Какво представлява редицата от числа на Фибоначи? Принципите на последователността на Фибоначи и златното сечение

Числата на Фибоначи... в природата и живота

Леонардо Фибоначи е един от най-великите математици на Средновековието. В едно от произведенията си „Книгата на изчисленията“ Фибоначи описва индо-арабската система за изчисление и предимствата на нейното използване пред римската.

Определение
Числата на Фибоначи или последователността на Фибоначи е числова последователност, която има редица свойства. Например сумата от две съседни числа в редица дава стойността на следващото (например 1+1=2; 2+3=5 и т.н.), което потвърждава съществуването на така наречените коефициенти на Фибоначи. , т.е. постоянни съотношения.

Последователността на Фибоначи започва така: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…

Пълна дефиниция на числата на Фибоначи

3.

Свойства на редицата на Фибоначи

1. Съотношението на всяко число към следващото клони все повече и повече към 0,618 с увеличаване на серийния номер. Съотношението на всяко число към предходното клони към 1,618 (обратно на 0,618). Числото 0,618 се нарича (FI).

2. При деление на всяко число на следващото го числото след едно е 0,382; напротив – съответно 2.618.

3. Избирайки съотношенията по този начин, получаваме основния набор от съотношения на Фибоначи: ... 4.235, 2.618, 1.618, 0.618, 0.382, 0.236.

5.

Връзката между редицата на Фибоначи и „златното сечение“

Последователността на Фибоначи асимптотично (приближавайки се все по-бавно и по-бавно) клони към някаква постоянна връзка. Това съотношение обаче е ирационално, т.е. представлява число с безкрайна, непредвидима последователност от десетични цифри в дробната част. Невъзможно е да се изрази точно.

Ако някой член на редицата на Фибоначи се раздели на своя предшественик (например 13:8), резултатът ще бъде стойност, която варира около ирационалната стойност 1,61803398875... и понякога я надвишава, понякога не я достига. Но дори и след като сме похарчили цяла вечност за това, е невъзможно да се намери съотношението точно, до последната десетична цифра. За краткост ще го представим под формата на 1.618. На това съотношение започват да се дават специални имена още преди Лука Пачоли (средновековен математик) да го нарече Божествена пропорция. Сред съвременните му наименования са Златното сечение, Златната средна стойност и съотношението на въртящите се квадрати. Кеплер нарече тази връзка едно от „съкровищата на геометрията“. В алгебрата е общоприето да се означава с гръцката буква фи

Нека си представим златното сечение на примера на сегмент.

Помислете за сегмент с краища A и B. Нека точка C разделя сегмента AB, така че,

AC/CB = CB/AB или

AB/CB = CB/AC.

Можете да си го представите по следния начин: A-–C--–B

Златното сечение е пропорционално разделяне на сегмент на неравни части, при което целият сегмент е свързан с по-голямата част, каквато е. повечето ототнася се за по-малките; или с други думи, по-малкият сегмент е към по-големия, както по-големият е към цялото.

Отсечките от златната пропорция се изразяват като безкрайна ирационална дроб 0,618..., ако AB се приеме за единица, AC = 0,382.. Както вече знаем, числата 0,618 и 0,382 са коефициентите на редицата на Фибоначи.

Пропорциите на Фибоначи и златното сечение в природата и историята

10.

Важно е да се отбележи, че Фибоначи сякаш напомня на човечеството за неговата последователност. Позната е на древните гърци и египтяни. И наистина, оттогава моделите, описани от съотношенията на Фибоначи, са открити в природата, архитектурата, изобразителното изкуство, математиката, физиката, астрономията, биологията и много други области. Удивително е колко константи могат да бъдат изчислени с помощта на редицата на Фибоначи и как нейните членове се появяват в огромен брой комбинации. Но няма да е преувеличено, ако кажем, че това не е просто игра с числа, а най-важният математически израз природен феноменот всички отваряни някога.

11.

Примерите по-долу показват някои интересни приложения на тази математическа последователност.

12.

1. Мивката е усукана в спирала. Ако го разгънете, ще получите дължина, малко по-малка от дължината на змията. Малката десетсантиметрова черупка има спирала с дължина 35 см. Формата на спираловидно извитата черупка привлича вниманието на Архимед. Факт е, че съотношението на размерите на къдриците на черупката е постоянно и равно на 1,618. Архимед изучава спиралата на черупките и извежда уравнението на спиралата. Спиралата, начертана според това уравнение, се нарича с неговото име. Увеличаването на нейната стъпка винаги е равномерно. В момента спиралата на Архимед се използва широко в технологиите.

2. Растения и животни. Гьоте също подчертава склонността на природата към спиралност. Спиралното и спираловидно разположение на листата върху клоните на дърветата е забелязано отдавна. Спиралата се забелязва в аранжирането на слънчогледови семки, шишарки, ананаси, кактуси и др. Съвместната работа на ботаници и математици хвърли светлина върху тях удивителни явленияприрода. Оказа се, че в подреждането на листа върху клон от слънчогледови семки и борови шишарки се проявява серията на Фибоначи и следователно се проявява законът на златното сечение. Паякът плете мрежата си в спираловидна схема. Ураганът се върти като спирала. Изплашено стадо Северен еленспирали далеч. Молекулата на ДНК е усукана в двойна спирала. Гьоте нарича спиралата „кривата на живота“.

Сред крайпътните билки расте едно незабележително растение - цикория. Нека го разгледаме по-отблизо. От основното стъбло се е образувал летораст. Първият лист беше разположен точно там. Издънката прави силно изхвърляне в пространството, спира, освобождава лист, но този път е по-къс от първия, отново прави изхвърляне в пространството, но с по-малка сила, освобождава лист с още по-малък размер и отново се изхвърля . Ако първата емисия се приеме за 100 единици, то втората е равна на 62 единици, третата – 38, четвъртата – 24 и т.н. Дължината на венчелистчетата също е подчинена на златната пропорция. В отглеждането и завладяването на пространството растението поддържа определени пропорции. Импулсите на неговия растеж постепенно намаляват пропорционално на златното сечение.

Гущерът е живороден. На пръв поглед гущерът има приятни за окото пропорции - дължината на опашката му е съотнесена към дължината на останалата част от тялото, като 62 на 38.

И в растителния, и в животинския свят упорито се пробива формиращата тенденция на природата - симетрия по отношение на посоката на растеж и движение. Тук златното сечение се появява в пропорциите на частите, перпендикулярни на посоката на растеж. Природата е извършила разделяне на симетрични части и златни пропорции. Частите разкриват повторение на структурата на цялото.

Пиер Кюри в началото на този век формулира редица дълбоки идеи за симетрията. Той твърди, че не може да се разглежда симетрията на което и да е тяло, без да се вземе предвид симетрията заобикаляща среда. Законите на златната симетрия се проявяват в енергийните преходи на елементарните частици, в структурата на някои химични съединения, в планетарните и космически системи, в генните структури на живите организми. Тези модели, както беше посочено по-горе, съществуват в структурата на отделните човешки органи и тялото като цяло, а също така се проявяват в биоритмите и функционирането на мозъка и зрителното възприятие.

3. Пространство. От историята на астрономията е известно, че И. Тиций, немски астроном от 18 век, с помощта на тази серия (Фибоначи) открива модел и ред в разстоянията между планетите слънчева система

Един случай обаче, който изглежда противоречи на закона: между Марс и Юпитер няма планета. Фокусираното наблюдение на тази част от небето доведе до откриването на астероидния пояс. Това се случи след смъртта на Тиций в началото на 19 век.

Серията на Фибоначи е широко използвана: използва се за представяне на архитектурата на живи същества, създадени от човека структури и структурата на галактиките. Тези факти са доказателство за независимостта на числовата редица от условията на нейното проявление, което е един от признаците на нейната универсалност.

4. Пирамиди. Мнозина са се опитвали да разгадаят тайните на пирамидата в Гиза. За разлика от други египетски пирамиди, това не е гробница, а по-скоро неразрешим пъзел от комбинации от числа. Забележителната изобретателност, умение, време и труд, които архитектите на пирамидата са вложили в изграждането на вечния символ, показват изключителната важност на посланието, което са искали да предадат на бъдещите поколения. Тяхната епоха е била дописменна, прайероглифна и символите са били единственото средство за записване на открития. Ключът към геометрично-математическата тайна на пирамидата в Гиза, която беше мистерия за човечеството толкова дълго време, всъщност беше даден на Херодот от свещениците в храма, които го информираха, че пирамидата е построена така, че площта на всяко от лицата му беше равно на квадрата на височината му.

