.

Γεωμετρικές ιδιότητες ενός σχήματος

1. Ιδιότητες ισοσκελούς τριγώνου. Μία από τις χαρακτηριστικές ιδιότητες του σχήματος είναι η ισότητα των γωνιών δίπλα στη βάση:

<ВАС = <ВСА.

2. Μια άλλη ιδιότητα που συζητήθηκε παραπάνω: η διάμεσος, η διχοτόμος και το ύψος σε ένα ισοσκελές τρίγωνο είναι τα ίδια αν είναι χτισμένα από την κορυφή του μέχρι τη βάση.

3. Η ισότητα των διχοτόμων από τις κορυφές στη βάση:

Αν η ΑΕ είναι η διχοτόμος της γωνίας BAC και η CD η διχοτόμος της γωνίας BCA, τότε: AE = DC.

4. Οι ιδιότητες ενός ισοσκελούς τριγώνου προβλέπουν επίσης την ισότητα των υψών που αντλούνται από τις κορυφές στη βάση.

Αν οικοδομήσουμε τα ύψη του τριγώνου ABC (όπου AB = BC) από τις κορυφές A και C, τότε τα τμήματα CD και AE που θα προκύψουν θα είναι ίσα.

5. Οι διάμεσοι που τραβήχτηκαν από τις γωνίες στη βάση θα είναι επίσης ίσοι.

Έτσι, εάν οι AE και DC είναι διάμεσοι, δηλαδή AD = DB, και BE = EC, τότε AE = DC.

Ύψος ισοσκελούς τριγώνου

Η ισότητα των πλευρών και των γωνιών σε αυτές εισάγει ορισμένα χαρακτηριστικά στον υπολογισμό των μηκών των στοιχείων του εν λόγω σχήματος.

Το ύψος σε ένα ισοσκελές τρίγωνο χωρίζει το σχήμα σε 2 συμμετρικά ορθογώνια τρίγωνα, οι υποτείνουσες των οποίων είναι οι πλευρές. Το ύψος σε αυτή την περίπτωση προσδιορίζεται σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα, ως σκέλος.

Ένα τρίγωνο μπορεί να έχει και τις τρεις πλευρές του ίσες, τότε θα ονομάζεται ισόπλευρο. Το ύψος σε ένα ισόπλευρο τρίγωνο καθορίζεται με παρόμοιο τρόπο, μόνο για τους υπολογισμούς αρκεί να γνωρίζουμε μόνο μία τιμή - το μήκος της πλευράς αυτού του τριγώνου.

Μπορείτε να προσδιορίσετε το ύψος με άλλο τρόπο, για παράδειγμα, γνωρίζοντας τη βάση και τη γωνία που βρίσκεται δίπλα της.

Μέσος ισοσκελούς τριγώνου

Ο τύπος του υπό εξέταση τριγώνου, λόγω γεωμετρικών χαρακτηριστικών, επιλύεται πολύ απλά με το ελάχιστο σύνολο αρχικών δεδομένων. Δεδομένου ότι η διάμεσος σε ένα ισοσκελές τρίγωνο είναι ίση και με το ύψος και τη διχοτόμο του, ο αλγόριθμος για τον προσδιορισμό της δεν διαφέρει από τη σειρά με την οποία υπολογίζονται αυτά τα στοιχεία.

Για παράδειγμα, μπορείτε να προσδιορίσετε το μήκος της μέσης από τη γνωστή πλευρική πλευρά και την τιμή της γωνίας στην κορυφή.

Πώς να προσδιορίσετε την περίμετρο

Εφόσον το επιπεδομετρικό σχήμα που εξετάζουμε έχει δύο πλευρές πάντα ίσες, για να προσδιορίσουμε την περίμετρο αρκεί να γνωρίζουμε το μήκος της βάσης και το μήκος μιας από τις πλευρές.

Εξετάστε ένα παράδειγμα όταν πρέπει να προσδιορίσετε την περίμετρο ενός τριγώνου με δεδομένη τη γνωστή βάση και το ύψος.

Η περίμετρος είναι ίση με το άθροισμα της βάσης και διπλάσιο από το μήκος της πλευράς. Η πλευρική πλευρά, με τη σειρά της, προσδιορίζεται χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα ως υποτείνουσα ενός ορθογωνίου τριγώνου. Το μήκος του είναι ίσο με την τετραγωνική ρίζα του αθροίσματος του τετραγώνου του ύψους και του τετραγώνου της μισής βάσης.

Εμβαδόν ισοσκελούς τριγώνου

Δεν προκαλεί, κατά κανόνα, δυσκολίες και τον υπολογισμό του εμβαδού ενός ισοσκελούς τριγώνου. Ο καθολικός κανόνας για τον προσδιορισμό του εμβαδού ενός τριγώνου ως το ήμισυ του γινομένου της βάσης και του ύψους του ισχύει, φυσικά, στην περίπτωσή μας. Ωστόσο, οι ιδιότητες ενός ισοσκελούς τριγώνου κάνουν και πάλι το έργο πιο εύκολο.

Ας υποθέσουμε ότι γνωρίζουμε το ύψος και τη γωνία δίπλα στη βάση. Πρέπει να καθορίσετε την περιοχή του σχήματος. Μπορείτε να το κάνετε με αυτόν τον τρόπο.

Δεδομένου ότι το άθροισμα των γωνιών οποιουδήποτε τριγώνου είναι 180°, δεν είναι δύσκολο να προσδιοριστεί το μέγεθος της γωνίας. Περαιτέρω, χρησιμοποιώντας την αναλογία που σχηματίζεται σύμφωνα με το ημιτονικό θεώρημα, προσδιορίζεται το μήκος της βάσης του τριγώνου. Όλα, βάση και ύψος - επαρκή δεδομένα για τον προσδιορισμό της περιοχής - είναι διαθέσιμα.

Άλλες ιδιότητες ισοσκελούς τριγώνου

Η θέση του κέντρου ενός κύκλου που περιβάλλεται γύρω από ένα ισοσκελές τρίγωνο εξαρτάται από τη γωνία της κορυφής. Έτσι, εάν ένα ισοσκελές τρίγωνο έχει οξεία γωνία, το κέντρο του κύκλου βρίσκεται μέσα στο σχήμα.

Το κέντρο ενός κύκλου που περιβάλλεται γύρω από ένα αμβλύ ισοσκελές τρίγωνο βρίσκεται έξω από αυτόν. Και, τέλος, εάν η γωνία στην κορυφή είναι 90°, το κέντρο βρίσκεται ακριβώς στη μέση της βάσης και η διάμετρος του κύκλου διέρχεται από την ίδια τη βάση.

Για να προσδιοριστεί η ακτίνα ενός κύκλου που περιβάλλεται γύρω από ένα ισοσκελές τρίγωνο, αρκεί να διαιρέσουμε το μήκος της πλευρικής πλευράς με το διπλάσιο του συνημιτόνου της μισής γωνίας στην κορυφή.