Площ на триъгълник

356 x 440 / 2 = 78320

Квадратна площ

280 x 280 = 78400

Дължината на ръба на основата на пирамидата в Гиза е 783,3 фута (238,7 м), височината на пирамидата е 484,4 фута (147,6 м). Дължината на основния ръб разделена на височината води до съотношението Ф=1,618. Височината от 484,4 фута съответства на 5813 инча (5-8-13) - това са числата от редицата на Фибоначи. Тези интересни наблюдения предполагат, че дизайнът на пирамидата се основава на пропорцията Ф=1,618. Някои съвременни учени са склонни да тълкуват, че древните египтяни са го построили с единствената цел да предадат знания, които са искали да запазят за бъдещите поколения. Интензивните проучвания на пирамидата в Гиза показват колко обширни са били знанията по математика и астрология по онова време. Във всички вътрешни и външни пропорции на пирамидата числото 1.618 играе централна роля.

Пирамидите в Мексико. Не само, че египетските пирамиди са били построени в съответствие с перфектните пропорции на златното сечение, същият феномен е открит и в мексиканските пирамиди. Възниква идеята, че египетските и мексиканските пирамиди са били издигнати приблизително по едно и също време от хора от общ произход.

Числовата последователност на Фибоначи. За първи път ли чувате за това и дори не знаете от коя област на знанието е? Оказва се, че закономерността на природните явления, структурата и разнообразието на живите организми на нашата планета, всичко, което ни заобикаля, поразява въображението със своята хармония и подреденост, законите на Вселената, движението на човешката мисъл и постиженията на наука – всичко това се обяснява със сумиране Ред на Фибоначи.

Вечното желание на човека да разбере себе си и света около себе си е придвижило науката напред.

Едно от най-значимите постижения в математиката е въвеждането на арабски цифри вместо римски. Принадлежи на един от най-забележителните учени на XII век Фибоначи (1175 г.). На негово име е кръстено и друго негово откритие - сумиращата последователност: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,... Това са т.нар. Числата на Фибоначи.

Този модел в математиката представлява интерес за друг средновековен учен, Тома Аквински. Воден от желанието да „измери хармонията с алгебрата“, ученият заключава, че има пряка връзка между математиката и красотата. Тома Аквински обяснява естетическите чувства, които възникват при съзерцаването на хармонични обекти, създадени пропорционално от природата, чрез същия принцип на обобщаваща последователност.

Този принцип обяснява, че започвайки от 1.1, следващото число ще бъде сумата от двете предходни числа. Този модел има голямо значениеТази последователност е все по-бавна и по-бавна - асимптотично - приближавайки се до някакво постоянно съотношение. Тази връзка обаче е ирационална, тоест има безкрайна и непредвидима последователност от числа в дробната част. Точното му изразяване е невъзможно. Разделяйки който и да е член от редицата на Фибоначи на члена, който го предхожда, получаваме стойност, която варира около стойността 1,61803398875... (ирационална), която или няма да я достигне, или ще я надмине всеки път. Дори Вечността не е достатъчна, за да се определи точно това съотношение. За краткост ще го използваме като 1,618.

Средновековният математик Лука Пачоли нарича това съотношение Божествената пропорция. Кеплер нарича последователността на сумиране „едно от съкровищата на геометрията“. В съвременната наука сумирането Ред на Фибоначиима няколко имена, не по-малко поетични: Съотношение на въртящи се квадрати, Златна средна, Златно сечение. В математиката се означава с гръцката буква фи (Ф=1,618).

Асимптотичният характер на редицата, нейните колебания около ирационалното число на Фибоначи, които имат тенденция да избледняват, ще станат по-ясни, ако разгледаме връзките на първите членове на тази редица. В примера по-долу ще разгледаме числата на Фибоначи и ще дадем съотношението на втория към първия член, третия към втория и така нататък:
1:1 = 1,0000, това е по-малко от фи с 0,6180
2:1 = 2,0000, това е с 0,3820 повече от фи
3:2 = 1,5000, това е по-малко от фи с 0,1180
5:3 = 1,6667, това е с 0,0486 повече от фи
8:5 = 1,6000, това е по-малко от фи с 0,0180
Придвижвайки се по-нататък по редицата на Фибоначи, всеки нов член ще разделя следващия, приближавайки се все по-близо до недостижимото число F.

Впоследствие ще видим, че някои Числата на Фибоначи, съставляващи неговата сумираща последователност, са видими в динамиката на цените на различни стоки; сред Forex техническите методи за анализ се използват Нива на Фибоначи. Колебанията на съотношенията близо до 1,615 с една или друга стойност могат да бъдат открити в, в които те се появяват в правилото за редуване. Подсъзнателно всеки човек търси прословутата Божествена пропорция, необходима за задоволяване на желанието за комфорт.

Ако разделим произволен член от редицата на Фибоначи на члена след него, получаваме обратното на 1,618, тоест 1:1,618. Това също е достатъчно необичайно явление, може би дори забележително. Първоначалното съотношение е безкрайна дроб, следователно това съотношение също трябва да е безкрайно.

Друг важен факт е следният. Квадратът на който и да е член в редицата на Фибоначи е равен на числото, което идва преди него в редицата, умножено по числото, което идва след него, плюс или минус.
5 2 = (3 x 8) + 1
8 2 = (5 x 13) – 1
13 2 = (8 x 21) + 1
Плюс и минус винаги се редуват и това е част от теорията на вълната на Елиът, наречена правило за редуване. Това правило гласи: сложни вълни с коригиращ характер се редуват с прости, силни вълни с импулсивен характер се редуват със слаби вълни с коригиращ характер и т.н.

Проявления на божествената пропорция в природата

Откритата математическа последователност позволява да се изчислят безкраен брой константи. Членовете на тази последователност винаги ще се появяват в безкраен брой комбинации.
Използвайки установен модел, се дава математическа интерпретация на природните явления. В това отношение откриването на математическа редица има едно от най-значимите места в историческото познание.
Можем да се позовем на редица интересни теории, извлечени от математическата последователност.

Пирамида в Гиза

Дизайнът на пирамидата се основава на пропорцията Ф=1,618. Това откритие е направено след множество опити да се разгадаят тайните на тази пирамида. Самата пирамида в Гиза изглежда е вид послание към потомците, за да се предадат определени знания за законите на математическата последователност. По време на изграждането на пирамидата нейните строители не са имали достатъчно възможности да изразят познатите им закони. По това време писмеността не е съществувала и йероглифите не са били използвани. Въпреки това, създателите на пирамидата успяха с помощта на геометричната пропорция на своето творение да предадат знанията си за математически модели на бъдещите поколения.

Жреците в храма предали на Херодот тайната на пирамидата в Гиза. Построен е по такъв начин, че площта на всяко лице е равна на квадрата на височината на това лице.
Площ на триъгълника: 356 x 440 / 2 = 78320
Квадратна площ: 280 x 280 = 78400
Лицето на пирамидата в Гиза е дълго 783,3 фута (238,7 м), а височината му е 484,4 фута (147,6 м). Разделяйки дължината на лицето на височината, се получава отношението Ф=1,618. Височината от 484,4 фута съответства на 5813 инча (5-8-13), което не е нищо повече от последователните числа на Фибоначи. Всички тези наблюдения ни водят до заключението, че целият дизайн на пирамидата се основава на пропорцията Ф = 1,618.
Това са числа от редицата на Фибоначи. Тези интересни наблюдения предполагат, че дизайнът на пирамидата се основава на пропорцията Ф=1,618.
Тази информация дава основание да се смята, че познанията в областта на математиката и астрологията са били силно развити по това време. Това най-велико творение не само на човешките ръце, но и на неговия ум е изградено в строго съответствие с числото 1.618. Самите вътрешни и външни пропорции на пирамидата, спазени в строго съответствие със закона на Златното сечение, са послание към нас, потомците, от дълбините на вековете на най-великото знание.

Мексикански пирамиди

Удивително е, че пирамидите в Мексико са построени на същия принцип. Не може да не се предположи, че мексиканските пирамиди са били построени по същото време като египетските, освен това строителите са познавали математическия закон на златното сечение.
Напречно сечение на пирамидата разкрива формата на стълбище. Първото му ниво има 16 стъпала, второто съдържа 42 стъпала, третото – 68 стъпала. Числата се основават на последователността на Фибачи, както следва:
16 x 1,618 = 26
16 + 26 = 42
26 x 1,618 = 42
42 + 26 = 68
Числото Ф = 1,618 е в основата на пропорциите на мексиканската пирамида. (

Чували ли сте някога, че математиката се нарича „кралицата на всички науки“? Съгласни ли сте с това твърдение? Докато математиката остава за вас набор от скучни задачи в учебник, едва ли можете да усетите красотата, многостранността и дори хумора на тази наука.

Но има теми в математиката, които помагат да се правят интересни наблюдения върху неща и явления, които са общи за нас. И дори се опитайте да проникнете през завесата на мистерията на създаването на нашата Вселена. В света има интересни модели, които могат да бъдат описани с помощта на математика.

Представяне на числата на Фибоначи

Числата на Фибоначиназовават елементите на числова редица. При нея всяко следващо число от редица се получава чрез сумиране на двете предходни числа.

Примерна последователност: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987…

Можете да го напишете така:

F 0 = 0, F 1 = 1, F n = F n-1 + F n-2, n ≥ 2

Можете да започнете поредица от числа на Фибоначи с отрицателни стойности н. Освен това последователността в този случай е двупосочна (т.е. обхваща отрицателни и положителни числа) и клони към безкрайност и в двете посоки.

Пример за такава последователност: -55, -34, -21, -13, -8, 5, 3, 2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 , 34, 55.

Формулата в този случай изглежда така:

F n = F n+1 - F n+2или иначе можете да направите това: F -n = (-1) n+1 Fn.

Това, което сега познаваме като „числа на Фибоначи“, е било известно на древните индийски математици много преди да започнат да се използват в Европа. И това име обикновено е един непрекъснат исторически анекдот. Нека започнем с факта, че самият Фибоначи никога не се е наричал Фибоначи през живота си - това име започва да се прилага за Леонардо от Пиза само няколко века след смъртта му. Но нека поговорим за всичко по ред.

Леонардо от Пиза, известен още като Фибоначи

Син на търговец, който става математик и впоследствие получава признание от потомството като първия голям математик в Европа през Средновековието. Не на последно място благодарение на числата на Фибоначи (които, да припомним, все още не се наричаха така). Което той описва в началото на 13 век в своя труд „Liber abaci” („Книга на абака”, 1202 г.).

Пътувах с баща си на Изток, Леонардо учи математика с арабски учители (и в онези дни те бяха в тази област и в много други науки, една от най-добрите специалисти). Трудове на математици от древността и Древна Индиятой чете в преводи на арабски.

След като е разбрал напълно всичко, което е прочел и използвайки собствения си любознателен ум, Фибоначи написва няколко научни трактата по математика, включително гореспоменатата „Книга на абака“. В допълнение към това създадох:

"Practica geometriae" ("Практика на геометрията", 1220);
"Флос" ("Цвете", 1225 г. - изследване върху кубичните уравнения);
"Liber quadratorum" ("Книга на квадратите", 1225 г. - задачи върху неопределени квадратни уравнения).

Той беше голям почитател на математическите турнири, така че в своите трактати той обърна много внимание на анализа на различни математически проблеми.

За живота на Леонардо са останали много малко биографични сведения. Що се отнася до името Фибоначи, под което той влиза в историята на математиката, то му е присвоено едва през 19 век.

Фибоначи и неговите проблеми

След Фибоначи остава голямо числопроблеми, които са били много популярни сред математиците през следващите векове. Ще разгледаме проблема със заека, който се решава с помощта на числата на Фибоначи.

Зайците са не само ценна кожа

Фибоначи постави следните условия: има двойка новородени зайци (мъжки и женски) като интересна породаче те редовно (започвайки от втория месец) дават потомство - винаги по една нова двойка зайци. Освен това, както се досещате, мъж и жена.

Тези условни зайци са поставени в затворено пространство и се размножават с ентусиазъм. Също така е посочено, че нито един заек не умира от някаква мистериозна болест по зайците.

Трябва да изчислим колко зайци ще вземем за една година.

В началото на 1 месец имаме 1 двойка зайци. В края на месеца се чифтосват.
Вторият месец - вече имаме 2 чифта зайци (една двойка има родители + 1 двойка е тяхното потомство).
Трети месец: Първата двойка ражда нова двойка, втората двойка се чифтосва. Общо - 3 чифта зайци.
Четвърти месец: Първата двойка ражда нова двойка, втората двойка не губи време и също ражда нова двойка, третата двойка все още само чифтосва. Общо - 5 чифта зайци.

Брой зайци в нти месец = брой двойки зайци от предходния месец + брой новородени двойки (има същия брой двойки зайци, колкото е имало двойки зайци преди 2 месеца). И всичко това се описва с формулата, която вече дадохме по-горе: F n = F n-1 + F n-2.

Така получаваме повтарящо се (обяснение за рекурсия– по-долу) числова последователност. В който всяко следващо число е равно на сумата от предходните две:

1 + 1 = 2
2 + 1 = 3
3 + 2 = 5
5 + 3 = 8
8 + 5 = 13
13 + 8 = 21
21 + 13 = 34
34 + 21 = 55
55 + 34 = 89
89 + 55 = 144
144 + 89 = 233
233+ 144 = 377 <…>

Можете да продължите поредицата дълго време: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987<…>. Но тъй като сме задали конкретен период - една година, ние се интересуваме от резултата, получен на 12-ия „ход“. Тези. 13-ти член на редицата: 377.

Отговорът на задачата: Ще се получат 377 зайци, ако са изпълнени всички посочени условия.

Едно от свойствата на редицата от числа на Фибоначи е много интересно. Ако вземете две последователни двойки от поредица и разделите по-голямото число на по-малкото, резултатът постепенно ще се приближи златно сечение(можете да прочетете повече за това по-късно в статията).

В математически термини, „границата на взаимоотношенията a n+1Да се a nравно на златното сечение".

Още задачи по теория на числата

Намерете число, което може да бъде разделено на 7. Освен това, ако го разделите на 2, 3, 4, 5, 6, остатъкът ще бъде едно.
Намерете квадратното число. Известно е, че ако добавите 5 към него или извадите 5, отново получавате квадратно число.

Предлагаме ви сами да потърсите отговорите на тези проблеми. Можете да ни оставите вашите възможности в коментарите към тази статия. И тогава ще ви кажем дали вашите изчисления са правилни.

Обяснение на рекурсията

Рекурсия– дефиниция, описание, изображение на обект или процес, който съдържа самия обект или процес. Това означава, че по същество един обект или процес е част от себе си.

Рекурсията се използва широко в математиката и компютърните науки и дори в изкуството и популярната култура.

Числата на Фибоначи се определят с помощта на рекурентна връзка. За номер n>2 n- e числото е равно (n – 1) + (n – 2).

Обяснение на златното сечение

Златно сечение- разделяне на цяло (например сегмент) на части, които са свързани по следния принцип: по-голямата част е свързана с по-малката по същия начин, както цялата стойност (например сумата от два сегмента) е към по-голямата част.

Първото споменаване на златното сечение може да се намери в Евклид в неговия трактат „Елементи“ (около 300 г. пр. н. е.). В контекста на построяването на правилен правоъгълник.

Познатият ни термин е въведен в обращение през 1835 г. от немския математик Мартин Ом.

Ако опишем приблизително златното сечение, то представлява пропорционално разделение на две неравни части: приблизително 62% и 38%. В числено отношение златното сечение е числото 1,6180339887 .

Златното сечение намира практическо приложение в изобразителното изкуство (картини на Леонардо да Винчи и други художници от Ренесанса), архитектурата, киното („Броненосецът Потемкин” на С. Езенщайн) и други области. Дълго време се смяташе, че златното сечение е най-естетичната пропорция. Това мнение е популярно и днес. Въпреки че, според резултатите от изследването, визуално повечето хора не възприемат тази пропорция като най-успешния вариант и я смятат за твърде удължена (непропорционална).

Дължина на секцията с = 1, А = 0,618, b = 0,382.
Поведение сДа се А = 1, 618.
Поведение сДа се b = 2,618

Сега да се върнем към числата на Фибоначи. Нека вземем два последователни члена от неговата последователност. Разделете по-голямото число на по-малкото и получете приблизително 1,618. И сега използваме същото по-голямо число и следващия член на серията (т.е. още по-голямо число) - тяхното съотношение е ранно 0,618.

Ето един пример: 144, 233, 377.

233/144 = 1,618 и 233/377 = 0,618

Между другото, ако се опитате да направите същия експеримент с числа от началото на редицата (например 2, 3, 5), нищо няма да се получи. почти. Правилото за златното сечение почти не се спазва за началото на поредицата. Но докато се движите по поредицата и числата се увеличават, работи чудесно.

И за да се изчисли цялата поредица от числа на Фибоначи, е достатъчно да се знаят три члена на редицата, идващи един след друг. Можете да видите това сами!

Златен правоъгълник и спирала на Фибоначи

Друг интересен паралел между числата на Фибоначи и златното сечение е така нареченият „златен правоъгълник“: неговите страни са в пропорция 1,618 към 1. Но вече знаем какво е числото 1,618, нали?

Например, нека вземем два последователни члена от редицата на Фибоначи - 8 и 13 - и да конструираме правоъгълник със следните параметри: ширина = 8, дължина = 13.

И тогава ще разделим големия правоъгълник на по-малки. Задължително условие: дължините на страните на правоъгълниците трябва да съответстват на числата на Фибоначи. Тези. Дължината на страната на по-големия правоъгълник трябва да е равна на сбора от страните на двата по-малки правоъгълника.

Начинът, по който е направено на тази фигура (за удобство цифрите са подписани с латински букви).

Между другото, можете да изградите правоъгълници в обратен ред. Тези. започнете да строите с квадрати със страна 1. Към което, ръководени от принципа, посочен по-горе, фигурите със страни са завършени, равни числаФибоначи. Теоретично това може да продължи безкрайно - все пак редицата на Фибоначи формално е безкрайна.

Ако свържем ъглите на правоъгълниците, получени на фигурата, с гладка линия, получаваме логаритмична спирала. Или по-скоро неговият специален случай е спиралата на Фибоначи. Характеризира се по-специално с факта, че няма граници и не променя формата си.

Подобна спирала често се среща в природата. Черупките от миди са един от най-ярките примери. Освен това някои галактики, които могат да се видят от Земята, имат спираловидна форма. Ако обръщате внимание на прогнозите за времето по телевизията, може би сте забелязали, че циклоните имат подобна спираловидна форма, когато са снимани от сателити.

Любопитно е, че спиралата на ДНК също се подчинява на правилото на златното сечение - в интервалите на нейните завои се вижда съответният модел.

Такива невероятни „съвпадения“ не могат да не вълнуват умовете и да дадат повод да се говори за някакъв единен алгоритъм, на който се подчиняват всички явления в живота на Вселената. Сега разбирате ли защо тази статия се казва по този начин? И какви врати невероятни световеМоже ли математиката да отвори нещата за вас?

Числата на Фибоначи в природата

Връзката между числата на Фибоначи и златното сечение предполага интересни модели. Толкова любопитно, че е изкушаващо да се опитаме да го намерим подобни на числатаПоследователностите на Фибоначи се срещат в природата и дори по време на исторически събития. А природата наистина дава повод за подобни предположения. Но може ли всичко в живота ни да бъде обяснено и описано с помощта на математиката?

Примери за живи същества, които могат да бъдат описани с помощта на последователността на Фибоначи:

разположението на листата (и клоните) в растенията - разстоянията между тях са свързани с числата на Фибоначи (филотаксис);

подреждане на слънчогледови семки (семената са подредени в два реда спирали, усукани в различни посоки: единият ред по посока на часовниковата стрелка, другият обратно на часовниковата стрелка);

подреждане на шишаркови люспи;
цветни листенца;
клетки от ананас;
съотношение на дължините на фалангите на пръстите към човешка ръка(приблизително) и т.н.

Комбинаторни задачи

Числата на Фибоначи се използват широко при решаване на комбинаторни задачи.

Комбинаторикае дял от математиката, който изучава избора на определен брой елементи от определено множество, изброяване и др.

Нека да разгледаме примери за комбинаторни задачи, предназначени за нивото гимназия(източник - http://www.problems.ru/).

Задача №1:

Леша се изкачва по стълбище от 10 стъпала. По едно време скача или с една, или с две стъпки. По колко начина Леша може да се изкачи по стълбите?

Броят начини, по които Леша може да се изкачи по стълбите нстъпки, нека обозначим и н.Следва, че а 1 = 1, а 2= 2 (в края на краищата Леша скача една или две стъпки).

Също така е договорено Леша да скочи нагоре по стълбите n> 2 стъпки. Да кажем, че е скочил две стъпала първия път. Това означава, че според условията на задачата той трябва да прескочи друг n – 2стъпки. Тогава броят на начините за завършване на изкачването се описва като a n–2. И ако приемем, че първият път, когато Леша скочи само една стъпка, тогава ние описваме броя на начините да завършим изкачването като a n–1.

От тук получаваме следното равенство: a n = a n–1 + a n–2(изглежда познато, нали?).

Откакто знаем а 1И а 2и не забравяйте, че според условията на задачата има 10 стъпки, изчислете всички по ред и н: а 3 = 3, а 4 = 5, а 5 = 8, а 6 = 13, а 7 = 21, а 8 = 34, а 9 = 55, а 10 = 89.

Отговор: 89 начина.

Задача #2:

Трябва да намерите броя на думите с дължина 10 букви, които се състоят само от буквите „a“ и „b“ и не трябва да съдържат две букви „b“ подред.

Нека означим с a nброй думи дължина нбукви, които се състоят само от буквите „а“ и „б“ и не съдържат две букви „б“ подред. означава, а 1= 2, а 2= 3.

В последователност а 1, а 2, <…>, a nвсеки негов следващ член ще изразяваме чрез предишните. Следователно броят на думите с дължина е нбукви, които също не съдържат двойна буква „b“ и започват с буквата „a“, са a n–1. И ако думата е дълга нбуквите започват с буквата „b“, логично е следващата буква в такава дума да е „a“ (в края на краищата не може да има две „b“ според условията на проблема). Следователно броят на думите с дължина е нв този случай ние означаваме буквите като a n–2. И в първия, и във втория случай всяка дума (дължина на n – 1И n – 2съответно букви) без двойно „b“.

Успяхме да обосновем защо a n = a n–1 + a n–2.

Нека сега изчислим а 3= а 2+ а 1= 3 + 2 = 5, а 4= а 3+ а 2= 5 + 3 = 8, <…>, а 10= а 9+ а 8= 144. И получаваме познатия ред на Фибоначи.

Отговор: 144.

Задача #3:

Представете си, че има лента, разделена на клетки. Отива надясно и продължава за неопределено време. Поставете скакалец на първия квадрат на лентата. В каквато и клетка от лентата да се намира, той може да се движи само надясно: една клетка или две. Колко начина има, по които един скакалец може да скочи от началото на лентата до н-ти клетки?

Нека обозначим броя на начините за преместване на скакалец по колана н-ти клетки като a n. В такъв случай а 1 = а 2= 1. Също така в n+1Скакалецът може да влезе в -та клетка или от н-та клетка, или като я прескочите. Оттук a n + 1 = a n – 1 + a n. Където a n = Fn – 1.

Отговор: Fn – 1.

Можете сами да създавате подобни задачи и да се опитвате да ги решавате в часовете по математика със съучениците си.

Числата на Фибоначи в популярната култура

Разбира се, такова необичайно явление като числата на Фибоначи не може да не привлече вниманието. Все още има нещо привлекателно и дори мистериозно в този строго изверен модел. Не е изненадващо, че последователността на Фибоначи по някакъв начин е „осветена“ в много произведения на съвременната популярна култура от различни жанрове.

Ще ви разкажем за някои от тях. И се опитваш да търсиш отново себе си. Ако го намерите, споделете го с нас в коментарите – ние също сме любопитни!

Числата на Фибоначи се споменават в бестселъра на Дан Браун „Шифърът на Да Винчи“: последователността на Фибоначи служи като код, използван от главните герои на книгата, за да отворят сейф.
В американския филм от 2009 г. „Мистър Никой“ в един епизод адресът на къща е част от редицата на Фибоначи – 12358. Освен това в друг епизод главен геройтрябва да се обади на телефонен номер, който по същество е същият, но леко изкривен (допълнителна цифра след 5) последователност: 123-581-1321.
В поредицата от 2012 г. „Връзка“ главният герой, момче, страдащо от аутизъм, е в състояние да различи модели в събитията, случващи се в света. Включително чрез числата на Фибоначи. И управлявайте тези събития също чрез числа.
Разработчиците на java играта за мобилни телефони Doom RPG поставиха тайна врата на едно от нивата. Кодът, който го отваря, е редицата на Фибоначи.
През 2012 г. руската рок група Splin издаде концептуалния албум „Optical Deception“. Осмата песен се нарича "Фибоначи". Стиховете на ръководителя на групата Александър Василиев играят върху редицата от числата на Фибоначи. За всеки от деветте последователни члена има съответен брой редове (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21):

0 Влакът потегли

1 Една става се счупи

1 Единият ръкав трепереше

2 Това е всичко, вземете нещата

Това е всичко, вземете нещата

3 Искане за вряща вода

Влакът отива до реката

Влакът минава през тайгата<…>.

лимерик ( кратко стихотворениеопределена форма - обикновено пет реда, с определена схема на рими, хумористични по съдържание, в които първият и последният ред се повтарят или частично дублират един друг) Джеймс Линдън също използва препратка към последователността на Фибоначи като хумористичен мотив:

Плътната храна на съпругите на Фибоначи

Беше само за тяхна полза, нищо друго.

Съпругите претеглят, според слуховете,

Всеки един е като предишните два.

Нека обобщим

Надяваме се, че днес успяхме да ви разкажем много интересни и полезни неща. Например, вече можете да търсите спиралата на Фибоначи в природата около вас. Може би вие ще сте този, който ще успее да разгадае „тайната на живота, Вселената и изобщо“.

Използвайте формулата за числата на Фибоначи, когато решавате комбинаторни задачи. Можете да разчитате на примерите, описани в тази статия.

blog.site, при пълно или частично копиране на материал е необходима връзка към първоизточника.

Текстът на работата е публикуван без изображения и формули.
Пълна версияработата е достъпна в раздела „Работни файлове“ в PDF формат

Въведение

НАЙ-ВИСШАТА ЦЕЛ НА МАТЕМАТИКАТА Е ДА ОТКРИЕ СКРИТИЯ РЕД В ХАОСА, КОЙТО НИ ЗАОБИКОЛЯВА.

Винер Н.

Човек цял живот се стреми към знания, опитвайки се да изучава света около себе си. И в процеса на наблюдение възникват въпроси, които изискват отговори. Отговорите са намерени, но възникват нови въпроси. В археологически находки, в следи от цивилизация, отдалечени една от друга във времето и пространството, се открива един и същ елемент - шарка под формата на спирала. Някои го смятат за символ на слънцето и го свързват с легендарната Атлантида, но истинското му значение е неизвестно. Какво означават формите на галактиката и атмосферен циклон, разположението на листата по стъблото и семената при слънчоглед? Тези модели се свеждат до така наречената „златна“ спирала, удивителната последователност на Фибоначи, открита от великия италиански математик от 13 век.

История на числата на Фибоначи

За първи път чух какво са числата на Фибоначи от учител по математика. Но освен това не знаех как последователността от тези числа се събира. Ето с какво всъщност е известна тази последователност, как се отразява на човек, искам да ви кажа. Малко се знае за Леонардо Фибоначи. Няма дори точна дата на неговото раждане. Известно е, че той е роден през 1170 г. в семейство на търговец в град Пиза в Италия. Бащата на Фибоначи често посещава Алжир по търговски въпроси и Леонардо учи математика там с арабски учители. Впоследствие той написа няколко математически произведения, най-известната от които е „Книгата на абака“, която съдържа почти цялата аритметична и алгебрична информация от онова време. 2

Числата на Фибоначи са поредица от числа, които имат редица свойства. Фибоначи открива тази числова последователност случайно, когато се опитва да реши практически проблем за зайци през 1202 г. „Някой постави чифт зайци на определено място, оградено от всички страни със стена, за да разбере колко двойки зайци ще се родят през годината, ако природата на зайците е такава, че след месец двойка от зайци ражда друга двойка, а зайците раждат от втория месец след вашето раждане." При решаването на проблема той взе предвид, че всяка двойка зайци ражда още две двойки през целия си живот и след това умира. Ето как се появи редицата от числа: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... В тази редица всяко следващо число е равно на сумата от двете предходни. Наричаше се последователност на Фибоначи. Математически свойства на редицата

Исках да изследвам тази последователност и открих някои от нейните свойства. Този модел е от голямо значение. Последователността бавно се доближава до определено постоянно съотношение от приблизително 1,618, а съотношението на всяко число към следващото е приблизително 0,618.

Можете да забележите редица интересни свойства на числата на Фибоначи: две съседни числа са относително прости; всяко трето число е четно; всяка петнадесета завършва на нула; всеки четвърти е кратен на три. Ако изберете произволни 10 съседни числа от редицата на Фибоначи и ги съберете, винаги ще получите число, което е кратно на 11. Но това не е всичко. Всяка сума е равна на числото 11, умножено по седмия член на дадената редица. Ето още една интересна функция. За всяко n сумата от първите n члена на редицата винаги ще бъде равна на разликата между (n+ 2)-ия и първия член на редицата. Този факт може да се изрази с формулата: 1+1+2+3+5+…+an=a n+2 - 1. Сега имаме следния трик на наше разположение: да намерим сбора на всички членове

последователност между два дадени члена, достатъчно е да се намери разликата на съответните (n+2)-x членове. Например a 26 +…+a 40 = a 42 - a 27. Сега нека потърсим връзката между Фибоначи, Питагор и „златното сечение“. Най-известното доказателство за математическия гений на човечеството е Питагоровата теорема: във всеки правоъгълен триъгълник квадратът на хипотенузата е равен на сбора от квадратите на неговите катети: c 2 =b 2 +a 2. От геометрична гледна точка можем да разглеждаме всички страни на правоъгълен триъгълник като страни на три квадрата, построени върху тях. Теоремата на Питагор гласи, че общата площ на квадратите, построени върху страните на правоъгълен триъгълник, е равна на площта на квадрата, построен върху хипотенузата. Ако дължините на страните на правоъгълен триъгълник са цели числа, тогава те образуват група от три числа, наречени Питагорови тройки. С помощта на последователността на Фибоначи можете да намерите такива тройки. Нека вземем произволни четири последователни числа от редицата, например 2, 3, 5 и 8, и построим още три числа, както следва: 1) произведението на двете крайни числа: 2*8=16; 2) двойното произведение на двете числа в средата: 2* (3*5)=30;3) сумата от квадратите на две средни числа: 3 2 +5 2 =34; 34 2 =30 2 +16 2. Този метод работи за всеки четири последователни числа на Фибоначи. Всеки три последователни числа в редицата на Фибоначи се държат по предвидим начин. Ако умножите двете крайни и сравните резултата с квадрата на средното число, резултатът винаги ще се различава с единица. Например за числата 5, 8 и 13 получаваме: 5*13=8 2 +1. Ако погледнете това свойство от геометрична гледна точка, ще забележите нещо странно. Разделете квадрата

С размери 8x8 (общо 64 малки квадрата) на четири части, като дължините на страните са равни на числата на Фибоначи. Сега от тези части ще изградим правоъгълник с размери 5x13. Площта му е 65 малки квадрата. Откъде идва допълнителният квадрат? Работата е там, че не се образува идеален правоъгълник, но остават малки празнини, които общо дават тази допълнителна единица площ. Триъгълникът на Паскал също има връзка с редицата на Фибоначи. Просто трябва да напишете линиите на триъгълника на Паскал една под друга и след това да добавите елементите диагонално. Резултатът е редицата на Фибоначи.

Сега разгледайте златен правоъгълник, едната страна на който е 1,618 пъти по-дълга от другата. На пръв поглед може да ни изглежда като обикновен правоъгълник. Нека обаче направим един лесен експеримент с две обикновени банкови карти. Нека поставим единия от тях хоризонтално, а другия вертикално, така че долните им страни да са на една линия. Ако начертаем диагонална линия в хоризонтална карта и я разширим, ще видим, че тя ще минава точно през горния десен ъгъл на вертикалната карта – приятна изненада. Може би това е случайност или може би тези правоъгълници и други геометрични фигури, които използват „златното сечение“, са особено приятни за окото. Леонардо да Винчи мислил ли е за златното сечение, докато е работил върху своя шедьовър? Това изглежда малко вероятно. Въпреки това може да се твърди, че той отдава голямо значение на връзката между естетиката и математиката.

Числата на Фибоначи в природата

Връзката на златното сечение с красотата не е само въпрос на човешкото възприятие. Изглежда самата природа е отредила специална роля на F. Ако впишете квадрати последователно в "златен" правоъгълник, след това нарисувайте дъга във всеки квадрат, ще получите елегантна крива, наречена логаритмична спирала. Изобщо не е математическо любопитство. 5

Напротив, тази забележителна линия често се среща в физически свят: от черупката на наутилус до ръцете на галактиките и в елегантната спирала от листенца на разцъфнала роза. Връзките между златното сечение и числата на Фибоначи са многобройни и изненадващи. Нека разгледаме едно цвете, което изглежда много различно от роза - слънчоглед със семена. Първото нещо, което виждаме е, че семената са подредени в два вида спирали: по посока на часовниковата стрелка и обратно на часовниковата стрелка. Ако преброим спиралите по посока на часовниковата стрелка, получаваме две на пръв поглед обикновени числа: 21 и 34. Това не е единственият пример, в който числата на Фибоначи могат да бъдат намерени в структурата на растенията.

Природата ни дава множество примери за подреждане на хомогенни обекти, описани с числата на Фибоначи. В различните спирални подредби на малки растителни части обикновено могат да се различат две семейства спирали. В едно от тези семейства спиралите се извиват по посока на часовниковата стрелка, докато в другото се извиват обратно на часовниковата стрелка. Числата на спиралите от един и друг тип често се оказват съседни числа на Фибоначи. И така, като вземете млада борова клонка, лесно можете да забележите, че иглите образуват две спирали, вървящи от долния ляв към горния десен ъгъл. На много шишарки семената са подредени в три спирали, леко увиващи се около стъблото на шишарката. Те са разположени в пет спирали, извиващи се стръмно в обратна посока. В големи конуси е възможно да се наблюдават 5 и 8 и дори 8 и 13 спирали. Спиралите на Фибоначи също са ясно видими на ананаса: обикновено има 8 и 13 от тях.

Издънката на цикорията прави силно изхвърляне в пространството, спира, освобождава лист, но това време е по-кратко от първото, отново прави изхвърляне в пространството, но с по-малка сила, освобождава лист с още по-малък размер и отново се изхвърля . Импулсите на неговия растеж постепенно намаляват пропорционално на „златното“ сечение. За да оцените огромната роля на числата на Фибоначи, трябва само да погледнете красотата на природата около нас. Числата на Фибоначи могат да бъдат намерени в количества

разклонения на стъблото на всяко растящо растение и в броя на венчелистчетата.

Нека преброим венчелистчетата на някои цветя - перуника с 3 венчелистчета, иглика с 5 венчелистчета, амброзия с 13 венчелистчета, метличина с 34 венчелистчета, астра с 55 венчелистчета и т.н. Това съвпадение ли е, или е природен закон? Вижте стъблата и цветовете на белия равнец. По този начин общата последователност на Фибоначи може лесно да интерпретира модела на проявленията на „златните“ числа, открити в природата. Тези закони действат независимо от нашето съзнание и желание да ги приемем или не. Моделите на „златната” симетрия се проявяват в енергийните преходи на елементарните частици, в структурата на някои химични съединения, в планетарните и космически системи, в генните структури на живите организми, в структурата на отделните човешки органи и тялото като едно цяло, а също така се проявяват в биоритмите и функционирането на мозъка и зрителното възприятие.

Числата на Фибоначи в архитектурата

„Златното съотношение“ също е очевидно в много забележителни архитектурни творения през човешката история. Оказва се, че древногръцките и древноегипетските математици са познавали тези коефициенти много преди Фибоначи и са ги нарекли „златно сечение“. Гърците са използвали принципа на "златното сечение" при изграждането на Партенона, а египтяните са използвали Голямата пирамида в Гиза. Напредъкът в строителните технологии и разработването на нови материали откриха нови възможности за архитектите от двадесети век. Американецът Франк Лойд Райт беше един от основните привърженици на органичната архитектура. Малко преди смъртта си той проектира музея на Соломон Гугенхайм в Ню Йорк, който представлява обърната спирала, а вътрешността на музея наподобява черупка на наутилус. Полско-израелският архитект Цви Хекер също използва спирални структури в своя дизайн за училището Хайнц Галински в Берлин, завършено през 1995 г. Хекер започна с идеята за слънчоглед с централен кръг, откъдето

Всички архитектурни елементи се разминават. Сградата е комбинирана

ортогонални и концентрични спирали, символизиращи взаимодействието на ограниченото човешко познание и контролирания хаос в природата. Архитектурата му имитира растение, което следва движението на Слънцето, така че класните стаи са осветени през целия ден.

В Куинси Парк, разположен в Кеймбридж, Масачузетс (САЩ), често може да се намери „златната“ спирала. Паркът е проектиран през 1997 г. от художника Дейвид Филипс и се намира близо до Математическия институт Клей. Това заведение е известен център математически изследвания. В Quincy Park можете да се разходите сред „златни“ спирали и метални извивки, релефи на две черупки и камък със символ на квадратен корен. Знакът съдържа информация за "златното" съотношение. Дори паркирането на велосипеди използва символа F.

Числата на Фибоначи в психологията

В психологията отбеляза повратни точки, кризи, революции, които бележат трансформации в структурата и функциите на душата в жизнения път на човека. Ако човек успешно преодолее тези кризи, той става способен да решава проблеми от нов клас, за които дори не е мислил преди.

Наличието на фундаментални промени дава основание да се разглежда продължителността на живота като решаващ фактор в развитието на духовните качества. В края на краищата природата не ни отмерва щедро времето, „колкото ще бъде, толкова ще бъде“, а точно толкова, колкото да се материализира процесът на развитие:

в структурите на тялото;

в чувствата, мисленето и психомоториката – докато придобият хармониянеобходими за възникването и стартирането на механизма

креативност;

в структурата на енергийния потенциал на човека.

Развитието на тялото не може да бъде спряно: детето става възрастен. С механизма на творчеството всичко не е толкова просто. Развитието му може да бъде спряно и посоката му да бъде сменена.

Има ли шанс да наваксаме времето? Несъмнено. Но за това трябва да свършите много работа върху себе си. Това, което се развива свободно, естествено, не изисква специални усилия: детето се развива свободно и не забелязва тази огромна работа, защото процесът на свободно развитие се създава без насилие над себе си.

Как се разбира смисълът? житейски пътв ежедневното съзнание? Обикновеният човек го вижда по следния начин: на дъното е раждането, на върха е разцветът на живота и след това всичко тръгва надолу.

Мъдрецът ще каже: всичко е много по-сложно. Той разделя възхода на етапи: детство, юношество, младост... Защо е така? Малцина са в състояние да отговорят, въпреки че всички са сигурни, че това са затворени, неразделни етапи от живота.

За да разбере как се развива механизмът на творчеството, V.V. Клименко използва математиката, а именно законите на числата на Фибоначи и пропорцията на „златното сечение“ - законите на природата и човешкия живот.

Числата на Фибоначи разделят живота ни на етапи според броя на изживените години: 0 - началото на обратното броене - детето се ражда. Все още му липсват не само психомоторика, мислене, чувства, въображение, но и оперативен енергиен потенциал. Той е началото на нов живот, нова хармония;

1 - детето е усвоило ходенето и овладява непосредствената си среда;

2 - разбира речта и действа, използвайки словесни инструкции;

3 - действа чрез думи, задава въпроси;

5 - „възраст на благодат“ - хармония на психомоториката, паметта, въображението и чувствата, които вече позволяват на детето да прегърне света в цялата му цялост;

8 - чувствата излизат на преден план. Те се обслужват от въображението, а мисленето чрез своята критичност е насочено към поддържане на вътрешната и външната хармония на живота;

13 - механизмът на таланта започва да работи, насочен към трансформиране на материала, придобит в процеса на наследяване, развиване на собствения талант;

21 - механизмът на творчеството се е приближил до състояние на хармония и се правят опити за извършване на талантлива работа;

34 - хармония на мисленето, чувствата, въображението и психомоторните умения: ражда се способността за гениална работа;

55 - на тази възраст, при условие че се запази хармонията на душата и тялото, човек е готов да стане творец. И така нататък…

Какво представляват серифите на числата на Фибоначи? Те могат да бъдат сравнени с бентове по пътя на живота. Тези язовири очакват всеки един от нас. На първо място, трябва да преодолеете всеки от тях и след това търпеливо да повишите нивото си на развитие, докато един прекрасен ден не се разпадне, отваряйки пътя към следващия за свободен поток.

Сега, когато разбираме значението на тези възлови точки възрастово развитие, нека се опитаме да дешифрираме как се случва всичко това.

B1 годинадетето овладява ходенето. Преди това той преживяваше света с предната част на главата си. Сега той опознава света с ръцете си – изключителна човешка привилегия. Животното се движи в пространството и той, като се учи, овладява пространството и владее територията, в която живее.

2 години- разбира думата и действа в съответствие с нея. Означава, че:

детето усвоява минимален брой думи – значения и начини на действие;

все още не се е отделил от околната среда и е слят в цялост с околната среда,

следователно той действа според чужди инструкции. На тази възраст той е най-послушен и приятен за родителите си. От чувствен човек детето се превръща в познавателен човек.

3 години- действие с помощта на собствената дума. Отделянето на този човек от околната среда вече е настъпило - и той се научава да бъде самостоятелно действащ човек. От тук той:

съзнателно се противопоставя на средата и родителите, възпитателите в детска градинаи др.;

осъзнава своя суверенитет и се бори за независимост;

опитва се да подчини на волята си близки и познати хора.

Сега за едно дете думата е действие. Тук започва активният човек.

5 години- „възраст на благодатта“. Той е олицетворение на хармонията. Игри, танци, сръчни движения - всичко е наситено с хармония, която човек се опитва да овладее със собствените си сили. Хармоничното психомоторно поведение спомага за постигането на ново състояние. Поради това детето е насочено към психомоторна активност и се стреми към най-активни действия.

Материализирането на продуктите от работата на чувствителността се осъществява чрез:

способността да показваме околната среда и себе си като част от този свят (чуваме, виждаме, докосваме, помирисваме и т.н. - всички сетива работят за този процес);

способност за проектиране външен свят, включително себе си

(създаване на втора природа, хипотези - направете това и това утре, постройте нова машина, решете проблем), чрез силите на критичното мислене, чувствата и въображението;

способността за създаване на втора, създадена от човека природа, продукти на дейност (реализация на планове, специфични умствени или психомоторни действия с конкретни обекти и процеси).

След 5 години механизмът на въображението излиза напред и започва да доминира над останалите. Детето върши огромна работа, създавайки фантастични образи и живее в света на приказките и митовете. Хипертрофираното въображение на детето предизвиква изненада у възрастните, защото въображението не съответства на реалността.

8 години— чувствата излизат на преден план и собствените стандарти на чувства (когнитивни, морални, естетически) възникват, когато детето безпогрешно:

оценява известното и непознатото;

различава морално от неморално, морално от неморално;

красота от това, което заплашва живота, хармония от хаоса.

13 години— механизмът на творчеството започва да работи. Но това не означава, че работи на пълен капацитет. Един от елементите на механизма излиза на преден план, а всички останали допринасят за работата му. Ако в този възрастов период на развитие се запази хармонията, която почти непрекъснато възстановява своята структура, тогава младежът безболезнено ще стигне до следващия язовир, незабелязано за себе си ще го преодолее и ще живее във възрастта на революционер. Във възрастта на революционер, младежът трябва да направи нова крачка напред: да се отдели от най-близкото общество и да живее в него хармоничен животи дейности. Не всеки може да реши този проблем, който възниква пред всеки от нас.

21 годишен.Ако революционерът успешно е преодолял първия хармоничен връх на живота, тогава неговият механизъм на талант е способен да изпълнява талантливи

работа. Чувствата (когнитивни, морални или естетически) понякога засенчват мисленето, но като цяло всички елементи работят хармонично: чувствата са отворени към света, а логическото мислене е в състояние да назове и намери мерки на нещата от този връх.

Механизмът на творчеството, развивайки се нормално, достига състояние, което му позволява да получава определени плодове. Започва работа. В тази възраст механизмът на чувствата излиза напред. Тъй като въображението и неговите продукти се оценяват от сетивата и ума, между тях възниква антагонизъм. Чувствата побеждават. Тази способност постепенно придобива сила и момчето започва да я използва.

34 години- баланс и хармония, продуктивна ефективност на таланта. Хармонията на мисленето, чувствата и въображението, психомоторните умения, които се допълват с оптимален енергиен потенциал, и механизмът като цяло - ражда се възможността за извършване на блестяща работа.

55 години- човек може да стане творец. Третият хармоничен връх на живота: мисленето подчинява силата на чувствата.

Числата на Фибоначи се отнасят до етапите на човешкото развитие. Дали човек ще мине по този път, без да спира, зависи от родителите и учителите, от образователната система, а след това – от самия него и от това как човек ще се учи и преодолява.

По пътя на живота човек открива 7 обекта на взаимоотношения:

От рожден ден до 2 години - откриване на физическия и обективния свят на непосредствената среда.

От 2 до 3 години - самооткриване: „Аз съм себе си“.

От 3 до 5 години - речта, активният свят на думите, хармонията и системата "Аз - Ти".

От 5 до 8 години - откриване на света на чуждите мисли, чувства и образи - системата "Аз - Ние".

От 8 до 13 години - откриване на света на задачите и проблемите, решавани от гениите и талантите на човечеството - системата "Аз - Духовност".

От 13 до 21 години - откриването на способността за самостоятелно решаване на добре познати проблеми, когато мислите, чувствата и въображението започват да работят активно, възниква системата „Аз - Ноосфера“.

От 21 до 34 години - откриване на способността да твориш нов святили нейни фрагменти - осъзнаване на Аз-концепцията „Аз съм Създателят“.

Жизненият път има пространствено-времева структура. Състои се от възрастови и отделни фази, обусловени от много жизнени параметри. Човек овладява до известна степен обстоятелствата на своя живот, става създател на своята история и създател на историята на обществото. Истински творческото отношение към живота обаче не се появява веднага и дори не във всеки човек. Между фазите на жизнения път съществуват генетични връзки и това определя естествения му характер. От това следва, че по принцип е възможно да се предвиди бъдещото развитие въз основа на познанията за ранните му фази.

Числата на Фибоначи в астрономията

От историята на астрономията е известно, че I. Titius, немски астроном от 18 век, използвайки редицата на Фибоначи, е открил модел и ред в разстоянията между планетите на Слънчевата система. Но един случай изглежда противоречи на закона: между Марс и Юпитер няма планета. Но след смъртта на Титий в началото на 19в. концентрираното наблюдение на тази част от небето доведе до откриването на астероидния пояс.

Заключение

По време на проучването разбрах, че числата на Фибоначи се използват широко в техническия анализ на цените на акциите. Един от най-простите начини за използване на числата на Фибоначи на практика е да се определят интервалите от време, след които ще се случи определено събитие, например промяна на цената. Анализаторът брои определен брой дни или седмици на Фибоначи (13,21,34,55 и т.н.) от предишното подобно събитие и прави прогноза. Но това все още ми е твърде трудно да разбера. Въпреки че Фибоначи е най-великият математик на Средновековието, единствените паметници на Фибоначи са статуя пред наклонената кула в Пиза и две улици, които носят неговото име: едната в Пиза, а другата във Флоренция. И все пак във връзка с всичко видяно и прочетено възникват съвсем естествени въпроси. Откъде идват тези числа? Кой е този архитект на вселената, който се опита да я направи идеална? Какво ще последва? След като сте намерили отговора на един въпрос, ще получите следващия. Ако го решите, ще получите две нови. След като се справите с тях, ще се появят още три. След като решите и тях, ще имате пет нерешени. След това осем, тринадесет и т.н. Не забравяйте, че двете ръце имат пет пръста, два от които се състоят от две фаланги, а осем от три.

Литература:

Волошинов А.В. „Математика и изкуство“, М., Образование, 1992 г.

Воробьов Н.Н. “Числата на Фибоначи”, М., Наука, 1984 г.

Стахов А.П. „Шифърът на Да Винчи и поредицата Фибоначи“, формат Санкт Петербург, 2006 г

Ф. Корвалан „Златното сечение. Математически език на красотата", М., Де Агостини, 2014 г.

Максименко С.Д. "Чувствителни периоди от живота и техните кодове."

"Числата на Фибоначи". Уикипедия

Все още има много във Вселената неразгадани мистерии, някои от които учените вече са успели да идентифицират и опишат. Числата на Фибоначи и златното сечение формират основата за разкриване на света около нас, изграждане на неговата форма и оптимално визуално възприятие от човек, с помощта на което той да усети красотата и хармонията.

Златно сечение

Принципът за определяне на размерите на златното сечение е в основата на съвършенството на целия свят и неговите части в неговата структура и функции, проявлението му може да се види в природата, изкуството и технологиите. Доктрината за златната пропорция е основана в резултат на изследване на природата на числата от древни учени.

Тя се основава на теорията за пропорциите и съотношенията на разделение на сегменти, която е направена от древния философ и математик Питагор. Той доказа, че при разделяне на сегмент на две части: X (по-малък) и Y (по-голям), съотношението на по-голямото към по-малкото ще бъде равно на съотношението на тяхната сума (целия сегмент):

Резултатът е уравнение: x 2 - x - 1=0,който се решава като x=(1±√5)/2.

Ако разгледаме съотношението 1/x, тогава то е равно на 1,618…

Доказателство за използването на златното сечение от древните мислители е дадено в книгата на Евклид „Елементи“, написана през 3 век. пр.н.е., който прилага това правило за конструиране на правилни петоъгълници. Сред питагорейците тази фигура се счита за свещена, защото е едновременно симетрична и асиметрична. Пентаграмата символизира живота и здравето.

Числата на Фибоначи

Известната книга Liber abaci на италианския математик Леонардо от Пиза, който по-късно става известен като Фибоначи, е публикувана през 1202 г. В нея ученият за първи път цитира модела от числа, в поредица от които всяко число е сбор от 2 предишни цифри. Последователността на числата на Фибоначи е както следва:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 и т.н.

Ученият също цитира редица модели:

Всяко число от серията, разделено на следващото, ще бъде равно на стойност, която клони към 0,618. Още повече, че първите числа на Фибоначи не дават такова число, но докато се движим от началото на редицата, това съотношение ще става все по-точно.
Ако разделите числото от серията на предишното, резултатът ще се втурне към 1,618.
Едно число, разделено на следващото на едно, ще покаже стойност, клоняща към 0,382.

Приложението на връзката и закономерностите на златното сечение, числото на Фибоначи (0,618) намираме не само в математиката, но и в природата, историята, архитектурата и строителството и в много други науки.

Архимедова спирала и златен правоъгълник

Спиралите, много разпространени в природата, са изследвани от Архимед, който дори извежда нейното уравнение. Формата на спиралата се основава на законите на златното сечение. При развиването му се получава дължина, към която могат да се прилагат пропорции и числа на Фибоначи, стъпката се увеличава равномерно.

Паралелът между числата на Фибоначи и златното сечение може да се види чрез конструирането на „златен правоъгълник“, чиито страни са пропорционални като 1,618:1. Изгражда се чрез преминаване от по-голям правоъгълник към по-малки, така че дължините на страните да са равни на числата от серията. Може да се конструира и в обратен ред, като се започне с квадрат „1“. Когато ъглите на този правоъгълник се свържат с линии в центъра на тяхното пресичане, се получава Фибоначи или логаритмична спирала.

История на използването на златни пропорции

Много древноегипетски архитектурни паметници са построени с помощта на златни пропорции: известни пирамидиХеопс и други архитекти Древна ГърцияТе са били широко използвани при изграждането на архитектурни обекти като храмове, амфитеатри и стадиони. Например, такива пропорции са използвани при изграждането на древния храм на Партенона (Атина) и други обекти, които се превърнаха в шедьоври на древната архитектура, демонстрирайки хармония, основана на математически модели.

В следващите векове интересът към златното сечение затихна и моделите бяха забравени, но се възобнови отново през Ренесанса с книгата на францисканския монах Л. Пачиоли ди Борго „Божествената пропорция“ (1509 г.). Съдържаше илюстрации на Леонардо да Винчи, който създаде новото име „златно сечение“. 12 свойства на златното сечение също бяха научно доказани и авторът говори за това как се проявява в природата, в изкуството и го нарече „принцип на изграждане на света и природата“.

Витрувианският човек Леонардо

Рисунката, която Леонардо да Винчи използва, за да илюстрира книгата на Витрувий през 1492 г., изобразява човешка фигура в 2 позиции с разперени встрани ръце. Фигурата е вписана в кръг и квадрат. Тази рисунка се счита за каноничните пропорции на човешкото тяло (мъжко), описани от Леонардо въз основа на изучаването им в трактатите на римския архитект Витрувий.

Центърът на тялото като еднакво отдалечена точка от края на ръцете и краката е пъпът, дължината на ръцете е равна на височината на човека, максималната ширина на раменете = 1/8 от височината, разстояние от горната част на гърдите до косата = 1/7, от горната част на гърдите до върха на главата = 1/6 и т.н.

Оттогава рисунката се използва като символ, показващ вътрешната симетрия на човешкото тяло.

Леонардо използва термина „златно сечение“, за да обозначи пропорционалните отношения в човешката фигура. Например разстоянието от талията до краката е свързано със същото разстояние от пъпа до върха на главата по същия начин, както височината е свързана с първата дължина (от кръста надолу). Това изчисление се прави подобно на отношението на сегментите при изчисляване на златната пропорция и клони към 1,618.

Всички тези хармонични пропорции често се използват от художниците за създаване на красиви и впечатляващи произведения.

Изследване на златното сечение през 16-19 век

Използвайки златното сечение и числата на Фибоначи, изследователска работадискусиите по въпроса за пропорциите продължават повече от век. Успоредно с Леонардо да Винчи немският художник Албрехт Дюрер също работи върху разработването на теорията за правилните пропорции на човешкото тяло. За целта той дори създава специален компас.

През 16 век Въпросът за връзката между числото на Фибоначи и златното съотношение беше посветен на работата на астронома И. Кеплер, който за първи път приложи тези правила в ботаниката.

Ново „откритие“ очаква златното сечение през 19 век. с публикуването на „Естетическото изследване” на немския учен проф. Цайсиг. Той издига тези пропорции до абсолют и ги обявява за универсални за всички природни явления. Той проведе проучвания на огромен брой хора, или по-скоро техните телесни пропорции (около 2 хиляди), въз основа на резултатите от които бяха направени заключения за статистически потвърдени модели в съотношенията на различни части на тялото: дължината на раменете, предмишници, ръце, пръсти и др.

Изследвани са и предмети на изкуството (вази, архитектурни конструкции), музикални тонове и размери при писане на стихове - Zeisig показва всичко това чрез дължините на сегменти и числа, а също така въвежда термина „математическа естетика“. След получаване на резултатите се оказа, че е получена редицата на Фибоначи.

Числото на Фибоначи и златното сечение в природата

В растителния и животински свят има тенденция към морфология под формата на симетрия, която се наблюдава в посоката на растеж и движение. Разделяне на симетрични части, в които се наблюдават златни пропорции - този модел е присъщ на много растения и животни.

Природата около нас може да бъде описана с числата на Фибоначи, например:

разположението на листата или клоните на всякакви растения, както и разстоянията, съответстват на поредица от дадени числа 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 и т.н.;
слънчогледови семки (люспи на шишарки, клетки от ананас), подредени в два реда по усукани спирали в различни посоки;
съотношението на дължината на опашката и цялото тяло на гущера;
формата на яйце, ако нарисувате линия през широката му част;
съотношение на размерите на пръстите на ръката на човек.

И, разбира се, най-интересните форми включват спираловидни черупки на охлюви, шарки върху паяжини, движението на вятъра в урагана, двойната спирала в ДНК и структурата на галактиките - всички те включват последователността на Фибоначи.

Използване на златното сечение в изкуството

Изследователите, търсещи примери за използване на златното сечение в изкуството, изучават подробно различни архитектурни обекти и произведения на изкуството. Има известни скулптурни произведения, чиито създатели са се придържали към златните пропорции - статуи на Зевс Олимпийски, Аполон Белведерски и

Едно от творбите на Леонардо да Винчи, „Портретът на Мона Лиза“, е обект на изследване на учени от много години. Те открили, че композицията на произведението се състои изцяло от „златни триъгълници“, обединени заедно в правилен петоъгълник-звезда. Всички творби на да Винчи са доказателство за това колко дълбоки са били неговите познания в структурата и пропорциите на човешкото тяло, благодарение на които той успява да улови невероятно мистериозната усмивка на Мона Лиза.

Златно сечение в архитектурата

Като пример учените разгледаха архитектурни шедьоври, създадени според правилата на „златното съотношение“: египетски пирамиди, Пантеон, Партенон, катедралата Нотр Дам дьо Пари, катедралата Свети Василий и др.

Партенонът - една от най-красивите сгради в Древна Гърция (5 век пр. н. е.) - има 8 колони и 17 от различни страни, съотношението на височината му към дължината на страните е 0,618. Издатините на фасадите му са направени според „златното съотношение“ (снимката по-долу).

Един от учените, които измислиха и успешно приложиха подобрение на модулната система на пропорциите на архитектурните обекти (т.нар. „modulor”), беше френският архитект Льо Корбюзие. Модулаторът се основава на измервателна система, свързана с условното разделяне на части на човешкото тяло.

Руският архитект М. Казаков, който построи няколко жилищни сгради в Москва, както и сградата на Сената в Кремъл и болницата Голицин (сега 1-ва клиника на името на Н. И. Пирогов), беше един от архитектите, които използваха законите в дизайна и конструкция за златното сечение.

Прилагане на пропорции в дизайна

В дизайна на облеклото всички модни дизайнери създават нови изображения и модели, като вземат предвид пропорциите на човешкото тяло и правилата на златното сечение, въпреки че по природа не всички хора имат идеални пропорции.

При планиране на ландшафтен дизайн и създаване на триизмерни паркови композиции с помощта на растения (дървета и храсти), фонтани и малки архитектурни обекти могат да се прилагат и законите на „божествените пропорции“. В крайна сметка съставът на парка трябва да бъде насочен към създаване на впечатление за посетителя, който ще може свободно да се движи в него и да намери композиционния център.

Всички елементи на парка са в такива пропорции, че да създават впечатление за хармония и съвършенство с помощта на геометрична структура, взаимно разположение, осветеност и светлина.

Приложение на златното сечение в кибернетиката и техниката

Законите на златното сечение и числата на Фибоначи също се проявяват в енергийните преходи, в процесите, протичащи с елементарни частици, които изграждат химически съединения, в космическите системи и в генетичната структура на ДНК.

Подобни процеси протичат в човешкото тяло, проявявайки се в биоритмите на неговия живот, в дейността на органите, например мозъка или зрението.

Алгоритми и шаблони със златни пропорции се използват широко в съвременната кибернетика и компютърни науки. Една от простите задачи, които се дават на начинаещите програмисти, е да напишат формула и да определят сумата от числата на Фибоначи до определено число с помощта на езици за програмиране.

Съвременни изследвания на теорията за златното сечение

От средата на 20-ти век интересът към проблемите и влиянието на законите на златните пропорции върху човешкия живот рязко се увеличава и от много учени от различни професии: математици, етнически изследователи, биолози, философи, медицински работници, икономисти, музиканти, и т.н.

В Съединените щати списанието The Fibonacci Quarterly започва да излиза през 70-те години на миналия век, където се публикуват произведения по тази тема. В пресата се появяват произведения, в които обобщените правила на златното сечение и редицата на Фибоначи се използват в различни области на знанието. Например за кодиране на информация, химически изследвания, биологични изследвания и др.

Всичко това потвърждава изводите на древни и съвременни учени, че златната пропорция е многостранно свързана с фундаменталните въпроси на науката и се проявява в симетрията на много творения и явления от света около нас.

$моб_инфо$